Γεωμετρική αριθμομηχανή προόδου. Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος. Περιεκτικός οδηγόςμε παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς, και μπορεί να υπάρχουν όσοι θέλετε (στην περίπτωσή μας, αυτοί). Όσους αριθμούς κι αν γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος από αυτούς είναι ο πρώτος, ποιος ο δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως ο -ος αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται -ο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας - το ίδιο γράμμα με ευρετήριο ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι προόδου είναι η αριθμητική και η γεωμετρική. Σε αυτό το θέμα, θα μιλήσουμε για το δεύτερο είδος - γεωμετρική πρόοδος.

Γιατί χρειαζόμαστε μια γεωμετρική πρόοδο και την ιστορία της.

Ακόμη και στην αρχαιότητα, ο Ιταλός μαθηματικός, ο μοναχός Λεονάρντο της Πίζας (γνωστός περισσότερο ως Φιμπονάτσι), ασχολήθηκε με τις πρακτικές ανάγκες του εμπορίου. Ο μοναχός βρέθηκε αντιμέτωπος με το καθήκον να προσδιορίσει ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός βαρών που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ζυγίσει τα εμπορεύματα; Στα γραπτά του, ο Fibonacci αποδεικνύει ότι ένα τέτοιο σύστημα βαρών είναι το βέλτιστο: Αυτή είναι μια από τις πρώτες καταστάσεις στις οποίες οι άνθρωποι έπρεπε να αντιμετωπίσουν μια γεωμετρική πρόοδο, για την οποία πιθανότατα έχετε ακούσει και έχετε τουλάχιστον γενική έννοια. Μόλις κατανοήσετε πλήρως το θέμα, σκεφτείτε γιατί ένα τέτοιο σύστημα είναι το βέλτιστο;

Επί του παρόντος, στην πρακτική της ζωής, μια γεωμετρική πρόοδος εκδηλώνεται κατά την επένδυση κεφαλαίων σε μια τράπεζα, όταν το ποσό των τόκων χρεώνεται στο ποσό που συσσωρεύτηκε στον λογαριασμό για την προηγούμενη περίοδο. Με άλλα λόγια, εάν βάλετε χρήματα σε μια προθεσμιακή κατάθεση σε ένα ταμιευτήριο, τότε σε ένα χρόνο η κατάθεση θα αυξηθεί από το αρχικό ποσό, δηλ. το νέο ποσό θα είναι ίσο με την εισφορά πολλαπλασιαζόμενη επί. Σε έναν άλλο χρόνο, το ποσό αυτό θα αυξηθεί κατά, δηλ. το ποσό που λαμβάνεται εκείνη τη στιγμή πολλαπλασιάζεται και πάλι με και ούτω καθεξής. Παρόμοια κατάστασηπου περιγράφονται στις εργασίες για τον υπολογισμό του λεγόμενου ανατοκισμός- το ποσοστό λαμβάνεται κάθε φορά από το ποσό που υπάρχει στον λογαριασμό, λαμβάνοντας υπόψη τους προηγούμενους τόκους. Θα μιλήσουμε για αυτές τις εργασίες λίγο αργότερα.

Υπάρχουν πολλά άλλα απλές περιπτώσειςόπου εφαρμόζεται γεωμετρική πρόοδος. Για παράδειγμα, η εξάπλωση της γρίπης: ένα άτομο μόλυνε ένα άτομο, εκείνοι, με τη σειρά τους, μόλυναν ένα άλλο άτομο, και έτσι το δεύτερο κύμα μόλυνσης - ένα άτομο, και εκείνοι, με τη σειρά τους, μόλυναν ένα άλλο ... και ούτω καθεξής .. .

Παρεμπιπτόντως, μια οικονομική πυραμίδα, το ίδιο ΜΜΜ, είναι ένας απλός και ξερός υπολογισμός σύμφωνα με τις ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου. Ενδιαφέρων? Ας το καταλάβουμε.

Γεωμετρική πρόοδος.

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία:

Θα απαντήσετε αμέσως ότι είναι εύκολο και το όνομα μιας τέτοιας ακολουθίας είναι αριθμητική πρόοδος με τη διαφορά των μελών της. Τι θα λέγατε για κάτι σαν αυτό:

Εάν αφαιρέσετε τον προηγούμενο αριθμό από τον επόμενο αριθμό, τότε θα δείτε ότι κάθε φορά παίρνετε μια νέα διαφορά (και ούτω καθεξής), αλλά η ακολουθία σίγουρα υπάρχει και είναι εύκολο να παρατηρήσετε - κάθε επόμενος αριθμόςφορές περισσότερο από το προηγούμενο!

Αυτός ο τύπος ακολουθίας ονομάζεται γεωμετρική πρόοδοςκαι σημειώνεται.

Μια γεωμετρική πρόοδος ( ) είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενο με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Οι περιορισμοί ότι ο πρώτος όρος ( ) δεν είναι ίσος και δεν είναι τυχαίοι. Ας πούμε ότι δεν υπάρχει κανένας, και ο πρώτος όρος εξακολουθεί να είναι ίσος, και το q είναι, χμ .. ας, τότε αποδεικνύεται:

Συμφωνήστε ότι δεν πρόκειται για εξέλιξη.

Όπως καταλαβαίνετε, θα έχουμε τα ίδια αποτελέσματα αν είναι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν, αλλά. Σε αυτές τις περιπτώσεις, απλά δεν θα υπάρξει εξέλιξη, αφού το σύνολο σειρά αριθμώνείτε θα είναι όλα μηδενικά, είτε ένας αριθμός και όλα τα άλλα μηδενικά.

Τώρα ας μιλήσουμε πιο αναλυτικά για τον παρονομαστή μιας γεωμετρικής προόδου, δηλαδή περίπου.

Ας επαναλάβουμε: - αυτός είναι ένας αριθμός, πόσες φορές αλλάζει κάθε επόμενος όροςγεωμετρική πρόοδος.

Τι πιστεύετε ότι θα μπορούσε να είναι; Αυτό είναι σωστό, θετικό και αρνητικό, αλλά όχι μηδέν (το μιλήσαμε λίγο παραπάνω).

Ας πούμε ότι έχουμε ένα θετικό. Ας στην περίπτωσή μας, α. Τι είναι ο δεύτερος όρος και; Μπορείτε εύκολα να απαντήσετε ότι:

Εντάξει. Αντίστοιχα, εάν, τότε όλα τα επόμενα μέλη της προόδου έχουν ίδιο σημάδι- αυτοί θετικός.

Κι αν είναι αρνητικό; Για παράδειγμα, α. Τι είναι ο δεύτερος όρος και;

Είναι μια τελείως διαφορετική ιστορία

Προσπαθήστε να μετρήσετε τον όρο αυτής της εξέλιξης. Πόσα πήρες; Εχω. Έτσι, αν, τότε τα πρόσημα των όρων της γεωμετρικής προόδου εναλλάσσονται. Δηλαδή, αν δείτε μια πρόοδο με εναλλασσόμενα πρόσημα στα μέλη της, τότε ο παρονομαστής της είναι αρνητικός. Αυτή η γνώση μπορεί να σας βοηθήσει να δοκιμάσετε τον εαυτό σας κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα.

Τώρα ας εξασκηθούμε λίγο: προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες αριθμητικές ακολουθίες είναι γεωμετρική πρόοδος και ποιες αριθμητική:

Το έπιασα? Συγκρίνετε τις απαντήσεις μας:

Γεωμετρική πρόοδος - 3, 6.
Αριθμητική πρόοδος - 2, 4.
Δεν είναι ούτε αριθμητική ούτε γεωμετρική πρόοδος - 1, 5, 7.

Ας επιστρέψουμε στην τελευταία μας εξέλιξη και ας προσπαθήσουμε να βρούμε τον όρο της με τον ίδιο τρόπο όπως στην αριθμητική. Όπως ίσως έχετε μαντέψει, υπάρχουν δύο τρόποι για να το βρείτε.

Πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά κάθε όρο με.

Άρα, το -ο μέλος της περιγραφόμενης γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με.

Όπως ήδη μαντέψατε, τώρα εσείς οι ίδιοι θα αντλήσετε έναν τύπο που θα σας βοηθήσει να βρείτε οποιοδήποτε μέλος μιας γεωμετρικής προόδου. Ή το έχετε ήδη βγάλει μόνοι σας, περιγράφοντας πώς να βρείτε το ου μέλος σταδιακά; Αν ναι, τότε ελέγξτε την ορθότητα του συλλογισμού σας.

Ας το επεξηγήσουμε αυτό με το παράδειγμα εύρεσης του -ου μέλους αυτής της προόδου:

Με άλλα λόγια:

Βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου.

Συνέβη; Συγκρίνετε τις απαντήσεις μας:

Προσέξτε ότι πήρατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν πολλαπλασιάζαμε διαδοχικά με κάθε προηγούμενο μέλος της γεωμετρικής προόδου.
Ας προσπαθήσουμε να «αποπροσωποποιήσουμε» αυτή τη φόρμουλα- ας το φέρουμε σε μια γενική μορφή και ας πάρουμε:

Ο παραγόμενος τύπος ισχύει για όλες τις τιμές - τόσο θετικές όσο και αρνητικές. Ελέγξτε το μόνοι σας υπολογίζοντας τους όρους μιας γεωμετρικής προόδου με παρακάτω συνθήκες: , ένα.

μετρήσατε; Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Συμφωνήστε ότι θα ήταν δυνατό να βρεθεί ένα μέλος της προόδου με τον ίδιο τρόπο όπως ένα μέλος, ωστόσο, υπάρχει πιθανότητα να γίνει λάθος υπολογισμός. Και αν έχουμε ήδη βρει τον ό όρο μιας γεωμετρικής προόδου, a, τότε τι θα μπορούσε να είναι πιο εύκολο από το να χρησιμοποιήσουμε το «κομμένο» μέρος του τύπου.

Μια απείρως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος.

Πιο πρόσφατα, μιλήσαμε για το τι μπορεί να είναι μεγαλύτερο και μικρότερο από το μηδέν, ωστόσο, υπάρχει ειδικές έννοιεςκάτω από την οποία ονομάζεται η γεωμετρική πρόοδος απείρως μειώνεται.

Γιατί πιστεύεις ότι έχει τέτοιο όνομα;
Αρχικά, ας γράψουμε κάποια γεωμετρική πρόοδο που αποτελείται από μέλη.
Ας πούμε λοιπόν:

Βλέπουμε ότι κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο σε χρόνους, αλλά θα υπάρχει κάποιος αριθμός; Αμέσως απαντάς - «όχι». Γι' αυτό το απείρως φθίνον - μειώνεται, μειώνεται, αλλά ποτέ δεν μηδενίζεται.

Για να κατανοήσουμε με σαφήνεια πώς φαίνεται αυτό οπτικά, ας προσπαθήσουμε να σχεδιάσουμε ένα γράφημα της προόδου μας. Έτσι, για την περίπτωσή μας, ο τύπος έχει την ακόλουθη μορφή:

Στα γραφήματα, έχουμε συνηθίσει να εξαρτόμαστε από:

Η ουσία της έκφρασης δεν έχει αλλάξει: στην πρώτη καταχώριση, δείξαμε την εξάρτηση της τιμής ενός μέλους γεωμετρικής προόδου από τον τακτικό του αριθμό, και στη δεύτερη καταχώρηση, λάβαμε απλώς την τιμή ενός μέλους γεωμετρικής προόδου για, και ο τακτικός αριθμός ορίστηκε όχι ως, αλλά ως. Το μόνο που μένει να κάνετε είναι να σχεδιάσετε το γράφημα.
Ας δούμε τι έχεις. Εδώ είναι το γράφημα που πήρα:

Βλέπω? Η συνάρτηση μειώνεται, τείνει στο μηδέν, αλλά δεν τη διασχίζει ποτέ, άρα είναι απείρως φθίνουσα. Ας σημειώσουμε τα σημεία μας στο γράφημα και ταυτόχρονα τι σημαίνει η συντεταγμένη και:

Προσπαθήστε να απεικονίσετε σχηματικά ένα γράφημα μιας γεωμετρικής προόδου εάν ο πρώτος όρος της είναι επίσης ίσος. Αναλύστε ποια είναι η διαφορά με το προηγούμενο διάγραμμα μας;

Κατάφερες? Εδώ είναι το γράφημα που πήρα:

Τώρα που έχετε κατανοήσει πλήρως τα βασικά του θέματος της γεωμετρικής προόδου: ξέρετε τι είναι, ξέρετε πώς να βρείτε τον όρο του και επίσης γνωρίζετε τι είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος, ας προχωρήσουμε στην κύρια ιδιότητά της.

ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου.

Θυμηθείτε την ιδιοκτησία των μελών αριθμητική πρόοδος? Ναι, ναι, πώς να βρείτε την τιμή ενός συγκεκριμένου αριθμού προόδου όταν υπάρχουν προηγούμενες και επόμενες τιμές των μελών αυτής της προόδου. Θυμήθηκε; Αυτό:

Τώρα βρισκόμαστε αντιμέτωποι με ακριβώς το ίδιο ερώτημα για τους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. Να αποσύρω παρόμοια φόρμουλαΑς αρχίσουμε να ζωγραφίζουμε και να μιλάμε. Θα δεις, είναι πολύ εύκολο, και αν το ξεχάσεις, μπορείς να το βγάλεις μόνος σου.

Ας πάρουμε μια άλλη απλή γεωμετρική πρόοδο, στην οποία γνωρίζουμε και. Πως να βρεις? Με μια αριθμητική πρόοδο, αυτό είναι εύκολο και απλό, αλλά πώς είναι εδώ; Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στη γεωμετρία - απλά πρέπει να ζωγραφίσετε κάθε τιμή που μας δίνεται σύμφωνα με τον τύπο.

Ρωτάς, και τώρα τι κάνουμε με αυτό; Ναι, πολύ απλό. Αρχικά, ας απεικονίσουμε αυτούς τους τύπους στο σχήμα και ας προσπαθήσουμε να κάνουμε διάφορους χειρισμούς με αυτούς για να καταλήξουμε σε μια τιμή.

Αφαιρούμε από τους αριθμούς που μας δίνονται, θα επικεντρωθούμε μόνο στην έκφρασή τους μέσω ενός τύπου. Πρέπει να βρούμε την τιμή που τονίζεται πορτοκάλι, γνωρίζοντας τους όρους που γειτνιάζουν με αυτό. Ας προσπαθήσουμε να παράγουμε μαζί τους διάφορες δραστηριότητες, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορούμε να πάρουμε.

Πρόσθεση.
Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε δύο εκφράσεις και παίρνουμε:

Από αυτήν την έκφραση, όπως μπορείτε να δείτε, δεν θα μπορέσουμε να εκφράσουμε με κανέναν τρόπο, επομένως, θα δοκιμάσουμε μια άλλη επιλογή - αφαίρεση.

Αφαίρεση.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν μπορούμε να εκφράσουμε ούτε από αυτό, επομένως, θα προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε αυτές τις εκφράσεις μεταξύ τους.

Πολλαπλασιασμός.

Τώρα κοιτάξτε προσεκτικά τι έχουμε, πολλαπλασιάζοντας τους όρους μιας γεωμετρικής προόδου που μας δίνεται σε σύγκριση με αυτό που πρέπει να βρεθεί:

Μαντέψτε για τι πράγμα μιλάω; Σωστά, για να βρούμε πρέπει να πάρουμε Τετραγωνική ρίζααπό τους αριθμούς γεωμετρικής προόδου δίπλα στον επιθυμητό αριθμό πολλαπλασιαζόμενοι μεταξύ τους:

Ορίστε. Εσείς ο ίδιος συμπεράσατε την ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου. Δοκιμάστε να γράψετε αυτόν τον τύπο γενική εικόνα. Συνέβη;

Ξεχάσατε την προϋπόθεση πότε; Σκεφτείτε γιατί είναι σημαντικό, για παράδειγμα, προσπαθήστε να το υπολογίσετε μόνοι σας, στο. Τι συμβαίνει σε αυτή την περίπτωση; Αυτό είναι σωστό, πλήρης ανοησία, αφού ο τύπος μοιάζει με αυτό:

Συνεπώς, μην ξεχνάτε αυτόν τον περιορισμό.

Τώρα ας υπολογίσουμε τι είναι

Σωστή απάντηση - ! Εάν δεν ξέχασες τη δεύτερη πιθανή τιμή κατά τον υπολογισμό, τότε είσαι εξαιρετικός άνθρωπος και μπορείς να προχωρήσεις αμέσως στην προπόνηση και αν το ξεχάσεις, διάβασε τι αναλύεται παρακάτω και προσέξτε γιατί πρέπει να γράφονται και οι δύο ρίζες στην απάντηση .

Ας σχεδιάσουμε και τις δύο γεωμετρικές προόδους μας - η μία με μια τιμή και η άλλη με μια τιμή και να ελέγξουμε αν και οι δύο έχουν το δικαίωμα ύπαρξης:

Προκειμένου να ελεγχθεί αν υπάρχει μια τέτοια γεωμετρική πρόοδος ή όχι, είναι απαραίτητο να δούμε αν όλη της διορισμένα μέλη? Υπολογίστε το q για την πρώτη και τη δεύτερη περίπτωση.

Δείτε γιατί πρέπει να γράψουμε δύο απαντήσεις; Γιατί το πρόσημο του απαιτούμενου όρου εξαρτάται από το αν είναι θετικό ή αρνητικό! Και επειδή δεν ξέρουμε τι είναι, πρέπει να γράψουμε και τις δύο απαντήσεις με ένα συν και ένα μείον.

Τώρα που έχετε κατακτήσει τα κύρια σημεία και συναγάγατε τον τύπο για την ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου, βρείτε, γνωρίζοντας και

Συγκρίνετε τις απαντήσεις σας με τις σωστές:

Τι νομίζετε, τι θα γινόταν αν μας δόθηκαν όχι οι τιμές των μελών της γεωμετρικής προόδου δίπλα στον επιθυμητό αριθμό, αλλά σε ίση απόσταση από αυτόν. Για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε, και να δώσουμε και. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που αντλήσαμε σε αυτή την περίπτωση; Προσπαθήστε να επιβεβαιώσετε ή να διαψεύσετε αυτήν την πιθανότητα με τον ίδιο τρόπο, περιγράφοντας από τι αποτελείται κάθε τιμή, όπως κάνατε όταν εξάγατε τον τύπο αρχικά, με.
Τι πήρες?

Τώρα κοιτάξτε ξανά προσεκτικά.
και αντίστοιχα:

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο τύπος λειτουργεί όχι μόνο με τους γείτονεςμε τους επιθυμητούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου, αλλά και με αυτός που απέχει εξίσουαπό αυτό που αναζητούν τα μέλη.

Έτσι, η αρχική μας φόρμουλα γίνεται:

Δηλαδή, αν στην πρώτη περίπτωση το λέγαμε, τώρα λέμε ότι μπορεί να είναι ίσο με οποιοδήποτε φυσικός αριθμός, που είναι λιγότερο. Το κύριο πράγμα είναι να είναι το ίδιο και για τους δύο δεδομένους αριθμούς.

Εξάσκηση για συγκεκριμένα παραδείγματααπλά να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί!

, . Εύρημα.
, . Εύρημα.
, . Εύρημα.

Αποφάσισα? Ελπίζω να ήσασταν εξαιρετικά προσεκτικοί και να παρατηρήσατε μια μικρή σύλληψη.

Συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.

Στις δύο πρώτες περιπτώσεις, εφαρμόζουμε ήρεμα τον παραπάνω τύπο και παίρνουμε τις ακόλουθες τιμές:

Στην τρίτη περίπτωση, σε πιο προσεκτική εξέταση σειριακοί αριθμοίαριθμοί που μας δίνονται, καταλαβαίνουμε ότι δεν απέχουν ίσα από τον αριθμό που αναζητούμε: είναι τον προηγούμενο αριθμό, αλλά αφαιρέθηκε στη θέση του, επομένως δεν είναι δυνατή η εφαρμογή του τύπου.

Πώς να το λύσετε; Στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται! Ας γράψουμε μαζί σας από τι αποτελείται ο κάθε αριθμός που μας δίνεται και ο επιθυμητός αριθμός.

Έχουμε λοιπόν και. Ας δούμε τι μπορούμε να κάνουμε με αυτά. Προτείνω χωρισμό. Παίρνουμε:

Αντικαθιστούμε τα δεδομένα μας με τον τύπο:

Το επόμενο βήμα που μπορούμε να βρούμε - για αυτό πρέπει να κάνουμε κυβική ρίζααπό τον ληφθέν αριθμό.

Τώρα ας δούμε ξανά τι έχουμε. Έχουμε, αλλά πρέπει να βρούμε, και αυτό, με τη σειρά του, ισούται με:

Βρήκαμε όλα τα απαραίτητα στοιχεία για τον υπολογισμό. Αντικαταστήστε στον τύπο:

Η απάντησή μας: .

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας ένα άλλο ίδιο πρόβλημα:
Δόθηκαν: ,
Εύρημα:

Πόσα πήρες; Εχω - .

Όπως μπορείτε να δείτε, στην πραγματικότητα, χρειάζεστε θυμηθείτε μόνο έναν τύπο- . Όλα τα υπόλοιπα μπορείτε να τα αποσύρετε χωρίς καμία δυσκολία ανά πάσα στιγμή. Για να το κάνετε αυτό, απλώς γράψτε την απλούστερη γεωμετρική πρόοδο σε ένα κομμάτι χαρτί και σημειώστε με τι ισούται, σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, κάθε αριθμός του.

Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου.

Τώρα εξετάστε τους τύπους που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε γρήγορα το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου σε ένα δεδομένο διάστημα:

Για να εξαγάγουμε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου, πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέρη της παραπάνω εξίσωσης με. Παίρνουμε:

Κοιτάξτε προσεκτικά: τι κοινό έχουν οι δύο τελευταίοι τύποι; Σωστά, κοινά μέλη, για παράδειγμα και ούτω καθεξής, εκτός από το πρώτο και το τελευταίο μέλος. Ας προσπαθήσουμε να αφαιρέσουμε την 1η εξίσωση από τη 2η εξίσωση. Τι πήρες?

Τώρα εκφράστε μέσω του τύπου ενός μέλους μιας γεωμετρικής προόδου και αντικαταστήστε την έκφραση που προκύπτει στον τελευταίο μας τύπο:

Ομαδοποιήστε την έκφραση. Θα πρέπει να πάρετε:

Το μόνο που μένει να κάνουμε είναι να εκφράσουμε:

Αντίστοιχα, στην προκειμένη περίπτωση.

Κι αν? Ποια φόρμουλα λειτουργεί τότε; Φανταστείτε μια γεωμετρική πρόοδο στο. Πώς είναι αυτή; Σωστά μια σειρά πανομοιότυπων αριθμών, αντίστοιχα, ο τύπος θα μοιάζει με αυτό:

Όπως και με την αριθμητική και τη γεωμετρική πρόοδο, υπάρχουν πολλοί θρύλοι. Ένας από αυτούς είναι ο θρύλος του Σεθ, του δημιουργού του σκακιού.

Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν ότι το παιχνίδι του σκακιού εφευρέθηκε στην Ινδία. Όταν ο ινδουιστής βασιλιάς τη συνάντησε, χάρηκε με την εξυπνάδα της και την ποικιλία των δυνατών θέσεων της. Όταν έμαθε ότι επινοήθηκε από έναν από τους υπηκόους του, ο βασιλιάς αποφάσισε να τον ανταμείψει προσωπικά. Κάλεσε τον εφευρέτη κοντά του και διέταξε να του ζητήσει ό,τι ήθελε, υποσχόμενος να εκπληρώσει και την πιο επιδέξια επιθυμία.

Η Σέτα ζήτησε χρόνο για να σκεφτεί και όταν την επόμενη μέρα η Σέτα εμφανίστηκε ενώπιον του βασιλιά, εξέπληξε τον βασιλιά με την απαράμιλλη σεμνότητα του αιτήματός του. Ζήτησε έναν κόκκο σιτάρι για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, σιτάρι για το δεύτερο, για το τρίτο, για το τέταρτο κ.ο.κ.

Ο βασιλιάς ήταν θυμωμένος και έδιωξε τον Σεθ, λέγοντας ότι το αίτημα του υπηρέτη ήταν ανάξιο της βασιλικής γενναιοδωρίας, αλλά υποσχέθηκε ότι ο υπηρέτης θα λάμβανε τα σιτάρια του για όλα τα κελιά της σανίδας.

Και τώρα το ερώτημα είναι: χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των μελών μιας γεωμετρικής προόδου, υπολογίστε πόσους κόκκους πρέπει να λάβει ο Seth;

Ας αρχίσουμε να συζητάμε. Εφόσον, σύμφωνα με την προϋπόθεση, ο Σεθ ζήτησε έναν κόκκο σιτάρι για το πρώτο κελί της σκακιέρας, για το δεύτερο, για το τρίτο, για το τέταρτο κ.λπ., βλέπουμε ότι στο πρόβλημα μιλαμεσχετικά με τη γεωμετρική πρόοδο. Τι είναι ίσο σε αυτή την περίπτωση;
Σωστά.

Σύνολο κελιών της σκακιέρας. Αντίστοιχα, . Έχουμε όλα τα δεδομένα, μένει μόνο να αντικαταστήσουμε τον τύπο και να υπολογίσουμε.

Για να δώσουμε τουλάχιστον μια κατά προσέγγιση "κλίμακα" δεδομένου αριθμού, μετασχηματισμός χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες βαθμού:

Φυσικά, αν θέλετε, μπορείτε να πάρετε μια αριθμομηχανή και να υπολογίσετε με ποιον αριθμό θα καταλήξετε, και αν όχι, θα πρέπει να το λάβετε υπόψη μου: η τελική τιμή της έκφρασης θα είναι.
Αυτό είναι:

εκατομμύριο τετράσεκα τρισεκατομμύρια δισεκατομμύρια εκατομμύρια χιλιάδες.

Fuh) Εάν θέλετε να φανταστείτε το τεράστιο μέγεθος αυτού του αριθμού, τότε υπολογίστε τι μέγεθος αχυρώνα θα χρειαζόταν για να φιλοξενήσει ολόκληρη την ποσότητα σιτηρών.
Με ύψος αχυρώνα m και πλάτος m, το μήκος του θα έπρεπε να εκτείνεται σε km, δηλ. διπλάσια απόσταση από τη Γη στον Ήλιο.

Αν ο βασιλιάς ήταν δυνατός στα μαθηματικά, θα μπορούσε να προσφέρει στον ίδιο τον επιστήμονα να μετρήσει τους κόκκους, γιατί για να μετρήσει ένα εκατομμύριο κόκκους, θα χρειαζόταν τουλάχιστον μια μέρα ακούραστης μέτρησης, και δεδομένου ότι είναι απαραίτητο να μετρήσει τα πεμπτο τα σιτηρά θα έπρεπε να μετρηθούν σε όλη του τη ζωή.

Και τώρα θα λύσουμε ένα απλό πρόβλημα με το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου.
Ο Βάσια, μαθητής της 5ης τάξης, αρρώστησε με γρίπη, αλλά συνεχίζει να πηγαίνει στο σχολείο. Κάθε μέρα, η Βάσια μολύνει δύο άτομα που με τη σειρά τους μολύνουν άλλα δύο άτομα και ούτω καθεξής. Μόνο ένα άτομο στην τάξη. Σε πόσες μέρες θα πάθει γρίπη όλη η τάξη;

Έτσι, το πρώτο μέλος μιας γεωμετρικής προόδου είναι ο Vasya, δηλαδή ένα άτομο. Το μέλος της γεωμετρικής προόδου, αυτά είναι τα δύο άτομα που μόλυνε την πρώτη μέρα της άφιξής του. συνολικό ποσόμέλη της προόδου ισούται με τον αριθμό των μαθητών 5Α. Ως εκ τούτου, μιλάμε για μια εξέλιξη στην οποία:

Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου:

Όλη η τάξη θα αρρωστήσει μέσα σε λίγες μέρες. Δεν πιστεύετε σε τύπους και αριθμούς; Προσπαθήστε να απεικονίσετε μόνοι σας τη «μόλυνση» των μαθητών. Συνέβη; Δείτε πώς μου φαίνεται:

Υπολογίστε μόνοι σας πόσες ημέρες θα κολλούσαν οι μαθητές τη γρίπη εάν όλοι μολύνουν ένα άτομο και υπήρχε ένα άτομο στην τάξη.

Τι αξία πήρες; Αποδείχθηκε ότι όλοι άρχισαν να αρρωσταίνουν μετά από μια μέρα.

Όπως μπορείτε να δείτε, μια τέτοια εργασία και το σχέδιο για αυτό μοιάζει με μια πυραμίδα, στην οποία κάθε επόμενο "φέρνει" νέους ανθρώπους. Ωστόσο, αργά ή γρήγορα έρχεται μια στιγμή που η τελευταία δεν μπορεί να προσελκύσει κανέναν. Στην περίπτωσή μας, αν φανταστούμε ότι η τάξη είναι απομονωμένη, το άτομο από κλείνει την αλυσίδα (). Έτσι, εάν ένα άτομο συμμετείχε σε μια οικονομική πυραμίδα στην οποία δόθηκαν χρήματα εάν φέρετε δύο άλλους συμμετέχοντες, τότε το άτομο (ή σε γενική περίπτωση) δεν θα έφερνε κανέναν, αντίστοιχα, θα έχανε όλα όσα επένδυσαν σε αυτήν την οικονομική απάτη.

Όλα όσα ειπώθηκαν παραπάνω αναφέρονται σε μια φθίνουσα ή αυξανόμενη γεωμετρική πρόοδο, αλλά, όπως θυμάστε, έχουμε ένα ιδιαίτερο είδος - μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των μελών του; Και γιατί αυτός ο τύπος εξέλιξης έχει ορισμένα χαρακτηριστικά; Ας το καταλάβουμε μαζί.

Λοιπόν, για αρχή, ας δούμε ξανά αυτήν την εικόνα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου από το παράδειγμά μας:

Και τώρα ας δούμε τον τύπο για το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου, που προέκυψε λίγο νωρίτερα:
ή

Τι επιδιώκουμε; Σωστά, το γράφημα δείχνει ότι τείνει στο μηδέν. Δηλαδή, όταν, θα είναι σχεδόν ίσο, αντίστοιχα, κατά τον υπολογισμό της έκφρασης, θα πάρουμε σχεδόν. Από αυτή την άποψη, πιστεύουμε ότι κατά τον υπολογισμό του αθροίσματος μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, αυτή η αγκύλη μπορεί να αγνοηθεί, καθώς θα είναι ίση.

- ο τύπος είναι το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου μόνο εάν η συνθήκη δηλώνει ρητά ότι πρέπει να βρούμε το άθροισμα ατελείωτεςτον αριθμό των μελών.

Εάν υποδεικνύεται ένας συγκεκριμένος αριθμός n, τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των n όρων, ακόμη και αν ή.

Και τώρα ας εξασκηθούμε.

Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου με και.
Βρείτε το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με και.

Ελπίζω να ήσουν πολύ προσεκτικός. Συγκρίνετε τις απαντήσεις μας:

Τώρα ξέρετε τα πάντα για τη γεωμετρική πρόοδο και ήρθε η ώρα να περάσετε από τη θεωρία στην πράξη. Τα πιο συνηθισμένα εκθετικά προβλήματα που εντοπίζονται στην εξέταση είναι προβλήματα σύνθετου επιτοκίου. Για αυτούς θα μιλήσουμε.

Προβλήματα υπολογισμού ανατοκισμού.

Πρέπει να έχετε ακούσει για τον λεγόμενο τύπο σύνθετου ενδιαφέροντος. Καταλαβαίνεις τι εννοεί; Αν όχι, ας το καταλάβουμε, γιατί έχοντας συνειδητοποιήσει την ίδια τη διαδικασία, θα καταλάβετε αμέσως τι σχέση έχει η γεωμετρική πρόοδος.

Πηγαίνουμε όλοι στην τράπεζα και ξέρουμε ότι υπάρχουν διαφορετικές συνθήκεςεπί καταθέσεων: αυτό είναι και όρος και πρόσθετη συντήρηση και ποσοστό με δύο διαφορετικοί τρόποιο υπολογισμός του - απλός και σύνθετος.

ΑΠΟ απλό ενδιαφέρονόλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα: οι τόκοι χρεώνονται μία φορά στο τέλος της περιόδου κατάθεσης. Δηλαδή, αν μιλάμε για 100 ρούβλια το χρόνο κάτω, τότε θα πιστωθούν μόνο στο τέλος του έτους. Κατά συνέπεια, μέχρι το τέλος της κατάθεσης, θα λάβουμε ρούβλια.

Ανατοκισμόςείναι μια επιλογή στην οποία κεφαλαιοποίηση τόκων, δηλ. την πρόσθεσή τους στο ποσό της κατάθεσης και τον μετέπειτα υπολογισμό των εσόδων όχι από το αρχικό, αλλά από το συσσωρευμένο ποσό της κατάθεσης. Η κεφαλαιοποίηση δεν γίνεται συνεχώς, αλλά με κάποια περιοδικότητα. Κατά κανόνα, τέτοιες περίοδοι είναι ίσες και τις περισσότερες φορές οι τράπεζες χρησιμοποιούν ένα μήνα, ένα τρίμηνο ή ένα έτος.

Ας πούμε ότι βάζουμε όλα τα ίδια ρούβλια ετησίως, αλλά με μηνιαία κεφαλαιοποίηση της κατάθεσης. Τι παίρνουμε;

Καταλαβαίνεις τα πάντα εδώ; Αν όχι, ας το κάνουμε βήμα βήμα.

Φέραμε ρούβλια στην τράπεζα. Μέχρι το τέλος του μήνα, θα πρέπει να έχουμε ένα ποσό στον λογαριασμό μας που θα αποτελείται από τα ρούβλια μας συν τους τόκους σε αυτά, δηλαδή:

Συμφωνώ?

Μπορούμε να το βγάλουμε από την αγκύλη και μετά παίρνουμε:

Συμφωνώ, αυτός ο τύπος είναι ήδη περισσότερο παρόμοιος με αυτόν που γράψαμε στην αρχή. Μένει να ασχοληθούμε με τα ποσοστά

Στην συνθήκη του προβλήματος μας λένε για το ετήσιο. Όπως γνωρίζετε, δεν πολλαπλασιάζουμε με - μετατρέπουμε τα ποσοστά σε δεκαδικά, αυτό είναι:

Σωστά? Τώρα ρωτάτε, από πού προήλθε ο αριθμός; Πολύ απλό!
Επαναλαμβάνω: η κατάσταση του προβλήματος λέει για ΕΤΗΣΙΟδεδουλευμένοι τόκοι ΜΗΝΙΑΙΟ. Όπως γνωρίζετε, σε ένα έτος σε μήνες, αντίστοιχα, η τράπεζα θα μας χρεώνει ένα μέρος του ετήσιου τόκου ανά μήνα:

Συνειδητοποίησα? Τώρα προσπαθήστε να γράψετε πώς θα ήταν αυτό το μέρος του τύπου αν έλεγα ότι οι τόκοι υπολογίζονται καθημερινά.
Κατάφερες? Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: σημειώστε πόσα θα πιστωθούν στον λογαριασμό μας για τον δεύτερο μήνα, λαμβάνοντας υπόψη ότι χρεώνονται τόκοι στο συσσωρευμένο ποσό κατάθεσης.
Να τι μου συνέβη:

Ή, με άλλα λόγια:

Νομίζω ότι έχετε ήδη παρατηρήσει ένα μοτίβο και έχετε δει μια γεωμετρική πρόοδο σε όλο αυτό. Γράψτε με τι θα ισοδυναμεί το μέλος του ή, με άλλα λόγια, πόσα χρήματα θα λάβουμε στο τέλος του μήνα.
Μήπως; Ελεγχος!

Όπως μπορείτε να δείτε, εάν βάλετε χρήματα σε μια τράπεζα για ένα χρόνο με απλό επιτόκιο, τότε θα λάβετε ρούβλια και εάν τα βάλετε με σύνθετο επιτόκιο, θα λάβετε ρούβλια. Το όφελος είναι μικρό, αλλά αυτό συμβαίνει μόνο κατά τη διάρκεια του έτους, αλλά για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα, η κεφαλαιοποίηση είναι πολύ πιο κερδοφόρα:

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τύπο εργασιών ανατοκισμός. Μετά από αυτό που καταλάβατε, θα είναι στοιχειώδες για εσάς. Το καθήκον λοιπόν είναι:

Η Zvezda ξεκίνησε να επενδύει στη βιομηχανία το 2000 με κεφάλαιο σε δολάρια. Κάθε χρόνο, από το 2001, έχει κέρδος, το οποίο είναι από το κεφάλαιο προηγούμενο έτος. Πόσα κέρδη θα λάβει η εταιρεία Zvezda στο τέλος του 2003, εάν το κέρδος δεν αποσυρόταν από την κυκλοφορία;

Το κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2000.
- το κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2001.
- το κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2002.
- το κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2003.

Ή μπορούμε να γράψουμε εν συντομία:

Για την περίπτωσή μας:

2000, 2001, 2002 και 2003.

Αντίστοιχα:
ρούβλια
Σημειώστε ότι σε αυτό το πρόβλημα δεν έχουμε διαίρεση ούτε με ούτε κατά, αφού το ποσοστό δίνεται ΕΤΗΣΙΑ και υπολογίζεται ΕΤΗΣΙΑ. Δηλαδή, κατά την ανάγνωση του προβλήματος για τους ανατοκισμένους τόκους, προσέξτε τι ποσοστό δίνεται, και σε ποια περίοδο χρεώνεται και μόνο τότε προχωρήστε στους υπολογισμούς.
Τώρα ξέρετε τα πάντα για τη γεωμετρική πρόοδο.

Προπόνηση.

Βρείτε έναν όρο μιας γεωμετρικής προόδου αν είναι γνωστό ότι, και
Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου, αν είναι γνωστό ότι, και
Η MDM Capital ξεκίνησε να επενδύει στον κλάδο το 2003 με κεφάλαιο σε δολάρια. Κάθε χρόνο από το 2004 έχει κέρδος ίσο με το κεφάλαιο της προηγούμενης χρονιάς. Εταιρεία "MSK" το χρήμα ρέει” άρχισε να επενδύει στον κλάδο το 2005 με ποσό 10.000 $, ξεκινώντας να αποκομίζει κέρδη από το 2006 στο ποσό των. Κατά πόσα δολάρια υπερβαίνει το κεφάλαιο μιας εταιρείας το κεφάλαιο μιας άλλης στο τέλος του 2007, εάν τα κέρδη δεν αποσύρονταν από την κυκλοφορία;

Απαντήσεις:

Επειδή η συνθήκη του προβλήματος δεν λέει ότι η πρόοδος είναι άπειρη και απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα συγκεκριμένο αριθμότων μελών του, τότε ο υπολογισμός πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:
Εταιρεία "MDM Capital":
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- αυξάνεται κατά 100%, δηλαδή 2 φορές.
Αντίστοιχα:
ρούβλια
Ταμειακές ροές MSK:
2005, 2006, 2007.
- αυξάνεται κατά, δηλαδή, φορές.
Αντίστοιχα:
ρούβλια
ρούβλια

Ας συνοψίσουμε.

1) Μια γεωμετρική πρόοδος ( ) είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενο με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

2) Η εξίσωση των μελών μιας γεωμετρικής προόδου -.

3) μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, εκτός από το και.

αν, τότε όλα τα επόμενα μέλη της προόδου έχουν το ίδιο πρόσημο - αυτοί θετικός;
αν, τότε όλα τα επόμενα μέλη της προόδου εναλλακτικά σημάδια?
όταν - η πρόοδος ονομάζεται απείρως φθίνουσα.

4) , στο - ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου (γειτονικά μέλη)

ή
, σε (ισαπέχοντες όρους)

Όταν το βρείτε, μην το ξεχνάτε πρέπει να υπάρχουν δύο απαντήσεις..

Για παράδειγμα,

5) Το άθροισμα των μελών μιας γεωμετρικής προόδου υπολογίζεται με τον τύπο:
ή

Εάν η πρόοδος είναι απείρως φθίνουσα, τότε:
ή

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας άπειρα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου μόνο εάν η συνθήκη δηλώνει ρητά ότι πρέπει να βρούμε το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού όρων.

6) Οι εργασίες για ανατοκισμό υπολογίζονται επίσης σύμφωνα με τον τύπο του ου μέλους μιας γεωμετρικής προόδου, υπό την προϋπόθεση ότι τα κεφάλαια δεν αποσύρθηκαν από την κυκλοφορία:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Γεωμετρική πρόοδος( ) είναι μια αριθμητική ακολουθία, ο πρώτος όρος της οποίας είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Παρονομαστής γεωμετρικής προόδουμπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή εκτός από το και.

Εάν, τότε όλα τα επόμενα μέλη της εξέλιξης έχουν το ίδιο πρόσημο - είναι θετικά.
εάν, τότε όλα τα επόμενα μέλη της προόδου εναλλάσσονται σημάδια.
όταν - η πρόοδος ονομάζεται απείρως φθίνουσα.

Εξίσωση μελών γεωμετρικής προόδου - .

Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουυπολογίζεται με τον τύπο:
ή

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια μη μηδενική αριθμητική ακολουθία που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού κάθε επόμενου όρου με έναν δεδομένο συντελεστή που δεν είναι ίσος με μηδέν.

Ορισμός ακολουθίας

Πριν ασχοληθεί κανείς με την πρόοδο, θα πρέπει να κατανοήσει τον ορισμό μιας αριθμητικής ακολουθίας και τον νόμο με τον οποίο τίθεται. Θυμηθείτε τη φυσική σειρά - την πρώτη σειρά αριθμών, στο οποίο σπουδάζουμε νηπιαγωγείο. Αυτοί είναι ακέραιοι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για την επαναμέτρηση στοιχείων. Η αρχή μοιάζει με αυτό:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...n

Αν κάθε αριθμός της φυσικής σειράς συσχετίζεται με έναν άλλο αριθμό που σχηματίζεται σύμφωνα με ορισμένη φόρμουλα, παίρνουμε μια νέα ακολουθία:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... an

Ο αριθμός an είναι κοινό μέλος της ακολουθίας και του νόμου που σχηματίζει τα στοιχεία της σειράς. Προφανώς, ο τύπος για τη ρύθμιση της φυσικής σειράς είναι απλώς n. Για μια ακολουθία ζυγών αριθμών, κάθε στοιχείο και κοινός όρος δίνεται από τον τύπο 2n και για περιττούς αριθμούς - 2n − 1.

Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους

Ένα άλλο παράδειγμα εκθετικής εξέλιξης είναι η επιδημική εξάπλωση της γρίπης. Για παράδειγμα, ένας ασθενής την ημέρα μπορεί να μολύνει 12 άτομα, καθένας από τους 12 θα μολύνει επίσης άλλα 12 άτομα, επομένως τη δεύτερη ημέρα θα υπάρχουν 144 ασθενείς, την τρίτη - 1.728 και την τέταρτη - 20.736.

Το πρόγραμμά μας δημιουργεί μια γεωμετρική πρόοδο της επιλεγμένης τιμής. Για να γίνει αυτό, θα χρειαστεί να εισαγάγετε την τιμή του πρώτου όρου στο κελί "Πρώτος αριθμός", τον παρονομαστή της προόδου στο κελί "Διαφορά (βήμα)" και τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας στο "Τελευταίο αριθμός" κελί. Μετά από αυτό, το πρόγραμμα θα παρέχει αριθμούς που αντιστοιχούν στον νόμο της γεωμετρικής προόδου.

Ας δούμε ένα παράδειγμα

Παιχνίδι με χρήματα μέσω ταχυδρομείου

Στη σοβιετική εποχή, υπήρχε μια απάτη βασισμένη στην αρχή της γεωμετρικής προόδου. Η ουσία της απάτης είναι η εξής. Οι άνθρωποι έλαβαν επιστολές με 5 διευθύνσεις και οδηγίες:

αποστολή σε διευθύνσεις για 1 ρούβλι.
Διαγράψτε την πρώτη διεύθυνση και γράψτε την πέμπτη σας.
στείλτε επιστολές πρόσκλησης με τις καθορισμένες διευθύνσεις σε φίλους και γνωστούς σας.

Οι τυχοδιώκτες έδωσαν μια λογική εξήγηση για τον μηχανισμό εμπλουτισμού. Πράγματι, αν τα άτομα που έχετε προσκαλέσει στείλουν 1 ρούβλι ο καθένας, τότε θα επιστρέψετε τα χρήματα που δαπανήθηκαν. Πέντε προσκεκλημένοι συμμετέχοντες στο παιχνίδι θα στείλουν επιστολές στους φίλους τους, στις οποίες η διεύθυνσή σας αναφέρεται στον αριθμό 4. Ο αριθμός τέτοιων επιστολών είναι ήδη 25 και το επόμενο κύμα προσκεκλημένων θα σας στείλει συνολικά 25 ρούβλια. Μετά από αυτό, 25 άτομα θα στείλουν 5 γράμματα το καθένα, όπου η διεύθυνσή σας είναι η τρίτη και αυτός είναι ήδη 125 φάκελοι του 1 ρούβλι ο καθένας.

Πόσα χρήματα υποσχέθηκαν οι απατεώνες στο τέλος του γύρου των προσκλήσεων; Η απάντηση βρίσκεται σε μια απλή γεωμετρική πρόοδο. Σύμφωνα με την εκδοχή τους, θα υπάρχουν 5 κύματα προσκλήσεων με τη διεύθυνσή σας. Εφόσον δεν λαμβάνουμε υπόψη τη μονάδα, αλλά ξεκινάμε με 5 γράμματα, τότε ο τελευταίος αριθμός θα είναι ίσος με 6. Το πρώτο, φυσικά, είναι 1. Το βήμα της γεωμετρικής μας προόδου είναι 5. Οδηγούμε αυτά τα δεδομένα στο κελιά της αριθμομηχανής και λάβετε την ακολουθία:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

το άθροισμα των στοιχείων της ακολουθίας σε αυτή την περίπτωση είναι 3906. Ήταν το κέρδος των 3906 ρούβλια που υποσχέθηκαν οι απατεώνες στους αφελείς πολίτες. Όπως ήταν φυσικό, στην πράξη, όλα τα χρήματα πήγαν στους διοργανωτές του παιχνιδιού, αφού στο πρώτο βήμα οι απατεώνες έστειλαν όχι ένα γράμμα, αλλά εκατοντάδες, στις οποίες αναγράφονταν οι δικές τους διευθύνσεις. Ακόμα κι αν στο πρώτο βήμα οι απατεώνες στείλουν μόνο 200 γράμματα, τότε στο πέμπτο βήμα 625.000 άτομα θα πρέπει να συμμετάσχουν στο παιχνίδι και οι διοργανωτές θα λάβουν περισσότερα από 700.000 ρούβλια από αυτούς. Τα περαιτέρω βήματα δεν έχουν πλέον νόημα.

συμπέρασμα

Η γεωμετρική πρόοδος βρίσκεται συχνά στην πραγματικότητα. Χρησιμοποιήστε τον κατάλογό μας με αριθμομηχανές για επίλυση ενδιαφέροντα παζλή να δοκιμάσουν μελέτες περιπτώσεων.

Γεωμετρική πρόοδοςόχι λιγότερο σημαντικό στα μαθηματικά παρά στην αριθμητική. Γεωμετρική πρόοδος είναι μια τέτοια ακολουθία αριθμών b1, b2,..., b[n] κάθε επόμενο μέλος της οποίας προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το προηγούμενο με σταθερός αριθμός. Αυτός ο αριθμός, που χαρακτηρίζει και τον ρυθμό αύξησης ή μείωσης της προόδου, ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδουκαι δηλώνουν

Για την πλήρη αντιστοίχιση μιας γεωμετρικής προόδου, εκτός από τον παρονομαστή, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ή να προσδιορίζουμε τον πρώτο όρο της. Για θετική αξίαο παρονομαστής της προόδου είναι μονότονη ακολουθία, και αν αυτή η ακολουθία αριθμών είναι μονοτονικά φθίνουσα και μονότονα αύξουσα ως. Η περίπτωση όταν ο παρονομαστής ίσο με έναδεν θεωρείται στην πράξη, αφού έχουμε μια ακολουθία πανομοιότυπων αριθμών και η άθροισή τους δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον

Γενικός όρος μιας γεωμετρικής προόδουυπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο

Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδουκαθορίζεται από τον τύπο

Εξετάστε τις λύσεις κλασικά προβλήματασε μια γεωμετρική πρόοδο. Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό στην κατανόηση.

Παράδειγμα 1. Ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι 27 και ο παρονομαστής της είναι 1/3. Βρείτε τους πρώτους έξι όρους μιας γεωμετρικής προόδου.

Λύση: Γράφουμε την συνθήκη του προβλήματος στη φόρμα

Για τους υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το nο μέλος μιας γεωμετρικής προόδου

Με βάση αυτό, βρίσκουμε άγνωστα μέλη της εξέλιξης

Όπως μπορείτε να δείτε, ο υπολογισμός των όρων μιας γεωμετρικής προόδου δεν είναι δύσκολος. Η ίδια η εξέλιξη θα μοιάζει με αυτό

Παράδειγμα 2. Δίνονται τα τρία πρώτα μέλη μιας γεωμετρικής προόδου: 6; -12; 24. Να βρείτε τον παρονομαστή και τον έβδομο όρο.

Λύση: Υπολογίζουμε τον παρονομαστή της γεωμετρικής προόδου με βάση τον ορισμό της

Πήραμε μια εναλλασσόμενη γεωμετρική πρόοδο της οποίας ο παρονομαστής είναι -2. Ο έβδομος όρος υπολογίζεται με τον τύπο

Σε αυτό το έργο επιλύεται.

Παράδειγμα 3. Μια γεωμετρική πρόοδος δίνεται από δύο μέλη της . Να βρείτε τον δέκατο όρο της προόδου.

Λύση:

Ας γράψουμε τις τιμές που δίνονται μέσω των τύπων

Σύμφωνα με τους κανόνες, θα έπρεπε κανείς να βρει τον παρονομαστή και μετά να ψάξει επιθυμητή τιμή, αλλά για τη δέκατη θητεία έχουμε

Ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί με βάση απλούς χειρισμούς με τα δεδομένα εισόδου. Διαιρούμε τον έκτο όρο της σειράς με έναν άλλο, με αποτέλεσμα να έχουμε