Възможно ли е да се дели на нула? Математикът отговаря. Защо не можете да разделите на нула? Илюстративен пример Всяко число, умножено по 0, е равно на

Много често много хора се чудят защо е невъзможно да се използва деление на нула? В тази статия ще разгледаме много подробно откъде идва това правило, както и какви действия могат да се извършват с нула.

Във връзка с

Нулата може да се нарече едно от най-интересните числа. Това число няма значение, това означава празнота в истинския смисъл на думата. Ако обаче поставите нула до която и да е цифра, тогава стойността на тази цифра ще стане няколко пъти по-голяма.

Числото само по себе си е много загадъчно. Използван е от древния народ на маите. За маите нулата означавала „начало“ и отброяването на календарните дни също започвало от нула.

Много интересен факт е, че знакът нула и знакът на неопределеността са били сходни за тях. С това маите искаха да покажат, че нулата е същият идентичен знак като несигурността. В Европа обозначението на нула се появи сравнително наскоро.

Освен това много хора знаят забраната, свързана с нулата. Всеки човек ще каже това не може да се дели на нула. Това го казват учителите в училище и децата обикновено вярват на думата им. Обикновено децата или просто не се интересуват да знаят това, или знаят какво ще се случи, ако след като чуят важна забрана, веднага попитат „Защо не можете да разделите на нула?“. Но когато остареете, интересът се събужда и искате да научите повече за причините за такава забрана. Въпреки това има разумни доказателства.

Действия с нула

Първо трябва да определите какви действия могат да се извършват с нула. Съществува няколко вида дейности:

Добавяне;
умножение;
изваждане;
Деление (нула по число);
степенуване.

важно!Ако към което и да е число се добави нула по време на събирането, това число ще остане същото и няма да промени числената си стойност. Същото се случва, ако извадите нула от произволно число.

При умножението и делението нещата са малко по-различни. Ако умножете всяко число по нула, тогава продуктът също ще стане нула.

Помислете за пример:

Нека напишем това като допълнение:

Има общо пет добавени нули, така че се оказва, че

Нека се опитаме да умножим едно по нула. Резултатът също ще бъде нулев.

Нулата може също да бъде разделена на всяко друго число, което не е равно на нея. В този случай ще се окаже, чиято стойност също ще бъде нула. Същото правило важи и за отрицателните числа. Ако разделите нула на отрицателно число, ще получите нула.

Можете също така да увеличите произволно число до нулева мощност. В този случай получавате 1. Важно е да запомните, че изразът "нула на нулева степен" е абсолютно безсмислен. Ако се опитате да повдигнете нула на произволна степен, ще получите нула. Пример:

Използваме правилото за умножение, получаваме 0.

Възможно ли е да се дели на нула

И така, стигаме до основния въпрос. Възможно ли е да се дели на нулав общи линии? И защо е невъзможно да се раздели число на нула, при положение, че всички други операции с нула напълно съществуват и важат? За да отговорите на този въпрос, трябва да се обърнете към висшата математика.

Нека започнем с определението на понятието, какво е нула? Учителите твърдят, че нулата е нищо. празнота. Тоест, когато казвате, че имате 0 химикалки, това означава, че нямате никакви химикалки.

Във висшата математика понятието "нула" е по-широко. Това изобщо не означава празно. Тук нулата се нарича несигурност, защото ако направите малко проучване, се оказва, че като разделим нула на нула, можем да получим всяко друго число като резултат, което може да не е непременно нула.

Знаете ли, че тези прости аритметични операции, които сте изучавали в училище, не са толкова равни помежду си? Най-основните стъпки са събиране и умножение.

За математиците понятията "" и "изваждане" не съществуват. Да предположим: ако три се извадят от пет, тогава ще останат две. Ето как изглежда изваждането. Въпреки това математиците биха го написали по следния начин:

По този начин се оказва, че неизвестната разлика е определено число, което трябва да се добави към 3, за да се получи 5. Тоест, не е нужно да изваждате нищо, просто трябва да намерите подходящо число. Това правило важи за добавянето.

Нещата са малко по-различни с правила за умножение и деление.Известно е, че умножението по нула води до нулев резултат. Например, ако 3:0=x, тогава ако обърнете записа, ще получите 3*x=0. И числото, което се умножава по 0, ще даде нула в произведението. Оказва се, че число, което би дало някаква стойност, различна от нула в произведението с нула, не съществува. Това означава, че деленето на нула е безсмислено, тоест отговаря на нашето правило.

Но какво се случва, ако се опитате да разделите нулата сама по себе си? Нека вземем х като някакво неопределено число. Оказва се, че уравнението 0 * x \u003d 0. Може да се реши.

Ако се опитаме да вземем нула вместо х, получаваме 0:0=0. Изглежда ли логично? Но ако се опитаме да вземем произволно друго число вместо х, например 1, тогава ще се окаже, че 0:0=1. Същата ситуация ще бъде, ако вземете друг номер и включи го в уравнението.

В този случай се оказва, че можем да вземем всяко друго число като фактор. Резултатът ще бъде безкраен брой различни числа. Понякога все пак делението на 0 във висшата математика има смисъл, но тогава обикновено има определено условие, поради което все пак можем да изберем едно подходящо число. Това действие се нарича "разкриване на несигурност". В обикновената аритметика деленето на нула отново ще загуби смисъла си, тъй като няма да можем да изберем нито едно число от множеството.

важно!Нулата не може да се дели на нула.

Нула и безкрайност

Безкрайността е много често срещана във висшата математика. Тъй като за учениците просто не е важно да знаят, че все още има математически операции с безкрайност, учителите не могат правилно да обяснят на децата защо е невъзможно да се раздели на нула.

Студентите започват да усвояват основните математически тайни едва през първата година на института. Висшата математика предоставя голям набор от проблеми, които нямат решение. Най-известните задачи са задачите с безкрайността. Те могат да бъдат решени с математически анализ.

Можете да приложите и до безкрайност елементарни математически операции:събиране, умножение с число. Изваждането и делението също се използват често, но в крайна сметка те все още се свеждат до две прости операции.

Но какво ще ако опитате:

Умножете безкрайността по нула. На теория, ако се опитаме да умножим произволно число по нула, ще получим нула. Но безкрайността е неопределен набор от числа. Тъй като не можем да изберем едно число от това множество, изразът ∞*0 няма решение и е абсолютно безсмислен.
Нула, разделена на безкрайност. Това е същата история като по-горе. Не можем да изберем едно число, което означава, че не знаем на какво да разделим. Изразът няма смисъл.

важно!Безкрайността е малко по-различна от несигурността! Безкрайността е вид несигурност.

Сега нека се опитаме да разделим безкрайността на нула. Изглежда, че трябва да има несигурност. Но ако се опитаме да заменим делението с умножение, ще получим много категоричен отговор.

Например: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Получава се така математически парадокс.

Защо не можете да разделите на нула

Мислен експеримент, опитайте се да разделите на нула

Заключение

И така, сега знаем, че нулата е обект на почти всички операции, които се извършват с, с изключение на една единствена. Не можете да разделите на нула само защото резултатът е несигурен. Научихме се и как да работим с нула и безкрайност. Резултатът от подобни действия ще бъде несигурност.

Числото 0 може да бъде представено като вид граница, разделяща света на реалните числа от въображаемите или отрицателните. Поради нееднозначната позиция, много операции с тази числена стойност не се подчиняват на математическата логика. Неспособността да се дели на нула е отличен пример за това. И разрешените аритметични операции с нула могат да се извършват с помощта на общоприети дефиниции.

История на Zero

Нулата е референтната точка във всички стандартни бройни системи. Използването на числото от европейците е сравнително скорошно, но мъдреците от древна Индия са използвали нула в продължение на хиляда години, преди празното число да бъде редовно използвано от европейските математици. Още преди индианците нулата е била задължителна стойност в числовата система на маите. Този американски народ използваше дванадесетичната система и започваше първия ден от всеки месец с нула. Интересното е, че при маите знакът за "нула" напълно съвпадал със знака за "безкрайност". Така древните маи заключили, че тези количества са идентични и непознаваеми.

Математически операции с нула

Стандартните математически операции с нула могат да бъдат сведени до няколко правила.

Добавяне: ако добавите нула към произволно число, то няма да промени стойността си (0+x=x).

Изваждане: при изваждане на нула от което и да е число, стойността на изваденото остава непроменена (x-0=x).

Умножение: всяко число, умножено по 0, дава 0 в продукта (a*0=0).

Деление: Нулата може да бъде разделена на всяко различно от нула число. В този случай стойността на такава фракция ще бъде 0. И разделянето на нула е забранено.

степенуване. Това действие може да се извърши с произволен номер. Произволно число, повдигнато на степен нула, ще даде 1 (x 0 =1).

Нула на произволна степен е равна на 0 (0 a = 0).

В този случай веднага възниква противоречие: изразът 0 0 няма смисъл.

Парадокси на математиката

Фактът, че разделянето на нула е невъзможно, много хора знаят от училище. Но по някаква причина не е възможно да се обясни причината за такава забрана. Наистина, защо формулата за деление на нула не съществува, но други действия с това число са съвсем разумни и възможни? Отговорът на този въпрос е даден от математиците.

Работата е там, че обичайните аритметични операции, които учениците изучават в началните класове, всъщност далеч не са толкова равни, колкото си мислим. Всички прости операции с числа могат да бъдат сведени до две: събиране и умножение. Тези операции са същността на самата концепция за число, а останалите операции се основават на използването на тези две.

Събиране и умножение

Нека вземем стандартен пример за изваждане: 10-2=8. В училище се смята просто: ако от десет обекта се отнемат две, остават осем. Но математиците гледат на тази операция съвсем различно. В крайна сметка за тях няма такава операция като изваждане. Този пример може да бъде написан по друг начин: x+2=10. За математиците неизвестната разлика е просто числото, което трябва да се добави към две, за да се получи осем. И тук не се изисква изваждане, просто трябва да намерите подходяща числена стойност.

Умножението и делението се третират по същия начин. В примера за 12:4=3 може да се разбере, че говорим за разделянето на осем обекта на две равни купчини. Но в действителност това е просто обърната формула за писане на 3x4 \u003d 12. Такива примери за разделяне могат да се дават безкрайно.

Примери за деление на 0

Тук става донякъде ясно защо е невъзможно да се дели на нула. Умножението и делението с нула имат свои собствени правила. Всички примери за деление на това количество могат да бъдат формулирани като 6:0=x. Но това е обърнат израз на израза 6 * x = 0. Но, както знаете, всяко число, умножено по 0, дава в продукта само 0. Това свойство е присъщо на самата концепция за нулева стойност.

Оказва се, че такова число, което, умножено по 0, дава някаква осезаема стойност, не съществува, тоест тази задача няма решение. Човек не трябва да се страхува от такъв отговор, той е естествен отговор за проблеми от този тип. Самото писане на 6:0 няма никакъв смисъл и не може да обясни нищо. Накратко, този израз може да се обясни с безсмъртното "без деление на нула".

Има ли операция 0:0? Наистина, ако операцията за умножение по 0 е законна, може ли нулата да бъде разделена на нула? В края на краищата, уравнение от формата 0x5=0 е съвсем законно. Вместо числото 5 можете да поставите 0, продуктът няма да се промени от това.

Наистина, 0x0=0. Но все още не можете да разделите на 0. Както споменахме, делението е точно обратното на умножението. Така, ако в примера 0x5=0, трябва да определите втория фактор, получаваме 0x0=5. Или 10. Или безкрайност. Деление на безкрайност на нула - как ви харесва?

Но ако някое число се побере в израза, то няма смисъл, не можем да изберем едно от безкраен набор от числа. И ако е така, това означава, че изразът 0:0 няма смисъл. Оказва се, че дори самата нула не може да бъде разделена на нула.

висша математика

Деленето на нула е главоболие за математиката в гимназията. Математическият анализ, изучаван в техническите университети, леко разширява концепцията за проблеми, които нямат решение. Например към вече познатия израз 0:0 се добавят нови, които нямат решение в училищните курсове по математика:

безкрайност разделена на безкрайност: ?:?;
безкрайност минус безкрайност: ???;
единица, повдигната до безкрайна степен: 1? ;
безкрайност, умножена по 0: ?*0;
някои други.

Невъзможно е да се решат такива изрази с елементарни методи. Но висшата математика, благодарение на допълнителните възможности за редица подобни примери, дава окончателни решения. Това е особено очевидно при разглеждането на проблеми от теорията на границите.

Разкриване на несигурност

В теорията на границите стойността 0 се заменя с условна безкрайно малка променлива. И се преобразуват изрази, в които се получава деление на нула при заместване на желаната стойност. По-долу е даден стандартен пример за разширяване на лимита с помощта на обичайните алгебрични трансформации:

Както можете да видите в примера, просто намаляване на дроб довежда нейната стойност до напълно рационален отговор.

Когато се разглеждат границите на тригонометричните функции, техните изрази са склонни да бъдат намалени до първата забележителна граница. Когато се разглеждат границите, в които знаменателят отива до 0, когато границата се замести, се използва втората забележителна граница.

Метод L'Hopital

В някои случаи границите на изразите могат да бъдат заменени с границата на техните производни. Гийом Лопитал е френски математик, основател на френската школа по математически анализ. Той доказа, че границите на изразите са равни на границите на производните на тези изрази. В математическата нотация неговото правило е следното.

Понастоящем методът L'Hopital се използва успешно при решаване на несигурности от типа 0:0 или ?:?.

Как се дели и умножава по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н.?

Напишете правилата за деление и умножение.

За да умножите число по 0,1, просто трябва да преместите запетаята.

Например беше 56 , стана 5,6 .

За да разделите на едно и също число, трябва да преместите запетаята в обратна посока:

Например беше 56 , стана 560 .

С числото 0.01 всичко е същото, но трябва да го прехвърлите на 2 знака, а не на един.

Като цяло, колко нули, толкова и трансфер.

Например има число 123456789.

Трябва да го умножите по 0,000000001

В числото 0.000000001 има девет нули (броим и нулата отляво на десетичната запетая), което означава, че изместваме числото 123456789 с 9 цифри:

Беше 123456789 стана 0,123456789.

За да не умножаваме, а да разделяме на едно и също число, преместваме от другата страна:

Беше 123456789 стана 123456789000000000.

За да изместим цяло число като това, ние просто му приписваме нула. И в дробното местим запетаята.

Разделянето на число на 0,1 е еквивалентно на умножаването на това число по 10

Разделянето на число на 0,01 е еквивалентно на умножаването на това число по 100

Делението на 0,001 е умножение по 1000.

За по-лесно запомняне четем числото, на което трябва да разделим отдясно наляво, без да обръщаме внимание на запетаята, и умножаваме по полученото число.

Пример: 50: 0,0001. Все едно да умножите 50 по (чете се отдясно наляво без запетая - 10 000) 10 000. Получава се 500 000.

Същото с умножението, само в обратен ред:

400 x 0,01 е същото като да разделите 400 на (чете се отдясно наляво без запетая - 100) 100: 400: 100 = 4.

На когото му е по-удобно да прехвърля запетаи надясно при деление и наляво при умножение при умножение и деление с такива числа, може да го направи.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Десетично деление

аз За да разделите число на десетична запетая, трябва да преместите запетаите в делителя и делителя толкова цифри вдясно, колкото са след десетичната точка в делителя, и след това да разделите на естествено число.

Първиченри.

Извършете деление: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Решение.

Пример 1) 16,38: 0,7.

В разделителя 0,7 има една цифра след десетичната запетая, следователно ще преместим запетаите в делителя и делителя с една цифра надясно.

Тогава ще трябва да споделим 163,8 на 7 .

Извършете деление според правилото за деление на десетична дроб на естествено число.

Делим както делим естествените числа. Как да свалим номера 8 - първата цифра след десетичната запетая (т.е. цифрата на десето място), така че веднага поставете частна запетаяи продължете да разделяте.

Отговор: 23.4.

Пример 2) 15,6: 0,15.

Преместване на запетаи в дивидент ( 15,6 ) и делител ( 0,15 ) две цифри вдясно, тъй като в делителя 0,15 има две цифри след десетичната запетая.

Не забравяйте, че колкото искате нули могат да бъдат присвоени на десетичната дроб отдясно и десетичната дроб няма да се промени от това.

15,6:0,15=1560:15.

Извършете деление на естествени числа.

Отговор: 104.

Пример 3) 3,114: 4,5.

Преместете запетаите в делителя и делителя с една цифра надясно и разделете 31,14 на 45 според правилото за деление на десетична дроб на естествено число.

3,114:4,5=31,14:45.

На лични поставете запетая, щом съборим фигурата 1 на десето място. След това продължаваме разделението.

За да завършим разделението, което трябваше да зададем нулакъм номера 9 - разлика в числата 414 и 405 . (знаем, че нули могат да бъдат присвоени на десетичната дроб вдясно)

Отговор: 0,692.

Пример 4) 53,84: 0,1.

Пренасяме запетаи в делителя и делителя по 1 номер вдясно.

Получаваме: 538,4:1=538,4.

Нека анализираме равенството: 53,84:0,1=538,4. Обръщаме внимание на запетаята в дивидента в този пример и на запетаята в полученото частно. Обърнете внимание, че запетаята в дивидента е преместена на 1 цифра вдясно, сякаш умножаваме 53,84 на 10. (Гледайте видеоклипа „Умножаване на десетична запетая по 10, 100, 1000 и т.н.“) Следователно правилото за деление на десетична запетая на 0,1; 0,01; 0,001 и т.н.

II. За разделяне на десетична запетая на 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., трябва да преместите запетаята надясно с 1, 2, 3 и т.н. цифри. (Деленето на десетичен знак на 0,1; 0,01; 0,001 и т.н. е същото като умножаването на този десетичен знак по 10, 100, 1000 и т.н.)

Примери.

Извършете деление: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Решение.

Пример 1) 617,35: 0,1.

Според правилото II разделение на 0,1 е еквивалентно на умножаване по 10 , и преместете запетаята в дивидент 1 цифра вдясно:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Пример 2) 0,235: 0,01.

Деление по 0,01 е еквивалентно на умножаване по 100 , което означава, че ще прехвърлим запетаята в дивидента на 2 цифри вдясно:

2) 0,235:0,01=23,5.

Пример 3) 2,7845: 0,001.

защото разделение на 0,001 е еквивалентно на умножаване по 1000 , след това преместете запетаята 3 цифри вдясно:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Пример 4) 26,397: 0,0001.

Разделете десетичната запетая на 0,0001 е същото като да го умножите по 10000 (преместете запетая с 4 цифри точно). Получаваме:

www.mathematics-repetition.com

Умножение и деление с числа като 10, 100, 0.1, 0.01

Този видео урок е достъпен чрез абонамент

Имате ли вече абонамент? Да вляза

В този урок ще разгледаме как да извършваме умножение и деление с числа като 10, 100, 0,1, 0,001. Ще бъдат решени и различни примери по тази тема.

Умножение на числата по 10, 100

Упражнение.Как да умножим числото 25,78 по 10?

Десетичният запис за дадено число е съкратен запис на сумата. Трябва да го опишете по-подробно:

Следователно трябва да умножите сумата. За да направите това, можете просто да умножите всеки член:

Оказва се, че.

Можем да заключим, че умножаването на десетична запетая по 10 е много просто: трябва да преместите запетаята надясно с една позиция.

Упражнение.Умножете 25,486 по 100.

Умножаването по 100 е същото като умножаването два пъти по 10. С други думи, трябва да преместите запетаята надясно два пъти:

Деление на числата на 10, 100

Упражнение.Разделете 25,78 на 10.

Както в предишния случай, е необходимо да представим числото 25,78 като сума:

Тъй като трябва да разделите сумата, това е еквивалентно на разделянето на всеки член:

Оказва се, че за да разделите на 10, трябва да преместите запетаята наляво с една позиция. Например:

Упражнение.Разделете 124,478 на 100.

Разделянето на 100 е същото като разделянето на 10 два пъти, така че запетаята се измества наляво с 2 места:

Правило за умножение и деление на 10, 100, 1000

Ако десетична дроб трябва да бъде умножена по 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите запетаята надясно с толкова позиции, колкото нули има в множителя.

И обратно, ако десетичната дроб трябва да бъде разделена на 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите запетаята наляво с толкова позиции, колкото нули има в множителя.

Примери, когато трябва да преместите запетая, но няма повече цифри

Умножаването по 100 означава изместване на десетичната запетая надясно с две позиции.

След смяната можете да откриете, че няма повече цифри след десетичната запетая, което означава, че дробната част липсва. Тогава запетаята не е необходима, числото се оказа цяло число.

Трябва да се преместите 4 позиции надясно. Но има само две цифри след десетичната запетая. Струва си да запомните, че има еквивалентна нотация за фракцията 56.14.

Сега умножаването по 10 000 е лесно:

Ако не е много ясно защо можете да добавите две нули към дробта в предишния пример, тогава допълнителното видео на връзката може да помогне с това.

Еквивалентни десетични записи

Запис 52 означава следното:

Ако поставим 0 отпред, получаваме запис 052. Тези записи са еквивалентни.

Възможно ли е да поставите две нули отпред? Да, тези записи са еквивалентни.

Сега нека да разгледаме десетичната запетая:

Ако присвоим нула, тогава получаваме:

Тези записи са еквивалентни. По същия начин можете да зададете няколко нули.

Така на всяко число могат да бъдат присвоени няколко нули след дробната част и няколко нули преди цялата част. Това ще бъдат еквивалентни записи със същия номер.

Тъй като се получава деление на 100, е необходимо да преместите запетаята с 2 позиции наляво. Няма цифри отляво на десетичната запетая. Цялата част липсва. Тази нотация често се използва от програмисти. В математиката, ако няма цяло число, поставете нула вместо него.

Трябва да се преместите наляво с три позиции, но има само две позиции. Ако напишете няколко нули преди числото, това ще бъде еквивалентна нотация.

Тоест, когато се преместите наляво, ако числата са свършили, трябва да ги попълните с нули.

В този случай си струва да запомните, че запетая винаги идва след цялата част. Тогава:

Умножение и деление на 0,1, 0,01, 0,001

Умножението и деленето с числата 10, 100, 1000 е много проста процедура. Същото важи и за числата 0.1, 0.01, 0.001.

Пример. Умножете 25,34 по 0,1.

Нека запишем десетичната дроб 0,1 под формата на обикновена. Но умножаването по е същото като деленето на 10. Следователно трябва да преместите запетая 1 позиция наляво:

По същия начин, умножаването по 0,01 е деление на 100:

Пример. 5,235 делено на 0,1.

Решението на този пример е конструирано по подобен начин: 0,1 се изразява като обикновена дроб, а разделянето на е същото като умножаването по 10:

Тоест, за да разделите на 0,1, трябва да преместите запетаята надясно с една позиция, което е еквивалентно на умножение по 10.

Правило за умножение и деление на 0,1, 0,01, 0,001

Умножаването по 10 и деленето на 0,1 е едно и също нещо. Запетаята трябва да бъде изместена надясно с 1 позиция.

Деление на 10 и умножение по 0,1 е едно и също нещо. Запетаята трябва да се измести надясно с 1 позиция:

Решение на примери

Заключение

В този урок бяха изучени правилата за деление и умножение с 10, 100 и 1000. Освен това бяха разгледани правилата за умножение и деление с 0,1, 0,01, 0,001.

Бяха разгледани и решени примери за прилагането на тези правила.

Библиография

1. Виленкин Н. Я. Математика: учебник. за 5 клетки. общ конст. 17-то изд. – М.: Мнемозина, 2005.

2. Шевкин А.В. Текстови задачи по математика: 5–6. – М.: Илекса, 2011.

3. Ершова А.П., Голобородко В.В. Цялата училищна математика в самостоятелни и контролни работи. Математика 5–6. – М.: Илекса, 2006.

4. Хлевнюк Н. Н., Иванова М. В. Формиране на изчислителни умения в уроците по математика. 5-9 клас. – М.: Илекса, 2011 .

1. Интернет портал "Фестивал на педагогическите идеи" (Източник)

2. Интернет портал "Matematika-na.ru" (Източник)

3. Интернет портал "School.xvatit.com" (Източник)

Домашна работа

3. Сравнете стойностите на израза:

Действия с нула

В математиката числото нулазаема особено място. Факт е, че всъщност означава „нищо“, „празнота“, но значението му наистина е трудно да се надцени. За да направите това, достатъчно е да запомните поне с какво точно нулева маркаи започва обратното броене на координатите на позицията на точката във всяка координатна система.

Нулашироко използван в десетичните знаци за определяне на стойностите на "празните" цифри, както преди, така и след десетичната точка. В допълнение, едно от основните правила на аритметиката е свързано с него, което гласи, че на нулане може да се раздели. Логиката му всъщност произтича от самата същност на това число: наистина е невъзможно да си представим, че някаква стойност, различна от него (и то самото също), е била разделена на „нищо“.

ОТ нулаизвършват се всички аритметични операции и като негови "партньори" могат да се използват цели числа, обикновени и десетични дроби, като всички те могат да имат както положителни, така и отрицателни стойности. Даваме примери за тяхното изпълнение и някои обяснения за тях.

При добавяне нуладо някакво число (както цяло, така и дробно, както положително, така и отрицателно), стойността му остава абсолютно непроменена.

двадесет и четири плюс нулае равно на двадесет и четири.

Седемнадесет цяло и три осми плюс нулае равно на седемнадесет цяло и три осми.

Формуляри на данъчни декларации Предлагаме на Вашето внимание формуляри на декларации за всички видове данъци и такси: 1. Данък общ доход. Внимание от 10.02.2014 г. справката за облагане на доходите се подава по нов образец на декларации, утвърден със заповед на МП № 872 от 30.12.2013 г.1. 1. Данъчна декларация […]
Правила за повдигане на квадрат на сбора и на квадрата на разликата Цел: Да се изведат формули за повдигане на квадрат на сбора и разликата на изрази. Очаквани резултати: да се научат да използват формулите на квадрата на сумата и квадрата на разликата. Вид на урока: урок за представяне на проблеми. I. Представяне на темата и целта на урока II. Работа по темата на урока При умножаване […]
Каква е разликата между приватизация на апартамент с непълнолетни деца и приватизация без деца? Характеристики на тяхното участие, документи Всички сделки с недвижими имоти изискват голямо внимание на участниците. Особено ако планирате да приватизирате апартамент с непълнолетни деца. За да бъде признат за валиден, и […]
Размерът на държавното мито за паспорт в стар образец за дете под 14 години и къде да го платите Обжалването пред държавните агенции за всяка услуга винаги е придружено от плащане на държавна такса. За да кандидатствате за чуждестранен паспорт, трябва да платите и федерална такса. Колко е размерът […]
Как да попълните формуляр за заявление за подмяна на паспорт при 45 руски паспорти трябва да бъдат заменени, когато се достигне възрастовата граница - 20 или 45 години. За да получите обществена услуга, трябва да подадете заявление по предписания образец, да приложите необходимите документи и да заплатите […]
Как и къде да издадете дарение за дял в апартамент Много граждани са изправени пред такава правна процедура като даряване на недвижим имот, който е споделена собственост. Има доста информация за това как правилно да издадете дарение за дял в апартамент и не винаги е надеждна. Преди да започнете, […]

Упражнение.Как да умножим числото 25,78 по 10?

Десетичният запис за дадено число е съкратен запис на сумата. Трябва да го опишете по-подробно:

Следователно трябва да умножите сумата. За да направите това, можете просто да умножите всеки член:

Оказва се, че.

Упражнение.Умножете 25,486 по 100.

Упражнение.Разделете 25,78 на 10.

Както в предишния случай, е необходимо да представим числото 25,78 като сума:

Тъй като трябва да разделите сумата, това е еквивалентно на разделянето на всеки член:

Оказва се, че за да разделите на 10, трябва да преместите запетаята наляво с една позиция. Например:

Упражнение.Разделете 124,478 на 100.

Разделянето на 100 е същото като разделянето на 10 два пъти, така че запетаята се измества наляво с 2 места:

Пример 1

Умножаването по 100 означава изместване на десетичната запетая надясно с две позиции.

Пример 2

Сега умножаването по 10 000 е лесно:

Еквивалентни десетични записи

Запис 52 означава следното:

Ако поставим 0 отпред, получаваме запис 052. Тези записи са еквивалентни.

Възможно ли е да поставите две нули отпред? Да, тези записи са еквивалентни.

Сега нека да разгледаме десетичната запетая:

Ако присвоим нула, тогава получаваме:

Тези записи са еквивалентни. По същия начин можете да зададете няколко нули.

Пример 3

Пример 4

Тоест, когато се преместите наляво, ако числата са свършили, трябва да ги попълните с нули.

Пример 5

В този случай си струва да запомните, че запетая винаги идва след цялата част. Тогава:

Умножението и деленето с числа 10, 100, 1000 е много проста процедура. Същото важи и за числата 0.1, 0.01, 0.001.

Пример. Умножете 25,34 по 0,1.

По същия начин, умножаването по 0,01 е деление на 100:

Пример. 5,235 делено на 0,1.

Умножаването по 10 и деленето на 0,1 е едно и също нещо. Запетаята трябва да бъде изместена надясно с 1 позиция.

Деление на 10 и умножение по 0,1 е едно и също нещо. Запетаята трябва да се измести надясно с 1 позиция:

Деление на нулав математиката, деление, при което делителя е нула. Такова деление може да бъде формално записано като ⁄ 0, където е дивидентът.

В обикновената аритметика (с реални числа) този израз няма смисъл, защото:

при ≠ 0, няма число, което, когато се умножи по 0, дава, следователно, нито едно число не може да се приеме като частно ⁄ 0;
при = 0, делението на нула също е недефинирано, тъй като всяко число, когато се умножи по 0, дава 0 и може да се приеме като частно 0 ⁄ 0.

Исторически погледнато, едно от първите споменавания на математическата невъзможност за приписване на стойността ⁄ 0 е в критиката на Джордж Бъркли за безкрайно малкото смятане.

Логически грешки

Тъй като при умножаване на което и да е число по нула винаги получаваме нула като резултат, при разделяне на двете части на израза × 0 = × 0, което е вярно независимо от стойността на и с 0 получаваме израза = , което е неправилно в случай на произволно зададени променливи. Тъй като нулата може да бъде дадена имплицитно, но под формата на доста сложен математически израз, например под формата на разликата между две стойности, редуцирани една към друга чрез алгебрични трансформации, такова разделение може да бъде доста неочевидна грешка. Неусетното въвеждане на такова разделение в процеса на доказване, за да се покаже идентичността на очевидно различни количества, като по този начин се докаже всяко абсурдно твърдение, е една от разновидностите на математическия софизъм.

В компютърните науки

В програмирането, в зависимост от езика за програмиране, типа данни и стойността на дивидента, опитът за деление на нула може да доведе до различни последствия. Последствията от деленето на нула в цяло число и реалната аритметика са коренно различни:

опит цяло числоделение на нула винаги е критична грешка, която прави невъзможно продължаването на изпълнението на програмата. Това води или до хвърляне на изключение (с което програмата може да се справи сама, като по този начин избягва аварийно спиране), или до незабавно спиране на програмата със съобщение за фатална грешка и, евентуално, съдържанието на стека за повиквания. В някои езици за програмиране, като Go, целочисленото деление на нулева константа се счита за синтактична грешка и ще доведе до прекъсване на компилирането на програмата.
AT истинскиаритметичните последствия могат да бъдат различни в различните езици:

хвърляне на изключение или спиране на програмата, както при целочисленото деление;
получаване на специална нечислова стойност в резултат на операцията. В този случай изчисленията не се прекъсват и техният резултат може впоследствие да се интерпретира от самата програма или от потребителя като значима стойност или като доказателство за неправилни изчисления. Широко използван е принципът, според който при разделяне на формата ⁄ 0, където ≠ 0 е число с плаваща запетая, резултатът е равен на положителна или отрицателна (в зависимост от знака на дивидента) безкрайност - или, и когато = 0, резултатът е специална стойност NaN (съкратено от английски не е число - „не е число“). Този подход е възприет в стандарта IEEE 754, който се поддържа от много съвременни езици за програмиране.

Случайното деление на нула в компютърна програма понякога може да причини скъпи или опасни повреди в оборудването, управлявано от програмата. Например, на 21 септември 1997 г. деление на нула в компютъризираната система за управление на крайцера USS Yorktown (CG-48) на ВМС на САЩ изключи цялото електронно оборудване в системата, което доведе до спиране на работата на електроцентралата на кораба.

Вижте също

Бележки

Функция = 1 ⁄ . Когато клони към нула отдясно, клони към безкрайност; когато клони към нула отляво, клони към минус безкрайност

Ако разделите което и да е число на нула на конвенционален калкулатор, тогава той ще ви даде буквата E или думата Error, тоест „грешка“.

Компютърният калкулатор в подобен случай пише (в Windows XP): "Делението на нула е забранено."

Всичко е в съответствие с правилото, известно от училище, че не можете да делите на нула.

Да видим защо.

Делението е математическа операция, която е обратна на умножението. Делението се определя чрез умножение.

Разделете число а(дивидент, например 8) с число b(делител, например числото 2) - означава да се намери такова число х(частно), когато се умножи по делител bсе оказва делимо а(4 2 = 8), т.е. аразделете на bозначава да се реши уравнението x · b = a.

Уравнението a: b = x е еквивалентно на уравнението x · b = a.

Заменяме делението с умножение: вместо 8: 2 = x пишем x 2 = 8.

8: 2 = 4 е еквивалентно на 4 2 = 8

18: 3 = 6 е еквивалентно на 6 3 = 18

20: 2 = 10 е еквивалентно на 10 2 = 20

Резултатът от деленето винаги може да се провери чрез умножение. Резултатът от умножаването на делител по частно трябва да бъде дивидентът.

По подобен начин нека се опитаме да разделим на нула.

Например 6: 0 = ... Трябва да намерим число, което, умножено по 0, ще даде 6. Но знаем, че когато се умножи по нула, винаги се получава нула. Няма число, което, умножено по нула, да даде нещо различно от нула.

Когато казват, че е невъзможно или забранено да се дели на нула, това означава, че няма число, съответстващо на резултата от такова деление (възможно е да се дели на нула, но не и да се дели :)).

Защо в училище казват, че не можете да делите на нула?

Следователно, в определениеоперации за деление на a на b, веднага се подчертава, че b ≠ 0.

Ако всичко, написано по-горе, ви се стори твърде сложно, тогава всичко е на вашите ръце: да разделите 8 на 2 означава да разберете колко двойки трябва да вземете, за да получите 8 (отговор: 4). Разделянето на 18 на 3 означава да разберете колко тройки трябва да вземете, за да получите 18 (отговор: 6).

Разделянето на 6 на нула означава да разберете колко нули трябва да вземете, за да получите 6. Без значение колко нули вземете, пак получавате нула, но никога не получавате 6, т.е. деленето на нула не е дефинирано.

Интересен резултат се получава, ако се опитате да разделите числото на нула на калкулатора на android. Екранът ще покаже ∞ (безкрайност) (или - ∞, ако разделите на отрицателно число). Този резултат е неправилен, тъй като няма число ∞. Очевидно програмистите са объркали напълно различни операции - разделяне на числа и намиране на границата на числова последователност n / x, където x → 0. При разделяне на нула на нула ще бъде написано NaN (не е число - не е число).

— Не можеш да делиш на нула! - Повечето ученици запомнят това правило наизуст, без да задават въпроси. Всички деца знаят какво е „не“ и какво ще се случи, ако в отговор попитате: „Защо?“ Но всъщност е много интересно и важно да разберем защо е невъзможно.

Работата е там, че четирите аритметични операции - събиране, изваждане, умножение и деление - всъщност са неравни. Математиците признават само две от тях като пълноценни - събиране и умножение. Тези операции и техните свойства са включени в самата дефиниция на понятието число. Всички други действия са изградени по един или друг начин от тези две.

Помислете например за изваждане. Какво означава 5 - 3 ? Ученикът ще отговори на това просто: трябва да вземете пет елемента, да премахнете (премахнете) три от тях и да видите колко остават. Но математиците гледат на този проблем по съвсем различен начин. Няма изваждане, само събиране. Следователно вписването 5 - 3 означава число, което, когато се добави към число 3 ще даде номера 5 . Това е 5 - 3 е просто съкращение за уравнението: х + 3 = 5. В това уравнение няма изваждане.

Деление на нула

Има само задача - да намерите подходящ номер.

Същото е и с умножението и делението. Записване 8: 4 може да се разбира като резултат от разделянето на осем обекта на четири равни купчини. Но всъщност това е просто съкратена форма на уравнението 4 х = 8.

Тук става ясно защо е невъзможно (или по-скоро невъзможно) да се дели на нула. Записване 5: 0 е съкращение от 0 x = 5. Тоест, тази задача е да се намери число, което, когато се умножи по 0 ще даде 5 . Но знаем, че когато се умножи по 0 винаги се оказва 0 . Това е присъщо свойство на нулата, строго погледнато, част от нейната дефиниция.

Число, което, когато се умножи по 0 ще даде нещо различно от null, просто не съществува. Тоест нашият проблем няма решение. (Да, случва се, не всеки проблем има решение.) 5: 0 не отговаря на никакво конкретно число и просто не означава нищо и следователно няма смисъл. Безсмислието на този запис се изразява накратко, като се казва, че не можете да делите на нула.

Най-внимателните читатели в този момент със сигурност ще попитат: възможно ли е да се раздели нула на нула?

Наистина, тъй като уравнението 0 x = 0успешно решен. Например, можете да вземете х=0, и тогава получаваме 0 0 = 0. Оказва се 0: 0=0 ? Но да не бързаме. Нека се опитаме да вземем х=1. Вземете 0 1 = 0. Правилно? означава, 0: 0 = 1 ? Но можете да вземете произволно число и да получите 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т.н.

Но ако някой номер е подходящ, тогава нямаме причина да изберем който и да е от тях. Тоест не можем да кажем кой номер отговаря на записа 0: 0 . И ако е така, тогава сме принудени да признаем, че този запис също няма смисъл. Оказва се, че дори нула не може да се дели на нула. (В математическия анализ има случаи, когато поради допълнителни условия на проблема може да се даде предпочитание на един от възможните варианти за решаване на уравнението 0 x = 0; в такива случаи математиците говорят за „разкриване на неопределеност“, но в аритметиката такива случаи не се срещат.)

Това е особеността на операцията за разделяне. По-точно, операцията умножение и свързаното с нея число имат нула.

Е, най-внимателният, прочел дотук, може да попита: защо е така, че не можете да разделите на нула, но можете да извадите нула? В известен смисъл тук започва истинската математика. На него може да се отговори само чрез запознаване с формалните математически определения на числовите множества и операциите върху тях. Не е толкова трудно, но по някаква причина не се изучава в училище. Но в лекциите по математика в университета ще ви учат на първо място това.

Функцията за деление не е дефинирана за диапазон, където делителят е нула. Можете да разделите, но резултатът не е определен

Не можете да делтите с нула. Математика 2 клас гимназия.

Ако паметта ми не ме лъже, тогава нулата може да бъде представена като безкрайно малка стойност, така че ще има безкрайност. А училищното "нула - нищо" е просто опростяване, толкова много ги има в училищната математика. Но без тях по никакъв начин, всичко навреме.

Влезте, за да напишете отговор

Деление на нула

Лично от деление на нуланяма друго число освен нула.

Разсъждението тук е следното: тъй като в този случай нито едно число не може да удовлетвори определението за частно.

Да напишем например

каквото и число да вземете за тестване (да речем 2, 3, 7), то не е добро, защото:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Какво се случва, ако разделите на 0?

и т.н., но трябва да получите в продукта 2,3,7.

Можем да кажем, че задачата за деление на число, различно от нула, няма решение. Въпреки това, число, различно от нула, може да бъде разделено на число, произволно близко до нула, и колкото по-близо до нула е делителя, толкова по-голямо ще бъде частното. Така че, ако разделим 7 на

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

след това получаваме частни 70, 700, 7000, 70 000 и т.н., които се увеличават неограничено.

Затова често се казва, че частното при разделянето на 7 на 0 е „безкрайно голямо“ или „равно на безкрайност“ и те пишат

\[7:0 = \infin\]

Значението на този израз е, че ако делителят се доближава до нула, а дивидентът остава равен на 7 (или се доближава до 7), тогава частното се увеличава неограничено.

Примери за изчисление

ДОПЪЛНЕНИЕ

Пример 1

двадесет и четири плюс нулае равно на двадесет и четири.

Пример 2

Седемнадесет цяло и три осми плюс нулае равно на седемнадесет цяло и три осми.

УМНОЖЕНИЕ

Когато умножавате произволно число (цяло число, дробно, положително или отрицателно) по нулаОказва се нула.

Пример 1

петстотин осемдесет и шест пъти нуласе равнява нула.

Пример 2

Нулапо сто тридесет и пет кома шест е равно нула.

Пример 3

Нулаумножете по нуласе равнява нула.

РАЗДЕЛЕНИЕ

Правилата за разделяне на числата едно на друго в случаите, когато едно от тях е нула, се различават в зависимост от това каква точно роля играе самата нула: делимо или делител?

В случаите, когато нулае дивидент, резултатът винаги е равен на него, независимо от стойността на делителя.

Пример 1

Нуларазделено на двеста шестдесет и пет равни нула.

Пример 2

Нуларазделено на седемнадесет петстотин деветдесет и шест равни нула.

= 0

Разделям нула до нуласпоред правилата на математиката е невъзможно. Това означава, че когато се извършва такава процедура, коефициентът е неопределен. Така, теоретично, може да бъде абсолютно всяко число.

0: 0 = 8, защото 8 × 0 = 0

По математика задача като разделяне на нула на нула, няма смисъл, тъй като резултатът му е безкрайно множество. Това твърдение обаче е вярно, ако не са посочени допълнителни данни, които могат да повлияят на крайния резултат.

Те, ако има такива, трябва да показват степента на промяна в големината както на дивидента, така и на делителя и дори преди момента, в който те се превърнат в нула. Ако е дефинирано, тогава израз като нуларазделете на нула, в по-голямата част от случаите може да се придаде някакво значение.