Ένα δεκαδικό κλάσμα είναι ένας αξιόλογος αριθμός. Κλάσματα

§ 31. Εργασίες και παραδείγματα για όλες τις ενέργειες με δεκαδικά.

Εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

767. Βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης:

772. Υπολογίζω:

Εύρημα Χ , αν:

776. Ο άγνωστος αριθμός πολλαπλασιάστηκε με τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 1 και 0,57 και στο γινόμενο πήραμε 3,44. Βρείτε έναν άγνωστο αριθμό.

777. Ποσό άγνωστος αριθμόςκαι 0,9 πολλαπλασιαζόμενο με τη διαφορά μεταξύ 1 και 0,4 και στο γινόμενο πήραμε 2,412. Βρείτε έναν άγνωστο αριθμό.

778. Σύμφωνα με το διάγραμμα για την τήξη σιδήρου στο RSFSR (Εικ. 36), δημιουργήστε ένα πρόβλημα, για τη λύση του οποίου είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν οι ενέργειες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και της διαίρεσης.

779. 1) Το μήκος της διώρυγας του Σουέζ είναι 165,8 km, το μήκος της διώρυγας του Παναμά είναι 84,7 km λιγότερο από τη διώρυγα του Σουέζ και το μήκος της διώρυγας Λευκής Θάλασσας-Βαλτικής είναι 145,9 km μεγαλύτερο από το μήκος της Διώρυγας του Παναμά. Ποιο είναι το μήκος του καναλιού Λευκής Θάλασσας-Βαλτικής;

2) Μετρό της Μόσχας(έως το 1959) κατασκευάστηκε σε 5 φάσεις. Το μήκος της πρώτης γραμμής του μετρό είναι 11,6 km, η δεύτερη - 14,9 km, το μήκος της τρίτης είναι 1,1 km λιγότερο από το μήκος της δεύτερης γραμμής, το μήκος της τέταρτης γραμμής είναι 9,6 km περισσότερο από την τρίτη γραμμή , και το μήκος της πέμπτης γραμμής είναι 11,5 km λιγότερο τέταρτη. Πόσο είναι το μήκος του μετρό της Μόσχας στις αρχές του 1959;

780. 1) Μέγιστο βάθος Ατλαντικός Ωκεανός 8,5 km, το μεγαλύτερο βάθος του Ειρηνικού Ωκεανού είναι 2,3 km μεγαλύτερο από το βάθος του Ατλαντικού Ωκεανού και το μεγαλύτερο βάθος του Βορρά Αρκτικός ωκεανός 2 φορές λιγότερο από το μεγαλύτερο βάθος Ειρηνικός ωκεανός. Ποιο είναι το μεγαλύτερο βάθος του Αρκτικού Ωκεανού;

2) Το αυτοκίνητο Moskvich καταναλώνει 9 λίτρα βενζίνης ανά 100 km, το αυτοκίνητο Pobeda καταναλώνει 4,5 λίτρα περισσότερο από το Moskvich και το Volga είναι 1,1 φορές περισσότερο από το Pobeda. Πόση βενζίνη καταναλώνει ένα αυτοκίνητο Volga ανά 1 km; (Στρογγυλή απάντηση στο πλησιέστερο 0,01 λίτρο.)

781. 1) Ο μαθητής πήγε στον παππού του στις διακοπές. Με το σιδηρόδρομο, οδήγησε 8,5 ώρες και από τον σταθμό έφιππος 1,5 ώρα. Συνολικά διένυσε 440 χλμ. Με τι ταχύτητα οδηγούσε ο μαθητής στο σιδηρόδρομο αν ιππεύει άλογα με ταχύτητα 10 χλμ την ώρα;

2) Ο συλλογικός αγρότης έπρεπε να βρίσκεται σε σημείο που βρισκόταν σε απόσταση 134,7 χλμ. από το σπίτι του. Για 2,4 ώρες ταξίδεψε με λεωφορείο με μέση ταχύτητα 55 χλμ. την ώρα και την υπόλοιπη διαδρομή περπάτησε με ταχύτητα 4,5 χλμ. την ώρα. Πόση ώρα περπάτησε;

782. 1) Κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού, ένα γοφάρι καταστρέφει περίπου 0,12 εκατοστά ψωμιού. Οι πρωτοπόροι εξόντωσαν 1.250 επίγειους σκίουρους σε 37,5 εκτάρια την άνοιξη. Πόσο ψωμί εξοικονόμησαν οι μαθητές για το συλλογικό αγρόκτημα; Πόσο ψωμί εξοικονομείται ανά 1 εκτάριο;

2) Το συλλογικό αγρόκτημα υπολόγισε ότι καταστρέφοντας γοφάρια σε έκταση 15 εκταρίων καλλιεργήσιμης γης, οι μαθητές εξοικονόμησαν 3,6 τόνους σιτηρών. Πόσοι αλεσμένοι σκίουροι καταστρέφονται κατά μέσο όρο ανά 1 εκτάριο γης εάν ένας αλεσμένος σκίουρος καταστρέψει 0,012 τόνους σιτηρών κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού;

783. 1) Όταν αλέθετε το σιτάρι σε αλεύρι, χάνεται το 0,1 του βάρους του και κατά το ψήσιμο, προκύπτει ένα ψήσιμο ίσο με το 0,4 του βάρους του αλευριού. Πόσο ψημένο ψωμί θα προκύψει από 2,5 τόνους σιτάρι;

2) Το συλλογικό αγρόκτημα συγκέντρωσε 560 τόνους ηλιόσπορους. Πόσο ηλιέλαιο θα παραχθεί από τον συγκομιζόμενο κόκκο εάν το βάρος του κόκκου είναι 0,7 του βάρους των ηλιόσπορων και το βάρος του λαδιού που λαμβάνεται είναι 0,25 του βάρους του κόκκου;

784. 1) Η απόδοση κρέμας από γάλα είναι 0,16 βάρος γάλακτος και η απόδοση βουτύρου από κρέμα είναι 0,25 βάρος κρέμα γάλακτος. Πόση ποσότητα γάλακτος (κατά βάρος) απαιτείται για να ληφθεί 1 κιλό βουτύρου;

2) Πόσα κιλά μανιταριών πορτσίνι πρέπει να συλλεχθούν για να ληφθούν 1 κιλό αποξηραμένα μανιτάρια, εάν απομένει 0,5 βάρος κατά την προετοιμασία για ξήρανση και 0,1 βάρος του επεξεργασμένου μανιταριού παραμένει κατά την ξήρανση;

785. 1) Η γη που παραχωρείται στο συλλογικό αγρόκτημα χρησιμοποιείται ως εξής: το 55% της καταλαμβάνεται από καλλιεργήσιμη γη, το 35% από λιβάδια και η υπόλοιπη έκταση σε ποσό 330,2 εκταρίων διατίθεται για τον κήπο συλλογικής εκμετάλλευσης και για τα κτήματα των συλλογικών αγροτών. Πόση έκταση υπάρχει στο συλλογικό αγρόκτημα;

2) Το συλλογικό αγρόκτημα έσπειρε το 75% της συνολικής σπαρμένης έκτασης με καλλιέργειες σιτηρών, το 20% με κηπευτικά και το υπόλοιπο με κτηνοτροφικά χόρτα. Πόση σπαρμένη έκταση είχε το συλλογικό αγρόκτημα αν έσπερνε 60 στρέμματα με κτηνοτροφικά χόρτα;

786. 1) Πόσα εκατοστά σπόρων θα χρειαστούν για τη σπορά ενός χωραφιού που έχει σχήμα ορθογωνίου μήκους 875 μ. και πλάτους 640 μ., εάν σπαρθούν 1,5 εκατοστό σπόρου ανά 1 εκτάριο;

2) Πόσα centners σπόρων θα χρειαστούν για να σπαρθεί ένα χωράφι που έχει σχήμα ορθογωνίου αν η περίμετρός του είναι 1,6 km; Το πλάτος του χωραφιού είναι 300 μ. Για σπορά 1 στρέμματος απαιτούνται 1,5 q σπόροι.

787. Πόσοι δίσκοι τετράγωνο σχήμαμε πλευρά 0,2 dm θα χωρέσει σε ένα ορθογώνιο διαστάσεων 0,4 dm x 10 dm;

788. Το αναγνωστήριο έχει διαστάσεις 9,6 m x 5 m x 4,5 m. m αέρα;

789. 1) Ποια περιοχή του λιβαδιού θα κοπεί από τρακτέρ με ρυμουλκούμενο τεσσάρων χλοοκοπτικών σε 8 ώρες, εάν το πλάτος εργασίας κάθε χλοοκοπτικού είναι 1,56 m και η ταχύτητα του τρακτέρ είναι 4,5 km ανά ώρα; (Ο χρόνος για στάσεις δεν λαμβάνεται υπόψη.) (Στρογγυλή απάντηση με ακρίβεια 0,1 ha.)

2) Το πλάτος εργασίας του σπαρτήρα λαχανικών τρακτέρ είναι 2,8 μ. Ποια έκταση μπορεί να σπαρθεί με αυτόν τον σπαρτήρα σε 8 ώρες. δουλεύω με ταχύτητα 5 χλμ την ώρα;

790. 1) Βρείτε την απόδοση ενός αρότρου τρακτέρ με τρία αυλάκια σε 10 ώρες. εργασία, εάν η ταχύτητα του τρακτέρ είναι 5 km ανά ώρα, η σύλληψη ενός σώματος είναι 35 cm και η απώλεια χρόνου ήταν 0,1 του συνολικού χρόνου που δαπανήθηκε. (Στρογγυλή απάντηση με ακρίβεια 0,1 ha.)

2) Βρείτε την απόδοση ενός άροτρο τρακτέρ πέντε αυλακιών σε 6 ώρες. εργασία, εάν η ταχύτητα του τρακτέρ είναι 4,5 km ανά ώρα, η σύλληψη ενός σώματος είναι 30 cm και η απώλεια χρόνου ήταν 0,1 του συνολικού χρόνου που δαπανήθηκε. (Στρογγυλή απάντηση με ακρίβεια 0,1 ha.)

791. Η κατανάλωση νερού ανά 5 km διαδρομής για ατμομηχανή επιβατηγού τρένου είναι 0,75 τόνοι Η δεξαμενή νερού του διαγωνισμού χωρά 16,5 τόνους νερού. Πόσα χιλιόμετρα θα έχει αρκετό νερό το τρένο αν η δεξαμενή γεμίσει στο 0,9 της χωρητικότητάς του;

792. Μόνο 120 εμπορευματικά βαγόνια μπορούν να χωρέσουν στην παρακαμπτήριο, με μέσο μήκος βαγονιού 7,6 μ. Πόσα επιβατικά βαγόνια τεσσάρων αξόνων, μήκους 19,2 μ. το καθένα, θα χωρέσουν σε αυτήν την τροχιά εάν τοποθετηθούν 24 ακόμη φορτάμαξες σε αυτήν την τροχιά;

793. Για την αντοχή του σιδηροδρομικού αναχώματος προτείνεται η ενίσχυση των πρανών με σπορά χόρτων του αγρού. Για κάθε τετραγωνικό μέτρο επιχώματος, απαιτούνται 2,8 g σπόρων αξίας 0,25 ρούβλια. για 1 κιλό. Πόσο θα κοστίσει η σπορά 1,02 εκταρίων πλαγιών εάν το κόστος εργασίας είναι 0,4 του κόστους των σπόρων; (Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στο πλησιέστερο 1 τρίψιμο.)

794. Τούβλο εργοστάσιο παραδόθηκε στο σταθμό ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗτούβλα. 25 άλογα και 10 φορτηγά εργάστηκαν για τη μεταφορά τούβλων. Κάθε άλογο μετέφερε 0,7 τόνους ανά ταξίδι και έκανε 4 ταξίδια την ημέρα. Κάθε αυτοκίνητο μετέφερε 2,5 τόνους ανά ταξίδι και έκανε 15 ταξίδια την ημέρα. Το ταξίδι κράτησε 4 μέρες. Πόσα κομμάτια τούβλων παραδόθηκαν στο σταθμό αν το μέσο βάρος ενός τούβλου είναι 3,75 κιλά; (Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στα πλησιέστερα 1.000 κομμάτια.)

795. Το απόθεμα αλευριού κατανεμήθηκε σε τρία αρτοποιεία: το πρώτο έλαβε 0,4 από το συνολικό απόθεμα, το δεύτερο 0,4 από το υπόλοιπο και το τρίτο αρτοποιείο έλαβε 1,6 τόνους λιγότερο αλεύρι από το πρώτο. Πόσο αλεύρι μοιράστηκε συνολικά;

796. Υπάρχουν 176 φοιτητές στο δεύτερο έτος του ινστιτούτου, 0,875 από αυτόν τον αριθμό στο τρίτο έτος και μιάμιση φορά στο πρώτο έτος Εξάλλουήταν στο τρίτο έτος. Ο αριθμός των φοιτητών στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο έτος ήταν 0,75 του συνόλου των φοιτητών αυτού του ινστιτούτου. Πόσοι φοιτητές ήταν στο ινστιτούτο;

___________

797. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο:

1) δύο αριθμοί: 56.8 και 53.4. 705.3 και 707.5;

2) τρεις αριθμοί: 46,5; 37.8 και 36; 0,84; 0,69 και 0,81;

3) τέσσερις αριθμοί: 5,48; 1.36; 3.24 και 2.04.

798. 1) Το πρωί η θερμοκρασία ήταν 13,6°, το μεσημέρι 25,5° και το βράδυ 15,2°. Υπολογίστε τη μέση θερμοκρασία για εκείνη την ημέρα.

2) Τι είναι μέση θερμοκρασίατην εβδομάδα, εάν κατά τη διάρκεια της εβδομάδας το θερμόμετρο έδειξε: 21 °; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°;

799. 1) Η ομάδα του σχολείου ξεβοτάνισε 4,2 εκτάρια τεύτλων την πρώτη μέρα, 3,9 εκτάρια τη δεύτερη ημέρα και 4,5 εκτάρια την τρίτη. Προσδιορίστε τη μέση απόδοση της ταξιαρχίας ανά ημέρα.

2) Για να καθοριστεί ο κανόνας χρόνου για την κατασκευή ενός νέου ανταλλακτικού, προμηθεύτηκαν 3 τορνευτήρες. Ο πρώτος έκανε το μέρος σε 3,2 λεπτά, ο δεύτερος σε 3,8 λεπτά και ο τρίτος σε 4,1 λεπτά. Υπολογίστε τον τυπικό χρόνο που ορίστηκε για την κατασκευή του εξαρτήματος.

800. 1) Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών είναι 36,4. Ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι το 36,8. Βρες άλλον.

2) Η θερμοκρασία του αέρα μετρήθηκε τρεις φορές την ημέρα: το πρωί, το μεσημέρι και το βράδυ. Βρείτε τη θερμοκρασία του αέρα το πρωί, αν το μεσημέρι ήταν 28,4°C, το βράδυ 18,2°C και η μέση θερμοκρασία της ημέρας είναι 20,4°C.

801. 1) Το αυτοκίνητο διένυσε 98,5 χλμ τις πρώτες δύο ώρες και 138 χλμ τις επόμενες τρεις ώρες. Πόσα χιλιόμετρα έκανε το αυτοκίνητο κατά μέσο όρο ανά ώρα;

2) Δοκιμαστικά αλιεύματα και ζύγιση μονοετών έδειξε ότι από τους 10 κυπρίνους 4 ζύγιζαν 0,6 κιλά, 3 ζύγιζαν 0,65 κιλά, 2 ζύγιζαν 0,7 κιλά και 1 ζύγιζε 0,8 κιλά. Ποιο είναι το μέσο βάρος ενός μονοετούς κυπρίνου;

802. 1) Σε 2 λίτρα σιρόπι αξίας 1,05 ρούβλια. για 1 λίτρο προστίθενται 8 λίτρα νερό. Πόσο κοστίζει 1 λίτρο νερό με σιρόπι;

2) Η οικοδέσποινα αγόρασε ένα κουτάκι 0,5 λίτρου κονσερβοποιημένο μπορς για 36 καπίκια. και βράζουμε με 1,5 λίτρο νερό. Πόσο κόστισε ένα πιάτο μπορς αν ο όγκος του είναι 0,5 λίτρο;

803. Εργαστηριακές εργασίες"Μέτρηση της απόστασης μεταξύ δύο σημείων",

1η υποδοχή. Μέτρηση με μεζούρα (μεζούρα). Η τάξη χωρίζεται σε μονάδες των τριών ατόμων η καθεμία. Αξεσουάρ: 5-6 ορόσημα και 8-10 ετικέτες.

Πρόοδος της εργασίας: 1) σημειώνονται τα σημεία Α και Β και χαράσσεται μια ευθεία γραμμή μεταξύ τους (βλ. εργασία 178). 2) Τοποθετήστε τη μεζούρα κατά μήκος της σταθερής ευθείας γραμμής και κάθε φορά σημειώστε το τέλος της μεζούρας με μια ετικέτα. 2η υποδοχή. Μέτρηση, βήματα. Η τάξη χωρίζεται σε μονάδες των τριών ατόμων η καθεμία. Κάθε μαθητής περπατά την απόσταση από το Α στο Β, μετρώντας τον αριθμό των βημάτων που κάνει. Πολλαπλασιάζοντας το μέσο μήκος του βήματος σας με τον αριθμό των βημάτων που προκύπτει, βρείτε την απόσταση από το Α στο Β.

3η υποδοχή. Μέτρηση με το μάτι. Κάθε μαθητής ζωγραφίζει αριστερόχειραςμε ανυψωμένο αντίχειρας(Εικ. 37) και οδηγούς αντίχειραςσε ένα ορόσημο στο σημείο Β (στο σχήμα - ένα δέντρο) έτσι ώστε το αριστερό μάτι (σημείο Α), ο αντίχειρας και το σημείο Β να βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Χωρίς να αλλάξετε θέση, κλείστε το αριστερό μάτι και κοιτάξτε δεξιά τον αντίχειρα. Η μετατόπιση που προκύπτει μετριέται με το μάτι και αυξάνεται κατά 10. Αυτή είναι η απόσταση από το Α στο Β.

_________________

804. 1) Σύμφωνα με την απογραφή του 1959, ο πληθυσμός της ΕΣΣΔ ήταν 208,8 εκατομμύρια άνθρωποι, και αγροτικού πληθυσμούήταν 9,2 εκατομμύρια άνθρωποι περισσότεροι από τους αστικούς. Πόσοι ήταν αστικός και πόσος αγροτικός πληθυσμός στην ΕΣΣΔ το 1959;

2) Σύμφωνα με την απογραφή του 1913, ο πληθυσμός της Ρωσίας ήταν 159,2 εκατομμύρια άνθρωποι και ο αστικός πληθυσμός ήταν 103,0 εκατομμύρια άνθρωποι λιγότερος από τον αγροτικό πληθυσμό. Πόσοι ήταν ο αστικός και αγροτικός πληθυσμός στη Ρωσία το 1913;

805. 1) Το μήκος του σύρματος είναι 24,5 μ. Αυτό το σύρμα κόπηκε σε δύο μέρη έτσι ώστε το πρώτο μέρος αποδείχθηκε ότι ήταν 6,8 m μεγαλύτερο από το δεύτερο. Πόσα μέτρα είναι το κάθε κομμάτι;

2) Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 100,05. Ένας αριθμός είναι 97,06 περισσότερος από έναν άλλο. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

806. 1) Υπάρχουν 8656,2 τόνοι άνθρακα σε τρεις αποθήκες άνθρακα, στη δεύτερη αποθήκη υπάρχουν 247,3 τόνοι περισσότερο άνθρακα από την πρώτη και στην τρίτη είναι 50,8 τόνοι περισσότερο από τη δεύτερη. Πόσοι τόνοι άνθρακα υπάρχουν σε κάθε αποθήκη;

2) Το άθροισμα τριών αριθμών είναι 446,73. Ο πρώτος αριθμός είναι μικρότερος από τον δεύτερο κατά 73,17 και μεγαλύτερος από τον τρίτο κατά 32,22. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

807. 1) Το σκάφος κινούνταν κατά μήκος του ποταμού με ταχύτητα 14,5 χλμ. την ώρα και αντίθετα στο ρεύμα με ταχύτητα 9,5 χλμ. την ώρα. Ποια είναι η ταχύτητα του σκάφους μέσα στάσιμο νερόΚαι ποια είναι η ταχύτητα του ποταμού;

2) Το ατμόπλοιο διένυσε 85,6 km κατά μήκος του ποταμού σε 4 ώρες και 46,2 km ενάντια στο ρεύμα σε 3 ώρες. Ποια είναι η ταχύτητα του σκάφους σε ακίνητο νερό και ποια είναι η ταχύτητα του ποταμού;

_________

808. 1) Δύο πλοία παρέδωσαν 3.500 τόνους φορτίου και το ένα πλοίο παρέδωσε 1,5 φορές περισσότερο φορτίο από το άλλο. Πόσο φορτίο παρέδωσε κάθε πλοίο;

2) Το εμβαδόν των δύο δωματίων είναι 37,2 τ. μ. Το εμβαδόν του ενός δωματίου είναι 2 φορές μεγαλύτερο από το άλλο. Ποιο είναι το εμβαδόν κάθε δωματίου;

809. 1) Από δύο οικισμούς, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 32,4 χλμ., ένας μοτοσικλετιστής και ένας ποδηλάτης έφευγαν ταυτόχρονα ο ένας προς τον άλλο. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει ο καθένας τους πριν συναντηθεί αν η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή είναι 4 φορές μεγαλύτερη από αυτή του ποδηλάτη;

2) Να βρείτε δύο αριθμούς των οποίων το άθροισμα είναι 26,35 και το πηλίκο της διαίρεσης ενός αριθμού με έναν άλλο είναι 7,5.

810. 1) Το εργοστάσιο έστειλε τρεις τύπους φορτίου με συνολικό βάρος 19,2 τόνους Το βάρος του πρώτου τύπου φορτίου ήταν τρεις φορές το βάρος του δεύτερου τύπου φορτίου και το βάρος του τρίτου τύπου φορτίου ήταν το μισό του βάρους του πρώτου και του δεύτερου τύπου φορτίου μαζί. Ποιο είναι το βάρος κάθε είδους φορτίου;

2) Για τρεις μήνες, μια ομάδα ανθρακωρύχων παρήγαγε 52,5 χιλιάδες τόνους σιδηρομετάλλευμα. Τον Μάρτιο εξορύχθηκε 1,3 φορές, τον Φεβρουάριο 1,2 φορές περισσότερο από τον Ιανουάριο. Πόσο μετάλλευμα εξόρυζε η ταξιαρχία μηνιαίως;

811. 1) Ο αγωγός φυσικού αερίου Σαράτοφ-Μόσχα είναι 672 km μακρύτερος από το κανάλι της Μόσχας. Βρείτε το μήκος και των δύο κατασκευών αν το μήκος του αγωγού αερίου είναι 6,25 φορές το μήκος του καναλιού της Μόσχας.

2) Το μήκος του ποταμού Ντον είναι 3.934 φορές το μήκος του ποταμού Μόσχας. Βρείτε το μήκος κάθε ποταμού αν το μήκος του ποταμού Ντον είναι 1467 km μεγαλύτερο από το μήκος του ποταμού Μόσχας.

812. 1) Η διαφορά δύο αριθμών είναι 5,2 και το πηλίκο από τη διαίρεση ενός αριθμού με τον άλλο είναι 5. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Η διαφορά δύο αριθμών είναι 0,96 και το πηλίκο τους είναι 1,2. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

813. 1) Ο ένας αριθμός είναι 0,3 μικρότερος από τον άλλο και είναι 0,75 του. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Ένας αριθμός είναι 3,9 μεγαλύτερος από έναν άλλο αριθμό. Αν ένα μικρότερος αριθμόςαυξηθεί κατά 2 φορές, τότε θα είναι 0,5 του μεγαλύτερου. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

814. 1) Το συλλογικό αγρόκτημα έσπειρε 2.600 εκτάρια γης με σιτάρι και σίκαλη. Πόσα εκτάρια γης σπάρθηκαν με σιτάρι και πόσα με σίκαλη, αν το 0,8 της έκτασης που έχει σπαρθεί με σιτάρι είναι ίσο με το 0,5 της έκτασης που έχει σπαρθεί με σίκαλη;

2) Η συλλογή δύο αγοριών μαζί είναι 660 γραμματόσημα. Πόσα γραμματόσημα έχει η συλλογή κάθε αγοριού αν το 0,5 του αριθμού των γραμματοσήμων του πρώτου αγοριού είναι ίσο με το 0,6 του αριθμού των γραμματοσήμων της συλλογής του δεύτερου αγοριού;

815. Δύο μαθητές μαζί είχαν 5,4 ρούβλια. Αφού ο πρώτος ξοδέψει 0,75 από τα χρήματά του και ο δεύτερος 0,8 από τα χρήματά του, τους απομένουν ίσα χρήματα. Πόσα χρήματα είχε ο κάθε μαθητής;

816. 1) Δύο πλοία έφυγαν το ένα προς το άλλο από δύο λιμάνια, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 501,9 km. Πόσο καιρό θα χρειαστεί για να συναντηθούν εάν η ταχύτητα του πρώτου ατμόπλοιου είναι 25,5 km/h και η ταχύτητα του δεύτερου είναι 22,3 km/h;

2) Δύο τρένα αναχωρούν το ένα προς το άλλο από δύο σημεία, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 382,2 km. Μετά από ποια ώρα θα συναντηθούν εάν η μέση ταχύτητα του πρώτου τρένου ήταν 52,8 χλμ. την ώρα και του δεύτερου 56,4 χλμ. την ώρα;

817. 1) Από δύο πόλεις, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 462 χλμ., δύο αυτοκίνητα έφυγαν ταυτόχρονα και συναντήθηκαν μετά από 3,5 ώρες. Βρείτε την ταχύτητα κάθε αυτοκινήτου αν η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου ήταν 12 χλμ. την ώρα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου.

2) Από τα δύο οικισμοί, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 63 χλμ., ένας μοτοσικλετιστής και ένας ποδηλάτης έφυγαν ταυτόχρονα ο ένας προς τον άλλο και συναντήθηκαν μετά από 1,2 ώρα. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν ο ποδηλάτης ταξίδευε με ταχύτητα 27,5 χλμ την ώρα χαμηλότερη ταχύτηταμοτοσυκλετιστής.

818. Ο μαθητής παρατήρησε ότι ένα τρένο αποτελούμενο από μια ατμομηχανή και 40 βαγόνια τον προσπέρασε για 35 δευτερόλεπτα. Προσδιορίστε την ταχύτητα του τρένου ανά ώρα εάν το μήκος της ατμομηχανής είναι 18,5 μ. και το μήκος του θαλάμου είναι 6,2 μ. (Δώστε την απάντηση με ακρίβεια 1 χλμ την ώρα.)

819. 1) Ένας ποδηλάτης άφησε το Α για το Β με μέση ταχύτητα 12,4 χλμ. την ώρα. Μετά από 3 ώρες 15 λεπτά. Ένας άλλος ποδηλάτης άφησε τον Β προς αυτόν με μέση ταχύτητα 10,8 χλμ. την ώρα. Μετά από πόσες ώρες και σε ποια απόσταση από το Α θα συναντηθούν αν 0,32 η απόσταση μεταξύ Α και Β είναι 76 km;

2) Από τις πόλεις Α και Β, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 164,7 χλμ., ένα φορτηγό από την πόλη Α και ένα αυτοκίνητο από την πόλη Β οδήγησαν το ένα προς το άλλο. Η ταχύτητα ενός φορτηγού είναι 36 χλμ και ένα αυτοκίνητο είναι 1,25 φορές μεγαλύτερη. Το επιβατικό αυτοκίνητο έφυγε 1,2 ώρα αργότερα από το φορτηγό. Μετά από πόσο χρόνο και σε ποια απόσταση από την πόλη Β θα συναντήσει το επιβατικό αυτοκίνητο το φορτηγό;

820. Δύο πλοία έφυγαν από το ίδιο λιμάνι ταυτόχρονα και κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση. Το πρώτο ατμόπλοιο ταξιδεύει 37,5 χλμ κάθε 1,5 ώρα και το δεύτερο διανύει 45 χλμ κάθε 2 ώρες. Πόσο καιρό θα πάρει το πρώτο πλοίο σε απόσταση 10 km από το δεύτερο;

821. Από ένα σημείο πρώτα έφυγε πεζός και 1,5 ώρα μετά την έξοδό του έφυγε προς την ίδια κατεύθυνση ένας ποδηλάτης. Σε ποια απόσταση από το σημείο έπιασε ο ποδηλάτης τον πεζό αν ο πεζός περπατούσε με ταχύτητα 4,25 χλμ. την ώρα και ο ποδηλάτης με ταχύτητα 17 χλμ. την ώρα;

822. Το τρένο έφυγε από τη Μόσχα για το Λένινγκραντ στις 6 η ώρα. 10 λεπτά. το πρωί και περπατούσε με μέση ταχύτητα 50 χλμ. την ώρα. Αργότερα, ένα επιβατικό αεροπλάνο απογειώθηκε από τη Μόσχα για το Λένινγκραντ και έφτασε στο Λένινγκραντ την ίδια ώρα που έφτασε το τρένο. μέση ταχύτητατο αεροσκάφος ήταν 325 km/h και η απόσταση μεταξύ Μόσχας και Λένινγκραντ ήταν 650 km. Πότε απογειώθηκε το αεροπλάνο από τη Μόσχα;

823. Το ατμόπλοιο κατέβηκε στο ρεύμα για 5 ώρες και κόντρα στο ρεύμα για 3 ώρες και πέρασε μόνο 165 χλμ. Πόσα χιλιόμετρα πήγε στο ρεύμα και πόσα ανάντη, αν η ταχύτητα του ποταμού είναι 2,5 χλμ την ώρα;

824. Το τρένο έφυγε από το Α και θα πρέπει να φτάσει στο Β στις συγκεκριμένη ώρα; Έχοντας διανύσει τα μισά του δρόμου και κάνοντας 0,8 km σε 1 λεπτό, το τρένο σταμάτησε για 0,25 ώρες. αυξάνοντας περαιτέρω την ταχύτητα κατά 100 m σε 1 εκατομμύριο, το τρένο έφτασε στο Β εγκαίρως. Βρείτε την απόσταση μεταξύ Α και Β.

825. Από το συλλογικό αγρόκτημα στην πόλη 23 χλμ. Ένας ταχυδρόμος οδήγησε με ποδήλατο από την πόλη στο συλλογικό αγρόκτημα με ταχύτητα 12,5 χλμ. την ώρα. Σε 0,4 ώρες μετά από αυτό το IW του συλλογικού αγροκτήματος, ένας συλλογικός αγρότης μπήκε στην πόλη με ένα άλογο με ταχύτητα νωρίς 0,6 της ταχύτητας του ταχυδρόμου. Πόσο καιρό μετά την αναχώρησή του ο συλλογικός αγρότης θα συναντήσει τον ταχυδρόμο;

826. Ένα αυτοκίνητο οδηγούσε από την πόλη Α στην πόλη Β, 234 χλμ. μακριά από την Α, με ταχύτητα 32 χλμ. την ώρα. 1,75 ώρα αργότερα, ένα δεύτερο αυτοκίνητο έφυγε από την πόλη Β προς την πρώτη, η ταχύτητα του οποίου είναι 1,225 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα του πρώτου. Σε πόσες ώρες μετά την αναχώρησή του το δεύτερο αυτοκίνητο θα συναντήσει το πρώτο

827. 1) Ένας δακτυλογράφος μπορεί να ξαναγράψει ένα χειρόγραφο σε 1,6 ώρες και ένας άλλος σε 2,5 ώρες. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να δακτυλογραφήσουν ξανά αυτό το χειρόγραφο, συνεργαζόμενοι; (Στρογγυλή απάντηση στην πλησιέστερη 0,1 ώρα.)

2) Η πισίνα είναι γεμάτη με δύο αντλίες διαφορετικής ισχύος. Η πρώτη αντλία, που λειτουργεί μόνη της, μπορεί να γεμίσει την πισίνα σε 3,2 ώρες και η δεύτερη σε 4 ώρες. Πόσος χρόνος χρειάζεται για να γεμίσει η πισίνα με την ταυτόχρονη λειτουργία αυτών των αντλιών; (Στρογγυλή απάντηση στο πλησιέστερο 0,1.)

828. 1) Μία ομάδα μπορεί να ολοκληρώσει κάποια παραγγελία σε 8 ημέρες. Ο άλλος χρειάζεται 0,5 φορές τον πρώτο για να ολοκληρώσει αυτήν την παραγγελία. Η τρίτη ταξιαρχία μπορεί να ολοκληρώσει αυτήν την παραγγελία σε 5 ημέρες. Σε πόσες μέρες θα ολοκληρωθεί ολόκληρη η παραγγελία με την κοινή δουλειά τριών ομάδων; (Στρογγυλή απάντηση με την πλησιέστερη 0,1 ημέρα.)

2) Ο πρώτος εργάτης μπορεί να ολοκληρώσει την παραγγελία σε 4 ώρες, ο δεύτερος 1,25 φορές πιο γρήγορα και ο τρίτος σε 5 ώρες. Πόσες ώρες θα ολοκληρωθεί η παραγγελία όταν εργάζεστε μαζί τρεις εργάτες? (Στρογγυλή απάντηση στην πλησιέστερη 0,1 ώρα.)

829. Δύο αυτοκίνητα εργάζονται στον καθαρισμό του δρόμου. Το πρώτο από αυτά μπορεί να καθαρίσει ολόκληρο το δρόμο σε 40 λεπτά, το δεύτερο απαιτεί το 75% του χρόνου του πρώτου. Και τα δύο μηχανήματα ξεκινούσαν ταυτόχρονα. Μετά από κοινή εργασία για 0,25 ώρες, το δεύτερο μηχάνημα σταμάτησε να λειτουργεί. Πόσο καιρό μετά τελείωσε το πρώτο αυτοκίνητο με τον καθαρισμό του δρόμου;

830. 1) Η μία πλευρά του τριγώνου είναι 2,25 cm, η δεύτερη είναι 3,5 cm μεγαλύτερη από την πρώτη και η τρίτη είναι 1,25 cm μικρότερη από τη δεύτερη. Να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου.

2) Η μία από τις πλευρές του τριγώνου είναι 4,5 cm, η δεύτερη είναι 1,4 cm μικρότερη από την πρώτη και η τρίτη πλευρά είναι το ήμισυ του αθροίσματος των δύο πρώτων πλευρών. Ποια είναι η περίμετρος του τριγώνου;

831 . 1) Η βάση του τριγώνου είναι 4,5 cm και το ύψος του είναι 1,5 cm λιγότερο. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου.

2) Το ύψος του τριγώνου είναι 4,25 cm και η βάση του είναι 3 φορές μεγαλύτερη. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου. (Στρογγυλή απάντηση στο πλησιέστερο 0,1.)

832. Βρείτε τα εμβαδά των σκιασμένων σχημάτων (Εικ. 38).

833. Ποιο εμβαδόν είναι μεγαλύτερο: ένα ορθογώνιο με πλευρές 5 cm και 4 cm, ένα τετράγωνο με πλευρές 4,5 cm ή ένα τρίγωνο του οποίου η βάση και το ύψος είναι 6 cm το καθένα;

834. Το δωμάτιο έχει μήκος 8,5 μ., πλάτος 5,6 μ. και ύψος 2,75 μ. Το εμβαδόν των παραθύρων, των θυρών και των εστιών είναι 0,1 της συνολικής επιφάνειας των τοίχων του δωματίου. Πόσα κομμάτια ταπετσαρίας θα χρειαστούν για να καλύψει αυτό το δωμάτιο εάν το κομμάτι της ταπετσαρίας έχει μήκος 7 m και πλάτος 0,75 m; (Στρογγυλή απάντηση στο πλησιέστερο 1 κομμάτι.)

835. Είναι απαραίτητο να σοβατιστεί και να ασπριστεί ένα μονώροφο σπίτι από έξω, οι διαστάσεις του οποίου είναι: μήκος 12 μ., πλάτος 8 μ. και ύψος 4,5 μ. Το σπίτι έχει 7 παράθυρα το καθένα διαστάσεων 0,75 μ x 1,2 μ. και 2 πόρτες το καθένα 0,75 μ x 2,5 μ. Πόσο θα κοστίσει όλη η εργασία αν το άσπρισμα και το σοβάτισμα είναι 1 τ. m κοστίζει 24 καπίκια. (Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στο πλησιέστερο 1 τρίψιμο.)

836. Υπολογίστε την επιφάνεια και τον όγκο του δωματίου σας. Βρείτε τις διαστάσεις του δωματίου μετρώντας.

837. Ο κήπος έχει σχήμα ορθογωνίου, το μήκος του οποίου είναι 32 μ., το πλάτος είναι 10 μ. Το 0,05 ολόκληρης της έκτασης του κήπου είναι σπαρμένο με καρότα και το υπόλοιπο του κήπου είναι φυτεμένο με πατάτες και κρεμμύδια , και η περιοχή φυτεύεται με πατάτες 7 φορές μεγαλύτερες από ό,τι με κρεμμύδια. Πόση έκταση έχει φυτευτεί ξεχωριστά με πατάτες, κρεμμύδια και καρότα;

838. Ο κήπος έχει σχήμα ορθογωνίου, το μήκος του οποίου είναι 30 m και το πλάτος 12 m. m περισσότερο από τα καρότα. Πόση γη χωριστά κάτω από πατάτες, παντζάρια και καρότα;

839. 1) Ένα κουτί σε σχήμα κύβου ήταν επενδυμένο από όλες τις πλευρές με κόντρα πλακέ. Πόσο κόντρα πλακέ χρησιμοποιείται αν η άκρη του κύβου είναι 8,2 dm; (Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στο πλησιέστερο 0,1 τ. dm.)

2) Πόσο χρώμα απαιτείται για να βάψετε έναν κύβο με άκρη 28 cm, αν ανά 1 τετρ. cm θα ξοδευτούν 0,4 g χρώματος; (Απάντηση, στρογγυλοποίηση με ακρίβεια 0,1 kg.)

840. Το μήκος ενός χυτοσιδήρου που έχει σχήμα κυβοειδές, ισούται με 24,5 εκ., πλάτος 4,2 εκ. και ύψος 3,8 εκ. Πόσο ζυγίζουν 200 μπιγιέτες από χυτοσίδηρο αν 1 κ.γ. dm χυτοσίδηρος ζυγίζει 7,8 κιλά; (Στρογγυλή απάντηση με ακρίβεια 1 κιλό.)

841. 1) Το μήκος του κουτιού (με καπάκι) που έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι 62,4 cm, πλάτος 40,5 cm, ύψος 30 cm. τετραγωνικά μέτρατων σανίδων πήγε στην κατασκευή του κουτιού, εάν τα απόβλητα των σανίδων είναι 0,2 της επιφάνειας που θα επενδυθεί με σανίδες; (Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στο πλησιέστερο 0,1 τ.μ.)

2) Ο πυθμένας και τα πλαϊνά τοιχώματα του λάκκου, που έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, πρέπει να είναι επενδυμένα με σανίδες. Το μήκος του λάκκου είναι 72,5 μ., το πλάτος 4,6 μ. και το ύψος 2,2 μ. Πόσα τετραγωνικά μέτρα σανίδων χρησιμοποιήθηκαν για επένδυση αν τα απόβλητα σανίδων είναι 0,2 της επιφάνειας που πρόκειται να επενδυθεί με σανίδες; (Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στο πλησιέστερο 1 τ.μ.)

842. 1) Το μήκος του υπογείου που έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι 20,5 μ., το πλάτος 0,6 του μήκους του και το ύψος 3,2 μ. Το υπόγειο γέμισε πατάτες κατά 0,8 του όγκου του. Πόσοι τόνοι πατάτες χωράνε στο υπόγειο αν 1 κυβικό μέτρο πατάτας ζυγίζει 1,5 τόνο; (Στρογγυλή απάντηση στον πλησιέστερο 1 τόνο.)

2) Το μήκος της δεξαμενής, που έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, είναι 2,5 μ., το πλάτος 0,4 του μήκους της και το ύψος 1,4 μ. Η δεξαμενή γεμίζει με 0,6 του όγκου της με κηροζίνη. Πόσοι τόνοι κηροζίνης χύνονται στη δεξαμενή, αν το βάρος της κηροζίνης σε όγκο 1 κυβικό μέτρο. m ισούται με 0,9 t; (Στρογγυλή απάντηση με ακρίβεια 0,1 τόνους.)

843. 1) Πότε μπορεί να ανανεωθεί ο αέρας σε ένα δωμάτιο μήκους 8,5 μέτρων, πλάτους 6 μέτρων και ύψους 3,2 μέτρων, εάν μέσα από το παράθυρο σε 1 δευτερόλεπτο. περνάει 0,1 κ.γ. m αέρα;

2) Υπολογίστε τον χρόνο που χρειάζεται για να ενημερώσετε τον αέρα στο δωμάτιό σας.

844. Οι διαστάσεις του τσιμεντόλιθου για την κατασκευή των τοίχων είναι οι εξής: 2,7 m x 1,4 m x 0,5 m. Το κενό είναι το 30% του όγκου του τεμαχίου. Πόσα κυβικά μέτρα σκυροδέματος θα χρειαστούν για να παραχθούν 100 τέτοια μπλοκ;

845. Grader-ασανσέρ (μηχάνημα για σκάψιμο τάφρων) σε 8 ώρες. το έργο κάνει μια τάφρο πλάτους 30 εκ., βάθους 34 εκ. και μήκους 15 χιλιομέτρων. Πόσα σκαπτικά αντικαθιστά ένα τέτοιο μηχάνημα αν ένα σκαπτικό μπορεί να βγάλει 0,8 κυβικά μέτρα. m ανά ώρα; (Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα.)

846. Ο κάδος με τη μορφή ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου έχει μήκος 12 μέτρα και πλάτος 8 μέτρα. Σε αυτόν τον κάδο ρίχνουν σιτηρά μέχρι ύψος 1,5 μ. Για να μάθουν πόσο ζυγίζει ο κόκκος ολικής, πήραν ένα κουτί μήκους 0,5 μ., πλάτους 0,5 μ. και ύψους 0,4 μ., το γέμισαν με κόκκους και το ζύγισαν. Πόσο ζύγιζε ο κόκκος στον κάδο αν ο κόκκος στο κουτί ζύγιζε 80 κιλά;

849. Κατασκευάστε ένα γραμμικό διάγραμμα της αύξησης του αστικού πληθυσμού στην ΕΣΣΔ, αν το 1913 ο αστικός πληθυσμός ήταν 28,1 εκατομμύρια άνθρωποι, το 1926 - 24,7 εκατομμύρια, το 1939 - 56,1 εκατομμύρια και το 1959 - 99, 8 εκατομμύρια άνθρωποι.

850. 1) Κάντε μια εκτίμηση για την ανακαίνιση της τάξης σας, εάν χρειάζεται να ασπρίσετε τους τοίχους και την οροφή, καθώς και να βάψετε το πάτωμα. Μάθετε τα στοιχεία για τη σύνταξη εκτίμησης (μέγεθος τάξης, κόστος ασβεστοποίησης 1 τ.μ., κόστος βαφής ορόφου 1 τ.μ.) από τον υπεύθυνο προμηθειών του σχολείου.

2) Για φύτευση στον κήπο, το σχολείο αγόρασε σπορόφυτα: 30 μηλιές στα 0,65 ρούβλια. ανά τεμάχιο, 50 κεράσια για 0,4 ρούβλια. ανά τεμάχιο, 40 θάμνοι φραγκοστάφυλου για 0,2 ρούβλια. και 100 θάμνους βατόμουρου για 0,03 ρούβλια. για έναν θάμνο Γράψτε ένα τιμολόγιο για αυτήν την αγορά σύμφωνα με το μοντέλο:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Οπως και:

± d m … ρε 1 ρε 0 , ρε -1 ρε -2 …

όπου ± είναι το πρόσημο του κλάσματος: είτε + είτε -,

, - δεκαδικό σημείο, το οποίο χρησιμεύει ως διαχωριστικό μεταξύ του ακέραιου και των κλασματικών μερών του αριθμού,

dk- δεκαδικά ψηφία.

Ταυτόχρονα, η σειρά των ψηφίων πριν από το κόμμα (στα αριστερά του) έχει τέλος (όπως min 1 ανά ψηφίο) και μετά το κόμμα (στα δεξιά) μπορεί να είναι πεπερασμένη (προαιρετικά, μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου ψηφία μετά το κόμμα) και άπειρα.

Δεκαδική τιμή ± d m … ρε 1 ρε 0 , ρε -1 ρε -2 … είναι πραγματικός αριθμός:

που ισούται με το άθροισμα ενός πεπερασμένου ή άπειρου αριθμού όρων.

Εκτέλεση πραγματικούς αριθμούςΗ χρήση δεκαδικών κλασμάτων είναι μια γενίκευση της εγγραφής ακεραίων στο μετρικό σύστημαυπολογισμός. Η δεκαδική αναπαράσταση ενός ακέραιου αριθμού δεν έχει ψηφία μετά την υποδιαστολή, και έτσι, αυτή η αναπαράσταση μοιάζει με αυτό:

± d m … ρε 1 ρε 0 ,

Και αυτό συμπίπτει με την εγγραφή του αριθμού μας στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Δεκαδικός- αυτό είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του 1 σε 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής μέρη. Αυτά τα κλάσματα είναι αρκετά βολικά για υπολογισμούς, γιατί βασίζονται στο ίδιο σύστημα θέσεων πάνω στο οποίο βασίζεται η καταμέτρηση και η σημειογραφία των ακεραίων. Λόγω αυτού, ο συμβολισμός και οι κανόνες για τα δεκαδικά κλάσματα είναι σχεδόν οι ίδιοι με τους ακέραιους αριθμούς.

Όταν γράφετε δεκαδικά κλάσματα, δεν χρειάζεται να σημειώσετε τον παρονομαστή, καθορίζεται από τη θέση που καταλαμβάνει το αντίστοιχο σχήμα. Πρώτα, γράψτε το ακέραιο μέρος του αριθμού και μετά βάλτε μια υποδιαστολή στα δεξιά. Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή υποδεικνύει τον αριθμό των δέκατων, το δεύτερο - τον αριθμό των εκατοστών, το τρίτο - τον αριθμό των χιλιοστών και ούτω καθεξής. Οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή είναι δεκαδικά ψηφία.

Για παράδειγμα:

Ένα από τα πλεονεκτήματα των δεκαδικών κλασμάτων είναι ότι μπορούν πολύ εύκολα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα: ο αριθμός μετά την υποδιαστολή (το δικό μας είναι 5047) είναι αριθμητής; παρονομαστήςισοδυναμεί nο βαθμός 10, όπου n- τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων (έχουμε αυτό n=4):

Όταν δεν υπάρχει ακέραιο μέρος στο δεκαδικό κλάσμα, τότε βάζουμε μηδέν μπροστά από την υποδιαστολή:

Ιδιότητες δεκαδικών κλασμάτων.

1. Ο δεκαδικός αριθμός δεν αλλάζει όταν προστίθενται μηδενικά στα δεξιά:

13.6 =13.6000.

2. Το δεκαδικό δεν αλλάζει όταν αφαιρεθούν τα μηδενικά που βρίσκονται στο τέλος του δεκαδικού:

0.00123000 = 0.00123.

Προσοχή!Μηδενικά που ΔΕΝ βρίσκονται στο τέλος ενός δεκαδικού δεν πρέπει να αφαιρούνται!

3. Το δεκαδικό κλάσμα αυξάνεται κατά 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής φορές που μετακινούμε την υποδιαστολή στις θέσεις 1-πηγαδάκι, 2, 2 και ούτω καθεξής στις θέσεις προς τα δεξιά, αντίστοιχα:

3.675 → 367.5 (το κλάσμα έχει αυξηθεί εκατό φορές).

4. Το δεκαδικό κλάσμα γίνεται μικρότερο από δέκα, εκατό, χίλια και ούτω καθεξής φορές που μετακινούμε την υποδιαστολή σε θέσεις 1-πηγάδι, 2, 3 κ.ο.κ. προς τα αριστερά, αντίστοιχα:

1536,78 → 1,53678 (το κλάσμα έχει γίνει χίλιες φορές μικρότερο).

Τύποι δεκαδικών.

Οι δεκαδικοί διαιρούνται με τελικός, ατελείωτεςκαι περιοδικά δεκαδικά.

Τέλος δεκαδικού -αυτό είναι ένα κλάσμα που περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή (ή δεν υπάρχουν καθόλου), δηλ. μοιάζει με αυτό:

Ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μόνο εάν αυτός ο αριθμός είναι ρητός και όταν γράφεται ως μη αναγώγιμο κλάσμα p/qπαρονομαστής qδεν έχει πρώτους διαιρέτες εκτός από το 2 και το 5.

Άπειρο δεκαδικό.

Περιέχει μια άπειρα επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων που ονομάζεται περίοδος. Η περίοδος γράφεται σε αγκύλες. Για παράδειγμα, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

Περιοδικό δεκαδικό- αυτό είναι ένα τέτοιο άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο η ακολουθία ψηφίων μετά την υποδιαστολή, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο σημείο, είναι μια περιοδικά επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων. Με άλλα λόγια, περιοδικό κλάσμαείναι ένα δεκαδικό που μοιάζει με αυτό:

Ένα τέτοιο κλάσμα συνήθως γράφεται εν συντομία ως εξής:

Ομάδα αριθμών β 1 … β λ, που επαναλαμβάνεται, είναι κλασματική περίοδο, ο αριθμός των ψηφίων σε αυτήν την ομάδα είναι διάρκεια περιόδου.

Όταν σε ένα περιοδικό κλάσμα η περίοδος έρχεται αμέσως μετά την υποδιαστολή, τότε το κλάσμα είναι καθαρά περιοδική. Όταν υπάρχουν αριθμοί μεταξύ του κόμματος και της 1ης τελείας, τότε το κλάσμα είναι μικτή περιοδικήκαι μια ομάδα ψηφίων μετά την υποδιαστολή μέχρι το σύμβολο της 1ης τελείας - κλάσμα προπερίοδος.

Για παράδειγμα, το κλάσμα 1,(23) = 1,2323… είναι καθαρό περιοδικό, και το κλάσμα 0,1(23)=0,12323… είναι μεικτό περιοδικό.

Η κύρια ιδιότητα των περιοδικών κλασμάτων, λόγω του οποίου διακρίνονται από ολόκληρο το σύνολο των δεκαδικών κλασμάτων, είναι ότι περιοδικά κλάσματακαι μόνο αυτοί αντιπροσωπεύουν ρητούς αριθμούς. Πιο συγκεκριμένα γίνονται τα εξής:

Κάθε άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα αντιπροσωπεύει ρητός αριθμός. Αντίθετα, όταν ένας ρητός αριθμός αποσυντίθεται σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα, τότε αυτό το κλάσμα θα είναι περιοδικό.

Κλάσματα

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τα κλάσματα στο γυμνάσιο δεν είναι πολύ ενοχλητικά. Προς το παρόν. Μέχρι να τρέξετε σε βαθμούς με ορθολογικούς δείκτεςναι λογαριθμοι. Και εκεί…. Πατάς, πατάς την αριθμομηχανή και δείχνει όλο τον πλήρη πίνακα αποτελεσμάτων ορισμένων αριθμών. Πρέπει να σκέφτεσαι με το κεφάλι σου, όπως στην τρίτη δημοτικού.

Ας ασχοληθούμε επιτέλους με τα κλάσματα! Ε, πόσο μπορείς να μπερδευτείς σε αυτά!; Επιπλέον, όλα είναι απλά και λογικά. Ετσι, τι είναι τα κλάσματα;

Τύποι κλασμάτων. Μεταμορφώσεις.

Τα κλάσματα συμβαίνουν τρία είδη.

1. Κοινά κλάσματα , για παράδειγμα:

Μερικές φορές, αντί για οριζόντια γραμμή, βάζουν κάθετο: 1/2, 3/4, 19/5, καλά, και ούτω καθεξής. Εδώ θα χρησιμοποιούμε συχνά αυτήν την ορθογραφία. Ο κορυφαίος αριθμός καλείται αριθμητής, πιο χαμηλα - παρονομαστής.Εάν μπερδεύετε συνεχώς αυτά τα ονόματα (συμβαίνει ...), πείτε στον εαυτό σας τη φράση με την έκφραση: " Ζζζζθυμάμαι! Ζζζζπαρονομαστής - έξω zzzz u!" Κοίτα, όλα θα θυμούνται.)

Μια παύλα, που είναι οριζόντια, που είναι λοξή, σημαίνει διαίρεσηεπάνω αριθμός (αριθμητής) έως κάτω αριθμός (παρονομαστής). Και τέλος! Αντί για παύλα, είναι πολύ πιθανό να βάλετε ένα σημάδι διαίρεσης - δύο τελείες.

Όταν η διαίρεση είναι πλήρως δυνατή, πρέπει να γίνει. Έτσι, αντί για το κλάσμα "32/8" είναι πολύ πιο ευχάριστο να γράψετε τον αριθμό "4". Εκείνοι. Το 32 απλώς διαιρείται με το 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Δεν μιλάω για το κλάσμα «4/1». Το οποίο είναι επίσης μόνο "4". Και αν δεν διαιρεθεί τελείως, το αφήνουμε ως κλάσμα. Μερικές φορές πρέπει να κάνετε το αντίστροφο. Να σχηματίσετε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό. Αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα.

2. Δεκαδικά , για παράδειγμα:

Σε αυτή τη μορφή θα χρειαστεί να γράψετε τις απαντήσεις στις εργασίες "Β".

3. μικτούς αριθμούς , για παράδειγμα:

Οι μικτοί αριθμοί πρακτικά δεν χρησιμοποιούνται στο γυμνάσιο. Για να δουλέψουμε μαζί τους, πρέπει να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Αλλά σίγουρα πρέπει να ξέρετε πώς να το κάνετε! Και τότε ένας τέτοιος αριθμός θα συναντήσει στο παζλ και θα κρέμεται ... Από την αρχή. Αλλά θυμόμαστε αυτή τη διαδικασία! Λίγο πιο κάτω.

Το πιο ευέλικτο κοινά κλάσματα. Ας ξεκινήσουμε με αυτούς. Παρεμπιπτόντως, αν υπάρχουν όλα τα είδη λογαρίθμων, ημιτόνων και άλλων γραμμάτων στο κλάσμα, αυτό δεν αλλάζει τίποτα. Με την έννοια ότι τα πάντα Οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα!

Βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Λοιπόν πάμε! Καταρχήν θα σας εκπλήξω. Όλη η ποικιλία των μετασχηματισμών κλασμάτων παρέχεται από μία μόνο ιδιότητα! Έτσι λέγεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Θυμάμαι: Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, το κλάσμα δεν θα αλλάξει.Εκείνοι:

Είναι σαφές ότι μπορείτε να γράψετε περαιτέρω, μέχρι να είστε μπλε στο πρόσωπο. Μην αφήνετε τα ημιτόνια και τους λογάριθμους να σας μπερδεύουν, θα ασχοληθούμε περαιτέρω. Το κύριο πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε είναι ότι όλες αυτές οι διάφορες εκφράσεις είναι το ίδιο κλάσμα . 2/3.

Και το χρειαζόμαστε, όλες αυτές οι μεταμορφώσεις; Και πως! Τώρα θα το δείτε μόνοι σας. Αρχικά, ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος για συντομογραφίες κλασμάτων. Φαίνεται ότι το πράγμα είναι στοιχειώδες. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό και τέλος! Είναι αδύνατο να κάνεις λάθος! Όμως... ο άνθρωπος είναι δημιουργικό ον. Μπορείτε να κάνετε λάθη παντού! Ειδικά αν πρέπει να μειώσετε όχι ένα κλάσμα όπως το 5/10, αλλά κλασματική έκφρασημε κάθε λογής γράμματα.

Πώς να μειώσετε τα κλάσματα σωστά και γρήγορα χωρίς να κάνετε περιττή εργασία μπορείτε να βρείτε στην ειδική ενότητα 555.

Ένας κανονικός μαθητής δεν μπαίνει στον κόπο να διαιρέσει τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (ή έκφραση)! Απλώς διαγράφει τα πάντα το ίδιο από πάνω και κάτω! Εδώ κρύβεται τυπικό λάθος, blooper αν θες.

Για παράδειγμα, πρέπει να απλοποιήσετε την έκφραση:

Δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτούμε, διαγράφουμε το γράμμα «α» από πάνω και το δίδυμο από κάτω! Παίρνουμε:

Ολα είναι σωστά. Αλλά πραγματικά μοιραστήκατε ΟΛΟΚΛΗΡΟ αριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟ παρονομαστής «α». Αν συνηθίζεις απλώς να διαγράφεις, τότε, βιαστικά, μπορείς να διαγράψεις το «α» στην έκφραση

και πάρε ξανά

Κάτι που θα ήταν κατηγορηματικά λάθος. Γιατί εδώ ΟΛΟΚΛΗΡΟαριθμητής στο "a" ήδη δεν μοιράζονται! Αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μειωθεί. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια συντομογραφία είναι, χμ... μια σοβαρή πρόκληση για τον δάσκαλο. Αυτό δεν συγχωρείται! Θυμάμαι? Κατά τη μείωση, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί ΟΛΟΚΛΗΡΟ αριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟ παρονομαστής!

Η μείωση των κλασμάτων κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη. Θα πάρετε ένα κλάσμα κάπου, για παράδειγμα 375/1000. Και πώς να συνεργαστείτε μαζί της τώρα; Χωρίς αριθμομηχανή; Πολλαπλασιάζω, ας πούμε, προσθέτω, τετράγωνο!; Και αν δεν είστε πολύ τεμπέλης, αλλά μειώστε προσεκτικά κατά πέντε, και μάλιστα κατά πέντε, ακόμη και ... ενώ μειώνεται, εν ολίγοις. Παίρνουμε 3/8! Πολύ πιο ωραίο, σωστά;

Η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος σάς επιτρέπει να μετατρέπετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικούς και το αντίστροφο χωρίς αριθμομηχανή! Αυτό είναι σημαντικό για τις εξετάσεις, σωστά;

Πώς να μετατρέψετε κλάσματα από μια μορφή σε άλλη.

Είναι εύκολο με δεκαδικά. Όπως ακούγεται, έτσι γράφεται! Ας πούμε 0,25. Είναι σημείο μηδέν, εικοσιπέντε εκατοστά. Γράφουμε λοιπόν: 25/100. Μειώνουμε (διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 25), παίρνουμε το συνηθισμένο κλάσμα: 1/4. Τα παντα. Συμβαίνει, και τίποτα δεν μειώνεται. Όπως 0,3. Αυτό είναι τρία δέκατα, δηλ. 3/10.

Τι γίνεται αν οι ακέραιοι αριθμοί είναι μη μηδενικοί; Είναι εντάξει. Καταγράψτε ολόκληρο το κλάσμα χωρίς κόμματαστον αριθμητή, και στον παρονομαστή - αυτό που ακούγεται. Για παράδειγμα: 3.17. Αυτό είναι τρία ολόκληρα, δεκαεπτά εκατοστά. Στον αριθμητή γράφουμε 317 και στον παρονομαστή 100. Παίρνουμε 317/100. Τίποτα δεν μειώνεται, αυτό σημαίνει τα πάντα. Αυτή είναι η απάντηση. Elementary Watson! Από όλα τα παραπάνω, ένα χρήσιμο συμπέρασμα: οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κοινό κλάσμα .

Αλλά αντίστροφος μετασχηματισμός, συνηθισμένο έως δεκαδικό, κάποιοι χωρίς αριθμομηχανή δεν μπορούν να το κάνουν. Αλλά πρέπει! Πώς θα γράψετε την απάντηση στην εξέταση!; Διαβάζουμε προσεκτικά και κυριαρχούμε αυτή τη διαδικασία.

Τι είναι ένα δεκαδικό κλάσμα; Έχει στον παρονομαστή πάντααξίζει 10 ή 100 ή 1000 ή 10000 κ.ο.κ. Αν το συνηθισμένο σας κλάσμα έχει τέτοιο παρονομαστή, δεν υπάρχει πρόβλημα. Για παράδειγμα, 4/10 = 0,4. Ή 7/100 = 0,07. Ή 12/10 = 1,2. Και αν στην απάντηση στην εργασία της ενότητας "Β" αποδείχθηκε 1/2; Τι θα γράψουμε ως απάντηση; Απαιτούνται δεκαδικοί...

Θυμόμαστε βασική ιδιότητα ενός κλάσματος ! Τα μαθηματικά σας επιτρέπουν ευνοϊκά να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Για κανέναν, παρεμπιπτόντως! Εκτός από το μηδέν, φυσικά. Ας χρησιμοποιήσουμε αυτή τη δυνατότητα προς όφελός μας! Με τι μπορεί να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής, δηλ. 2 ώστε να γίνει 10, ή 100, ή 1000 (το μικρότερο είναι καλύτερο φυσικά...); 5, προφανώς. Μη διστάσετε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή (αυτό είναι μαςαπαραίτητο) επί 5. Αλλά, τότε ο αριθμητής πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί με 5. Αυτό είναι ήδη μαθηματικάαιτήματα! Παίρνουμε 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Αυτό είναι όλο.

Ωστόσο, συναντώνται κάθε είδους παρονομαστές. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/16 θα πέσει. Δοκιμάστε το, υπολογίστε με τι να πολλαπλασιάσετε το 16 για να πάρετε 100 ή 1000... Δεν λειτουργεί; Στη συνέχεια, μπορείτε απλά να διαιρέσετε το 3 με το 16. Ελλείψει αριθμομηχανής, θα πρέπει να διαιρέσετε με μια γωνία, σε ένα κομμάτι χαρτί, όπως στο χαμηλότερους βαθμούςδιδακτός. Παίρνουμε 0,1875.

Και υπάρχουν μερικοί πολύ κακοί παρονομαστές. Για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 δεν μπορεί να μετατραπεί σε καλό δεκαδικό. Τόσο σε μια αριθμομηχανή όσο και σε ένα κομμάτι χαρτί, παίρνουμε 0,3333333 ... Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 σε ένα ακριβές δεκαδικό κλάσμα δεν μεταφράζεται. Ακριβώς όπως 1/7, 5/6 και ούτω καθεξής. Πολλά από αυτά είναι αμετάφραστα. Εξ ου και ένα άλλο χρήσιμο συμπέρασμα. Δεν μετατρέπεται κάθε κοινό κλάσμα σε δεκαδικό. !

Με την ευκαιρία, αυτό ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣγια αυτοέλεγχο. Στην ενότητα "Β" ως απάντηση, πρέπει να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα. Και έχεις, για παράδειγμα, 4/3. Αυτό το κλάσμα δεν μετατρέπεται σε δεκαδικό. Αυτό σημαίνει ότι κάπου στην πορεία έκανες λάθος! Επιστρέψτε, ελέγξτε τη λύση.

Έτσι, με τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα ταξινομημένα. Μένει να ασχοληθούμε με μικτά νούμερα. Για να δουλέψετε μαζί τους, πρέπει όλα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Πως να το κάνεις? Μπορείς να πιάσεις έναν μαθητή της έκτης δημοτικού και να τον ρωτήσεις. Αλλά δεν θα είναι πάντα διαθέσιμος ένας μαθητής της έκτης δημοτικού... Θα πρέπει να το κάνουμε μόνοι μας. Αυτό δεν είναι δύσκολο. Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους με το ακέραιο μέρος και προσθέστε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Αυτός θα είναι ο αριθμητής συνηθισμένο κλάσμα. Τι γίνεται με τον παρονομαστή; Ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Ακούγεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι αρκετά απλό. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Αφήστε το πρόβλημα που είδατε με τρόμο τον αριθμό:

Ήρεμα, χωρίς πανικό, καταλαβαίνουμε. Όλο το μέρος είναι 1. Ένα. Το κλασματικό μέρος είναι 3/7. Επομένως, ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους είναι 7. Αυτός ο παρονομαστής θα είναι ο παρονομαστής του συνηθισμένου κλάσματος. Μετράμε τον αριθμητή. 7 φορές 1 ( ολόκληρο μέρος) και προσθέστε 3 (τον αριθμητή του κλασματικού μέρους). Παίρνουμε 10. Αυτός θα είναι ο αριθμητής ενός συνηθισμένου κλάσματος. Αυτό είναι όλο. Φαίνεται ακόμη πιο απλό στη μαθηματική σημειογραφία:

Σαφώς? Τότε εξασφαλίστε την επιτυχία σας! Μετατροπή σε κοινά κλάσματα. Θα πρέπει να πάρετε 10/7, 7/2, 23/10 και 21/4.

Η αντίστροφη πράξη - μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό - απαιτείται σπάνια στο γυμνάσιο. Λοιπόν, αν... Και αν - όχι στο γυμνάσιο - μπορείτε να κοιτάξετε την ειδική ενότητα 555. Στο ίδιο μέρος, παρεμπιπτόντως, περίπου ακατάλληλα κλάσματαβρίσκω.

Λοιπόν, σχεδόν τα πάντα. Θυμήθηκες τα είδη των κλασμάτων και κατάλαβες πως να τα μετατρέψετε από τον ένα τύπο στον άλλο. Το ερώτημα παραμένει: Γιατί Κάνε το? Πού και πότε να εφαρμόσετε αυτή τη βαθιά γνώση;

απαντώ. Κάθε παράδειγμα από μόνο του προτείνει τις απαραίτητες ενέργειες. Αν στο παράδειγμα συνηθισμένα κλάσματα, δεκαδικοί και άρτιοι μικτούς αριθμούς, μετατρέπουμε τα πάντα σε συνηθισμένα κλάσματα. Πάντα μπορεί να γίνει. Λοιπόν, αν γράφεται κάτι σαν 0,8 + 0,3, τότε το πιστεύουμε, χωρίς καμία μετάφραση. Γιατί χρειαζόμαστε επιπλέον δουλειά; Επιλέγουμε τη λύση που είναι βολική μας !

Εάν η εργασία είναι γεμάτη δεκαδικά κλάσματα, αλλά χμ... κάποιου είδους κακά, πηγαίνετε στα συνηθισμένα, δοκιμάστε το! Κοίτα, όλα θα πάνε καλά. Για παράδειγμα, πρέπει να τετραγωνίσετε τον αριθμό 0,125. Όχι τόσο εύκολο αν δεν έχεις χάσει τη συνήθεια της αριθμομηχανής! Όχι μόνο χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σε μια στήλη, αλλά και να σκεφτείτε πού να εισαγάγετε κόμμα! Σίγουρα δεν λειτουργεί στο μυαλό μου! Και αν πάτε σε ένα συνηθισμένο κλάσμα;

0,125 = 125/1000. Μειώνουμε κατά 5 (αυτό είναι για αρχή). Παίρνουμε 25/200. Για άλλη μια φορά στις 5. Παίρνουμε 5/40. Α, συρρικνώνεται! Επιστροφή στο 5! Παίρνουμε 1/8. Τετράγωνε εύκολα (στο μυαλό σου!) και πάρε 1/64. Τα παντα!

Ας συνοψίσουμε αυτό το μάθημα.

1. Υπάρχουν τρία είδη κλασμάτων. Αριθμοί απλοί, δεκαδικοί και μικτές.

2. Δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί πάνταμπορεί να μετατραπεί σε κοινά κλάσματα. Αντίστροφη μετάφραση δεν είναι πάνταδιαθέσιμος.

3. Η επιλογή του τύπου των κλασμάτων για εργασία με την εργασία εξαρτάται από αυτήν ακριβώς την εργασία. Υπό την παρουσία του ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα σε μία εργασία, το πιο αξιόπιστο πράγμα είναι να μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.

Τώρα μπορείτε να εξασκηθείτε. Πρώτα, μετατρέψτε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Θα πρέπει να λάβετε απαντήσεις όπως αυτή (στο χάος!):

Σε αυτό θα τελειώσουμε. Σε αυτό το μάθημα, αναλύσαμε τα βασικά σημεία στα κλάσματα. Συμβαίνει, ωστόσο, να μην υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για ανανέωση...) Εάν κάποιος το έχει ξεχάσει τελείως ή δεν το έχει κατακτήσει ακόμα... Αυτά μπορούν να μεταβούν σε μια ειδική Ενότητα 555. Όλα τα βασικά είναι αναλυτικά εκεί. Πολλοί ξαφνικά καταλαβαίνω τα πάντααρχίζουν. Και λύνουν κλάσματα εν πτήσει).

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Στα μαθηματικά ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙαριθμοί έχουν μελετηθεί από την έναρξή του. Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός απόσύνολα και υποσύνολα αριθμών. Μεταξύ αυτών είναι ακέραιοι, ορθολογικοί, παράλογοι, φυσικοί, άρτιοι, περιττοί, σύνθετοι και κλασματικοί. Σήμερα θα αναλύσουμε πληροφορίες για το τελευταίο σύνολο - κλασματικοί αριθμοί.

Ορισμός κλασμάτων

Τα κλάσματα είναι αριθμοί που αποτελούνται από ένα ολόκληρο μέρος και κλάσματα μιας μονάδας. Ακριβώς όπως οι ακέραιοι αριθμοί, υπάρχουν άπειρο σύνολοκλασματική, μεταξύ δύο ακεραίων. Στα μαθηματικά γίνονται πράξεις με κλάσματα, αφού με ακέραιους και φυσικούς αριθμούς. Είναι αρκετά απλό και μπορεί να μάθει σε μερικά μαθήματα.

Το άρθρο παρουσιάζει δύο τύπους

Κοινά κλάσματα

Τα συνηθισμένα κλάσματα είναι το ακέραιο μέρος α και οι δύο αριθμοί που γράφονται μέσω της κλασματικής ράβδου b/c. Τα συνηθισμένα κλάσματα μπορεί να είναι εξαιρετικά βολικά εάν το κλασματικό μέρος δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με ορθολογικό τρόπο. δεκαδικός. Επιπλέον, είναι πιο βολικό να εκτελούνται αριθμητικές πράξεις μέσω μιας κλασματικής γραμμής. Επάνω μέροςονομάζεται αριθμητής, το κάτω μέρος - ο παρονομαστής.

Ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα: παραδείγματα

Βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Στοπολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό που δεν είναι μηδέν, το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός ίσος με τον δεδομένο. Αυτή η ιδιότητα ενός κλάσματος βοηθά στο να φέρεις έναν παρονομαστή για πρόσθεση (αυτό θα συζητηθεί παρακάτω) ή στη μείωση ενός κλάσματος, καθιστώντας το πιο βολικό για μέτρηση. a/b = a*c/b*c. Για παράδειγμα, 36/24 = 6/4 ή 9/13 = 18/26

Αναγωγή σε κοινό παρονομαστή.Για να φέρετε τον παρονομαστή ενός κλάσματος, πρέπει να αναπαραστήσετε τον παρονομαστή με τη μορφή παραγόντων και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε με τους αριθμούς που λείπουν. Για παράδειγμα, 15/7 και 30/12. 7/5*3 και 12/5*3*2. Βλέπουμε ότι οι παρονομαστές διαφέρουν κατά δύο, οπότε πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος επί 2. Παίρνουμε: 14/30 και 12/30.

Σύνθετα κλάσματα- συνηθισμένα κλάσματα με επισημασμένο ακέραιο μέρος. (A b/c) Για να αναπαραστήσετε ένα σύνθετο κλάσμα ως κοινό κλάσμα, πολλαπλασιάστε τον αριθμό μπροστά από το κλάσμα με τον παρονομαστή και στη συνέχεια προσθέστε τον στον αριθμητή: (A*c + b)/c.

Αριθμητικές πράξεις με κλάσματα

Δεν θα είναι περιττό να εξετάσουμε το γνωστό αριθμητικές πράξειςμόνο όταν έχουμε να κάνουμε με κλασματικούς αριθμούς.

Πρόσθεση και αφαίρεση.Η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασμάτων είναι εξίσου εύκολη με τους ακέραιους αριθμούς, με εξαίρεση μια δυσκολία - την παρουσία μιας κλασματικής γραμμής. Προσθήκη κλασμάτων με ίδιος παρονομαστής, είναι απαραίτητο να προσθέσουμε μόνο τους αριθμητές και των δύο κλασμάτων, οι παρονομαστές παραμένουν αμετάβλητοι. Για παράδειγμα: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Αν οι παρονομαστές δύο κλασμάτων είναι διαφορετικούς αριθμούςπρώτα πρέπει να τα φέρετε σε ένα κοινό (πώς να το κάνετε αυτό συζητήθηκε παραπάνω). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Η αφαίρεση γίνεται σύμφωνα με ακριβώς την ίδια αρχή: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Ενέργειεςμε τα κλάσματα με πολλαπλασιασμό προκύπτουν με ακολουθώντας την αρχή: αριθμητές και παρονομαστές πολλαπλασιάζονται χωριστά. ΣΤΟ γενική εικόναο τύπος πολλαπλασιασμού μοιάζει με αυτό: a/b *c/d = a*c/b*d. Επιπλέον, καθώς πολλαπλασιάζετε, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα, εξαιρώντας ίδιοι πολλαπλασιαστέςαπό τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Σε άλλη γλώσσα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Για να διαιρέσετε ένα συνηθισμένο κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να αλλάξετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του διαιρέτη και να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων, σύμφωνα με την αρχή που συζητήθηκε προηγουμένως: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Δεκαδικά

Οι δεκαδικοί είναι η πιο δημοφιλής και ευρέως χρησιμοποιούμενη έκδοση. κλασματικοί αριθμοί. Είναι πιο εύκολο να τα γράψετε σε μια γραμμή ή να τα παρουσιάσετε σε υπολογιστή. Η δομή του δεκαδικού κλάσματος είναι η εξής: πρώτα γράφεται ο ακέραιος αριθμός και μετά, μετά την υποδιαστολή, γράφεται το κλασματικό μέρος. Στον πυρήνα τους, τα δεκαδικά κλάσματα είναι σύνθετα κλάσματα, αλλά το κλασματικό τους μέρος αντιπροσωπεύεται από έναν αριθμό διαιρούμενο με πολλαπλάσιο του 10. Εξ ου και το όνομά τους. Οι πράξεις με δεκαδικά κλάσματα είναι παρόμοιες με τις πράξεις με ακέραιους, αφού γράφονται και στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Επίσης σε αντίθεση με συνηθισμένα κλάσματα, τα δεκαδικά μπορεί να είναι παράλογα. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να είναι άπειρα. Γράφονται ως 7,(3). Διαβάζεται το ακόλουθο λήμμα: επτά ολόκληρα, τρία δέκατα στην περίοδο.

Βασικές πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων.Η εκτέλεση ενεργειών με κλάσματα δεν είναι πιο δύσκολη από ό,τι με ακέραιους φυσικούς αριθμούς. Οι κανόνες είναι ακριβώς οι ίδιοι με αυτούς που χρησιμοποιούνται κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση φυσικών αριθμών. Μπορούν επίσης να θεωρηθούν στήλη με τον ίδιο τρόπο, αλλά εάν είναι απαραίτητο, αντικαταστήστε τις θέσεις που λείπουν με μηδενικά. Για παράδειγμα: 5,5697 - 1,12. Για να εκτελέσετε μια αφαίρεση στήλης, πρέπει να εξισώσετε τον αριθμό των αριθμών μετά την υποδιαστολή: (5,5697 - 1,1200). Ετσι, αριθμητική αξίαδεν αλλάζει και θα είναι δυνατή η μέτρηση σε μια στήλη.

Οι πράξεις με δεκαδικά κλάσματα δεν μπορούν να εκτελεστούν εάν μία από αυτές έχει παράλογη μορφή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετατρέψετε και τους δύο αριθμούς σε συνηθισμένα κλάσματα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τις τεχνικές που περιγράφηκαν προηγουμένως.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση.Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών είναι παρόμοιος με τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών. Μπορούν επίσης να πολλαπλασιαστούν με μια στήλη, απλά αγνοώντας το κόμμα, και στη συνέχεια να διαχωριστούν με κόμμα στην τελική τιμή ο ίδιος αριθμός ψηφίων με το άθροισμα μετά την υποδιαστολή ήταν σε δύο δεκαδικά κλάσματα. Για παράδειγμα, 1,5 * 2,23 = 3,345. Όλα είναι πολύ απλά και δεν πρέπει να προκαλούν δυσκολίες εάν έχετε ήδη κατακτήσει τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών.

Η διαίρεση συμπίπτει επίσης με τη διαίρεση των φυσικών αριθμών, αλλά με μια μικρή απόκλιση. Να χωριστεί σε δεκαδικός αριθμόςστήλη, πρέπει να απορρίψετε το κόμμα στον διαιρέτη και να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη. Στη συνέχεια εκτελέστε διαίρεση όπως με τους φυσικούς αριθμούς. Με ημιτελή διαίρεση, μπορείτε να προσθέσετε μηδενικά στο μέρισμα στα δεξιά, προσθέτοντας επίσης ένα μηδέν μετά την υποδιαστολή.

Παραδείγματα ενεργειών με δεκαδικά κλάσματα.Οι δεκαδικοί είναι ένα πολύ εύχρηστο εργαλείο για την αριθμητική μέτρηση. Συνδυάζουν την ευκολία των φυσικών, ακέραιων αριθμών και την ακρίβεια των κοινών κλασμάτων. Επιπλέον, είναι αρκετά απλό να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε άλλο. Οι πράξεις με κλάσματα δεν διαφέρουν από τις πράξεις με φυσικούς αριθμούς.

Πρόσθεση: 1,5 + 2,7 = 4,2
Αφαίρεση: 3,1 - 1,6 = 1,5
Πολλαπλασιασμός: 1,7 * 2,3 = 3,91
Διαίρεση: 3,6: 0,6 = 6

Επιπλέον, τα δεκαδικά ψηφία είναι κατάλληλα για την αναπαράσταση ποσοστών. Άρα, 100% = 1; 60% = 0,6; και αντίστροφα: 0,659 = 65,9%.

Αυτό είναι το μόνο που πρέπει να ξέρετε για τα κλάσματα. Το άρθρο εξέτασε δύο τύπους κλασμάτων - συνηθισμένο και δεκαδικό. Και τα δύο είναι αρκετά εύκολο να υπολογιστούν και αν έχετε πλήρη γνώση των φυσικών αριθμών και των πράξεων με αυτούς, μπορείτε να ξεκινήσετε με ασφάλεια τους κλασματικούς αριθμούς.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ III.

ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ.

§ 31. Εργασίες και παραδείγματα για όλες τις ενέργειες με δεκαδικά κλάσματα.

Εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

767. Βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης:

Εκτέλεση ενεργειών:

772. Υπολογίζω:

Εύρημα Χ , αν:

777. Το άθροισμα του αγνώστου αριθμού και του 0,9 πολλαπλασιάστηκε με τη διαφορά μεταξύ 1 και 0,4 και στο γινόμενο πήραμε 2,412. Βρείτε έναν άγνωστο αριθμό.

2) Το μετρό της Μόσχας (έως το 1959) κατασκευάστηκε σε 5 φάσεις. Το μήκος της πρώτης γραμμής του μετρό είναι 11,6 km, η δεύτερη - 14,9 km, το μήκος της τρίτης είναι 1,1 km λιγότερο από το μήκος της δεύτερης γραμμής, το μήκος της τέταρτης γραμμής είναι 9,6 km περισσότερο από την τρίτη γραμμή , και το μήκος της πέμπτης γραμμής είναι 11,5 km λιγότερο τέταρτη. Πόσο είναι το μήκος του μετρό της Μόσχας στις αρχές του 1959;

780. 1) Το μεγαλύτερο βάθος του Ατλαντικού Ωκεανού είναι 8,5 km, το μεγαλύτερο βάθος του Ειρηνικού Ωκεανού είναι 2,3 km μεγαλύτερο από το βάθος του Ατλαντικού Ωκεανού και το μεγαλύτερο βάθος του Αρκτικού Ωκεανού είναι 2 φορές μικρότερο από το μεγαλύτερο βάθος του Ειρηνικός ωκεανός. Ποιο είναι το μεγαλύτερο βάθος του Αρκτικού Ωκεανού;

787. Πόσες τετράγωνες πλάκες με πλευρά 0,2 dm χωράνε σε ένα ορθογώνιο διαστάσεων 0,4 dm x 10 dm;

788. Το αναγνωστήριο έχει διαστάσεις 9,6 m x 5 m x 4,5 m. m αέρα;

794. Το εργοστάσιο τούβλων παρέδωσε τούβλα στον σιδηροδρομικό σταθμό. 25 άλογα και 10 φορτηγά εργάστηκαν για τη μεταφορά τούβλων. Κάθε άλογο μετέφερε 0,7 τόνους ανά ταξίδι και έκανε 4 ταξίδια την ημέρα. Κάθε αυτοκίνητο μετέφερε 2,5 τόνους ανά ταξίδι και έκανε 15 ταξίδια την ημέρα. Το ταξίδι κράτησε 4 μέρες. Πόσα κομμάτια τούβλων παραδόθηκαν στο σταθμό αν το μέσο βάρος ενός τούβλου είναι 3,75 κιλά; (Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στα πλησιέστερα 1.000 κομμάτια.)

796. Υπάρχουν 176 φοιτητές στο δεύτερο έτος του ινστιτούτου, 0,875 από αυτόν τον αριθμό στο τρίτο έτος και μιάμιση φορά περισσότεροι από το τρίτο έτος του πρώτου έτους. Ο αριθμός των φοιτητών στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο έτος ήταν 0,75 του συνόλου των φοιτητών αυτού του ινστιτούτου. Πόσοι φοιτητές ήταν στο ινστιτούτο;

797. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο:

1) δύο αριθμοί: 56.8 και 53.4. 705.3 και 707.5;

2) τρεις αριθμοί: 46,5; 37.8 και 36; 0,84; 0,69 και 0,81;

3) τέσσερις αριθμοί: 5,48; 1.36; 3.24 και 2.04.

2) Ποια είναι η μέση θερμοκρασία για την εβδομάδα, εάν κατά τη διάρκεια της εβδομάδας το θερμόμετρο έδειξε: 21 °; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°;

800. 1) Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών είναι 36,4. Ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι το 36,8. Βρες άλλον.

803. Εργαστηριακή εργασία "Μέτρηση απόστασης μεταξύ δύο σημείων",

3η υποδοχή. Μέτρηση με το μάτι. Καθένας από τους μαθητές απλώνει το αριστερό του χέρι με τον αντίχειρά του σηκωμένο (Εικ. 37) και κατευθύνει τον αντίχειρά του στο ορόσημο στο σημείο Β (στην εικόνα - ένα δέντρο) έτσι ώστε το αριστερό μάτι (σημείο Α), ο αντίχειρας και το σημείο Β να είναι στην ίδια γραμμή. Χωρίς να αλλάξετε θέση, κλείστε το αριστερό μάτι και κοιτάξτε δεξιά τον αντίχειρα. Η μετατόπιση που προκύπτει μετριέται με το μάτι και αυξάνεται κατά 10. Αυτή είναι η απόσταση από το Α στο Β.

804. 1) Σύμφωνα με την απογραφή του 1959, ο πληθυσμός της ΕΣΣΔ ήταν 208,8 εκατομμύρια άνθρωποι και ο αγροτικός πληθυσμός ήταν 9,2 εκατομμύρια περισσότεροι από τον αστικό πληθυσμό. Πόσοι ήταν αστικός και πόσος αγροτικός πληθυσμός στην ΕΣΣΔ το 1959;

807. 1) Το σκάφος κινούνταν κατά μήκος του ποταμού με ταχύτητα 14,5 χλμ. την ώρα και αντίθετα στο ρεύμα με ταχύτητα 9,5 χλμ. την ώρα. Ποια είναι η ταχύτητα του σκάφους σε ακίνητο νερό και ποια είναι η ταχύτητα του ποταμού;

2) Για τρεις μήνες, μια ομάδα ανθρακωρύχων εξόρυξε 52,5 χιλιάδες τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Τον Μάρτιο εξορύχθηκε 1,3 φορές, τον Φεβρουάριο 1,2 φορές περισσότερο από τον Ιανουάριο. Πόσο μετάλλευμα εξόρυζε η ταξιαρχία μηνιαίως;

2) Η διαφορά δύο αριθμών είναι 0,96 και το πηλίκο τους είναι 1,2. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

813. 1) Ο ένας αριθμός είναι 0,3 μικρότερος από τον άλλο και είναι 0,75 του. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Ένας αριθμός είναι 3,9 μεγαλύτερος από έναν άλλο αριθμό. Εάν ο μικρότερος αριθμός διπλασιαστεί, τότε θα είναι 0,5 του μεγαλύτερου. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

2) Από δύο οικισμούς, η απόσταση μεταξύ των οποίων είναι 63 χλμ., ένας μοτοσικλετιστής και ένας ποδηλάτης έφυγαν ταυτόχρονα ο ένας προς τον άλλο και συναντήθηκαν μετά από 1,2 ώρα. Βρείτε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή αν ο ποδηλάτης ταξίδευε με ταχύτητα 27,5 χλμ. την ώρα μικρότερη από την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή.

822. Το τρένο έφυγε από τη Μόσχα για το Λένινγκραντ στις 6 η ώρα. 10 λεπτά. το πρωί και περπατούσε με μέση ταχύτητα 50 χλμ. την ώρα. Αργότερα, ένα επιβατικό αεροπλάνο απογειώθηκε από τη Μόσχα για το Λένινγκραντ και έφτασε στο Λένινγκραντ την ίδια ώρα που έφτασε το τρένο. Η μέση ταχύτητα του αεροσκάφους ήταν 325 km/h και η απόσταση μεταξύ Μόσχας και Λένινγκραντ ήταν 650 km. Πότε απογειώθηκε το αεροπλάνο από τη Μόσχα;

824. Το τρένο έφυγε από το Α και πρέπει να φτάσει στο Β κάποια συγκεκριμένη ώρα. Έχοντας διανύσει τα μισά του δρόμου και κάνοντας 0,8 km σε 1 λεπτό, το τρένο σταμάτησε για 0,25 ώρες. αυξάνοντας περαιτέρω την ταχύτητα κατά 100 m σε 1 εκατομμύριο, το τρένο έφτασε στο Β εγκαίρως. Βρείτε την απόσταση μεταξύ Α και Β.

2) Ο πρώτος εργάτης μπορεί να ολοκληρώσει την παραγγελία σε 4 ώρες, ο δεύτερος 1,25 φορές πιο γρήγορα και ο τρίτος σε 5 ώρες. Σε πόσες ώρες θα ολοκληρωθεί η παραγγελία αν συνεργαστούν τρεις εργαζόμενοι; (Στρογγυλή απάντηση στην πλησιέστερη 0,1 ώρα.)

831 . 1) Η βάση του τριγώνου είναι 4,5 cm και το ύψος του είναι 1,5 cm λιγότερο. Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου.

832. Βρείτε τα εμβαδά των σκιασμένων σχημάτων (Εικ. 38).

836. Υπολογίστε την επιφάνεια και τον όγκο του δωματίου σας. Βρείτε τις διαστάσεις του δωματίου μετρώντας.

840. Το μήκος του χυτοσιδήρου, που έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, είναι 24,5 εκ., το πλάτος 4,2 εκ. και το ύψος 3,8 εκ. Πόσο ζυγίζουν 200 χυτοσίδηροι αν είναι 1 κ.γ. dm χυτοσίδηρος ζυγίζει 7,8 κιλά; (Στρογγυλή απάντηση με ακρίβεια 1 κιλό.)

841. 1) Το μήκος του κουτιού (με καπάκι), που έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, είναι 62,4 cm, πλάτος 40,5 cm, ύψος 30 cm. (Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στο πλησιέστερο 0,1 τ.μ.)

2) Υπολογίστε τον χρόνο που χρειάζεται για να ενημερώσετε τον αέρα στο δωμάτιό σας.

848. 1) Χρησιμοποιώντας το διάγραμμα "Steel melting in the RSFSR" (Εικ. 39). λογοδοτώ σε επόμενες ερωτήσεις:

α) Κατά πόσα εκατομμύρια τόνους αυξήθηκε η παραγωγή χάλυβα το 1959 σε σύγκριση με το 1945;

β) Πόσες φορές ήταν μεγαλύτερη η παραγωγή χάλυβα το 1959 από το 1913; (έως εντός 0,1.)

2) Χρησιμοποιώντας το διάγραμμα "Cown area in the RSFSR" (Εικ. 40), απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

α) Κατά πόσα εκατομμύρια εκτάρια αυξήθηκε η σπαρμένη έκταση το 1959 σε σύγκριση με το 1945;

β) Πόσες φορές ήταν μεγαλύτερη η σπαρμένη έκταση το 1959 από τη σπαρμένη το 1913;