Οι μέσες τιμές αντιπροσωπεύουν τον δεύτερο τύπο παραγόμενων τιμών που χρησιμοποιούνται ευρέως ιατρικές στατιστικές. Η μέση τιμή είναι ένα συνοπτικό, γενικευτικό χαρακτηριστικό ενός στατιστικού πληθυσμού για μια συγκεκριμένη αλλαγή ποσοτικό χαρακτηριστικό(μέσο ύψος, μέσο βάρος, ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΗΛΙΚΙΑΣαποθανών). Η μέση τιμή αντικατοπτρίζει τη γενική καθοριστική ιδιότητα ολόκληρου του στατιστικού πληθυσμού στο σύνολό του, αντικαθιστώντας τον με έναν αριθμό με την τυπική τιμή ενός δεδομένου χαρακτηριστικού. Η μέση τιμή ανεβαίνει, εξασθενεί τυχαίες αποκλίσειςμεμονωμένες παρατηρήσεις προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση και χαρακτηρίζει τη σταθερή ιδιότητα των φαινομένων.

Στην ιατρική, οι μέσες τιμές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον χαρακτηρισμό φυσική ανάπτυξη, βασικά ανθρωπομετρικά χαρακτηριστικά (μορφολογικά και λειτουργικά: ύψος, βάρος, δυναμομετρία κ.λπ.) και τη δυναμική τους (μέσες τιμές αύξησης ή μείωσης ενός χαρακτηριστικού). Η ανάπτυξη αυτών των δεικτών και των συνδυασμών τους με τη μορφή προτύπων έχει μεγάλη σημασία πρακτική σημασίανα αναλύσει την υγεία του πληθυσμού (ιδιαίτερα των παιδιών και των αθλητών). Οι επιδημιολόγοι υπολογίζουν τον μέσο αριθμό ασθενειών σε μια εστία, την κατανομή των εστιών ανά χρόνο και τον μέσο χρόνο για απολύμανση.

Στα δημογραφικά και ιατρική και κοινωνική έρευναυπολογίζεται: μέση διάρκεια μελλοντική ζωή, μέση ηλικία θανάτων, μέσος πληθυσμός κ.λπ.

Σε πειραματικές εργαστηριακές μελέτες, χρησιμοποιούνται επίσης μέσες τιμές: θερμοκρασία, αριθμός παλμών ανά λεπτό, επίπεδο αρτηριακής πίεσης, μέση ταχύτηταή ο μέσος χρόνος αντίδρασης σε ένα συγκεκριμένο ερέθισμα, τα μέσα επίπεδα βιοχημικών στοιχείων στο αίμα κ.λπ.

Τόσο οι στατιστικοί συντελεστές όσο και οι μέσοι όροι είναι πιθανολογικές τιμές, αλλά υπάρχουν σημαντικές διαφορές μεταξύ τους:

• 1) Στατιστικοί συντελεστέςχαρακτηρίζουν ένα χαρακτηριστικό που εμφανίζεται μόνο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα του πληθυσμού (το λεγόμενο εναλλακτικό χαρακτηριστικό), το οποίο μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί (γέννηση, θάνατος, ασθένεια). Οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν χαρακτηριστικά που είναι εγγενή σε ολόκληρο τον πληθυσμό, αλλά σε σε διάφορους βαθμούς(βάρος, ύψος, ημέρες θεραπείας).
• 2) Οι στατιστικοί συντελεστές χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση ποιοτικών (αποδοτικών ή περιγραφικών) χαρακτηριστικών και οι μέσοι συντελεστές χρησιμοποιούνται για ποικίλα ποσοτικά χαρακτηριστικά, όπου μιλάμε γιασχετικά με τις διαφορές στις αριθμητικές διαστάσεις ενός χαρακτηριστικού και όχι για το γεγονός της παρουσίας ή της απουσίας του.

Το κύριο πλεονέκτημα των μέσων τιμών είναι η τυπικότητά τους - ο μέσος όρος δίνει αμέσως γενικά χαρακτηριστικάπρωτοφανής. Από αυτή την άποψη, μπορούν να διακριθούν δύο κύριες απαιτήσεις για τον υπολογισμό των μέσων τιμών:

• - ομοιογένεια του πληθυσμού.
• - επαρκής αριθμός παρατηρήσεων.

Οποιαδήποτε κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής, η οποία δεν υπακούει απαραίτητα σε έναν συγκεκριμένο νόμο κατανομής πιθανότητας, χαρακτηρίζεται από παραμέτρους κατανομής: μέση τιμή (M), τυπική απόκλιση (), συντελεστής διακύμανσης (Cv) κ.λπ.

Για παράδειγμα, κατά τη μελέτη της κατανομής 10 ασθενών ανάλογα με τις περιόδους θεραπείας, λαμβάνουμε μια σειρά αριθμητικών τιμών: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - μια σειρά χωρίς σειρά.

Οι παράμετροι κατανομής μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας αυτήν τη σειρά. Ωστόσο, δεν αρκεί ο χαρακτηρισμός μιας σειράς με πολλές παραμέτρους· είναι απαραίτητο να διερευνηθεί αν υπάρχει στατιστικές σειρέςοποιοδήποτε σταθερό μοτίβο. Αλλά χρησιμοποιώντας μια σειρά χωρίς σειρά, είναι δύσκολο να ανιχνευθεί ένα πιθανό μοτίβο, επομένως δημιουργούνται σειρές κατάταξης.

Μια σειρά στην οποία δίνεται η κατανομή των μονάδων του υπό μελέτη πληθυσμού σύμφωνα με τις τιμές ενός ποικίλου χαρακτηριστικού ονομάζεται μεταβλητή. Με άλλα λόγια - σειρά παραλλαγής - σειρά ομοιογενείς ποσότητες, ταξινομημένα σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά, όπου οι επιλογές (ομάδες επιλογών) διαφέρουν μεταξύ τους κατά ένα ορισμένο ποσό που ονομάζεται διάστημα (i).

Έτσι, η κατανομή των ασθενών ανά περίοδο θεραπείας μπορεί να παρουσιαστεί ως εξής:

	13 14 17 18 20 22 23 25 32 38
	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ένα μεταβαλλόμενο, μεταβαλλόμενο σημάδι του φαινομένου που μελετάται (ύψος, βάρος κ.λπ.), του αριθμητική αξίακαλούμενη επιλογή (V).

Ο αριθμός των περιπτώσεων παρατήρησης ενός δεδομένου χαρακτηριστικού, που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται μια δεδομένη παραλλαγή, ονομάζονται συχνότητες (p).

Η σειρά παραλλαγών μπορεί να είναι:

• 1) ανάλογα με το φαινόμενο που μελετάται:
  • - διακριτό (ασυνεχές) - σχηματίζεται με βάση τα συνεχώς μεταβαλλόμενα χαρακτηριστικά, οι τιμές των οποίων εκφράζονται μόνο σε ακέραιους αριθμούς (ρυθμός παλμού, αριθμός μαθητών σε μια ομάδα κ.λπ.)
  • - διάστημα (συνεχές) - σχηματίζονται συνήθως με βάση χαρακτηριστικά που μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή και εκφράζονται με οποιονδήποτε αριθμό (ύψος, βάρος κ.λπ.)
• 2) ανάλογα με τον αριθμό των παρατηρήσεων:
  • - απλή - η επιλογή αντιπροσωπεύεται από μία αριθμητική τιμή.
  • - ομαδοποιούνται - οι επιλογές ομαδοποιούνται σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό. Για παράδειγμα, κατά τη μελέτη της φυσικής ανάπτυξης, η ομαδοποίηση μπορεί να γίνει κατά βάρος: 40-44 κιλά. 45-49 κιλά. και τα λοιπά.
• 3) ανάλογα με τη σειρά διευθέτησης, η επιλογή:
  • - αύξουσα - οι επιλογές ταξινομούνται με αύξουσα σειρά.
  • - φθίνουσα - οι επιλογές ταξινομούνται με φθίνουσα σειρά.

Μια ξεχωριστή σειρά παραλλαγών μπορεί να περιλαμβάνει ταυτόχρονα πολλά χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, απλή, φθίνουσα, ασυνεχής. ή - ομαδοποιημένος, αυξανόμενος, συνεχής.

Οι τύποι μέσων όρων που χρησιμοποιούνται συνήθως στις ιατρικές στατιστικές είναι ο διάμεσος, ο τρόπος λειτουργίας και ο αριθμητικός μέσος όρος. Άλλοι τύποι μέσων όρων: αρμονικός μέσος όρος, τετραγωνικός μέσος όρος, κυβικός μέσος όρος, γεωμετρικός μέσος όρος και άλλοι - χρησιμοποιούνται μόνο σε ειδικές μελέτες.

Το Median (Me) είναι η μεσαία, κεντρική επιλογή, που χωρίζει τη σειρά παραλλαγής στη μέση σε δύο ίσα μέρη.

Για παράδειγμα, εάν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι 33, η διάμεσος θα είναι η επιλογή που κατατάσσεται στην 17η θέση, αφού υπάρχουν 16 παρατηρήσεις και στις δύο πλευρές της.

Σε μια σειρά με ζυγό αριθμό παρατηρήσεων, υπάρχουν δύο τιμές στο κέντρο. Εάν είναι πανομοιότυπες σε αξία, δεν υπάρχει δυσκολία στον κατά προσέγγιση προσδιορισμό της διάμεσης τιμής, αλλά εάν οι αριθμητικές τιμές δύο μεγεθών είναι διαφορετικές, τότε το μισό άθροισμά τους λαμβάνεται ως διάμεσος.

Η λειτουργία (Mo) είναι η πιο συχνά εμφανιζόμενη ή πιο συχνά επαναλαμβανόμενη τιμή ενός χαρακτηριστικού. Όταν μια λειτουργία βρίσκεται περίπου σε μια απλή (όχι ομαδοποιημένη) σειρά, ορίζεται ως παραλλαγή με ο μεγαλύτερος αριθμόςσυχνότητα

Η διαφορά μεταξύ του μέσου όρου και του τρόπου από τον αριθμητικό μέσο όρο είναι ότι με έναν απλοποιημένο, κατά προσέγγιση ορισμό, αυτές οι ποσότητες μπορούν να βρεθούν εύκολα και γρήγορα από τη θέση τους στη σειρά διακύμανσης (μέση θέσης), επιπλέον, δεν εξαρτώνται από τις τιμές των ακραίων παραλλαγών ή στον βαθμό διασποράς της σειράς.

Ο αριθμητικός μέσος όρος (M - από τα Λατινικά Μέσα) χρησιμοποιείται συχνότερα στις ιατρικές στατιστικές. Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να είναι απλός ή σταθμισμένος.

Ένα παράδειγμα απλού αριθμητικού μέσου όρου είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης του βάρους, για παράδειγμα, 6 ατόμων:

	59 60 61 62 63 64 = 369
	1 1 1 1 1 1 p = n = 6

Έτσι, ο αριθμητικός απλός μέσος όρος προκύπτει ως το άθροισμα των ποσοτήτων (επιλογών) διαιρούμενο με τον αριθμό τους. Ο απλός αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να υπολογιστεί μόνο σε περιπτώσεις όπου κάθε τιμή (παραλλαγή) αντιπροσωπεύεται από μία μόνο παρατήρηση, όταν δηλαδή οι συχνότητες είναι ίσες με τη μονάδα.

Εάν οι συχνότητες της παραλλαγής είναι μεγαλύτερες από μία, ο απλός μέσος όρος δεν ισχύει - εδώ είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος, ο οποίος προκύπτει ως το άθροισμα των γινομένων της παραλλαγής με τις αντίστοιχες συχνότητες, διαιρούμενο με συνολικός αριθμόςπαρατηρήσεις.

Για παράδειγμα: ο ρυθμός σφυγμού (παλμοί ανά λεπτό) σε 18 μαθητές μετά από μια εξέταση ατροπίνης ήταν: 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

	80 84 86 88 90 92 96 100 102
	1 1 3 1 2 4 2 2 2 p = n = 18
	80 84 258 88 180 358 192 200 204 Vp = 1644

Ο απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ειδική περίπτωσησταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος, επομένως ο αριθμητικός μέσος σταθμισμένος τύπος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του απλού αριθμητικού μέσου όρου. ΣΕ η τελευταία περίπτωσηοι συχνότητες είναι ίσες με ένα και ο πολλαπλασιασμός δεν είναι απαραίτητος.

Και οι τρεις μέσες τιμές (Mo, Me, M) συμπίπτουν (ή είναι πρακτικά πολύ κοντά) σε μια συμμετρική σειρά παραλλαγής: ο αριθμητικός μέσος όρος αντιστοιχεί στο μέσο της σειράς (σε μια συμμετρική σειρά, αποκλίσεις προς μια αύξηση και προς μια μείωση είναι αντίστοιχα ισοσκελισμένη). διάμεσος (όπως κεντρική αξία) αντιστοιχεί επίσης στο μέσο της σειράς. η λειτουργία (ως η πιο κορεσμένη τιμή) πέφτει το ΨΗΛΟΤΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟσειρά, που βρίσκεται επίσης στο κέντρο της. Επομένως, για όλες τις συμμετρικές σειρές δεν χρειάζεται να υπολογιστούν άλλοι μέσοι όροι εκτός από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου:

• 1. Η μέση τιμή είναι ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό ενός στατιστικού πληθυσμού για ένα συγκεκριμένο μεταβαλλόμενο ποσοτικό χαρακτηριστικό· αντικατοπτρίζει τη γενική καθοριστική ιδιότητα ολόκληρου του στατιστικού πληθυσμού στο σύνολό του, αντικαθιστώντας τον με έναν αριθμό με την τυπική τιμή ενός δεδομένου χαρακτηριστικού. Η μέση τιμή ισοπεδώνεται, αποδυναμώνει τις τυχαίες αποκλίσεις μεμονωμένων παρατηρήσεων προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση και χαρακτηρίζει τη σταθερή ιδιότητα των φαινομένων.
• 2. Το άθροισμα των αποκλίσεων από τον αριθμητικό μέσο όρο είναι ίσο με 0.
• 3. Σε μια αυστηρά συμμετρική σειρά παραλλαγής, ο αριθμητικός μέσος όρος καταλαμβάνει τη μεσαία θέση και ισούται με Mo, Me.

Αριθμητικούς μέσους όρους που λαμβάνονται από μόνοι τους χωρίς πρόσθετες τεχνικέςΟι εκτιμήσεις έχουν συχνά περιορισμένη αξία επειδή δεν αντικατοπτρίζουν τον βαθμό διασποράς (διαφορετικότητα) της σειράς. Μέσες τιμές ίσου μεγέθους μπορούν να ληφθούν από τις σειρές με ποικίλους βαθμούςδιασκόρπιση. Οι μέσοι όροι είναι οι ποσότητες γύρω από τις οποίες είναι διάσπαρτα διάφορες επιλογές, και όσο πιο κοντά είναι οι μεμονωμένες επιλογές μεταξύ τους, τόσο μικρότερη είναι η διασπορά της σειράς, τόσο πιο χαρακτηριστική είναι η μέση τιμή.

Μια κατά προσέγγιση μέθοδος για την αξιολόγηση της ποικιλομορφίας μιας σειράς μπορεί να είναι ο προσδιορισμός του πλάτους. Πλάτος - η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και χαμηλότερη τιμήεπιλογή:

A = Vmax - Vmin

Αλλά το πλάτος δεν λαμβάνει υπόψη τις ενδιάμεσες τιμές εντός της σειράς· επιπλέον, οι διαστάσεις του μπορεί επίσης να εξαρτώνται από τον αριθμό των παρατηρήσεων.

Το κύριο μέτρο για την αξιολόγηση της ποικιλομορφίας μιας σειράς είναι η τυπική απόκλιση ().

Για να υπολογίσετε το σίγμα χρειάζεστε:

προσδιορίζει τις αποκλίσεις (δ) από το μέσο όρο (V - M).

τετράγωνο των αποκλίσεων (d 2).

• 3) πολλαπλασιάστε τα τετράγωνα των αποκλίσεων με τις συχνότητες (d 2p).
• 4) άθροισμα των γινομένων των τετραγωνικών αποκλίσεων και συχνοτήτων.
• 5) διαιρέστε αυτό το ποσό με τον αριθμό των παρατηρήσεων.
• 6) εξάγετε την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου.

Χρησιμοποιώντας το sigma, μπορείτε να καθορίσετε τον βαθμό τυπικότητας του μέσου όρου, τα όρια διασποράς μιας σειράς, τα όρια διακυμάνσεων γύρω από το μέσο όρο των μεμονωμένων παραλλαγών. Όσο μικρότερο είναι το σίγμα, τόσο μικρότερη είναι η διασπορά της σειράς, τόσο πιο ακριβής και τυπική είναι η μέση τιμή που υπολογίζεται για αυτήν τη σειρά.

Η χρήση του sigma καθιστά δυνατή την αξιολόγηση και σύγκριση της ποικιλομορφίας πολλών ομοιογενείς σειρέςκατανομή, αφού είναι ονομαστική ποσότητα και εκφράζεται απόλυτος αριθμόςσε μονάδες του πληθυσμού που μελετάται (cm, kg, mg/l κ.λπ.). Στην περίπτωση αυτή λαμβάνεται υπόψη το απόλυτο μέγεθος του σίγμα. Για παράδειγμα, όταν συγκρίνετε δύο σειρές κατανομής με βάση το βάρος, υπό την προϋπόθεση ότι οι μέσοι όροι είναι κοντά σε επίπεδο, αλλά το σίγμα στη μία σειρά θα είναι ± 5,6 kg και στην άλλη ± 2,1 kg. - η δεύτερη σειρά είναι λιγότερο διάσπαρτη και η μέση της είναι πιο χαρακτηριστική.

Κατά την αξιολόγηση της ποικιλομορφίας των ετερογενών σειρών (για παράδειγμα, χαρακτηριστικά όπως το βάρος και το ύψος), είναι αδύνατη η άμεση σύγκριση μεγεθών σίγμα. Σε αυτή την περίπτωση, για να καθορίσουν τον βαθμό σχετικής ποικιλομορφίας της σειράς, καταφεύγουν σε μια παράγωγη τιμή - τον συντελεστή μεταβλητότητας (παραλλαγή), που είναι μια σχετική τιμή, εκφρασμένη σε % και συμβολίζεται με το γράμμα Cv (V).

Για παράδειγμα, κατά τη μελέτη της σωματικής ανάπτυξης των ανδρών μαθητών του πρώτου έτους, λήφθηκαν οι ακόλουθοι δείκτες: M (βάρος) = 67,5 kg. Μ (ύψος) = 178,1 εκ. Αντίστοιχα = ± 2,8 κιλά. και ± 6,2 εκ. Η τυπική απόκλιση ύψους είναι μεγαλύτερη από 2 φορές το σίγμα σε βάρος.

Ο συντελεστής διακύμανσης για το ύψος είναι μικρότερος από ό, τι για το βάρος, δηλαδή η ανάπτυξη αποδείχθηκε μεγαλύτερη σταθερό σημάδιπαρά βάρος.

Υπάρχουν τρεις βαθμοί διαφορετικότητας στους συντελεστές διακύμανσης:

έως 10% - ασθενής ποικιλομορφία.

10 - 20% - μέση ποικιλομορφία.

περισσότερο από 20% - ισχυρή ποικιλομορφία.

Η ίδια μέθοδος υπολογισμού του συντελεστή διαφοροποίησης είναι επίσης κατάλληλη για την ανάλυση ομοιογενών σειρών, στις οποίες οι μέσες τιμές ποικίλλουν πολύ σε μέγεθος, καθώς και για την εκτίμηση μιας μεμονωμένης, μεμονωμένης σειράς.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού του αριθμητικού μέσου όρου (M); μέση τιμή τετραγωνική απόκλιση() συντελεστής διακύμανσης (Cv).

Η διάρκεια της θεραπείας για στηθάγχη σε 45 ασθενείς ήταν: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12 , 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14 και 15 ημέρες.

Πρώτο στάδιο: Δημιουργούμε μια σειρά παραλλαγών, λαμβάνοντας υπόψη τη συχνότητα εμφάνισης κάθε επιλογής. δώστε μια περιγραφή της σειράς? βρίσκουμε το γινόμενο της παραλλαγής με την αντίστοιχη συχνότητα, αθροίζουμε τα γινόμενα που προκύπτουν και υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο:

Πρώτο στάδιο	Δεύτερη φάση
Διάρκεια θεραπείας (σε ημέρες) V	Αριθμός ασθενών σελ
Σειρά απλή, φθίνουσα, ασυνεχής

Δεύτερο στάδιο: υπολογισμός d (V-M); d 2; d 2p.

Συμπέρασμα: Η μέση διάρκεια θεραπείας της στηθάγχης στην κλινική ήταν 11 ημέρες. Ο μέσος όρος δεν είναι αρκετά τυπικός για αυτήν τη σειρά, όπως αποδεικνύεται από τον συντελεστή διακύμανσης ίσο με 36,5% ( υψηλός βαθμόςποικιλομορφία χαρακτηριστικών).

Αυτό το κεφάλαιο περιγράφει τον σκοπό των μέσων τιμών, συζητά τους κύριους τύπους και μορφές τους και τις μεθόδους υπολογισμού. Κατά τη μελέτη του παρουσιαζόμενου υλικού, είναι απαραίτητο να κατανοήσετε τις απαιτήσεις για την κατασκευή μέσων τιμών, καθώς η συμμόρφωση με αυτές σας επιτρέπει να χρησιμοποιήσετε αυτές τις τιμές ως τυπικά χαρακτηριστικά τιμών χαρακτηριστικών για ένα σύνολο ομοιογενών μονάδων.

Μορφές και τύποι μέσων όρων

μέση αξία είναι ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό του επιπέδου των τιμών των χαρακτηριστικών, το οποίο λαμβάνεται ανά μονάδα πληθυσμού. Σε αντίθεση με τη σχετική τιμή, η οποία είναι ένα μέτρο του λόγου των δεικτών, η μέση τιμή χρησιμεύει ως μέτρο του χαρακτηριστικού ανά μονάδα πληθυσμού.

Το πιο σημαντικό ακίνητοη μέση τιμή είναι ότι αντικατοπτρίζει αυτό που είναι κοινό σε όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού.

Οι τιμές των χαρακτηριστικών των μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού κυμαίνονται προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση υπό την επίδραση πολλών παραγόντων, ορισμένοι από τους οποίους μπορεί να είναι σημαντικοί ή τυχαίοι. Για παράδειγμα, τα επιτόκια των τραπεζικών δανείων καθορίζονται από τους αρχικούς παράγοντες για όλα τα πιστωτικά ιδρύματα (το επίπεδο των υποχρεωτικών αποθεματικών και το βασικό επιτόκιο των δανείων που παρέχονται στις εμπορικές τράπεζες από την κεντρική τράπεζα κ.λπ.), καθώς και από τα χαρακτηριστικά του κάθε συγκεκριμένη συναλλαγή, ανάλογα με τον κίνδυνο που ενυπάρχει σε ένα δεδομένο δάνειο, το μέγεθος και την περίοδο αποπληρωμής του, το κόστος επεξεργασίας ενός δανείου και παρακολούθησης της αποπληρωμής του κ.λπ.

Ο μέσος όρος συνοψίζει ατομικές αξίεςχαρακτηριστικό και αντανακλά την επίδραση γενικών συνθηκών που είναι πιο χαρακτηριστικές για έναν δεδομένο πληθυσμό σε συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου. Η ουσία του μέσου όρου έγκειται στο γεγονός ότι ακυρώνει τις αποκλίσεις των χαρακτηριστικών τιμών των μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού που προκαλούνται από τη δράση τυχαίων παραγόντων και λαμβάνει υπόψη τις αλλαγές που προκαλούνται από τη δράση των κύριων παραγόντων. Ο μέσος όρος θα αντανακλά τυπικό επίπεδοχαρακτηριστικό σε ένα δεδομένο σύνολο μονάδων, όταν υπολογίζεται από ένα ποιοτικά ομοιογενές σύνολο. Από αυτή την άποψη, η μέση μέθοδος χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με τη μέθοδο ομαδοποίησης.

Ονομάζονται μέσες τιμές που χαρακτηρίζουν τον πληθυσμό ως σύνολο γενικός, και μέσοι όροι, που αντικατοπτρίζουν τα χαρακτηριστικά μιας ομάδας ή υποομάδας, - ομάδα.

Ο συνδυασμός γενικών και ομαδικών μέσων όρων επιτρέπει συγκρίσεις σε χρόνο και χώρο και διευρύνει σημαντικά τα όρια Στατιστική ανάλυση. Για παράδειγμα, κατά τη σύνοψη των αποτελεσμάτων της απογραφής του 2002, διαπιστώθηκε ότι για τη Ρωσία, όπως και για τα περισσότερα ΕΥΡΩΠΑΙΚΕΣ ΧΩΡΕΣ, που χαρακτηρίζεται από γήρανση του πληθυσμού. Σε σύγκριση με την απογραφή του 1989, ο μέσος όρος ηλικίας των κατοίκων της χώρας αυξήθηκε κατά τρία έτη και ανήλθε στα 37,7 έτη, των ανδρών - 35,2 ετών, των γυναικών - 40,0 ετών (σύμφωνα με στοιχεία του 1989, τα στοιχεία αυτά ήταν 34,7, 31, αντίστοιχα). και 37,2 ετών). Σύμφωνα με τη Rosstat, το προσδόκιμο ζωής κατά τη γέννηση το 2011 για τους άνδρες ήταν 63 χρόνια, για τις γυναίκες - 75,6 χρόνια.

Κάθε μέσος όρος αντικατοπτρίζει την ιδιαιτερότητα του πληθυσμού που μελετάται σύμφωνα με ένα χαρακτηριστικό. Για να ληφθούν πρακτικές αποφάσεις, κατά κανόνα, είναι απαραίτητο να χαρακτηριστεί ο πληθυσμός σύμφωνα με διάφορα χαρακτηριστικά. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται ένα σύστημα μέσων όρων.

Για παράδειγμα, προκειμένου να επιτευχθεί το απαιτούμενο επίπεδο κερδοφορίας των εργασιών σε αποδεκτό επίπεδο κινδύνου στις τραπεζικές δραστηριότητες, τα μέσα επιτόκια των δανείων που εκδίδονται καθορίζονται λαμβάνοντας υπόψη τα μέσα επιτόκια των καταθέσεων και άλλων χρηματοπιστωτικών μέσων.

Η μορφή, ο τύπος και η μέθοδος υπολογισμού της μέσης τιμής εξαρτώνται από τον δηλωμένο σκοπό της μελέτης, τον τύπο και τη σχέση των χαρακτηριστικών που μελετώνται, καθώς και από τη φύση των αρχικών δεδομένων. Οι μέσοι όροι χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες:

• 1) μέσοι όροι ισχύος.
• 2) διαρθρωτικοί μέσοι όροι.

Ο μέσος τύπος καθορίζεται από την τιμή της ισχύος του μέσου όρου που εφαρμόζεται. Με αυξανόμενο εκθέτη κ η μέση τιμή αυξάνεται ανάλογα.

Για σκοπούς ανάλυσης και λήψης στατιστικών συμπερασμάτων με βάση τα αποτελέσματα της περίληψης και της ομαδοποίησης, υπολογίζονται γενικοί δείκτες - μέσος όρος και σχετικές τιμές.

Πρόβλημα με μέσο όρο – χαρακτηρίζουν όλες τις μονάδες ενός στατιστικού πληθυσμού με μία χαρακτηριστική τιμή.

Οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν δείκτες ποιότητας επιχειρηματική δραστηριότητα: κόστος διανομής, κέρδος, κερδοφορία κ.λπ.

μέση αξία- αυτό είναι ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό των μονάδων του πληθυσμού σύμφωνα με ορισμένα διαφορετικά χαρακτηριστικά.

Οι μέσες τιμές σάς επιτρέπουν να συγκρίνετε τα επίπεδα του ίδιου χαρακτηριστικού σε διαφορετικούς πληθυσμούς και να βρείτε τους λόγους για αυτές τις αποκλίσεις.

Στην ανάλυση των υπό μελέτη φαινομένων, ο ρόλος των μέσων τιμών είναι τεράστιος. Άγγλος οικονομολόγοςΟ V. Petty (1623-1687) χρησιμοποιούσε ευρέως μέσες τιμές. Ο V. Petty ήθελε να χρησιμοποιήσει τις μέσες τιμές ως μέτρο του κόστους των εξόδων για το μέσο ημερήσιο φαγητό ενός εργάτη. Η σταθερότητα της μέσης τιμής αντανακλά την κανονικότητα των διαδικασιών που μελετώνται. Πίστευε ότι οι πληροφορίες μπορούν να μετασχηματιστούν, ακόμα κι αν δεν υπάρχουν αρκετά πρωτότυπα δεδομένα.

Ο Άγγλος επιστήμονας G. King (1648-1712) χρησιμοποίησε μέσες και σχετικές τιμές κατά την ανάλυση δεδομένων για τον πληθυσμό της Αγγλίας.

Οι θεωρητικές εξελίξεις του Βέλγου στατιστικολόγου A. Quetelet (1796-1874) βασίζονται στην ασυνέπεια της φύσης κοινωνικά φαινόμενα– πολύ σταθερό στη μάζα, αλλά καθαρά ατομικό.

Σύμφωνα με τον A. Quetelet μόνιμους λόγουςενεργούν εξίσου σε κάθε φαινόμενο που μελετάται και κάνουν αυτά τα φαινόμενα παρόμοιος φίλοςτο ένα πάνω στο άλλο, δημιουργήστε μοτίβα κοινά για όλα αυτά.

Συνέπεια των διδασκαλιών του A. Quetelet ήταν ο προσδιορισμός των μέσων τιμών ως η κύρια τεχνική της στατιστικής ανάλυσης. Είπε ότι οι στατιστικοί μέσοι όροι δεν αντιπροσωπεύουν μια κατηγορία αντικειμενικής πραγματικότητας.

Ο A. Quetelet εξέφρασε τις απόψεις του για τον μέσο όρο στη θεωρία του για τον μέσο άνθρωπο. Ένας μέσος άνθρωπος είναι ένα άτομο που έχει όλα τα χαρακτηριστικά ενός μέσου μεγέθους (μέση θνησιμότητα ή ποσοστό γεννήσεων, μέσο ύψος και βάρος, μέση ταχύτητα τρεξίματος, μέση κλίση προς γάμο και αυτοκτονία, καλές πράξειςκαι τα λοιπά.). Για τον A. Quetelet μέσος άνθρωπος- Αυτό είναι το ιδανικό ενός ανθρώπου. Η ασυνέπεια της θεωρίας του A. Quetelet για τον μέσο άνθρωπο αποδείχθηκε στη ρωσική στατιστική βιβλιογραφία το τέλη XIX-XXαιώνες

Ο διάσημος Ρώσος στατιστικολόγος Yu. E. Yanson (1835-1893) έγραψε ότι ο A. Quetelet υποθέτει την ύπαρξη στη φύση ενός τύπου μέσου ανθρώπου ως κάτι δεδομένο, από το οποίο η ζωή έχει παρεκκλίνει τους μέσους ανθρώπους μιας δεδομένης κοινωνίας και μιας δεδομένης εποχής. , και αυτό τον οδηγεί σε μια εντελώς μηχανική άποψη και στους νόμους της κίνησης κοινωνική ζωή: η κίνηση είναι μια σταδιακή αύξηση των μέσων ιδιοτήτων ενός ατόμου, μια σταδιακή αποκατάσταση του τύπου. κατά συνέπεια τέτοια ισοπέδωση όλων των εκδηλώσεων της ζωής του κοινωνικού σώματος, πίσω από την οποία κάθε κίνηση προς τα εμπρόςσταματά.

Η ουσία αυτής της θεωρίας έχει βρει τη δική της περαιτέρω ανάπτυξηστα έργα ορισμένων θεωρητικών της στατιστικής ως θεωρία αληθινών μεγεθών. Ο A. Quetelet είχε οπαδούς - τον Γερμανό οικονομολόγο και στατιστικολόγο V. Lexis (1837-1914), ο οποίος μετέφερε τη θεωρία των αληθινών αξιών στο οικονομικά φαινόμενα δημόσια ζωή. Η θεωρία του είναι γνωστή ως θεωρία σταθερότητας. Μια άλλη εκδοχή της ιδεαλιστικής θεωρίας των μέσων όρων βασίζεται στη φιλοσοφία

Ιδρυτής του είναι ο Άγγλος στατιστικολόγος A. Bowley (1869–1957) - ένας από τους πιο εξέχοντες θεωρητικούς των τελευταίων χρόνων στον τομέα της θεωρίας των μέσων όρων. Η ιδέα του για τους μέσους όρους περιγράφεται στο βιβλίο του Στοιχεία Στατιστικής.

Ο A. Boley θεωρεί τις μέσες τιμές μόνο από την ποσοτική πλευρά, διαχωρίζοντας έτσι την ποσότητα από την ποιότητα. Καθορίζοντας την έννοια των μέσων τιμών (ή τη «λειτουργία τους»), ο A. Boley προβάλλει την αρχή της σκέψης των Machian. Ο A. Boley έγραψε ότι η συνάρτηση των μέσων τιμών πρέπει να εκφράζει μια σύνθετη ομάδα

με τη βοήθεια λίγων πρώτοι αριθμοί. Τα στατιστικά δεδομένα θα πρέπει να απλοποιηθούν, να ομαδοποιηθούν και να μειωθούν σε μέσους όρους.Αυτές οι απόψεις: συμμερίζονται οι R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892) κ.λπ.

Στη δεκαετία του '30 ΧΧ αιώνα και τα επόμενα έτη, η μέση τιμή θεωρείται ως κοινωνικά σημαντικό χαρακτηριστικό, το πληροφοριακό περιεχόμενο του οποίου εξαρτάται από την ομοιογένεια των δεδομένων.

Οι πιο εξέχοντες εκπρόσωποι της ιταλικής σχολής R. Benini (1862-1956) και C. Gini (1884-1965), θεωρώντας τη στατιστική κλάδο της λογικής, διεύρυναν το πεδίο της στατιστικής επαγωγής, αλλά γνωστικές αρχέςΣυνέδεσαν τη λογική και τη στατιστική με τη φύση των φαινομένων που μελετώνται, ακολουθώντας τις παραδόσεις της κοινωνιολογικής ερμηνείας των στατιστικών.

Στα έργα των Κ. Μαρξ και Β. Ι. Λένιν, οι μέσες τιμές δίνουν ιδιαίτερο ρόλο.

Ο Κ. Μαρξ υποστήριξε ότι οι μεμονωμένες αποκλίσεις από γενικού επιπέδουΚαι μέσο επίπεδογίνεται γενικό χαρακτηριστικό μαζικό φαινόμενοΗ μέση τιμή γίνεται τόσο χαρακτηριστικό ενός φαινομένου μάζας μόνο εάν ληφθεί σημαντικός αριθμός μονάδων και αυτές οι μονάδες είναι ποιοτικά ομοιογενείς. Ο Μαρξ έγραψε ότι η μέση τιμή που βρέθηκε θα πρέπει να είναι ο μέσος όρος «...πολλών διαφορετικών ατομικών τιμών του ίδιου είδους».

Η μέση τιμή αποκτά ιδιαίτερη σημασία σε μια οικονομία της αγοράς. Βοηθά στον προσδιορισμό της αναγκαίας και γενικής, της τάσης του προτύπου οικονομική ανάπτυξηαπευθείας μέσω του ενικού και του τυχαίου.

Μέσες τιμέςείναι γενικοί δείκτες στους οποίους εκφράζεται η επίδραση των γενικών συνθηκών και το πρότυπο του φαινομένου που μελετάται.

Οι στατιστικοί μέσοι όροι υπολογίζονται με βάση τα μαζικά δεδομένα από στατιστικά σωστά οργανωμένη μαζική παρατήρηση. Εάν ο στατιστικός μέσος όρος υπολογιστεί από μαζικά δεδομένα για έναν ποιοτικά ομοιογενή πληθυσμό (μαζικά φαινόμενα), τότε θα είναι αντικειμενικός.

Η μέση τιμή είναι αφηρημένη, καθώς χαρακτηρίζει την τιμή μιας αφηρημένης μονάδας.

Ο μέσος όρος αφαιρείται από την ποικιλομορφία του χαρακτηριστικού σε μεμονωμένα αντικείμενα. Η αφαίρεση είναι ένα βήμα επιστημονική έρευνα. Στη μέση τιμή πραγματοποιείται η διαλεκτική ενότητα του ατόμου και του γενικού.

Οι μέσες τιμές θα πρέπει να εφαρμόζονται με βάση τη διαλεκτική κατανόηση των κατηγοριών ατομικού και γενικού, ατομικού και μάζας.

Η μεσαία εμφανίζει κάτι κοινό που περιέχεται σε ένα συγκεκριμένο αντικείμενο.

Για τον εντοπισμό προτύπων σε μαζικές κοινωνικές διαδικασίες, η μέση τιμή έχει μεγάλη σημασία.

Η απόκλιση του ατόμου από το γενικό είναι εκδήλωση της αναπτυξιακής διαδικασίας.

Η μέση τιμή αντικατοπτρίζει το χαρακτηριστικό, τυπικό, πραγματικό επίπεδο των φαινομένων που μελετώνται. Το καθήκον των μέσων τιμών είναι να χαρακτηρίσουν αυτά τα επίπεδα και τις αλλαγές τους στο χρόνο και στο χώρο.

Ο μέσος όρος είναι μια κοινή τιμή επειδή σχηματίζεται σε κανονικό, φυσικό, γενικές συνθήκεςη ύπαρξη ενός συγκεκριμένου μαζικού φαινομένου που θεωρείται ως σύνολο.

Αντικειμενική ιδιοκτησία στατιστική διαδικασίαή το φαινόμενο αντικατοπτρίζεται από τη μέση τιμή.

Οι επιμέρους τιμές του υπό μελέτη στατιστικού χαρακτηριστικού είναι διαφορετικές για κάθε μονάδα του πληθυσμού. Η μέση τιμή των επιμέρους τιμών ενός τύπου είναι προϊόν ανάγκης, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της συνδυασμένης δράσης όλων των μονάδων του πληθυσμού, που εκδηλώνεται σε μια μάζα επαναλαμβανόμενων ατυχημάτων.

Κάποια μεμονωμένα φαινόμενα έχουν χαρακτηριστικά που υπάρχουν σε όλα τα φαινόμενα, αλλά σε διαφορετικές ποσότητεςείναι το ύψος ή η ηλικία ενός ατόμου. Άλλα σημάδια ενός μεμονωμένου φαινομένου είναι ποιοτικά διαφορετικά σε διαφορετικά φαινόμενα, δηλαδή είναι παρόντα σε άλλα και δεν παρατηρούνται σε άλλα (ένας άντρας δεν θα γίνει γυναίκα). Η μέση τιμή υπολογίζεται για χαρακτηριστικά που είναι ποιοτικά ομοιογενή και διαφορετικά μόνο ποσοτικά, τα οποία είναι εγγενή σε όλα τα φαινόμενα σε ένα δεδομένο σύνολο.

Η μέση τιμή είναι μια αντανάκλαση των τιμών του χαρακτηριστικού που μελετάται και μετράται στην ίδια διάσταση με αυτό το χαρακτηριστικό.

Η θεωρία του διαλεκτικού υλισμού διδάσκει ότι τα πάντα στον κόσμο αλλάζουν και εξελίσσονται. Και επίσης τα χαρακτηριστικά που χαρακτηρίζονται από μέσες τιμές αλλάζουν και, κατά συνέπεια, οι ίδιοι οι μέσοι όροι.

Συμβαίνει στη ζωή συνεχής διαδικασίαδημιουργώντας κάτι νέο. Ο φορέας μιας νέας ποιότητας είναι μεμονωμένα αντικείμενα, τότε ο αριθμός αυτών των αντικειμένων αυξάνεται και το νέο γίνεται μάζα, τυπικό.

Η μέση τιμή χαρακτηρίζει τον πληθυσμό που μελετάται σύμφωνα με ένα μόνο χαρακτηριστικό. Για μια πλήρη και ολοκληρωμένη αναπαράσταση του πληθυσμού που μελετάται σύμφωνα με μια σειρά από συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, είναι απαραίτητο να υπάρχει ένα σύστημα μέσων τιμών που να μπορεί να περιγράφει το φαινόμενο από διαφορετικές οπτικές γωνίες.

2. Είδη μέσου όρου

Κατά τη στατιστική επεξεργασία του υλικού, προκύπτουν διάφορα προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν και ως εκ τούτου χρησιμοποιούνται διάφορες μέσες τιμές στη στατιστική πρακτική. Στατιστικά μαθηματικώνχρησιμοποιεί διάφορους μέσους όρους, όπως: αριθμητικός μέσος όρος; γεωμετρικό μέσο; αρμονική μέση? μέσο τετράγωνο.

Για να εφαρμοστεί ένας από τους παραπάνω τύπους μέσου όρου, είναι απαραίτητο να αναλυθεί ο υπό μελέτη πληθυσμός, να προσδιοριστεί το υλικό περιεχόμενο του φαινομένου που μελετάται, όλα αυτά γίνονται με βάση τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την αρχή της σημασίας των αποτελεσμάτων όταν ζύγιση ή άθροιση.

Στη μελέτη των μέσων όρων χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι δείκτες και σημειώσεις.

Το πρόσημο με το οποίο βρίσκεται ο μέσος όρος ονομάζεται μέσο χαρακτηριστικό και συμβολίζεται με x; ονομάζεται η τιμή του μέσου όρου χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα στατιστικού πληθυσμού την ατομική του σημασία,ή επιλογές,και συμβολίζεται ως Χ 1 , Χ 2 , Χ 3 ,… Χ Π ; Η συχνότητα είναι η επαναληψιμότητα των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού, που υποδηλώνεται με το γράμμα φά.

Αριθμητικός μέσος όρος

Ένας από τους πιο συνηθισμένους τύπους μέσου είναι αριθμητικός μέσος όρος, το οποίο υπολογίζεται όταν ο όγκος του μέσου όρου χαρακτηριστικού σχηματίζεται ως το άθροισμα των τιμών του σε μεμονωμένες μονάδες του στατιστικού πληθυσμού που μελετάται.

Για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου, το άθροισμα όλων των επιπέδων του χαρακτηριστικού διαιρείται με τον αριθμό τους.

Εάν ορισμένες επιλογές εμφανίζονται πολλές φορές, τότε το άθροισμα των επιπέδων του χαρακτηριστικού μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας κάθε επίπεδο με τον αντίστοιχο αριθμό μονάδων στον πληθυσμό και στη συνέχεια προσθέτοντας τα προκύπτοντα γινόμενα· ο αριθμητικός μέσος όρος που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος.

Ο τύπος για τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο έχει ως εξής:

όπου x είναι επιλογές,

f i – συχνότητες ή βάρη.

Θα πρέπει να χρησιμοποιείται ένας σταθμισμένος μέσος όρος σε όλες τις περιπτώσεις όπου οι επιλογές έχουν διαφορετικούς αριθμούς.

Ο αριθμητικός μέσος όρος φαίνεται να κατανέμεται εξίσου μεταξύ μεμονωμένων αντικειμένων συνολική αξίαένα χαρακτηριστικό που στην πραγματικότητα διαφέρει για καθένα από αυτά.

Ο υπολογισμός των μέσων τιμών πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας δεδομένα ομαδοποιημένα με τη μορφή σειρών κατανομής διαστήματος, όταν οι παραλλαγές του χαρακτηριστικού από το οποίο υπολογίζεται ο μέσος όρος παρουσιάζονται με τη μορφή διαστημάτων (από - έως).

Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου:

1) μέσος όρος αριθμητικό άθροισμαμεταβαλλόμενες ποσότητες ισούται με το άθροισμα των μέσων αριθμητικά μεγέθη: Αν x i = y i +z i, τότε

Αυτή η ιδιότητα δείχνει σε ποιες περιπτώσεις είναι δυνατό να συνοψιστούν οι μέσες τιμές.

2) αλγεβρικό άθροισμαοι αποκλίσεις μεμονωμένων τιμών ενός μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού από τον μέσο όρο είναι ίσες με μηδέν, καθώς το άθροισμα των αποκλίσεων προς τη μία κατεύθυνση αντισταθμίζεται από το άθροισμα των αποκλίσεων προς την άλλη κατεύθυνση:

Αυτός ο κανόνας δείχνει ότι ο μέσος όρος είναι το αποτέλεσμα.

3) εάν όλες οι επιλογές σε μια σειρά αυξηθούν ή μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό;, ο μέσος όρος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί κατά τον ίδιο αριθμό;:

4) εάν όλες οι παραλλαγές της σειράς αυξηθούν ή μειωθούν κατά Α φορές, τότε ο μέσος όρος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί επίσης κατά Α φορές:

5) η πέμπτη ιδιότητα του μέσου όρου μας δείχνει ότι δεν εξαρτάται από το μέγεθος των κλιμάκων, αλλά από τη μεταξύ τους σχέση. Όχι μόνο σχετικές, αλλά και απόλυτες τιμές μπορούν να ληφθούν ως κλίμακες.

Αν όλες οι συχνότητες της σειράς διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό d, τότε ο μέσος όρος δεν θα αλλάξει.

Αρμονική μέση.Για να προσδιοριστεί ο αριθμητικός μέσος όρος, είναι απαραίτητο να έχουμε έναν αριθμό επιλογών και συχνοτήτων, δηλαδή τιμές ΧΚαι φά.

Ας υποθέσουμε ότι οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού είναι γνωστές Χκαι έργα Χ/,και συχνότητες φάείναι άγνωστα, τότε για να υπολογίσουμε τον μέσο όρο, συμβολίζουμε το γινόμενο = Χ/;που:

Ο μέσος όρος σε αυτή τη μορφή ονομάζεται αρμονικός σταθμισμένος μέσος όρος και συμβολίζεται x βλάβη. πάνω

Κατά συνέπεια, ο αρμονικός μέσος όρος είναι πανομοιότυπος με τον αριθμητικό μέσο όρο. Ισχύει όταν τα πραγματικά βάρη είναι άγνωστα φά, και το έργο είναι γνωστό fx = z

Όταν τα έργα fxπανομοιότυπες ή ίσες μονάδες (m = 1), χρησιμοποιείται ο αρμονικός απλός μέσος όρος, που υπολογίζεται από τον τύπο:

Οπου Χ– ξεχωριστές επιλογές·

n- αριθμός.

Γεωμετρικό μέσο

Εάν υπάρχουν n συντελεστές ανάπτυξης, τότε ο τύπος για τον μέσο συντελεστή είναι:

Αυτός είναι ο γεωμετρικός μέσος τύπος.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι ίσος με τη ρίζα της δύναμης nαπό το γινόμενο των συντελεστών ανάπτυξης που χαρακτηρίζουν την αναλογία της αξίας κάθε επόμενης περιόδου προς την τιμή της προηγούμενης.

Εάν οι τιμές που εκφράζονται στη φόρμα υπόκεινται σε μέσο όρο τετραγωνικές συναρτήσεις, εφαρμόζεται το μέσο τετράγωνο. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το ριζικό μέσο τετράγωνο, μπορείτε να προσδιορίσετε τις διαμέτρους των σωλήνων, των τροχών κ.λπ.

Το μέσο τετράγωνο της ρίζας προσδιορίζεται με εξαγωγή τετραγωνική ρίζααπό το πηλίκο του αθροίσματος των τετραγώνων ατομικές αξίεςυπογράψτε τον αριθμό τους.

Το σταθμισμένο μέσο τετράγωνο είναι ίσο με:

3. Διαρθρωτικοί μέσοι όροι. Λειτουργία και διάμεσος

Για τον χαρακτηρισμό της δομής ενός στατιστικού πληθυσμού χρησιμοποιούνται δείκτες που καλούνται διαρθρωτικούς μέσους όρους.Αυτά περιλαμβάνουν τη λειτουργία και τη διάμεσο.

Μόδα (Μ Ο ) - η πιο κοινή επιλογή. Μόδαείναι η τιμή του χαρακτηριστικού που αντιστοιχεί στο μέγιστο σημείο της καμπύλης θεωρητικής κατανομής.

Η μόδα αντιπροσωπεύει το πιο συχνά εμφανιζόμενο ή τυπικό νόημα.

Η μόδα χρησιμοποιείται στην εμπορική πρακτική για τη μελέτη της καταναλωτικής ζήτησης και την καταγραφή των τιμών.

ΣΕ διακριτές σειρέςη λειτουργία είναι η επιλογή με την υψηλότερη συχνότητα. Σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, η λειτουργία θεωρείται η κεντρική παραλλαγή του διαστήματος, η οποία έχει την υψηλότερη συχνότητα (ιδιαιτερότητα).

Μέσα στο διάστημα, πρέπει να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού που είναι η λειτουργία.

Οπου Χ Ο– κατώτερο όριο του διαστήματος τρόπων μεταφοράς·

η– την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·

f m– συχνότητα του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·

f t-1 – συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του τροπικού.

f m+1 – συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

Η λειτουργία εξαρτάται από το μέγεθος των ομάδων και από την ακριβή θέση των ορίων της ομάδας.

Μόδα– ο αριθμός που στην πραγματικότητα εμφανίζεται πιο συχνά (είναι μια καθορισμένη τιμή), στην πράξη έχει την ευρύτερη εφαρμογή (ο πιο συνηθισμένος τύπος αγοραστή).

Διάμεσος (Μ μιείναι μια ποσότητα που διαιρεί τον αριθμό μιας σειράς διατεταγμένων παραλλαγών σε δύο ίσα μέρη: το ένα μέρος έχει τιμές του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού που είναι μικρότερες από τη μέση παραλλαγή και το άλλο έχει μεγαλύτερες τιμές.

Διάμεσοςείναι ένα στοιχείο που είναι μεγαλύτερο ή ίσο και ταυτόχρονα μικρότερο ή ίσο με τα μισά από τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς διανομής.

Η ιδιότητα της διάμεσης τιμής είναι ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών των χαρακτηριστικών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή.

Η χρήση της διάμεσης σάς επιτρέπει να λαμβάνετε περισσότερα ακριβή αποτελέσματαπαρά όταν χρησιμοποιείτε άλλες μορφές μέσου όρου.

Η σειρά εύρεσης της διάμεσης τιμής σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος είναι η εξής: τακτοποιούμε τις επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού σύμφωνα με την κατάταξη. προσδιορίζουμε τις συσσωρευμένες συχνότητες για μια δεδομένη σειρά κατάταξης. Χρησιμοποιώντας τα συσσωρευμένα δεδομένα συχνότητας, βρίσκουμε το διάμεσο διάστημα:

Οπου x εμένα– κατώτερο όριο του ενδιάμεσου διαστήματος.

Εγώ Μου– την τιμή του διάμεσου διαστήματος·

f/2– μισό άθροισμα συχνοτήτων της σειράς.

μικρό Μου-1 – το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων που προηγούνται του διάμεσου διαστήματος.

φά Μου– συχνότητα του μέσου διαστήματος.

Η διάμεσος διαιρεί τον αριθμό μιας σειράς στο μισό, επομένως, είναι όπου η συσσωρευμένη συχνότητα είναι η μισή ή μεγαλύτερη από το μισό του συνολικού αθροίσματος των συχνοτήτων και η προηγούμενη (συσσωρευμένη) συχνότητα είναι μικρότερη από το ήμισυ του αριθμού του πληθυσμού.

Κατά τη διαδικασία επεξεργασίας και σύνοψης στατιστικών δεδομένων, προκύπτει η ανάγκη προσδιορισμού των μέσων τιμών. Κατά κανόνα, οι επιμέρους τιμές του ίδιου χαρακτηριστικού δεν είναι ίδιες σε διαφορετικές μονάδες του πληθυσμού.

μέση αξία – ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό του χαρακτηριστικού που μελετάται στον υπό μελέτη πληθυσμό. Αντανακλά το τυπικό του επίπεδο ανά μονάδα πληθυσμού υπό συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου.

Για παράδειγμα, κατά τη μελέτη του εισοδήματος των εργαζομένων σε μια επιχείρηση, το γενικό χαρακτηριστικό είναι το μέσο εισόδημα ενός εργαζομένου. Για τον προσδιορισμό του, το συνολικό ποσό των κεφαλαίων που διατίθενται για κατανάλωση με τη μορφή μισθών, κοινωνικών και εργασιακών παροχών, οικονομικής βοήθειας, μερισμάτων σε μετοχές και τόκους καταθέσεων στην περιουσία της επιχείρησης για την υπό εξέταση περίοδο (έτος, τρίμηνο, μήνας ) διαιρείται με τον αριθμό των εργαζομένων της επιχείρησης. Το μέσο εισόδημα χαρακτηρίζει αυτό που είναι κοινό για ολόκληρο τον πληθυσμό των εργαζομένων σε μια επιχείρηση, δηλ. επίπεδο εισοδήματος της μάζας των εργαζομένων σε συγκεκριμένες συνθήκες λειτουργίας αυτής της επιχείρησηςκατά την υπό εξέταση περίοδο.

Ο μέσος όρος που υπολογίζεται για τον πληθυσμό συνολικά ονομάζεται γενικός μέσος όρος.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται για κάθε ομάδα ονομάζονται ομαδικούς μέσους όρους.

Όσο περισσότερες μονάδες πληθυσμού υπολογίζεται ο μέσος όρος, τόσο πιο σταθερός είναι, δηλ. ακριβέστερα. Ο υπολογισμός της μέσης τιμής περιλαμβάνει δύο πράξεις:

I – άθροιση δεδομένων για όλες τις μονάδες (γενίκευση δεδομένων).

II – διαίρεση των συνοπτικών δεδομένων με τον αριθμό των μονάδων στον πληθυσμό.

– μέση τιμή για ένα χαρακτηριστικό ; n– αριθμός πληθυσμιακών μονάδων·

ΧΕγώ – ατομική αξία του χαρακτηριστικού κάθε μονάδας πληθυσμού.

Η ουσία της μέσης αξίας καθορίζει την ιδιαίτερη σημασία της σε μια οικονομία της αγοράς. Η μέση τιμή, μέσω του ατομικού και τυχαίου, μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε το γενικό και απαραίτητο, να εντοπίσουμε την τάση του προτύπου οικονομικής ανάπτυξης.

Μέσος όρος ισχύος:

ü αριθμητικός μέσος όρος;

ü γεωμετρικό μέσο;

ü αρμονική μέση?

ü μέσο τετράγωνο;

ü μέση χρονολογική.

Διαρθρωτικοί μέσοι όροι: λειτουργία και διάμεσος.

Η επιλογή ενός ή άλλου τύπου μέσου όρου γίνεται ανάλογα με το σκοπό της μελέτης, οικονομική ουσίαο μέσος όρος του δείκτη και η φύση των διαθέσιμων δεδομένων πηγής. Μόνο όταν ο μέσος όρος εφαρμόζεται σωστά, λαμβάνονται τιμές που έχουν πραγματικό οικονομικό νόημα.

Αριθμητικός μέσος όρος -ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου.

Με τον αριθμητικό μέσο εννοούμε την αξία ενός χαρακτηριστικού που θα είχε κάθε μονάδα πληθυσμού αν σύνολοόλων των τιμών των χαρακτηριστικών κατανεμήθηκε ομοιόμορφα σε όλες τις μονάδες του πληθυσμού.

Υπολογίζεται σε περιπτώσεις όπου ο όγκος του μέσου όρου χαρακτηριστικού σχηματίζεται ως το άθροισμα των τιμών του για μεμονωμένες μονάδες του στατιστικού πληθυσμού που μελετάται. Ανάλογα με τη φύση των δεδομένων πηγής, ο αριθμητικός μέσος όρος προσδιορίζεται ως εξής:

Απλός αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται διαιρώντας το άθροισμα των τιμών με τον αριθμό τους.

Παράδειγμα: Μισθόςγια τον Ιανουάριο για 3 εργαζόμενους ενός συνεργείου ήταν: 6500, 4955, 5323 ρούβλια. Ο μέσος μισθός ανά μήνα είναι: τρίψιμο.

Παράδειγμα:Υπολογίστε τη μέση προϋπηρεσία δέκα υπαλλήλων μιας εμπορικής επιχείρησης. Ενιαία τιμή χαρακτηριστικού (έτη): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 χρόνια.

Όπως βλέπουμε, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι κλασματικός αριθμός, ακόμα κι αν οι μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού καθορίζονται μόνο ως ακέραιοι. Αυτό προκύπτει από την ουσία του αριθμητικού μέσου όρου, που είναι ένα αφηρημένο (θεωρητικό) μέγεθος, δηλ. μπορεί να λάβει μια αριθμητική τιμή που δεν βρίσκεται στο παρουσιαζόμενο σύνολο μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού.

Αριθμητικός μέσος σταθμισμένος

Είναι συχνά απαραίτητος ο υπολογισμός της μέσης τιμής ενός χαρακτηριστικού σε μια σειρά διανομής όταν η ίδια χαρακτηριστική τιμή εμφανίζεται πολλές φορές. Συνδυάζοντας τα δεδομένα με την τιμή του χαρακτηριστικού (δηλαδή ομαδοποιώντας το) και μετρώντας τον αριθμό των περιπτώσεων επανάληψης καθενός από αυτά, λαμβάνουμε την ακόλουθη σειρά παραλλαγών.

Επομένως, για τον υπολογισμό του σταθμισμένου μέσου όρου γίνονται τα εξής: διαδοχικές πράξεις: πολλαπλασιάζοντας κάθε επιλογή με τη συχνότητά της, αθροίζοντας τα γινόμενα που προκύπτουν, διαιρώντας το άθροισμα που προκύπτει με το άθροισμα των συχνοτήτων.

Ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος λαμβάνει υπόψη διαφορετική σημασίαμεμονωμένες επιλογές μέσα στο σύνολο. Επομένως, θα πρέπει να χρησιμοποιείται σε όλες τις περιπτώσεις όπου οι επιλογές έχουν διαφορετικούς αριθμούς. Η χρήση απλού μέσου όρου σε αυτές τις περιπτώσεις είναι απαράδεκτη, καθώς οδηγεί αναπόφευκτα σε παραμόρφωση στατιστικούς δείκτες.

Ο αριθμητικός μέσος όρος, όπως ήταν, κατανέμει εξίσου μεταξύ μεμονωμένων αντικειμένων τη συνολική τιμή του χαρακτηριστικού, η οποία στην πραγματικότητα ποικίλλει για καθένα από αυτά.

Μερικές φορές ο υπολογισμός των μέσων τιμών πρέπει να πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας δεδομένα ομαδοποιημένα με τη μορφή σειρών κατανομής διαστημάτων, όταν οι παραλλαγές του χαρακτηριστικού από το οποίο υπολογίζεται ο μέσος όρος παρουσιάζονται με τη μορφή διαστημάτων (από - έως). Για να υπολογίσετε τη μέση τιμή, είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε τη μέση τιμή x σε κάθε επιλογή και στη συνέχεια να ζυγίσετε με τη συνήθη σειρά x y

Σε ένα κλειστό διάστημα, η μεσαία τιμή ορίζεται ως το ήμισυ του αθροίσματος των τιμών των κατώτερων και άνω ορίων.

Το πρόβλημα του υπολογισμού των μέσων τιμών σειρές μεσοδιαστημάτωνπεριπλέκεται από το γεγονός ότι τα ακραία όρια του αρχικού και του τελικού διαστήματος είναι άγνωστα. Σε αυτή την περίπτωση, θεωρείται ότι η απόσταση μεταξύ των ορίων αυτού του διαστήματος είναι η ίδια όπως στο διπλανό διάστημα.

Πρέπει να σημειωθεί ότι, αν και χρησιμοποιούμε τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο για τον υπολογισμό του μέσου όρου από μια σειρά διαστήματος, ο υπολογισμένος μέσος όρος δεν είναι ακριβής τιμή, καθώς ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των μέσων τιμών των ομάδων με τον αριθμό τους, δεν θα πάρει την πραγματική αξία. Ο βαθμός ασυμφωνίας εξαρτάται από διάφορους λόγους: 1 – αριθμός επιλογών. Πως μεγαλύτερο αριθμόεπιλογή, τόσο πιο πιθανό είναι η μέση του διαστήματος να διαφέρει ελάχιστα από τον μέσο όρο της ομάδας. Εάν κάθε ομάδα έχει μικρό αριθμό μονάδων, οι μέσοι όροι της ομάδας μπορεί να είναι όχι μόνο στη μέση, αλλά και κοντά στο ανώτερο ή κάτω όριο του διαστήματος.

Παράδειγμα,Απαιτείται ο υπολογισμός της μέσης προϋπηρεσίας 12 εργαζομένων σε διαφημιστικό γραφείο. Ταυτόχρονα, οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού (εμπειρία) σε χρόνια είναι γνωστές: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Έχοντας συνδυάσει τα δεδομένα για την τιμή του χαρακτηριστικού και μετρώντας τον αριθμό των περιπτώσεων επανάληψης καθενός από αυτά, θα υπολογίσουμε τη μέση διάρκεια υπηρεσίας με βάση τα ομαδοποιημένα δεδομένα χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 της χρονιάς.

Στην πράξη στατιστική επεξεργασίαυλικό, προκύπτουν διάφορα προβλήματα που έχουν χαρακτηριστικά στη μελέτη των φαινομένων και απαιτούν τη χρήση διαφόρων μέσων όρων στη λύση τους. Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι στατιστικοί μέσοι όροι εκφράζουν πάντα τις ποιοτικές ιδιότητες των κοινωνικών διαδικασιών και φαινομένων που μελετώνται, είναι σημαντικό να επιλέξετε τη σωστή μορφή του μέσου όρου, με βάση τη σχέση μεταξύ των φαινομένων και των χαρακτηριστικών τους.

Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου:

Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες, η γνώση των οποίων είναι απαραίτητη για την κατανόηση της ουσίας των μέσων όρων, καθώς και για την απλοποίηση του υπολογισμού τους.

1. Ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων μεγεθών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων:

Αν x i = y i + z i τότε

Αυτός ο κανόνας δείχνει σε ποιες περιπτώσεις μπορούν να αθροιστούν οι μέσες τιμές. Εάν, για παράδειγμα, τα βιομηχανοποιημένα προϊόντα αποτελούνται από δύο μέρη yΚαι zκαι η παραγωγή καθενός από αυτά κοστίζει κατά μέσο όρο στο= 3 ώρες z = 5 h, τότε ο μέσος χρόνος που δαπανάται για την κατασκευή ενός προϊόντος ( Χ), θα είναι ίσο: 3+5 = 8 ώρες, δηλ. Χ= y + z..

2. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων μεμονωμένων τιμών ενός μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού από τον μέσο όρο είναι ίσο με μηδέν, αφού το άθροισμα των αποκλίσεων προς τη μία κατεύθυνση ακυρώνεται από το άθροισμα των αποκλίσεων προς την άλλη κατεύθυνση, δηλ.

, επειδή

Αυτός ο κανόνας δείχνει ότι ο μέσος όρος είναι το αποτέλεσμα.

3. Εάν όλες οι επιλογές σε μια σειρά μειωθούν ή αυξηθούν κατά τον ίδιο αριθμό ΕΝΑ,τότε ο μέσος όρος θα μειωθεί ή θα αυξηθεί κατά τον ίδιο αριθμό ΕΝΑ:

4. Εάν όλες οι επιλογές για μια σειρά μειωθούν ή αυξηθούν κατά ΕΝΑφορές, τότε ο μέσος όρος θα μειωθεί ή θα αυξηθεί αντίστοιχα αντίστοιχα ΕΝΑμια φορά:

5. Αν όλες οι συχνότητες μιας σειράς διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό ρε,τότε ο μέσος όρος δεν θα αλλάξει:

Αυτή η ιδιότητα δείχνει ότι ο μέσος όρος δεν εξαρτάται από το μέγεθος της ζυγαριάς, αλλά από τη μεταξύ τους σχέση. Κατά συνέπεια, όχι μόνο απόλυτες, αλλά και σχετικές τιμές μπορούν να λειτουργήσουν ως κλίμακες.

Μέση χρονολογική

Μερικές φορές, κατά την ανάλυση των κοινωνικοοικονομικών δεικτών, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η μέση τιμή εάν υπάρχουν δεδομένα από μια σειρά δυναμικών ίσης στιγμής. Για παράδειγμα, το μέσο μηνιαίο απόθεμα αγαθών. ο μέσος αριθμός πωλητών για το τρίμηνο, για το εξάμηνο, εάν είναι γνωστός ο αριθμός των πωλητών στην αρχή του μήνα· ή προσδιορίστε τον μέσο ετήσιο πληθυσμό μιας περιοχής και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τον χρονολογικό μέσο όρο.

X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n) : (n-1)

X – ατομική τιμή του χαρακτηριστικού κάθε μονάδας πληθυσμού.

n – αριθμός μονάδων πληθυσμού.

Αρμονική μέση

Ο αρμονικός μέσος όρος είναι ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου όρου. Οταν στατιστικές πληροφορίεςδεν περιέχει συχνότητες για μεμονωμένες παραλλαγές του πληθυσμού, αλλά παρουσιάζεται ως το γινόμενο τους· χρησιμοποιείται ο σταθμισμένος αρμονικός μέσος τύπος.

Ο μέσος όρος σε αυτή τη μορφή ονομάζεται σταθμισμένος αρμονικός μέσος όροςΚαισυμβολίζεται με χ γαρΜ. vzvz . Κατά συνέπεια, ο αρμονικός μέσος όρος είναι πανομοιότυπος με τον αριθμητικό μέσο όρο. Χρησιμοποιείται όταν τα πραγματικά βάρη είναι άγνωστα, αλλά το προϊόν είναι γνωστό f x = z

Στις περιπτώσεις που οι εργασίες f xταυτόσημο ή ίσο με ένα (m=1), ισχύει μέση αρμονική απλή, υπολογίζεται με τον τύπο

Οπου Χ- ξεχωριστές επιλογές Π- τον αριθμό τους.

Γεωμετρικό μέσο

Αυτός ο μέσος όρος είναι βολικός στη χρήση όταν δεν δίνεται προσοχή στις απόλυτες διαφορές, αλλά στις αναλογίες δύο αριθμών. Επομένως, ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των μέσων ετήσιων ρυθμών ανάπτυξης

ή

Αυτός είναι ο γεωμετρικός μέσος τύπος, ο οποίος μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι ίσος με τη ρίζα της δύναμης Παπό το γινόμενο των συντελεστών ανάπτυξης που χαρακτηρίζουν την αναλογία της αξίας κάθε επόμενης περιόδου προς την τιμή της προηγούμενης.

Η γεωμετρική μέση τιμή δίνει την πιο σωστή απάντηση ως προς το περιεχόμενο, το αποτέλεσμα του μέσου όρου, εάν η εργασία είναι να βρεθεί μια τιμή του χαρακτηριστικού που θα ήταν ποιοτικά ίση από το μέγιστο και ελάχιστη τιμήσημάδι.

Παράδειγμα: Ως αποτέλεσμα του πληθωρισμού, το πρώτο έτος η τιμή ενός προϊόντος διπλασιάστηκε σε σύγκριση με το προηγούμενο έτος. κατά το δεύτερο έτος – άλλες τρεις φορές το επίπεδο προηγούμενο έτος. Είναι σαφές ότι σε δύο χρόνια η τιμή έχει αυξηθεί 6 φορές. Υπολογίστε τον μέσο ρυθμό αύξησης των τιμών ανά έτος;

Κατά τον υπολογισμό του μέσου ρυθμού ανάπτυξης, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ακατάλληλος. Ο γεωμετρικός μέσος όρος δίνει τη σωστή απάντηση.

X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45 φορές.

Μέσο τετράγωνο

Σχετική πληροφορία.

Η πιο κοινή μορφή στατιστικών δεικτών που χρησιμοποιούνται σε οικονομική έρευνα, είναι η μέση τιμή, η οποία είναι ένα γενικευμένο ποσοτικό χαρακτηριστικό ενός χαρακτηριστικού σε έναν στατιστικό πληθυσμό υπό συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου. Ένας δείκτης με τη μορφή μέσης τιμής εκφράζει τυπικά χαρακτηριστικά και παρέχει ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό παρόμοιων φαινομένων σύμφωνα με ένα από τα ποικίλα χαρακτηριστικά. Αντανακλά το επίπεδο αυτού του χαρακτηριστικού που αποδίδεται σε μια μονάδα του πληθυσμού. Η ευρεία χρήση των μέσων όρων εξηγείται από το γεγονός ότι έχουν μια σειρά από θετικές ιδιότητες που τους καθιστούν απαραίτητο εργαλείο για την ανάλυση φαινομένων και διαδικασιών στην οικονομία.

Η πιο σημαντική ιδιότητα της μέσης τιμής είναι ότι αντικατοπτρίζει αυτό που είναι κοινό σε όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού. Οι τιμές των χαρακτηριστικών των μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού κυμαίνονται προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση υπό την επίδραση πολλών παραγόντων, μεταξύ των οποίων μπορεί να υπάρχουν τόσο βασικοί όσο και τυχαίοι. Για παράδειγμα, η τιμή της μετοχής μιας εταιρείας καθορίζεται κυρίως από την οικονομική της απόδοση. Ταυτόχρονα, σε ορισμένες ημέρες και σε ορισμένα χρηματιστήρια, αυτές οι μετοχές, λόγω των συνθηκών που επικρατούν, μπορούν να πωληθούν σε υψηλότερη ή χαμηλότερη τιμή. Η ουσία της μέσης τιμής έγκειται στο γεγονός ότι ακυρώνει τις αποκλίσεις των χαρακτηριστικών τιμών των μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού που προκαλούνται από τη δράση τυχαίων παραγόντων και λαμβάνει υπόψη τις αλλαγές που προκαλούνται από τη δράση των κύριων παραγόντων . Αυτό επιτρέπει στη μέση τιμή να αντικατοπτρίζει το τυπικό επίπεδο του χαρακτηριστικού και να αφαιρεί από τα επιμέρους χαρακτηριστικά που είναι εγγενή σε μεμονωμένες μονάδες.

Χρησιμοποιείται στα στατιστικά στοιχεία διαφορετικά είδημέσες τιμές. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι είναι ο αριθμητικός μέσος, ο αρμονικός μέσος, ο γεωμετρικός μέσος και ο τετραγωνικός μέσος όρος. Η επιλογή του ενός ή του άλλου μέσου όρου εξαρτάται από το περιεχόμενο του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται κατά μέσο όρο και τα συγκεκριμένα δεδομένα από τα οποία πρέπει να υπολογιστεί.

Αυτοί οι μέσοι όροι μπορούν να υπολογιστούν είτε όταν κάθε παραλλαγή του πληθυσμού εμφανίζεται μόνο μία φορά (στην περίπτωση αυτή ονομάζεται ο μέσος όρος απλόςή αστάθμητο), ή όταν οι επιλογές επαναλαμβάνονται διαφορετικό αριθμόφορές (σε αυτή την περίπτωση καλείται ο αριθμός των επαναλήψεων των επιλογών συχνότηταή στατιστικό βάρος, και ο μέσος όρος, που υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη τα βάρη, είναι σταθμισμένος μέσος όρος).

Απλός αριθμητικός μέσος όρος– ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσης τιμής, που υπολογίζεται με τον τύπο

Αριθμητικός μέσος σταθμισμένος

Οπου x i- επιλογή και f i– συχνότητα ή στατιστικό βάρος.

Παράδειγμα.Η εξέταση πέντε γραφείων στον πρώτο όροφο του γραφείου έδειξε ότι εργάζονται σε αυτά 1, 2, 3, 4, 5 άτομα. Ας υπολογίσουμε τον απλό αριθμητικό μέσο όρο:

εκείνοι. Κατά μέσο όρο, υπάρχουν 3 άτομα ανά γραφείο στον πρώτο όροφο.

Τα αποτελέσματα της εξέτασης όλων των δωματίων στο ίδιο κτίριο φαίνονται στον Πίνακα 8.2.

Πίνακας 8.2

Αποτελέσματα έρευνας κτιρίων γραφείων

Ας υπολογίσουμε τον μέσο αριθμό εργαζομένων που εργάζονται σε αυτό το κτίριο:

Εκείνοι. Κατά μέσο όρο, υπάρχουν 7 εργαζόμενοι ανά 2 γραφεία σε αυτό το κτίριο.

Αριθμητικός μέσος όρος - πάντα γενικευμένος ποσοτικό χαρακτηριστικόένα ποικίλο χαρακτηριστικό ενός πληθυσμού.

Αρμονική μέσηυπολογίζεται σε περιπτώσεις όπου είναι απαραίτητο να αθροιστούν όχι οι ίδιες οι επιλογές, αλλά οι αμοιβαίες αξίες τους.

Τύπος υπολογισμού σημαίνει αρμονική απλήΕπόμενο:

Αρμονική μέση σταθμισμένηκαθορίζεται από τον τύπο

Οπου x i- επιλογή, n– αριθμός επιλογών, V i– βάρη για αμοιβαίες αξίες x i.

Παράδειγμα. Αρμονική μέση αστάθμητη(αυτή είναι η μέση φόρμα, που χρησιμοποιείται πολύ λιγότερο συχνά από τη σταθμισμένη μορφή). Για να δείξουμε το εύρος της εφαρμογής του, θα χρησιμοποιήσουμε ένα απλοποιημένο υπό όρους παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι σε μια εταιρεία που ειδικεύεται στις ταχυδρομικές παραγγελίες βάσει προπαραγγελιών, δύο υπάλληλοι ασχολούνται με τη συσκευασία και την αποστολή εμπορευμάτων. Η πρώτη από αυτές διαρκεί 5 λεπτά για την επεξεργασία μιας παραγγελίας, η δεύτερη - 15 λεπτά. Ποιος είναι ο μέσος χρόνος που δαπανάται για 1 παραγγελία, αν συνολική διάρκειαΕίναι το ίδιο το ωράριο εργασίας των εργαζομένων;

Με την πρώτη ματιά, η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση έγκειται στον μέσο όρο των επιμέρους τιμών του χρόνου που δαπανάται σε 1 παραγγελία, δηλ. (5 + 15) : 2 = 10, ελάχ. Ας ελέγξουμε την εγκυρότητα αυτής της προσέγγισης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας ώρας εργασίας. Κατά τη διάρκεια αυτής της ώρας, ο πρώτος εργαζόμενος επεξεργάζεται 12 παραγγελίες (60:5), ο δεύτερος – 4 παραγγελίες (60:15), που κάνει συνολικά 16 παραγγελίες. Εάν αντικαταστήσουμε τις επιμέρους τιμές με την εκτιμώμενη μέση τιμή τους, τότε ο συνολικός αριθμός των παραγγελιών που υποβλήθηκαν σε επεξεργασία και από τους δύο εργαζόμενους στο σε αυτήν την περίπτωσηθα μειωθεί:

Ας προσεγγίσουμε τη λύση μέσω της αρχικής αναλογίας του μέσου όρου. Για να προσδιοριστεί ο μέσος χρόνος που δαπανήθηκε, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί ο συνολικός χρόνος που δαπανήθηκε για οποιοδήποτε διάστημα (για παράδειγμα, μια ώρα) με τον συνολικό αριθμό των παραγγελιών που υποβλήθηκαν σε επεξεργασία από δύο εργαζόμενους κατά τη διάρκεια αυτού του διαστήματος:

Αν τώρα αντικαταστήσουμε τις μεμονωμένες τιμές με αυτές μέσο μέγεθος, τότε ο συνολικός αριθμός παραγγελιών που υποβάλλονται σε επεξεργασία ανά ώρα δεν θα αλλάξει:

Παραγγελίες

Συνοψίζοντας: ο μη σταθμισμένος αρμονικός μέσος όρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί του σταθμισμένου μέσου όρου σε περιπτώσεις όπου οι τιμές Wjγια τις μονάδες του πληθυσμού είναι ίσες (στο εξεταζόμενο παράδειγμα, οι ώρες εργασίας των εργαζομένων είναι οι ίδιες).

Παράδειγμα. Αρμονική μέση σταθμισμένη. Κατά τη διάρκεια των συναλλαγών στο χρηματιστήριο, πραγματοποιήθηκαν πέντε συναλλαγές την πρώτη ώρα λειτουργίας. Τα στοιχεία για το ποσό των πωλήσεων σε ρούβλια και τη συναλλαγματική ισοτιμία του ρουβλίου έναντι του δολαρίου ΗΠΑ δίνονται στον πίνακα 8.3.

Πίνακας 8.3

Στοιχεία για την πρόοδο των συναλλαγών στο χρηματιστήριο συναλλάγματος

Για να προσδιορίσετε τη μέση συναλλαγματική ισοτιμία του ρουβλίου έναντι του δολαρίου, πρέπει να βρείτε την αναλογία μεταξύ του ποσού των πωλήσεων των ρουβλίων που δαπανήθηκαν για την αγορά δολαρίων κατά τη διάρκεια όλων των συναλλαγών και του ποσού των δολαρίων που αποκτήθηκαν ως αποτέλεσμα αυτές οι συναλλαγές.

Εκείνοι. Η μέση τιμή για ένα δολάριο ήταν 25,48 ρούβλια.

Αν χρησιμοποιήθηκε ο αριθμητικός μέσος όρος για τον υπολογισμό του μέσου ρυθμού, δηλ. τρίψιμο. για ένα δολάριο, στη συνέχεια με αυτή τη συναλλαγματική ισοτιμία για την αγορά 29 εκατομμυρίων δολαρίων. θα ήταν απαραίτητο να δαπανηθούν 739,5 εκατομμύρια ρούβλια, κάτι που δεν είναι αλήθεια.

Γεωμετρικό μέσοχρησιμοποιείται για την ανάλυση της δυναμικής των φαινομένων και σας επιτρέπει να προσδιορίσετε μέσος συντελεστήςανάπτυξη. Κατά τον υπολογισμό του γεωμετρικού μέσου όρου, είναι συνήθως μεμονωμένες τιμές ενός χαρακτηριστικού σχετικούς δείκτεςδυναμική που κατασκευάζεται με τη μορφή τιμών αλυσίδας ως ο λόγος κάθε επιπέδου της σειράς προς το προηγούμενο επίπεδο.

Μέση γεωμετρική απλήυπολογίζεται με τον τύπο

Αν χρησιμοποιήσουμε συχνότητες Μ, παίρνουμε σταθμισμένος γεωμετρικός μέσος τύπος

Μέσο τετράγωνοχρησιμοποιείται κατά τη μελέτη της παραλλαγής ενός χαρακτηριστικού. Ως επιλογές, χρησιμοποιούνται αποκλίσεις των πραγματικών τιμών του χαρακτηριστικού είτε από τον αριθμητικό μέσο όρο είτε από τον καθορισμένο κανόνα.

Για μη ομαδοποιημένα δεδομένα, χρησιμοποιήστε τον τύπο μέσο τετράγωνο απλό

Για ομαδοποιημένα δεδομένα χρησιμοποιήστε τον τύπο σταθμισμένο μέσο τετράγωνο

Τα αριθμητικά, τα αρμονικά, τα γεωμετρικά και τα τετραγωνικά μέσα που υπολογίζονται για τον ίδιο αριθμό επιλογών διαφέρουν μεταξύ τους. Η αριθμητική τους τιμή αυξάνεται με την αύξηση του εκθέτη στον τύπο μέσου όρου ισχύος, δηλ. – ο κανόνας της μείζονος μέσης Α.Υα. Μπογιάρσκι.

Διαρθρωτικοί μέσοι όροι

Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι διαρθρωτικοί μέσοι όροι στην οικονομική πρακτική είναι μόδαΚαι διάμεσος.

Μόδα– αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού (παραλλαγής) που απαντάται συχνότερα σε έναν δεδομένο πληθυσμό, δηλ. Αυτή είναι η επιλογή με την υψηλότερη συχνότητα. Σε μια διακριτή σειρά, η λειτουργία καθορίζεται σύμφωνα με τον ορισμό, δηλ. Αυτή είναι μια από τις παραλλαγές του χαρακτηριστικού που έχει την υψηλότερη συχνότητα στη σειρά διανομής. Για μια σειρά διαστήματος, βρίσκουμε τη λειτουργία χρησιμοποιώντας τον τύπο (8.16), πρώτα από υψηλότερη συχνότηταορίζοντας το τροπικό διάστημα:

όπου x 0 – αρχικό (κάτω) όριο του διαστήματος των τρόπων.

η– μέγεθος διαστήματος

f Mo– συχνότητα του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·

στ Μο-1– συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του τροπικού.

f Mo+1– συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

Διάμεσοςη τιμή ενός χαρακτηριστικού που πέφτει στη μέση της σειράς κατάταξης ονομάζεται, δηλ. στη σειρά κατάταξης της κατανομής, το ένα μισό της σειράς έχει χαρακτηριστική τιμή μεγαλύτερη από τη διάμεσο, το άλλο μισό μικρότερο από το διάμεσο.

Σε μια διακριτή σειρά, η διάμεσος βρίσκεται απευθείας από τη συσσωρευμένη συχνότητα που αντιστοιχεί στον διάμεσο αριθμό.

Στην περίπτωση μιας σειράς μεταβολής διαστήματος, η διάμεσος προσδιορίζεται από τον τύπο

Οπου x o– κατώτερο όριο του ενδιάμεσου διαστήματος.

N Εγώ– σειριακός αριθμόςδιάμεσοι (Σf/2);

S Me -1– συσσωρευμένη συχνότητα μέχρι το διάμεσο διάστημα.

στ Εγώ– συχνότητα του μέσου διαστήματος.

Παράδειγμα.Ας υπολογίσουμε τον τρόπο λειτουργίας και τη διάμεσο σύμφωνα με τα δεδομένα του Πίνακα. 8.4.

Πίνακας 8.4

Κατανομή των οικογενειών της πόλης κατά μέγεθος
μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα τον Ιανουάριο του 2008

Ας βρούμε τη λειτουργία χρησιμοποιώντας τον τύπο (8.16):

Ας υπολογίσουμε τη διάμεσο χρησιμοποιώντας τον τύπο (8.17):

βρέθηκε για πρώτη φορά Νδιάμεσοι: N Me = Σf i /2= 5000. Με βάση τις συσσωρευμένες συχνότητες, προσδιορίζουμε ότι το 5000 βρίσκεται στο διάστημα (7000 – 8000), η τιμή του καθορίζεται από τον τύπο:

Συμπέρασμα: σύμφωνα με τη μόδα - πιο συνηθισμένο μέσο κατά κεφαλήν εισόδημαστο ποσό των 7.730 ρούβλια, σύμφωνα με τον διάμεσο - οι μισές οικογένειες της πόλης έχουν μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα κάτω από 7.800 ρούβλια, οι υπόλοιπες οικογένειες - περισσότερα από 7.800 ρούβλια.

Ο λόγος του τρόπου λειτουργίας, του μέσου όρου και του αριθμητικού μέσου όρου υποδεικνύει τη φύση της κατανομής του χαρακτηριστικού στο σύνολο και μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε την ασυμμετρία του. Αν Μ 0<М е <Х – υπάρχει δεξιόπλευρη ασυμμετρία, με Χ<М е <М 0 θα πρέπει να συναχθεί το συμπέρασμα ότι υπάρχει μια αριστερή ασυμμετρία της σειράς.

Εργασίες δοκιμής

1. Ποιος είναι ο ρόλος των σχετικών ποσοτήτων στις στατιστικές;

2. Ποιες μορφές έκφρασης σχετικών μεγεθών υπάρχουν;

3. Τι νόημα έχουν οι μέσοι όροι στις στατιστικές;

4. Τι τύποι μέσων όρων χρησιμοποιούνται στις στατιστικές;

5. Σε ποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται ο αρμονικός, ο τετραγωνικός και ο γεωμετρικός μέσος;

6. Με βάση τα δεδομένα του Πίνακα 8.5, προσδιορίστε τη λειτουργία και τη διάμεσο.

Πίνακας 8.5

Διανομή εμπορικών επιχειρήσεων στην πόλη
από το επίπεδο των τιμών λιανικής για το προϊόν Α

7. Σύμφωνα με τον Πίνακα 8.6, προσδιορίστε τη μέση ηλικία του προσωπικού.

Πίνακας 8.6

Κατανομή των εργαζομένων της εταιρείας ανά ηλικία

8. Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 8.7, προσδιορίστε τη μέση προϋπηρεσία: α) εργαζομένων. β) εργαζόμενοι.

Πίνακας 8.7

Κατανομή εργαζομένων κατά προϋπηρεσία