Какво е z трансформация на сигнала. Обратно z-преобразуване

При анализа и синтеза на дискретни и цифрови устройства широко се използват т. нар. z-преобразувания, които играят същата роля по отношение на дискретните сигнали като интегралната трансформация на Фурие и Лаплас по отношение на непрекъснатите сигнали.

Определение на z-трансформация

Нека е числова последователност, крайна или безкрайна, съдържаща референтните стойности на някакъв сигнал. Поставяме го в съответствие едно към едно със сумата от поредица от отрицателни степени на комплексната променлива z:

Нека наречем тази сума, ако съществува, z-трансформацията на последователността. Целесъобразността от въвеждането на такъв математически обект е свързана с факта, че свойствата на дискретните поредици от числа могат да бъдат изследвани чрез изследване на техните z-преобразувания с помощта на обичайните методи на математически анализ. В математиката z-трансформацията се нарича също генерираща функция на оригиналната последователност.

Въз основа на формула (1.46) могат директно да се намерят z-трансформациите на дискретни сигнали с краен брой извадки. И така, най-простият дискретен сигнал с единична проба съответства на . Ако, например, тогава

Конвергенция на сериите

Ако броят на членовете в редицата (1.46) е безкрайно голям, тогава е необходимо да се изследва неговата сходимост. Следното е известно от теорията на функциите на комплексна променлива. Нека коефициентите на разглежданата серия удовлетворяват условието

за всеки. Тук и са постоянни реални числа.

Тогава серия (1.46) се сближава за всички стойности на z, така че . В тази област на сближаване сумата от редовете е аналитична функция на променливата z, която няма нито полюси, нито по същество единични точки.

Нека разгледаме, например, дискретен сигнал, образуван от същите единични проби и служещ като модел на обичайната функция за превключване. Безкраен ред

е сумата от геометрична прогресия и се сближава за всяко z в пръстеновидното пространство. Обобщавайки прогресията, получаваме:

На границата на областта на аналитичността за z = 1тази функция има един прост полюс. По подобен начин се получава z-трансформацията на безкраен дискретен сигнал, където ае някакво реално число. Тук:

Този израз има смисъл в някаква пръстеновидна област.

Z-преобразуване на непрекъснати функции

Ако приемем, че показанията са стойностите на непрекъсната функция в точки, всеки сигнал може да бъде свързан с неговата z-трансформация при избраната стъпка на вземане на проби:

Например, ако , тогава съответната z-трансформация

е аналитична функция за .

Обратно z-преобразуване

Нека p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> е функция на комплексна променлива z, аналитична в пръстеновидната област. Забележително свойство на z-трансформацията е, че функцията определя цялата безкрайна колекция от проби. Наистина, умножаваме и двете части от редицата (1.46) по коефициента:

След това изчисляваме интегралите от двете части на полученото равенство, като вземаме за контур на интегриране произволна затворена крива, която лежи изцяло в областта на аналитичността и покрива всички полюси:

Байпасът на интегриращия контур се извършва в положителна посока, обратно на часовниковата стрелка.

За да решим уравнение (1.50), използваме основната позиция, следваща от теоремата на Коши:

Очевидно интегралите на всички членове от дясната страна на израза (1.50) ще изчезнат, с изключение на члена с числото м, Ето защо

Формулата (1.51) се нарича обратна z-преобразуване.

Пример

Дадено е z-трансформация на формата. Намерете коефициентите на дискретния сигнал, съответстващ на тази функция.

На първо място, ние дефинираме, че функцията е аналитична в цялата равнина, с изключение на точката, така че наистина може да бъде z-трансформацията на някакъв дискретен сигнал.

Преди да решим този проблем, нека си припомним от курса по висша математика техниката за решаване на криволинейни интеграли с помощта на теорията на остатъците и теоремата за остатъците на Коши. Нека точката е изолирана особена точка на функцията. Остатъкът от функция в точка е число, обозначено със символа и определено от равенството:

Като контур g можем да вземем окръжност, центрирана в точка с достатъчно малък радиус, така че окръжността да не излиза извън областта на аналитичност на функцията

И не съдържаше функции вътре в други специални точки. Остатъкът на функцията е равен на коефициента минус първата степен в разширението на Лоран в околността на точката : . Остатъкът в подвижна особена точка е равен на нула.

Ако точката е полюс нти ред на функцията, тогава

В случай на обикновен стълб ()

Ако функция в съседство на точка може да бъде представена като частно от две аналитични функции

и , т.е. е прост полюс на функцията, тогава

Обръщайки се към формула (1.48), намираме, че

за произволен idth=41 височина=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . По този начин оригиналният дискретен сигнал има формата:

Връзка с преобразуванията на Лаплас и Фурие

Нека дефинираме за сигнал под формата на идеален MIP:

Преобразувайки го според Лаплас, получаваме изображение за всяка константа a и b. Това свойство може да се докаже чрез заместване на сбора във формула (1.46). е поредица от числа, чийто общ член е равен на:

Такава дискретна конволюция, за разлика от кръговата, понякога се нарича линейна.

Нека изчислим z-трансформацията на дискретната конволюция:

Конволюцията на два дискретни сигнала съответства на произведението на техните z-преобразувания.

При анализа и синтеза на дискретни и цифрови устройства широко се използва т. нар. z-трансформация, която играе същата роля по отношение на дискретните сигнали, както интегралните преобразувания на Фурие и Лаплас по отношение на непрекъснатите сигнали. Този раздел очертава основите на теорията на тази функционална трансформация и някои от нейните свойства.

Определение z - преобразувания. Нека е числова последователност, крайна или безкрайна, съдържаща референтните стойности на някакъв сигнал. Поставяме го в съответствие едно към едно със сумата от поредица от отрицателни степени на комплексна променлива z:

Нека наречем тази сума, ако съществува, z-трансформацияпоследователности (Х да се }. Целесъобразността от въвеждането на такъв математически обект е свързана с факта, че свойствата на дискретните поредици от числа могат да бъдат изследвани чрез изследване на техните z-преобразувания с помощта на обичайните методи на математически анализ.

Въз основа на формула (2.113) може директно да се намерят z-трансформациите на дискретните сигнали с краен брой извадки. И така, най-простият дискретен сигнал с единицаотговаря на точното отчитане.

Ако например

Сближаване на сериите.Ако броят на членовете в редицата (2.113) е безкрайно голям, тогава е необходимо да се изследва неговата сходимост. Следното е известно от теорията на функциите на комплексна променлива. Нека коефициентите на разглежданата серия удовлетворяват условието

за всеки. Тук M > 0 и Р 0 > 0 - постоянни реални числа. Тогава редът (2.113) се сближава за всички стойности на z такива, че |z| > Р 0 . В тази област на сближаване сумата от редовете е аналитична функция на променливата z, която няма нито полюси, нито по същество единични точки.

Помислете например за дискретен сигнал, образуван от същите единични проби и служещ като модел на обичайната функция за превключване. Безкрайната серия е сбор от геометрична прогресия и се сближава за всяко z в пръстена.

Обобщавайки прогресията, получаваме

На границата на областта на аналитичност за z= 1 тази функция има един прост полюс.

По подобен начин се получава z-трансформацията на безкраен дискретен сигнал, където а -някакво реално число. Тук

Този израз има смисъл в пръстеновидната област.

z -преобразуване на непрекъснати функции. Ако приемем, че показанията са стойностите на непрекъсната функция х(т) в точки , всеки сигнал х(т) можете да го съпоставите с z-трансформацията при избраната честота на дискретизация:

Например, ако , след това съответната z-трансформация

.

е аналитична функция за .

Обратенz- преобразуване.Нека бъде х(z) е функция на комплексната променлива z, аналитична в пръстеновидната област |z| > Р 0 . Забележително свойство на z-трансформацията е, че функцията х(z) дефинира цялата безкрайна колекция от проби.

Наистина, умножаваме и двете части от редицата (2.113) по коефициента:

. (2.115)

и след това изчисляваме интегралите на двете части на полученото равенство, като вземаме за контур на интегриране произволна затворена крива, която лежи изцяло в областта на аналитичността и обгръща всички полюси на функцията х(z). В този случай използваме – фундаменталната позиция, следваща от теоремата на Коши:

.

Очевидно интегралите на всички членове от дясната страна ще изчезнат, с изключение на члена с числото т,Ето защо

Тази формула се нарича обратен z -трансформация .

Връзка с трансформациите на Лаплас и Фурие . Нека дефинираме за сигнал под формата на идеален MIP:

.

Преобразувайки го според Лаплас, получаваме изображението

което отива директно към z-трансформацията, ако извършим заместването . Ако поставим , тогава изразът

Нека се върнем към формулата за дискретно преобразуване на Фурие:

В теорията на дискретните системи е обичайно да се използва малко по-различна форма на нотация, свързана с въвеждането на Z-трансформация. Нека направим следната замяна:

.

Тогава горната формула е значително опростена:

.

Новополучената функция X(z) на променливата z се нарича Z-образ или Z-образ на дискретния сигнал x(k).

Z-трансформациите за дискретни сигнали и системи играят същата роля като трансформацията на Лаплас за аналогови системи. Затова нека разгледаме редица примери за определяне на Z - изображения на някои типични дискретни сигнали.

1.Единичен импулс(фиг. 9.14) е дискретен аналог на δ - импулса и представлява единичен отчет с една стойност:

Z - трансформацията на единичен импулс се намира като

що се отнася до импулса на δ - Дирак.

2. Дискретен единичен скок(фиг. 9.15) е пълен аналог на функцията за включване на Хевисайд:

Z - изображението на единичен скок може да се намери като

Получената сума е сумата от членовете на безкрайна геометрична прогресия с начален член равен на 1 и знаменател
. Сборът от членовете на поредицата е:

.

3. Дискретна степен(фиг. 9.16) е сигнал, дефиниран от израза:

В
дискретният експонент намалява (фиг. 9.16), когато
- увеличаване, при
- редуващи се.Z - изображението на такъв показател

Както и в предишния случай, получихме геометрична прогресия с нулев член, равен на едно, но със знаменател
. Безкрайната сума от членовете на прогресията определя Z - образа на степента:

4. Дискретен затихващ хармоник. За разлика от предишните примери, ние го пишем в общ вид:

г de α – коефициент на хармонично затихване,

ω е хармоничната честота,

φ е началната фаза на трептения,

- период на вземане на проби.

Нека въведем следната нотация:

Фигура 9.17 показва графика на дискретния демпфиран хармоник със следните данни: a=0,9,
, φ=π/9. Като се вземе предвид приетата нотация, изразът за дискретния демпфиран хармоник може да бъде представен като:

.

При получаване на Z-образ на хармоника, косинусовата функция трябва да бъде изразена чрез сумата от два комплексни експонента. След това, след като направихме редица алгебрични и тригонометрични трансформации, в крайна сметка ще бъде възможно да се получи следният израз:

.

От горните примери може да се види, че Z - изображенията на повечето дискретни сигнали са дробни рационални функции на променливата
. Произходът на Z-трансформацията от трансформациите на Лаплас и Фурие води до факта, че Z-трансформацията има подобни свойства.

1. Линейност.

Z - трансформацията е линейна, така че ако има два сигнала, тогава сумата от тези сигнали
има Z-образ
.

2. Дискретно забавяне на сигнала.

Ако дискретен сигнал x(k), който има Z, е изображението на X(z), забавяне с m стъпки на извадка
, то забавеният сигнал y(k)=x(k-m) има Z - изображението
. Изразяване
може да се разглежда като оператор за забавяне на сигнала чрез една стъпка на семплиране.

3. Конволюция на дискретни сигнали.

По аналогия с навиването на аналогови сигнали

,

Фурие - изображението на което е равно на произведението на Фурие - образи на свити сигнали, навиването на два дискретни сигнала се определя като

.

Z - изображението на конволюцията на два сигнала е равно на произведението на Z - изображения на оригиналните дискретни сигнали

4. Умножение по дискретен показател.

Ако дискретният сигнал
, имащ Z-образ
, умножено по степента
, след това Z - изображението на продукта ще приеме формата
.

Разгледаните свойства на Z-трансформацията дават възможност в много случаи лесно да се намери Z-образът на даден сигнал или да се реши обратната задача – като се използва познатото Z-образ на сигнала за намиране на неговото представяне във времето.

Z-трансформацията се използва главно за изчисляване на дискретни филтри. Математическият апарат на z-трансформацията играе същата роля за цифровите устройства, както и за аналоговите схеми. Използвайки z-трансформацията, лесно се изчисляват честотни филтри, фазови коректори или хилбертови трансформации за тяхното изпълнение в цифров вид. Нека веднага да разделим понятията дискретни и цифрови филтри. При дискретните филтри импулсната характеристика е дискретна във времето, но сигналните проби и параметрите на филтъра могат да приемат всяка стойност. В цифровите филтри, както сигналните извадки, така и параметрите на филтъра (например коефициенти) се представят с двоични числа с определен капацитет. Пример за дискретен филтър е филтър с превключван кондензатор.

При разглеждане на семплирането на сигнали открихме, че спектърът на входния аналогов сигнал, когато се преобразува в дискретна форма, се повтаря по оста на честотата безкраен брой пъти. Същото се случва и с честотната характеристика на дискретен филтър. Пример за промяна на амплитудно-честотната характеристика на нискочестотен филтър по време на неговото дискретно изпълнение е показан на фигура 1.

Фигура 1. Пример за честотната характеристика на дискретен филтър

В показания пример честотата на дискретизация е 50 kHz. Следователно в близост до тази честота се образуват още две ленти на пропускане на дискретния филтър. Дискретен филтър, като филтър с превключван кондензатор или цифров филтър, ще изисква аналогов филтър за анти-алиасинг, за да работи правилно, за да потисне високочестотните компоненти на входния сигнал. Неговата идеализирана честотна характеристика е показана в червено на фигура 1.

Ако има преносна характеристика на аналогов филтър Х(с) под формата на нули и полюси на филтъра, след това в дискретния филтър нулите и полюсите периодично се повтарят с период от 1/ т, където T е периодът на вземане на проби. С други думи, филтърът се повтаря по този начин, както е показано на Фигура 1. Позицията на нулите и полюсите на честотната ос на s-равнината за конвенционални и дискретни филтри е показана на Фигура 2.

Фигура 2. Периодично повторение на нули и полюси в s-равнината

При дискретния филтър виждаме безкраен брой нули и полюси, което не е много удобно за неговото изпълнение. Вместо безкрайно повторение на нули и полюси на безкрайна честотна ос, можете да преобразувате тази ос в пръстеновидна (използвайте полярната координатна система вместо декартовата). Такава трансформация е показана на фигура 3.

Фигура 3. Преобразуване на сложна s-равнина в сложна z-равнина

При тази трансформация нулевата честота заема позицията на точка +1 върху реалната ос на z-равнина, честотата, равна на ∞, се трансформира в точка -1 на реалната ос на z-равнина, а самата честотна ос се трансформира в кръг с единичен радиус. С увеличаване на честотата ще се движим в кръг обратно на часовниковата стрелка, като по този начин реализираме безкрайното повторение на амплитудно-честотните характеристики на дискретния филтър.

Математически, картографирането от сложната s-равнина към сложната z-равнина се извършва, както следва:

Z = e s T (1)

където s = σ + jω

Тогава трансформацията на Лаплас на дискретния сигнал преминава в z-трансформацията:

(2)

При преминаване от комплексната s-равнина към сложната z-равнина, всички безкрайно повтарящи се нули и полюси на дискретен филтър в s-равнината се съпоставят с краен брой нули и полюси в z-равнината. Тогава изразът за предавателната характеристика на дискретния филтър може да бъде представен по следния начин:

(3)