Правилната дроб винаги е по-голяма или по-малка от 1. Правилни и неправилни дроби

Неправилна дроб

квартали

1. Подреденост. аи бима правило, което ви позволява уникално да идентифицирате между тях една и само една от трите отношения: „< », « >' или ' = '. Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две неотрицателни числа и са свързани със същата връзка като две цели числа и ; две неположителни числа аи бса свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж анеотрицателни и б- отрицателно тогава а > б. style="max-width: 98%; височина: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   сумиране на дроби

2. операция за добавяне.За всякакви рационални числа аи бима т.нар правило за сумиране ° С. Самото число обаче ° СНаречен сумачисла аи би се означава , и процесът на намиране на такова число се нарича сумиране. Правилото за сумиране има следната форма: .
3. операция за умножение.За всякакви рационални числа аи бима т.нар правило за умножение, което ги поставя в съответствие с някакво рационално число ° С. Самото число обаче ° СНаречен работачисла аи би се означава , и процесът на намиране на такова число също се нарича умножение. Правилото за умножение е както следва: .
4. Транзитивност на отношението на поръчката.За всяка тройка рационални числа а , би ° Сако апо-малък би бпо-малък ° С, тогава апо-малък ° С, и ако асе равнява би бсе равнява ° С, тогава асе равнява ° С. 6435">Комутивност на събирането. Сборът не се променя от смяна на местата на рационалните членове.
5. Асоциативност на събирането.Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
6. Наличието на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число, когато се сумира.
7. Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се сумира, дава 0.
8. Комутативност на умножението.При промяна на местата на рационалните фактори продуктът не се променя.
9. Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
10. Наличието на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
11. Наличието на реципрочни.Всяко рационално число има обратно рационално число, което, когато се умножи, дава 1.
12. Дистрибутивност на умножението по отношение на събирането.Операцията за умножение е в съответствие с операцията събиране чрез закона за разпределение:
13. Връзка на отношението на поръчката с операцията на събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната част на рационалното неравенство. максимална ширина: 98% височина: авто; ширина: auto;" src="/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Аксиома на Архимед.Каквото и да е рационалното число а, можете да вземете толкова много единици, че тяхната сума да надхвърли а. style="max-width: 98%; височина: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Допълнителни свойства

Всички други свойства, присъщи на рационалните числа, не се отделят като основни, тъй като, най-общо казано, те вече не се основават директно на свойствата на цели числа, а могат да бъдат доказани въз основа на дадените основни свойства или директно чрез дефиницията на някакъв математически обект. Има много такива допълнителни имоти. Тук има смисъл да цитирам само няколко от тях.

Style="max-width: 98%; височина: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Задайте изброимост

Номериране на рационални числа

За да оцените броя на рационалните числа, трябва да намерите мощността на тяхното множество. Лесно е да се докаже, че множеството от рационални числа е изброимо. За да направите това, е достатъчно да се даде алгоритъм, който изброява рационални числа, тоест установява биекция между наборите от рационални и естествени числа.

Най-простият от тези алгоритми е както следва. Съставя се безкрайна таблица с обикновени дроби за всяка и-ти ред във всеки jта колона от която е дроб. За категоричност се приема, че редовете и колоните на тази таблица са номерирани от единица. Клетките на таблицата са обозначени , където и- номера на реда на таблицата, в която се намира клетката, и j- номер на колона.

Получената таблица се управлява от "змия" съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира от първото съвпадение.

В процеса на такъв байпас всяко ново рационално число се приписва на следващото естествено число. Тоест на дроби 1 / 1 се приписва номер 1, на дроби 2 / 1 - номер 2 и т.н. Трябва да се отбележи, че само несводимите дроби са номерирани. Формалният признак за несводимост е равенството на единството на най-големия общ делител на числителя и знаменателя на дроба.

Следвайки този алгоритъм, може да се изброят всички положителни рационални числа. Това означава, че множеството от положителни рационални числа е изброимо. Лесно е да се установи биекция между наборите от положителни и отрицателни рационални числа, просто като се присвои на всяко рационално число неговата противоположност. Че. множеството от отрицателни рационални числа също е изброимо. Обединението им също е изброимо чрез свойството на изброими множества. Множеството от рационални числа също е изброимо като обединение на изброимо множество с крайно.

Твърдението за изчислимостта на множеството от рационални числа може да предизвика известно недоумение, тъй като на пръв поглед се създава впечатлението, че е много по-голямо от множеството от естествени числа. Всъщност това не е така и има достатъчно естествени числа, за да се изброят всички рационални.

Недостатъчност на рационалните числа

Хипотенузата на такъв триъгълник не се изразява с никакво рационално число

Рационални числа от вида 1 / нна свобода нмогат да бъдат измерени произволно малки количества. Този факт създава измамно впечатление, че рационалните числа могат да измерват всякакви геометрични разстояния като цяло. Лесно е да се покаже, че това не е вярно.

От теоремата на Питагор е известно, че хипотенузата на правоъгълен триъгълник се изразява като корен квадратен от сбора на квадратите на неговите катети. Че. дължината на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник с единичен катет е равна на число, чийто квадрат е 2.

Срещаме фракции в живота много по-рано, отколкото започват да учат в училище. Ако разрежете цяла ябълка наполовина, тогава получаваме парче плод - ½. Нарежете го отново - ще бъде ¼. Ето какво представляват дробите. И всичко, изглежда, е просто. За възрастен. За дете (и те започват да изучават тази тема в края на началното училище) абстрактните математически понятия все още са плашещо неразбираеми и учителят трябва да обясни по достъпен начин какво са правилната дроб и неправилната, обикновената и десетичната, какви операции може да се изпълнява с тях и най-важното защо е необходимо всичко това.

Какво представляват дробите

Запознаването с нова тема в училище започва с обикновени дроби. Лесно се разпознават по хоризонталната линия, разделяща двете числа - отгоре и отдолу. Горната част се нарича числител, дъното се нарича знаменател. Има и изписване с малки букви на неправилни и правилни обикновени дроби - чрез наклонена черта, например: ½, 4/9, 384/183. Тази опция се използва, когато височината на реда е ограничена и не е възможно да се приложи "двуетажната" форма на записа. Защо? Да, защото е по-удобно. Малко по-късно ще проверим това.

Освен обикновени има и десетични дроби. Много е лесно да се разграничат между тях: ако в единия случай се използва хоризонтална или наклонена черта, то в другия - запетая, разделяща поредици от числа. Нека видим пример: 2.9; 163,34; 1,953. Умишлено използвахме точката и запетаята като разделител, за да разделим числата. Първият от тях ще се чете така: „две цели, девет десети“.

Нови концепции

Да се ​​върнем към обикновените дроби. Те са два вида.

Дефиницията на правилната дроб е следната: това е такава дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя. Защо е важно? Сега ще видим!

Имате няколко ябълки, нарязани на половинки. Общо - 5 части. Как се казва: имате "две и половина" или "пет секунди" ябълки? Разбира се, първият вариант звучи по-естествено и когато говорим с приятели, ще го използваме. Но ако трябва да изчислите колко плод ще получи всеки, ако в компанията има петима, ще запишем числото 5/2 и ще го разделим на 5 - от гледна точка на математиката, това ще бъде по-ясно.

И така, за назоваване на правилни и неправилни дроби, правилото е следното: ако цяла част (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) може да бъде разграничена във дроб, тогава тя е неправилна. Ако това не може да се направи, както в случая с ½, 13/16, 9/10, ще бъде правилно.

Основно свойство на дроб

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат едновременно или разделят на едно и също число, стойността му няма да се промени. Представете си: тортата е разрязана на 4 равни части и ви дадоха една. Същата торта беше нарязана на осем парчета и ви дадоха две. Не е ли всичко същото? В крайна сметка ¼ и 2/8 са едно и също нещо!

Намаляване

Авторите на задачи и примери в учебниците по математика често се опитват да объркат учениците, като предлагат дроби, които са тромави за писане и всъщност могат да бъдат намалени. Ето пример за правилна дроб: 167/334, което, изглежда, изглежда много "страшно". Но всъщност можем да го запишем като ½. Числото 334 се дели на 167 без остатък - след като направим тази операция, получаваме 2.

смесени числа

Неправилна дроб може да бъде представена като смесено число. Това е, когато цялата част се изнася напред и се записва на нивото на хоризонталната линия. Всъщност изразът приема формата на сума: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и така нататък.

За да извадите цялата част, трябва да разделите числителя на знаменателя. Напишете остатъка от разделението отгоре, над реда и цялата част преди израза. Така получаваме две структурни части: цели единици + правилна фракция.

Можете също да извършите обратната операция - за това трябва да умножите цялата част по знаменателя и да добавите получената стойност към числителя. Нищо сложно.

Умножение и деление

Колкото и да е странно, умножаването на дроби е по-лесно, отколкото добавянето им. Всичко, което се изисква, е да разширите хоризонталната линия: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

С деленето всичко също е просто: трябва да умножите дробите напречно: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Събиране на дроби

Ами ако трябва да извършите събиране или ако те имат различни числа в знаменателя? Няма да работи по същия начин, както при умножението - тук трябва да се разбере дефиницията на правилната дроб и нейната същност. Необходимо е термините да бъдат приведени към общ знаменател, тоест едни и същи числа трябва да се появяват в дъното на двете дроби.

За да направите това, трябва да използвате основното свойство на дроб: умножете двете части по едно и също число. Например, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Как да изберем до кой знаменател да доведем термините? Това трябва да е най-малкото кратно на двата знаменателя: за 1/3 и 1/9 ще бъде 9; за ½ и 1/7 - 14, защото няма по-малка стойност, деляща се на 2 и 7 без остатък.

Използване

За какво са неправилни дроби? В крайна сметка е много по-удобно веднага да изберете цялата част, да получите смесено число - и това е всичко! Оказва се, че ако трябва да умножите или разделите две дроби, е по-изгодно да използвате грешните.

Да вземем следния пример: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Изглежда, че изобщо няма какво да се реже. Но какво ще стане, ако запишем резултата от събирането в първите скоби като неправилна дроб? Вижте: (37/17) / (37/68)

Сега всичко си идва на мястото! Нека напишем примера по такъв начин, че всичко да стане очевидно: (37 * 68) / (17 * 37).

Да намалим 37 в числителя и знаменателя и накрая да разделим горната и долната част на 17. Спомняте ли си основното правило за правилни и неправилни дроби? Можем да ги умножим и разделим на произволно число, стига да го правим едновременно за числителя и знаменателя.

И така, получаваме отговора: 4. Примерът изглеждаше сложен и отговорът съдържа само една цифра. Това често се случва в математиката. Основното нещо е да не се страхувате и да следвате прости правила.

Често срещани грешки

Когато тренира, ученикът може лесно да направи една от популярните грешки. Обикновено те възникват поради невнимание, а понякога и поради факта, че изследваният материал все още не е правилно депозиран в главата.

Често сборът от числата в числителя предизвиква желание за намаляване на отделните му компоненти. Да предположим, че в примера: (13 + 2) / 13, написано без скоби (с хоризонтална линия), много ученици поради неопитност зачеркват 13 отгоре и отдолу. Но това в никакъв случай не трябва да се прави, защото това е груба грешка! Ако вместо събиране имаше знак за умножение, в отговора щяхме да получим числото 2. Но при събиране не се допускат никакви операции с един от термините, а само с целия сбор.

Децата често правят грешки при деленето на дроби. Да вземем две редовни неприводими дроби и да ги разделим една на друга: (5/6) / (25/33). Ученикът може да обърка и да запише получения израз като (5*25) / (6*33). Но това би се случило с умножение и в нашия случай всичко ще бъде малко по-различно: (5 * 33) / (6 * 25). Намаляваме възможното и в отговора ще видим 11/10. Записваме получената неправилна дроб като десетична - 1,1.

Скоби

Не забравяйте, че във всеки математически израз редът на операциите се определя от предимството на знаците за операция и наличието на скоби. При равни други условия последователността от действия се брои отляво надясно. Това важи и за дробите - изразът в числителя или знаменателя се изчислява стриктно според това правило.

Това е резултат от разделянето на едно число на друго. Ако не се разделят напълно, се оказва част - това е всичко.

Как да напиша дроб на компютър

Тъй като стандартните инструменти не винаги ви позволяват да създадете фракция, състояща се от две „нива“, учениците понякога прибягват до различни трикове. Например, те копират числителите и знаменателите в редактора на Paint и ги залепват заедно, като чертаят хоризонтална линия между тях. Разбира се, има и по-проста опция, която, между другото, предоставя и много допълнителни функции, които ще ви бъдат полезни в бъдеще.

Отворете Microsoft Word. Един от панелите в горната част на екрана се нарича "Вмъкване" - щракнете върху него. Отдясно, от страната, където се намират иконите за затваряне и минимизиране на прозореца, има бутон Формула. Точно това ни трябва!

Ако използвате тази функция, на екрана ще се появи правоъгълна област, в която можете да използвате всякакви математически символи, които не са налични на клавиатурата, както и да пишете дроби в класическата форма. Тоест, разделяне на числителя и знаменателя с хоризонтална лента. Може дори да се изненадате, че такава правилна дроб е толкова лесна за запис.

Научете математика

Ако сте в 5-6 клас, тогава скоро познанията по математика (включително умението да се работи с дроби!) Ще се изискват по много учебни предмети. В почти всеки проблем във физиката, при измерване на масата на веществата в химията, в геометрията и тригонометрията, дробите не могат да бъдат премахнати. Скоро ще се научите да изчислявате всичко в ума си, без дори да пишете изрази на хартия, но ще се появяват все по-сложни примери. Затова научете какво е правилна дроб и как да работите с нея, следете учебната програма, правете домашната си навреме и тогава ще успеете.

При думата „дроби“ много настръхват. Защото помня училището и задачите, които се решаваха по математика. Това беше задължение, което трябваше да бъде изпълнено. Но какво, ако третираме задачите, съдържащи правилни и неправилни дроби, като пъзел? В крайна сметка много възрастни решават цифрови и японски кръстословици. Разберете правилата и това е. И тук така. Човек трябва само да се задълбочи в теорията - и всичко ще си дойде на мястото. И примерите ще се превърнат в начин за трениране на мозъка.

Какви видове дроби има?

Нека започнем с това какво представлява. Дроба е число, което има част от едно. Може да бъде написано в две форми. Първият се нарича обикновен. Тоест такъв, който има хоризонтален или наклонен ход. То се равнява на знака за деление.

В такава нотация числото над тирето се нарича числител, а под него се нарича знаменател.

Сред обикновените дроби се разграничават правилните и грешните дроби. При първия числителят по модул винаги е по-малък от знаменателя. Погрешните се наричат ​​така, защото имат обратното. Стойността на правилната дроб винаги е по-малка от единица. Докато грешното винаги е по-голямо от това число.

Има и смесени числа, тоест такива, които имат цяла и дробна част.

Вторият тип нотация е десетичната. За отделния й разговор.

Каква е разликата между неправилните дроби и смесените числа?

По принцип нищо. Това е просто различно обозначение на едно и също число. Неправилните дроби след прости операции лесно се превръщат в смесени числа. И обратно.

Всичко зависи от конкретната ситуация. Понякога в задачите е по-удобно да използвате неправилна дроб. И понякога е необходимо да го преведете в смесено число и тогава примерът ще бъде решен много лесно. Следователно какво да използвате: неправилни дроби, смесени числа - зависи от наблюдението на решаващия задачата.

Смесеното число също се сравнява със сумата на цялата част и дробната част. Освен това второто винаги е по-малко от единица.

Как да представим смесено число като неправилна дроб?

Ако искате да извършите някакво действие с няколко числа, които са написани в различни форми, тогава трябва да ги направите еднакви. Един от методите е да представите числата като неправилни дроби.

За целта ще трябва да следвате следния алгоритъм:

• умножете знаменателя по цялата част;
• добавете стойността на числителя към резултата;
• напишете отговора над реда;
• оставете знаменателя същият.

Ето примери за това как да пишете неправилни дроби от смесени числа:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

Как да напишем неправилна дроб като смесено число?

Следващият метод е противоположен на разгледания по-горе. Тоест, когато всички смесени числа се заменят с неправилни дроби. Алгоритъмът на действията ще бъде както следва:

• разделете числителя на знаменателя, за да получите остатъка;
• напишете частното на мястото на цялата част от смесеното;
• остатъкът трябва да бъде поставен над линията;
• делителят ще бъде знаменател.

Примери за такава трансформация:

76/14; 76:14 = 5 с остатък от 6; отговорът е 5 цели числа и 6/14; дробната част в този пример трябва да бъде намалена с 2, получавате 3/7; крайният отговор е 5 цели 3/7.

108/54; след разделяне се получава коефициент 2 без остатък; това означава, че не всички неправилни дроби могат да бъдат представени като смесено число; отговорът е цяло число - 2.

Как превръщате цяло число в неправилна дроб?

Има ситуации, когато такова действие е необходимо. За да получите неправилни дроби с предварително определен знаменател, ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

• умножете цяло число по желания знаменател;
• напишете тази стойност над реда;
• поставете знаменател под него.

Най-простият вариант е, когато знаменателят е равен на единица. Тогава няма нужда да се умножава. Достатъчно е просто да напишете цяло число, което е дадено в примера, и да поставите единица под реда.

Пример: Направете 5 неправилна дроб със знаменател 3. След като умножите 5 по 3, получавате 15. Това число ще бъде знаменателят. Отговорът на задачата е дроб: 15/3.

Два подхода за решаване на задачи с различни числа

В примера се изисква да се изчисли сумата и разликата, както и произведението и частното от две числа: 2 цели числа 3/5 и 14/11.

В първия подходсмесеното число ще бъде представено като неправилна дроб.

След като изпълните стъпките, описани по-горе, получавате следната стойност: 13/5.

За да разберете сумата, трябва да намалите дробите до един и същ знаменател. 13/5, умножено по 11, става 143/55. И 14/11 след умножение по 5 ще приеме формата: 70/55. За да изчислите сумата, трябва само да добавите числителите: 143 и 70 и след това да запишете отговора с един знаменател. 213/55 - тази неправилна дроб е отговорът на задачата.

При намиране на разликата същите тези числа се изваждат: 143 - 70 = 73. Отговорът е дроб: 73/55.

Когато умножавате 13/5 и 14/11, не е необходимо да свеждате до общ знаменател. Просто умножете числителите и знаменателите по двойки. Отговорът ще бъде: 182/55.

По същия начин и с разделянето. За правилното решение трябва да замените деленето с умножение и да обърнете делителя: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Във втория подходНеправилната дроб се превръща в смесено число.

След извършване на действията на алгоритъма, 14/11 ще се превърне в смесено число с цяла част от 1 и дробна част от 3/11.

Когато изчислявате сумата, трябва да добавите поотделно целите и дробните части. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Крайният отговор е 3 цели 48/55. В първия подход имаше дроб 213/55. Можете да проверите правилността, като я преобразувате в смесено число. След разделяне на 213 на 55, частното е 3, а остатъкът е 48. Лесно е да се види, че отговорът е правилен.

При изваждане знакът "+" се заменя с "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. За да проверите отговора от предишния подход, трябва да го преобразувате в смесено число: 73 се дели на 55 и получавате частно от 1 и остатъка от 18.

За да намерите продукта и коефициента, е неудобно да използвате смесени числа. Тук винаги се препоръчва да преминете към неправилни дроби.

Те се делят на правилни и грешни.

Правилни дроби

Правилна фракцияе обикновена дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя.

За да разберете дали една дроб е правилна, трябва да сравните нейните членове помежду си. Членовете на дроба се сравняват по правилото за сравняване на естествени числа.

Пример.Помислете за дроб:

пример:

Правила за превод и допълнителни примери можете да намерите в темата Преобразуване на неправилна дроб в смесено число. Можете също да използвате онлайн калкулатора, за да преобразувате неправилна дроб в смесено число.

Сравнение на правилни и неправилни дроби

Всяка неправилна обикновена дроб е по-голяма от правилната, тъй като правилната част винаги е по-малка от единица, а неправилната е по-голяма или равна на единица.

пример:

Правила за сравнение и допълнителни примери могат да бъдат намерени в темата Сравнение на обикновени дроби. Също така, за да сравните дроби или да проверите сравнението, което можете да използвате