Решаване на задачи по теоретична механика. Основна механика за манекени

Теоретична механика- Това е клон от механиката, който излага основните закони на механичното движение и механичното взаимодействие на материалните тела.

Теоретичната механика е наука, в която се изучават движенията на телата във времето (механични движения). Той служи като основа за други раздели на механиката (теория на еластичността, устойчивост на материалите, теория на пластичността, теория на механизмите и машините, хидроаеродинамика) и много технически дисциплини.

механично движение- това е промяна във времето в относителното положение на материалните тела в пространството.

Механично взаимодействие- това е такова взаимодействие, в резултат на което се променя механичното движение или се променя взаимното положение на частите на тялото.

Статика на твърдо тяло

Статика- Това е клон на теоретичната механика, който се занимава с проблемите за равновесието на твърдите тела и преобразуването на една система от сили в друга, еквивалентна на нея.

Основни понятия и закони на статиката

Абсолютно твърдо тяло(твърдо тяло, тяло) е материално тяло, разстоянието между всички точки в което не се променя.
Материална точкае тяло, чиито размери, според условията на задачата, могат да бъдат пренебрегнати.
отпуснато тялое тяло, за движението на което не се налагат ограничения.
Несвободно (свързано) тялое тяло, чието движение е ограничено.
Връзки- това са тела, които пречат на движението на разглеждания обект (тяло или система от тела).
Комуникационна реакцияе сила, която характеризира действието на връзка върху твърдо тяло. Ако разгледаме силата, с която твърдо тяло действа върху връзката като действие, тогава реакцията на връзката е противодействие. В този случай силата - действие се прилага към връзката, а реакцията на връзката се прилага към твърдото тяло.
механична системае съвкупност от взаимосвързани тела или материални точки.
Солиденможе да се разглежда като механична система, чиито позиции и разстояние между точките не се променят.
Силае векторна величина, характеризираща механичното действие на едно материално тяло върху друго.
Силата като вектор се характеризира с точката на приложение, посоката на действие и абсолютната стойност. Мерната единица за модула на силата е Нютон.
линия на силае правата линия, по която е насочен векторът на силата.
Концентрирана мощносте силата, приложена в една точка.
Разпределени сили (разпределено натоварване)- това са сили, действащи върху всички точки от обема, повърхността или дължината на тялото.
Разпределеното натоварване се дава от силата, действаща на единица обем (повърхност, дължина).
Размерът на разпределеното натоварване е N / m 3 (N / m 2, N / m).
Външна силае сила, действаща от тяло, което не принадлежи към разглежданата механична система.
вътрешна силае сила, действаща върху материална точка на механична система от друга материална точка, принадлежаща на разглежданата система.
Силова системае съвкупността от сили, действащи върху механична система.
Плоска система от силие система от сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина.
Пространствена система от силие система от сили, чиито линии на действие не лежат в една и съща равнина.
Система за сближаване на силатае система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.
Произволна система от силие система от сили, чиито линии на действие не се пресичат в една точка.
Еквивалентни системи от сили- това са системи от сили, чиято замяна една с друга не променя механичното състояние на тялото.
Прието обозначение: .
РавновесиеСъстояние, при което тялото остава неподвижно или се движи равномерно по права линия под действието на сили.
Балансирана система от сили- това е система от сили, която, приложена към свободно твърдо тяло, не променя механичното си състояние (не го дисбалансира).
.
резултантна силае сила, чието действие върху тяло е еквивалентно на действието на система от сили.
.
Момент на силае стойност, която характеризира ротационната способност на силата.
Силова двойкае система от две успоредни равни по абсолютна стойност противоположно насочени сили.
Прието обозначение: .
Под действието на няколко сили тялото ще извърши ротационно движение.
Проекция на сила върху оста- това е отсечка, затворена между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази ос.
Проекцията е положителна, ако посоката на отсечката съвпада с положителната посока на оста.
Проекция на сила върху равнинае вектор в равнина, затворена между перпендикулярите, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази равнина.
Закон 1 (закон за инерцията).Изолирана материална точка е в покой или се движи равномерно и праволинейно.
Равномерното и праволинейно движение на материална точка е движение по инерция. Състоянието на равновесие на материална точка и твърдо тяло се разбира не само като състояние на покой, но и като движение по инерция. За твърдо тяло има различни видове инерционно движение, например равномерно въртене на твърдо тяло около фиксирана ос.
Закон 2.Твърдо тяло е в равновесие под действието на две сили само ако тези сили са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по обща линия на действие.
Тези две сили се наричат балансирани.
Най-общо се казва, че силите са балансирани, ако твърдото тяло, към което се прилагат тези сили, е в покой.
Закон 3.Без да се нарушава състоянието (думата "състояние" тук означава състояние на движение или покой) на твърдо тяло, човек може да добавя и отхвърля балансиращите сили.
Последица. Без да се нарушава състоянието на твърдо тяло, силата може да се прехвърли по линията на действие към всяка точка на тялото.
Две системи от сили се наричат еквивалентни, ако една от тях може да бъде заменена с друга, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло.
Закон 4.Резултатът от две сили, приложени в една точка, се прилага в една и съща точка, е равна по абсолютна стойност на диагонала на успоредника, изграден върху тези сили, и е насочена по тази
диагонали.
Модулът на резултата е:
Закон 5 (закон за равенство на действие и реакция). Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и насочени в противоположни посоки по една права линия.
Трябва да се има предвид, че действие- сила, приложена към тялото Б, и опозиция- сила, приложена към тялото НО, не са балансирани, тъй като са прикрепени към различни тела.
Закон 6 (законът на втвърдяването). Равновесието на нетвърдо тяло не се нарушава, когато се втвърди.
Не трябва да се забравя, че условията на равновесие, които са необходими и достатъчни за твърдо тяло, са необходими, но недостатъчни за съответното нетвърдо тяло.
Закон 7 (законът за освобождаване от облигации).Несвободното твърдо вещество може да се счита за свободно, ако е психически освободено от връзки, заменяйки действието на връзките със съответните реакции на връзките.

Връзките и техните реакции

Гладка повърхностограничава движението по нормата към опорната повърхност. Реакцията е насочена перпендикулярно на повърхността.
Съчленена подвижна опораограничава движението на тялото по нормата към референтната равнина. Реакцията е насочена по нормалата към опорната повърхност.
Съчленена фиксирана опорапротиводейства на всяко движение в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
Съчленен безтегловен прътпротиводейства на движението на тялото по линията на пръта. Реакцията ще бъде насочена по линията на пръчката.
Сляпо прекратяванепротиводейства на всяко движение и въртене в равнината. Неговото действие може да бъде заменено от сила, представена под формата на два компонента и двойка сили с момент.

Кинематика

Кинематика- раздел от теоретичната механика, който разглежда общите геометрични свойства на механичното движение, като процес, протичащ в пространството и времето. Движещите се обекти се разглеждат като геометрични точки или геометрични тела.

Основни понятия на кинематиката

Законът за движението на точка (тяло)е зависимостта на положението на точка (тяло) в пространството от времето.
Точкова траекторияе местоположението на позициите на точка в пространството по време на нейното движение.
Скорост на точка (тяло).- това е характеристика на промяната във времето на положението на точка (тяло) в пространството.
Точково (тяло) ускорение- това е характеристика на промяната във времето на скоростта на точка (тяло).

Определяне на кинематичните характеристики на точка

Точкова траектория
Във векторната референтна система траекторията се описва с израза: .
В координатната референтна система траекторията се определя според закона за движението на точката и се описва с изразите z = f(x,y)в космоса, или y = f(x)- в самолета.
В естествена референтна система траекторията е предварително определена.
Определяне на скоростта на точка във векторна координатна система
При определяне на движението на точка във векторна координатна система, съотношението на движението към интервала от време се нарича средна стойност на скоростта в този интервал от време: .
Приемайки интервала от време като безкрайно малка стойност, получаваме стойността на скоростта в даден момент (моментна стойност на скоростта): .
Средният вектор на скоростта е насочен по протежение на вектора в посоката на движение на точката, векторът на моментната скорост е насочен тангенциално към траекторията в посоката на движение на точката.
заключение: скоростта на точка е векторна величина, равна на производната на закона за движение по отношение на времето.
Производно свойство: производната по време на всяка стойност определя скоростта на промяна на тази стойност.
Определяне на скоростта на точка в координатна референтна система
Скорост на промяна на координатите на точката:
.
Модулът на пълната скорост на точка с правоъгълна координатна система ще бъде равен на:
.
Посоката на вектора на скоростта се определя от косинусите на ъглите на управление:
,
където са ъглите между вектора на скоростта и координатните оси.
Определяне на скоростта на точка в естествена референтна система
Скоростта на точка в естествена референтна система се определя като производна на закона за движение на точка: .
Според предишните изводи векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията по посока на движението на точката и по осите се определя само от една проекция.

Кинематика на твърдото тяло

В кинематиката на твърдите тела се решават два основни проблема:
1) задача за движение и определяне на кинематичните характеристики на тялото като цяло;
2) определяне на кинематичните характеристики на точките на тялото.
Транслационно движение на твърдо тяло
Транслационното движение е движение, при което права линия, проведена през две точки на тялото, остава успоредна на първоначалното си положение.
теорема: при транслационно движение всички точки на тялото се движат по едни и същи траектории и във всеки момент от време имат еднакви скорости и ускорения по големина и посока.
заключение: транслационното движение на твърдо тяло се определя от движението на която и да е от неговите точки и следователно задачата и изследването на неговото движение се свежда до кинематиката на точка.
Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана ос
Ротационното движение на твърдо тяло около фиксирана ос е движението на твърдо тяло, при което две точки, принадлежащи на тялото, остават неподвижни през цялото време на движение.
Положението на тялото се определя от ъгъла на въртене. Мерната единица за ъгъл е радиани. (Радиан е централният ъгъл на окръжност, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса, пълният ъгъл на окръжността съдържа 2πрадиан.)
Законът за въртеливото движение на тялото около фиксирана ос.
Ъгловата скорост и ъгловото ускорение на тялото ще се определят по метода на диференциация:
— ъглова скорост, rad/s;
— ъглово ускорение, rad/s².
Ако отрежем тялото с равнина, перпендикулярна на оста, изберете точка от оста на въртене Си произволна точка М, след това точката Мще опише около точката Срадиус кръг Р. По време на dtима елементарно завъртане през ъгъла , докато точката Мще се движи по траекторията на разстояние .
Модул за линейна скорост:
.
точково ускорение Мс известна траектория се определя от неговите компоненти:
,
където .
В резултат на това получаваме формули
тангенциално ускорение: ;
нормално ускорение: .

Динамика

Динамика- Това е клон на теоретичната механика, който изучава механичните движения на материалните тела в зависимост от причините, които ги предизвикват.

Основни понятия за динамиката

инерция- това е свойството на материалните тела да поддържат състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато външни сили не променят това състояние.
Теглое количествена мярка за инерцията на тялото. Единицата за маса е килограм (kg).
Материална точкае тяло с маса, чиито размери се пренебрегват при решаването на този проблем.
Център на масата на механична системае геометрична точка, чиито координати се определят по формулите:

където m k , x k , y k , z k- маса и координати к- тази точка от механичната система, ме масата на системата.
В еднородно поле на тежестта позицията на центъра на масата съвпада с позицията на центъра на тежестта.
Инерционен момент на материално тяло спрямо остае количествена мярка за инерция по време на въртеливо движение.
Инерционният момент на материална точка около оста е равен на произведението на масата на точката и квадрата на разстоянието на точката от оста:
.
Инерционният момент на системата (тялото) около оста е равен на аритметичната сума от инерционните моменти на всички точки:
Силата на инерцията на материална точкае векторна величина, равна по абсолютна стойност на произведението на масата на точка и модула на ускорението и насочена срещу вектора на ускорението:
Сила на инерция на материално тялое векторна величина, равна по абсолютна стойност на произведението на телесната маса и модула на ускорение на центъра на масата на тялото и насочена срещу вектора на ускорението на центъра на масата: ,
където е ускорението на центъра на масата на тялото.
Импулс на елементарна силае векторна величина, равна на произведението на вектора на силата на безкрайно малък интервал от време dt:
.
Общият импулс на сила за Δt е равен на интеграла от елементарните импулси:
.
Елементарна работа на силае скалар dA, равно на скалара

Списък с изпитни въпроси

Техническа механика, нейното определение. Механично движение и механично взаимодействие. Материална точка, механична система, абсолютно твърдо тяло.

Техническа механика - науката за механичното движение и взаимодействието на материалните тела.

Механиката е една от най-древните науки. Терминът "механика" е въведен от изключителния философ на древността Аристотел.

Постиженията на учените в областта на механиката позволяват решаването на сложни практически проблеми в областта на техниката и по същество нито един феномен на природата не може да бъде разбран, без да се разбере от механична страна. И нито едно технологично творение не може да бъде създадено без да се вземат предвид определени механични закони.

механично движение - това е промяна във времето на относителното положение в пространството на материалните тела или относителното положение на части от дадено тяло.

Механично взаимодействие - това са действията на материалните тела едно върху друго, в резултат на което настъпва промяна в движението на тези тела или промяна на формата им (деформация).

Основни понятия:

Материална точка е тяло, чиито размери при дадени условия могат да бъдат пренебрегнати. Има маса и способност да взаимодейства с други тела.

механична система е съвкупност от материални точки, положението и движението на всяка от които зависят от положението и движението на други точки в системата.

Абсолютно твърдо тяло (ATT) е тяло, разстоянието между които и да е две точки винаги остава непроменено.

Теоретична механика и нейните раздели. Проблеми на теоретичната механика.

Теоретична механика е клон на механиката, който изучава законите на движението на телата и общите свойства на тези движения.

Теоретичната механика се състои от три раздела: статика, кинематика и динамика.

Статикаразглежда равновесието на телата и техните системи под действието на силите.

Кинематикаразглежда общите геометрични свойства на движението на телата.

Динамикаизучава движението на телата под действието на сили.

Статични задачи:

1. Преобразуване на системи от сили, действащи върху АТТ, в системи, еквивалентни на тях, т.е. свеждане на тази система от сили до най-простата форма.

2. Определяне на условията на равновесие за системата от сили, действащи върху АТТ.

За решаването на тези проблеми се използват два метода: графичен и аналитичен.

Равновесие. Сила, система от сили. Резултатна сила, концентрирана сила и разпределени сили.

Равновесие е състоянието на покой на едно тяло спрямо други тела.

Сила - това е основната мярка за механичното взаимодействие на материалните тела. Е векторна величина, т.е. Силата се характеризира с три елемента:

точка на приложение;

Линия на действие (посока);

Модул (числова стойност).

Силова система е съвкупността от всички сили, действащи върху разглежданото абсолютно твърдо тяло (ATT)

Силовата система се нарича сближаващи се ако линиите на действие на всички сили се пресичат в една точка.

Системата се нарича апартамент , ако линиите на действие на всички сили лежат в една и съща равнина, иначе пространствена.

Силовата система се нарича успоредно ако линиите на действие на всички сили са успоредни една на друга.

Двете системи от сили се наричат еквивалентен , ако една система от сили, действащи върху абсолютно твърдо тяло, може да бъде заменена с друга система от сили, без да се променя състоянието на покой или движението на тялото.

Балансиран или еквивалентен на нула наречена система от сили, под чието действие свободен АТТ може да бъде в покой.

резултатен сила е сила, чието действие върху тяло или материална точка е еквивалентно на действието на система от сили върху същото тяло.

Външни сили

Нарича се силата, приложена към тялото във всяка една точка концентриран .

Наричат се сили, действащи върху всички точки от определен обем или повърхност разпределени .

Тяло, което не е възпрепятствано да се движи в каквато и да е посока от друго тяло, се нарича свободно тяло.

Външни и вътрешни сили. Свободно и несвободно тяло. Принципът на освобождаване от облигации.

Външни сили наречени силите, с които частите на дадено тяло действат една върху друга.

При решаване на повечето задачи на статиката се изисква несвободно тяло да се представи като свободно, което се прави с помощта на принципа на освобождаване на тялото, който се формулира по следния начин:

всяко несвободно тяло може да се счита за свободно, ако отхвърлим връзките, заменяйки ги с реакции.

В резултат на прилагането на този принцип се получава тяло, което е свободно от връзки и е под действието на определена система от активни и реактивни сили.

Аксиоми на статиката.

Условия, при които едно тяло може да бъде равно Весий,са извлечени от няколко основни положения, приети без доказателства, но потвърдени от експерименти , и се обади аксиоми на статиката.Основните аксиоми на статиката са формулирани от английския учен Нютон (1642-1727) и затова са кръстени на него.

Аксиома I (аксиома за инерцията или първи закон на Нютон).

Всяко тяло запазва състоянието си на покой или праволинейно равномерно движение, докато някои Силитеняма да го изведе от това състояние.

Нарича се способността на тялото да поддържа състоянието си на покой или праволинейно равномерно движение инерция. Въз основа на тази аксиома считаме, че състоянието на равновесие е такова състояние, когато тялото е в покой или се движи по права линия и равномерно (т.е. PO на инерция).

Аксиома II (аксиомата на взаимодействието или третия закон на Нютон).

Ако едно тяло действа върху второто с определена сила, то второто тяло едновременно действа върху първото със сила, равна по големина на противоположната по посока.

Нарича се съвкупността от сили, приложени към дадено тяло (или система от тела). силова система.Силата на действие на тяло върху дадено тяло и силата на реакция на дадено тяло не представляват система от сили, тъй като се прилагат към различни тела.

Ако някаква система от сили има такова свойство, че след като бъде приложена към свободно тяло, не променя състоянието си на равновесие, тогава такава система от сили се нарича балансиран.

Аксиома III (условие на равновесие на две сили).

За равновесието на свободно твърдо тяло под действието на две сили е необходимо и достатъчно тези сили да са равни по абсолютна стойност и да действат в една права линия в противоположни посоки.

необходимоза балансиране на двете сили. Това означава, че ако системата от две сили е в равновесие, тогава тези сили трябва да са равни по абсолютна стойност и да действат в една права линия в противоположни посоки.

Условието, формулирано в тази аксиома е достатъчноза балансиране на двете сили. Това означава, че е вярна обратната формулировка на аксиомата, а именно: ако две сили са равни по абсолютна стойност и действат по една и съща права линия в противоположни посоки, тогава такава система от сили непременно е в равновесие.

По-нататък ще се запознаем с условието за равновесие, което ще бъде необходимо, но не и достатъчно за равновесие.

Аксиома IV.

Равновесието на твърдо тяло няма да бъде нарушено, ако към него се приложи или премахне система от балансирани сили.

Следствие от аксиомите IIIи IV.

Равновесието на твърдо тяло не се нарушава от пренасянето на сила по линията на действие.

Аксиома на паралелограма. Тази аксиома е формулирана по следния начин:

Резултатът на две приложени силида се тяло в една точка, е равна по абсолютна стойност и съвпада по посока с диагонала на успоредника, изграден върху тези сили, и се прилага в същата точка.

Връзки, реакции на връзки. Примери за свързване.

връзкитела, които ограничават движението на дадено тяло в пространството се наричат. Силата, с която тялото действа върху връзката, се нарича налягане;силата, с която връзката действа върху тяло, се нарича реакция.Според аксиомата за взаимодействие реакцията и налягането по модул равнии действат в една и съща права линия в противоположни посоки. Реакцията и налягането се прилагат към различни тела. Външните сили, действащи върху тялото, се разделят на активени реактивен.Активните сили са склонни да движат тялото, към което са приложени, а реактивните сили, чрез връзки, предотвратяват това движение. Основната разлика между активните сили и реактивните сили е, че величината на реактивните сили, най-общо казано, зависи от големината на активните сили, но не обратното. Често се наричат активни сили

Посоката на реакциите се определя от посоката, в която тази връзка пречи на тялото да се движи. Правилото за определяне на посоката на реакциите може да се формулира, както следва:

посоката на реакцията на връзката е противоположна на посоката на разместването, разрушено от тази връзка.

1. Идеално гладка равнина

В този случай реакцията Рнасочен перпендикулярно на референтната равнина към тялото.

2. Идеално гладка повърхност (фиг. 16).

В този случай реакцията R е насочена перпендикулярно на допирателната равнина t - t, т.е. по нормалата към опорната повърхност към тялото.

3. Фиксирана точка или ъглов ръб (фиг. 17, ръб B).

В този случай реакцията R внасочени по нормалата към повърхността на идеално гладко тяло към тялото.

4. Гъвкава връзка (фиг. 17).

Реакцията T на гъвкава връзка е насочена по протежение на пътя c към i s и. От фиг. 17 се вижда, че гъвкавата връзка, хвърлена върху блока, променя посоката на предаваната сила.

5. Идеално гладка цилиндрична панта (фиг. 17, панта НО;ориз. 18, лагер Д).

В този случай само предварително е известно, че реакцията R преминава през оста на шарнира и е перпендикулярна на тази ос.

6. Идеално гладък опорен лагер (фиг. 18, опорен лагер НО).

Опорният лагер може да се разглежда като комбинация от цилиндрична панта и лагерна равнина. Затова ще го направим

7. Идеално гладка сферична става (фиг. 19).

В този случай е известно само предварително, че реакцията R преминава през центъра на шарнира.

8. Пръчка, фиксирана в двата края в идеално гладки панти и натоварена само в краищата (фиг. 18, прът BC).

В този случай реакцията на пръта е насочена по протежение на пръта, тъй като според аксиома III реакциите на пантите Б и Вв равновесие пръчката може да бъде насочена само по линията слънце,по протежение на пръта.

Система от сближаващи се сили. Добавяне на силите, приложени в една точка.

сближаващи сенаречени сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.

Тази глава се занимава със системи от сближаващи се сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина (плоски системи).

Представете си, че върху тялото действа плоска система от пет сили, чиито линии на действие се пресичат в точката О (фиг. 10, а). В § 2 е установено, че силата- плъзгащ се вектор. Следователно всички сили могат да се прехвърлят от точките на тяхното приложение към точката O на пресечната точка на линиите на тяхното действие (фиг. 10, б).

По този начин, всяка система от сближаващи се сили, приложени към различни точки на тялото, може да бъде заменена с еквивалентна система от сили, приложени към една точка.Тази система от сили често се нарича сноп от сили.

Курсът обхваща: кинематика на точка и твърдо тяло (и от различни гледни точки се предлага да се разгледа проблемът за ориентацията на твърдо тяло), класически проблеми на динамиката на механичните системи и динамиката на твърдо тяло, елементи на небесната механика, движение на системи с променлив състав, теория на удара, диференциални уравнения на аналитичната динамика.

Курсът обхваща всички традиционни раздели на теоретичната механика, но специално внимание се отделя на най-смислените и ценни за теория и приложения раздели от динамиката и методите на аналитичната механика; статиката се изучава като раздел динамика, а в раздела кинематика се въвеждат подробно понятията, необходими за раздела динамика и математическия апарат.

Информационни ресурси

Gantmakher F.R. Лекции по аналитична механика. - 3-то изд. – М.: Физматлит, 2001.
Журавлев В.Ф. Основи на теоретичната механика. - 2-ро изд. - М.: Физматлит, 2001; 3-то изд. – М.: Физматлит, 2008.
Маркеев А.П. Теоретична механика. - Москва - Ижевск: Изследователски център "Регулярна и хаотична динамика", 2007г.

Изисквания

Курсът е предназначен за студенти, които притежават апарата за аналитична геометрия и линейна алгебра в обхвата на програмата за първа година на технически университет.

Програма на курса

1. Кинематика на точка
1.1. Проблеми на кинематиката. Декартова координатна система. Разлагане на вектор в ортонормирана основа. Радиус вектор и координати на точката. Точкова скорост и ускорение. Траектория на движение.
1.2. Естествена триъгълна. Разширяване на скоростта и ускорението в осите на естествен триедър (теорема на Хюйгенс).
1.3. Криволинейни точкови координати, примери: полярни, цилиндрични и сферични координатни системи. Компоненти на скоростта и проекции на ускорение върху осите на криволинейна координатна система.

2. Методи за определяне на ориентацията на твърдо тяло
2.1. Солиден. Фиксирани и обвързани с тялото координатни системи.
2.2. Ортогонални ротационни матрици и техните свойства. Теорема за крайния завой на Ойлер.
2.3. Активни и пасивни гледни точки върху ортогоналната трансформация. Добавяне на завои.
2.4. Крайни ъгли на въртене: ъгли на Ойлер и ъгли на "самолет". Изразяване на ортогонална матрица чрез крайни ъгли на въртене.

3. Пространствено движение на твърдо тяло
3.1. Транслационно и въртеливо движение на твърдо тяло. Ъглова скорост и ъглово ускорение.
3.2. Разпределение на скоростите (формулата на Ойлер) и ускоренията (формулата на Съперниците) на точките на твърдо тяло.
3.3. Кинематични инварианти. Кинематичен винт. Моментна винтова ос.

4. Равнопаралелно движение
4.1. Концепцията за плоскопаралелно движение на тялото. Ъглова скорост и ъглово ускорение в случай на плоскопаралелно движение. Моментен център на скоростта.

5. Сложно движение на точка и твърдо тяло
5.1. Фиксирани и подвижни координатни системи. Абсолютно, относително и образно движение на точка.
5.2. Теоремата за събирането на скорости в случай на сложно движение на точка, относителни и фигуративни скорости на точка. Теоремата на Кориолис за събиране на ускорения за сложно движение на точка, относително, транслационно и Кориолисово ускорение на точка.
5.3. Абсолютна, относителна и преносима ъглова скорост и ъглово ускорение на тяло.

6. Движение на твърдо тяло с фиксирана точка (представяне на кватернион)
6.1. Концепцията за комплексни и хиперкомплексни числа. Алгебра на кватерниони. Кватернион продукт. Конюгиран и обратен кватернион, норма и модул.
6.2. Тригонометрично представяне на единичния кватернион. Кватернионен метод за определяне на ротацията на тялото. Теорема за крайния завой на Ойлер.
6.3. Връзка между кватернионни компоненти в различни бази. Добавяне на завои. Параметри на Родригес-Хамилтън.

7. Изпитна работа

8. Основни понятия за динамиката.
8.1 Импулс, ъглов импулс (кинетичен момент), кинетична енергия.
8.2 Мощност на силите, работа на силите, потенциал и обща енергия.
8.3 Център на масата (център на инерцията) на системата. Моментът на инерция на системата спрямо оста.
8.4 Моменти на инерция около успоредни оси; теоремата на Хюйгенс-Щайнер.
8.5 Тензор и елипсоид на инерцията. Главни оси на инерция. Свойства на аксиалните инерционни моменти.
8.6 Изчисляване на ъгловия момент и кинетичната енергия на тялото с помощта на тензора на инерцията.

9. Основни теореми на динамиката в инерционни и неинерционни отправни системи.
9.1 Теорема за промяната на импулса на системата в инерциална референтна система. Теорема за движението на центъра на масите.
9.2 Теорема за промяната на ъгловия импулс на системата в инерциална референтна система.
9.3 Теорема за промяната в кинетичната енергия на системата в инерциална отправна система.
9.4 Потенциални, жироскопични и разсейващи сили.
9.5 Основни теореми на динамиката в неинерциални референтни системи.

10. Движение на твърдо тяло с неподвижна точка по инерция.
10.1 Динамични уравнения на Ойлер.
10.2 Случай на Ойлер, първи интеграли от динамични уравнения; постоянни ротации.
10.3 Тълкувания на Poinsot и Macculag.
10.4 Редовна прецесия в случай на динамична симетрия на тялото.

11. Движение на тежко твърдо тяло с неподвижна точка.
11.1 Обща формулировка на проблема за движението на тежко твърдо тяло наоколо.
фиксирана точка. Динамични уравнения на Ойлер и техните първи интеграли.
11.2 Качествен анализ на движението на твърдо тяло в случая на Лагранж.
11.3 Принудителна редовна прецесия на динамично симетрично твърдо тяло.
11.4 Основната формула на жироскопията.
11.5 Концепцията за елементарната теория на жироскопите.

12. Динамика на точка в централното поле.
12.1 Уравнение на Бине.
12.2 Орбитно уравнение. Законите на Кеплер.
12.3 Проблемът с разсейването.
12.4 Проблемът за две тела. Уравнения на движение. Интеграл по площ, енергиен интеграл, интеграл на Лаплас.

13. Динамика на системи с променлив състав.
13.1 Основни понятия и теореми за промяната на основните динамични величини в системи с променлив състав.
13.2 Движение на материална точка с променлива маса.
13.3 Уравнения на движение на тяло с променлив състав.

14. Теория на импулсивните движения.
14.1 Основни понятия и аксиоми на теорията на импулсивните движения.
14.2 Теореми за промяна на основните динамични величини при импулсивно движение.
14.3 Импулсивно движение на твърдо тяло.
14.4 Сблъсък на две твърди тела.
14.5 Теореми на Карно.

15. Контролна работа

Резултати от обучението

В резултат на овладяването на дисциплината студентът трябва:

Зная:
- основни понятия и теореми на механиката и методите за изследване на движението на механичните системи, произтичащи от тях;
да можете да:
- правилно формулиране на задачи от гледна точка на теоретичната механика;
- разработват механични и математически модели, които отразяват адекватно основните свойства на разглежданите явления;
- прилагат придобитите знания за решаване на съответните специфични проблеми;
Собствен:
- умения за решаване на класически задачи по теоретична механика и математика;
- уменията за изучаване на проблемите на механиката и изграждане на механични и математически модели, които адекватно описват различни механични явления;
- умения за практическо използване на методите и принципите на теоретичната механика при решаване на задачи: изчисляване на сила, определяне на кинематичните характеристики на тела с различни методи за задаване на движение, определяне на закона за движение на материални тела и механични системи под действието на сили;
- умения за самостоятелно овладяване на нова информация в процеса на производствена и научна дейност, като се използват съвременни образователни и информационни технологии;

20-то изд. - М.: 2010. - 416 с.

Книгата очертава основите на механиката на материалната точка, системата от материални точки и твърдо тяло в обем, съответстващ на програмите на техническите университети. Дадени са много примери и задачи, чиито решения са придружени от подходящи насоки. За студенти от редовни и задочни технически университети.

Формат: pdf

Размерът: 14 MB

Гледайте, изтегляйте: drive.google

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор към тринадесетото издание 3
Въведение 5
РАЗДЕЛ ПЪРВИ СТАТИКА НА ТВЪРДОТО ТЕЦ
Глава I. Основни понятия първоначални разпоредби на членове 9
41. Абсолютно твърдо тяло; сила. Задачи на статиката 9
12. Първоначални положения на статиката » 11
$ 3. Връзки и техните реакции 15
Глава II. Състав на силите. Система от сближаващи се сили 18
§4. Геометрично! Метод за комбиниране на силите. Резултат от сближаващи се сили, разлагане на силите 18
f 5. Проекции на сила върху оста и върху равнината, Аналитичен метод за задаване и добавяне на сили 20
16. Равновесие на системата от сближаващи се сили_. . . 23
17. Решаване на задачи на статиката. 25
Глава III. Момент на сила около центъра. Силова двойка 31
i 8. Момент на сила около центъра (или точката) 31
| 9. Няколко сили. двойка момент 33
f 10*. Теореми за еквивалентност и събиране на двойки 35
Глава IV. Привеждане на системата от сили в центъра. Равновесни условия... 37
f 11. Теорема за паралелен пренос на сила 37
112. Привеждане на системата от сили до даден център - . .38
§ 13. Условия за равновесие на система от сили. Теорема за момента на резултата 40
Глава V. Плоска система от сили 41
§ 14. Алгебрични моменти на сила и двойки 41
115. Свеждане на плоска система от сили до най-простата форма .... 44
§ 16. Равновесие на плоска система от сили. Случаят на паралелни сили. 46
§ 17. Решаване на задачи 48
118. Равновесие на системите на телата 63
§ деветнадесет*. Статично детерминирани и статично неопределени системи от тела (структури) 56"
f 20*. Определение на вътрешните сили. 57
§ 21*. Разпределени сили 58
E22*. Изчисляване на плоски ферми 61
Глава VI. Триене 64
! 23. Закони на триенето на плъзгане 64
: 24. Груби реакции на свързване. Ъгъл на триене 66
: 25. Равновесие при наличие на триене 66
(26*. Триене на резба върху цилиндрична повърхност 69
1 27*. Триене при търкаляне 71
Глава VII. Пространствена система от сили 72
§28. Момент на сила около оста. Изчисление на главния вектор
и основният момент на системата от сили 72
§ 29*. Свеждане на пространствената система от сили до най-простата форма 77
§тридесет. Равновесие на произволна пространствена система от сили. Случаят на паралелни сили
Глава VIII. Център на тежестта 86
§31. Център на паралелните сили 86
§ 32. Силово поле. Център на тежестта на твърдо тяло 88
§ 33. Координати на центровете на тежестта на еднородни тела 89
§ 34. Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата. 90
§ 35. Центрове на тежестта на някои еднородни тела 93
РАЗДЕЛ ВТОРИ КИНЕМАТИКА НА ТОЧКА И ТВЪРДОТО ТЯЛО
Глава IX. Кинематика на точката 95
§ 36. Въведение в кинематиката 95
§ 37. Методи за уточняване на движението на точка. . 96
§38. Точков вектор на скоростта,. 99
§ 39
§40. Определяне на скоростта и ускорението на точка с координатния метод за определяне на движение 102
§41. Решаване на задачи на точковата кинематика 103
§ 42. Оси на естествен триедър. Числова стойност на скоростта 107
§ 43. Тангенс и нормално ускорение на точка 108
§44. Някои специални случаи на движение на точка в софтуера
§45. Графики на движение, скорост и ускорение на точка 112
§ 46. Решаване на задачи< 114
§47*. Скорост и ускорение на точка в полярни координати 116
Глава X. Транслационни и въртеливи движения на твърдо тяло. . 117
§48. Преводно движение 117
§ 49. Въртетелно движение на твърдо тяло около ос. Ъглова скорост и ъглово ускорение 119
§ петдесет. Равномерно и равномерно въртене 121
§51. Скорости и ускорения на точките на въртящо се тяло 122
Глава XI. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 127
§52. Уравнения на плоскопаралелно движение (движение на плоска фигура). Разлагане на движението на транслационно и ротационно 127
§53*. Определяне на траектории на точки от плоска фигура 129
§54. Определяне на скоростите на точките върху равна фигура 130
§ 55. Теорема за проекциите на скоростите на две точки от тялото 131
§ 56. Определяне на скоростите на точките на плоска фигура с помощта на моментния център на скоростите. Концепцията за центроиди 132
§57. Решаване на задача 136
§58*. Определяне на ускоренията на точките на плоска фигура 140
§59*. Незабавен център на ускорение "*"*
Глава XII*. Движение на твърдо тяло около фиксирана точка и движение на свободно твърдо тяло 147
§ 60. Движение на твърдо тяло с една неподвижна точка. 147
§61. Кинематични уравнения на Ойлер 149
§62. Скорости и ускорения на точките на тялото 150
§ 63. Общ случай на движение на свободно твърдо тяло 153
Глава XIII. Сложно движение на точката 155
§ 64. Относителни, фигуративни и абсолютни движения 155
§ 65, Теорема за добавяне на скорост » 156
§66. Теоремата за събирането на ускорения (теорема на Кориолс) 160
§67. Решаване на проблеми 16*
Глава XIV*. Сложно движение на твърдо тяло 169
§68. Добавяне на транслационни движения 169
§69. Добавяне на завъртания около две успоредни оси 169
§70. Цилиндрични зъбни колела 172
§ 71. Събиране на завъртания около пресичащи се оси 174
§72. Добавяне на транслационни и ротационни движения. Винтово движение 176
РАЗДЕЛ ТРЕТИ ДИНАМИКА НА ТОЧКА
Глава XV: Въведение в динамиката. Закони на динамиката 180
§ 73. Основни понятия и определения 180
§ 74. Закони на динамиката. Проблеми на динамиката на материална точка 181
§ 75. Системи от единици 183
§76. Основни видове сили 184
Глава XVI. Диференциални уравнения на движението на точка. Решаване на задачи за точкова динамика 186
§ 77. Диференциални уравнения, движения на материална точка No 6
§ 78. Решение на първата задача на динамиката (определяне на силите от дадено движение) 187
§ 79. Решение на основния проблем за динамиката при праволинейното движение на точка 189
§ 80. Примери за решаване на задачи 191
§81*. Падане на тяло в устойчива среда (във въздух) 196
§82. Решение на основния проблем на динамиката с криволинейно движение на точка 197
Глава XVII. Общи теореми на динамиката на точките 201
§83. Количеството движение на точката. Силов импулс 201
§ S4. Теорема за промяната на импулса на точка 202
§ 85. Теоремата за изменението на ъгловия импулс на точка (теорема за моментите) „204
§86*. Движение под действието на централна сила. Закон за областите.. 266
§ 8-7. Принудителна работа. Мощност 208
§88. Примери за изчисляване на работата 210
§89. Теорема за промяната в кинетичната енергия на точка. "... 213J
Глава XVIII. Несвободно и относително движение на точка 219
§90. Несвободно движение на точка. 219
§91. Относително движение на точка 223
§ 92. Влияние на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата... 227
Раздел 93*. Отклонение на падащата точка от вертикалата поради въртенето на Земята „230
Глава XIX. Праволинейни флуктуации на точка. . . 232
§ 94. Свободни вибрации без отчитане на силите на съпротивление 232
§ 95. Свободни трептения с вискозно съпротивление (затихващи трептения) 238
§96. Принудителни вибрации. Резонанс 241
Глава ХХ*. Движение на тяло в полето на тежестта 250
§ 97. Движение на хвърлено тяло в земното гравитационно поле „250
§98. Изкуствени спътници на Земята. Елиптични траектории. 254
§ 99. Концепцията за безтегловност. „Локални референтни системи 257
ЧЕТВЪРТИ РАЗДЕЛ ДИНАМИКА НА СИСТЕМАТА И ТВЪРДОТО ТЯЛО
G i a v a XXI. Въведение в системната динамика. инерционни моменти. 263
§ 100. Механична система. Външни и вътрешни сили 263
§ 101. Маса на системата. Център на тежестта 264
§ 102. Момент на инерция на тяло спрямо ос. Радиус на инерция. . 265
$ 103. Моменти на инерция на тяло спрямо успоредни оси. Теорема на Хюйгенс 268
§ 104*. центробежни инерционни моменти. Понятия за главните оси на инерция на тялото 269
$105*. Момент на инерция на тяло около произволна ос. 271
Глава XXII. Теорема за движението на центъра на масата на системата 273
$ 106. Диференциални уравнения на движението на системата 273
§ 107. Теоремата за движението на центъра на масите 274
$ 108. Закон за запазване на движението на центъра на масата 276
§ 109. Решаване на задачи 277
Глава XXIII. Теорема за промяната в количеството на подвижна система. . 280
$ НО. Брой на системата за движение 280
§111. Теорема за промяна на импулса 281
§ 112. Закон за запазване на импулса 282
$113*. Приложение на теоремата към движението на течност (газ) 284
§ 114*. Тяло с променлива маса. Ракетно движение 287
Гдава XXIV. Теоремата за промяната на момента на импулса на системата 290
§ 115. Основен момент на величините на движение на системата 290
$ 116. Теорема за промяната на главния момент на импулса на системата (теорема за моментите) 292
$117. Законът за запазване на главния момент на импулса. . 294
$ 118. Решаване на проблеми 295
$119*. Прилагане на теоремата за момента към движението на течност (газ) 298
§ 120. Условия на равновесие за механична система 300
Глава XXV. Теорема за промяната в кинетичната енергия на системата. . 301.
§ 121. Кинетична енергия на системата 301
$122. Някои случаи на изчислителна работа 305
$ 123. Теорема за изменението на кинетичната енергия на системата 307
$ 124. Решаване на проблеми 310
$125*. Смесени задачи „314
$ 126. Потенциално силово поле и силова функция 317
$127, Потенциална енергия. Закон за запазване на механичната енергия 320
Глава XXVI. „Прилагане на общи теореми към динамиката на твърдо тяло 323
$12&. Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана ос ". 323"
$ 129. Физическо махало. Експериментално определяне на инерционните моменти. 326
$130. Равнопаралелно движение на твърдо тяло 328
$131*. Елементарна теория на жироскопа 334
$132*. Движение на твърдо тяло около фиксирана точка и движение на свободно твърдо тяло 340
Глава XXVII. Принцип на д'Аламбер 344
$ 133. Принципът на д'Аламбер за точка и механична система. . 344
$ 134. Главен вектор и главен момент на инерционните сили 346
$ 135. Решаване на задачи 348
$136*, Дидемични реакции, действащи върху оста на въртящо се тяло. Балансиране на въртящи се тела 352
Глава XXVIII. Принципът на възможните премествания и общото уравнение на динамиката 357
§ 137. Класификация на връзките 357
§ 138. Възможни измествания на системата. Брой степени на свобода. . 358
§ 139. Принципът на възможните движения 360
§ 140. Решаване на задачи 362
§ 141. Общо уравнение на динамиката 367
Глава XXIX. Условия на равновесие и уравнения на движение на системата в обобщени координати 369
§ 142. Обобщени координати и обобщени скорости. . . 369
§ 143. Обобщени сили 371
§ 144. Условия на равновесие за система в обобщени координати 375
§ 145. Уравнения на Лагранж 376
§ 146. Решаване на задачи 379
Глава XXX*. Малки трептения на системата около положението на стабилно равновесие 387
§ 147. Концепцията за равновесна устойчивост 387
§ 148. Малки свободни вибрации на система с една степен на свобода 389
§ 149. Малки затихващи и принудителни трептения на система с една степен на свобода 392
§ 150. Малки сумарни трептения на система с две степени на свобода 394
Глава XXXI. Елементарна теория на удара 396
§ 151. Основно уравнение на теорията на удара 396
§ 152. Общи теореми на теорията на удара 397
§ 153. Коефициент на възстановяване при удар 399
§ 154. Удар на тялото върху неподвижна преграда 400
§ 155. Пряк централен удар на две тела (удар на топки) 401
§ 156. Загуба на кинетична енергия при нееластичен удар на две тела. Теорема на Карно 403
§ 157*. Удар в въртящо се тяло. Ударен център 405
Индекс 409

Съдържание

Кинематика

Кинематика на материална точка

Определяне на скоростта и ускорението на точка според дадените уравнения на нейното движение

Дадени са: Уравнения за движение на точка: x = 12 sin(πt/6), см; y= 6 cos 2 (πt/6), см.

Задайте вида на траекторията му и за момента от време t = 1 снамират позицията на точка на траекторията, нейната скорост, пълно, тангенциално и нормално ускорения, както и радиуса на кривината на траекторията.

Транслационно и въртеливо движение на твърдо тяло

дадено:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 = 12 см, R 3 = 16 см; s 5 \u003d t 3 - 6t (см).

Определете в момент t = 2 скоростите на точки A, C; ъглово ускорение на колело 3; ускорение в точка B и ускорение на рейка 4.

Кинематичен анализ на плосък механизъм

дадено:
R 1 , R 2 , L, AB, ω 1 .
Намерете: ω 2 .

Плоският механизъм се състои от пръти 1, 2, 3, 4 и плъзгач E. Пръчките са свързани с помощта на цилиндрични панти. Точка D се намира в средата на лентата AB.
Дадено е: ω 1 , ε 1 .
Намерете: скорости V A , V B , V D и V E ; ъглови скорости ω 2 , ω 3 и ω 4 ; ускорение a B ; ъглово ускорение ε AB на звено AB; позиции на моментни центрове на скорости P 2 и P 3 на връзки 2 и 3 на механизма.

Определяне на абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точка

Правоъгълна плоча се върти около фиксирана ос според закона φ = 6 t 2 - 3 t 3. Положителната посока на отчитане на ъгъла φ е показана на фигурите с дъгова стрелка. Оста на въртене OO 1 лежи в равнината на плочата (плочата се върти в пространството).

Точката M се движи по правата линия BD по протежение на плочата. Даден е законът за неговото относително движение, т.е. зависимостта s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - в сантиметри, t - в секунди). Разстояние b = 20 см. На фигурата точка M е показана в позиция, където s = AM > 0 (за с< 0 точка М е от другата страна на точка А).

Намерете абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точка M в момент t 1 = 1 s.

Динамика

Интегриране на диференциални уравнения на движение на материална точка под действието на променливи сили

Товар D с маса m, получил начална скорост V 0 в точка А, се движи в извита тръба ABC, разположена във вертикална равнина. На участъка AB, чиято дължина е l, натоварването се влияе от постоянна сила T (посоката му е показана на фигурата) и силата R на съпротивлението на средата (модулът на тази сила е R = μV 2, векторът R е насочен обратно на скоростта V на товара).

Товарът, след като завърши движението си по участък AB, в точка B на тръбата, без да променя стойността на неговия модул на скоростта, преминава към участък BC. Върху сечението BC върху товара действа променлива сила F, чиято проекция F x върху оста x е дадена.

Разглеждайки товара като материална точка, намерете закона за неговото движение върху сечението BC, т.е. x = f(t), където x = BD. Не обръщайте внимание на триенето на товара върху тръбата.

Изтеглете решение

Теорема за промяната на кинетичната енергия на механична система

Механичната система се състои от тежести 1 и 2, цилиндрична ролка 3, двустепенни макари 4 и 5. Телата на системата са свързани чрез резби, навита на шайби; участъците от нишки са успоредни на съответните равнини. Ролката (твърд хомогенен цилиндър) се търкаля по референтната равнина без плъзгане. Радиусите на стъпалата на макарите 4 и 5 са съответно R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Масата на всяка макара се счита за равномерно разпределена по външния й ръб . Опорните равнини на тежести 1 и 2 са грапави, коефициентът на триене на плъзгане за всяка тежест е f = 0,1.

Под действието на сила F, чийто модул се променя по закона F = F(s), където s е преместването на точката на нейното приложение, системата започва да се движи от състояние на покой. Когато системата се движи, върху макара 5 действат съпротивителни сили, чийто момент спрямо оста на въртене е постоянен и е равен на M 5 .

Определете стойността на ъгловата скорост на макара 4 в момента, когато преместването s на точката на приложение на силата F стане равно на s 1 = 1,2 m.

Изтеглете решение

Приложение на общото уравнение на динамиката за изследване на движението на механична система

За механична система определете линейното ускорение a 1 . Имайте предвид, че за блокове и ролки масите са разпределени по външния радиус. Кабелите и коланите се считат за безтегловни и неразтегливи; няма приплъзване. Игнорирайте триенето при търкаляне и плъзгане.

Изтеглете решение

Прилагане на принципа на д'Аламбер за определяне на реакциите на опорите на въртящо се тяло

Вертикален вал AK, въртящ се равномерно с ъглова скорост ω = 10 s -1, е фиксиран с опорен лагер в точка A и цилиндричен лагер в точка D.

Безтегловен прът 1 с дължина l 1 = 0,3 m е здраво закрепен към вала, в свободния край на който има товар с маса m 1 = 4 kg, и хомогенен прът 2 с дължина l 2 = 0,6 m, с маса m 2 = 8 kg. И двата пръта лежат в една и съща вертикална равнина. Точките на закрепване на прътите към вала, както и ъглите α и β са посочени в таблицата. Размери AB=BD=DE=EK=b, където b = 0,4 м. Вземете товара като материална точка.

Пренебрегвайки масата на вала, определете реакциите на опорния лагер и лагера.