Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων με τη μέθοδο των συντεταγμένων. Γωνία μεταξύ των επιπέδων

Εργασία 1. Η βάση ενός ευθύγραμμου τετράγωνου πρίσματος ABCD 1 B 1 C 1 D 1 είναι ένα ορθογώνιο ABCD, στο οποίο AB \u003d 5, AD \u003d 11. Βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του επιπέδου της βάσης του πρίσματος και το επίπεδο που διέρχεται από το μέσο της ακμής AD κάθετο στην ευθεία BD 1, αν η απόσταση μεταξύ των ευθειών AC και B 1 D 1 είναι 12. Λύση. Εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων. B(0;0;0), A(5;0;0), C(0;11;0), D 1 (5;11;12) Συντεταγμένες της κανονικής προς το επίπεδο διατομής: Συντεταγμένες της κανονικής προς το επίπεδο βάσης: - αιχμηρή γωνία, τότε D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N Γωνία μεταξύ επιπέδων Απάντηση: 0,5. Nenasheva N.G. δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Εργασία 2. Στη βάση τριγωνική πυραμίδαΤο SABC βρίσκεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Η γωνία Α είναι ευθεία. AC \u003d 8, BC \u003d 219. Το ύψος της πυραμίδας SA είναι 6. Ένα σημείο M λαμβάνεται στην άκρη AC έτσι ώστε AM \u003d 2. Ένα επίπεδο α σχεδιάζεται μέσω του σημείου M, της κορυφής B και του σημείο N - το μέσο της άκρης SC. Βρείτε τη διεδρική γωνία που σχηματίζεται από το επίπεδο α και το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας. A S x B C M N y z Λύση. Εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων. Στη συνέχεια A (0;0;0), C (0;8;0), M (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), Κανονικό στο επίπεδο ( ABC) διάνυσμα Κανονικό προς επίπεδο (BMN) Γωνία μεταξύ των επιπέδων Απάντηση: 60°. Εξίσωση του επιπέδου (ВМN): N.G. Nenasheva δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Πρόβλημα 3. Η βάση μιας τετραγωνικής πυραμίδας PABCD είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 6, η πλευρική ακμή PD είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης και ίση με 6. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων (BDP) και (BCP). Λύση. 1. Σχεδιάστε τη διάμεσο DF ενός ισοσκελούς τριγώνου CDP (BC = PD = 6) Άρα DF PC. Και από το γεγονός ότι BC (CDP), προκύπτει ότι DF BC σημαίνει DF (PCB) A D C B P F 2. Αφού AC DB και AC DP, τότε AC (BDP) 3. Έτσι, η γωνία μεταξύ των επιπέδων (BDP) και (BCP) ) βρίσκεται από την συνθήκη: Η γωνία μεταξύ των επιπέδων Nenasheva N.G. δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Πρόβλημα 3. Η βάση μιας τετραγωνικής πυραμίδας PABCD είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 6, η πλευρική ακμή PD είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης και ίση με 6. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων (BDP) και (BCP). Λύση.4. Ας επιλέξουμε ένα σύστημα συντεταγμένων. Οι συντεταγμένες των σημείων: 5. Τότε τα διανύσματα θα έχουν τις εξής συντεταγμένες: 6. Υπολογίζοντας τις τιμές, βρίσκουμε:, τότε A D C B P F z x y Γωνία μεταξύ των επιπέδων Απάντηση: Nenasheva N.G. δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Εργασία 4. Στον μοναδιαίο κύβο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων (AD 1 E) και (D 1 FC), όπου τα σημεία E και F είναι τα μέσα των άκρων A 1 B 1 και B 1 C 1, αντίστοιχα. Λύση: 1. Εισαγάγετε ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες και προσδιορίστε τις συντεταγμένες των σημείων: 2. Να συνθέσετε την εξίσωση του επιπέδου (AD 1 E): 3. Να συνθέσετε την εξίσωση του επιπέδου (D 1 FC): - κανονικό διάνυσμα του επιπέδου (AD 1 E). - κανονικό διάνυσμα του επιπέδου (D 1 FС). Γωνία μεταξύ επιπέδων x y z Nenasheva N.G. δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Εργασία 4. Στον μοναδιαίο κύβο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων (AD 1 E) και (D 1 FC), όπου τα σημεία E και F είναι τα μέσα των άκρων A 1 B 1 και B 1 C 1, αντίστοιχα. Λύση: 4. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επιπέδων χρησιμοποιώντας τον τύπο Απάντηση: Η γωνία μεταξύ των επιπέδων x y z Nenasheva N.G. δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Πρόβλημα 5. Ένα τμήμα που συνδέει το κέντρο της βάσης μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας με το μέσο της πλευρικής ακμής, ίσο με την πλευράλόγους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των παρακείμενων πλευρικών όψεων της πυραμίδας. Λύση: x y z 1. Ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες των σημείων A, B, C: K Έστω η πλευρά της βάσης 1. Για βεβαιότητα, θεωρήστε τις όψεις SAC και SBC 2. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου S: E Η γωνία μεταξύ των επιπέδων Nenasheva N.G . δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Πρόβλημα 5. Το τμήμα που συνδέει το κέντρο της βάσης μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας με το μέσο της πλευρικής ακμής είναι ίσο με την πλευρά της βάσης. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των παρακείμενων πλευρικών όψεων της πυραμίδας. Λύση: x y z K E SO βρίσκουμε από το OSB: Η γωνία μεταξύ των επιπέδων Nenasheva N.G. δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Πρόβλημα 5. Το τμήμα που συνδέει το κέντρο της βάσης μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας με το μέσο της πλευρικής ακμής είναι ίσο με την πλευρά της βάσης. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των παρακείμενων πλευρικών όψεων της πυραμίδας. Λύση: x y z K E 3. Εξίσωση του επιπέδου (SAC): - κανονικό διάνυσμα του επιπέδου (SAC). 4. Εξίσωση του επιπέδου (SBC): - κανονικό διάνυσμα του επιπέδου (SBC). Γωνία μεταξύ των επιπέδων Nenasheva N.G. δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Πρόβλημα 5. Το τμήμα που συνδέει το κέντρο της βάσης μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας με το μέσο της πλευρικής ακμής είναι ίσο με την πλευρά της βάσης. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των παρακείμενων πλευρικών όψεων της πυραμίδας. Λύση: x y z K E 5. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επιπέδων σύμφωνα με τον τύπο Απάντηση: Η γωνία μεταξύ των επιπέδων Nenasheva N.G. δάσκαλος μαθηματικών GBOU γυμνάσιο 985

Στόχοι:

να αναπτύξουν την ικανότητα να εξετάζουν διάφορες προσεγγίσεις για την επίλυση προβλημάτων και να αναλύουν την «επίδραση» της εφαρμογής αυτών των μεθόδων επίλυσης·
να αναπτύξει την ικανότητα του μαθητή να επιλέγει μια μέθοδο για την επίλυση ενός προβλήματος σύμφωνα με τις μαθηματικές του προτιμήσεις, με βάση πιο σταθερές γνώσεις και αυτοπεποίθηση δεξιότητες.
να αναπτύξουν την ικανότητα να καταρτίζουν ένα σχέδιο διαδοχικών σταδίων για την επίτευξη του αποτελέσματος.
να αναπτύξουν την ικανότητα να αιτιολογούν όλα τα βήματα και τους υπολογισμούς που έγιναν·
επαναλάβετε και διορθώστε διάφορα θέματακαι ζητήματα στερεομετρίας και επιπεδομετρίας, τυπικές στερεομετρικές δομές που σχετίζονται με την επίλυση τρεχόντων προβλημάτων.
αναπτύξουν χωρική σκέψη.

ανάλυση διάφορες μεθόδουςεπίλυση προβλημάτων: μέθοδος διανύσματος συντεταγμένων, εφαρμογή του θεωρήματος συνημιτόνου, εφαρμογή του θεωρήματος των τριών καθέτων.
συγκρίνοντας τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα κάθε μεθόδου·
επανάληψη των ιδιοτήτων ενός κύβου, ενός τριγωνικού πρίσματος, ενός κανονικού εξαγώνου.
προετοιμασία για να περάσει τις εξετάσεις ·
ανάπτυξη ανεξαρτησίας στη λήψη αποφάσεων.

Περίγραμμα μαθήματος

Κόκκος αρωματικός ABCDA 1 B 1 C 1 D 1με άκρη 1 σημείο Ο - κέντρο προσώπου Α Β Γ Δ.

α) τη γωνία μεταξύ των γραμμών Α 1 Δκαι BO;

β) απόσταση από το σημείο σιμέχρι τη μέση της κοπής Α 1 Δ.

Σημείο απόφασης α).

Ας τοποθετήσουμε τον κύβο μας σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα, τις κορυφές Α1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), Β1 (0; 0; 1), Ο (½; ½; 0).

Διανύσματα κατεύθυνσης γραμμών Α 1 Δκαι B1O:

(0; 1; -1) και (½; ½; -1);

Η επιθυμητή γωνία φ μεταξύ τους βρίσκεται από τον τύπο:

cos∠φ = ,
από όπου ∠φ = 30°.

2 τρόπος. Χρησιμοποιούμε το θεώρημα συνημιτόνου.

1) Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή Στο 1 Cπαράλληλη σε ευθεία γραμμή Α 1 Δ. Γωνία CB1Oθα είναι επιθυμητό.

2) Από ορθογώνιο τρίγωνο BB 1 Oσύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

3) Με το νόμο των συνημιτόνων από τρίγωνο CB1Oυπολογίστε τη γωνία CB1O:

cos CB 1 O = , η επιθυμητή γωνία είναι 30°.

Σχόλιο. Κατά την επίλυση του προβλήματος με τον 2ο τρόπο, φαίνεται ότι, σύμφωνα με το θεώρημα των τριών καθέτων COB 1 = 90°, άρα από το ορθογώνιο Δ CB1Oείναι επίσης εύκολο να υπολογιστεί το συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας.

Σημείο απόφασης β).

1 τρόπος. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων

Αφήστε το θέμα μι- Μέσης Α 1 Δ, μετά τις συντεταγμένες Ε (1; 1/2; ½), Β (0; 0; 0).

Β.Ε.= .

2 τρόπος. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

Από ορθογώνιο Δ BAEμε απευθείας BAEεύρημα ΕΙΝΑΙ = .

Στα δεξιά τριγωνικό πρίσμα ABCA 1 B 1 C 1όλες οι άκρες είναι ίσες ένα. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών ΑΒκαι Α 1 C.

1 τρόπος. Μέθοδος διανύσματος συντεταγμένων

Οι συντεταγμένες των κορυφών του πρίσματος σε ένα ορθογώνιο σύστημα όταν βρίσκεται το πρίσμα, όπως στο σχήμα: Α (0; 0; 0), Β (α; 0), Α1 (0; 0; α), C (0; α; 0).

Διανύσματα κατεύθυνσης γραμμών Α 1 Cκαι ΑΒ:

(0; α; -α)και (ένα; ; 0} ;

cos φ = ;

2 τρόπος. Χρησιμοποιούμε το νόμο των συνημιτόνων

Θεωρούμε το Δ Α 1 Β 1 Γ, όπου Α 1 Β 1 || ΑΒ. Εχουμε

cos φ = .

(Από τη συλλογή της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης-2012. Μαθηματικά: τυπικά επιλογές εξετάσεωνεκδ. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko)

Σε κανονικό εξαγωνικό πρίσμα ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες με 1, βρείτε την απόσταση από το σημείο μισε ευθεία Β 1 Γ 1.

1 τρόπος. Μέθοδος διανύσματος συντεταγμένων

1) Τοποθετήστε το πρίσμα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τοποθετώντας τους άξονες συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. SS 1, ΝΔκαι CEείναι κατά ζεύγη κάθετες, ώστε να μπορείτε να κατευθύνετε κατά μήκος τους άξονες συντεταγμένων. Παίρνουμε τις συντεταγμένες:

C 1 (0; 0; 1), E (; 0; 0), B 1 (0; 1; 1).

2) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης για τις ευθείες Από 1 έως 1και Γ 1 Ε:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Να βρείτε το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας Από 1 έως 1και Γ 1 Εχρησιμοποιώντας κλιμακωτό προϊόνφορείς και:

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E είναι η επιθυμητή απόσταση.

4)C 1 E \u003d \u003d 2.

Συμπέρασμα: γνώση διαφορετικές προσεγγίσειςη επίλυση στερεομετρικών προβλημάτων σας επιτρέπει να επιλέξετε την προτιμώμενη μέθοδο για κάθε μαθητή, π.χ. ένα για το οποίο ο μαθητής έχει εμπιστοσύνη, βοηθά στην αποφυγή λαθών, οδηγεί σε επιτυχή επίλυση του προβλήματος και λήψη καλής βαθμολογίας στις εξετάσεις. Η μέθοδος συντεταγμένων έχει ένα πλεονέκτημα έναντι άλλων μεθόδων στο ότι απαιτεί λιγότερες στερεομετρικές εκτιμήσεις και όραμα και βασίζεται στη χρήση τύπων που έχουν πολλές επιπεδομετρικές και αλγεβρικές αναλογίες που είναι πιο γνωστές στους μαθητές.

Η μορφή του μαθήματος είναι συνδυασμός της εξήγησης του δασκάλου με τη μετωπική συλλογική εργασία των μαθητών.

Τα υπό εξέταση πολύεδρα εμφανίζονται στην οθόνη χρησιμοποιώντας βιντεοπροβολέα, που καθιστά δυνατή τη σύγκριση διάφορους τρόπουςλύσεις.

Εργασία για το σπίτι: λύστε το πρόβλημα 3 με διαφορετικό τρόπο, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το θεώρημα των τριών καθέτων .

Βιβλιογραφία

1. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Ανεξάρτητη και χαρτιά δοκιμήςστη γεωμετρία για την τάξη 11. - Μ .: ΗΛΕΚΣΑ, - 2010. - 208 σελ.

2. Γεωμετρία, 10-11: σχολικό βιβλίο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα: βασικά επίπεδα και προφίλ / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev και άλλοι - M .: Εκπαίδευση, 2007. - 256 σ.

3. ΧΡΗΣΗ-2012. Μαθηματικά: τυπικές επιλογές εξέτασης: 10 επιλογές / εκδ. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. - Μ.: εθνική παιδεία, 2011. - 112 σελ. - (ΧΡΗΣΗ-2012. FIPI - σχολείο).

Το άρθρο μιλά για την εύρεση της γωνίας μεταξύ των επιπέδων. Αφού φέρουμε τον ορισμό, θα ορίσουμε μια γραφική απεικόνιση, σκεφτείτε πολυλεκτικός τρόποςεύρεση με τη μέθοδο των συντεταγμένων. Λαμβάνουμε έναν τύπο για τεμνόμενα επίπεδα, ο οποίος περιλαμβάνει τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Το υλικό θα χρησιμοποιήσει δεδομένα και έννοιες που είχαν μελετηθεί προηγουμένως σε άρθρα σχετικά με το επίπεδο και τη γραμμή στο διάστημα. Αρχικά, είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε στη συλλογιστική που επιτρέπει σε κάποιον να έχει μια συγκεκριμένη προσέγγιση για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων.

Δίνονται δύο τεμνόμενα επίπεδα γ 1 και γ 2. Η τομή τους θα πάρει τον προσδιορισμό c . Η κατασκευή του επιπέδου χ συνδέεται με την τομή αυτών των επιπέδων. Το επίπεδο χ διέρχεται από το σημείο Μ ως ευθεία c. Τα επίπεδα γ 1 και γ 2 θα τέμνονται χρησιμοποιώντας το επίπεδο χ. Δεχόμαστε τους χαρακτηρισμούς της ευθείας που τέμνει γ 1 και χ για την ευθεία a, και τεμνόμενη γ 2 και χ για την ευθεία b. Παίρνουμε ότι η τομή των ευθειών a και b δίνει το σημείο M .

Η θέση του σημείου M δεν επηρεάζει τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b και το σημείο M βρίσκεται στην ευθεία c από την οποία διέρχεται το επίπεδο χ.

Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα επίπεδο χ 1 κάθετο στην ευθεία c και διαφορετικό από το επίπεδο χ . Η τομή των επιπέδων γ 1 και γ 2 με τη βοήθεια του χ 1 θα πάρει τον προσδιορισμό των ευθειών a 1 και b 1 .

Μπορεί να φανεί ότι κατά την κατασκευή των χ και χ 1, οι ευθείες a και b είναι κάθετες στην ευθεία c, στη συνέχεια οι a 1, b 1 είναι κάθετες στην ευθεία c. Βρίσκοντας τις ευθείες a και a 1 στο επίπεδο γ 1 με κάθετο στην ευθεία c, τότε μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες. Με τον ίδιο τρόπο, η θέση των b και b 1 στο επίπεδο γ 2 με την καθετότητα της ευθείας c δηλώνει τον παραλληλισμό τους. Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να γίνει παράλληλη μεταφορά του επιπέδου χ 1 στο χ, όπου παίρνουμε δύο ευθείες που συμπίπτουν a και a 1 , b και b 1 . Παίρνουμε ότι η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b 1 ίσο με τη γωνίατεμνόμενες ευθείες α και β.

Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Η κρίση αυτή αποδεικνύεται από το γεγονός ότι μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b υπάρχει γωνία που δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου Μ, δηλαδή από το σημείο τομής. Αυτές οι γραμμές βρίσκονται στα επίπεδα γ 1 και γ 2 . Στην πραγματικότητα, η γωνία που προκύπτει μπορεί να θεωρηθεί ως η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων.

Ας προχωρήσουμε στον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των υφιστάμενων τεμνόμενων επιπέδων γ 1 και γ 2 .

Ορισμός 1

Η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων γ 1 και γ 2ονομάζουμε τη γωνία που σχηματίζεται από την τομή των ευθειών a και b, όπου τα επίπεδα γ 1 και γ 2 τέμνονται με το επίπεδο χ που είναι κάθετο στην ευθεία c.

Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Ο ορισμός μπορεί να υποβληθεί σε άλλη μορφή. Στη τομή των επιπέδων γ 1 και γ 2, όπου c είναι η ευθεία στην οποία τέμνονται, σημειώστε το σημείο M, από το οποίο σχεδιάστε τις ευθείες a και b, κάθετες στην ευθεία c και που βρίσκονται στα επίπεδα γ 1 και γ. 2, τότε η γωνία μεταξύ των γραμμών a και b θα είναι η γωνία μεταξύ των επιπέδων. Στην πράξη, αυτό ισχύει για την κατασκευή μιας γωνίας μεταξύ των επιπέδων.

Στη διασταύρωση, σχηματίζεται μια γωνία που είναι μικρότερη από 90 μοίρες σε τιμή, δηλαδή μέτρο βαθμούη γωνία ισχύει σε ένα διάστημα αυτού του είδους (0, 90] . Ταυτόχρονα, αυτά τα επίπεδα ονομάζονται κάθετα εάν σχηματίζεται ορθή γωνία στην τομή. Η γωνία μεταξύ παράλληλα επίπεδαθεωρείται μηδέν.

Ο συνήθης τρόπος εύρεσης της γωνίας μεταξύ των τεμνόμενων επιπέδων είναι η εκτέλεση πρόσθετων κατασκευών. Αυτό βοηθά στον προσδιορισμό του με ακρίβεια και αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τα σημάδια ισότητας ή ομοιότητας του τριγώνου, των ημιτόνων, των συνημιτόνων της γωνίας.

Εξετάστε το ενδεχόμενο επίλυσης προβλημάτων χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα από ΧΡΗΣΗ Εργασιώνμπλοκ C 2 .

Παράδειγμα 1

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, όπου η πλευρά A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, το σημείο E χωρίζει την πλευρά A A 1 σε αναλογία 4: 3. Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων A B C και B E D 1 .

Λύση

Για σαφήνεια, πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Το καταλαβαίνουμε

Μια οπτική αναπαράσταση είναι απαραίτητη για να καταστεί πιο βολική η εργασία με τη γωνία μεταξύ των επιπέδων.

Κάνουμε τον ορισμό μιας ευθείας κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα A B C και B E D 1. Το σημείο Β είναι κοινό σημέιο. Θα πρέπει να βρεθεί ένα ακόμη κοινό σημείο τομής. Θεωρήστε τις ευθείες D A και D 1 E , οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο A D D 1 . Η θέση τους δεν υποδηλώνει παραλληλισμό, πράγμα που σημαίνει ότι έχουν κοινό σημείο τομής.

Ωστόσο, η ευθεία D A βρίσκεται στο επίπεδο A B C και η D 1 E στο B E D 1 . Ως εκ τούτου, καταλαβαίνουμε ότι οι γραμμές Δ Ακαι Δ 1 Εέχουν κοινό σημείο τομής, το οποίο είναι επίσης κοινό για τα επίπεδα A B C και B E D 1 . Υποδεικνύει το σημείο τομής των γραμμών Δ Ακαι Δ 1 Ε γράμμα ΣΤ. Από εδώ παίρνουμε ότι η B F είναι μια ευθεία γραμμή κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα A B C και B E D 1.

Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Για να ληφθεί μια απάντηση, είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν ευθείες γραμμές που βρίσκονται στα επίπεδα A B C και B E D 1 με το πέρασμα από ένα σημείο που βρίσκεται στην ευθεία B F και είναι κάθετο σε αυτό. Τότε η γωνία που προκύπτει μεταξύ αυτών των γραμμών θεωρείται η επιθυμητή γωνία μεταξύ των επιπέδων A B C και B E D 1.

Από αυτό φαίνεται ότι το σημείο Α είναι η προβολή του σημείου Ε στο επίπεδο A B C. Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια ευθεία που τέμνει την ευθεία B F σε ορθή γωνία στο σημείο M. Μπορεί να φανεί ότι η ευθεία A M είναι η προβολή της ευθείας E M στο επίπεδο A B C, με βάση το θεώρημα για αυτές τις κάθετες A M ⊥ B F . Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

∠ A M E είναι η επιθυμητή γωνία που σχηματίζουν τα επίπεδα A B C και B E D 1 . Από το προκύπτον τρίγωνο A E M μπορούμε να βρούμε το ημίτονο, το συνημίτονο ή την εφαπτομένη της γωνίας, μετά την οποία η ίδια η γωνία, μόνο με τις δύο γνωστές πλευρές της. Υπό την προϋπόθεση, έχουμε ότι το μήκος της A E βρίσκεται με αυτόν τον τρόπο: η ευθεία A A 1 διαιρείται με το σημείο E σε αναλογία 4: 3, που σημαίνει ότι το συνολικό μήκος της γραμμής είναι 7 μέρη, στη συνέχεια A E \u003d 4 μέρη. Βρίσκουμε τον Α.Μ.

Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο A B F. Έχουμε μια ορθή γωνία A με ύψος A M. Από τη συνθήκη A B \u003d 2, τότε μπορούμε να βρούμε το μήκος A F με την ομοιότητα των τριγώνων D D 1 F και A E F. Παίρνουμε ότι A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Είναι απαραίτητο να βρούμε το μήκος της πλευράς B F από το τρίγωνο A B F χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Παίρνουμε ότι B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Το μήκος της πλευράς A M βρίσκεται μέσα από το εμβαδόν του τριγώνου A B F. Έχουμε ότι το εμβαδόν μπορεί να είναι ίσο και με το S A B C = 1 2 · A B · A F , και το S A B C = 1 2 · B F · A M .

Παίρνουμε ότι A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Τότε μπορούμε να βρούμε την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας του τριγώνου A E M. Παίρνουμε:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Η επιθυμητή γωνία που προκύπτει από την τομή των επιπέδων A B C και B E D 1 είναι ίση με a r c t g 5, τότε, όταν απλοποιηθεί, παίρνουμε r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Απάντηση: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Ορισμένες περιπτώσεις εύρεσης της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών δίνονται χρησιμοποιώντας επίπεδο συντεταγμένωνΠερίπου x y z και η μέθοδος συντεταγμένων. Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα.

Αν δίνεται πρόβλημα όπου είναι απαραίτητο να βρεθεί η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων επιπέδων γ 1 και γ 2, συμβολίζουμε την επιθυμητή γωνία με α.

Επειτα δεδομένο σύστημασυντεταγμένες δείχνει ότι έχουμε τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων των τεμνόμενων επιπέδων γ 1 και γ 2 . Τότε συμβολίζουμε ότι n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z είναι ένα κανονικό διάνυσμα του επιπέδου γ 1 , και n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - για το επίπεδο γ 2 . Εξετάστε ένα λεπτομερές εύρημα της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ αυτών των επιπέδων σύμφωνα με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων.

Είναι απαραίτητο να ορίσουμε την ευθεία κατά την οποία τα επίπεδα γ 1 και γ 2 τέμνονται με το γράμμα c. Στην ευθεία με έχουμε ένα σημείο Μ, μέσα από το οποίο σχεδιάζουμε ένα επίπεδο χ, κάθετο στο c. Το επίπεδο χ κατά τις ευθείες a και b τέμνει τα επίπεδα γ 1 και γ 2 στο σημείο M . Από τον ορισμό προκύπτει ότι η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων επιπέδων γ 1 και γ 2 είναι ίση με τη γωνία των τεμνόμενων ευθειών a και b που ανήκουν σε αυτά τα επίπεδα, αντίστοιχα.

Στο επίπεδο χ σχεδιάζουμε από το σημείο Μ κανονικά διανύσματακαι να τα συμβολίσετε n 1 → και n 2 → . Το διάνυσμα n 1 → βρίσκεται σε μια ευθεία κάθετη στην ευθεία a, και το διάνυσμα n 2 → σε μια ευθεία κάθετη στην ευθεία b. Ως εκ τούτου το καταλαβαίνουμε δεδομένο αεροπλάνοΤο χ έχει κανονικό διάνυσμα της ευθείας a ίσο με n 1 → και για την ευθεία b ίσο με n 2 → . Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Από εδώ παίρνουμε έναν τύπο με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο της γωνίας των τεμνόμενων ευθειών χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των διανυσμάτων. Βρήκαμε ότι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών a και b είναι το ίδιο με το συνημίτονο μεταξύ των τεμνόμενων επιπέδων γ 1 και γ 2 προέρχεται από τύπους cosα = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , όπου έχουμε ότι n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) και n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) είναι οι συντεταγμένες του τα διανύσματα των αναπαρασταθέντων επιπέδων.

Η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Παράδειγμα 2

Κατά συνθήκη, δίνεται ένα παραλληλεπίπεδο А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , όπου A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, και το σημείο E χωρίζει την πλευρά A A 1 4: 3. Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων A B C και B E D 1 .

Λύση

Φαίνεται από την προϋπόθεση ότι οι πλευρές του είναι κατά ζεύγη κάθετες. Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να εισαχθεί ένα σύστημα συντεταγμένων O x y z με κορυφή στο σημείο C και άξονες συντεταγμένων O x, O y, O z. Είναι απαραίτητο να βάλετε την κατεύθυνση στις κατάλληλες πλευρές. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Τέμνοντα επίπεδα Α Β Γκαι Β Ε Δ 1σχηματίστε μια γωνία, η οποία μπορεί να βρεθεί με τον τύπο 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , όπου n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) και n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) είναι κανονικά διανύσματα αυτών των επιπέδων. Είναι απαραίτητο να καθοριστούν οι συντεταγμένες. Από το σχήμα, βλέπουμε ότι ο άξονας συντεταγμένων O x y συμπίπτει στο επίπεδο A B C, που σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος k → είναι ίσες με την τιμή n 1 → = k → = (0, 0, 1) .

Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου B E D 1 είναι το διανυσματικό γινόμενο των B E → και B D 1 → , όπου οι συντεταγμένες τους βρίσκονται από τις συντεταγμένες ακραία σημεία B, E, D 1 , τα οποία προσδιορίζονται με βάση την κατάσταση του προβλήματος.

Παίρνουμε ότι B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Επειδή A E E A 1 = 4 3 , από τις συντεταγμένες των σημείων A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 βρίσκουμε E 2 , 3 , 4 . Παίρνουμε ότι B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

Είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν οι ευρεθείσες συντεταγμένες στον τύπο για τον υπολογισμό της γωνίας μέσω του συνημιτόνου τόξου. Παίρνουμε

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Η μέθοδος συντεταγμένων δίνει ένα παρόμοιο αποτέλεσμα.

Απάντηση: a r c cos 6 6 .

Το τελικό πρόβλημα εξετάζεται για να βρεθεί η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων επιπέδων με τις διαθέσιμες γνωστές εξισώσεις των επιπέδων.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το ημίτονο, συνημίτονο της γωνίας και την τιμή της γωνίας που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες, οι οποίες ορίζονται στο σύστημα συντεταγμένων O x y z και δίνονται από τις εξισώσεις 2 x - 4 y + z + 1 = 0 και 3 y - z - 1 = 0 .

Λύση

Όταν μελετάτε ένα θέμα γενική εξίσωσηγραμμή της μορφής A x + B y + C z + D = 0 αποκάλυψε ότι τα A, B, C είναι συντελεστές ίσοι με τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος. Επομένως, n 1 → = 2 , - 4 , 1 και n 2 → = 0 , 3 , - 1 είναι κανονικά διανύσματα δεδομένων γραμμών.

Είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν οι συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων των επιπέδων στον τύπο για τον υπολογισμό της επιθυμητής γωνίας των τεμνόμενων επιπέδων. Τότε το καταλαβαίνουμε

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Άρα έχουμε ότι το συνημίτονο της γωνίας παίρνει τη μορφή cos α = 13 210 . Τότε η γωνία των τεμνόμενων γραμμών δεν είναι αμβλεία. Αντικατάσταση σε τριγωνομετρική ταυτότητα, παίρνουμε ότι η τιμή του ημιτόνου της γωνίας είναι ίση με την έκφραση. Υπολογίζουμε και το παίρνουμε

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Απάντηση: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

\(\μαύρο τρίγωνο\) Διεδρική γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα και την ευθεία \(a\) , που είναι το κοινό τους όριο.

\(\blacktriangleright\) Για να βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων \(\xi\) και \(\pi\) , πρέπει να βρείτε τη γραμμική γωνία αρωματώδηςή ευθεία) δίεδρος γωνίαπου σχηματίζονται από τα επίπεδα \(\xi\) και \(\pi\) :

Βήμα 1: έστω \(\xi\cap\pi=a\) (η γραμμή τομής των επιπέδων). Στο επίπεδο \(\xi\) σημειώνουμε αυθαίρετο σημείο\(F\) και σχεδιάστε \(FA\perp a\) ;

Βήμα 2: σχεδίαση \(FG\perp \pi\) ;

Βήμα 3: σύμφωνα με το TTP (\(FG\) - κάθετο, \(FA\) - λοξό, \(AG\) - προβολή) έχουμε: \(AG\perp a\) ;

Βήμα 4: Η γωνία \(\γωνία FAG\) ονομάζεται γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας που σχηματίζεται από τα επίπεδα \(\xi\) και \(\pi\) .

Σημειώστε ότι το τρίγωνο \(AG\) είναι ορθογώνιο τρίγωνο.
Σημειώστε επίσης ότι το επίπεδο \(AFG\) που κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο είναι κάθετο και στα δύο επίπεδα \(\xi\) και \(\pi\) . Επομένως, μπορεί να ειπωθεί με άλλο τρόπο: γωνία μεταξύ των επιπέδων\(\xi\) και \(\pi\) είναι η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών \(c\in \xi\) και \(b\in\pi\) , που σχηματίζουν ένα επίπεδο κάθετο στο \(\xi\ ) και \(\pi\) .

Εργασία 1 #2875

Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση

Η Ντάνα τετράγωνη πυραμίδα, του οποίου όλες οι άκρες είναι ίσες και η βάση είναι τετράγωνο. Βρείτε το \(6\cos \alpha\) , όπου \(\alpha\) είναι η γωνία μεταξύ των παρακείμενων πλευρικών του όψεων.

Έστω \(SABCD\) μια δεδομένη πυραμίδα (\(S\) είναι μια κορυφή) της οποίας οι ακμές είναι ίσες με \(a\) . Επομένως, όλα πλαϊνά πρόσωπαείναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των όψεων \(SAD\) και \(SCD\) .

Ας σχεδιάσουμε \(CH\perp SD\) . Επειδή \(\τρίγωνο SAD=\τρίγωνο SCD\), τότε το \(AH\) θα είναι επίσης ύψος \(\τρίγωνο SAD\) . Επομένως, εξ ορισμού, \(\γωνία AHC=\alpha\) είναι η γραμμική διεδρική γωνία μεταξύ των όψεων \(SAD\) και \(SCD\) .
Εφόσον η βάση είναι τετράγωνο, τότε \(AC=a\sqrt2\) . Σημειώστε επίσης ότι \(CH=AH\) είναι το ύψος ισόπλευρο τρίγωνομε πλευρά \(a\) , εξ ου και \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Στη συνέχεια με το θεώρημα συνημιτόνου από το \(\τρίγωνο AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Απάντηση: -2

Εργασία 2 #2876

Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση

Τα επίπεδα \(\pi_1\) και \(\pi_2\) τέμνονται υπό γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με \(0,2\) . Τα επίπεδα \(\pi_2\) και \(\pi_3\) τέμνονται σε ορθή γωνία και η γραμμή τομής των επιπέδων \(\pi_1\) και \(\pi_2\) είναι παράλληλη προς τη γραμμή τομής του τα επίπεδα \(\pi_2\) και \(\ pi_3\) . Βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των επιπέδων \(\pi_1\) και \(\pi_3\) .

Έστω η γραμμή τομής των \(\pi_1\) και \(\pi_2\) η ευθεία \(a\) , η γραμμή τομής των \(\pi_2\) και \(\pi_3\) η ευθεία \ (b\) , και η γραμμή τομής \(\pi_3\) και \(\pi_1\) είναι η ευθεία \(c\) . Αφού \(a\παράλληλο b\) , τότε \(c\παράλληλο a\παράλληλο b\) (σύμφωνα με το θεώρημα από το τμήμα της θεωρητικής αναφοράς "Γεωμετρία στο διάστημα" \(\δεξιό βέλος\) "Εισαγωγή στη στερεομετρία, παραλληλισμός").

Σημειώστε τα σημεία \(A\in a, B\in b\) έτσι ώστε \(AB\perp a, AB\perp b\) (αυτό είναι δυνατό επειδή \(a\παράλληλο b\) ). Σημειώστε \(C\in c\) έτσι ώστε \(BC\perp c\) , επομένως \(BC\perp b\) . Στη συνέχεια, \(AC\perp c\) και \(AC\perp a\) .
Πράγματι, εφόσον \(AB\perp b, BC\perp b\) , τότε το \(b\) είναι κάθετο στο επίπεδο \(ABC\) . Εφόσον \(c\parallel a\parallel b\) , τότε οι ευθείες \(a\) και \(c\) είναι επίσης κάθετες στο επίπεδο \(ABC\) , και επομένως οποιαδήποτε ευθεία από αυτό το επίπεδο, συγκεκριμένα, η γραμμή \ (AC\) .

Ως εκ τούτου προκύπτει ότι \(\γωνία BAC=\γωνία (\pi_1, \pi_2)\), \(\γωνία ABC=\γωνία (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\γωνία BCA=\γωνία (\pi_3, \pi_1)\). Αποδεικνύεται ότι το \(\τρίγωνο ABC\) είναι ορθογώνιο, που σημαίνει \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Απάντηση: 0,2

Εργασία 3 #2877

Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση

Δίνονται ευθείες \(a, b, c\) που τέμνονται σε ένα σημείο και η γωνία μεταξύ οποιωνδήποτε δύο από αυτές είναι ίση με \(60^\circ\) . Βρείτε το \(\cos^(-1)\alpha\) , όπου \(\alpha\) είναι η γωνία μεταξύ του επιπέδου που σχηματίζεται από τις ευθείες \(a\) και \(c\) και του επιπέδου που σχηματίζεται από τις ευθείες \(b\ ) και \(c\) . Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Αφήστε τις ευθείες να τέμνονται στο σημείο \(O\) . Εφόσον η γωνία μεταξύ οποιωνδήποτε δύο από αυτές είναι ίση με \(60^\circ\) , τότε και οι τρεις ευθείες δεν μπορούν να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ας σημειώσουμε ένα σημείο \(A\) στη γραμμή \(a\) και ας σχεδιάσουμε \(AB\perp b\) και \(AC\perp c\) . Επειτα \(\τρίγωνο AOB=\τρίγωνο AOC\)ως ορθογώνιο σε υποτείνουσα και οξεία γωνία. Ως εκ τούτου τα \(OB=OC\) και \(AB=AC\) .
Ας κάνουμε \(AH\perp (BOC)\) . Στη συνέχεια με το θεώρημα των τριών καθέτων \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Αφού \(AB=AC\) , λοιπόν \(\τρίγωνο AHB=\τρίγωνο AHC\)ως ορθογώνιο κατά μήκος της υποτείνουσας και του ποδιού. Επομένως, \(HB=HC\) . Επομένως, \(OH\) είναι η διχοτόμος της γωνίας \(BOC\) (καθώς το σημείο \(H\) απέχει ισάξια από τις πλευρές της γωνίας).

Σημειώστε ότι με αυτόν τον τρόπο έχουμε κατασκευάσει επίσης τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας που σχηματίζεται από το επίπεδο που σχηματίζεται από τις ευθείες \(a\) και \(c\) και το επίπεδο που σχηματίζεται από τις ευθείες \(b\) και \( γ\) . Αυτή είναι η γωνία \(ACH\) .

Ας βρούμε αυτή τη γωνιά. Αφού επιλέξαμε το σημείο \(A\) αυθαίρετα, ας το επιλέξουμε έτσι ώστε \(OA=2\) . Στη συνέχεια σε ορθογώνιο \(\τρίγωνο AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]Εφόσον το \(OH\) είναι διχοτόμος, τότε \(\γωνία HOC=30^\circ\) , επομένως, σε ένα ορθογώνιο \(\τρίγωνο HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]Στη συνέχεια από το ορθογώνιο \(\τρίγωνο ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Απάντηση: 3

Εργασία 4 #2910

Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση

Τα επίπεδα \(\pi_1\) και \(\pi_2\) τέμνονται κατά μήκος της ευθείας \(l\) , η οποία περιέχει τα σημεία \(M\) και \(N\) . Τα τμήματα \(MA\) και \(MB\) είναι κάθετα στην ευθεία \(l\) και βρίσκονται στα επίπεδα \(\pi_1\) και \(\pi_2\), αντίστοιχα, και \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Βρείτε το \(3\cos\alpha\) , όπου \(\alpha\) είναι η γωνία μεταξύ των επιπέδων \(\pi_1\) και \(\pi_2\) .

Το τρίγωνο \(AMN\) είναι ορθογώνιο, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , από όπου \ Το τρίγωνο \(BMN\) είναι ορθογώνιο, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , από όπου \ Γράφουμε το θεώρημα συνημιτόνου για το τρίγωνο \(AMB\): \ Επειτα \ Εφόσον η γωνία \(\άλφα\) μεταξύ των επιπέδων είναι οξεία και η \(\γωνία AMB\) αποδείχθηκε αμβλεία, τότε \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Επειτα \

Απάντηση: 1,25

Εργασία 5 #2911

Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση

Το \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) είναι ένα παραλληλεπίπεδο, το \(ABCD\) είναι ένα τετράγωνο με πλευρά \(a\) , το σημείο \(M\) είναι η βάση της κάθετης που έπεσε από το σημείο \(A_1\) στο επίπεδο \ ((ABCD)\) , επιπλέον, \(M\) είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου \(ABCD\) . Είναι γνωστό ότι \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων \((ABCD)\) και \((AA_1B_1B)\) . Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Κατασκευάζουμε το \(MN\) κάθετο στο \(AB\) όπως φαίνεται στο σχήμα.

Εφόσον το \(ABCD\) είναι ένα τετράγωνο με πλευρά \(a\) και \(MN\perp AB\) και \(BC\perp AB\) , τότε \(MN\παράλληλη BC\) . Εφόσον \(M\) είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου, τότε το \(M\) είναι το μέσο του \(AC\) , επομένως, το \(MN\) είναι ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑκαι \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
Το \(MN\) είναι η προβολή του \(A_1N\) στο επίπεδο \((ABCD)\) , και το \(MN\) είναι κάθετο στο \(AB\) , στη συνέχεια, από το θεώρημα των τριών καθέτων, \( Το A_1N\) είναι κάθετο στο \(AB \) και η γωνία μεταξύ των επιπέδων \((ABCD)\) και \(AA_1B_1B)\) είναι \(\γωνία A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \γωνία A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Απάντηση: 60

Εργασία 6 #1854

Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση

Στο τετράγωνο \(ABCD\) : \(O\) είναι το σημείο τομής των διαγωνίων. Το \(S\) δεν βρίσκεται στο επίπεδο του τετραγώνου, \(SO \perp ABC\) . Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων \(ASD\) και \(ABC\) εάν \(SO = 5\) και \(AB = 10\) .

Τα ορθογώνια τρίγωνα \(\τρίγωνο SAO\) και \(\τρίγωνο SDO\) είναι ίσα σε δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους (\(SO \perp ABC\) \(\Δεξιοβέλος\) \(\γωνία SOA = \γωνία SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , επειδή \(O\) είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου, \(SO\) είναι κοινή πλευρά) \(\Δεξί βέλος\) \(AS = SD\) \(\Δεξί βέλος\) \(\τρίγωνο ASD\) είναι ισοσκελές. Το σημείο \(K\) είναι το μέσο του \(AD\) , τότε \(SK\) είναι το ύψος στο τρίγωνο \(\triangle ASD\) , και \(OK\) είναι το ύψος στο τρίγωνο \ (AOD\) Το επίπεδο \(\ Rightarrow\) \(SOK\) είναι κάθετο στα επίπεδα \(ASD\) και \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\γωνία SKO\) είναι μια γραμμική γωνία ίση στην απαιτούμενη διεδρική γωνία.

Στο \(\τρίγωνο SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)Το \(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) είναι ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Απάντηση: 45

Εργασία 7 #1855

Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση

Τα ορθογώνια τρίγωνα \(\τρίγωνο SAO\) , \(\τρίγωνο SDO\) , \(\τρίγωνο SOB\) και \(\τρίγωνο SOC\) είναι ίσα σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία (\(SO \perp ABC \) \(\Δεξί βέλος\) \(\γωνία SOA = \γωνία SOD = \γωνία SOB = \γωνία SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , επειδή \(O\) είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου, \(SO\) είναι η κοινή πλευρά) \(\Δεξί βέλος\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Δεξί βέλος\) Τα \(\triangle ASD\) και \(\triangle BSC\) είναι ισοσκελές. Το σημείο \(K\) είναι το μέσο του \(AD\) , τότε \(SK\) είναι το ύψος στο τρίγωνο \(\triangle ASD\) , και \(OK\) είναι το ύψος στο τρίγωνο \ (AOD\) \(\ Δεξιό βέλος\) το επίπεδο \(SOK\) είναι κάθετο στο επίπεδο \(ASD\) . Το σημείο \(L\) είναι το μέσο του \(BC\) , τότε \(SL\) είναι το ύψος στο τρίγωνο \(\τρίγωνο BSC\) , και \(OL\) είναι το ύψος στο τρίγωνο \ (BOC\) \(\ Δεξιό βέλος\) το επίπεδο \(SOL\) (γνωστός και ως το επίπεδο \(SOK\) ) είναι κάθετο στο επίπεδο \(BSC\) . Έτσι, λαμβάνουμε ότι η \(\γωνία KSL\) είναι μια γραμμική γωνία ίση με την επιθυμητή διεδρική γωνία.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Δεξί βέλος\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – τα ύψη είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα, το οποίο μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Μπορεί να φανεί ότι \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Δεξί βέλος\) για τρίγωνο \(\τρίγωνο KSL\) θεώρημα αντίστροφηςΠυθαγόρειο \(\Δεξίβέλος\) \(\τρίγωνο KSL\) – ορθογώνιο τρίγωνο \(\Δεξιοβέλος\) \(\γωνία KSL = 90^\circ\) .

Απάντηση: 90

Η προετοιμασία των μαθητών για τις εξετάσεις στα μαθηματικά, κατά κανόνα, ξεκινά με την επανάληψη των βασικών τύπων, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων. Παρά το γεγονός ότι αυτή η ενότητα της γεωμετρίας καλύπτεται επαρκώς λεπτομερώς στο πλαίσιο του σχολικό πρόγραμμα σπουδών, πολλοί απόφοιτοι χρειάζεται να επαναλάβουν τη βασική ύλη. Κατανοώντας πώς να βρουν τη γωνία μεταξύ των επιπέδων, οι μαθητές γυμνασίου θα είναι σε θέση να υπολογίσουν γρήγορα τη σωστή απάντηση κατά την επίλυση του προβλήματος και να υπολογίζουν στη λήψη αξιοπρεπών βαθμολογιών με βάση την ενιαία κρατική εξέταση.

Βασικές αποχρώσεις

Για να μην προκαλεί δυσκολίες το ερώτημα πώς να βρείτε τη διεδρική γωνία, σας συνιστούμε να ακολουθήσετε τον αλγόριθμο λύσης που θα σας βοηθήσει να αντιμετωπίσετε τις εργασίες της εξέτασης.

Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε τη γραμμή κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα.

Στη συνέχεια, σε αυτή τη γραμμή πρέπει να επιλέξετε ένα σημείο και να σχεδιάσετε δύο κάθετες σε αυτό.

Το επόμενο βήμα είναι η εύρεση τριγωνομετρική συνάρτησηδιεδρική γωνία, η οποία σχηματίζεται από κάθετες. Είναι πιο βολικό να το κάνετε αυτό με τη βοήθεια του τριγώνου που προκύπτει, μέρος του οποίου είναι η γωνία.

Η απάντηση θα είναι η τιμή της γωνίας ή η τριγωνομετρική της συνάρτηση.

Η προετοιμασία για το τεστ εξετάσεων μαζί με το Shkolkovo είναι το κλειδί της επιτυχίας σας

Κατά τη διάρκεια του μαθήματος την προηγούμενη μέρα περνώντας τις εξετάσειςΠολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της εύρεσης ορισμών και τύπων που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ 2 επιπέδων. Ένα σχολικό εγχειρίδιο δεν είναι πάντα διαθέσιμο ακριβώς όταν χρειάζεται. Και να βρεις απαραίτητες φόρμουλεςκαι παραδείγματα της σωστής εφαρμογής τους, συμπεριλαμβανομένης της εύρεσης της γωνίας μεταξύ των αεροπλάνων στο Διαδίκτυο, μερικές φορές χρειάζεται πολύς χρόνος.

Η μαθηματική πύλη "Shkolkovo" προσφέρει νέα προσέγγισηγια προετοιμασία για τις κρατικές εξετάσεις. Τα μαθήματα στον ιστότοπό μας θα βοηθήσουν τους μαθητές να εντοπίσουν τις πιο δύσκολες ενότητες για τον εαυτό τους και να καλύψουν τα κενά στη γνώση.

Ετοιμάσαμε και παρουσιάσαμε με σαφήνεια όλο το απαραίτητο υλικό. Βασικοί ορισμοίκαι οι τύποι παρουσιάζονται στην ενότητα "Θεωρητική αναφορά".

Για την καλύτερη αφομοίωση της ύλης προτείνουμε και την εξάσκηση των αντίστοιχων ασκήσεων. Μεγάλη επιλογή εργασιών ποικίλους βαθμούςΗ πολυπλοκότητα, για παράδειγμα, στις, παρουσιάζεται στην ενότητα "Κατάλογος". Όλες οι εργασίες περιέχουν έναν λεπτομερή αλγόριθμο για την εύρεση της σωστής απάντησης. Ο κατάλογος των ασκήσεων στον ιστότοπο συμπληρώνεται και ενημερώνεται συνεχώς.

Εξασκούμενοι στην επίλυση προβλημάτων στα οποία απαιτείται η εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο επιπέδων, οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να αποθηκεύσουν οποιαδήποτε εργασία στο διαδίκτυο στα "Αγαπημένα". Χάρη σε αυτό, θα μπορέσουν να επιστρέψουν σε αυτόν. απαιτούμενο ποσόφορές και να συζητήσει την πορεία της απόφασής του με δασκάλα σχολείουή δάσκαλος.

Αυτό το άρθρο αφορά τη γωνία μεταξύ των επιπέδων και τον τρόπο εύρεσης της. Αρχικά, δίνεται ο ορισμός της γωνίας μεταξύ δύο επιπέδων και δίνεται μια γραφική απεικόνιση. Μετά από αυτό, αποσυναρμολογήθηκε η αρχή της εύρεσης της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων με τη μέθοδο συντεταγμένων, λήφθηκε ένας τύπος που επιτρέπει τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων επιπέδων σύμφωνα με γνωστές συντεταγμένεςκανονικά διανύσματα αυτών των επιπέδων. Συμπερασματικά, δείχνει λεπτομερείς λύσειςτυπικές εργασίες.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Γωνία μεταξύ επιπέδων - ορισμός.

Ας δώσουμε επιχειρήματα που θα μας επιτρέψουν να προσεγγίσουμε σταδιακά τον ορισμό της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων.

Ας μας δοθούν δύο τεμνόμενα επίπεδα και . Τα επίπεδα αυτά τέμνονται σε ευθεία γραμμή, την οποία συμβολίζουμε με το γράμμα c. Ας κατασκευάσουμε ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Μ της ευθείας c και είναι κάθετο στην ευθεία c. Σε αυτήν την περίπτωση, το επίπεδο θα τέμνει τα επίπεδα και . Να συμβολίσετε την ευθεία κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα και ως α, και την ευθεία κατά την οποία τέμνονται τα επίπεδα και ως β. Προφανώς, οι ευθείες α και β τέμνονται στο σημείο Μ.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου M στην ευθεία c από την οποία διέρχεται το επίπεδο.

Ας κατασκευάσουμε ένα επίπεδο κάθετο στην ευθεία c και διαφορετικό από το επίπεδο . Το επίπεδο τέμνεται από τα επίπεδα και κατά μήκος ευθειών, τις οποίες συμβολίζουμε με a 1 και b 1, αντίστοιχα.

Από τη μέθοδο κατασκευής των επιπέδων και προκύπτει ότι οι ευθείες a και b είναι κάθετες στην ευθεία c, και οι ευθείες a 1 και b 1 είναι κάθετες στην ευθεία c. Εφόσον οι ευθείες a και a 1 βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είναι κάθετες στην ευθεία c, είναι παράλληλες. Ομοίως, οι ευθείες b και b 1 βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είναι κάθετες στην ευθεία c, επομένως είναι παράλληλες. Έτσι, είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί μια παράλληλη μεταφορά του επιπέδου στο επίπεδο, στην οποία η ευθεία a 1 συμπίπτει με την ευθεία a και η ευθεία b με την ευθεία b 1. Επομένως, η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών a 1 και b 1 είναι ίση με τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών a και b .

Αυτό αποδεικνύει ότι η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b που βρίσκονται στα τεμνόμενα επίπεδα και δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου M από το οποίο διέρχεται το επίπεδο. Επομένως, είναι λογικό να ληφθεί αυτή η γωνία ως η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων.

Τώρα μπορείτε να εκφράσετε τον ορισμό της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων και .

Ορισμός.

Η γωνία μεταξύ δύο επιπέδων που τέμνονται σε ευθεία γραμμή καιείναι η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών a και b, κατά μήκος της οποίας τα επίπεδα και τέμνονται με το επίπεδο που είναι κάθετο στην ευθεία c.

Ο ορισμός της γωνίας μεταξύ δύο επιπέδων μπορεί να δοθεί λίγο διαφορετικά. Αν στην ευθεία c, κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα, σημειώστε το σημείο M και χαράξτε ευθείες μέσα από αυτό a και b, κάθετες στην ευθεία c και βρίσκονται στα επίπεδα και, αντίστοιχα, τότε η γωνία μεταξύ των ευθειών a και b είναι η γωνία μεταξύ των επιπέδων και. Συνήθως, στην πράξη, τέτοιες κατασκευές εκτελούνται για να ληφθεί η γωνία μεταξύ των επιπέδων.

Δεδομένου ότι η γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών δεν υπερβαίνει το , από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι το μέτρο βαθμού της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων εκφράζεται με πραγματικός αριθμόςαπό το μεσοδιάστημα. Σε αυτή την περίπτωση, ονομάζονται τεμνόμενα επίπεδα κάθετοςαν η γωνία μεταξύ τους είναι ενενήντα μοίρες. Η γωνία μεταξύ των παράλληλων επιπέδων είτε δεν προσδιορίζεται καθόλου, είτε θεωρείται ίση με το μηδέν.

Εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων.

Συνήθως, όταν βρίσκετε τη γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε πρόσθετες κατασκευές για να δείτε τις τεμνόμενες γραμμές, η γωνία μεταξύ των οποίων είναι ίση με την επιθυμητή γωνία και στη συνέχεια να συνδέσετε αυτή τη γωνία με τα αρχικά δεδομένα χρησιμοποιώντας σύμβολα ισότητας. σημεία ομοιότητας, το θεώρημα συνημιτόνου ή τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης της γωνίας. Στο μάθημα της γεωμετρίας Λύκειοσυμβαίνουν παρόμοιες εργασίες.

Για παράδειγμα, ας δώσουμε μια λύση στο πρόβλημα Γ2 από την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά για το 2012 (η συνθήκη έχει αλλάξει σκόπιμα, αλλά αυτό δεν επηρεάζει την αρχή της λύσης). Σε αυτό, ήταν απλώς απαραίτητο να βρεθεί η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων.

Παράδειγμα.

Λύση.

Αρχικά, ας κάνουμε ένα σχέδιο.

Ας κάνουμε επιπλέον κατασκευές για να «δούμε» τη γωνία μεταξύ των επιπέδων.

Αρχικά, ας ορίσουμε μια ευθεία γραμμή κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα ABC και BED 1. Το σημείο Β είναι ένα από τα κοινά τους σημεία. Βρείτε το δεύτερο κοινό σημείο αυτών των επιπέδων. Οι ευθείες DA και D 1 E βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ADD 1, και δεν είναι παράλληλες και, επομένως, τέμνονται. Από την άλλη πλευρά, η ευθεία DA βρίσκεται στο επίπεδο ABC και η ευθεία D 1 E βρίσκεται στο επίπεδο BED 1, επομένως, το σημείο τομής των γραμμών DA και D 1 E θα είναι κοινό σημείο των επιπέδων ABC και ΚΡΕΒΑΤΙ 1. Έτσι, συνεχίζουμε τις ευθείες DA και D 1 E μέχρι να τέμνονται, συμβολίζουμε το σημείο τομής τους με το γράμμα F. Τότε BF είναι η ευθεία κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα ABC και BED 1.

Απομένει να κατασκευαστούν δύο ευθείες που βρίσκονται στα επίπεδα ABC και BED 1, αντίστοιχα, που διέρχονται από ένα σημείο της ευθείας BF και κάθετα στην ευθεία BF - η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών, εξ ορισμού, θα είναι ίση με την επιθυμητή γωνία μεταξύ των αεροπλάνα ABC και BED 1 . Ας το κάνουμε.

Τελεία Το Α είναι η προβολή του σημείου Ε στο επίπεδο ABC. Σχεδιάστε μια ευθεία που τέμνει σε ορθή γωνία την ευθεία BF στο σημείο M. Τότε η ευθεία ΑΜ είναι η προβολή της ευθείας ΕΜ στο επίπεδο ABC, και από το θεώρημα των τριών καθέτων.

Έτσι, η επιθυμητή γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC και BED 1 είναι .

Μπορούμε να προσδιορίσουμε το ημίτονο, το συνημίτονο ή την εφαπτομένη αυτής της γωνίας (και επομένως την ίδια τη γωνία) από ένα ορθογώνιο τρίγωνο AEM αν γνωρίζουμε τα μήκη των δύο πλευρών του. Από τη συνθήκη είναι εύκολο να βρείτε το μήκος ΑΕ: αφού το σημείο Ε διαιρεί την πλευρά ΑΑ 1 σε σχέση με το 4 προς 3, μετρώντας από το σημείο Α και το μήκος της πλευράς ΑΑ 1 είναι 7, τότε ΑΕ \u003d 4. Ας βρούμε το μήκος του ΑΜ.

Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABF με ορθή γωνία Α, όπου AM είναι το ύψος. Με συνθήκη ΑΒ=2. Μπορούμε να βρούμε το μήκος της πλευράς AF από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων DD 1 F και AEF:

Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, από το τρίγωνο ABF βρίσκουμε . Βρίσκουμε το μήκος AM μέσω της περιοχής του τριγώνου ABF: στη μία πλευρά, το εμβαδόν του τριγώνου ABF είναι ίσο με , αφ 'ετέρου , όπου .

Έτσι, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΜ έχουμε .

Τότε η επιθυμητή γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC και BED 1 είναι (σημειώστε ότι ).

Απάντηση:

Σε ορισμένες περιπτώσεις, για να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων, είναι βολικό να καθορίσετε το Oxyz και να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο συντεταγμένων. Ας σταματήσουμε σε αυτό.

Ας ορίσουμε το καθήκον: να βρούμε τη γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων και . Ας υποδηλώσουμε την επιθυμητή γωνία ως .

Υποθέτουμε ότι σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων των τεμνόμενων επιπέδων και ή είναι δυνατό να τις βρούμε. Αφήνω είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου, και είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου . Ας δείξουμε πώς βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων επιπέδων και μέσω των συντεταγμένων των κανονικών διανυσμάτων αυτών των επιπέδων.

Ας συμβολίσουμε την ευθεία κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα και ως c . Μέσω του σημείου Μ στην ευθεία c σχεδιάζουμε ένα επίπεδο κάθετο στην ευθεία c. Το επίπεδο τέμνει τα επίπεδα και κατά μήκος των ευθειών a και b, αντίστοιχα, οι ευθείες a και b τέμνονται στο σημείο M. Εξ ορισμού, η γωνία μεταξύ τεμνόμενων επιπέδων και είναι ίση με τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών a και b.

Ας αφήσουμε κατά μέρος από το σημείο M στο επίπεδο τα κανονικά διανύσματα και των επιπέδων και . Σε αυτήν την περίπτωση, το διάνυσμα βρίσκεται σε μια ευθεία που είναι κάθετη στην ευθεία α και το διάνυσμα βρίσκεται σε μια ευθεία που είναι κάθετη στην ευθεία β. Έτσι, στο επίπεδο, το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας a, είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας b.

Στο άρθρο Εύρεση της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών, λάβαμε έναν τύπο που σας επιτρέπει να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων. Έτσι, το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών a και b, και, κατά συνέπεια, και συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων επιπέδωνκαι βρίσκεται από τον τύπο , όπου και είναι τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων και, αντίστοιχα. Στη συνέχεια υπολογίζεται ως .

Ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων.

Παράδειγμα.

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, στο οποίο AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 και το σημείο E διαιρεί την πλευρά AA 1 σε αναλογία 4 προς 3, μετρώντας από το σημείο A . Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC και BED 1.

Λύση.

Από τις πλευρές κυβοειδέςσε μία κορυφή είναι κατά ζεύγη κάθετοι, είναι βολικό να εισαχθεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz ως εξής: η αρχή είναι ευθυγραμμισμένη με την κορυφή C και οι άξονες συντεταγμένων Ox, Oy και Oz κατευθύνονται κατά μήκος των πλευρών CD, CB και CC 1, αντίστοιχα.

Η γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC και BED 1 μπορεί να βρεθεί μέσω των συντεταγμένων των κανονικών διανυσμάτων αυτών των επιπέδων χρησιμοποιώντας τον τύπο , όπου και είναι τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων ABC και BED 1, αντίστοιχα. Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων.