Ma trận hạng: định nghĩa, phương pháp tìm, ví dụ, lời giải. Tìm hạng của ma trận Hạng của ma trận là gì 1123 5814

Và cũng xem xét một ứng dụng thực tế quan trọng của đề tài: nghiên cứu một hệ thống phương trình tuyến tính để tương thích.

Hạng của một ma trận là gì?

Đoạn văn hài hước của bài báo chứa đựng rất nhiều sự thật. Bản thân từ "cấp bậc" thường được liên kết với một số loại thứ bậc, thường là với bậc thang nghề nghiệp. Một người càng có nhiều kiến thức, kinh nghiệm, khả năng, kết nối, v.v. - vị trí và phạm vi cơ hội của anh ta càng cao. Trong thuật ngữ của giới trẻ, cấp bậc đề cập đến mức độ tổng thể của "độ dẻo dai".

Và những người anh em toán học của chúng tôi sống theo những nguyên tắc giống nhau. Tùy ý đi dạo vài vòng không ma trận:

Hãy suy nghĩ nếu trong ma trận chỉ số không, sau đó chúng ta có thể nói về thứ hạng nào? Mọi người đều quen thuộc với biểu thức không chính thức "tổng số không". Trong xã hội ma trận, mọi thứ hoàn toàn giống nhau:

Xếp hạng ma trận 0bất kỳ kích thước nào bằng 0.

Ghi chú : ma trận 0 được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp "theta"

Để hiểu rõ hơn về hạng của ma trận, sau đây tôi sẽ tổng hợp tài liệu hình học phân tích. Coi như không vectơ không gian ba chiều của chúng ta, không đặt ra một hướng nhất định và vô ích cho việc xây dựng cơ sở affine. Theo quan điểm đại số, tọa độ của một vectơ đã cho được viết bằng ma trận"từng ba" và logic (theo nghĩa hình học được chỉ định) giả sử rằng hạng của ma trận này bằng không.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài khác không vectơ cột và vectơ hàng:

Mỗi trường hợp có ít nhất một phần tử không rỗng, và đó là một cái gì đó!

Xếp hạng của bất kỳ vectơ hàng khác 0 (vectơ cột) đều bằng một

Và nói chung - nếu trong ma trận kích thước tùy ý có ít nhất một phần tử khác 0, sau đó xếp hạng của nó không ít hơn các đơn vị.

Các vectơ hàng và cột đại số là trừu tượng ở một mức độ nhất định, vì vậy chúng ta hãy chuyển sang liên kết hình học một lần nữa. nonzero vectơ thiết lập một hướng xác định rõ ràng trong không gian và phù hợp để xây dựng nền tảng, vì vậy hạng của ma trận sẽ được giả sử là bằng một.

Lý thuyết nền : trong đại số tuyến tính, vectơ là một phần tử của không gian vectơ (được xác định thông qua 8 tiên đề), đặc biệt, có thể là một hàng (hoặc cột) có thứ tự của số thực với các phép toán cộng và nhân với một số thực được xác định. cho họ. Để biết thêm thông tin về vectơ, hãy xem bài viết Các phép biến đổi tuyến tính.

phụ thuộc tuyến tính(thể hiện qua nhau). Từ quan điểm hình học, dòng thứ hai chứa tọa độ của vectơ thẳng hàng , điều này đã không thúc đẩy vấn đề trong việc xây dựng cơ sở ba chiều, là thừa theo nghĩa này. Như vậy, hạng của ma trận này cũng bằng một.

Chúng tôi viết lại tọa độ của các vectơ trong các cột ( chuyển ma trận):

Có gì thay đổi về thứ hạng? Không. Các cột tỷ lệ với nhau, có nghĩa là thứ hạng bằng một. Nhân tiện, lưu ý rằng cả ba dòng cũng tỷ lệ thuận. Chúng có thể được xác định bằng các tọa độ số ba vectơ thẳng hàng của mặt phẳng, trong đó chỉ một hữu ích cho việc xây dựng một cơ sở "phẳng". Và điều này hoàn toàn phù hợp với cảm giác xếp hạng hình học của chúng tôi.

Một câu lệnh quan trọng sau ví dụ trên:

Thứ hạng của ma trận theo hàng bằng thứ hạng của ma trận theo cột. Tôi đã đề cập đến vấn đề này một chút trong bài học về hiệu quả phương pháp tính toán định thức.

Ghi chú : sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng dẫn đến sự phụ thuộc tuyến tính của các cột (và ngược lại). Nhưng để tiết kiệm thời gian và theo thói quen, hầu như tôi sẽ luôn nói về sự phụ thuộc tuyến tính của các chuỗi.

Hãy tiếp tục huấn luyện thú cưng yêu quý của chúng ta. Thêm tọa độ của một vectơ thẳng hàng khác vào ma trận ở hàng thứ ba :

Anh ấy có giúp chúng tôi xây dựng cơ sở ba chiều không? Dĩ nhiên là không. Cả ba vectơ đi qua lại trên cùng một đường dẫn và hạng của ma trận là \ u200b \ u200bone. Bạn có thể lấy bao nhiêu vectơ thẳng hàng tùy thích, chẳng hạn như 100, đặt tọa độ của chúng vào ma trận 100 x 3 và thứ hạng của một tòa nhà chọc trời như vậy sẽ vẫn là một.

Hãy làm quen với ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. Một cặp vectơ không thẳng hàng thích hợp để xây dựng cơ sở ba chiều. Hạng của ma trận này là hai.

Hạng của ma trận là gì? Các đường dường như không tỷ lệ với nhau ... vì vậy, về lý thuyết, là ba. Tuy nhiên, hạng của ma trận này cũng bằng hai. Tôi đã thêm hai dòng đầu tiên và viết ra kết quả ở dưới cùng, tức là diễn đạt tuyến tính dòng thứ ba qua hai dòng đầu tiên. Về mặt hình học, các hàng của ma trận tương ứng với tọa độ của ba vectơ đồng phẳng, và trong số bộ ba này có một cặp đồng đội không thẳng hàng.

Bạn có thể thấy phụ thuộc tuyến tính trong ma trận được coi là không rõ ràng, và hôm nay chúng ta sẽ chỉ học cách đưa nó “trở thành nước sạch”.

Tôi nghĩ nhiều người đoán thứ hạng của ma trận là gì!

Hãy xem xét một ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. Vectơ hình thức cơ sở affine, và hạng của ma trận này là ba.

Như bạn đã biết, bất kỳ vectơ thứ tư, thứ năm, thứ mười nào của không gian ba chiều sẽ được biểu diễn tuyến tính dưới dạng vectơ cơ sở. Do đó, nếu bất kỳ số hàng nào được thêm vào ma trận, thì thứ hạng của nó vẫn sẽ là ba.

Suy luận tương tự có thể được thực hiện cho các ma trận có kích thước lớn hơn (rõ ràng, đã không có ý nghĩa hình học).

Sự định nghĩa : thứ hạng ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa. Hoặc: hạng của ma trận là số cột độc lập tuyến tính tối đa. Vâng, họ luôn luôn phù hợp.

Một hướng dẫn thực tế quan trọng sau đây: thứ hạng của ma trận không vượt quá kích thước tối thiểu của nó. Ví dụ, trong ma trận bốn hàng và năm cột. Kích thước tối thiểu là bốn, do đó, hạng của ma trận này chắc chắn sẽ không vượt quá 4.

Ký hiệu: trong lý thuyết và thực tiễn thế giới, không có tiêu chuẩn được chấp nhận chung nào để chỉ định thứ hạng của ma trận, tiêu chuẩn phổ biến nhất có thể được tìm thấy: - như họ nói, một người Anh viết một thứ, người Đức viết một thứ khác. Do đó, dựa trên giai thoại nổi tiếng về địa ngục của người Mỹ và người Nga, hãy chỉ định thứ hạng của ma trận bằng một từ bản địa. Ví dụ: . Và nếu ma trận là \ u200b \ u200b "không tên", trong đó có rất nhiều ma trận, thì bạn chỉ cần viết.

Làm thế nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng trẻ vị thành niên?

Nếu bà của chúng ta có một cột thứ năm trong ma trận, thì một cột thứ 4 khác (“xanh lam”, “mâm xôi” + cột thứ 5) lẽ ra phải được tính.

Sự kết luận: bậc lớn nhất của một số nhỏ khác 0 là ba, vì vậy.

Có lẽ không phải ai cũng hiểu hết cụm từ này: con thứ 4 bằng 0, nhưng trong số con thứ 3 có một con khác 0 - do đó, thứ tự tối đa khác không nhỏ và bằng ba.

Câu hỏi đặt ra, tại sao không tính ngay định thức? Thứ nhất, trong hầu hết các nhiệm vụ, ma trận không phải là hình vuông và thứ hai, ngay cả khi bạn nhận được giá trị khác 0, thì nhiệm vụ sẽ bị từ chối với xác suất cao, vì nó thường ngụ ý một giải pháp tiêu chuẩn từ dưới lên. Và trong ví dụ đã xét, định thức 0 của bậc 4 thậm chí còn cho phép chúng ta khẳng định rằng hạng của ma trận chỉ nhỏ hơn bốn.

Phải thừa nhận rằng tôi đã tự mình đưa ra vấn đề đã phân tích để lý giải rõ hơn về phương pháp soi cầu tiểu nhân. Trong thực tế, mọi thứ đơn giản hơn:

Ví dụ 2

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp lập diềm

Lời giải và đáp án cuối bài.

Khi nào thì thuật toán chạy nhanh nhất? Hãy quay lại ma trận bốn x bốn . Rõ ràng, giải pháp sẽ ngắn nhất trong trường hợp "tốt" trẻ vị thành niên góc:

Và, nếu, thì, nếu không -.

Suy nghĩ hoàn toàn không phải là giả thuyết - có rất nhiều ví dụ trong đó toàn bộ vấn đề chỉ giới hạn ở những trẻ vị thành niên góc cạnh.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một phương pháp khác hiệu quả hơn và được ưa chuộng hơn:

Làm thế nào để tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gauss?

Phần này dành cho những độc giả đã quen thuộc với Phương pháp Gauss và từng chút một đã chạm tay vào nó.

Từ quan điểm kỹ thuật, phương pháp này không mới:

1) sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đưa ma trận về dạng bước;

2) hạng của ma trận bằng số hàng.

Rõ ràng là sử dụng phương pháp Gauss không thay đổi thứ hạng của ma trận và bản chất ở đây cực kỳ đơn giản: theo thuật toán, trong quá trình biến đổi cơ bản, tất cả các dòng tỷ lệ không cần thiết (phụ thuộc tuyến tính) sẽ được phát hiện và loại bỏ, kết quả là vẫn còn lại một “cặn khô” - số lượng tối đa dòng độc lập tuyến tính.

Hãy biến đổi ma trận quen thuộc cũ với tọa độ của ba vectơ thẳng hàng:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên đã được thêm vào dòng thứ ba.

(2) Các dòng 0 bị xóa.

Vì vậy, còn lại một dòng, do đó. Không cần phải nói, điều này nhanh hơn nhiều so với việc tính toán chín 0 phần tử của bậc 2 và chỉ sau đó đưa ra kết luận.

Tôi nhắc bạn điều đó ma trận đại số không có gì có thể thay đổi được và các phép biến đổi chỉ được thực hiện với mục đích tìm ra thứ hạng! Nhân tiện, chúng ta hãy đi sâu vào câu hỏi một lần nữa, tại sao không? Ma trận nguồn mang thông tin khác cơ bản với thông tin ma trận và thông tin hàng. Trong một số mô hình toán học (không phóng đại), sự khác biệt trong một con số có thể là vấn đề của sự sống và cái chết. ... Tôi nhớ đến những giáo viên dạy Toán cấp 1 và cấp 2 của trường, những người đã nhẫn tâm cắt bỏ 1-2 điểm của điểm chỉ vì sai sót nhỏ nhất hoặc sai lệch so với thuật toán. Và thật đáng thất vọng khi, thay vì "năm" dường như được đảm bảo, nó lại trở thành "tốt" hoặc thậm chí tệ hơn. Sự hiểu biết đến muộn hơn nhiều - còn cách nào khác để giao phó cho một người vệ tinh, đầu đạn hạt nhân và nhà máy điện? Nhưng đừng lo, tôi không làm việc trong những lĩnh vực này =)

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn, trong đó, trong số những việc khác, chúng ta sẽ làm quen với các kỹ thuật tính toán quan trọng Phương pháp Gauss:

Ví dụ 3

Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản

Quyết định: cho trước ma trận 4 x 5, có nghĩa là hạng của nó chắc chắn không quá 4.

Trong cột đầu tiên, không có 1 hoặc -1, do đó, cần thực hiện các bước bổ sung để có được ít nhất một đơn vị. Trong toàn bộ sự tồn tại của trang web, tôi đã nhiều lần được hỏi câu hỏi: “Có thể sắp xếp lại các cột trong các phép biến đổi cơ bản không?”. Ở đây - đã sắp xếp lại cột đầu tiên hoặc cột thứ hai, và mọi thứ đều ổn! Trong hầu hết các nhiệm vụ, nơi Phương pháp Gauss, các cột thực sự có thể được sắp xếp lại. NHƯNG ĐỪNG. Và điểm thậm chí không phải là sự nhầm lẫn có thể xảy ra với các biến, điểm là trong khóa học cổ điển dạy toán cao hơn, hành động này theo truyền thống không được xem xét, do đó, hành động này sẽ bị coi là RẤT quanh co (hoặc thậm chí buộc phải làm lại mọi thứ) .

Điểm thứ hai liên quan đến các con số. Trong quá trình đưa ra quyết định, sẽ rất hữu ích nếu được hướng dẫn bởi quy tắc ngón tay cái sau: các phép biến đổi cơ bản, nếu có thể, nên giảm số lượng của ma trận. Xét cho cùng, việc làm việc với một-hai-ba sẽ dễ dàng hơn nhiều so với ví dụ, với 23, 45 và 97. Và hành động đầu tiên không chỉ nhằm vào việc có được một đơn vị trong cột đầu tiên mà còn để loại bỏ số 7 và 11.

Đầu tiên là giải pháp đầy đủ, sau đó là các nhận xét:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -3. Và với đống: dòng đầu tiên, nhân với -1, được thêm vào dòng thứ 4.

(2) Ba dòng cuối tỉ lệ thuận. Đã xóa dòng thứ 3 và thứ 4, dòng thứ hai được chuyển lên vị trí đầu tiên.

(3) Hàng thứ nhất được cộng với hàng thứ hai, nhân với -3.

Ma trận được rút gọn thành dạng bậc có hai hàng.

Trả lời:

Bây giờ đến lượt bạn tra tấn ma trận bốn x bốn:

Ví dụ 4

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian

tôi sẽ nhắc bạn điều đó Phương pháp Gauss không ngụ ý sự cứng nhắc rõ ràng, và giải pháp của bạn rất có thể sẽ khác với giải pháp của tôi. Một mẫu ngắn gọn về nhiệm vụ ở cuối bài học.

Sử dụng phương pháp nào để tìm hạng của ma trận?

Trong thực tế, người ta thường không cho biết phương pháp nào nên được sử dụng để tìm thứ hạng. Trong tình huống như vậy, người ta nên phân tích điều kiện - đối với một số ma trận thì việc thực hiện giải pháp thông qua các ma trận sẽ hợp lý hơn, trong khi đối với những ma trận khác, việc áp dụng các phép biến đổi cơ bản sẽ có lợi hơn nhiều:

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận

Quyết định: cách đầu tiên bằng cách nào đó ngay lập tức biến mất =)

Cao hơn một chút, tôi khuyên không nên chạm vào các cột của ma trận, nhưng khi có cột 0, hoặc các cột tỷ lệ / phù hợp, thì nó vẫn có giá trị cắt bỏ:

(1) Cột thứ năm bằng 0, chúng tôi xóa nó khỏi ma trận. Do đó, hạng của ma trận nhiều nhất là bốn. Hàng đầu tiên được nhân với -1. Đây là một tính năng đặc trưng khác của phương pháp Gaussian, làm cho hành động sau đây trở nên dễ chịu:

(2) Đối với tất cả các dòng, bắt đầu từ dòng thứ hai, dòng đầu tiên đã được thêm vào.

(3) Hàng thứ nhất nhân với -1, hàng thứ ba nhân với 2, hàng thứ tư nhân với 3. Hàng thứ hai nhân với hàng thứ năm, nhân với -1.

(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ năm, nhân với -2.

(5) Hai dòng cuối cùng tỷ lệ với nhau, ta xóa dòng thứ năm.

Kết quả là 4 hàng.

Trả lời:

Tòa nhà năm tầng tiêu chuẩn để tự khám phá:

Ví dụ 6

Tìm hạng của ma trận

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Cần lưu ý rằng cụm từ "thứ hạng ma trận" không quá phổ biến trong thực tế, và trong hầu hết các bài toán bạn có thể làm mà không có nó. Nhưng có một nhiệm vụ mà khái niệm đang được xem xét là nhân vật chính, và trong phần kết luận của bài viết, chúng tôi sẽ xem xét ứng dụng thực tế này:

Làm thế nào để khảo sát hệ phương trình tuyến tính cho phù hợp?

Thông thường, ngoài việc giải quyết hệ phương trình tuyến tính theo điều kiện, trước tiên cần phải kiểm tra tính tương thích của nó, nghĩa là, chứng minh rằng bất kỳ giải pháp nào cũng tồn tại. Một vai trò quan trọng trong quá trình xác minh này được thực hiện bởi Định lý Kronecker-Capelli, mà tôi sẽ xây dựng trong biểu mẫu bắt buộc:

Nếu xếp hạng ma trận hệ thống ngang hàng hệ thống ma trận tăng cường, thì hệ thống nhất quán, và nếu số đã cho trùng với số ẩn số thì nghiệm là duy nhất.

Vì vậy, để nghiên cứu tính tương thích của hệ thống, cần phải kiểm tra tính bình đẳng , ở đâu - ma trận hệ thống(nhớ các thuật ngữ trong bài Phương pháp Gauss), một - hệ thống ma trận tăng cường(tức là ma trận với hệ số tại biến + cột số hạng tự do).

Bài viết này sẽ thảo luận về một khái niệm như hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết. Chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ và bằng chứng về việc tìm hạng của ma trận, đồng thời cũng cho bạn biết ma trận nhỏ là gì và tại sao nó lại quan trọng như vậy.

Ma trận nhỏ

Để hiểu hạng của ma trận là gì, cần phải hiểu khái niệm như một ma trận nhỏ.

Định nghĩa 1

Diễn viên phụkma trận thứ tự - định thức của ma trận vuông bậc k × k, bao gồm các phần tử của ma trận A, nằm trong k hàng và k cột được chọn trước, đồng thời giữ nguyên vị trí của các phần tử của ma trận A.

Nói một cách đơn giản, nếu trong ma trận A chúng ta xóa (p-k) hàng và (n-k) cột, và từ những phần tử còn lại đó, chúng ta tạo một ma trận, giữ nguyên sự sắp xếp của các phần tử của ma trận A, thì định thức của ma trận kết quả là Hạng tử bậc k của ma trận A.

Từ ví dụ này, các phần tử con bậc nhất của ma trận A chính là các phần tử của ma trận.

Chúng tôi có thể đưa ra một số ví dụ về trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ hai. Hãy chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ, hàng thứ nhất và thứ hai, thứ ba và thứ tư cột.

Với sự lựa chọn các phần tử này, số nhỏ của bậc hai sẽ là - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Một con khác bậc 2 của ma trận A là 0 0 1 1 = 0

Hãy để chúng tôi cung cấp các hình ảnh minh họa về việc xây dựng các con bậc hai của ma trận A:

Số nhỏ bậc 3 thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Một minh họa về cách thu được bậc phụ thứ 3 của ma trận A:

Đối với một ma trận nhất định, không có con nào cao hơn bậc 3, bởi vì

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Có bao nhiêu ma trận con bậc k cho ma trận A bậc p × n?

Số lượng trẻ vị thành niên được tính theo công thức sau:

C p k × C n k, g e C p k = p! k! (p - k)! và C nk = n! k! (n - k)! - số lượng các tổ hợp từ p đến k, từ n đến k, tương ứng.

Sau khi chúng ta đã quyết định các hạng tử của ma trận A là gì, chúng ta có thể tiến hành xác định hạng của ma trận A.

Xếp hạng ma trận: các phương pháp tìm kiếm

Định nghĩa 2

Xếp hạng ma trận - bậc cao nhất của ma trận, khác 0.

Chỉ định 1

Xếp hạng (A), Rg (A), Rang (A).

Từ định nghĩa hạng của ma trận và hạng của ma trận, ta thấy rõ hạng của ma trận 0 bằng 0 và hạng của ma trận khác 0 khác 0.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa

Định nghĩa 3

Phương pháp liệt kê nhỏ - một phương pháp dựa trên việc xác định hạng của ma trận.

Thuật toán hành động bằng cách liệt kê trẻ vị thành niên :

Cần tìm hạng của ma trận A có bậc P× N. Nếu có ít nhất một phần tử khác 0, thì hạng của ma trận ít nhất bằng một ( tại vì là con bậc 1 không bằng 0).

Sau đó, theo sau việc liệt kê các trẻ vị thành niên của bậc 2. Nếu tất cả các trẻ vị thành niên bậc 2 đều bằng 0, thì xếp hạng bằng một. Nếu có ít nhất một con khác 0 của bậc 2, thì cần phải liệt kê các con nhỏ của bậc 3, và hạng của ma trận, trong trường hợp này, sẽ ít nhất là hai.

Hãy làm tương tự với hạng của bậc 3: nếu tất cả các hạng tử của ma trận đều bằng 0 thì hạng sẽ bằng hai. Nếu có ít nhất một con bậc ba khác 0, thì hạng của ma trận ít nhất là ba. Và như vậy, bằng cách tương tự.

Ví dụ 2

Tìm hạng của ma trận:

A \ u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó ít nhất bằng một.

Số hạng thứ 2 - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 khác 0. Điều này ngụ ý rằng hạng của ma trận A ít nhất là hai.

Chúng tôi sắp xếp thông qua các phần tử của bậc 3: C 3 3 × C 5 3 \ u003d 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 cái.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Các con bậc 3 bằng 0, do đó hạng của ma trận là hai.

Trả lời : Hạng (A) = 2.

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp lập diềm

Định nghĩa 3

Phương pháp Tua nhỏ - một phương pháp cho phép bạn có được một kết quả với công việc tính toán ít hơn.

Tua nhỏ - M o k (k + 1) bậc thứ của ma trận A, giáp với M thứ bậc k của ma trận A, nếu ma trận tương ứng với M o k "chứa" ma trận tương ứng với M.

Nói một cách đơn giản, ma trận tương ứng với M phụ cận kề được lấy từ ma trận tương ứng với M phụ cận kề bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ 3

Tìm hạng của ma trận:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Để tìm hạng, ta lấy hạng phụ thứ 2 M = 2 - 1 4 1

Chúng tôi viết ra tất cả trẻ vị thành niên giáp ranh:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Để chứng minh cho phương pháp của các số phụ, chúng tôi trình bày một định lý mà công thức của nó không yêu cầu cơ sở chứng minh.

Định lý 1

Nếu tất cả các con giáp với con bậc k của ma trận A bậc p x n đều bằng 0, thì tất cả các con bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0.

Thuật toán hành động :

Để tìm thứ hạng của một ma trận, không nhất thiết phải đi qua tất cả các phụ, chỉ cần nhìn vào các đường viền.

Nếu các con giáp bằng 0, thì hạng của ma trận bằng 0. Nếu tồn tại ít nhất một trẻ vị thành niên không bằng 0, thì chúng tôi coi là trẻ vị thành niên giáp ranh.

Nếu tất cả chúng bằng 0, thì Xếp hạng (A) là hai. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên không giáp, thì chúng tôi sẽ tiến hành xem xét các trẻ vị thành niên giáp với nó. Và như vậy, theo một cách tương tự.

Ví dụ 4

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp lập diềm

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Làm thế nào để quyết định?

Vì phần tử a 11 của ma trận A không bằng 0 nên ta lấy hạng tử bậc 1. Hãy bắt đầu tìm kiếm một con giáp khác 0:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Chúng tôi đã tìm thấy một con giáp của bậc 2 không bằng 0 2 0 4 1.

Hãy thống kê các con giáp - (có (4 - 2) × (5 - 2) = 6 con).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Trả lời : Hạng (A) = 2.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gauss (sử dụng các phép biến đổi cơ bản)

Nhắc lại các phép biến hình cơ bản là gì.

Các phép biến đổi cơ bản:

bằng cách sắp xếp lại các hàng (cột) của ma trận;
bằng cách nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với một số k tùy ý;

bằng cách thêm vào các phần tử của hàng (cột) bất kỳ phần tử nào tương ứng với một hàng (cột) khác của ma trận, được nhân với một số k tùy ý.

Định nghĩa 5

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gauss - một phương pháp dựa trên lý thuyết về sự tương đương của ma trận: nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, thì Hạng (A) = Hạng (B).

Tính hợp lệ của câu lệnh này tuân theo định nghĩa của ma trận:

trong trường hợp hoán vị các hàng hoặc cột của ma trận, dấu hiệu thay đổi định thức của nó. Nếu nó bằng 0, thì khi hoán vị các hàng hoặc cột, nó vẫn bằng 0;
Trong trường hợp nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với một số k tùy ý, không bằng 0, thì định thức của ma trận thu được bằng định thức của ma trận ban đầu. bởi k;

trong trường hợp thêm vào các phần tử của một hàng hoặc cột nhất định của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng hoặc cột khác, được nhân với số k, không làm thay đổi định thức của nó.

Thực chất của phương pháp biến đổi sơ cấp : giảm ma trận, có hạng cần tìm, thành một hình thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Để làm gì?

Hạng của ma trận loại này khá dễ tìm. Nó bằng số hàng có ít nhất một phần tử khác rỗng. Và vì hạng không thay đổi trong các phép biến đổi cơ bản, đây sẽ là hạng của ma trận.

Hãy minh họa quá trình này:

đối với ma trận chữ nhật A có thứ tự p x n, số hàng trong đó lớn hơn số cột:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R a n k (A) = k

đối với ma trận chữ nhật A có thứ tự p x n, số hàng trong đó nhỏ hơn số cột:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n, R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

cho ma trận vuông A bậc n x n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R a n k (A) = k, k< n

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận A bằng các phép biến đổi cơ bản:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Làm thế nào để quyết định?

Vì phần tử a 11 khác 0, nên cần nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với 1 a 11 \ u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Chúng tôi thêm vào các phần tử của hàng thứ 2 các phần tử tương ứng của hàng thứ nhất, được nhân với (-3). Đối với các phần tử của hàng thứ 3, chúng tôi thêm các phần tử của hàng thứ nhất, được nhân với (-1):

~ A (1) \ u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \ u003d \ u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Phần tử a 22 (2) khác 0, vì vậy chúng ta nhân các phần tử của hàng thứ 2 của ma trận A với A (2) với a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \ u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \ u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Đối với các phần tử của hàng thứ 3 của ma trận kết quả, chúng tôi cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ 2, được nhân với 3 2;
đến các phần tử của hàng thứ 4 - các phần tử của hàng thứ 2, được nhân với 9 2;
đến các phần tử của hàng thứ 5 - các phần tử của hàng thứ 2, được nhân với 3 2.

Tất cả các phần tử hàng bằng không. Như vậy, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đã thu gọn ma trận về dạng hình thang, từ đó có thể thấy rằng R a n k (A (4)) = 2. Theo đó hạng của ma trận ban đầu cũng bằng hai.

Nhận xét

Nếu bạn thực hiện các phép biến đổi cơ bản, thì các giá trị gần đúng không được phép!

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Trong mỗi ma trận, có thể liên kết hai thứ hạng: thứ hạng hàng (thứ hạng của hệ thống hàng) và thứ hạng cột (thứ hạng của hệ thống cột).

Định lý

Thứ hạng hàng của ma trận bằng thứ hạng cột của nó.

Xếp hạng ma trận

Sự định nghĩa

Xếp hạng ma trận$ A $ là thứ hạng của hệ thống các hàng hoặc cột của nó.

Được biểu thị bởi $ \ operatorname (rang) A $

Trong thực tế, để tìm hạng của ma trận, phát biểu sau đây được sử dụng: hạng của ma trận bằng số hàng khác 0 sau khi ma trận đã được rút gọn thành dạng bậc.

Các phép biến đổi cơ bản qua các hàng (cột) của ma trận không làm thay đổi thứ hạng của nó.

Thứ hạng của ma trận bước bằng số hàng khác không của nó.

Ví dụ

Bài tập. Tìm thứ hạng của ma trận $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) (0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3) \ end (mảng) \ phải) $

Quyết định. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản trên các hàng của nó, chúng tôi giảm ma trận $ A $ thành dạng bước. Để làm điều này, trước tiên hãy trừ hai thứ hai trên dòng thứ ba:

$$ A \ sim \ left (\ begin (mảng) (cccc) (0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3) \ end (mảng) \ phải) $$

Từ dòng thứ hai ta trừ dòng thứ tư, nhân với 4; từ phần ba - hai phần tư:

$$ A \ sim \ left (\ begin (mảng) (rrrr) (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3) \ end (mảng) \ phải) $$

Chúng tôi thêm năm đầu tiên vào dòng thứ hai và ba phần ba vào dòng thứ ba:

$$ A \ sim \ left (\ begin (mảng) (cccc) (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3) \ end (mảng) \ phải) $$

Hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ hai:

$$ A \ sim \ left (\ begin (mảng) (cccc) (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3) \ end (mảng) \ phải) $$

$$ A \ sim \ left (\ begin (mảng) (cccc) (1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \ end (mảng) \ phải) \ Rightarrow \ operatorname (rang) A = 2 $$

Trả lời.$ \ tên toán tử (xếp hạng) A = 2 $

Phương pháp giáp ranh nhỏ

Một phương pháp khác để tìm hạng của ma trận dựa trên định lý này: phương pháp biên giới nhỏ. Bản chất của phương pháp này là tìm trẻ vị thành niên, bắt đầu từ đơn hàng thấp hơn và chuyển lên đơn hàng cao hơn. Nếu $ n $ -th thứ bậc nhỏ khác 0 và tất cả $ n + 1 $ -th thứ bậc nhất bằng 0, thì hạng của ma trận sẽ bằng $ n $.

Ví dụ

Bài tập. Tìm thứ hạng của ma trận $ A = \ left (\ begin (array) (rrrr) (1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6) \ end (mảng) \ phải) $ bằng cách sử dụng phương thức viền nhỏ.

Quyết định. Các phần tử của bậc tối thiểu là các phần tử bậc nhất, bằng các phần tử của ma trận $ A $. Ví dụ, hãy xem xét $ M_ (1) = 1 \ neq 0 $. nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Giáp nó với hàng thứ hai và cột thứ hai, chúng ta nhận được số nhỏ $ M_ (2) ^ (1) = \ left | \ begin (array) (ll) (1) & (2) \\ (2) & (4) \ end (array) \ right | = 0 $; hãy xem xét một phần nhỏ khác của đơn hàng thứ hai, đối với điều này, chúng tôi biên giới $ M_1 $ phụ với sự trợ giúp của hàng thứ hai và cột thứ ba, sau đó chúng tôi có $ M_ (2) ^ (2) = \ left | \ begin (array) (rr) (1) & (-1) \\ (2) & (3) \ end (array) \ right | = 5 \ neq 0 $, tức là hạng của ma trận là Ít nhất hai. Tiếp theo, chúng tôi xem xét trẻ vị thành niên bậc ba bao quanh trẻ vị thành niên $ M_ (2) ^ (2) $. Có hai phần nhỏ như vậy: sự kết hợp của hàng thứ ba với cột thứ hai hoặc với cột thứ tư. Chúng tôi tính toán những trẻ vị thành niên này.

§3. Xếp hạng ma trận

Xác định hạng của ma trận

Các hàng phụ thuộc tuyến tính

Các phép biến đổi ma trận cơ bản

Ma trận tương đương

Thuật toán tìm hạng của ma trận sử dụng các phép biến đổi cơ bản

§4. Các yếu tố quyết định thứ tự thứ nhất, thứ hai và thứ ba

Yếu tố quyết định bậc nhất

Yếu tố quyết định bậc hai

Yếu tố quyết định bậc ba

Quy tắc Sarrus

§5. Tính toán các yếu tố quyết định các đơn đặt hàng lớn

Phép cộng đại số

Định lý Laplace

Định thức ma trận tam giác

Ruột thừa. Khái niệm về một yếu tố quyết định P thứ tự nói chung.

§ 3. Xếp hạng ma trận

Mỗi ma trận được đặc trưng bởi một số nhất định có ý nghĩa quan trọng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính. Số này được gọi là xếp hạng ma trận.

Xếp hạng ma trận bằng số hàng (cột) độc lập tuyến tính của nó, qua đó tất cả các hàng (cột) khác của nó được biểu diễn tuyến tính.

Các hàng (cột) của ma trận được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu các phần tử tương ứng của chúng là tỷ lệ thuận.

Nói cách khác, các phần tử của một trong các hàng phụ thuộc tuyến tính bằng các phần tử của hàng kia, nhân với cùng một số. Ví dụ: hàng 1 và 2 của ma trận NHƯNG phụ thuộc tuyến tính nếu, trong đó (λ là một số).

Ví dụ. Tìm hạng của ma trận

Quyết định.

Hàng thứ hai nhận được từ hàng đầu tiên nếu các phần tử của nó được nhân với -3, hàng thứ ba nhận được từ hàng đầu tiên nếu các phần tử của nó được nhân với 0 và hàng thứ tư không thể được biểu thị theo giá trị của hàng đầu tiên. Nó chỉ ra rằng ma trận có hai hàng độc lập tuyến tính, bởi vì hàng đầu tiên và hàng thứ tư không tỷ lệ với nhau, do đó hạng của ma trận là 2.

Xếp hạng ma trận NHƯNG biểu thị xếp hạng A hoặc r(Một).

Từ định nghĩa về hạng của ma trận, nó như sau:

1. Thứ hạng của ma trận không vượt quá kích thước nhỏ nhất của nó, tức là cho ma trận Là × N .

2. Hạng của ma trận chỉ bằng 0 nếu nó là ma trận không.

Trong trường hợp chung, việc xác định thứ hạng của một ma trận khá tốn công sức. Để tạo điều kiện thuận lợi cho nhiệm vụ này, các phép biến đổi được sử dụng để bảo toàn thứ hạng của ma trận, được gọi là biến đổi cơ bản:

1) loại bỏ hàng không (cột);

2) phép nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) với một số khác 0;

3) thay đổi thứ tự của các hàng (cột);

4) thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, nhân với bất kỳ số nào;

5) chuyển vị ma trận.

Hai ma trận được gọi là tương đương nếu cái này nhận được từ cái kia bằng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Sự tương đương của các ma trận được biểu thị bằng dấu "~" (tương đương).

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, ma trận nào cũng có thể thu gọn về dạng tam giác, thì việc tính hạng của nó không khó.

Quy trình tính hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản hãy xem một ví dụ.

Ví dụ. Tìm hạng của ma trận

A =

Quyết định.

Nhiệm vụ của chúng ta là đưa ma trận về dạng tam giác, tức là sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đảm bảo rằng chỉ các số không nằm dưới đường chéo chính trong ma trận.

1. Hãy xem xét dòng đầu tiên. Nếu phần tử một 11 = 0, sau đó khi hoán vị các hàng hoặc cột, chúng ta đạt được điều đó một 11 ¹ 0. Trong ví dụ của chúng ta, hãy hoán đổi, chẳng hạn như hàng đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận:

A =

Hiện tại phần tử một 11 ¹ 0. Nhân hàng đầu tiên với các số thích hợp và cộng với các hàng khác, chúng tôi sẽ đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên (ngoại trừ một 11) bằng không.

2. Bây giờ hãy xem xét dòng thứ hai. Nếu phần tử một 22 = 0, sau đó khi hoán vị các hàng hoặc cột, chúng ta đạt được điều đó một 22 ¹ 0. Nếu phần tử một 22 ¹ 0 (và chúng tôi có một 22 = –1 ¹ 0), sau đó nhân hàng thứ hai với các số thích hợp và thêm vào các hàng khác, chúng tôi sẽ đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai (ngoại trừ một 22) bằng không.

3. Nếu trong quá trình biến đổi thu được các hàng (cột) bao gồm hoàn toàn các số không thì chúng ta loại bỏ chúng. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi sẽ loại bỏ dòng 3 và 4:

Ma trận cuối cùng có dạng bậc và chứa hai hàng. Chúng độc lập tuyến tính, do đó hạng của ma trận là 2.

§ 4. Các yếu tố quyết định thứ tự thứ nhất, thứ hai và thứ ba

Trong số nhiều loại ma trận, ma trận vuông được chọn riêng biệt. Loại ma trận này tốt vì:

1. Các ma trận nhận dạng là hình vuông.

2. Bạn có thể nhân và cộng bất kỳ ma trận vuông nào có cùng bậc và bạn sẽ nhận được một ma trận có cùng bậc.

3. Ma trận vuông có thể được nâng lên thành lũy thừa.

Ngoài ra, chỉ có ma trận vuông mới có thể có định thức.

Định thức ma trận là một số đặc biệt được tính theo một quy luật nào đó. Định thức ma trận NHƯNG ký hiệu:

Hoặc với dấu ngoặc thẳng:,

Hoặc chữ cái Hy Lạp viết hoa "delta": Δ ( Một),

Hoặc ký hiệu "định thức": det ( Một).

Định thức của ma trận bậc nhất NHƯNG= (một 11) hoặc yếu tố quyết định bậc đầu tiên, là một số bằng phần tử ma trận:

∆1 = =một 11

Định thức ma trận bậc hai hoặc yếu tố quyết định bậc hai

Ví dụ:

Định thức của ma trận bậc ba hoặc yếu tố quyết định bậc ba, là một số được tính theo công thức:

Yếu tố quyết định thứ ba có thể được tính toán bằng cách sử dụng Quy tắc Sarrus .

Quy tắc Sarrus. Hai cột đầu tiên được ký vào định thức bậc ba ở bên phải và với dấu cộng (+), chúng lấy tổng tích của ba phần tử nằm trên đường chéo chính của định thức và trên "đường thẳng" song song với đường chéo chính, với dấu trừ (-) chúng lấy tổng tích của các phần tử nằm trên đường chéo thứ hai và trên các "đường thẳng" song song với nó.

Ví dụ:

Dễ dàng nhận thấy rằng số hạng trong định thức tăng dần theo thứ tự của nó. Nói chung, trong yếu tố quyết định P thứ tự, số hạng là 1 2 3 ... P = P!.

Hãy kiểm tra: với Δ 1 thì số số hạng bằng 1! = 1,

đối với Δ 2 số hạng là 2! = 1 2 = 2,

cho Δ 3 số hạng là 3! = 1 2 3 = 6.

Theo đó, đối với định thức bậc 4, số hạng là 4! = 1 2 3 4 = 24, nghĩa là việc tính định thức như vậy khá tốn công, chưa kể định thức bậc cao. Xem xét điều này, họ cố gắng giảm việc tính toán các yếu tố quyết định của các đơn đặt hàng lớn thành việc tính toán các yếu tố quyết định của các đơn hàng thứ hai hoặc thứ ba.

§ 5. Tính toán các yếu tố quyết định các đơn đặt hàng lớn

Hãy để chúng tôi giới thiệu một số khái niệm.

Cho một ma trận vuông được Một-đặt hàng thứ:

A =

Diễn viên phụ M yếu tố ij một ij được gọi là định thức ( P- 1) thứ tự thu được từ ma trận NHƯNG làm văng ra tôi-dòng thứ và j-cột thứ.

Ví dụ, phần tử phụ của phần tử một 12 ma trận bậc ba sẽ là:

Phép cộng đại số NHƯNG yếu tố ij một ij là phụ của nó, được lấy với dấu (−1) tôi + j:

NHƯNG ij = (−1) tôi + jM ij

Nói cách khác, NHƯNG ij = M tôi nếu tôi+j số chẵn,

NHƯNG ij = - M tôi nếu tôi+j số lẻ.

Ví dụ. Tìm phần bổ sung đại số của các phần tử thuộc hàng thứ hai của ma trận

Quyết định.

Với sự trợ giúp của phần bổ sung đại số, người ta có thể tính toán các định thức của bậc lớn, dựa trên định lý Laplace.

Định lý Laplace. Định thức của ma trận vuông bằng tổng tích các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của nó và phần bổ sung đại số của chúng:

– phân hủy trên dòng thứ i;

( là phần mở rộng trong cột thứ j).

Ví dụ. Tính định thức ma trận sự phân hủy trên dòng đầu tiên.

Quyết định.

Do đó, một định thức của bất kỳ đơn hàng nào có thể được rút gọn thành phép tính một số định thức của một đơn hàng nhỏ hơn. Rõ ràng là để mở rộng, thuận tiện để chọn một hàng hoặc cột chứa càng nhiều số 0 càng tốt.

Hãy xem xét thêm một ví dụ.

Ví dụ. Tính định thức của ma trận tam giác

Quyết định.

Hiểu rồi định thức của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử của đường chéo chính của nó .

Kết luận quan trọng này giúp bạn dễ dàng tính định thức của bất kỳ ma trận tam giác nào. Điều này càng hữu ích hơn bởi vì, nếu cần, bất kỳ định thức nào có thể được rút gọn thành dạng tam giác. Trong trường hợp này, một số thuộc tính của định thức được sử dụng.

ruột thừa

Khái niệm về một yếu tố quyết định P thứ tự nói chung.

Nói chung, người ta có thể đưa ra một định nghĩa chặt chẽ cho định thức ma trận P thứ tự, nhưng đối với điều này, nó là cần thiết để giới thiệu một số khái niệm.

hoán vị số 1, 2, ..., N bất kỳ sự sắp xếp nào của các số này theo một thứ tự nhất định đều được gọi. Trong đại số sơ cấp, người ta chứng minh rằng số tất cả các hoán vị có thể được tạo thành từ N số là 12 ... n = N! Ví dụ, ba số 1, 2, 3 có thể tạo thành 3! = 6 hoán vị: 123, 132, 312, 321, 231, 213.

Họ nói rằng trong một hoán vị nhất định của số tôi và j cấu tạo sự nghịch đảo(rối loạn) nếu tôi> j, nhưng tôiđứng trong hoán vị này trước j, nghĩa là, nếu số lớn hơn ở bên trái của số nhỏ hơn.

Hoán vị được gọi là thậm chí(hoặc số lẻ) nếu tổng số nghịch đảo tương ứng là chẵn (lẻ).

Một phép toán bằng cách chuyển từ một hoán vị này sang một hoán vị khác, bao gồm cùng một N số được gọi là thay thế Nđộ thứ.

Phép thay thế biến một hoán vị này thành hoán vị khác được viết thành hai dòng trong ngoặc đơn, và các số chiếm vị trí giống nhau trong các hoán vị đang xét được gọi là tương ứng và được viết liền nhau. Ví dụ, biểu tượng

biểu thị một hoán vị trong đó 3 chuyển thành 4, 1 thành 2, 2 thành 1, 4 thành 3. Một hoán vị được gọi là chẵn (hoặc lẻ) nếu tổng số nghịch đảo trong cả hai hàng của phép thay thế là chẵn (lẻ). Mọi sự thay thế N mức độ thứ có thể được viết là

những thứ kia. với sự sắp xếp tự nhiên của các số ở dòng trên cùng.

Hãy cho chúng tôi một ma trận vuông có thứ tự N

Xem xét tất cả các sản phẩm có thể N các phần tử của ma trận này, được lấy một và chỉ một từ mỗi hàng và mỗi cột, tức là các tác phẩm có dạng:

chỉ số ở đâu q 1 , q 2 ,..., q n tạo thành một số hoán vị của các số
1, 2,..., N. Số sản phẩm đó bằng số các hoán vị khác nhau từ N ký tự, tức là bằng N! Bảng hiệu công việc , bằng (–1) q, ở đâu q là số nghịch đảo trong hoán vị của các chỉ số thứ hai của các phần tử.

bản ngã N-đơn hàng thứđược gọi là tổng đại số của tất cả các tích có thể có trên N phần tử ma trận, được lấy một và chỉ một từ mỗi hàng và mỗi cột, tức là các tác phẩm có dạng: . Đồng thời, dấu hiệu của việc bằng (-1) q, ở đâu q là số nghịch đảo trong hoán vị của các chỉ số thứ hai của các phần tử.

Đại số tuyến tính

Hãy xem xét một ma trận A có kích thước.

A =
Chọn k hàng và k cột trong đó (
).

Định nghĩa 26:Diễn viên phụ Bậc k của ma trận A là định thức của ma trận vuông, nhận được từ định thức đã cho bằng cách chọn trong đó.

k hàng và k cột.

Định nghĩa 27:cấp ma trận được gọi là ma trận lớn nhất trong số các bậc khác không của các phần tử của nó, r (A).

Định nghĩa 28: Trẻ vị thành niên có thứ tự giống với cấp bậc của nó được gọi là trẻ vị thành niên cơ bản.

Tuyên bố:

1. Thứ hạng được biểu thị dưới dạng số nguyên. (
)

2.r = 0,
khi A bằng không.

Các phép biến đổi cơ bản của ma trận.

Các phép biến đổi cơ bản của ma trận bao gồm:

1) phép nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với cùng một số.

2) cộng các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác nhân với cùng một số;

3) hoán vị của các hàng (cột) của ma trận;

4) loại bỏ hàng không (cột);

5) thay thế các hàng của ma trận bằng các cột tương ứng.

Định nghĩa 29: Các ma trận thu được từ nhau, dưới các phép biến đổi cơ bản, được gọi là ma trận tương đương, ký hiệu là "~"

Thuộc tính chính của ma trận tương đương: Hạng của các ma trận tương đương là bằng nhau.

Ví dụ 18: Tính r (A),

Quyết định: Nhân dòng đầu tiên từng bước với (-4) (- 2)

(-7) rồi thêm lần lượt vào các hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư.

hoán đổi dòng thứ hai và thứ tư
nhân hàng thứ hai với (-2) và cộng với hàng thứ tư; thêm hàng thứ hai và thứ ba.

thêm hàng thứ ba và thứ tư.

~
bỏ dòng rỗng

~
r (A) = 3
thứ hạng của ma trận ban đầu

bằng ba.

Định nghĩa 30: Chúng ta gọi ma trận A là ma trận bước nếu tất cả các phần tử của đường chéo chính 0 và các phần tử dưới đường chéo chính bằng không.

Phục vụ:

1) hạng của ma trận bước bằng số hàng của nó;

2) bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành dạng bước với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản.

Ví dụ 19: Tại các giá trị nào của ma trận 
có hạng bằng một?

Quyết định: Xếp hạng bằng một nếu định thức bậc hai bằng 0, tức là

§6. Hệ phương trình tuyến tính dạng tổng quát.

xem hệ thống
--- (9) được gọi là hệ có dạng tổng quát.

Định nghĩa 31: Hai hệ được cho là tương đương (tương đương) nếu mọi nghiệm của hệ thứ nhất là nghiệm của hệ thứ hai và ngược lại.

Trong hệ thống (1), ma trận A =
sẽ được gọi là ma trận chính của hệ thống, và =
hệ thống ma trận mở rộng

Định lý. Kronecker-Cappelli

Để hệ thống (9) nhất quán, cần và đủ rằng hạng của ma trận chính của hệ thống bằng hạng của ma trận mở rộng, tức là r (A) = r ( )

Định lý 1. Nếu hạng của ma trận của một hệ nhất quán bằng số ẩn số thì hệ có nghiệm duy nhất.

Định lý 2. Nếu hạng của ma trận của một hệ liên hợp nhỏ hơn số ẩn số thì hệ có vô số nghiệm.

Quy tắc giải một hệ phương trình tuyến tính tùy ý:

1) tìm cấp bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng của hệ thống. Nếu một
, thì hệ thống không nhất quán.

2) Nếu
= r, thì hệ thống nhất quán. Tìm một số nhỏ cơ bản của bậc r. Chúng tôi sẽ gọi là nhỏ cơ bản, trên cơ sở đó thứ hạng của ma trận đã được xác định.

Các ẩn số mà hệ số được đưa vào phụ cơ bản được gọi là chính (cơ bản) và được đặt ở bên trái, trong khi các ẩn số còn lại được gọi là tự do và chuyển sang vế phải của phương trình.

3) Tìm biểu thức của ẩn số chính trong các ẩn số tự do. Giải pháp chung của hệ thống thu được.

Ví dụ 20:Điều tra hệ thống và trong trường hợp có tính tương thích của nó, hãy tìm một giải pháp chung hoặc duy nhất