هذه المقالة هي إجابة لسؤالين: "ما هو" و "كيفية البحث إحداثيات إسقاط نقطة على مستو"؟ أولاً ، يتم تقديم المعلومات الضرورية حول الإسقاط وأنواعه. بعد ذلك ، يتم تقديم تعريف إسقاط نقطة على مستوى ويتم تقديم رسم توضيحي. بعد ذلك ، تم الحصول على طريقة لإيجاد إحداثيات إسقاط نقطة على مستو. في الختام ، يتم تحليل حلول الأمثلة التي يتم فيها حساب إحداثيات إسقاط نقطة معينة على مستوى معين.

التنقل في الصفحة.

الإسقاط ، أنواع الإسقاط - المعلومات الضرورية.

عند دراسة الأشكال المكانية ، من الملائم استخدام صورهم في الرسم. رسم الشكل المكاني يسمى تنبؤهذا الرقم إلى الطائرة. تحدث عملية تكوين صورة للشكل المكاني على مستوى وفقًا لقواعد معينة. لذا فإن عملية تكوين صورة لشكل مكاني على مستوى ما ، جنبًا إلى جنب مع مجموعة من القواعد التي يتم من خلالها تنفيذ هذه العملية ، تسمى تنبؤالأرقام على هذه الطائرة. يتم استدعاء المستوى الذي تم إنشاء الصورة فيه طائرة الإسقاط.

اعتمادًا على القواعد التي يتم من خلالها تنفيذ الإسقاط ، هناك وسطو الإسقاط الموازي. لن ندخل في التفاصيل ، لأن هذا خارج نطاق هذه المقالة.

في الهندسة ، يتم استخدام حالة خاصة من الإسقاط المتوازي بشكل أساسي - إسقاط عمودي، وهو ما يسمى أيضًا متعامد. في اسم هذا النوع من الإسقاط ، غالبًا ما يتم حذف صفة "عمودي". أي عندما يتحدثون في الهندسة عن إسقاط الشكل على مستو ، فإنهم عادةً ما يعنيون أن هذا الإسقاط تم الحصول عليه باستخدام الإسقاط العمودي (ما لم يُنص على خلاف ذلك بالطبع).

وتجدر الإشارة إلى أن إسقاط الشكل على مستوى ما هو عبارة عن مجموعة من الإسقاطات لجميع نقاط هذا الشكل على مستوى الإسقاط. بمعنى آخر ، من أجل الحصول على إسقاط لشكل معين ، من الضروري أن تكون قادرًا على العثور على إسقاطات نقاط هذا الشكل على مستوى. توضح الفقرة التالية من المقالة كيفية العثور على إسقاط نقطة على مستوى.

إسقاط نقطة على مستوى - تعريف وتوضيح.

نؤكد مرة أخرى أننا سنتحدث عن الإسقاط العمودي لنقطة على مستو.

لنقم بإنشاء تركيبات تساعدنا في تحديد إسقاط نقطة على مستوى.

دعونا في الفضاء ثلاثي الأبعاد لدينا نقطة M 1 ومستوى. لنرسم خطًا مستقيمًا أ يمر بالنقطة م 1 ، عموديًا على المستوى. إذا كانت النقطة M 1 لا تقع في المستوى ، فإننا نشير إلى نقطة تقاطع الخط a والمستوى كـ H 1. وبالتالي ، من خلال البناء ، فإن النقطة H 1 هي قاعدة العمود المتعامد المسقط من النقطة M 1 إلى المستوى.

تعريف.

إسقاط النقطة M 1 على مستوهي النقطة M 1 نفسها ، إذا ، أو النقطة H 1 ، إذا.

التعريف التالي يعادل هذا التعريف لإسقاط نقطة على مستوى.

تعريف.

إسقاط نقطة على مستو- إما أن تكون هذه هي النقطة نفسها ، إذا كانت تقع في مستوى معين ، أو قاعدة العمود العمودي التي تم إسقاطها من هذه النقطة إلى مستوى معين.

في الرسم أدناه ، النقطة H 1 هي إسقاط النقطة M 1 على المستوى ؛ تقع النقطة M 2 في المستوي ، وبالتالي فإن M 2 هو إسقاط النقطة M 2 نفسها على المستوى.

إيجاد إحداثيات إسقاط نقطة على مستو - أمثلة لحل المشكلة.

دع Oxyz يتم تقديمه في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، نقطة والطائرة. لنحدد لأنفسنا المهمة: تحديد إحداثيات إسقاط النقطة M 1 على المستوى.

حل المشكلة يتبع منطقيا من تعريف إسقاط نقطة على المستوى.

قم بالإشارة إلى إسقاط النقطة M 1 على المستوي كـ H 1. بحكم التعريف ، إسقاط نقطة على مستوى ، H 1 هي نقطة تقاطع مستوى معين وخط مستقيم يمر عبر النقطة M 1 عموديًا على المستوى. وبالتالي ، فإن الإحداثيات المرغوبة لإسقاط النقطة M 1 على المستوى هي إحداثيات نقطة تقاطع الخط a والمستوى.

بالتالي، للعثور على إحداثيات الإسقاط لنقطة على متن الطائرة تحتاج:

دعونا ننظر في الأمثلة.

مثال.

ابحث عن إحداثيات الإسقاط لنقطة الى الطائرة .

المحلول.

في حالة المشكلة ، يتم إعطاؤنا معادلة عامة لمستوى النموذج ، لذلك لا يلزم تجميعها.

لنكتب المعادلات الأساسية للخط المستقيم a ، الذي يمر بالنقطة M 1 المتعامدة على المستوى المحدد. للقيام بذلك ، نحصل على إحداثيات متجه التوجيه للخط المستقيم أ. نظرًا لأن الخط a عمودي على المستوى المحدد ، فإن متجه الاتجاه للخط a هو المتجه العادي للمستوى . هذا هو، - توجيه متجه للخط المستقيم أ. يمكننا الآن كتابة المعادلات الأساسية لخط مستقيم في الفراغ يمر بالنقطة ولها متجه اتجاه :
.

للحصول على الإحداثيات المطلوبة لإسقاط نقطة على مستوى ما ، يبقى تحديد إحداثيات نقطة تقاطع الخط. والطائرة . للقيام بذلك ، من المعادلات الأساسية للخط المستقيم ، ننتقل إلى معادلات مستويين متقاطعين ، ونؤلف نظام معادلات والعثور على حلها. نحن نستخدم:

لذا فإن إسقاط النقطة الى الطائرة إحداثيات.

إجابه:

مثال.

في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، النقاط و . أوجد إحداثيات إسقاط النقطة م 1 على المستوى أ ب ج.

المحلول.

لنكتب أولاً معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط معينة:

لكن دعونا نلقي نظرة على نهج بديل.

لنحصل على المعادلات البارامترية للخط المستقيم أ الذي يمر بالنقطة وعمودي على المستوى ABC. المتجه العادي للمستوى له إحداثيات ، وبالتالي ، المتجه هو متجه اتجاه الخط أ. يمكننا الآن كتابة المعادلات البارامترية لخط مستقيم في الفراغ ، لأننا نعرف إحداثيات نقطة على خط مستقيم ( ) وإحداثيات متجه الاتجاه ( ):

يبقى تحديد إحداثيات نقطة تقاطع الخط والطائرات. للقيام بذلك ، نعوض في معادلة المستوى:
.

الآن بواسطة المعادلات البارامترية احسب قيم المتغيرات x و y و z في:
.

وبالتالي ، فإن إسقاط النقطة M 1 على المستوى ABC له إحداثيات.

إجابه:

في الختام ، دعونا نناقش إيجاد إحداثيات إسقاط نقطة ما على مستويات الإحداثيات والمستويات الموازية لمستويات الإحداثيات.

توقعات نقطة بالنسبة لمستويات الإحداثيات ، فإن Oxy و Oxz و Oyz هي النقاط ذات الإحداثيات وفي المقابل. وتوقعات هذه النقطة على متن الطائرة و ، الموازية لمستويات الإحداثيات Oxy و Oxz و Oyz على التوالي ، هي نقاط ذات إحداثيات و .

دعونا نظهر كيف تم الحصول على هذه النتائج.

على سبيل المثال ، لنجد إسقاط نقطة على متن الطائرة (الحالات الأخرى مشابهة لهذا).

هذا المستوى موازي لمستوى الإحداثيات Oyz وهو متجه عادي. المتجه هو متجه الاتجاه للخط العمودي على مستوى Oyz. ثم المعادلات البارامترية للخط المستقيم المار بالنقطة M 1 المتعامدة على المستوى المحدد لها الشكل.

أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الخط والمستوى. للقيام بذلك ، نستبدل أولاً معادلة المساواة: ، وإسقاط النقطة

بوغروف يس ، نيكولسكي إس إم. الرياضيات العليا. المجلد الأول: عناصر الجبر الخطي والهندسة التحليلية.

Ilyin V.A.، Poznyak E.G. الهندسة التحليلية.

النقطة ، كمفهوم رياضي ، ليس لها أبعاد. من الواضح أنه إذا كان هدف الإسقاط عبارة عن جسم خالي من الأبعاد ، فلا معنى للحديث عن إسقاطه.

الشكل 9 الشكل 10

في الهندسة تحت نقطة ما ، يُنصح بأخذ جسم مادي له أبعاد خطية. تقليديًا ، يمكن اعتبار كرة ذات نصف قطر صغير جدًا كنقطة. مع هذا التفسير لمفهوم النقطة ، يمكننا التحدث عن توقعاتها.

عند إنشاء الإسقاطات المتعامدة لنقطة ما ، يجب أن يسترشد المرء بالخاصية الثابتة الأولى للإسقاط المتعامد: الإسقاط المتعامد لنقطة هو نقطة.

يتم تحديد موضع نقطة في الفضاء بثلاثة إحداثيات: X ، Y ، Z ،عرض المسافات التي تمت إزالة النقطة عندها من مستويات الإسقاط. لتحديد هذه المسافات ، يكفي تحديد نقاط التقاء هذه الخطوط مع مستويات الإسقاط وقياس القيم المقابلة ، والتي ستشير إلى قيم الإحداثي ، على التوالي. X، إحداثيات صويزين ضنقاط (الشكل 10).

إسقاط نقطة هو قاعدة العمود المتعامد المسقط من النقطة إلى مستوى الإسقاط المقابل. الإسقاط الأفقينقاط أاستدعاء الإسقاط المستطيل لنقطة على المستوى الأفقي للإسقاطات ، الإسقاط الأمامي أ /- على التوالي على المستوى الأمامي من الإسقاطات و الملف الشخصي أ // -على مستوى إسقاط الملف الشخصي.

مباشر أأ ، أأ /و أأ //تسمى خطوط الإسقاط. في نفس الوقت ، مباشر آه،نقطة الإسقاط لكنعلى المستوى الأفقي من الإسقاطات ، تسمى خط الإسقاط أفقيًا ، А /و أأ //- على التوالى: أمامياو إبراز الخطوط المستقيمة.

خطان إسقاط يمران عبر نقطة لكنتحديد المستوى الذي يسمى إسقاط.

عند تحويل التخطيط المكاني ، فإن الإسقاط الأمامي للنقطة أ - أ /تظل في مكانها على أنها تنتمي إلى مستوى لا يغير موقعها في ظل التحول المدروس. الإسقاط الأفقي - أجنبًا إلى جنب مع مستوى الإسقاط الأفقي سوف يتحول في اتجاه حركة عقارب الساعة وسيتم وضعه على عمود عمودي على المحور Xمع الإسقاط الأمامي. إسقاط الملف الشخصي - أ //ستدور مع مستوى الملف الشخصي وبحلول نهاية التحويل ستأخذ الموضع الموضح في الشكل 10. وفي نفس الوقت - أ //سيكون عموديًا على المحور ضمستمدة من هذه النقطة أ /وستتم إزالته من المحور ضنفس مسافة الإسقاط الأفقي أبعيدا عن المحور X. لذلك ، يمكن إنشاء الاتصال بين الإسقاطات الأفقية والملف الشخصي لنقطة ما باستخدام مقطعين متعامدين أأ ذو a y a //وقوس تصريف لدائرة متمركزة عند نقطة تقاطع المحاور ( ا- الأصل). يتم استخدام الاتصال المحدد للعثور على الإسقاط المفقود (لاثنين معينين). يمكن العثور على موضع الإسقاط الجانبي (الأفقي) وفقًا للإسقاطات الأفقية والأمامية المحددة باستخدام خط مستقيم مرسوم بزاوية 45 0 من الأصل إلى المحور ص(يسمى هذا المنصف بالخط المستقيم) كهو ثابت مونج). يفضل استخدام الطريقة الأولى لأنها أكثر دقة.

وبالتالي:

1. تمت إزالة نقطة في الفضاء:

من المستوى الأفقي ح Z ،

من الطائرة الأمامية الخامسبقيمة الإحداثي المحدد نعم ،

من الطائرة الشخصية دبليوحسب قيمة الإحداثي. x.

2. ينتمي إسقاطان لأي نقطة إلى نفس العمود العمودي (خط اتصال واحد):

أفقي وأمامي - عمودي على المحور س ،

أفقي وملف جانبي - عمودي على المحور Y ،

أمامي وملف جانبي - عمودي على المحور Z.

3. يتم تحديد موضع نقطة في الفضاء تمامًا من خلال موضع نتائجهما المتعامدين. وبالتالي - من أي إسقاطين متعامدين معينين لنقطة ما ، من الممكن دائمًا بناء الإسقاط الثالث المفقود.

إذا كان للنقطة ثلاثة إحداثيات محددة ، فسيتم استدعاء هذه النقطة نقطة في الموقف العام.إذا كانت النقطة تحتوي على إحداثيات واحد أو اثنين يساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه النقطة نقطة الموقف الخاص.

أرز. 11 تين. 12

يوضح الشكل 11 رسمًا مكانيًا لنقاط موضع معين ، ويوضح الشكل 12 رسمًا معقدًا (مخططات) لهذه النقاط. نقطة لكنينتمي إلى مستوى الإسقاط الأمامي ، النقطة في- المستوى الأفقي من الإسقاطات ، نقطة من- المستوى الشخصي للإسقاطات والنقطة د- محور الحد الأقصى ( X).

الخط المساعد للرسم المتعدد

في الرسم الموضح في الشكل. 4.7 ، أ،يتم رسم محاور الإسقاط ، ويتم ربط الصور ببعضها البعض عن طريق خطوط الاتصال. يتم توصيل الإسقاطات الأفقية والملف الشخصي عن طريق خطوط الاتصال باستخدام أقواس متمركزة في نقطة ما اتقاطعات المحور. ومع ذلك ، في الممارسة العملية ، يتم أيضًا استخدام تطبيق آخر للرسم المتكامل.

في الرسومات بدون محور ، يتم وضع الصور أيضًا في علاقة إسقاط. ومع ذلك ، يمكن وضع الإسقاط الثالث بالقرب أو بعيدًا. على سبيل المثال ، يمكن وضع إسقاط ملف تعريف إلى اليمين (الشكل 4.7 ، ب ، ثانيا) أو إلى اليسار (الشكل 4.7 ، ب ، أنا). هذا مهم لتوفير المساحة وسهولة التحجيم.

أرز. 4.7

إذا كان الرسم الذي تم إجراؤه وفقًا لنظام بدون محور يتطلب رسم خطوط اتصال بين المنظر العلوي والرؤية اليسرى ، فسيتم استخدام خط مستقيم إضافي للرسم المعقد. للقيام بذلك ، تقريبًا عند مستوى المنظر العلوي وإلى اليمين قليلاً ، يتم رسم خط مستقيم بزاوية 45 درجة لإطار الرسم (الشكل 4.8 ، أ). يطلق عليه الخط الإضافي للرسم المعقد. يوضح الشكل إجراء إنشاء رسم باستخدام هذا الخط المستقيم. 4.8 ، ب ، ج.

إذا تم بالفعل بناء ثلاث طرق عرض (الشكل 4.8 ، د) ، فلا يمكن اختيار موضع الخط الإضافي بشكل تعسفي. تحتاج أولاً إلى إيجاد النقطة التي ستمر من خلالها. للقيام بذلك ، يكفي الاستمرار حتى التقاطع المتبادل لمحور تناظر الإسقاطات الأفقية والملف الشخصي ومن خلال النقطة الناتجة كارسم مقطعًا مستقيماً بزاوية 45 درجة (الشكل 4.8 ، د). إذا لم يكن هناك محاور للتماثل ، فاستمر حتى التقاطع عند النقطة ك 1 الإسقاطات الأفقية والملف الجانبي لأي وجه مسقط كخط مستقيم (الشكل 4.8 ، د).

أرز. 4.8

تنشأ الحاجة إلى رسم خطوط الاتصال ، وبالتالي ، خط مستقيم إضافي ، عند إنشاء الإسقاطات المفقودة وعند تنفيذ الرسومات التي من الضروري تحديد إسقاطات النقاط عليها لتوضيح توقعات العناصر الفردية للجزء.

يتم إعطاء أمثلة على استخدام السطر الإضافي في الفقرة التالية.

إسقاطات لنقطة ملقاة على سطح جسم ما

من أجل إنشاء إسقاطات للعناصر الفردية للجزء بشكل صحيح عند عمل الرسومات ، من الضروري أن تكون قادرًا على العثور على إسقاطات للنقاط الفردية على جميع صور الرسم. على سبيل المثال ، من الصعب رسم إسقاط أفقي للجزء الموضح في الشكل. 4.9 دون استخدام توقعات النقاط الفردية ( أ ، ب ، ج ، د ، هـوإلخ.). القدرة على العثور على جميع إسقاطات النقاط والحواف والوجوه ضرورية أيضًا لإعادة تكوين شكل كائن في الخيال وفقًا لصوره المسطحة في الرسم ، وكذلك للتحقق من صحة الرسم المكتمل.

أرز. 4.9

دعونا نفكر في طرق إيجاد الإسقاطين الثاني والثالث لنقطة على سطح جسم ما.

إذا تم تقديم إسقاط واحد لنقطة في رسم كائن ، فمن الضروري أولاً العثور على إسقاطات السطح الذي توجد عليه هذه النقطة. ثم اختر إحدى الطريقتين الموصوفتين أدناه لحل المشكلة.

اول طريق

تُستخدم هذه الطريقة عندما يُظهر أحد الإسقاطات على الأقل السطح المحدد كخط.

على التين. 4.10 ، أتظهر أسطوانة على الإسقاط الأمامي الذي تم ضبط الإسقاط عليها أ"نقاط لكن،ملقاة على الجزء المرئي من سطحه (يتم تمييز الإسقاطات بدوائر ملونة مزدوجة). للعثور على الإسقاط الأفقي لنقطة لكن،يجادلون على النحو التالي: النقطة تقع على سطح الأسطوانة ، الإسقاط الأفقي الذي هو عبارة عن دائرة. هذا يعني أن إسقاط نقطة على هذا السطح سوف يقع أيضًا على الدائرة. ارسم خط اتصال وحدد النقطة المطلوبة عند تقاطعها مع الدائرة أ.الإسقاط الثالث أ"

أرز. 4.10.

إذا كانت النقطة في،مستلقية على القاعدة العلوية للأسطوانة ، نتيجة الإسقاط الأفقي لها ب،ثم يتم رسم خطوط الاتصال إلى التقاطع مع مقاطع الخط المستقيم التي تصور الإسقاطات الأمامية والملف التعريفية للقاعدة العلوية للأسطوانة.

على التين. 4.10 ، ب يوضح التفاصيل - التركيز. لبناء توقعات نقطة لكن،من خلال الإسقاط الأفقي أ،ابحث عن إسقاطين آخرين للوجه العلوي (الذي تقع عليه النقطة لكن) ورسم خطوط الاتصال على التقاطع مع مقاطع الخط التي تصور هذا الوجه ، وتحديد الإسقاطات المرغوبة - النقاط أ"و أ".نقطة فيتقع على الجانب الأيسر من الوجه الرأسي ، مما يعني أن نتوءاتها ستقع أيضًا على نتوءات هذا الوجه. لذلك من نقطة معينة ب"ارسم خطوط اتصال (كما هو موضح بالسهام) حتى تتلاقى مع مقاطع خطية تصور هذا الوجه. الإسقاط الأمامي مع"نقاط من،تم العثور على الاستلقاء على وجه مائل (في الفضاء) على الخط الذي يصور هذا الوجه والملف الشخصي مع"- عند تقاطع خط الاتصال ، نظرًا لأن إسقاط الملف الشخصي لهذا الوجه ليس خطًا ، ولكنه شكل. بناء إسقاطات النقاط دمبين بالسهام.

الطريقة الثانية

تُستخدم هذه الطريقة عندما لا يمكن استخدام الطريقة الأولى. ثم عليك أن تفعل هذا:

• رسم من خلال الإسقاط المعين للنقطة إسقاط الخط الإضافي الموجود على السطح المحدد ؛
• ابحث عن الإسقاط الثاني لهذا الخط ؛
• إلى الإسقاط الموجود للخط ، انقل الإسقاط المعين للنقطة (سيحدد هذا الإسقاط الثاني للنقطة) ؛
• ابحث عن الإسقاط الثالث (إذا لزم الأمر) عند تقاطع خطوط الاتصال.

على التين. 4.10 ، الإسقاط الأمامي معطى أ"نقاط لكن،ملقاة على الجزء المرئي من سطح المخروط. للعثور على الإسقاط الأفقي من خلال نقطة أ"قم بإسقاط أمامي لخط مستقيم إضافي يمر عبر النقطة لكنوقمة المخروط. احصل على نقطة الخامسهو إسقاط نقطة التقاء الخط المرسوم مع قاعدة المخروط. بوجود إسقاطات أمامية للنقاط تقع على خط مستقيم ، يمكن للمرء أن يجد إسقاطاتها الأفقية. الإسقاط الأفقي سالجزء العلوي من المخروط معروف. نقطة بتقع على محيط القاعدة. يتم رسم قطعة خطية من خلال هذه النقاط ويتم نقل نقطة إليها (كما هو موضح بالسهم). أ"،الحصول على نقطة أ.الإسقاط الثالث أ"نقاط لكنتقع على مفترق الطرق.

يمكن حل نفس المشكلة بشكل مختلف (الشكل 4.10 ، جي).

كخط مساعد يمر عبر نقطة لكن،لا يأخذون خطاً مستقيماً ، كما في الحالة الأولى ، بل يأخذون دائرة. تتشكل هذه الدائرة إذا كانت عند النقطة لكنيتقاطع المخروط مع المستوى الموازي للقاعدة ، كما هو موضح في التمثيل المرئي. سيتم تصوير الإسقاط الأمامي لهذه الدائرة على أنه جزء من خط مستقيم ، لأن مستوى الدائرة متعامد مع مستوى الإسقاط الأمامي. الإسقاط الأفقي لدائرة له قطر يساوي طول هذا الجزء. لوصف دائرة من القطر المحدد ، ارسم من نقطة أ"خط الاتصال بالتقاطع مع الدائرة المساعدة منذ الإسقاط الأفقي أنقاط لكنيقع على الخط المساعد ، أي على الدائرة المركبة. الإسقاط الثالث كما"نقاط لكنوجدت عند تقاطع خطوط الاتصال.

بنفس الطريقة ، يمكنك إيجاد إسقاطات لنقطة ملقاة على سطح ، على سبيل المثال ، هرم. سيكون الاختلاف هو أنه عندما يتم عبوره بواسطة مستوى أفقي ، لا يتم تشكيل دائرة ، ولكن شكل مماثل للقاعدة.

الأهداف:

• دراسة قواعد بناء إسقاطات النقاط على سطح الشيء وقراءة الرسومات.
• تطوير التفكير المكاني ، والقدرة على تحليل الشكل الهندسي للكائن.
• لزراعة الاجتهاد والقدرة على التعاون عند العمل في مجموعات والاهتمام بالموضوع.

خلال الفصول

أنا المرحلة. تحفيز أنشطة التعلم.

المرحلة الثانية. تكوين المعارف والمهارات والمهارات.

وقفة موفرة للصحة. انعكاس (مزاج)

المرحلة الثالثة. العمل الفردي.

أنا المرحلة. تحفيز أنشطة التعلم

1) معلم:تحقق من مكان عملك ، هل كل شيء في مكانه؟ هل الجميع مستعد للذهاب؟

تنفس بعمق ، امسك التنفس على العادم ، طرد.

حدد حالتك المزاجية في بداية الدرس وفقًا للمخطط (مثل هذا المخطط مطروح على الطاولة للجميع)

أتمنى لك الحظ الجيد.

2)المعلم: عمل عملي حول موضوع "أظهرت إسقاطات الرؤوس والحواف والوجوه أن هناك أشخاصًا يرتكبون أخطاء عند العرض. يختلط عليهم الأمر أي من النقطتين المطابقتين في الرسم هو الرأس المرئي وأيهما غير مرئي ؛ عندما تكون الحافة موازية للمستوى ، ومتعامدة. نفس الشيء مع الحواف.

لتجنب تكرار الأخطاء ، قم بإنجاز المهام اللازمة باستخدام البطاقة الاستشارية وتصحيح الأخطاء في العمل العملي (باليد). وتذكر أثناء عملك:

"يمكن لأي شخص ارتكاب الأخطاء ، البقاء في خطئه - فقط الجنون".

وأولئك الذين أتقنوا الموضوع جيدًا سيعملون في مجموعات ذات مهام إبداعية (انظر. المرفقات 1 ).

المرحلة الثانية. تكوين المعارف والمهارات والمهارات

1)معلم:في الإنتاج ، هناك العديد من الأجزاء التي ترتبط ببعضها البعض بطريقة معينة.
فمثلا:
غطاء سطح المكتب متصل بالأعمدة الرأسية. انتبه للجدول الذي أنت عليه ، وكيف وبأي غطاء وأرفف متصلة ببعضها البعض؟

إجابه:بولت.

معلم:ما هو المطلوب للمسمار؟

إجابه:الفجوة.

معلم:حقًا. ولكي تصنع ثقبًا ، فأنت بحاجة إلى معرفة موقعه على المنتج. عند صنع طاولة ، لا يستطيع النجار الاتصال بالعميل في كل مرة. اذن ما هي الحاجة لتوفير نجار؟

إجابه:رسم.

معلم:رسم!؟ ماذا نسمي الرسم؟

إجابه:الرسم هو صورة لكائن بإسقاطات مستطيلة في وصلة إسقاط. وفقًا للرسم ، يمكنك تمثيل الشكل الهندسي وتصميم المنتج.

معلم:لقد أكملنا الإسقاطات المستطيلة ، وبعد ذلك؟ هل سنتمكن من تحديد موقع الثقوب من نتوء واحد؟ ما الذي نحتاج إلى معرفته أيضًا؟ ماذا تتعلم؟

إجابه:بناء النقاط. ابحث عن توقعات لهذه النقاط في جميع وجهات النظر.

معلم:أحسنت! هذا هو الغرض من الدرس والموضوع: بناء إسقاطات من النقاط على سطح الجسم.اكتب موضوع الدرس في دفتر ملاحظاتك.
نعلم أنت وأنا أن أي نقطة أو جزء على صورة كائن ما هو إسقاط لرأس أو حافة أو وجه ، أي كل عرض هو صورة ليست من جانب واحد (عرض الفصل ، المنظر العلوي ، المنظر الأيسر) ، ولكن من الكائن بأكمله.
من أجل العثور بشكل صحيح على إسقاطات النقاط الفردية الملقاة على الوجوه ، يجب أولاً العثور على إسقاطات هذا الوجه ، ثم استخدام خطوط الاتصال للعثور على إسقاطات النقاط.

(ننظر إلى الرسم على السبورة ، ونعمل في دفتر ملاحظات حيث يتم عمل 3 إسقاطات من نفس الجزء في المنزل).

- فتح دفتر برسم مكتمل (شرح لتكوين النقاط على سطح كائن مع وجود أسئلة إرشادية على السبورة ، ويقوم الطلاب بإصلاحها في دفتر ملاحظات.)

معلم:ضع في اعتبارك نقطة في. ما هو المستوى الموازي للوجه مع هذه النقطة؟

إجابه:الوجه موازٍ للمستوى الأمامي.

معلم:وضعنا إسقاط نقطة ب' في الإسقاط الأمامي. ارسم من النقطة ب' خط اتصال عمودي للإسقاط الأفقي. أين سيكون الإسقاط الأفقي للنقطة؟ في?

إجابه:عند التقاطع مع الإسقاط الأفقي للوجه الذي تم إسقاطه في الحافة. ويقع في أسفل الإسقاط (عرض).

معلم:إسقاط ملف تعريف النقطة ب'' حيث سيقع عليه؟ كيف سنجدها؟

إجابه:عند تقاطع خط الاتصال الأفقي من ب' بحافة عمودية على اليمين. هذه الحافة هي إسقاط الوجه بنقطة في.

أولئك الذين يرغبون في إنشاء المشروع التالي للنقطة يتم استدعاءهم إلى المجلس.

معلم:توقعات نقطة لكنتوجد أيضًا باستخدام خطوط الاتصال. أي مستوى يوازي الحافة بنقطة لكن?

إجابه:الوجه موازٍ لمستوى الملف الشخصي. وضعنا نقطة على إسقاط الملف الشخصي أ'' .

معلم:على أي نتوء يظهر الوجه على الحافة؟

إجابه:في الأمام والأفقي. لنرسم خط اتصال أفقي للتقاطع مع حافة عمودية على اليسار من الإسقاط الأمامي ، نحصل على نقطة أ' .

معلم:كيف تجد إسقاط نقطة لكنعلى إسقاط أفقي؟ بعد كل شيء ، خطوط الاتصال من إسقاط النقاط أ' و أ'' لا تتقاطع مع إسقاط الوجه (الحافة) على الإسقاط الأفقي على اليسار. ما الذي يمكن أن يساعدنا؟

إجابه:يمكنك استخدام خط مستقيم ثابت (يحدد موضع العرض على اليسار) من أ'' ارسم خط اتصال رأسي حتى يتقاطع مع خط مستقيم ثابت. من نقطة التقاطع ، يتم رسم خط اتصال أفقي ، حتى يتقاطع مع حافة عمودية على اليسار. (هذا هو الوجه بالنقطة أ) ويشير إلى الإسقاط بنقطة أ .

2) معلم:كل شخص لديه بطاقة مهام على المنضدة ، مرفقة بورقة تتبع. ضع في اعتبارك الرسم ، جرب الآن بنفسك ، دون إعادة رسم الإسقاطات ، للعثور على الإسقاطات المعطاة للنقاط على الرسم.

- تجد في الكتاب المدرسي ص 76 شكل. 93. اختبر نفسك. من كان أداؤه صحيحًا - النتيجة "5" ؛ خطأ واحد - "4" ؛ اثنان - "3".

(يتم تحديد الدرجات من قبل الطلاب أنفسهم في ورقة ضبط النفس).

- جمع بطاقات للاختبار.

3)مجموعة عمل:لفترة محدودة: 4 دقائق. + 2 دقيقة. الفحوصات. (يتم الجمع بين مكتبين مع الطلاب ، ويتم اختيار قائد داخل المجموعة).

لكل مجموعة ، يتم توزيع المهام على 3 مستويات. يختار الطلاب المهام حسب المستويات (كما يحلو لهم). حل مشاكل بناء النقاط. ناقش البناء تحت إشراف القائد. ثم يتم عرض الإجابة الصحيحة على السبورة بمساعدة منظار الشفرة. يتحقق الجميع من أن النقاط مسقطة بشكل صحيح. بمساعدة قائد المجموعة ، يتم إعطاء الدرجات في الواجبات وفي أوراق ضبط النفس (انظر. الملحق 2 و الملحق 3 ).

وقفة موفرة للصحة. انعكاس

"وضعية فرعون"- اجلس على حافة كرسي ، وقم بتصويب ظهرك ، وثني ذراعيك عند المرفقين ، وعبر ساقيك وضع أصابع قدميك. يستنشق ، شد جميع عضلات الجسم أثناء حبس النفس ، والزفير. افعل 2-3 مرات. أغمض عينيك بإحكام ، إلى النجوم ، افتح. حدد حالتك المزاجية.

المرحلة الثالثة. الجزء العملي. (المهام الفردية)

هناك بطاقات مهام للاختيار من بينها بمستويات مختلفة. يختار الطلاب خيارهم الخاص. ابحث عن إسقاطات للنقاط على سطح جسم ما. يتم تسليم الأعمال وتقييمها للدرس التالي. (سم. الملحق 4 , الملحق 5 , الملحق 6 ).

المرحلة الرابعة. نهائي

1) واجب منزلي. (تعليمات).يؤديها المستويات:

ب- الفهم على "3". التمرين 1 94 أ ، ص 77 - وفقًا للتخصيص في الكتاب المدرسي: أكمل إسقاطات النقاط المفقودة في هذه الإسقاطات.

ب - تطبيق على "4". تمرين 1 الشكل 94 أ ، ب. أكمل الإسقاطات المفقودة وحدد الرؤوس على الصورة المرئية في 94 أ و 94 ب.

أ- تحليل رقم "5". (زيادة الصعوبة.)السابق. 4 شكل 97 - أنشئ إسقاطات مفقودة للنقاط وقم بتعيينها بأحرف. لا توجد صورة مرئية.

2)التحليل الانعكاسي.

1. حدد الحالة المزاجية في نهاية الدرس ، وقم بتمييزها على ورقة ضبط النفس بأي علامة.
2. ما الجديد الذي تعلمته في الدرس اليوم؟
3. ما هو شكل العمل الأكثر فاعلية بالنسبة لك: جماعي ، فردي ، وهل ترغب في تكراره في الدرس التالي؟
4. اجمع قوائم المراجعة.

3)"المعلم الخطأ"

معلم:لقد تعلمت كيفية بناء إسقاطات للرؤوس والحواف والوجوه والنقاط على سطح كائن ما ، باتباع جميع قواعد البناء. لكن هنا تم إعطاؤك رسمًا ، حيث توجد أخطاء. جرب نفسك الآن كمدرس. ابحث عن الأخطاء بنفسك ، إذا وجدت جميع الأخطاء من 8 إلى 6 ، فإن النتيجة هي "5" ، على التوالي ؛ 5–4 أخطاء - "4" ، 3 أخطاء - "3".

الإجابات:

ضع في اعتبارك مستوى ملف تعريف الإسقاطات. عادة ما تحدد الإسقاطات على مستويين متعامدين موضع الشكل وتجعل من الممكن معرفة أبعاده وشكله الحقيقيين. ولكن هناك أوقات لا يكفي فيها توقعان. ثم قم بتطبيق بناء الإسقاط الثالث.

يتم تنفيذ مستوى الإسقاط الثالث بحيث يكون عموديًا على كلا مستويي الإسقاط في نفس الوقت (الشكل 15). الطائرة الثالثة تسمى الملف الشخصي.

في مثل هذه الإنشاءات ، يتم استدعاء الخط المشترك للمستويات الأفقية والأمامية محور X ، الخط المشترك للطائرات الأفقية والملف الشخصي - محور في ، والخط المستقيم المشترك للطائرات الأمامية والملف الجانبي - محور ض . نقطة ا، التي تنتمي إلى جميع المستويات الثلاثة ، تسمى نقطة الأصل.

يوضح الشكل 15 أ النقطة لكنوثلاثة من توقعاتها. الإسقاط على مستوى ملف التعريف ( أ) وتسمى إسقاط الملف الشخصيوالدلالة أ.

للحصول على رسم تخطيطي للنقطة أ ، والذي يتكون من ثلاثة إسقاطات أ ، أ، من الضروري قطع ثلاثي السطوح المكون من جميع الطائرات على طول المحور y (الشكل 15 ب) ودمج كل هذه المستويات مع مستوى الإسقاط الأمامي. يجب تدوير المستوى الأفقي حول المحور X، ومستوى ملف التعريف بالقرب من المحور ضفي الاتجاه المشار إليه بالسهم في الشكل 15.

يوضح الشكل 16 موضع الإسقاطات أ ، أو أنقاط لكن، التي تم الحصول عليها نتيجة الجمع بين جميع المستويات الثلاثة مع مستوى الرسم.

نتيجة للقطع ، يظهر المحور الصادي على الرسم التخطيطي في مكانين مختلفين. على مستوى أفقي (الشكل 16) ، يأخذ وضعًا رأسيًا (عموديًا على المحور X) ، وعلى مستوى ملف التعريف - أفقي (عمودي على المحور ض).

يوضح الشكل 16 ثلاثة توقعات أ ، أو أالنقاط A لها موقع محدد بدقة على الرسم البياني وتخضع لشروط لا لبس فيها:

أو أيجب أن يكون موجودًا دائمًا على خط مستقيم رأسي واحد متعامد مع المحور X;

أو أيجب أن يكون موجودًا دائمًا على نفس الخط الأفقي العمودي على المحور ض;

3) عند الرسم من خلال إسقاط أفقي وخط أفقي ، ولكن من خلال إسقاط جانبي أ- خط مستقيم رأسي ، ستتقاطع الخطوط المنشأة بالضرورة على منصف الزاوية بين محاور الإسقاط ، منذ الشكل Oaفي أ 0 أن مربع.

عند إنشاء ثلاثة إسقاطات لنقطة ما ، من الضروري التحقق من استيفاء الشروط الثلاثة لكل نقطة.

إحداثيات النقطة

يمكن تحديد موضع نقطة في الفضاء باستخدام ثلاثة أرقام تسمى هذه إحداثيات. كل إحداثي يتوافق مع مسافة نقطة من مستوى الإسقاط.

مسافة النقطة لكنإلى مستوى الملف الشخصي هو الإحداثيات X، حيث X = أ(الشكل 15) ، المسافة إلى المستوى الأمامي - بالإحداثيات y ، و y = أأ، والمسافة إلى المستوى الأفقي هي الإحداثي ض، حيث ض = أ.

في الشكل 15 ، تحتل النقطة A عرض مربع مستطيل ، وتتوافق قياسات هذا المربع مع إحداثيات هذه النقطة ، أي أن كل إحداثيات معروضة في الشكل 15 أربع مرات ، أي:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á ؛

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝ ؛

z = aA = Oa z = a x a ′ = a y a˝.

على الرسم البياني (الشكل 16) ، تحدث إحداثيات x و z ثلاث مرات:

x \ u003d a z a ́ \ u003d Oa x \ u003d a y a،

z = a x á = Oa z = a y a˝.

جميع الأجزاء التي تتوافق مع الإحداثيات X(أو ض) متوازية مع بعضها البعض. تنسيق فيممثلة مرتين بالمحور العمودي:

ص \ u003d Oa y \ u003d أ س أ

ومرتين - أفقيًا:

y \ u003d Oa y \ u003d a z a˝.

ظهر هذا الاختلاف بسبب حقيقة أن المحور y موجود على الرسم التخطيطي في موضعين مختلفين.

وتجدر الإشارة إلى أن موضع كل إسقاط يتحدد على الرسم البياني بإحداثيتين فقط وهما:

1) الإحداثيات الأفقية Xو في,

2) أمامي - إحداثيات xو ض,

3) الملف الشخصي - الإحداثيات فيو ض.

باستخدام الإحداثيات س ، صو ض، يمكنك بناء إسقاطات لنقطة على الرسم التخطيطي.

إذا أعطيت النقطة A بواسطة الإحداثيات ، يتم تحديد سجلها على النحو التالي: A ( X ؛ ذ ؛ ض).

عند إنشاء إسقاطات النقطة لكنيجب التحقق من الشروط التالية:

1) الإسقاطات الأفقية والأمامية أو أ X X;

2) الإسقاطات الأمامية والملف الجانبي أو أيجب أن يكون موجودا على نفس عمودي على المحور ض، لأن لديهم تنسيقًا مشتركًا ض;

3) الإسقاط الأفقي وإزالته من المحور X، مثل إسقاط الملف الشخصي أبعيدا عن المحور ض، حيث أن الإسقاطين a ′ و a˝ لهما إحداثيات مشتركة في.

إذا كانت النقطة تقع في أي من مستويات الإسقاط ، فإن أحد إحداثياتها يساوي صفرًا.

عندما تقع نقطة على محور الإسقاط ، يكون إحداثياها صفرًا.

إذا كانت نقطة ما تقع في نقطة الأصل ، فإن إحداثياتها الثلاثة كلها تساوي صفرًا.

إسقاط خط مستقيم

هناك حاجة إلى نقطتين لتحديد الخط. يتم تحديد النقطة من خلال إسقاطين على المستويين الأفقي والأمامي ، أي يتم تحديد خط مستقيم باستخدام إسقاط نقطتيه على المستويين الأفقي والأمامي.

يوضح الشكل 17 التوقعات ( أو أ ، بو ب) نقطتان لكنوب. بمساعدتهم ، موقف بعض الخطوط المستقيمة AB. عند توصيل الإسقاطات التي تحمل نفس الاسم لهذه النقاط (أي أو ب ، أو ب) يمكنك الحصول على توقعات أبو أبمباشر AB.

يوضح الشكل 18 إسقاطات كلتا النقطتين ، ويوضح الشكل 19 إسقاطات خط مستقيم يمر عبرهما.

إذا تم تحديد إسقاطات الخط المستقيم من خلال إسقاط نقطتيه ، فسيتم الإشارة إليها بحرفين لاتينيين متجاورين يقابلان تسميات إسقاطات النقاط المأخوذة على الخط المستقيم: مع السكتات الدماغية للإشارة إلى الإسقاط الأمامي للخط المستقيم. خط مستقيم أو بدون حدود - للإسقاط الأفقي.

إذا لم نأخذ في الاعتبار النقاط الفردية للخط المستقيم ، ولكن توقعاته ككل ، فسيتم الإشارة إلى هذه الإسقاطات بالأرقام.

إذا كانت هناك نقطة منتقع على خط مستقيم AB، توقعاتها с و с́ على إسقاطات نفس الخط أبو أب. يوضح الشكل 19 هذا الموقف.

آثار مستقيمة

تتبع مباشرة- هذه هي نقطة تقاطعها مع مستوى أو سطح ما (الشكل 20).

المسار الأفقي مستقيمنقطة ما تسمى ححيث يلتقي الخط مع المستوى الأفقي ، و أمامي- نقطة الخامس، حيث يلتقي هذا الخط المستقيم مع المستوى الأمامي (الشكل 20).

يوضح الشكل 21 أ التتبع الأفقي للخط المستقيم ، والتتبع الأمامي ، في الشكل 21 ب.

في بعض الأحيان ، يُنظر أيضًا في أثر ملف تعريف الخط المستقيم ، دبليو- نقطة تقاطع خط مستقيم مع مستوى جانبي.

التتبع الأفقي في المستوى الأفقي ، أي الإسقاط الأفقي حيتزامن مع هذا الأثر ، والجبهة حتقع على المحور السيني. يقع التتبع الأمامي في المستوى الأمامي ، لذا فإن إسقاطه الأمامي ν́ يتطابق معه ، ويقع الاتجاه الأفقي v على المحور x.

لذا، ح = ح، و الخامس= v. لذلك ، للإشارة إلى آثار خط مستقيم ، يمكن استخدام الأحرف حو v.

مواقف مختلفة من الخط

يسمى الخط المستقيم الموقف العام المباشر، إذا لم تكن موازية أو متعامدة مع أي من مستويات الإسقاط. كما أن إسقاطات الخط في الوضع العام ليست موازية أو متعامدة مع محاور الإسقاط.

خطوط مستقيمة موازية لأحد مستويات الإسقاط (عمودي على أحد المحاور).يوضح الشكل 22 الخط المستقيم الموازي للمستوى الأفقي (العمودي على المحور z) ، وهو خط مستقيم أفقي ؛ يوضح الشكل 23 خطًا مستقيمًا يوازي المستوى الأمامي (عموديًا على المحور في) ، هو الخط الأمامي المستقيم ؛ يوضح الشكل 24 خطًا مستقيمًا موازيًا لمستوى الملف الشخصي (عموديًا على المحور X) ، هو خط مستقيم للملف الشخصي. على الرغم من أن كل من هذه الخطوط تشكل زاوية قائمة مع أحد المحاور ، إلا أنها لا تتقاطع معها ، ولكنها تتقاطع معها فقط.

نظرًا لحقيقة أن الخط الأفقي (الشكل 22) موازٍ للمستوى الأفقي ، فإن إسقاطاته الأمامية والملف الشخصي ستكون موازية للمحاور التي تحدد المستوى الأفقي ، أي المحاور Xو في. لذلك التوقعات أب|| Xو a˝b˝|| في ض. يمكن للإسقاط الأفقي ab أن يتخذ أي موضع على قطعة الأرض.

في خط الجبهة (الشكل 23) الإسقاط أب|| x و a˝b˝ || ض، أي أنها عمودية على المحور في، وبالتالي في هذه الحالة الإسقاط الأمامي أبيمكن أن يتخذ الخط أي موقف.

على خط الملف الشخصي (الشكل 24) أب|| ذ ، أب|| ض، وكلاهما عمودي على المحور x. تنبؤ a˝b˝يمكن وضعها على الرسم البياني بأي شكل من الأشكال.

عند التفكير في المستوى الذي يُسقط الخط الأفقي على المستوى الأمامي (الشكل 22) ، يمكنك أن ترى أنه يُسقط هذا الخط على مستوى ملف التعريف أيضًا ، أي أنه مستوى يُسقط الخط على طائرتين من الإسقاط في وقت واحد - الجبهة والملف الشخصي. لهذا السبب يسمى مضاعفة إسقاط الطائرة. بالطريقة نفسها ، بالنسبة للخط الأمامي (الشكل 23) ، فإن مستوى الإسقاط المضاعف يسقطه على مستويات الإسقاطات الأفقية والملف الشخصي ، وللملف الجانبي (الشكل 23) - على مستويات الإسقاطات الأفقية والأمامية .

لا يمكن أن يحدد اثنان من الإسقاطات خطًا مستقيمًا. اثنين من الإسقاطات 1 و واحدالخط المستقيم للمظهر الجانبي (الشكل 25) بدون تحديد إسقاط نقطتين من هذا الخط المستقيم عليهما لن يحدد موضع هذا الخط المستقيم في الفضاء.

في مستوى عمودي على مستويين معينين من التماثل ، قد يكون هناك عدد لا نهائي من الخطوط التي تكون البيانات الموجودة على الرسم البياني لها 1 و واحدهي توقعاتهم.

إذا كانت نقطة على خط ما ، فإن توقعاتها في جميع الحالات تكمن في الإسقاطات التي تحمل الاسم نفسه على هذا السطر. الوضع المعاكس ليس صحيحًا دائمًا بالنسبة لخط الملف الشخصي. في إسقاطاتها ، يمكنك الإشارة بشكل تعسفي إلى إسقاطات نقطة معينة وعدم التأكد من أن هذه النقطة تقع على خط معين.

في جميع الحالات الخاصة الثلاث (الشكل 22 و 23 و 24) ، يكون موضع الخط المستقيم فيما يتعلق بمستوى الإسقاطات هو الجزء التعسفي AB، المأخوذة على كل من الخطوط المستقيمة ، يتم إسقاطها على إحدى مستويات الإسقاط دون تشويه ، أي على المستوى الموازي لها. القطعة المستقيمة ABيعطي الخط المستقيم الأفقي (الشكل 22) إسقاطًا بالحجم الطبيعي على مستوى أفقي ( أب = AB) ؛ القطعة المستقيمة ABالخط الأمامي المستقيم (الشكل 23) - بالحجم الكامل على مستوى المستوى الأمامي V ( أب = AB) والجزء ABخط مستقيم للملف الشخصي (الشكل 24) - بالحجم الكامل على مستوى المظهر الجانبي دبليو (a˝b˝\ u003d AB) ، أي أنه من الممكن قياس الحجم الفعلي للجزء على الرسم.

بمعنى آخر ، بمساعدة الرسوم البيانية ، يمكن للمرء تحديد الأبعاد الطبيعية للزوايا التي يشكلها الخط قيد النظر مع مستويات الإسقاط.

الزاوية التي يصنعها الخط المستقيم مع المستوى الأفقي ح، من المعتاد الإشارة إلى الحرف α ، مع المستوى الأمامي - الحرف β ، مع مستوى الملف الشخصي - الحرف γ.

أي من الخطوط المستقيمة قيد النظر ليس له أثر على مستوى موازٍ له ، أي أن الخط الأفقي المستقيم ليس له أثر أفقي (الشكل 22) ، والخط الأمامي المستقيم ليس له أثر أمامي (الشكل 23) ، والمظهر الجانبي الخط المستقيم ليس له أثر جانبي (الشكل 24).