Διάμεσος δειγματοληπτικών δεδομένων. Προσδιορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου με γραφική μέθοδο

Διαρθρωτικοί (θέσιοι) μέσοι όροι– αυτές είναι μέσες τιμές που καταλαμβάνουν μια συγκεκριμένη θέση (θέση) σε μια σειρά κατάταξης παραλλαγών.

Μόδα(Μο) είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που εμφανίζεται πιο συχνά στον υπό μελέτη πληθυσμό.

Για σειρά διακριτών παραλλαγώνμόδα θα σημαίνει επιλογές με υψηλότερη συχνότητα

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη λειτουργία χρησιμοποιώντας τα διαθέσιμα δεδομένα (Πίνακας 7.5).

Πίνακας 7.5 - Διανομή γυναικείων υποδημάτων που πωλούνται σε κατάστημα υποδημάτων Ν, Φεβρουάριος 2013

Σύμφωνα με τον πίνακα. 5 είναι σαφές ότι η υψηλότερη συχνότητα f max= 28, αντιστοιχεί στην τιμή του χαρακτηριστικού Χ= μέγεθος 37. Ως εκ τούτου, Μο= 37 μέγεθος παπουτσιού, δηλ. Ήταν αυτό το μέγεθος παπουτσιού που είχε τη μεγαλύτερη ζήτηση· τα παπούτσια μεγέθους 37 αγοράζονταν πιο συχνά.

ΣΕ καθορίζεται πρώτα τροπικό διάστημα, δηλ. που περιέχει έναν τρόπο λειτουργίας – το διάστημα με την υψηλότερη συχνότητα (στην περίπτωση κατανομής διαστήματος με σε ίσα διαστήματα, σε περίπτωση άνισων διαστημάτων - σύμφωνα με την υψηλότερη πυκνότητα).

Η λειτουργία θεωρείται περίπου ότι είναι το μέσο του διαστήματος των τρόπων. Η συγκεκριμένη τιμή λειτουργίας για μια σειρά διαστήματος καθορίζεται από τον τύπο:

Οπου xMo– κατώτερο όριο του διαστήματος τρόπων μεταφοράς·

i Mo– την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·

f Mo– συχνότητα του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·

f Mo -1– συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του τροπικού.

f Mo +1– συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη λειτουργία χρησιμοποιώντας τα διαθέσιμα δεδομένα (Πίνακας 7.6).

Πίνακας 7.6 – Κατανομή εργαζομένων κατά προϋπηρεσία

Σύμφωνα με τον πίνακα. 6 είναι σαφές ότι η υψηλότερη συχνότητα f max= 35, αντιστοιχεί στο μεσοδιάστημα: 6-8 χρόνια (διάστημα τρόπων). Ας προσδιορίσουμε τη λειτουργία χρησιμοποιώντας τον τύπο:

χρόνια.

Ως εκ τούτου, Μο= 6,8 έτη, δηλ. Οι περισσότεροι εργαζόμενοι έχουν 6,8 χρόνια εμπειρίας.

Το όνομα διάμεσος προέρχεται από τη γεωμετρία, όπου αναφέρεται σε ένα τμήμα που συνδέει μία από τις κορυφές ενός τριγώνου με τη μέση αντίθετη πλευράκαι έτσι διαιρώντας την πλευρά του τριγώνου σε δύο ίσα μέρη.

Διάμεσος(Μου) – Αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που πέφτει στη μέση του κατατασσόμενου πληθυσμού. Διαφορετικά, η διάμεσος είναι μια τιμή που διαιρεί τον αριθμό μιας σειράς διατεταγμένων παραλλαγών σε δύο ίσα μέρη - το ένα μέρος έχει τιμές του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού μικρότερες από τη μέση επιλογή και το άλλο έχει μεγαλύτερες τιμές.

Για σειρές κατάταξης(δηλαδή παραγγελθέν - ενσωματωμένο αύξουσα σειράή μειώνεται ατομικές αξίεςχαρακτηριστικό) με περιττό αριθμό όρων ( n=περιττό) η διάμεσος είναι η επιλογή που βρίσκεται στο κέντρο της σειράς. Τακτικός αριθμός διάμεσων ( N Εγώ) ορίζεται ως εξής:

N Me =(n+1)/ 2.

Παράδειγμα.Σε μια σειρά 51 όρων, ο διάμεσος αριθμός είναι (51+1)/2 = 26, δηλ. Η διάμεσος είναι η επιλογή που είναι 26η στη σειρά.

Για μια σειρά κατάταξης με ζυγό αριθμό όρων ( n=ζυγός) – η διάμεσος θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος δύο τιμών χαρακτηριστικών που βρίσκονται στο μέσο της σειράς. Οι αύξοντες αριθμοί των δύο κεντρικών επιλογών καθορίζονται ως εξής:

N Me 1 =n/ 2; N Me 2 =(n/ 2)+ 1.

Παράδειγμα.Όταν n=50; N Me1 = 50/2 = 25; N Me2= (50/2)+1 = 26, δηλ. Η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των επιλογών που είναι 25η και 26η κατά σειρά.

ΣΕ διακεκριμένος σειρά παραλλαγής Η διάμεσος βρίσκεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα που αντιστοιχεί στον αύξοντα αριθμό της διάμεσης τιμής ή την υπερβαίνει για πρώτη φορά. Διαφορετικά, η συσσωρευμένη συχνότητα ισούται ή υπερβαίνει για πρώτη φορά το ήμισυ του αθροίσματος όλων των συχνοτήτων της σειράς.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη διάμεσο με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα (Πίνακας 7.7).

Πίνακας 7.7 - Διανομή γυναικείων υποδημάτων που πωλούνται σε κατάστημα υποδημάτων Ν, Φεβρουάριος 2013

Σύμφωνα με τον πίνακα. 7 ορίζω σειριακός αριθμόςδιάμεσοι: N Me =( 67+1)/2=34.

Μόδα. Διάμεσος. Μέθοδοι υπολογισμού τους (σελίδα 1 από 2)

Η συσσωρευμένη συχνότητα υπερβαίνει αυτήν την τιμή για πρώτη φορά μικρό= 41, αντιστοιχεί στην τιμή του χαρακτηριστικού Χ= μέγεθος 37. Ως εκ τούτου, Μου= 37 μέγεθος παπουτσιού, δηλ. Τα μισά από τα ζευγάρια αγοράζονται μικρότερα από το μέγεθος 37 και τα άλλα μισά αγοράζονται μεγαλύτερα.

Σε αυτό το παράδειγμα, η λειτουργία και η διάμεσος είναι τα ίδια, αλλά μπορεί να μην είναι τα ίδια.

ΣΕ σειρές παραλλαγής διαστήματοςπροσδιορίζονται οι συσσωρευμένες συχνότητες, με βάση τα δεδομένα για τις συσσωρευμένες συχνότητες που βρίσκονται διάμεσο διάστημα– ένα διάστημα στο οποίο η συσσωρευμένη συχνότητα είναι η μισή ή για πρώτη φορά υπερβαίνει το ήμισυ του συνολικού αθροίσματος των συχνοτήτων. Ο τύπος για τον προσδιορισμό της διάμεσης τιμής σε μια σειρά κατανομής διαστήματος είναι επόμενη προβολή:

.

Οπου xMe– κατώτερο όριο του ενδιάμεσου διαστήματος.

εγώ Εγώ– την τιμή του διάμεσου διαστήματος·

∑f i– άθροισμα συχνοτήτων της σειράς.

S Me -1– το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων του διαστήματος που προηγείται της διάμεσης.

στ Εγώ– συχνότητα του μέσου διαστήματος.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη διάμεσο με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα (Πίνακας 7.8).

Πίνακας 7.8 – Κατανομή εργαζομένων κατά προϋπηρεσία

Σύμφωνα με τον πίνακα. 8 προσδιορίζουμε τον αύξοντα αριθμό της διάμεσης: N Me =100/2=50. Η συσσωρευμένη συχνότητα υπερβαίνει αυτήν την τιμή για πρώτη φορά μικρό= 82, αντιστοιχεί σε διάστημα 6-8 ετών (διάμεσο διάστημα). Σε αυτό το παράδειγμα, το τροπικό διάστημα και το διάμεσο διάστημα είναι τα ίδια, αλλά μπορεί να μην είναι τα ίδια. Ας προσδιορίσουμε τη διάμεσο χρησιμοποιώντας τον τύπο:

χρόνια

Ως εκ τούτου, Μου= 6,2 έτη, δηλ. Οι μισοί εργαζόμενοι έχουν λιγότερα από 6,2 χρόνια εμπειρίας και οι άλλοι μισοί έχουν περισσότερα από 6,2 χρόνια εμπειρίας.

Ο τρόπος λειτουργίας και ο διάμεσος χρησιμοποιούνται ευρέως σε διάφορους τομείς της οικονομίας. Έτσι, ο υπολογισμός της παραγωγικότητας της εργασίας μεταφορών, του κόστους των μεταφορών κ.λπ. επιτρέπει στον οικονομολόγο να κρίνει το τρέχον επίπεδο που επικρατεί. Αυτό το χαρακτηριστικό θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τον εντοπισμό των αποθεμάτων της οικονομίας μας. Η μόδα έχει σημασία για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Έτσι, όταν σχεδιάζεται η μαζική παραγωγή ρούχων και υποδημάτων, καθορίζεται το μέγεθος του προϊόντος που έχει τη μεγαλύτερη ζήτηση (modal size). Ο τρόπος λειτουργίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσεγγιστικό χαρακτηριστικό του επιπέδου του χαρακτηριστικού που μελετάται αντί για τον αριθμητικό μέσο όρο, εάν η κατανομή συχνότητας είναι κοντά στη συμμετρική και έχει μία μη επίπεδη κορυφή.

Η διάμεσος θα πρέπει να χρησιμοποιείται ως μέση τιμή σε περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει επαρκής εμπιστοσύνη για την ομοιογένεια του πληθυσμού που μελετάται. Η διάμεσος επηρεάζεται όχι τόσο από τις ίδιες τις τιμές όσο από τον αριθμό των περιπτώσεων σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η διάμεσος είναι πάντα συγκεκριμένη (με μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων ή στην περίπτωση περιττού αριθμού μελών πληθυσμού), επειδή κάτω από Mehυπονοείται κάποιο πραγματικό πραγματικό στοιχείο του πληθυσμού, ενώ ο αριθμητικός μέσος όρος παίρνει συχνά μια τιμή που καμία άλλη μονάδα στον πληθυσμό δεν μπορεί να πάρει.

Κύριο ακίνητο Mehείναι ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών των χαρακτηριστικών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή: . Αυτή η ιδιοκτησία Mehμπορεί να χρησιμοποιηθεί, για παράδειγμα, κατά τον καθορισμό του εργοταξίου δημόσιων κτιρίων, επειδή Mehκαθορίζει το σημείο που δίνει τη μικρότερη απόσταση, για παράδειγμα, των νηπιαγωγείων από τον τόπο διαμονής των γονέων, των κατοίκων επίλυσηαπό τον κινηματογράφο, όταν σχεδιάζετε στάσεις τραμ και τρόλεϊ κ.λπ.

Στο σύστημα των δομικών δεικτών, οι δείκτες των χαρακτηριστικών της φόρμας διανομής είναι οι επιλογές που καταλαμβάνουν μια συγκεκριμένη θέση στη σειρά κατάταξης παραλλαγής (κάθε τέταρτη, πέμπτη, δέκατη, εικοστή πέμπτη, κ.λπ.). Ομοίως, με την εύρεση της διάμεσης τιμής σε σειρά παραλλαγής, μπορείτε να βρείτε την τιμή ενός χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα της σειράς κατάταξης.

τεταρτημόρια– χαρακτηριστικές τιμές που διαιρούν τον ταξινομημένο πληθυσμό σε τέσσερα ίσα μέρη. Υπάρχουν χαμηλότερα τεταρτημόρια ( Ε 1), μέση τιμή ( Ε 2) και πάνω ( Ε 3). Το κάτω τεταρτημόριο χωρίζει το 1/4 του πληθυσμού με τις χαμηλότερες τιμές του χαρακτηριστικού, το ανώτερο - 1/4 του πληθυσμού με υψηλότερες αξίεςσημάδι. Αυτό σημαίνει ότι το 25% των μονάδων του πληθυσμού θα είναι μικρότερο σε μέγεθος Ε 1; Το 25% των μονάδων θα συναφθεί μεταξύ Ε 1Και Ε 2; 25% – μεταξύ Ε 2Και Ε 3; το υπόλοιπο 25% υπερβαίνει Ε 3. μεσαίο τεταρτημόριο ( Ε 2) είναι η διάμεσος .

Για να υπολογίσετε τεταρτημόρια χρησιμοποιώντας μια σειρά διαστημάτων, χρησιμοποιήστε τους ακόλουθους τύπους:

;

.

Οπου x Q1– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, το πρώτο που υπερβαίνει το 25%).

x Q3– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, το πρώτο που υπερβαίνει το 75%).

S Q 1-1– συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο·

S Q 3-1– συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο·

f Q1– συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο·

f Q3– συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο.

Δεκατιανοί– αυτές είναι οι παραλλαγές τιμές που διαιρούν τη σειρά κατάταξης με δέκα ίσα μέρη: 1ο δεκατιανό ( δ 1) διαιρεί τον πληθυσμό σε αναλογία 1/10 προς 9/10, 2ο δεκατιανό ( δ 2) - σε αναλογία 2/10 έως 8/10, κ.λπ. Τα δεκαδικά υπολογίζονται χρησιμοποιώντας το ίδιο σχήμα με τη διάμεσο και τα τεταρτημόρια:

;

.

Η χρήση της κατανομής των χαρακτηριστικών που συζητήθηκαν παραπάνω στην ανάλυση των σειρών παραλλαγών μας επιτρέπει να χαρακτηρίσουμε τον υπό μελέτη πληθυσμό σε βάθος και λεπτομερή.

ΔΕΙΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ:

Διαρθρωτικοί μέσοι όροι

Μαζί με τους μέσους όρους ισχύος ευρεία χρήσηλήφθηκαν διαρθρωτικοί μέσοι όροι.

Η δομή των στατιστικών μεγεθών ποικίλλει. Επιπλέον, όσο πιο συμμετρική είναι η κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων, όσο πιο ποιοτικά ομοιογενής η σύνθεσή του ανάλογα με το χαρακτηριστικό που μελετάται, τόσο καλύτερη και πιο αξιόπιστη η μέση τιμή του χαρακτηριστικού χαρακτηρίζει το φαινόμενο που μελετάται. Αλλά για περιπτώσεις έντονης λοξότητας (ασυμμετρίας) της σειράς διανομής, ο αριθμητικός μέσος όρος δεν είναι πλέον τόσο τυπικός. Για παράδειγμα, το μέσο μέγεθοςΟι καταθέσεις σε ταμιευτήρια δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, καθώς το μεγαλύτερο μέρος των καταθέσεων είναι κάτω από αυτό το επίπεδο και ο μέσος όρος επηρεάζεται σημαντικά από τις μεγάλες καταθέσεις, οι οποίες είναι λίγες και δεν είναι τυπικές για τη μάζα των καταθέσεων.

Μόδα (στατιστικά)

Σε τέτοιες περιπτώσεις, η στατιστική χρησιμοποιεί ένα άλλο σύστημα - το σύστημα των βοηθητικών δομικών μέσων. Αυτά περιλαμβάνουν τον τρόπο, τον διάμεσο, καθώς και τα τεταρτημόρια, τα πεμπτουσιά, τα επίπεδα, τα ποσοστά.

Μόδα (Mo)– η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή ενός χαρακτηριστικού και σε μια διακριτή σειρά παραλλαγών – αυτή είναι η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα.

Στη στατιστική πρακτική, η μόδα χρησιμοποιείται στη μελέτη του πληθυσμιακού εισοδήματος, της ζήτησης των καταναλωτών, της καταγραφής τιμών και στην ανάλυση ορισμένων τεχνικών και οικονομικών δεικτών της απόδοσης της επιχείρησης.

ΣΕ σε ορισμένες περιπτώσειςΕίναι ο τρόπος που ενδιαφέρει, όχι ο αριθμητικός μέσος όρος. Μερικές φορές χρησιμοποιείται αντί για τον αριθμητικό μέσο όρο, για παράδειγμα, για να χαρακτηρίσει τη δομή των σειρών διανομής.

Η διαδικασία για τον προσδιορισμό του τρόπου λειτουργίας εξαρτάται από τον τύπο της σειράς διανομής. Εάν ένα μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό παρουσιάζεται με τη μορφή διακριτής σειράς, τότε δεν απαιτούνται υπολογισμοί για τον προσδιορισμό του τρόπου λειτουργίας. Σε μια τέτοια σειρά, η λειτουργία θα είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που έχει την υψηλότερη συχνότητα.

Εάν η τιμή ενός χαρακτηριστικού παρουσιάζεται με τη μορφή μιας σειράς μεταβολής διαστήματος με ίσα διαστήματα, τότε η λειτουργία καθορίζεται με υπολογισμό χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Οπου Χ Μο– κατώτερο όριο του διαστήματος τρόπων,

Εγώ Μο– την τιμή του διαστήματος τρόπων,

φά Μο , φά Μο-1 , φά Mo+1– αντίστοιχα, οι συχνότητες των τροπικών, προτροπικών (προηγούμενων) και μετατροπικών (ακόλουθων τρόπων) διαστημάτων.

Διάμεσος (Εγώ)– αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού, το οποίο βρίσκεται στη μέση της σειράς κατάταξης παραλλαγής, όπου ατομικές αξίεςΤα χαρακτηριστικά (παραλλαγές) ταξινομούνται σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά (κατά σειρά).

Η διάμεσος θα πρέπει να χρησιμοποιείται ως μέση τιμή σε περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει επαρκής εμπιστοσύνη για την ομοιογένεια του πληθυσμού που μελετάται. Ο διάμεσος χρησιμοποιείται σε δραστηριότητες μάρκετινγκ. Για παράδειγμα, η θέση των ανελκυστήρων, των πρωτογενών μονάδων παραγωγής κρασιού, των εργοστασίων κονσερβοποίησης, το άθροισμα των αποστάσεων στις οποίες από τους προμηθευτές πρώτων υλών θα πρέπει να είναι η μικρότερη.

Η διάμεσος, όπως και η λειτουργία, ορίζεται με διαφορετικούς τρόπους. Αυτό εξαρτάται από τη δομή της σειράς διανομής.
Για να προσδιορίσετε τη διάμεσο σε διακριτές σειρές διακύμανσης:

1) βρείτε τον αύξοντα αριθμό του χρησιμοποιώντας τον τύπο

N Εγώ =
2) να δημιουργήσετε μια σειρά από συσσωρευμένες συχνότητες

3) βρείτε τη συσσωρευμένη συχνότητα, η οποία είναι ίση με τον αύξοντα αριθμό της διάμεσης ή την υπερβαίνει

4) η επιλογή που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη συσσωρευμένη συχνότητα είναι η διάμεσος.

Εάν ο αριθμός των όρων μιας διακριτής σειράς είναι περιττός, τότε η διάμεσος βρίσκεται στο μέσο της σειράς και χωρίζει αυτή τη σειρά στη μέση σε δύο ίσα μέρη ανάλογα με τον αριθμό των όρων της σειράς. Ο τακτικός αριθμός της διάμεσης τιμής σε αυτή την περίπτωση υπολογίζεται από τον τύπο:

N Me =(f + 1)2,

Οπου  φά – αριθμός των μελών της σειράς.

Στις σειρές διαστήματος, προσδιορίζεται πρώτα το διάμεσο διάστημα. Για αυτό, το ίδιο όπως στο διακριτές σειρές, υπολογίστε τον αύξοντα αριθμό της διάμεσης τιμής. Η συσσωρευμένη συχνότητα, η οποία είναι ίση με τον διάμεσο αριθμό ή την πρώτη που τον υπερβαίνει, στη σειρά μεταβολής διαστήματος αντιστοιχεί στο διάμεσο διάστημα. Ας υποδηλώσουμε αυτή τη συσσωρευμένη συχνότητα S Me. Η διάμεσος υπολογίζεται απευθείας χρησιμοποιώντας τον τύπο:

,
όπου είναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος

— την τιμή του διάμεσου διαστήματος

— συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται της διάμεσης

— συχνότητα του διάμεσου διαστήματος

Γραφικός ορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσος
Ο τρόπος λειτουργίας και η διάμεσος σε μια σειρά διαστήματος μπορούν να προσδιοριστούν γραφικά.

Ο τρόπος λειτουργίας καθορίζεται από το ιστόγραμμα κατανομής. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το ψηλότερο ορθογώνιο που βρίσκεται μέσα σε αυτήν την περίπτωσητροπικός. Στη συνέχεια συνδέουμε τη δεξιά κορυφή του τροπικού ορθογωνίου προς τα δεξιά πάνω γωνιάτο προηγούμενο ορθογώνιο. Και η αριστερή κορυφή του τροπικού ορθογωνίου - με την επάνω αριστερή γωνία του επόμενου ορθογωνίου. Στη συνέχεια, από το σημείο της τομής τους, μια κάθετη κατεβαίνει στον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής αυτών των γραμμών θα είναι ο τρόπος διανομής (Εικ. 1). Η διάμεσος υπολογίζεται από τη σώρευση (Εικ. 2). Για τον προσδιορισμό του, από ένα σημείο της κλίμακας των συσσωρευμένων συχνοτήτων (συχνοτήτων) που αντιστοιχεί στο 50%, χαράσσεται μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης έως ότου τέμνεται με τη συσσώρευση. Στη συνέχεια, από το σημείο τομής της υποδεικνυόμενης γραμμής με το αθροιστικό, μια κάθετη χαμηλώνεται στον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής είναι η διάμεσος.

Δείκτες διακύμανσης στα στατιστικά στοιχεία.

Σε εξέλιξη Στατιστική ανάλυσηΜπορεί να προκύψει μια κατάσταση όταν οι τιμές των μέσων τιμών συμπίπτουν και οι πληθυσμοί βάσει των οποίων υπολογίζονται αποτελούνται από μονάδες των οποίων οι τιμές χαρακτηριστικών διαφέρουν αρκετά έντονα μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζονται οι δείκτες διακύμανσης.

Κατάλογος:λήψεις -> Sotrudniki
λήψεις -> N. L. Ivanova M. F. Lukanina
λήψεις -> Διάλεξη για ειδικούς προσχολικής ηλικίας και γονείς «Πρόληψη επιθετική συμπεριφοράπαιδιά προσχολικής ηλικίας"
λήψεις -> Ψυχολογικό επαγγελματική προσαρμογήπροσωπικότητες
λήψεις -> Τμήμα Παιδείας και Επιστημών Περιφέρεια ΚεμέροβοΠεριφερειακό ψυχολογικό και βαλεολογικό κέντρο Kemerovo
λήψεις -> ομοσπονδιακή υπηρεσίαΤμήμα Ελέγχου Ναρκωτικών της Ρωσικής Ομοσπονδίας για την περιοχή Kemerovo
Sotrudniki -> Τόξο Δημοκρατία του Τσουβάς SPO "Chetk" Υπουργείο Παιδείας της Τσουβάσια
λήψεις -> Χαρακτηριστικά ψυχολογικής και παιδαγωγικής υποστήριξης για την ανάπτυξη παιδιών προσχολικής ηλικίας
λήψεις -> Mishina M. M. Ανάπτυξη σκέψης ανάλογα με τη συμμετοχή στις οικογενειακές σχέσεις
Sotrudniki -> Διαμόρφωση επαγγελματικά σημαντικών ιδιοτήτων σε μαθητές με νοητική αναπηρία ανά επάγγελμα

ΔΟΚΙΜΗ

Με θέμα: "Τρόπος. Διάμεσος. Μέθοδοι υπολογισμού τους"

Εισαγωγή

Οι μέσες τιμές και οι σχετικοί δείκτες διακύμανσης παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο στα στατιστικά στοιχεία, γεγονός που οφείλεται στο αντικείμενο της μελέτης τους. Να γιατί αυτό το θέμαείναι ένα από τα κεντρικά στην πορεία.

Ο μέσος όρος είναι ένα πολύ κοινό συνοπτικό μέτρο στις στατιστικές. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι μόνο με τη βοήθεια του μέσου όρου μπορεί ένας πληθυσμός να χαρακτηριστεί από ένα ποσοτικά μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό. Μέσο μέγεθοςΣτη στατιστική, ονομάζεται ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό ενός συνόλου παρόμοιων φαινομένων σύμφωνα με κάποιο ποσοτικά μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό. Ο μέσος όρος δείχνει το επίπεδο αυτού του χαρακτηριστικού ανά μονάδα πληθυσμού.

Μελετώντας κοινωνικά φαινόμενα και προσπαθώντας να εντοπίσουμε τα χαρακτηριστικά τους, τυπικά χαρακτηριστικάΣε συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου, οι στατιστικολόγοι χρησιμοποιούν ευρέως μέσες τιμές. Χρησιμοποιώντας μέσους όρους, μπορείτε να συγκρίνετε διαφορετικούς πληθυσμούς μεταξύ τους σύμφωνα με διαφορετικά χαρακτηριστικά.

Οι μέσοι όροι που χρησιμοποιούνται στις στατιστικές ανήκουν στην κατηγορία των μέσων όρων ισχύος. Από τους μέσους όρους ισχύος, ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνότερα, λιγότερο συχνά ο αρμονικός μέσος όρος. Ο αρμονικός μέσος όρος χρησιμοποιείται μόνο κατά τον υπολογισμό των μέσων ρυθμών δυναμικής και το μέσο τετράγωνο χρησιμοποιείται μόνο κατά τον υπολογισμό των δεικτών διακύμανσης.

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος των παραλλαγών με τον αριθμό τους. Χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου ο όγκος ενός μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού για ολόκληρο τον πληθυσμό διαμορφώνεται ως το άθροισμα των χαρακτηριστικών τιμών των μεμονωμένων μονάδων του. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο πιο κοινός τύπος μέσου όρου, καθώς αντιστοιχεί στη φύση των κοινωνικών φαινομένων, όπου ο όγκος των ποικίλων χαρακτηριστικών στο σύνολο διαμορφώνεται συχνότερα ακριβώς ως το άθροισμα των χαρακτηριστικών τιμών των μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού .

Σύμφωνα με την καθοριστική του ιδιότητα, ο αρμονικός μέσος όρος θα πρέπει να χρησιμοποιείται όταν ο συνολικός όγκος του χαρακτηριστικού σχηματίζεται ως άθροισμα αμοιβαίες αξίεςεπιλογή. Χρησιμοποιείται όταν, ανάλογα με το υλικό, τα βάρη δεν πρέπει να πολλαπλασιαστούν, αλλά να χωριστούν σε επιλογές ή, το ίδιο πράγμα, να πολλαπλασιαστούν με την αμοιβαία αξία τους. Ο αρμονικός μέσος όρος σε αυτές τις περιπτώσεις είναι ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου όρου των αντίστροφων τιμών του χαρακτηριστικού.

Ο αρμονικός μέσος όρος θα πρέπει να χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου δεν χρησιμοποιούνται ως βάρη οι μονάδες του πληθυσμού - οι φορείς του χαρακτηριστικού - αλλά τα γινόμενα αυτών των μονάδων με την τιμή του χαρακτηριστικού.

1. Ορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσος στα στατιστικά στοιχεία

Τα αριθμητικά και τα αρμονικά μέσα είναι γενικευτικά χαρακτηριστικά του πληθυσμού σύμφωνα με το ένα ή το άλλο ποικίλο χαρακτηριστικό. Τα βοηθητικά περιγραφικά χαρακτηριστικά της κατανομής ενός ποικίλου χαρακτηριστικού είναι ο τρόπος και η διάμεσος.

Στα στατιστικά, ένας τρόπος είναι η τιμή ενός χαρακτηριστικού (παραλλαγής) που βρίσκεται πιο συχνά σε έναν δεδομένο πληθυσμό. Σε μια σειρά παραλλαγής, αυτή θα είναι η επιλογή με την υψηλότερη συχνότητα.

Στα στατιστικά, η διάμεσος είναι η επιλογή που βρίσκεται στη μέση της σειράς παραλλαγής. Η διάμεσος χωρίζει τη σειρά στο μισό· και στις δύο πλευρές της (πάνω και κάτω) υπάρχει ο ίδιος αριθμός πληθυσμιακών μονάδων.

Η λειτουργία και η διάμεσος, σε αντίθεση με τα μέσα ισχύος, είναι συγκεκριμένα χαρακτηριστικά· η σημασία τους αποδίδεται σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη επιλογή στη σειρά παραλλαγής.

Η λειτουργία χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου είναι απαραίτητο να χαρακτηριστεί η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή ενός χαρακτηριστικού.

5.5 Λειτουργία και διάμεσος. Ο υπολογισμός τους σε διακριτές σειρές και σειρές διαστημάτων μεταβολής

Εάν χρειάζεστε, για παράδειγμα, να μάθετε το πιο κοινό μέγεθος μισθοίστην επιχείρηση, την αγοραία τιμή στην οποία πωλήθηκε μεγαλύτερος αριθμόςαγαθά, το μέγεθος των παπουτσιών που έχει μεγαλύτερη ζήτηση από τους καταναλωτές κ.λπ., σε αυτές τις περιπτώσεις καταφεύγουν στη μόδα.

Η διάμεσος είναι ενδιαφέρουσα στο ότι δείχνει το ποσοτικό όριο της τιμής ενός μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού, το οποίο έχουν φτάσει τα μισά μέλη του πληθυσμού. Αφήστε τον μέσο μισθό των τραπεζικών υπαλλήλων να είναι 650.000 ρούβλια. κάθε μήνα. Αυτό το χαρακτηριστικό μπορεί να συμπληρωθεί αν πούμε ότι οι μισοί από τους εργάτες έλαβαν μισθό 700.000 ρούβλια. και υψηλότερα, δηλ. Ας δώσουμε τη διάμεσο. Ο τρόπος και ο διάμεσος είναι τυπικά χαρακτηριστικά σε περιπτώσεις όπου οι πληθυσμοί είναι ομοιογενείς και μεγάλοι σε αριθμό.

Εύρεση του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρου σε μια διακριτή σειρά παραλλαγής

Η εύρεση του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρου σε μια σειρά παραλλαγών, όπου οι τιμές ενός χαρακτηριστικού δίνονται από ορισμένους αριθμούς, δεν είναι πολύ δύσκολο. Ας δούμε τον Πίνακα 1 με την κατανομή των οικογενειών ανά αριθμό παιδιών.

Πίνακας 1. Κατανομή οικογενειών κατά αριθμό παιδιών

Προφανώς, σε αυτό το παράδειγμα, η μόδα θα είναι μια οικογένεια με δύο παιδιά, αφού αυτή η τιμή αντιστοιχεί μεγαλύτερος αριθμόςοικογένειες. Μπορεί να υπάρχουν διανομές όπου όλες οι επιλογές εμφανίζονται εξίσου συχνά, οπότε δεν υπάρχει τρόπος, ή, με άλλα λόγια, μπορούμε να πούμε ότι όλες οι επιλογές είναι εξίσου τροπικές. Σε άλλες περιπτώσεις, όχι μία, αλλά δύο επιλογές μπορεί να είναι της υψηλότερης συχνότητας. Στη συνέχεια θα υπάρχουν δύο τρόποι, η κατανομή θα είναι διτροπική. Οι διτροπικές κατανομές μπορεί να υποδηλώνουν ποιοτική ετερογένεια του πληθυσμού σύμφωνα με το χαρακτηριστικό που μελετάται.

Για να βρείτε τη διάμεσο σε μια σειρά διακριτών παραλλαγών, πρέπει να διαιρέσετε το άθροισμα των συχνοτήτων στο μισό και να προσθέσετε ½ στο αποτέλεσμα. Άρα, στην κατανομή 185 οικογενειών με βάση τον αριθμό των παιδιών, η διάμεσος θα είναι: 185/2 + ½ = 93, δηλ. Η 93η επιλογή, που χωρίζει τη διατεταγμένη σειρά στη μέση. Ποιο είναι το νόημα της επιλογής 93; Για να το μάθετε, πρέπει να συγκεντρώσετε συχνότητες, ξεκινώντας από τις μικρότερες επιλογές. Το άθροισμα των συχνοτήτων της 1ης και 2ης επιλογής είναι 40. Είναι σαφές ότι εδώ δεν υπάρχουν 93 επιλογές. Αν προσθέσουμε τη συχνότητα της 3ης επιλογής στο 40, παίρνουμε ένα άθροισμα ίσο με 40 + 75 = 115. Επομένως, η 93η επιλογή αντιστοιχεί στην τρίτη τιμή του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού και η διάμεσος θα είναι μια οικογένεια με δύο παιδιά.

Λειτουργία και διάμεσος in σε αυτό το παράδειγμασυνέπεσε. Αν είχαμε ένα ζυγό άθροισμα συχνοτήτων (για παράδειγμα, 184), τότε, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, θα παίρναμε τον αριθμό της διάμεσης επιλογής, 184/2 + ½ =92,5. Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν κλασματικές επιλογές, το αποτέλεσμα δείχνει ότι η διάμεση τιμή βρίσκεται στη μέση μεταξύ 92 και 93 επιλογών.

3. Υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής σε σειρές μεταβολών διαστήματος

Ο περιγραφικός χαρακτήρας του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρου οφείλεται στο γεγονός ότι δεν αντισταθμίζουν μεμονωμένες αποκλίσεις. Πάντα ταιριάζουν συγκεκριμένη έκδοση. Επομένως, η λειτουργία και η διάμεσος δεν απαιτούν υπολογισμούς για να βρεθεί εάν όλες οι τιμές του χαρακτηριστικού είναι γνωστές. Ωστόσο, σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, οι υπολογισμοί χρησιμοποιούνται για την εύρεση της κατά προσέγγιση τιμής του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα.

Για υπολογισμό ορισμένη αξίατροπική τιμή του χαρακτηριστικού που περιέχεται στο διάστημα, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/((f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1)),

Όπου XMo είναι το ελάχιστο όριο του διαστήματος τρόπων μεταφοράς.

i Mo – η τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς.

f Mo – συχνότητα του διαστήματος των τρόπων.

f Mo-1 – συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του τροπικού.

f Mo+1 – συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

Ας δείξουμε τον υπολογισμό του τρόπου λειτουργίας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα που δίνεται στον Πίνακα 2.

Πίνακας 2. Κατανομή των εργαζομένων στις επιχειρήσεις κατά την τήρηση των προτύπων παραγωγής

Για να βρούμε τη λειτουργία, προσδιορίζουμε πρώτα το τροπικό διάστημα αυτής της σειράς. Το παράδειγμα δείχνει ότι η υψηλότερη συχνότητα αντιστοιχεί στο διάστημα όπου οι παραλλαγές βρίσκονται στην περιοχή από 100 έως 105. Αυτό είναι το τροπικό διάστημα. Η τιμή του τροπικού διαστήματος είναι 5.

Αντικατάσταση αριθμητικές τιμέςαπό τον πίνακα 2 στον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108,8

Η έννοια αυτού του τύπου είναι η εξής: η τιμή εκείνου του τμήματος του διαστήματος τρόπων που πρέπει να προστεθεί στο ελάχιστο όριο του καθορίζεται ανάλογα με το μέγεθος των συχνοτήτων των προηγούμενων και των επόμενων διαστημάτων. Σε αυτή την περίπτωση, προσθέτουμε 8,8 στο 100, δηλ. περισσότερο από το μισό διάστημα επειδή η συχνότητα του προηγούμενου διαστήματος είναι μικρότερη από τη συχνότητα του επόμενου διαστήματος.

Ας υπολογίσουμε τώρα τη διάμεσο. Για να βρούμε τη διάμεσο σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, προσδιορίζουμε πρώτα το διάστημα στο οποίο βρίσκεται (διάμεσο διάστημα). Ένα τέτοιο διάστημα θα είναι εκείνο του οποίου η αθροιστική συχνότητα είναι ίση ή μεγαλύτερη από το μισό του αθροίσματος των συχνοτήτων. Οι αθροιστικές συχνότητες σχηματίζονται με σταδιακή άθροιση των συχνοτήτων, ξεκινώντας από ένα διάστημα χαμηλότερη τιμήσημάδι. Το ήμισυ του αθροίσματος των συχνοτήτων είναι 250 (500:2). Επομένως, σύμφωνα με τον Πίνακα 3, το διάμεσο διάστημα θα είναι το διάστημα με μισθολογική αξία 350.000 ρούβλια. έως 400.000 τρίψιμο.

Πίνακας 3. Υπολογισμός της διάμεσης τιμής στη σειρά μεταβολών διαστήματος

Πριν από αυτό το διάστημα, το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων ήταν 160. Επομένως, για να ληφθεί η διάμεση τιμή, είναι απαραίτητο να προσθέσετε άλλες 90 μονάδες (250 – 160).

Κατά τον προσδιορισμό της διάμεσης τιμής, θεωρείται ότι η τιμή των μονάδων εντός του διαστήματος κατανέμεται ομοιόμορφα. Επομένως, εάν 115 μονάδες που βρίσκονται σε αυτό το διάστημα κατανέμονται ομοιόμορφα σε διάστημα ίσο με 50, τότε η ακόλουθη τιμή θα αντιστοιχεί σε 90 μονάδες:

Η μόδα στη στατιστική

Διάμεσος (στατιστικά)

Διάμεσος (στατιστικά), V μαθηματικές στατιστικές— έναν αριθμό που χαρακτηρίζει ένα δείγμα (για παράδειγμα, ένα σύνολο αριθμών). Εάν όλα τα στοιχεία του δείγματος είναι διαφορετικά, τότε η διάμεσος είναι ο αριθμός του δείγματος έτσι ώστε ακριβώς τα μισά από τα στοιχεία του δείγματος να είναι μεγαλύτερα από αυτόν και τα άλλα μισά να είναι μικρότερα από αυτόν.

Σε περισσότερα γενική περίπτωσηΗ διάμεσος μπορεί να βρεθεί ταξινομώντας τα στοιχεία του δείγματος σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά και λαμβάνοντας το μεσαίο στοιχείο. Για παράδειγμα, το δείγμα (11, 9, 3, 5, 5) μετά την παραγγελία μετατρέπεται σε (3, 5, 5, 9, 11) και η διάμεσος είναι ο αριθμός 5. Εάν το δείγμα έχει ζυγό αριθμό στοιχείων, το Η διάμεσος μπορεί να μην προσδιορίζεται μοναδικά: για τα αριθμητικά δεδομένα, χρησιμοποιείται συχνότερα το μισό άθροισμα δύο γειτονικών τιμών (δηλαδή, η διάμεσος του συνόλου (1, 3, 5, 7) λαμβάνεται ίση με 4).

Με άλλα λόγια, διάμεσος στα στατιστικά είναι μια τιμή που διαιρεί μια σειρά στο μισό με τέτοιο τρόπο ώστε και στις δύο πλευρές της (κάτω ή πάνω) να υπάρχει τον ίδιο αριθμόμονάδες ενός δεδομένου πληθυσμού. Εξαιτίας αυτής της ιδιότητας, αυτός ο δείκτης έχει πολλά άλλα ονόματα: 50ο εκατοστημόριο ή 0,5 εκατοστημόριο.

Η διάμεσος χρησιμοποιείται αντί για τον αριθμητικό μέσο όρο όταν οι ακραίες επιλογές της σειράς κατάταξης (μικρότερη και μεγαλύτερη) σε σύγκριση με τις υπόλοιπες αποδεικνύονται υπερβολικά μεγάλες ή υπερβολικά μικρές.

Η συνάρτηση MEDIAN μετρά την κεντρική τάση, η οποία είναι το κέντρο ενός συνόλου αριθμών μέσα στατιστική κατανομή. Υπάρχουν τρεις πιο συνηθισμένοι τρόποι προσδιορισμού της κεντρικής τάσης:

• Μέση αξία- αριθμητικός μέσος όρος, ο οποίος υπολογίζεται προσθέτοντας ένα σύνολο αριθμών και στη συνέχεια διαιρώντας το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό τους.
  Για παράδειγμα, ο μέσος όρος των αριθμών 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 5, που είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αθροίσματος του 30 με το άθροισμά τους του 6.
• Διάμεσος- ένας αριθμός που είναι το μέσο ενός συνόλου αριθμών: οι μισοί αριθμοί έχουν τιμές μεγαλύτερες από τη διάμεσο και οι μισοί αριθμοί έχουν τιμές μικρότερες.
  Για παράδειγμα, η διάμεσος για τους αριθμούς 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 4.
• Μόδα- ο αριθμός που βρίσκεται πιο συχνά σε δεδομένο σύνολοαριθμοί.

  Για παράδειγμα, η λειτουργία για τους αριθμούς 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 3.

Για να χαρακτηρίσετε σειρές διανομής (η δομή της σειράς παραλλαγής), μαζί με τον μέσο όρο, το λεγόμενο. διαρθρωτικούς μέσους όρους: μόδαΚαι διάμεσος. Ο τρόπος λειτουργίας και η διάμεσος χρησιμοποιούνται συχνότερα στην οικονομική πρακτική.

Μόδα- η επιλογή που βρίσκεται πιο συχνά στη σειρά διανομής (σε έναν δεδομένο πληθυσμό).

ΣΕ διακεκριμένοςσε σειρές παραλλαγών, η λειτουργία καθορίζεται από την υψηλότερη συχνότητα. Ας υποθέσουμε ότι το προϊόν Α πωλείται στην πόλη από 9 εταιρείες στις ακόλουθες τιμές σε ρούβλια:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43. Δεδομένου ότι η πιο κοινή τιμή είναι 43 ρούβλια, θα είναι modal.

Όταν χαρακτηρίζει Κοινωνικές Ομάδεςπληθυσμός ανά επίπεδο εισοδήματος θα πρέπει να χρησιμοποιεί μια τροπική τιμή αντί για τη μέση τιμή. Ο μέσος όρος θα υποτιμήσει ορισμένους δείκτες και θα υπερεκτιμήσει άλλους - εξισώνοντας έτσι τον μέσο όρο των εισοδημάτων όλων των τμημάτων του πληθυσμού.

ΣΕ διάστημασε σειρές παραλλαγών, η λειτουργία καθορίζεται περίπου από τον τύπο:

ХМ0 - κατώτερο όριο του διαστήματος τρόπων μεταφοράς.

h Mo - τιμή (βήμα, πλάτος) του διαστήματος τρόπων μεταφοράς.

f 1 - τοπική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του τροπικού.

f 2 - τοπική συχνότητα του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς.

f 3 - τοπική συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

Κατανομή του πληθυσμού κατά επίπεδο μέσου κατά κεφαλήν μηνιαίου εισοδήματος

Το διάστημα 1000-3000 σε αυτή την κατανομή θα είναι τροπικό, γιατί έχει την υψηλότερη συχνότητα (f=35,5). Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, η λειτουργία θα είναι ίση με:

Σε ένα γράφημα (ιστόγραμμα κατανομής), ο τρόπος λειτουργίας καθορίζεται ως εξής: οι τοπικές συχνότητες σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων και τα διαστήματα ή τα κέντρα διαστημάτων σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης. Επιλέξτε την υψηλότερη στήλη, η οποία αντιστοιχεί στην τιμή του χαρακτηριστικού με την υψηλότερη συχνότητα στη γραμμή διανομής.

Μόδαχρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων πρακτικών προβλημάτων. Έτσι, για παράδειγμα, κατά τη μελέτη του κύκλου εργασιών της αγοράς, λαμβάνεται η τιμή των τρόπων μεταφοράς· για τη μελέτη της ζήτησης για παπούτσια και ρούχα, χρησιμοποιούνται τροπικά μεγέθη παπουτσιών και ρούχων.

Διάμεσος- αυτή είναι η αριθμητική τιμή ενός χαρακτηριστικού για τη μονάδα του πληθυσμού που βρίσκεται στη μέση της ταξινομημένης σειράς (χτισμένη με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά των τιμών του χαρακτηριστικού που μελετάται). Διάμεσοςμερικές φορές ονομάζεται μεσαία επιλογή, επειδή χωρίζει το σύνολο σε δύο ίσα μέρη έτσι ώστε και στις δύο πλευρές να υπάρχει ο ίδιος αριθμός μονάδων του αδρανούς. Εάν σε όλες τις μονάδες μιας σειράς εκχωρηθούν αύξοντες αριθμοί, τότε ο σειριακός αριθμός της διάμεσης τιμής θα καθοριστεί από τον τύπο (n+1): 2 για τη σειρά, όπου n - Περιττός. Αν η σειρά με ακόμη καιαριθμός μονάδων, λοιπόν διάμεσοςθα είναι η μέση τιμή μεταξύ δύο γειτονικών επιλογών, που καθορίζεται από τον τύπο: n:2, (n+1):2, (n:2)+1.

Σε σειρές διακριτών παραλλαγών με περιττό αριθμό αθροιστικών μονάδων, αυτή είναι μια συγκεκριμένη αριθμητική τιμή στο μέσο της σειράς.

Η εύρεση της διάμεσης τιμής στη σειρά διακύμανσης διαστήματος απαιτεί έναν προκαταρκτικό προσδιορισμό του διαστήματος στο οποίο βρίσκεται η διάμεσος, δηλ. διάμεσος διάστημα– αυτό το διάστημα χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι η αθροιστική (συσσωρευμένη) συχνότητά του είναι ίση με το ήμισυ του αθροίσματος ή υπερβαίνει το μισό άθροισμα όλων των συχνοτήτων της σειράς.

X Me - κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος

h Me είναι η τιμή του διάμεσου διαστήματος.

S Me-1 είναι το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων του διαστήματος που προηγείται του διάμεσου διαστήματος.

f Me είναι η τοπική συχνότητα του διάμεσου διαστήματος.

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα, προσδιορίζουμε τη διάμεση τιμή μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να καθορίσετε ποιο διάστημα θα είναι το διάμεσο. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον αριθμό της διάμεσης μονάδας της σειράς, δηλ. Μέσης:

Η κλασματική τιμή του N (πάντα με ζυγό αριθμό όρων) ίση με 50,5% δείχνει ότι το μέσο της σειράς είναι μεταξύ 50% και 51%, δηλ. στο τρίτο διάστημα. Με άλλα λόγια: η διάμεσος θεωρείται το διάστημα που αρχικά αντιστοιχεί σε περισσότερο από το μισό του αθροίσματος των συσσωρευμένων συχνοτήτων. Εξ ου και η διάμεσος:

Για να προσδιοριστεί γραφικά το διάστημα στο οποίο βρίσκεται η διάμεσος, οι συσσωρευμένες συχνότητες σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα των τεταγμένων και τα κέντρα των διαστημάτων σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης. Από το σημείο του άξονα τεταγμένων, που αντιστοιχεί στο 50,5% του αθροίσματος των συσσωρευμένων συχνοτήτων, σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης μέχρι να τέμνεται με τη σώρευση. Από το σημείο τομής, μια κάθετη κατεβαίνει στον άξονα της τετμημένης.

Ο λόγος του τρόπου λειτουργίας, του μέσου όρου και του αριθμητικού μέσου όρου υποδεικνύει τη φύση της κατανομής του χαρακτηριστικού στο σύνολο και μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε την ασυμμετρία του. Αν M 0

Από την αναλογία αυτών των δεικτών, θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι υπάρχει μια δεξιά ασυμμετρία στην κατανομή του πληθυσμού κατά επίπεδο μέσου κατά κεφαλήν νομισματικού εισοδήματος:

τεταρτημόριο- αυτό είναι το τέταρτο μέρος του πληθυσμού, που ορίζεται ως διάμεσος, μόνο το άθροισμα των συχνοτήτων πρέπει να διαιρεθεί με το 4 και κατά τον προσδιορισμό του διαστήματος τεταρτημορίου, η αθροιστική συχνότητα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το ένα τέταρτο του αθροίσματος τις συχνότητες του πληθυσμού.

Δεκατιανό– χωρίζει το σύνολο σε δέκα ίσα μέρη. Καθορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως το τεταρτημόριο, μόνο το άθροισμα των συχνοτήτων πρέπει να διαιρεθεί με το 10.

Μαζί με τις μέσες τιμές, οι δομικοί μέσοι όροι υπολογίζονται ως στατιστικά χαρακτηριστικά των σειρών διακύμανσης των κατανομών - μόδαΚαι διάμεσος.
ΜόδαΤο (Mo) αντιπροσωπεύει την τιμή του χαρακτηριστικού που μελετάται, που επαναλαμβάνεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα, δηλ. mode – η τιμή ενός χαρακτηριστικού που εμφανίζεται πιο συχνά.
Διάμεσος(Εγώ) είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που βρίσκεται στη μέση του ταξινομημένου (διατεταγμένου) πληθυσμού, δηλ. διάμεσος είναι η κεντρική τιμή μιας σειράς παραλλαγής.
Η κύρια ιδιότητα της διάμεσης τιμής είναι ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών των χαρακτηριστικών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή ∑|x i - Me|=min.

Καθορισμός τρόπου λειτουργίας και μέσης τιμής από μη ομαδοποιημένα δεδομένα

Ας σκεφτούμε προσδιορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου από μη ομαδοποιημένα δεδομένα. Ας υποθέσουμε ότι μια ομάδα εργασίας που αποτελείται από 9 άτομα έχει τις ακόλουθες κατηγορίες τιμών: 4 3 4 5 3 3 6 2 6. Δεδομένου ότι αυτή η ταξιαρχία έχει τους περισσότερους εργάτες της 3ης κατηγορίας, αυτή η τιμολογιακή κατηγορία θα είναι τροπική. Mo = 3.
Για να προσδιορίσετε τη διάμεσο, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε μια κατάταξη: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Ο κεντρικός εργαζόμενος σε αυτή τη σειρά είναι εργαζόμενος της 4ης κατηγορίας, επομένως, αυτή η κατηγορία θα είναι η διάμεσος. Εάν η σειρά κατάταξης περιλαμβάνει ζυγό αριθμό μονάδων, τότε η διάμεσος ορίζεται ως ο μέσος όρος των δύο κεντρικών τιμών.
Εάν η λειτουργία αντικατοπτρίζει την πιο κοινή παραλλαγή της τιμής του χαρακτηριστικού, τότε η διάμεσος πρακτικά εκτελεί τις λειτουργίες του μέσου όρου για έναν ετερογενή πληθυσμό που δεν υπακούει στον κανονικό νόμο κατανομής. Ας επεξηγήσουμε τη γνωστική του σημασία με το ακόλουθο παράδειγμα.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να χαρακτηρίσουμε το μέσο εισόδημα μιας ομάδας ατόμων που αποτελείται από 100 άτομα, εκ των οποίων τα 99 έχουν εισοδήματα από 100 έως 200 δολάρια το μήνα και το μηνιαίο εισόδημα των τελευταίων είναι 50.000 δολάρια (Πίνακας 1).
Πίνακας 1 - Μηνιαίο εισόδημα της υπό μελέτη ομάδας ατόμων. Αν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο, παίρνουμε ένα μέσο εισόδημα περίπου $600 - $700, το οποίο έχει λίγα κοινά με το εισόδημα του κύριου μέρους της ομάδας. Η διάμεσος, ίση σε αυτή την περίπτωση με Me = 163 δολάρια, θα μας επιτρέψει να δώσουμε μια αντικειμενική περιγραφή του επιπέδου εισοδήματος του 99% αυτής της ομάδας ανθρώπων.
Ας εξετάσουμε τον προσδιορισμό του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής χρησιμοποιώντας ομαδοποιημένα δεδομένα (σειρές διανομής).
Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή των εργαζομένων ολόκληρης της επιχείρησης στο σύνολό της σύμφωνα με την τιμολογιακή κατηγορία έχει την ακόλουθη μορφή (Πίνακας 2).
Πίνακας 2 - Κατανομή εργαζομένων στις επιχειρήσεις ανά κατηγορία δασμών

Υπολογισμός κατάστασης λειτουργίας και διάμεσος για μια διακριτή σειρά

Υπολογισμός κατάστασης λειτουργίας και διάμεσος για σειρές διαστήματος

Υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της μέσης τιμής για μια σειρά παραλλαγής

Προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας από μια διακριτή σειρά παραλλαγών

Χρησιμοποιείται μια προηγουμένως κατασκευασμένη σειρά τιμών χαρακτηριστικών, ταξινομημένων κατά τιμή. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι περιττό, παίρνουμε την κεντρική τιμή. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιο, παίρνουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο κεντρικών τιμών.
Προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας από μια διακριτή σειρά παραλλαγών: η 5η κατηγορία τιμολογίων έχει την υψηλότερη συχνότητα (60 άτομα), επομένως, είναι modal. Mo = 5.
Για τον προσδιορισμό της διάμεσης τιμής ενός χαρακτηριστικού, ο αριθμός της διάμεσης μονάδας της σειράς (N Me) βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: , όπου n είναι ο όγκος του πληθυσμού.
Στην περίπτωσή μας: .
Η προκύπτουσα κλασματική τιμή, η οποία εμφανίζεται πάντα όταν ο αριθμός των μονάδων στον πληθυσμό είναι άρτιος, δείχνει ότι το ακριβές μεσαίο σημείο βρίσκεται μεταξύ 95 και 96 εργαζομένων. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί σε ποια ομάδα ανήκουν οι εργαζόμενοι με αυτούς τους σειριακούς αριθμούς. Αυτό μπορεί να γίνει με τον υπολογισμό των συσσωρευμένων συχνοτήτων. Δεν υπάρχουν εργαζόμενοι με αυτούς τους αριθμούς στην πρώτη ομάδα, όπου υπάρχουν μόνο 12 άτομα, και δεν υπάρχει κανένας στη δεύτερη ομάδα (12+48=60). Οι εργαζόμενοι του 95ου και του 96ου βρίσκονται στην τρίτη ομάδα (12+48+56=116), επομένως, η διάμεσος είναι η 4η κατηγορία τιμολογίων.

Υπολογισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου σε σειρές διαστήματος

Σε αντίθεση με τις σειρές διακριτών παραλλαγών, ο προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής από σειρές διαστήματος απαιτεί ορισμένους υπολογισμούς με βάση τους ακόλουθους τύπους:
, (5.6)
Οπου x 0– το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων (το διάστημα με την υψηλότερη συχνότητα ονομάζεται τροπικό)
Εγώ– την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·
f Mo– συχνότητα του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·
f Mo -1– συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του τροπικού.
f Mo +1– συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.
(5.7)
Οπου x 0– το κατώτερο όριο του διαμέσου διαστήματος (διάμεσος είναι το πρώτο διάστημα του οποίου η συσσωρευμένη συχνότητα υπερβαίνει το ήμισυ του συνολικού αθροίσματος των συχνοτήτων).
Εγώ– την τιμή του διάμεσου διαστήματος·
S Me -1– συσσωρευμένο διάστημα που προηγείται της διάμεσης τιμής·
στ Εγώ– συχνότητα του μέσου διαστήματος.
Ας επεξηγήσουμε την εφαρμογή αυτών των τύπων χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στον Πίνακα. 3.
Το διάστημα με τα όρια 60 – 80 σε αυτή την κατανομή θα είναι τροπικό, γιατί έχει την υψηλότερη συχνότητα. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.6), ορίζουμε τη λειτουργία:

Για να καθοριστεί το διάμεσο διάστημα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συσσωρευμένη συχνότητα κάθε επόμενου διαστήματος έως ότου υπερβεί το ήμισυ του αθροίσματος των συσσωρευμένων συχνοτήτων (στην περίπτωσή μας, 50%) (Πίνακας 5.11).
Διαπιστώθηκε ότι η διάμεσος είναι το διάστημα με όρια 100 - 120 χιλιάδες ρούβλια. Ας προσδιορίσουμε τώρα τη διάμεσο:

Πίνακας 3 - Κατανομή του πληθυσμού της Ρωσικής Ομοσπονδίας κατά επίπεδο μέσου κατά κεφαλήν ονομαστικού νομισματικού εισοδήματος τον Μάρτιο του 1994.

Ομάδες κατά επίπεδο μέσου κατά κεφαλήν μηνιαίου εισοδήματος, χιλιάδες ρούβλια.	Μερίδιο πληθυσμού, %
Μέχρι 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Πάνω από 300	7,7
Σύνολο	100,0

Πίνακας 4 - Προσδιορισμός διάμεσου διαστήματος
Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος, ο τρόπος λειτουργίας και ο διάμεσος μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως γενικευμένο χαρακτηριστικό των τιμών ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού για μονάδες ενός ταξινομημένου πληθυσμού.
Το κύριο χαρακτηριστικό του κέντρου διανομής είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, ο οποίος χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι όλες οι αποκλίσεις από αυτό (θετικές και αρνητικές) αθροίζονται στο μηδέν. Η διάμεσος χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το άθροισμα των αποκλίσεων από αυτήν στο συντελεστή είναι ελάχιστο και ο τρόπος είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που εμφανίζεται πιο συχνά.
Ο λόγος του τρόπου λειτουργίας, του μέσου όρου και του αριθμητικού μέσου όρου υποδεικνύει τη φύση της κατανομής του χαρακτηριστικού στο σύνολο και μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε την ασυμμετρία του. Στις συμμετρικές κατανομές συμπίπτουν και τα τρία χαρακτηριστικά. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση μεταξύ του τρόπου λειτουργίας και του αριθμητικού μέσου όρου, τόσο πιο ασύμμετρη είναι η σειρά. Για μέτρια ασύμμετρες σειρές, η διαφορά μεταξύ του τρόπου λειτουργίας και του αριθμητικού μέσου όρου είναι περίπου τρεις φορές μεγαλύτερη από τη διαφορά μεταξύ της διάμεσης και του μέσου όρου, δηλ.:
|Mo –`x| = 3 |Εγώ –`x|.

Προσδιορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου με γραφική μέθοδο

Ο τρόπος λειτουργίας και η διάμεσος σε μια σειρά διαστήματος μπορούν να προσδιοριστούν γραφικά. Ο τρόπος λειτουργίας καθορίζεται από το ιστόγραμμα κατανομής. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το ψηλότερο ορθογώνιο, το οποίο σε αυτή την περίπτωση είναι modal. Έπειτα συνδέουμε τη δεξιά κορυφή του τροπικού ορθογωνίου με την επάνω δεξιά γωνία του προηγούμενου ορθογωνίου. Και η αριστερή κορυφή του τροπικού ορθογωνίου - με την επάνω αριστερή γωνία του επόμενου ορθογωνίου. Από το σημείο τομής τους χαμηλώνουμε την κάθετη προς τον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής αυτών των γραμμών θα είναι ο τρόπος κατανομής (Εικ. 5.3).


Ρύζι. 5.3. Γραφικός προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας με χρήση ιστογράμματος.


Ρύζι. 5.4. Γραφικός προσδιορισμός της διάμεσης τιμής με αθροιστική
Για να προσδιοριστεί η διάμεσος από ένα σημείο της κλίμακας συσσωρευμένων συχνοτήτων (συχνοτήτων) που αντιστοιχεί στο 50%, χαράσσεται μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης έως ότου τέμνεται με τη σώρευση. Στη συνέχεια, από το σημείο τομής, μια κάθετη χαμηλώνεται στον άξονα x. Η τετμημένη του σημείου τομής είναι η διάμεσος.

τεταρτημόρια, δεκαδικά, εκατοστημόρια

Ομοίως, με την εύρεση της διάμεσης τιμής στη σειρά παραλλαγής της διανομής, μπορείτε να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα της σειράς κατάταξης. Έτσι, για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού για μονάδες που διαιρούν μια σειρά σε τέσσερα ίσα μέρη, σε 10 ή 100 μέρη. Αυτές οι τιμές ονομάζονται «τεταρτημόρια», «δεκατιανά», «εκατοστημόρια».
Τα τεταρτημόρια αντιπροσωπεύουν την τιμή ενός χαρακτηριστικού που χωρίζει τον ταξινομημένο πληθυσμό σε 4 ίσα μέρη.
Υπάρχει ένα κατώτερο τεταρτημόριο (Q 1), που διαχωρίζει το ¼ του πληθυσμού με τις χαμηλότερες τιμές του χαρακτηριστικού, και ένα ανώτερο τεταρτημόριο (Q 3), που διαχωρίζει το ¼ του τμήματος με τις υψηλότερες τιμές του χαρακτηριστικού. Αυτό σημαίνει ότι το 25% των μονάδων στον πληθυσμό θα είναι μικρότερο σε τιμή Q 1 . Το 25% των μονάδων θα περιέχεται μεταξύ Q 1 και Q 2 . Το 25% είναι μεταξύ Q 2 και Q 3 και το υπόλοιπο 25% υπερβαίνει το Q 3. Το μεσαίο τεταρτημόριο του Q2 είναι το διάμεσο.
Για τον υπολογισμό των τεταρτημορίων χρησιμοποιώντας μια σειρά μεταβολών διαστήματος, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι:
, ,
Οπου x Q 1– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, το πρώτο που υπερβαίνει το 25%).
x Q 3– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, το πρώτο που υπερβαίνει το 75%).
Εγώ– μέγεθος διαστήματος
S Q 1-1– συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο·
S Q 3-1– συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο·
f Q 1– συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο·
f Q 3– συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο.
Ας εξετάσουμε τον υπολογισμό του κάτω και του άνω τεταρτημορίου σύμφωνα με τα δεδομένα του Πίνακα. 5.10. Το κατώτερο τεταρτημόριο είναι στην περιοχή 60 – 80, η αθροιστική συχνότητα του οποίου είναι 33,5%. Το ανώτερο τεταρτημόριο βρίσκεται στην περιοχή 160 – 180 με συσσωρευμένη συχνότητα 75,8%. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη παίρνουμε:
,
.
Εκτός από τα τεταρτημόρια, τα δεκατιανά μπορούν να προσδιοριστούν στα εύρη διακύμανσης της κατανομής - επιλογές που διαιρούν τις ταξινομημένες σειρές παραλλαγών σε δέκα ίσα μέρη. Το πρώτο δεκαδικό (d 1) διαιρεί τον πληθυσμό σε αναλογία 1/10 προς 9/10, το δεύτερο δεκαδικό (d 1) - σε αναλογία 2/10 προς 8/10, κ.λπ.
Υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:
, .
Οι χαρακτηριστικές τιμές που χωρίζουν τη σειρά σε εκατό μέρη ονομάζονται εκατοστημόρια. Οι λόγοι διάμεσων, τεταρτημορίων, δεκαδικών και εκατοστημόνων παρουσιάζονται στο Σχήμα. 5.5.

Ο αριθμητικός μέσος όρος (εφεξής ο μέσος όρος) είναι ίσως η πιο δημοφιλής στατιστική παράμετρος. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται παντού - από το ρητό "μέση θερμοκρασία σε ένα νοσοκομείο" έως σοβαρές επιστημονικές εργασίες. Ωστόσο, παραδόξως, ο μέσος όρος είναι μια δύσκολη έννοια που συχνά παραπλανά αντί να παρέχει σαφήνεια και σαφήνεια.

Αν μιλάμε για επιστημονική εργασία, τότε η ανάλυση στατιστικών δεδομένων χρησιμοποιείται σχεδόν σε όλες τις εφαρμοσμένες επιστήμες, ακόμη και στις ανθρωπιστικές επιστήμες (για παράδειγμα, ψυχολογία). Η μέση τιμή υπολογίζεται για χαρακτηριστικά που μετρώνται σε λεγόμενες συνεχείς κλίμακες. Τέτοια σημάδια είναι, για παράδειγμα, οι συγκεντρώσεις ουσιών στον ορό του αίματος, το ύψος, το βάρος, η ηλικία. Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί εύκολα να υπολογιστεί και διδάσκεται στο λύκειο. Ωστόσο (σύμφωνα με τις διατάξεις των μαθηματικών στατιστικών), η μέση τιμή είναι ένα επαρκές μέτρο της κεντρικής τάσης στο δείγμα μόνο στην περίπτωση μιας κανονικής (Gaussian) κατανομής του χαρακτηριστικού (Εικ. 1). Ρύζι. 1. Κανονική (Gaussian) κατανομή του χαρακτηριστικού στο δείγμα. Ο μέσος όρος (M) και ο διάμεσος (Me) είναι ο ίδιος

Εάν η κατανομή αποκλίνει από τον κανονικό νόμο, δεν είναι σωστό να χρησιμοποιείται η μέση τιμή, καθώς είναι πολύ ευαίσθητη παράμετρος στα λεγόμενα "outliers" - αχαρακτηριστικά για το δείγμα που μελετάται, μια τιμή που είναι πολύ μεγάλη ή πολύ μικρή (Εικ. 2). Σε αυτή την περίπτωση, μια άλλη παράμετρος, η διάμεσος, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να χαρακτηρίσει την κεντρική τάση στο δείγμα. Η διάμεσος είναι η τιμή ενός χαρακτηριστικού στα δεξιά και αριστερά του οποίου υπάρχουν ίσος αριθμός παρατηρήσεων (50% η καθεμία). Αυτή η παράμετρος (σε αντίθεση με τη μέση τιμή) είναι ανθεκτική σε ακραίες τιμές. Σημειώστε επίσης ότι η διάμεσος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση μιας κανονικής κατανομής - σε αυτήν την περίπτωση, η διάμεσος συμπίπτει με τη μέση τιμή.

Ρύζι. 2. Η κατανομή του χαρακτηριστικού στο δείγμα είναι διαφορετική από την κανονική. Ο μέσος όρος (m) και ο διάμεσος (ME) δεν είναι ο ίδιος

Για να διαπιστωθεί εάν η κατανομή ενός χαρακτηριστικού σε ένα δείγμα είναι κανονική (Gaussian) ή όχι, δηλαδή για να βρεθεί ποια παράμετρος πρέπει να χρησιμοποιηθεί (μέση ή διάμεσος), υπάρχουν ειδικές στατιστικές δοκιμές.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ο ρυθμός καθίζησης ερυθροκυττάρων στην ομάδα ασθενών με πρόσφατη πνευμονία είναι 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Η μέση τιμή για αυτό το δείγμα είναι 17,8, η διάμεση τιμή είναι 12. Κατανομή (σύμφωνα με τη δοκιμή Shapiro-Wilk) δεν είναι φυσιολογικό (Εικ. 3), επομένως πρέπει να χρησιμοποιηθεί η διάμεσος. Ρύζι. 3. Παράδειγμα

Παραδόξως, σε ορισμένους τομείς της οικονομίας ένας εξωτερικός παρατηρητής δεν μπορεί να παρατηρήσει κανένα ίχνος της σωστής εφαρμογής των μαθηματικών στατιστικών. Έτσι, μας λένε συνεχώς για τον μέσο μισθό (για παράδειγμα, σε ερευνητικά ιδρύματα) και αυτοί οι αριθμοί συνήθως εκπλήσσουν όχι μόνο τους απλούς υπαλλήλους, αλλά και τους επικεφαλής τμημάτων (τώρα ονομάζονται «μεσαία στελέχη»). Μας εκπλήσσει που ο μέσος μισθός στη Μόσχα είναι 40 χιλιάδες ρούβλια, αλλά, φυσικά, καταλαβαίνουμε ότι έχουμε «μέσο όρο» με τους ολιγάρχες. Ακολουθεί ένα παράδειγμα από τη ζωή των επιστημόνων: μισθοί των εργαζομένων στο εργαστήριο (χιλιάδες ρούβλια) - 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Η μέση τιμή είναι 17,8, η διάμεση τιμή είναι 12. Συμφωνήστε ότι πρόκειται για διαφορετικούς αριθμούς!

Φυσικά, δεν μπορεί να αποκλειστεί ότι η σιωπή για τα ακίνητα του μέσου όρου είναι ανειλικρινής, αφού είναι πάντα πιο επικερδές για τη διοίκηση να παρουσιάζει την κατάσταση με τους μισθούς των εργαζομένων ως καλύτερη από ό,τι στην πραγματικότητα.

Δεν είναι καιρός η επιστημονική κοινότητα να καλέσει τους ηγέτες μας να σταματήσουν να χρησιμοποιούν εσφαλμένα τις μαθηματικές στατιστικές;

Όλγα Ρέμπροβα,
έγγρ. μέλι. Επιστημών, Αντιπρόεδρος
MOO "Κοινωνία Ειδικών Ιατρικής Βασισμένης σε Αποδείξεις"

Διάμεσος- αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που διαιρεί τη σειρά κατάταξης της κατανομής σε δύο ίσα μέρη - με τιμές χαρακτηριστικών μικρότερες από τη διάμεσο και με τιμές χαρακτηριστικών μεγαλύτερες από τη διάμεσο. Για να βρείτε τη διάμεσο, πρέπει να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού που βρίσκεται στο μέσο της σειράς που ταξινομείται.

Δείτε τη λύση στο πρόβλημα της εύρεσης του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρουΜπορείς

Σε ταξινομημένες σειρές, μη ομαδοποιημένα δεδομένα για βρίσκοντας τη διάμεσοπεριορίζονται στην αναζήτηση του σειριακού αριθμού της διάμεσης. Η διάμεσος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

όπου Xm είναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.
im - διάμεσο διάστημα;
Sme είναι το άθροισμα των παρατηρήσεων που συσσωρεύτηκαν πριν από την έναρξη του διάμεσου διαστήματος.
fme είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων στο διάμεσο διάστημα.

Ιδιότητες της διάμεσης

1. Η διάμεσος δεν εξαρτάται από αυτές τις τιμές χαρακτηριστικών που βρίσκονται σε κάθε πλευρά της.
2. Οι αναλυτικές πράξεις με τη διάμεσο είναι πολύ περιορισμένες, επομένως όταν συνδυάζονται δύο κατανομές με γνωστές διαμέσους, είναι αδύνατο να προβλεφθεί εκ των προτέρων η τιμή της διάμεσης τιμής της νέας κατανομής.
3. Ο διάμεσος έχειιδιότητα μινιμαλισμού. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών x από τη διάμεσο είναι η ελάχιστη τιμή σε σύγκριση με την απόκλιση του X από οποιαδήποτε άλλη τιμή

Γραφικός ορισμός διάμεσου

Για τον καθορισμό διάμεσοι με γραφική μέθοδοΧρησιμοποιούν συσσωρευμένες συχνότητες από τις οποίες κατασκευάζεται μια αθροιστική καμπύλη. Οι κορυφές των τεταγμένων που αντιστοιχούν στις συσσωρευμένες συχνότητες συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα. Διαιρώντας την τελευταία τεταγμένη στο μισό, που αντιστοιχεί στο συνολικό άθροισμα των συχνοτήτων, και σχεδιάζοντας μια κάθετη τομή με την αθροιστική καμπύλη προς αυτήν, βρίσκεται η τεταγμένη της επιθυμητής διάμεσης τιμής.

Ορισμός της μόδας στη στατιστική

Μόδα - η αξία της ιδιότητας, που έχει την υψηλότερη συχνότητα στη σειρά στατιστικών κατανομών.

Ορισμός της μόδαςπαράγεται με διαφορετικούς τρόπους, και αυτό εξαρτάται από το αν το μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό παρουσιάζεται με τη μορφή διακριτής ή διαλειμματικής σειράς.

Βρίσκοντας τη μόδακαι η διάμεσος γίνεται κοιτάζοντας απλώς τη στήλη συχνότητας. Σε αυτή τη στήλη, βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό που χαρακτηρίζει την υψηλότερη συχνότητα. Αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή του χαρακτηριστικού, που είναι ο τρόπος. Σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, η λειτουργία θεωρείται περίπου η κεντρική παραλλαγή του διαστήματος με την υψηλότερη συχνότητα. Σε μια τέτοια σειρά διανομής η λειτουργία υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου XMo είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς.
imo - τροπικό διάστημα;
fм0, fм0-1, fм0+1 - συχνότητες στα διαστήματα τροπικών, προηγούμενων και επόμενων τρόπων.

Το χρονικό διάστημα καθορίζεται από την υψηλότερη συχνότητα.

Η μόδα χρησιμοποιείται ευρέως στη στατιστική πρακτική κατά την ανάλυση της καταναλωτικής ζήτησης, την καταγραφή τιμών κ.λπ.

Σχέσεις μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου, του μέσου όρου και του τρόπου

Για μια μονοτροπική συμμετρική σειρά, οι κατανομές , διάμεσος και τρόπος συμπίπτουν. Για ασύμμετρες κατανομές δεν είναι ίδιες.

Ο K. Pearson, με βάση την ευθυγράμμιση διαφόρων τύπων καμπυλών, προσδιόρισε ότι για μέτρια ασύμμετρες κατανομές ισχύουν οι ακόλουθες κατά προσέγγιση σχέσεις μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου, του μέσου όρου και του τρόπου λειτουργίας: