Нормален вектор на равнината, координати на нормалния вектор на равнината. Нормален вектор на права линия Какво е нормален вектор

За да използвате координатния метод, трябва да познавате добре формулите. Има три от тях:

На пръв поглед изглежда заплашително, но само малко практика - и всичко ще работи чудесно.

Задача. Намерете косинуса на ъгъла между векторите a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Тъй като са ни дадени координатите на векторите, ние ги заместваме в първата формула:

Задача. Напишете уравнение за равнината, минаваща през точките M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), ако е известно, че не минава през източникът.

Решение. Общото уравнение на равнината: Ax + By + Cz + D = 0, но тъй като желаната равнина не минава през началото - точката (0; 0; 0) - тогава задаваме D = 1. Тъй като тази равнина минава през точките M, N и K, тогава координатите на тези точки трябва да превърнат уравнението в истинско числово равенство.

Нека заместим координатите на точката M = (2; 0; 1) вместо x, y и z. Ние имаме:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

По същия начин за точките N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получаваме уравненията:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Така че имаме три уравнения и три неизвестни. Съставяме и решаваме системата от уравнения:

Получаваме, че уравнението на равнината има вида: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

Задача. Равнината е дадена от уравнението 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Намерете координатите на вектора, перпендикулярен на дадената равнина.

Решение. Използвайки третата формула, получаваме n = (7; − 2; 4) - това е всичко!

Изчисляване на координати на вектори

Но какво ще стане, ако в задачата няма вектори - има само точки, лежащи на прави линии, и е необходимо да се изчисли ъгълът между тези прави линии? Това е просто: като знаете координатите на точките - началото и края на вектора - можете да изчислите координатите на самия вектор.

За да намерите координатите на вектор, е необходимо да извадите координатите на началото от координатите на неговия край.

Тази теорема работи еднакво както в равнината, така и в пространството. Изразът „изваждане на координати“ означава, че координатата x на друга точка се изважда от координатата x на една точка, след което същото трябва да се направи с координатите y и z. Ето няколко примера:

Задача. Има три точки в пространството, дадени от техните координати: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Намерете координатите на векторите AB, AC и BC.

Да разгледаме вектора AB: началото му е в точка A, а краят му е в точка B. Следователно, за да се намерят неговите координати, е необходимо да се извадят координатите на точка A от координатите на точка B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

По същия начин началото на вектора AC все още е същата точка A, но краят е точка C. Следователно имаме:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

И накрая, за да намерите координатите на вектора BC, е необходимо да извадите координатите на точка B от координатите на точка C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Отговор: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

Обърнете внимание на изчисляването на координатите на последния вектор BC: много хора правят грешки, когато работят с отрицателни числа. Това се отнася за променливата y: точка B има координата y = − 1, а точка C има y = 3. Получаваме точно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, както си мислят много хора. Не правете такива глупави грешки!

Изчисляване на вектори за посоки за прави линии

Ако внимателно прочетете задача C2, ще бъдете изненадани да откриете, че там няма вектори. Има само прави линии и равнини.

Да започнем с прави линии. Тук всичко е просто: на всяка права има поне две различни точки и, обратно, всякакви две различни точки определят една права...

Някой разбира ли какво пише в предния параграф? Самият аз не го разбрах, така че ще го обясня по-просто: в задача C2 линиите винаги са дадени от двойка точки. Ако въведем координатна система и разгледаме вектор с начало и край в тези точки, получаваме така наречения насочващ вектор за права линия:

Защо е необходим този вектор? Въпросът е, че ъгълът между две прави линии е ъгълът между техните вектори на посоката. Така се движим от неразбираеми прави линии към конкретни вектори, чиито координати се изчисляват лесно. Колко лесно? Разгледайте примерите:

Задача. Прави AC и BD 1 са начертани в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Намерете координатите на векторите на посоката на тези линии.

Тъй като дължината на ръбовете на куба не е посочена в условието, задаваме AB = 1. Нека въведем координатна система с начало в точка A и оси x, y, z, насочени по линиите AB, AD и AA 1, съответно. Единичният сегмент е равен на AB = 1.

Сега нека намерим координатите на вектора на посоката за права линия AC. Нуждаем се от две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). От тук получаваме координатите на вектора AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - това е векторът на посоката.

Сега нека се заемем с правата линия BD 1 . Също така има две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Получаваме вектора на посоката BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Отговор: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Задача. В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, са начертани прави AB 1 и AC 1. Намерете координатите на векторите на посоката на тези линии.

Нека представим координатна система: началото е в точка A, оста x съвпада с AB, оста z съвпада с AA 1 , оста y образува равнината OXY с оста x, която съвпада с ABC самолет.

Първо, нека се занимаваме с правата линия AB 1 . Тук всичко е просто: имаме точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Получаваме вектора на посоката AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Сега нека намерим вектора на посоката за AC 1 . Всичко е същото - единствената разлика е, че точката C 1 има ирационални координати. И така, A = (0; 0; 0), така че имаме:

Отговор: AB 1 = (1; 0; 1);

Малка, но много важна забележка за последния пример. Ако началото на вектора съвпада с началото, изчисленията са значително опростени: координатите на вектора са просто равни на координатите на края. За съжаление това важи само за векторите. Например, когато работите със самолети, наличието на началото на координатите върху тях само усложнява изчисленията.

Изчисляване на нормални вектори за равнини

Нормалните вектори не са вектори, които се справят добре или които се чувстват добре. По дефиниция нормален вектор (нормален) към равнина е вектор, перпендикулярен на дадената равнина.

С други думи, нормал е вектор, перпендикулярен на всеки вектор в дадена равнина. Със сигурност сте попадали на такова определение - обаче вместо вектори ставаше дума за прави линии. Точно по-горе обаче беше показано, че в задачата C2 може да се оперира с всеки удобен обект - дори права линия, дори вектор.

Нека ви напомня още веднъж, че всяка равнина се дефинира в пространството от уравнението Ax + By + Cz + D = 0, където A, B, C и D са някои коефициенти. Без да намаляваме общността на решението, можем да приемем D = 1, ако равнината не минава през началото, или D = 0, ако минава. Във всеки случай координатите на нормалния вектор към тази равнина са n = (A; B; C).

Така че, равнината също може успешно да бъде заменена с вектор - същата норма. Всяка равнина се определя в пространството от три точки. Как да намерим уравнението на равнината (и следователно на нормата), вече обсъдихме в самото начало на статията. Този процес обаче създава проблеми за мнозина, така че ще дам още няколко примера:

Задача. Сечението A 1 BC 1 е начертано в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Намерете нормалния вектор за равнината на този участък, ако началото е в точка A и осите x, y и z съвпадат съответно с ръбовете AB, AD и AA 1.

Тъй като равнината не минава през началото, нейното уравнение изглежда така: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коефициент D \u003d 1. Тъй като тази равнина минава през точки A 1, B и C 1, координатите на тези точки превръщат уравнението на равнината в правилното числово равенство.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

По същия начин за точки B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получаваме уравненията:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коефициентите A = − 1 и C = − 1 вече са ни известни, така че остава да намерим коефициента B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаваме уравнението на равнината: - A + B - C + 1 = 0, Следователно координатите на нормалния вектор са n = (- 1; 1; - 1).

Задача. В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е начертан сечение AA 1 C 1 C. Намерете вектора на нормата за равнината на това сечение, ако началото е в точка A и осите x, y и z съвпадат с ръбове AB, AD и AA 1 съответно.

В този случай равнината минава през началото, така че коефициентът D = 0 и уравнението на равнината изглежда така: Ax + By + Cz = 0. Тъй като равнината минава през точки A 1 и C, координатите на тези точки превръщат уравнението на равнината в правилно числово равенство.

Нека заместим координатите на точката A 1 = (0; 0; 1) вместо x, y и z. Ние имаме:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

По същия начин, за точка C = (1; 1; 0) получаваме уравнението:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Нека B = 1. Тогава A = − B = − 1, а уравнението на цялата равнина е: − A + B = 0. Следователно координатите на нормалния вектор са n = (− 1; 1; 0).

Най-общо казано, в горните задачи е необходимо да се състави система от уравнения и да се реши. Ще има три уравнения и три променливи, но във втория случай едно от тях ще бъде свободно, т.е. приемат произволни стойности. Ето защо имаме право да поставим B = 1 - без да се засяга общостта на решението и правилността на отговора.

Много често в задача C2 се изисква да се работи с точки, които разделят отсечката наполовина. Координатите на такива точки се изчисляват лесно, ако са известни координатите на краищата на отсечката.

И така, нека сегментът е даден от неговите краища - точки A = (x a; y a; z a) и B = (x b; y b; z b). Тогава координатите на средата на сегмента - ние го обозначаваме с точка H - могат да бъдат намерени по формулата:

С други думи, координатите на средата на отсечка са средноаритметичната стойност на координатите на краищата му.

Задача. Единичният куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставен в координатната система така, че осите x, y и z да са насочени по ръбовете AB, AD и AA 1 съответно, а началото съвпада с точка A. Точка K е средата на ръба A 1 B един . Намерете координатите на тази точка.

Тъй като точката K е средата на отсечката A 1 B 1 , нейните координати са равни на средноаритметичната стойност на координатите на краищата. Нека запишем координатите на краищата: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Сега нека намерим координатите на точка K:

Задача. Единичният куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставен в координатната система така, че осите x, y и z да са насочени по ръбовете AB, AD и AA 1 съответно и началото съвпада с точка A. Намерете координатите на точка L, където се пресичат диагоналите на квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

От курса на планиметрията е известно, че пресечната точка на диагоналите на квадрат е еднакво отдалечена от всичките му върхове. По-специално, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L е средата на отсечката A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), така че имаме:

Отговор: L = (0,5; 0,5; 1)

Нормалните вектори не са вектори, които се справят добре или които се чувстват добре. По дефиниция нормален вектор (нормален) към равнина е вектор, перпендикулярен на дадената равнина.

С други думи, нормал е вектор, перпендикулярен на всеки вектор в дадена равнина. Със сигурност сте попадали на такова определение - обаче вместо вектори ставаше дума за прави линии. Точно по-горе обаче беше показано, че в задачата C2 може да се оперира с всеки удобен обект - дори права линия, дори вектор.

Нека ви напомня още веднъж, че всяка равнина се дефинира в пространството от уравнението Ax + By + Cz + D = 0, където A, B, C и D са някои коефициенти. Без да намаляваме общността на решението, можем да приемем D = 1, ако равнината не минава през началото, или D = 0, ако минава. Във всеки случай координатите на нормалния вектор към тази равнина са n = (A; B; C).

Така че, равнината също може успешно да бъде заменена с вектор - същата норма. Всяка равнина се определя в пространството от три точки. Как да намерим уравнението на равнината (и следователно на нормата), вече обсъдихме в самото начало на статията. Този процес обаче създава проблеми за мнозина, така че ще дам още няколко примера:

· Задача . Сечението A 1 BC 1 е начертано в куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Намерете нормалния вектор за равнината на този участък, ако началото е в точка A и осите x, y и z съвпадат съответно с ръбовете AB, AD и AA 1.

Решение. Тъй като равнината не минава през началото, нейното уравнение изглежда така: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коефициент D \u003d 1. Тъй като тази равнина минава през точки A 1, B и C 1, координатите на тези точки превръщат уравнението на равнината в правилното числово равенство.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

По същия начин за точки B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получаваме уравненията:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коефициентите A = − 1 и C = − 1 вече са ни известни, така че остава да намерим коефициента B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаваме уравнението на равнината: - A + B - C + 1 = 0, Следователно координатите на нормалния вектор са n = (- 1; 1; - 1).

Отговор: n = (− 1; 1; − 1)

· Задача . В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е начертан сечение AA 1 C 1 C. Намерете вектора на нормата за равнината на това сечение, ако началото е в точка A и осите x, y и z съвпадат с ръбове AB, AD и AA 1 съответно.

Решение. В този случай равнината минава през началото, така че коефициентът D = 0 и уравнението на равнината изглежда така: Ax + By + Cz = 0. Тъй като равнината минава през точки A 1 и C, координатите на тези точки превръщат уравнението на равнината в правилно числово равенство.

Нека заместим координатите на точката A 1 = (0; 0; 1) вместо x, y и z. Ние имаме:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

По същия начин, за точка C = (1; 1; 0) получаваме уравнението:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Нека B = 1. Тогава A = − B = − 1, а уравнението на цялата равнина е: − A + B = 0. Следователно координатите на нормалния вектор са n = (− 1; 1; 0).

Отговор: n = (− 1; 1; 0)

Най-общо казано, в горните задачи е необходимо да се състави система от уравнения и да се реши. Ще има три уравнения и три променливи, но във втория случай едно от тях ще бъде свободно, т.е. приемат произволни стойности. Ето защо имаме право да поставим B = 1 - без да се засяга общостта на решението и правилността на отговора.

Нормален вектор

Равнинска повърхност с две нормали

В диференциалната геометрия, нормалное права линия, ортогонална (перпендикулярна) на допирателна линия към някаква крива или допирателна равнина към някаква повърхност. Те също говорят за нормална посока.

Нормален векторкъм повърхността в дадена точка е единичният вектор, приложен към дадената точка и успореден на посоката на нормалата. За всяка точка на гладка повърхност можете да посочите два нормални вектора, които се различават по посока. Ако върху повърхност може да се дефинира непрекъснато поле от нормални вектори, тогава се казва, че това поле дефинира ориентацияповърхност (тоест избира една от страните). Ако това не може да се направи, повърхността се извиква неориентируеми.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Нормален вектор" в други речници:

нормален вектор- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. нормален вектор вок. Normalenvector, m rus. нормален вектор, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Тази статия или раздел се нуждае от ревизия. Моля, подобрете статията в съответствие с правилата за писане на статии. Векторът на Дарбу е насочващият вектор на моментната ос на въртене, около която се върти придружаващият триедър на кривата L, когато ... ... Wikipedia

Електродинамика на континууми Електродинамика на континууми ... Уикипедия

Векторът на Дарбу е насочващият вектор на моментната ос на въртене, около която се върти придружаващият триедър на кривата L, докато точка M се движи равномерно по кривата L. Векторът на Дарбу лежи в изправящата равнина на кривата L и се изразява в условия на единица ... ... Уикипедия

Градиент (от латински gradiens, genus gradientis walking), вектор, показващ посоката на най-бърза промяна на определено количество, чиято стойност се променя от една точка в пространството в друга (виж Теория на полето). Ако стойността е изразена ... ...

Насочващият вектор d на моментната ос на въртене, около която роякът, придружаващ триедъра на кривата L, се върти, докато точката M се движи равномерно по кривата L. D. c. лежи в изправителната равнина на кривата L и се изразява чрез единични вектори на основната норма ... Математическа енциклопедия

Тази статия или раздел се нуждае от ревизия. Моля, подобрете статията в съответствие с правилата за писане на статии. Хиперповърхност ... Уикипедия

Графичен конвейер хардуерно-софтуерен комплекс за визуализация на триизмерни графики. Съдържание 1 Елементи на триизмерна сцена 1.1 Хардуер 1.2 Софтуерни интерфейси ... Wikipedia

Математическа дисциплина, която изучава свойствата на операциите върху вектори в евклидовото пространство. В същото време концепцията за вектор е математическа абстракция на величини, характеризиращи се не само с числова стойност, но и ... ... Голяма съветска енциклопедия

Този термин има други значения, вижте Самолет. Заявката „Плоскост“ се пренасочва тук. Необходима е отделна статия по тази тема ... Wikipedia

Нормалният вектор на равнината е вектор, който е перпендикулярен на дадената равнина. Очевидно всяка равнина има безкрайно много нормални вектори. Но за решаването на проблемите един ще ни е достатъчен.

Ако равнината е дадена от общото уравнение , след това векторът е нормален вектор на дадената равнина. Само за позор. Всичко, което трябва да се направи, е да се "премахнат" коефициентите от уравнението на равнината.

Три екрана чакат обещаното, нека се върнем към Пример № 1 и да го проверим. Припомням, че там се изискваше да се построи уравнението на равнината с помощта на точка и два вектора. В резултат на решението получаваме уравнението. Ние проверяваме:

Първо заместваме координатите на точката в полученото уравнение:

Получава се правилно равенство, което означава, че точката наистина лежи в дадената равнина.

Второ, премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: . Тъй като векторите са успоредни на равнината и векторът е перпендикулярен на равнината, трябва да са налице следните факти: . Перпендикулярността на векторите може лесно да се провери с помощта на точков продукт:

Заключение: уравнението на равнината е намерено правилно.

В хода на тестването всъщност цитирах следното твърдение на теорията: вектор успоредна на равнината ако и само ако .

Нека решим важен проблем, свързан с урока:

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с . По принцип пейзажът изглежда така:

Съвсем ясно е, че векторите са колинеарни.

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: .

Как да намеря единичния вектор? За да намерите единичния вектор , трябва всекивекторна координата разделено на дължината на вектора .

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Проверка: , което се изискваше за проверка.

Читатели, които внимателно проучиха последния параграф от урока Точково произведение на векторивероятно забеляза това единични векторни координати са точно косинусите на посоката на вектора :

Нека се отклоним от разглобения проблем: когато ви е даден произволен ненулев вектор, а по условие се изисква да се намери нейните косинуси на посоката (последните задачи на урока Точково произведение на вектори), тогава вие всъщност намирате и единичен вектор, колинеарен на дадения.

Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта от намиране на единичен нормален вектор възниква в някои задачи на математическия анализ.

Разбрахме риболова на нормалния вектор, сега ще отговорим на обратния въпрос.