Πίνακας μονάδων 2ης τάξης. Μαθηματικά για Ανδρείκελα

Τέτοιοι πίνακες επεξεργάζονται διάφορες δράσεις: πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους, βρίσκουν ορίζουσες κ.λπ. Μήτρα - ειδική περίπτωσηπίνακας: εάν ένας πίνακας μπορεί να έχει οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων, τότε μόνο ένας δισδιάστατος πίνακας ονομάζεται μήτρα.

Στον προγραμματισμό, ένας πίνακας ονομάζεται επίσης δισδιάστατος πίνακας. Οποιοσδήποτε από τους πίνακες του προγράμματος έχει ένα όνομα, σαν να ήταν μια μεμονωμένη μεταβλητή. Για να διευκρινιστεί ποιο από τα κελιά του πίνακα εννοείται, όταν αναφέρεται στο πρόγραμμα, χρησιμοποιείται ο αριθμός του κελιού σε αυτόν μαζί με τη μεταβλητή. Τόσο ένας δισδιάστατος πίνακας όσο και ένας n-διάστατος πίνακας σε ένα πρόγραμμα μπορούν να περιέχουν όχι μόνο αριθμητικές, αλλά και συμβολικές, συμβολοσειρά, Boolean και άλλες πληροφορίες, αλλά πάντα τις ίδιες σε ολόκληρο τον πίνακα.

Οι πίνακες ορίζονται με κεφαλαία γράμματα A:MxN, όπου A είναι το όνομα του πίνακα, M είναι ο αριθμός των γραμμών στον πίνακα και N είναι ο αριθμός των στηλών. Στοιχεία – αντίστοιχα πεζά γράμματαμε δείκτες που υποδεικνύουν τον αριθμό τους στη σειρά και στη στήλη a (m, n).

Οι πιο συνηθισμένοι πίνακες ορθογώνιο σχήμα, αν και στο μακρινό παρελθόν οι μαθηματικοί θεωρούσαν και τις τριγωνικές. Εάν ο αριθμός των σειρών και των στηλών ενός πίνακα είναι ο ίδιος, ονομάζεται τετράγωνο. Σε αυτήν την περίπτωση, το M=N έχει ήδη το όνομα της σειράς του πίνακα. Ένας πίνακας με μία μόνο σειρά ονομάζεται γραμμή. Ένας πίνακας με μία μόνο στήλη ονομάζεται στηλοειδής πίνακας. Ένας διαγώνιος πίνακας είναι ένας τετράγωνος πίνακας στον οποίο μόνο τα στοιχεία που βρίσκονται κατά μήκος της διαγώνιας είναι μη μηδενικά. Εάν όλα τα στοιχεία είναι ίσα με ένα, ο πίνακας ονομάζεται ταυτότητα, εάν όλα τα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, ονομάζεται μηδέν.

Εάν ανταλλάξετε γραμμές και στήλες σε έναν πίνακα, αυτός μετατίθεται. Εάν όλα τα στοιχεία αντικατασταθούν από σύνθετα συζυγή, γίνεται σύνθετο συζυγές. Επιπλέον, υπάρχουν και άλλοι τύποι πινάκων, που καθορίζονται από τις συνθήκες που επιβάλλονται στα στοιχεία του πίνακα. Αλλά οι περισσότερες από αυτές τις προϋποθέσεις ισχύουν μόνο για τετράγωνες.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας νης τάξης

Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφη μήτρασε σχέση με τον πίνακα A, εάν A*A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης.

Μήτρα ταυτότητας- ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγωνίου, που περνούν από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, είναι ένα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά, για παράδειγμα:

αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακεςεκείνοι. για εκείνους τους πίνακες στους οποίους ο αριθμός των γραμμών και των στηλών συμπίπτει.

Θεώρημα συνθήκης ύπαρξης αντίστροφου πίνακα

Προκειμένου ένας πίνακας να έχει αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη ενικός.

Ο πίνακας A = (A1, A2,...A n) ονομάζεται μη εκφυλισμένος, εάν τα διανύσματα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης ενός πίνακα ονομάζεται κατάταξη του πίνακα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι για να υπάρχει αντίστροφη μήτρα, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με τη διάστασή του, δηλ. r = n.

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

1. Γράψτε τον πίνακα Α στον πίνακα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian και αντιστοιχίστε τον πίνακα Ε σε αυτόν στα δεξιά (στη θέση των δεξιών πλευρών των εξισώσεων).
2. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, ανάγετε τον πίνακα A σε έναν πίνακα που αποτελείται από μοναδιαίες στήλες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ταυτόχρονα ο πίνακας Ε.
3. Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε τις σειρές (εξισώσεις) του τελευταίου πίνακα έτσι ώστε κάτω από τον πίνακα A του αρχικού πίνακα να λάβετε τον πίνακα ταυτότητας E.
4. Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα A -1, ο οποίος είναι in τελευταίο τραπέζικάτω από τον πίνακα Ε του αρχικού πίνακα.

Παράδειγμα 1

Για τον πίνακα A, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα A -1

Λύση: Γράφουμε τον πίνακα A και εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας E στα δεξιά. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, ανάγουμε τον πίνακα A στον πίνακα ταυτότητας E. Οι υπολογισμοί δίνονται στον Πίνακα 31.1.

Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα Α και τον αντίστροφο πίνακα Α -1.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού της μήτρας, ελήφθη η μήτρα ταυτότητας. Επομένως, οι υπολογισμοί έγιναν σωστά.

Απάντηση:

Επίλυση εξισώσεων μήτρας

Οι εξισώσεις μήτρας μπορεί να μοιάζουν με:

AX = B, HA = B, AXB = C,

όπου A, B, C είναι οι καθορισμένοι πίνακες, X είναι ο επιθυμητός πίνακας.

Οι εξισώσεις μήτρας λύνονται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με αντίστροφους πίνακες.

Για παράδειγμα, για να βρείτε τον πίνακα από την εξίσωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την εξίσωση επί στα αριστερά.

Επομένως, για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να τον πολλαπλασιάσετε με τον πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

Ομοίως λύνονται και άλλες εξισώσεις.

Παράδειγμα 2

Να λύσετε την εξίσωση AX = B αν

Λύση: Δεδομένου ότι ο αντίστροφος πίνακας είναι ίσος με (βλ. παράδειγμα 1)

Μέθοδος matrix στην οικονομική ανάλυση

Μαζί με άλλα χρησιμοποιούνται και αυτά μεθόδους μήτρας . Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και διανυσματική μήτρα. Τέτοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ανάλυσης πολύπλοκων και πολυδιάστατων οικονομικά φαινόμενα. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητο να γίνει μια συγκριτική αξιολόγηση της λειτουργίας των οργανισμών και των δομικών τους τμημάτων.

Κατά τη διαδικασία εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης μήτρας, μπορούν να διακριθούν διάφορα στάδια.

Στο πρώτο στάδιοτο σύστημα διαμορφώνεται οικονομικούς δείκτεςκαι στη βάση του, καταρτίζεται ένας πίνακας δεδομένων πηγής, ο οποίος είναι ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται οι αριθμοί του συστήματος στις μεμονωμένες σειρές του (i = 1,2,....,n), και σε κάθετες στήλες - αριθμοί δεικτών (j = 1,2,....,m).

Στο δεύτερο στάδιοΓια κάθε κάθετη στήλη, προσδιορίζεται η μεγαλύτερη από τις διαθέσιμες τιμές δείκτη, η οποία λαμβάνεται ως μία.

Μετά από αυτό, όλα τα ποσά που αντικατοπτρίζονται σε αυτήν τη στήλη διαιρούνται με υψηλότερη τιμήκαι σχηματίζεται μια μήτρα τυποποιημένους συντελεστές.

Στο τρίτο στάδιοόλα τα συστατικά του πίνακα είναι τετράγωνα. Εάν έχουν διαφορετική σημασία, τότε σε κάθε δείκτη μήτρας εκχωρείται ένας συγκεκριμένος συντελεστής βάρους κ. Η αξία του τελευταίου καθορίζεται από τη γνώμη των ειδικών.

Στο τελευταίο, τέταρτο στάδιοβρέθηκαν τιμές αξιολόγησης R jομαδοποιούνται κατά σειρά αύξησης ή μείωσης τους.

Οι μέθοδοι μήτρας που περιγράφονται πρέπει να χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, όταν συγκριτική ανάλυσηδιάφορα επενδυτικά σχέδια, καθώς και κατά την αξιολόγηση άλλων οικονομικών δεικτών οργανισμών.

Οι πίνακες στα μαθηματικά είναι ένα από τα πιο σημαντικά αντικείμενα που έχουν εφαρμοσμένη τιμή. Συχνά μια εκδρομή στη θεωρία των πινάκων ξεκινά με τις λέξεις: "Μια μήτρα είναι ένα ορθογώνιο τραπέζι...". Θα ξεκινήσουμε αυτή την εκδρομή από μια ελαφρώς διαφορετική κατεύθυνση.

Οι τηλεφωνικοί κατάλογοι οποιουδήποτε μεγέθους και με οποιοδήποτε όγκο δεδομένων συνδρομητών δεν είναι τίποτα άλλο από πίνακες. Τέτοιοι πίνακες φαίνονται περίπου ως εξής:

Είναι σαφές ότι όλοι χρησιμοποιούμε τέτοιες μήτρες σχεδόν καθημερινά. Αυτοί οι πίνακες διατίθενται σε διάφορους αριθμούς σειρών (τόσο διαφορετικοί όσο ένας τηλεφωνικός κατάλογος εταιρείας, ο οποίος μπορεί να έχει χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες ή ακόμα και εκατομμύρια γραμμές, και ένα νέο σημειωματάριο που μόλις ξεκινήσατε και έχει λιγότερες από δέκα γραμμές) και στήλες (ο κατάλογος αξιωματούχοικάποιος οργανισμός στον οποίο μπορεί να υπάρχουν στήλες όπως ο αριθμός θέσης και γραφείου και το ίδιο βιβλίο διευθύνσεων, όπου μπορεί να μην υπάρχουν δεδομένα εκτός από το όνομα, και επομένως υπάρχουν μόνο δύο στήλες σε αυτό - όνομα και αριθμός τηλεφώνου).

Μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν όλων των ειδών οι πίνακες, καθώς και άλλες λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν σε αυτούς, αλλά δεν χρειάζεται να προσθέσετε και να πολλαπλασιάσετε τηλεφωνικούς καταλόγους, δεν υπάρχει κανένα όφελος από αυτό και, επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το μυαλό σας.

Αλλά πολλοί πίνακες μπορούν και πρέπει να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν και έτσι να λύσουν διάφορα πιεστικά προβλήματα. Παρακάτω είναι παραδείγματα τέτοιων πινάκων.

Πίνακες στους οποίους οι στήλες είναι η παραγωγή μονάδων ενός συγκεκριμένου τύπου προϊόντος και οι σειρές είναι τα έτη κατά τα οποία καταγράφεται η παραγωγή αυτού του προϊόντος:

Μπορείτε να προσθέσετε πίνακες αυτού του τύπου, οι οποίοι λαμβάνουν υπόψη την παραγωγή παρόμοιων προϊόντων από διαφορετικές επιχειρήσεις, προκειμένου να λάβετε συνοπτικά δεδομένα για τον κλάδο.

Ή πίνακες που αποτελούνται, για παράδειγμα, από μία στήλη, στην οποία οι σειρές είναι το μέσο κόστος ενός συγκεκριμένου τύπου προϊόντος:

Πίνακες των δύο τελευταία είδημπορεί να πολλαπλασιαστεί και το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας σειρών που περιέχει το κόστος όλων των τύπων προϊόντων ανά έτος.

Πίνακες, βασικοί ορισμοί

Ένας ορθογώνιος πίνακας που αποτελείται από αριθμούς διατεταγμένους Μγραμμές και nστήλες ονομάζεται mn-μήτρα (ή απλά μήτρα ) και γράφεται ως εξής:

(1)

Στον πίνακα (1) οι αριθμοί ονομάζονται του στοιχεία (όπως στην ορίζουσα, ο πρώτος δείκτης σημαίνει τον αριθμό της σειράς, ο δεύτερος - η στήλη στη διασταύρωση της οποίας βρίσκεται το στοιχείο. Εγώ = 1, 2, ..., Μ; ι = 1, 2, n).

Ο πίνακας ονομάζεται ορθογώνιος , Αν .

Αν Μ = n, τότε καλείται ο πίνακας τετράγωνο , και ο αριθμός n είναι του για να .

Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα Α είναι μια ορίζουσα της οποίας τα στοιχεία είναι τα στοιχεία ενός πίνακα ΕΝΑ. Υποδηλώνεται με το σύμβολο | ΕΝΑ|.

Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται όχι ιδιαίτερο (ή μη εκφυλισμένος , μη ενικός ), αν η ορίζουσα του δεν είναι μηδέν, και ειδικός (ή εκφυλισμένος , ενικός ) αν η ορίζουσα του είναι μηδέν.

Οι πίνακες καλούνται ίσος αν έχουν τον ίδιο αριθμόοι γραμμές και οι στήλες και όλα τα αντίστοιχα στοιχεία ταιριάζουν.

Ο πίνακας ονομάζεται μηδενικό , αν όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με μηδέν. Θα συμβολίσουμε τον μηδενικό πίνακα με το σύμβολο 0 ή .

Για παράδειγμα,

Matrix-row (ή πεζά ) ονομάζεται 1 n-μήτρα, και μήτρα-στήλη (ή κιονοειδής ) – Μ 1-μήτρα.

Μήτρα ΕΝΑ", το οποίο λαμβάνεται από τη μήτρα ΕΝΑη εναλλαγή γραμμών και στηλών σε αυτό ονομάζεται μεταφέρθηκε σε σχέση με τη μήτρα ΕΝΑ. Έτσι, για τον πίνακα (1) ο μετατιθέμενος πίνακας είναι

Λειτουργία μετάβασης μήτρας ΕΝΑ" μεταφέρεται σε σχέση με τη μήτρα ΕΝΑ, ονομάζεται μετάθεση μήτρας ΕΝΑ. Για μν-μήτρα που μετατίθεται είναι nm-μήτρα.

Ο πίνακας που μετατίθεται σε σχέση με τον πίνακα είναι ΕΝΑ, αυτό είναι

(ΕΝΑ")" = ΕΝΑ .

Παράδειγμα 1.Εύρεση μήτρας ΕΝΑ" , μεταφερθεί σε σχέση με τον πίνακα

και βρείτε αν οι ορίζουσες του αρχικού και του μεταφερόμενου πίνακα είναι ίσοι.

Κύρια διαγώνιος Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι μια νοητή γραμμή που συνδέει τα στοιχεία του, για την οποία και οι δύο δείκτες είναι ίδιοι. Αυτά τα στοιχεία ονομάζονται διαγώνιος .

Ονομάζεται τετράγωνος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία εκτός της κύριας διαγώνιου είναι ίσα με μηδέν διαγώνιος . Δεν είναι απαραίτητα όλα τα διαγώνια στοιχεία ενός διαγώνιου πίνακα μη μηδενικά. Μερικά από αυτά μπορεί να είναι ίσα με μηδέν.

Ένας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο είναι ίσα με τον ίδιο αριθμό, μη μηδενικά και όλα τα άλλα είναι ίσα με μηδέν, ονομάζεται βαθμωτός πίνακας .

Μήτρα ταυτότητας ονομάζεται διαγώνιος πίνακας στον οποίο όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με ένα. Για παράδειγμα, ο πίνακας ταυτότητας τρίτης τάξης είναι ο πίνακας

Παράδειγμα 2.Δεδομένοι πίνακες:

Λύση. Ας υπολογίσουμε τις ορίζουσες αυτών των πινάκων. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου, βρίσκουμε

Καθοριστική μήτρα σιας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο

Το καταλαβαίνουμε εύκολα

Επομένως, οι πίνακες ΕΝΑκαι είναι μη ενικό (μη εκφυλισμένο, μη ενικό), και η μήτρα σι– ειδικός (εκφυλισμένος, ενικός).

Καθοριστικός μήτρα ταυτότηταςοποιασδήποτε σειράς, προφανώς ίσο με ένα.

Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα του πίνακα και, στη συνέχεια, δείτε τη λύση

Παράδειγμα 3.Δοσμένοι πίνακες

,

,

Προσδιορίστε ποιες από αυτές είναι μη ενικές (non-degenerate, non-singular).

Εφαρμογή πινάκων στη μαθηματική και οικονομική μοντελοποίηση

Τα δομημένα δεδομένα για ένα συγκεκριμένο αντικείμενο καταγράφονται απλά και άνετα με τη μορφή πινάκων. Τα μοντέλα μήτρας δημιουργούνται όχι μόνο για την αποθήκευση αυτών των δομημένων δεδομένων, αλλά και για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων με αυτά τα δεδομένα χρησιμοποιώντας γραμμική άλγεβρα.

Έτσι, ένα πολύ γνωστό μοντέλο μήτρας της οικονομίας είναι το μοντέλο εισροών-εκροών, που εισήγαγε ο ρωσικής καταγωγής Αμερικανός οικονομολόγος Βασίλι Λεοντίεφ. Αυτό το μοντέλο βασίζεται στην υπόθεση ότι ολόκληρος ο παραγωγικός τομέας της οικονομίας χωρίζεται σε nκαθαρές βιομηχανίες. Κάθε κλάδος παράγει μόνο ένα είδος προϊόντος και διαφορετικές βιομηχανίες παράγουν διάφορα προϊόντα. Λόγω αυτού του καταμερισμού εργασίας μεταξύ των βιομηχανιών, υπάρχουν διακλαδικές συνδέσεις, η έννοια των οποίων είναι ότι μέρος της παραγωγής κάθε κλάδου μεταφέρεται σε άλλους κλάδους ως παραγωγικός πόρος.

Όγκος προϊόντος Εγώ-ο κλάδος (μετρούμενος με μια συγκεκριμένη μονάδα μέτρησης), ο οποίος παρήχθη κατά την περίοδο αναφοράς, συμβολίζεται με και ονομάζεται πλήρης παραγωγή Εγώ-η βιομηχανία. Τα ζητήματα μπορούν να τοποθετηθούν εύκολα n-Σειρά συστατικού του πίνακα.

Αριθμός μονάδων Εγώ-βιομηχανία που πρέπει να δαπανηθεί ι-η βιομηχανία για την παραγωγή μιας μονάδας της παραγωγής της ορίζεται και ονομάζεται συντελεστής άμεσου κόστους.

Πίνακες. Τύποι πινάκων. Πράξεις σε πίνακες και τις ιδιότητές τους.

Ορίζουσα μήτρας νης τάξης. N, Z, Q, R, C,

Ένας πίνακας τάξης m*n είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών που περιέχει m-γραμμές και n-στήλες.

Ισότητα πίνακα:

Δύο πίνακες λέγονται ίσοι αν ο αριθμός των σειρών και των στηλών της μιας εξ αυτών είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών και στηλών της άλλης, αντίστοιχα. Τα στοιχεία αυτών των πινάκων είναι ίσα.

Σημείωση: Τα e-mail που έχουν τα ίδια ευρετήρια είναι αντίστοιχα.

Τύποι πινάκων:

Τετράγωνος πίνακας: Ένας πίνακας ονομάζεται τετράγωνος εάν ο αριθμός των σειρών του είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών.

Ορθογώνιος: Ένας πίνακας ονομάζεται ορθογώνιος εάν ο αριθμός των σειρών δεν είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών.

Πίνακας σειρών: ένας πίνακας τάξης 1*n (m=1) έχει τη μορφή a11,a12,a13 και ονομάζεται πίνακας γραμμής.

Στήλη μήτρας:………….

Διαγώνιος: Η διαγώνιος ενός τετραγωνικού πίνακα, που πηγαίνει από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, δηλαδή που αποτελείται από στοιχεία a11, a22...... ονομάζεται κύρια διαγώνιος. (ορισμός: ένας τετραγωνικός πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι όλα μηδέν, εκτός από αυτά που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο, ονομάζεται διαγώνιος πίνακας.

Ταυτότητα: Ένας διαγώνιος πίνακας ονομάζεται πίνακας ταυτότητας εάν όλα τα στοιχεία βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο και είναι ίσα με 1.

Επάνω τριγωνικό: A=||aij|| ονομάζεται η κορυφή τριγωνική μήτρα, αν aij=0. Παρέχεται i>j.

Κάτω τριγωνικό: aij=0. Εγώ

Μηδέν: αυτός είναι ένας πίνακας του οποίου οι τιμές είναι ίσες με 0.

Πράξεις σε πίνακες.

1.Μεταφορά.

2.Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

3. Πρόσθεση πινάκων.

4.Πολλαπλασιασμός μήτρας.

Βασικές ιδιότητες των ενεργειών σε πίνακες.

1.A+B=B+A (ανταλλαγή)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (συνειρμότητα)

3.a(A+B)=aA+aB (διανομή)

4.(a+b)A=aA+bA (κατανεμητικό)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (συν.)

6.AB≠BA (χωρίς κουβέντα)

7.A(BC)=(AB)C (συσχετ.) – εκτελείται εάν ορίζεται. Εκτελούνται προϊόντα μήτρας.

8.A(B+C)=AB+AC (διανεμητικό)

(B+C)A=BA+CA (διανεμητική)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα – ορισμός και ιδιότητές του. Αποσύνθεση της ορίζουσας σε σειρές και στήλες. Μέθοδοι υπολογισμού οριζόντων.

Εάν ο πίνακας Α έχει τάξη m>1, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ένας αριθμός.

Το αλγεβρικό συμπλήρωμα Aij του στοιχείου aij του πίνακα A είναι το δευτερεύον Mij πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό

ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Ορίζουσα του πίνακα Α ίσο με το άθροισμαγινόμενα όλων των στοιχείων μιας αυθαίρετης γραμμής (στήλης) από τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

Βασικές ιδιότητες των οριζόντων.

1. Η ορίζουσα ενός πίνακα δεν θα αλλάξει όταν μεταφερθεί.

2. Κατά την αναδιάταξη δύο σειρών (στήλων), η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο, αλλά η απόλυτη τιμή της δεν αλλάζει.

3. Η ορίζουσα ενός πίνακα που έχει δύο ίδιες σειρές (στήλες) ισούται με 0.

4. Όταν μια σειρά (στήλη) ενός πίνακα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η ορίζουσα του πολλαπλασιάζεται με αυτόν τον αριθμό.

5. Εάν μία από τις σειρές (στήλες) του πίνακα αποτελείται από 0, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με 0.

6. Εάν όλα τα στοιχεία της i-ης σειράς (στήλης) ενός πίνακα παρουσιάζονται ως άθροισμα δύο όρων, τότε η ορίζοντή του μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των οριζόντιων δύο πινάκων.

7. Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει αν τα στοιχεία μιας στήλης (σειράς) προστεθούν στα στοιχεία μιας άλλης στήλης (σειράς), αντίστοιχα, μετά τον πολλαπλασιασμό. για τον ίδιο αριθμό.

8.Ποσό αυθαίρετα στοιχείαοποιαδήποτε στήλη (γραμμή) της ορίζουσας προς την αντίστοιχη αλγεβρικό συμπλήρωμαστοιχεία μιας άλλης στήλης (σειράς) είναι 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Μέθοδοι υπολογισμού της ορίζουσας:

1. Εξ ορισμού ή Θεώρημα 1.

2. Αναγωγή σε τριγωνική μορφή.

Ορισμός και ιδιότητες αντίστροφου πίνακα. Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα. Εξισώσεις μήτρας.

Ορισμός: Ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης n ονομάζεται αντίστροφος του πίνακα Α ίδιας τάξης και συμβολίζεται

Προκειμένου ο πίνακας Α να έχει αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζουσα του πίνακα Α να είναι διαφορετική από το 0.

Ιδιότητες αντίστροφου πίνακα:

1. Μοναδικότητα: για έναν δεδομένο πίνακα Α, το αντίστροφό του είναι μοναδικό.

2. ορίζουσα μήτρας

3. Η λειτουργία λήψης της μεταφοράς και λήψης του αντίστροφου πίνακα.

Εξισώσεις μήτρας:

Έστω το Α και το Β δύο τετράγωνες μήτρεςίδιας τάξης.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Η έννοια της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας στηλών μήτρας. Ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και γραμμική ανεξαρτησίασυστήματα στήλης.

Οι στήλες A1, A2...An ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενες αν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους ίσος με την 0η στήλη.

Οι στήλες A1, A2...An ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους ίσος με την 0η στήλη.

Ένας γραμμικός συνδυασμός ονομάζεται τετριμμένος αν όλοι οι συντελεστές C(l) είναι ίσοι με 0 και μη τετριμμένοι διαφορετικά.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. Για να εξαρτώνται γραμμικά οι στήλες, είναι απαραίτητο και αρκετό κάποια στήλη να είναι γραμμικός συνδυασμός άλλων στηλών.

Αφήστε 1 από τις στήλες https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων στηλών.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> εξαρτώνται γραμμικά, τότε όλες οι στήλες εξαρτώνται γραμμικά.

4. Εάν ένα σύστημα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε υποσύστημά του είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητο.

(Όλα όσα λέγονται για τις στήλες ισχύουν και για τις γραμμές).

Ανήλικοι Matrix. Βασικοί ανήλικοι. Κατάταξη μήτρας. Μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων για τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα.

Μια ελάσσονα τάξης k ενός πίνακα Α είναι μια ορίζουσα του οποίου τα στοιχεία βρίσκονται στη διασταύρωση των k-γραμμών και k-στήλων του πίνακα A.

Αν όλα τα ελάσσονα της kth τάξης του πίνακα A = 0, τότε κάθε δευτερεύον της τάξης k+1 ισούται επίσης με 0.

Βασικό δευτερεύον.

Η κατάταξη ενός πίνακα Α είναι η τάξη του ελάσσονος βάσης του.

Μέθοδος οριοθέτησης δευτερευόντων: - Επιλέξτε ένα μη μηδενικό στοιχείο του πίνακα A (Εάν δεν υπάρχει τέτοιο στοιχείο, τότε κατάταξη A = 0)

Συνορεύουμε το προηγούμενο δευτερεύον 1ης τάξης με ένα μικρότερο 2ης τάξης. (Αν αυτό το δευτερεύον δεν είναι ίσο με 0, τότε η κατάταξη είναι >=2) Εάν η κατάταξη αυτού του δευτερεύοντος είναι =0, τότε οριοθετούμε το επιλεγμένο δευτερεύον 1ης τάξης με άλλα δευτερεύοντα 2ης τάξης. (Αν όλα τα δευτερεύοντα της 2ης τάξης = 0, τότε η κατάταξη του πίνακα = 1).

Κατάταξη μήτρας. Μέθοδοι εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα.

Η κατάταξη ενός πίνακα Α είναι η τάξη του ελάσσονος βάσης του.

Μέθοδοι υπολογισμού:

1) Μέθοδος οριοθέτησης δευτερευόντων: - Επιλέξτε ένα μη μηδενικό στοιχείο του πίνακα Α (αν δεν υπάρχει τέτοιο στοιχείο, τότε κατάταξη = 0) - Περιγράψτε το προηγούμενο δευτερεύον 1ης τάξης με ένα δευτερεύον 2ης τάξης..gif" width="40 " height="22" >r+1 Mr+1=0.

2) Μείωση του πίνακα σε κλιμακωτή όψη: Αυτή η μέθοδος βασίζεται σε στοιχειώδεις μεταμορφώσεις. Κατά τη διάρκεια των στοιχειωδών μετασχηματισμών, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει.

Οι παρακάτω μετασχηματισμοί ονομάζονται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

Αναδιάταξη δύο σειρών (στήλων).

Πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων μιας συγκεκριμένης στήλης (σειράς) με έναν αριθμό που δεν είναι =0.

Προσθέτοντας σε όλα τα στοιχεία μιας συγκεκριμένης στήλης (σειράς) τα στοιχεία μιας άλλης στήλης (σειράς), πολλαπλασιασμένα προηγουμένως με τον ίδιο αριθμό.

Το θεώρημα με βάση το δευτερεύον. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη ώστε η ορίζουσα να είναι ίση με το μηδέν.

Το βασικό μινόρε ενός πίνακα Α είναι το ελάσσονα της υψηλότερης kth τάξης διαφορετική από το 0.

Το θεώρημα ελάσσονος βάσης:

Οι υποκείμενες σειρές (στήλες) είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Οποιαδήποτε σειρά (στήλη) του πίνακα Α είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών (στήλες).

Σημειώσεις: Γραμμές και στήλες στη τομή των οποίων βρίσκονται βασικό μικρόονομάζονται γραμμές βάσης και στήλες, αντίστοιχα.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες ώστε η ορίζουσα να είναι ίση με μηδέν:

Προκειμένου μια ορίζουσα νης τάξης να είναι =0, είναι απαραίτητο και αρκετό οι σειρές (στήλες) της να είναι γραμμικά εξαρτημένες.

Συστήματα γραμμικές εξισώσεις, τα έντυπα ταξινόμησης και καταγραφής τους. Ο κανόνας του Cramer.

Θεωρήστε ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστους:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!}

ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος.

Ας συνθέσουμε τρεις ακόμη ορίζουσες ως εξής: αντικαταστήστε διαδοχικά 1, 2 και 3 στήλες στην ορίζουσα D με μια στήλη ελεύθερων όρων

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Απόδειξη. Ας εξετάσουμε λοιπόν ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Ας πολλαπλασιάσουμε την 1η εξίσωση του συστήματος με το αλγεβρικό συμπλήρωμα A11 του στοιχείου a11, τη 2η εξίσωση με την A21 και την 3η με την A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Ας δούμε καθεμία από τις αγκύλες και σωστη πλευρααυτή η εξίσωση. Με το θεώρημα για την επέκταση της ορίζουσας σε στοιχεία της 1ης στήλης

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι και .

Τέλος, είναι εύκολο να το παρατηρήσετε

Έτσι, παίρνουμε την ισότητα: .

Ως εκ τούτου, .

Οι ισότητες και προκύπτουν ομοίως, από τις οποίες προκύπτει η δήλωση του θεωρήματος.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Προϋπόθεση για συμβατότητα γραμμικών εξισώσεων. Θεώρημα Kronecker-Capelli.

Λύση συστήματος αλγεβρικές εξισώσειςΚαλείται ένα τέτοιο σύνολο n αριθμών C1,C2,C3……Cn, το οποίο, όταν αντικατασταθεί στο αρχικό σύστημα στη θέση των x1,x2,x3…..xn, μετατρέπει όλες τις εξισώσεις του συστήματος σε ταυτότητες.

Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση.

Ένα συνεπές σύστημα ονομάζεται προσδιορισμένο εάν έχει μια μοναδική λύση και αόριστο εάν έχει άπειρες λύσεις.

Συνθήκες συνέπειας για συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ΘΕΩΡΗΜΑ: Για να είναι συνεπές ένα σύστημα m γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα να είναι ίσο με τον βαθμόμήτρες Α.

Σημείωση: Αυτό το θεώρημα παρέχει μόνο κριτήρια για την ύπαρξη μιας λύσης, αλλά δεν υποδεικνύει μια μέθοδο για την εύρεση λύσης.

10 ερώτηση.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Βασική δευτερεύουσα μέθοδος - γενική μέθοδοςβρίσκοντας όλες τις λύσεις σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

A=a21 a22…..a2n

Βασική δευτερεύουσα μέθοδος:

Έστω το σύστημα συνεπές και RgA=RgA’=r. Αφήστε την ελάσσονα βάσης να γραφτεί στην επάνω αριστερή γωνία του πίνακα A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Σημειώσεις: Εάν η κατάταξη του κύριου πίνακα και του πίνακα που εξετάζουμε είναι ίση με r=n, τότε σε αυτήν την περίπτωση dj=bj και το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Ομοιογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές αν όλοι οι ελεύθεροι όροι του είναι ίσοι με μηδέν.

AX=0 – ομοιογενές σύστημα.

Το AX =B είναι ένα ετερογενές σύστημα.

Τα ομοιογενή συστήματα είναι πάντα συνεπή.

X1 =x2 =..=xn =0

Θεώρημα 1.

Τα ομοιογενή συστήματα έχουν ετερογενείς λύσεις, όταν η κατάταξη του πίνακα του συστήματος μικρότερος αριθμόςάγνωστος.

Θεώρημα 2.

Ομοιογενές σύστημα n-γραμμικές εξισώσειςμε n-άγνωστα έχει μη μηδενική λύση όταν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι ίση με μηδέν. (detA=0)

Ιδιότητες διαλυμάτων ομοιογενών συστημάτων.

Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός μιας λύσης σε ένα ομοιογενές σύστημα είναι από μόνος του μια λύση σε αυτό το σύστημα.

α1C1 +α2C2; Οι α1 και α2 είναι κάποιοι αριθμοί.

A(α1C1 +α2C2) = A(α1C1) +A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, δηλ. κ. (A C1) = 0; (AC2) = 0

Για ετερογενές σύστημααυτή η ιδιότητα δεν ισχύει.

Βασικό σύστημα λύσεων.

Θεώρημα 3.

Αν κατάταξη σύστημα μήτραςεξίσωση με n-άγνωστα είναι ίση με r, τότε αυτό το σύστημα έχει n-r γραμμικά ανεξάρτητοαποφάσεις.

Αφήστε τη βάση ελάσσονα στα αριστερά πάνω γωνιά. Αν r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1, 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Ένα σύστημα n-r γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων με n-άγνωστα κατάταξης r ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα λύσεων.

Θεώρημα 4.

Οποιαδήποτε λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένας γραμμικός συνδυασμός μιας λύσης στο θεμελιώδες σύστημα.

С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r

Αν r

Ερώτηση 12.

Γενική λύση ετερογενούς συστήματος.

Ύπνος (γενικά ετερογενής) = Coo + Sch (ιδιαίτερα)

AX=B (ετερογενές σύστημα); AX= 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, επειδή (ASoo) = 0

Ύπνος= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

Μέθοδος Gauss.

Αυτή είναι μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων (μεταβλητών) - συνίσταται στο γεγονός ότι, με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, το αρχικό σύστημα εξισώσεων ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα σταδιακής μορφής, από το οποίο βρίσκονται όλες οι άλλες μεταβλητές διαδοχικά, ξεκινώντας από τις τελευταίες μεταβλητές.

Έστω a≠0 (αν δεν ισχύει αυτό, τότε αυτό μπορεί να επιτευχθεί με αναδιάταξη των εξισώσεων).

1) Εξαιρούμε τη μεταβλητή x1 από τη δεύτερη, τρίτη...nη εξίσωση, πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση με κατάλληλους αριθμούς και προσθέτοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν στη 2η, 3η...νη εξίσωση, τότε παίρνουμε:

Παίρνουμε ένα σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό.

2) εξαιρέστε τη μεταβλητή x2

3) εξαιρέστε τη μεταβλητή x3, κ.λπ.

Συνεχίζοντας τη διαδικασία διαδοχικής εξάλειψης των μεταβλητών x4;x5...xr-1 λαμβάνουμε για το (r-1) βήμα.

Ο αριθμός μηδέν του τελευταίου n-r στις εξισώσεις σημαίνει ότι η αριστερή τους πλευρά έχει τη μορφή: 0x1 +0x2+..+0xn

Αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς br+1, br+2... δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε η αντίστοιχη ισότητα είναι αντιφατική και το σύστημα (1) δεν είναι συνεπές. Έτσι, για οποιοδήποτε συνεπές σύστημα αυτό το br+1 ... bm είναι ίσο με μηδέν.

Η τελευταία εξίσωση n-r στο σύστημα (1;r-1) είναι ταυτότητες και μπορούν να αγνοηθούν.

Υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις:

α) ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος (1;r-1) είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, δηλαδή r=n (στην περίπτωση αυτή το σύστημα έχει τριγωνική μορφή).

β)ρ

Η μετάβαση από το σύστημα (1) στο ισοδύναμο σύστημα (1;r-1) ονομάζεται άμεση κίνηση της μεθόδου Gauss.

Η εύρεση μιας μεταβλητής από το σύστημα (1;r-1) είναι το αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Είναι βολικό να πραγματοποιούνται μετασχηματισμοί Gauss εκτελώντας τους όχι με εξισώσεις, αλλά με έναν εκτεταμένο πίνακα των συντελεστών τους.

Ερώτηση 13.

Παρόμοιοι πίνακες.

Θα εξετάσουμε μόνο τετράγωνους πίνακες τάξης n/

Ένας πίνακας A λέγεται ότι είναι παρόμοιος με τον πίνακα B (A~B) εάν υπάρχει ένας μη μοναδικός πίνακας S τέτοιος ώστε A=S-1BS.

Ιδιότητες παρόμοιων πινάκων.

1) Ο πίνακας Α είναι παρόμοιος με τον εαυτό του. (A~A)

Αν S=E, τότε EAE=E-1AE=A

2) Αν A~B, τότε B~A

Αν A=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Αν A~B και ταυτόχρονα B~C, τότε A~C

Δίνεται ότι A=S1-1BS1, και B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, όπου S3 = S2S1

4) Οι ορίζουσες όμοιων πινάκων είναι ίσες.

Δεδομένου ότι A~B, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (μειωμένο) = detB.

5) Οι τάξεις παρόμοιων πινάκων συμπίπτουν.

Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμέςμήτρες

Ο αριθμός λ ονομάζεται ιδιοτιμή του πίνακα A εάν υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα X (στήλη μήτρας) τέτοιο ώστε AX = λ X, το διάνυσμα X ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A και το σύνολο όλων των ιδιοτιμών ονομάζεται το φάσμα του πίνακα Α.

Ιδιότητες ιδιοδιανύσματα.

1) Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα ιδιοδιάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε ένα ιδιοδιάνυσμα με την ίδια ιδιοτιμή.

AX = λ X; X≠0

α X => A(α X) = α (AX) = α(λ X) = = λ (αX)

2) Τα ιδιοδιανύσματα με διαφορετικές ιδιοτιμές ανά ζεύγη είναι γραμμικά ανεξάρτητα λ1, λ2,.. λκ.

Έστω ότι το σύστημα αποτελείται από 1 διάνυσμα, ας κάνουμε ένα επαγωγικό βήμα:

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – πολλαπλασιάστε με Α.

C1 AX1 +C2 AX2 + .. +Cn AXn = 0

С1 λ1 Χ1 +С2 λ2 Χ2 + .. +Сn λn Χn = 0

Πολλαπλασιάστε με λn+1 και αφαιρέστε

С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0

С1 λ1 Χ1 +С2 λ2 Χ2 + .. +Сn λn Χn+ Сn+1 λn+1 Χn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Είναι απαραίτητο C1 = C2 =... = Cn = 0

Сn+1 Хn+1 λn+1 =0

Χαρακτηριστική εξίσωση.

Α-λΕ λέγεται χαρακτηριστική μήτραγια τον πίνακα Α.

Προκειμένου ένα μη μηδενικό διάνυσμα X να είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, είναι απαραίτητο να είναι λύση σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (A - λE)X = 0

Το σύστημα έχει μια μη τετριμμένη λύση όταν det (A - XE) = 0 - αυτή είναι η χαρακτηριστική εξίσωση.

Δήλωση!

Οι χαρακτηριστικές εξισώσεις τέτοιων πινάκων συμπίπτουν.

det(S-1AS – λE) = det(S-1AS – λ S-1ΕS) =det(S-1 (A – λE)S) = det S-1 det(A – λE) detS= det(A – λE)

Χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

det(A – λE) - συνάρτηση σε σχέση με την παράμετρο λ

det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Αυτό το πολυώνυμο ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α.

Συνέπεια:

1) Αν οι πίνακες είναι A~B, τότε το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων τους συμπίπτει.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Το σύνολο των ιδιοτιμών παρόμοιων πινάκων συμπίπτει.

Αν χαρακτηριστικές εξισώσειςΟι πίνακες συμπίπτουν, τότε δεν είναι απαραίτητα όμοιοι.

Για τον πίνακα Α

Για τον πίνακα Β

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Προκειμένου ένας πίνακας Α τάξης n να μπορεί να διαγωνιωθεί, είναι απαραίτητο να υπάρχουν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α.

Συνέπεια.

Εάν όλες οι ιδιοτιμές ενός πίνακα Α είναι διαφορετικές, τότε είναι διαγωνιοποιήσιμος.

Αλγόριθμος για την εύρεση ιδιοδιανυσμάτων και ιδιοτιμών.

1) συνθέστε μια χαρακτηριστική εξίσωση

2) βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων

3) συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων για να προσδιορίσουμε το ιδιοδιάνυσμα.

λi (A-λi E)X = 0

4) βρείτε θεμελιώδες σύστημαλύσεις

x1,x2..xn-r, όπου r είναι η κατάταξη του χαρακτηριστικού πίνακα.

r =Rg(A - λi E)

5) ιδιοδιάνυσμα, οι ιδιοτιμές λi γράφονται ως:

X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Χn-r, όπου С12 +С22 +… С2n ≠0

6) ελέγξτε εάν η μήτρα μπορεί να αναχθεί σε διαγώνια μορφή.

7) βρείτε τον Αγ

Ag = S-1AS S=

Ερώτηση 15.

Η βάση μιας ευθείας γραμμής, επίπεδο, χώρος.

DIV_ADBLOCK371">

Το μέτρο συντελεστή ενός διανύσματος είναι το μήκος του, δηλαδή η απόσταση μεταξύ Α και Β (││, ││). Το μέτρο ενός διανύσματος είναι μηδέν όταν αυτό το διάνυσμα είναι μηδέν (│ō│=0)

4. Ορθοδιάνυσμα.

Ortom δεδομένο διάνυσμαΚαλείται ένα διάνυσμα που έχει την ίδια κατεύθυνση με ένα δεδομένο διάνυσμα και έχει μέτρο ίσο με ένα.

Τα ίσα διανύσματα έχουν ίσα διανύσματα.

5.Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Αυτό είναι ένα μικρότερο τμήμα της περιοχής, που περιορίζεται από δύο ακτίνες που προέρχονται από το ίδιο σημείο και κατευθύνονται με τον ίδιο τρόπο με τα δεδομένα διανύσματα.

Διάνυσμα προσθήκη. Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό.

1) Πρόσθεση δύο διανυσμάτων

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό.

Το γινόμενο ενός διανύσματος και ενός βαθμωτή είναι ένα νέο διάνυσμα που έχει:

α) = γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος που πολλαπλασιάζεται επί απόλυτη τιμήβαθμωτό μέγεθος.

β) η κατεύθυνση είναι η ίδια με το διάνυσμα που πολλαπλασιάζεται εάν η βαθμωτή είναι θετική και αντίθετη εάν η κλιμακωτή είναι αρνητική.

λ α(διάνυσμα)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Ιδιότητες γραμμικές πράξειςπάνω από διανύσματα.

1. Ο νόμος της μεταδοτικότητας.

2. Νόμος της συνειρμικότητας.

3. Πρόσθεση με μηδέν.

a(διάνυσμα)+ō= a(διάνυσμα)

4. Πρόσθεση με το αντίθετο.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6;7.Ο νόμος της κατανομής.

Εκφράζοντας ένα διάνυσμα ως προς το μέτρο και την ορθή του.

Μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματαονομάζονται βάση.

Βάση σε μια γραμμή είναι οποιοδήποτε διάνυσμα που δεν είναι μηδενικό.

Μια βάση στο επίπεδο είναι οποιαδήποτε δύο μη-callenary διανύσματα.

Μια βάση στο χώρο είναι ένα σύστημα οποιωνδήποτε τριών μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων.

Ο συντελεστής επέκτασης ενός διανύσματος σε μια συγκεκριμένη βάση ονομάζεται συνιστώσες ή συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> εκτελέστε την ενέργεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με βαθμωτή, τότε ως αποτέλεσμα λαμβάνουμε οποιονδήποτε αριθμό τέτοιων ενεργειών:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 Τα src="> ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενα εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους ίσος με ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 Τα src="> ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα αν δεν υπάρχει μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους.

Ιδιότητες γραμμικά εξαρτημένων και ανεξάρτητων διανυσμάτων:

1) ένα σύστημα διανυσμάτων που περιέχει μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ήταν γραμμικά εξαρτώμενα, είναι απαραίτητο κάποιο διάνυσμα να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων.

3) εάν μερικά από τα διανύσματα από το σύστημα a1(διάνυσμα), a2(διάνυσμα)... ak(διάνυσμα) εξαρτώνται γραμμικά, τότε όλα τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

4) εάν όλα τα διανύσματα https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Γραμμικές πράξεις σε συντεταγμένες.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λα3)DIV_ADBLOCK374">

Το κλιμακωτό γινόμενο 2 διανυσμάτων είναι ο αριθμός ίσο με το γινόμενοδιανύσματα από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0, αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι ορθογώνια ή κάποια από τα διανύσματα είναι ίσα με 0.

4. Κατανομή (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Έκφραση προϊόν με κουκκίδεςα και β μέσω των συντεταγμένων τους

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Όταν πληρούται η συνθήκη (), h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> και ονομάζεται το τρίτο διάνυσμα που ικανοποιεί τις ακόλουθες εξισώσεις:

3. – σωστά

Ιδιότητες ενός διανυσματικού προϊόντος:

4. Διανυσματικό γινόμενο μονάδων συντεταγμένων διανυσμάτων

Ορθοκανονική βάση.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Συχνά χρησιμοποιούνται 3 σύμβολα για να δηλώσουν μοναδιαία διανύσματα ορθοκανονικής βάσης

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Εάν είναι μια ορθοκανονική βάση, τότε

DIV_ADBLOCK375">

Ευθεία γραμμή σε ένα αεροπλάνο. Αμοιβαία τακτοποίηση 2 ευθεία. Απόσταση από σημείο σε ευθεία γραμμή. Η γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Η συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας 2 ευθειών.

1. Ειδική περίπτωση διάταξης 2 ευθειών σε επίπεδο.

1) - εξίσωση ευθείας παράλληλης προς τον άξονα OX

2) - εξίσωση μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα του op-amp

2. Αμοιβαία διάταξη 2 ευθειών.

Θεώρημα 1 Έστω σχετικά συγγενικό σύστημασυντεταγμένες, δίνονται εξισώσεις ευθειών

Α) Τότε η απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για το πότε τέμνονται έχει τη μορφή:

Β) Τότε η απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για το γεγονός ότι οι ευθείες είναι παράλληλες είναι η συνθήκη:

Β) Τότε αναγκαίο και επαρκής κατάστασηΤο γεγονός ότι οι γραμμές συγχωνεύονται σε μία είναι η συνθήκη:

3. Απόσταση από σημείο σε ευθεία.

Θεώρημα. Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή σε σχέση με Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Συνθήκη καθετότητας.

Έστω 2 ευθείες γραμμές σε σχέση με το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με γενικές εξισώσεις.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Αν , τότε οι γραμμές είναι κάθετες.

Ερώτηση 24.

Αεροπλάνο στο διάστημα. Συνθήκη για το διάνυσμα και το επίπεδο να είναι συνεπή. Απόσταση από ένα σημείο σε ένα αεροπλάνο. Η συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο επιπέδων.

1. Προϋπόθεση για το διάνυσμα και το επίπεδο να είναι συνεπή.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Nameless4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Nameless5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Γωνία μεταξύ 2 επιπέδων. Συνθήκη καθετότητας.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Αν , τότε τα επίπεδα είναι κάθετα.

Ερώτηση 25.

Ευθεία γραμμή στο διάστημα. Διαφορετικά είδηεξισώσεις ευθείας στο χώρο.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Διανυσματική εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Η κανονική εξίσωση είναι άμεση.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Nameless3.jpg" width="56" height="51"> !}

Ερώτηση 28.

Ελλειψη. συμπέρασμα Κανονική εξίσωσηέλλειψη. Μορφή. Ιδιότητες

Έλειψη - τόποςσημεία για τα οποία είναι το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερές αποστάσεις, που ονομάζονται εστίες δεδομένου αριθμού 2a, μεγαλύτερη από την απόσταση 2c μεταξύ των εστιών.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="εικόνα043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

στο Σχ. 2 r1=a+ex r2=a-ex

Ur-e εφαπτομένη στην έλλειψη

DIV_ADBLOCK378">

Κανονική εξίσωση υπερβολής

Μορφή και άγιοι

y=±b/a πολλαπλασιασμένο με τη ρίζα του (x2-a2)

Άξονας συμμετρίας μιας υπερβολής - οι άξονές της

Τμήμα 2α - πραγματικός άξονας της υπερβολής

Εκκεντρότητα e=2c/2a=c/a

Αν b=a παίρνουμε ισοσκελή υπερβολή

Μια ασύμπτωτη είναι μια ευθεία γραμμή εάν, με απεριόριστη απόσταση του σημείου Μ1 κατά μήκος της καμπύλης, η απόσταση από το σημείο στην ευθεία τείνει στο μηδέν.

lim d=0 στο x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

εφαπτομένη της υπερβολής

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

παραβολή - ένας τόπος σημείων σε ίση απόσταση από ένα σημείο που ονομάζεται εστία και μια δεδομένη ευθεία που ονομάζεται κατευθυντήρια γραμμή

Κανονική εξίσωση παραβολής

ιδιότητες

ο άξονας συμμετρίας μιας παραβολής διέρχεται από την εστία της και είναι κάθετος στη διεύθυνση

αν περιστρέψετε μια παραβολή θα έχετε ένα ελλειπτικό παραβολοειδές

όλες οι παραβολές είναι παρόμοιες

ερώτηση 30. Μελέτη της εξίσωσης της γενικής μορφής καμπύλης δεύτερης τάξης.

Τύπος καμπύλης def. με κορυφαίους όρους Α1, Β1, Γ1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->καμπύλη παραβολικού τύπου

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Αν E=0 => Ax2+2Dx+F=0

τότε x1=x2 - συγχωνεύεται σε ένα

x1≠x2 - ευθείες παράλληλες στο Оу

x1≠x2 και οι ρίζες είναι φανταστικές, δεν έχει γεωμετρική εικόνα

С≠0 А=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Συμπέρασμα: μια καμπύλη παραβολικού τύπου είναι είτε παραβολή, είτε 2 παράλληλες ευθείες, είτε φανταστικές, είτε συγχωνεύονται σε μία.

2.AC>0 -> ελλειπτική καμπύλη

Συμπληρώνοντας την αρχική εξίσωση σε ένα πλήρες τετράγωνο, τη μετατρέπουμε στο κανονικό και μετά παίρνουμε τις περιπτώσεις

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - έλλειψη

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - φανταστική έλλειψη

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - σημείο με συντεταγμένη x0 y0

Συμπέρασμα: e-curve. όπως αυτό είναι είτε έλλειψη, είτε φανταστική, είτε σημείο

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 υπερβολή, πραγματικός άξονας παράλληλος στο Ox

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 υπερβολή, πραγματικός άξονας παράλληλος στο Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 επίπεδο δύο γραμμών

Συμπέρασμα: μια υπερβολική καμπύλη είναι είτε υπερβολή είτε δύο ευθείες γραμμές

Αυτό το εγχειρίδιο θα σας βοηθήσει να μάθετε πώς να εκτελείτε πράξεις με πίνακες: πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων, μεταφορά πίνακα, πολλαπλασιασμός πινάκων, εύρεση του αντίστροφου πίνακα. Όλο το υλικό παρουσιάζεται σε απλή και προσβάσιμη μορφή, δίνονται σχετικά παραδείγματα, έτσι ώστε ακόμη και ένα απροετοίμαστο άτομο να μπορεί να μάθει πώς να εκτελεί ενέργειες με πίνακες. Για αυτοέλεγχο και αυτοέλεγχο, μπορείτε να κατεβάσετε μια αριθμομηχανή μήτρας δωρεάν >>>.

Θα προσπαθήσω να ελαχιστοποιήσω τους θεωρητικούς υπολογισμούς· σε ορισμένα σημεία είναι δυνατές εξηγήσεις «στα δάχτυλα» και η χρήση μη επιστημονικών όρων. Λάτρεις της στέρεης θεωρίας, παρακαλώ μην ασκείτε κριτική, το καθήκον μας είναι μάθουν να εκτελούν πράξεις με πίνακες.

Για SUPER FAST προετοιμασία για το θέμα (ποιος είναι «φωτιά») υπάρχει ένα εντατικό μάθημα pdf Μήτρα, ορίζουσα και δοκιμή!

Μια μήτρα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας ορισμένων στοιχεία. Οπως και στοιχείαθα εξετάσουμε αριθμούς, δηλαδή αριθμητικούς πίνακες. ΣΤΟΙΧΕΙΟείναι όρος. Συνιστάται να θυμάστε τον όρο, θα εμφανίζεται συχνά, δεν είναι τυχαίο που χρησιμοποίησα έντονη γραμματοσειρά για να τον τονίσω.

Ονομασία:Οι πίνακες συνήθως συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα

Παράδειγμα:Εξετάστε έναν πίνακα δύο προς τρία:

Αυτός ο πίνακας αποτελείται από έξι στοιχεία:

Όλοι οι αριθμοί (στοιχεία) μέσα στον πίνακα υπάρχουν μόνοι τους, δηλαδή δεν τίθεται θέμα αφαίρεσης:

Είναι απλά ένας πίνακας (σετ) αριθμών!

Θα συμφωνήσουμε και εμείς μην αναδιατάξετεαριθμούς, εκτός εάν αναφέρεται διαφορετικά στις επεξηγήσεις. Κάθε αριθμός έχει τη δική του τοποθεσία και δεν μπορεί να ανακατευτεί!

Ο εν λόγω πίνακας έχει δύο σειρές:

και τρεις στήλες:

ΠΡΟΤΥΠΟ: όταν μιλάμε για μεγέθη μήτρας, τότε αρχικάυποδεικνύουν τον αριθμό των σειρών και μόνο τότε τον αριθμό των στηλών. Μόλις αναλύσαμε τον πίνακα δύο προς τρία.

Εάν ο αριθμός των γραμμών και στηλών ενός πίνακα είναι ο ίδιος, τότε ο πίνακας καλείται τετράγωνο, Για παράδειγμα: – μια μήτρα τρία προς τρία.

Εάν ένας πίνακας έχει μία στήλη ή μία γραμμή, τότε καλούνται και αυτοί οι πίνακες φορείς.

Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε την έννοια του πίνακα από το σχολείο· θεωρήστε, για παράδειγμα, ένα σημείο με συντεταγμένες «x» και «y»: . Ουσιαστικά, οι συντεταγμένες ενός σημείου γράφονται σε έναν πίνακα ένα προς δύο. Παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα παράδειγμα γιατί η σειρά των αριθμών έχει σημασία: και είναι δύο εντελώς διαφορετικά σημεία στο επίπεδο.

Τώρα ας προχωρήσουμε στη μελέτη πράξεις με πίνακες:

1) Πράξη πρώτη. Αφαίρεση ενός μείον από τη μήτρα (εισαγωγή ενός μείον στη μήτρα).

Ας επιστρέψουμε στο matrix μας . Όπως πιθανότατα παρατηρήσατε, υπάρχουν πάρα πολλοί αρνητικοί αριθμοί σε αυτόν τον πίνακα. Αυτό είναι πολύ άβολο από την άποψη της εκτέλεσης διαφόρων ενεργειών με τη μήτρα, είναι άβολο να γράφετε τόσα πολλά μειονεκτήματα και φαίνεται απλά άσχημο στο σχεδιασμό.

Ας μετακινήσουμε το μείον έξω από τον πίνακα αλλάζοντας το πρόσημο ΚΑΘΕ στοιχείου του πίνακα:

Στο μηδέν, όπως καταλαβαίνετε, το πρόσημο δεν αλλάζει· το μηδέν είναι επίσης μηδέν στην Αφρική.

Αντίστροφο παράδειγμα: . Φαίνεται άσχημο.

Ας εισάγουμε ένα μείον στον πίνακα αλλάζοντας το πρόσημο ΚΑΘΕ στοιχείου του πίνακα:

Λοιπόν, έγινε πολύ πιο ωραίο. Και, το πιο σημαντικό, θα είναι πιο εύκολο να εκτελέσετε οποιεσδήποτε ενέργειες με τη μήτρα. Επειδή υπάρχει ένα τέτοιο μαθηματικό λαϊκό σημάδι: όσο περισσότερα μειονεκτήματα, τόσο περισσότερη σύγχυση και λάθη.

2) Πράξη δεύτερη. Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Παράδειγμα:

Είναι απλό, για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό, χρειάζεστε κάθεστοιχείο μήτρας πολλαπλασιασμένο με έναν δεδομένο αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση - ένα τρία.

Ένα άλλο χρήσιμο παράδειγμα:

– πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με ένα κλάσμα

Πρώτα ας δούμε τι πρέπει να κάνουμε ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ:

ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ να εισαγάγετε ένα κλάσμα στη μήτρα· πρώτον, περιπλέκει μόνο περαιτέρω ενέργειες με τη μήτρα και, δεύτερον, δυσκολεύει τον δάσκαλο να ελέγξει τη λύση (ειδικά αν – τελική απάντηση της εργασίας).

Και ιδιαιτερα, ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙδιαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα με μείον επτά:

Από το άρθρο Μαθηματικά για ανδρείκελα ή από πού να ξεκινήσετε, θυμόμαστε ότι στα ανώτερα μαθηματικά προσπαθούν να αποφύγουν τα δεκαδικά κλάσματα με κόμματα με κάθε δυνατό τρόπο.

Το μόνο πράγμα είναι κατά προτίμησηΤι πρέπει να κάνετε σε αυτό το παράδειγμα είναι να προσθέσετε ένα μείον στον πίνακα:

Αλλά αν μόνο ΟΛΑΤα στοιχεία μήτρας διαιρέθηκαν με 7 χωρίς ίχνος, τότε θα ήταν δυνατή (και απαραίτητη!) η διαίρεση.

Παράδειγμα:

Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε ΠΡΕΠΕΙ ΝΑπολλαπλασιάστε όλα τα στοιχεία πίνακα με , αφού όλοι οι αριθμοί μήτρας διαιρούνται με το 2 χωρίς ίχνος.

Σημείωση: στη θεωρία των μαθηματικών της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν υπάρχει η έννοια της «διαίρεσης». Αντί να πείτε "αυτό διαιρείται με αυτό", μπορείτε πάντα να πείτε "αυτό πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα". Δηλαδή η διαίρεση είναι ειδική περίπτωση πολλαπλασιασμού.

3) Πράξη τρίτη. Μεταφορά μήτρας.

Για να μεταφέρετε έναν πίνακα, πρέπει να γράψετε τις σειρές του στις στήλες του μεταφερόμενου πίνακα.

Παράδειγμα:

Μεταφορά μήτρας

Υπάρχει μόνο μία γραμμή εδώ και, σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να γραφτεί σε μια στήλη:

– μεταφερόμενος πίνακας.

Ένας μετατιθέμενος πίνακας συνήθως υποδεικνύεται με έναν εκθέτη ή έναν πρώτο στην επάνω δεξιά γωνία.

Παράδειγμα βήμα προς βήμα:

Μεταφορά μήτρας

Αρχικά ξαναγράφουμε την πρώτη σειρά στην πρώτη στήλη:

Στη συνέχεια ξαναγράφουμε τη δεύτερη γραμμή στη δεύτερη στήλη:

Και τέλος, ξαναγράφουμε την τρίτη σειρά στην τρίτη στήλη:

Ετοιμος. Σε γενικές γραμμές, μετατόπιση σημαίνει στροφή της μήτρας από την πλευρά της.

4) Πράξη τέταρτη. Άθροισμα (διαφορά) πινάκων.

Το άθροισμα των πινάκων είναι μια απλή πράξη.
ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΔΙΠΛΩΘΟΥΝ ΟΛΕΣ ΟΙ ΜΗΤΡΕΣ. Για να γίνει πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων, είναι απαραίτητο να έχουν ΙΔΙΟ ΜΕΓΕΘΟΣ.

Για παράδειγμα, εάν δοθεί ένας πίνακας δύο προς δύο, τότε μπορεί να προστεθεί μόνο με έναν πίνακα δύο προς δύο και κανένας άλλος!

Παράδειγμα:

Προσθέστε πίνακες Και

Για να προσθέσετε πίνακες, πρέπει να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία τους:

Για τη διαφορά των πινάκων ο κανόνας είναι παρόμοιος, είναι απαραίτητο να βρεθεί η διαφορά των αντίστοιχων στοιχείων.

Παράδειγμα:

Βρείτε τη διαφορά μήτρας ,

Πώς μπορείτε να λύσετε αυτό το παράδειγμα πιο εύκολα, για να μην μπερδευτείτε; Συνιστάται να απαλλαγείτε από τα περιττά μειονεκτήματα, για να το κάνετε αυτό, προσθέστε ένα μείον στη μήτρα:

Σημείωση: στη θεωρία των μαθηματικών της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν υπάρχει η έννοια της «αφαίρεσης». Αντί να πείτε "αφαιρέστε αυτό από αυτό", μπορείτε πάντα να πείτε "προσθέστε έναν αρνητικό αριθμό σε αυτό". Δηλαδή η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης.

5) Πράξη πέμπτη. Πολλαπλασιασμός μήτρας.

Ποιοι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν;

Για να πολλαπλασιαστεί ένας πίνακας με έναν πίνακα, είναι απαραίτητο έτσι ώστε ο αριθμός των στηλών του πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα.

Παράδειγμα:
Είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν πίνακα;

Αυτό σημαίνει ότι τα δεδομένα μήτρας μπορούν να πολλαπλασιαστούν.

Αλλά εάν οι πίνακες αναδιαταχθούν, τότε, σε αυτήν την περίπτωση, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι πλέον δυνατός!

Επομένως, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι δυνατός:

Δεν είναι τόσο σπάνιο να συναντήσει κανείς εργασίες με κόλπο, όταν ο μαθητής καλείται να πολλαπλασιάσει πίνακες, ο πολλαπλασιασμός των οποίων είναι προφανώς αδύνατος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός των πινάκων και με τους δύο τρόπους.
Για παράδειγμα, για πίνακες, και ο πολλαπλασιασμός και ο πολλαπλασιασμός είναι δυνατοί