Свойства на система от независими случайни величини. Системи от дискретни случайни променливи

Често при изучаване на случайни явления човек трябва да се занимава не с една случайна променлива, а с две, три или повече. Съвместното изследване на краен брой случайни променливи води до система от случайни променливи. Ето някои примери за системи от произволни променливи:

• 1. Точката на кацане на космическата совалка Space Shuttle се характеризира със система от три произволни променливи: ширина (av), дължина (A,), височина (H).
• 2. Напредъкът на произволно избран студент се характеризира със система от случайни величини - оценки, поставени в приложението към дипломата.

Подреден набор от произволни променливи >,

дадена върху пространството на елементарните събития се нарича система от n случайни променливи. Удобно е да се разглежда като координати на произволен вектор в n-мерно пространство. Системата от n случайни променливи е функция на елементарно събитие, т.е.

На всяко елементарно събитие се приписват n реални числа - стойности, взети от случайни променливи (X, X 2, ..., XJ в резултат на експеримента.

Случайните променливи (X 1? X 2, ..., X), включени в системата, могат да бъдат дискретни и недискретни (непрекъснати и смесени). Всички основни дефиниции на концепцията за една случайна променлива се прилагат за тях практически без промени.

Да разгледаме система от две случайни променливи (X; Y). Неговите основни концепции лесно се обобщават в случай на по-голям брой компоненти. Система от две случайни променливи (X; Y) може да бъде представена чрез произволна точка в равнината OXY (фиг. 2.18) или произволен вектор (фиг. 2.19).

Пълната характеристика на система от случайни променливи е нейният закон за разпределение, който има различни форми:

• матрица за разпределение;
• разпределителна функция;
• плътност на разпределение.

Аналог на разпределителната серия на дискретна случайна променлива X за система от две случайни променливи (X, Y) е матрицата на разпределение - правоъгълна таблица, в която

локализирани вероятности

Едно събитие е продукт на събития (X = х г)

и (Y = y).

Матрицата на разпределение на две дискретни случайни променливи има формата:

забележи това

На фиг. 2.20 показва графика на разпределението на двумерна дискретна случайна променлива (X, Y).

Познавайки матрицата на разпределение на двумерна дискретна случайна променлива (X,Y), е възможно да се определи редът на разпределение на всеки от компонентите (обратното обикновено е невъзможно).

Необходимите формули изглеждат така:

Най-универсалната формула за закона на разпределението за система от две случайни променливи е функцията на разпределение, която означаваме F(x, y).

Функцията на разпределение на две случайни величини (X, Y) е вероятността за съвместно изпълнение на неравенството: X x и Y y, т.е.

Геометрично F(x, y)се интерпретира като вероятността случайна точка (X, Y) да попадне в безкраен квадрат с връх в точката ( x, y),който се намира вляво и под него (фиг. 2.21).

Имайте предвид, че горната и дясната граница на квадрата не са включени в него.

Ако е дадена матрицата на разпределение на две дискретни случайни променливи (2.49), тогава функцията на разпределение на двумерната случайна променлива се определя по формулата:

Нека представим някои свойства на функцията на разпределение на двумерна случайна величина.

1. Набор от стойности на функцията на разпределение F(x, y)принадлежи към сегмента, т.е.

2. Разпределителна функция F(x, y)е ненамаляваща функция на двата й аргумента, т.е.

3. Ако поне един от аргументите на функцията за разпределение F(x, y)се превръща в -oo, тогава функцията на разпределение изчезва, т.е.

• 4. Ако и двата аргумента на функцията за разпределение F(x, y)се превръща в + oo, тогава става равно на единица, т.е. F (+ oo, + oo) = 1.
• 5. Ако един от аргументите на функцията на разпределение се превърне в +oo, тогава функцията на разпределение на системата от две случайни величини става функция на разпределение на случайната променлива, която съответства на другия аргумент, т.е.

където F x (x) и F 2 (y) - функции на разпределение на произволни променливи X и Y, съответно.

6. Функция на разпределение на система от две случайни величини F(x, y)е оставена непрекъсната във всеки свой аргумент, т.е.

Познаване на функцията на разпределение F(x, y),може да се намери вероятността да се удари произволна точка ( х, Y) в правоъгълник G със страни, успоредни на координатните оси, ограничени от абсцисите а, би ординати c и d, като лявата и долната граница са включени в G, докато дясната и горната не са включени (фиг. 2.22).

Ако функцията на разпределение F(x, y)е непрекъсната и диференцируема по отношение на всеки от аргументите, тогава системата от две случайни променливи (X, Y) е непрекъсната, а компонентите на тази система са непрекъснати случайни променливи.

За непрекъснати двуизмерни произволни променливи концепцията за плътност на разпределението (или плътност на съвместно разпределение) се въвежда като закон за разпределение f(x, y),което е втората смесена частична производна на функцията на разпределение, т.е.

Плътност на разпределение f(x, y)представлява определена повърхност, която се нарича разпределителна повърхност (фиг. 2.23).

Плътност на разпределение f(x, y)има следните свойства:

• 1) плътността на разпределение е неотрицателна функция, т.е. f(x, y) > 0;
• 2) обемът, ограничен от разпределителната повърхност и Oxy равнината е равен на единица, т.е.

3) вероятността да се удари произволна точка (X, Y) в областта G се определя по формулата

4) функцията на разпределение на система от две случайни променливи (X, Y) се изразява чрез общата плътност на разпределение, както следва:

Както в случая на една случайна променлива, ние въвеждаме концепцията за елемент на вероятността за система от две непрекъснати случайни променливи: f(x, y)dxdy.

До безкрайно малки по-високи порядки, елементът на вероятността f(x, y)dxdyе равна на вероятността да се удари произволна точка (X, Y) в елементарен правоъгълник с размери dx и dyв съседство с точка (x, y)(фиг. 2.24).

Тази вероятност е приблизително равна на обема на елементарен паралелепипед с височина f(x, y),която се основава на дадения правоъгълник.

Плътностите на разпределение на едномерните компоненти X и Y на двумерна непрекъсната случайна променлива се намират по формулите

Като се знае плътността на съвместното разпределение на двумерна непрекъсната случайна променлива f(x, y),можете да намерите функцията на разпределение на всеки от компонентите му:

Ако законите за разпределение на случайните променливи X и Y, които са включени в системата (X, Y), са известни, тогава е възможно да се определи законът на разпределението на системата само ако случайните променливи X и Y са независими. Две случайни променливи X и Y ще бъдат независими само ако законът на разпределението на всяка от тях не зависи от това какви стойности приема другият. В противен случай стойностите на X и Y ще бъдат зависими.

Нека представим без доказателство условията за независимост на две случайни величини.

Теорема 2.2.За да бъдат независими две дискретни случайни променливи X и Y, образуващи системата (X, Y), е необходимо и достатъчно равенството

за Vi = 1, Пи j = 1, т.

Теорема 2.3.За да бъдат независими произволните променливи X и Y, включени в системата (X, Y), е необходимо и достатъчно функцията на разпределение на системата да е равна на произведението на функциите на разпределение на нейните компоненти, т.е.

Теорема 2.4.За да бъдат независими непрекъснатите случайни променливи X и Y, включени в системата (X, Y), е необходимо и достатъчно равенството

т.е. общата плътност на разпределение на системата (X, Y) трябва да бъде равна на произведението от плътностите на разпределение на нейните компоненти.

В случай, че произволните променливи X и Y, които образуват системата, са зависими, за да се характеризира тяхната зависимост, се въвеждат понятията за условни закони на разпределение на случайните величини.

Няма да засягаме законите за условно разпространение в това ръководство. Желаещите могат да се запознаят с тях, например в.

Точно като една произволна променлива X, система от две произволни променливи (X, Y) може да бъде определена чрез числови характеристики. Като такива обикновено се използват началните и централните моменти на различни порядки.

Началният момент на поръчката (да се + с) на система от две случайни променливи (X и Y) се нарича очакване на продукта X kна Y s ,т.е.

Централен момент на поръчката (да се+ s) на система от две случайни променливи (X, Y) се нарича математическо очакване

върши работа X kна U®, т.е.

където са центрирани произволно

количества.

Припомнете си, че редът на началния и централния моменти е сумата от неговите индекси, т.е. (да се+ s).

Представяме формули за намиране на началния и централния моменти.

За система от две дискретни случайни променливи имаме
Припомнете си това

За система от две непрекъснати случайни променливи получаваме

На практика най-често се използват началните и централните моменти от първи и втори ред.

Има два начални момента от първия ред:

Те са математическите очаквания на случайните променливи X и Y.

Точка с координати ( M[X], M[Y]) в равнината OXY - характеристика на позицията на произволна точка (Х, Y), т.е. разпространението му става около точката (M[X, M[Y]).

И двата централни момента от първи ред са равни на нула, т.е.

Има три начални момента от втория ред:

Момент а 11 често се срещат в приложения. От изрази (2.66) и (2.68) следват формулите за изчисляването му:

За система от две дискретни случайни променливи

За система от две непрекъснати случайни величини

Има три централни момента от втори ред:

Първите два момента във формули (2.74) са дисперсии. И момента { се нарича ковариация или корелационен момент на системата от случайни променливи (X,Y). Има специално обозначение K = K xy.От изрази (2.67) и (2.69) следват формулите за изчисляването му:

За система от дискретни случайни променливи

За системи от непрекъснати случайни величини

Централните моменти могат да бъдат изразени чрез начални моменти и обратно. Следователно ковариацията често се изразява чрез начални моменти.

т.е. ковариацията на система от две случайни променливи е равна на средната стойност на техния продукт минус произведението на тяхната средна стойност.

Ето някои свойства на ковариацията:

1. Ковариацията е симетрична, т.е., когато индексите се разменят, тя не се променя:

2. Дисперсията на произволна променлива е нейната ковариация със самата себе си, т.е.

3. Ако случайните променливи X и Йса независими, то ковариацията е нула:

Размерът на корелационния момент е равен на произведението на размерите на случайните променливи X и Y. По-удобно е да се използва безразмерен коефициент, който характеризира само връзката между случайните променливи X и Y. Следователно ковариацията се разделя чрез произведението на стандартните отклонения a[X] x a[Y] и коефициента на корелация се получава:

Този коефициент характеризира степента на зависимост на случайните променливи X и Y, при това не каквато и да е зависимост, а само линейна. За всякакви две случайни променливи X и Y, неравенството

Ако g hu= 0, тогава няма линейна връзка между случайните променливи X и Y и те се наричат ​​некорелирани. Ако g hu f 0, тогава случайните променливи X и Y се наричат ​​корелирани.

Колкото по-близо е r до ±1, толкова по-близка е линейната връзка между случайните променливи X и Y. Ако r = ± 1, тогава има твърда функционална линейна връзка между случайните променливи X и Y

Независимостта на случайните променливи X и Y предполага тяхната липса на корелация. Но обратното не е вярно в общия случай, т.е g hu= 0, то това само показва липсата на линейна връзка между произволни променливи. Те могат да бъдат свързани помежду си чрез криволинейна зависимост.

Нека разгледаме конкретен пример.

Пример 2.5

Дадена е матрицата на разпределение на система от две дискретни случайни променливи (X,Y).

Намерете числени характеристики на системата (X,Y): M[X], M[Y], D[X], D[Y], st[X], a[Y], K)