Διακύμανση προσδοκιών μαθηματικών. Προκειμένου να επιτευχθούν θετικά αποτελέσματα, είναι εξίσου σημαντικό

Εργασία 1.Η πιθανότητα βλάστησης των σπόρων σιταριού είναι 0,9. Ποια είναι η πιθανότητα από τους τέσσερις σπόρους που έχουν σπαρθεί να φυτρώσουν τουλάχιστον τρεις;

Απόφαση. Αφήστε το γεγονός ΑΛΛΑ- από 4 σπόρους, τουλάχιστον 3 σπόροι θα φυτρώσουν. Εκδήλωση ΣΤΟ- από 4 σπόρους, 3 σπόροι θα φυτρώσουν. Εκδήλωση Με 4 σπόροι θα φυτρώσουν από 4 σπόρους. Σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανότητας

Πιθανότητες
και
προσδιορίζεται από τον τύπο Bernoulli που χρησιμοποιείται σε επόμενη περίπτωση. Αφήστε τη σειρά να τρέξει Π ανεξάρτητα τεστ, για καθένα από τα οποία η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν είναι σταθερή και ίση με R, και η πιθανότητα να μην συμβεί αυτό το συμβάν είναι ίση με
. Τότε η πιθανότητα ότι το γεγονός ΑΛΛΑσε Ποι δοκιμές θα εμφανιστούν ακριβώς φορές, που υπολογίζεται με τον τύπο Bernoulli

,

που
- ο αριθμός των συνδυασμών των Πστοιχεία από . Τότε

Επιθυμητή πιθανότητα

Εργασία 2.Η πιθανότητα βλάστησης των σπόρων σιταριού είναι 0,9. Βρείτε την πιθανότητα από τους 400 σπόρους που έχουν σπαρθεί, να φυτρώσουν 350 σπόροι.

Απόφαση. Υπολογίστε την απαιτούμενη πιθανότητα
σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli είναι δύσκολο λόγω της δυσκινησίας των υπολογισμών. Επομένως, εφαρμόζουμε έναν κατά προσέγγιση τύπο που εκφράζει το τοπικό θεώρημα Laplace:

,

που
και
.

Από τη δήλωση του προβλήματος. Τότε

.

Από τον πίνακα 1 των εφαρμογών βρίσκουμε . Η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με

Εργασία 3.Μεταξύ των σπόρων σιταριού, το 0,02% των ζιζανίων. Ποια είναι η πιθανότητα μια τυχαία επιλογή 10.000 σπόρων να αποκαλύψει 6 σπόρους ζιζανίων;

Απόφαση. Εφαρμογή του τοπικού θεωρήματος Laplace λόγω χαμηλής πιθανότητας
οδηγεί σε σημαντική απόκλιση της πιθανότητας από την ακριβή τιμή
. Επομένως, για μικρές αξίες Rνα υπολογίσω
εφαρμόστε τον ασυμπτωτικό τύπο Poisson

, που .

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται όταν
, και τόσο λιγότερο Rκι αλλα Π, τόσο πιο ακριβές είναι το αποτέλεσμα.

Σύμφωνα με την εργασία
;
. Τότε

Εργασία 4.Το ποσοστό βλάστησης των σπόρων του σιταριού είναι 90%. Βρείτε την πιθανότητα ότι από 500 σπόρους που έχουν σπαρθεί, από 400 έως 440 σπόροι θα φυτρώσουν.

Απόφαση. Εάν η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΑΛΛΑσε καθένα από Ποι δοκιμές είναι σταθερές και ίσες με R, τότε η πιθανότητα
ότι η εκδήλωση ΑΛΛΑσε τέτοιες δοκιμές θα υπάρχουν τουλάχιστον μια φορά και όχι άλλη Ο χρόνος καθορίζεται από το ολοκληρωτικό θεώρημα Laplace με τον ακόλουθο τύπο:

, που

,
.

Λειτουργία
ονομάζεται συνάρτηση Laplace. Τα παραρτήματα (Πίνακας 2) δίνουν τις τιμές αυτής της συνάρτησης για
. Στο
λειτουργία
. Στο αρνητικές τιμές Χλόγω της παραδοξότητας της συνάρτησης Laplace
. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Laplace, έχουμε:

Σύμφωνα με την εργασία. Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, βρίσκουμε
και :

Εργασία 5.Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ:

2. Βρείτε: 1) μαθηματική προσδοκία. 2) διασπορά? 3) τυπική απόκλιση.

Απόφαση. 1) Εάν ο νόμος διανομής είναι διακριτός τυχαία μεταβλητήδίνεται από πίνακα

2. Όταν οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής x δίνονται στην πρώτη γραμμή και οι πιθανότητες αυτών των τιμών δίνονται στη δεύτερη γραμμή, τότε η μαθηματική προσδοκία υπολογίζεται από τον τύπο

2) Διασπορά
διακριτή τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από αυτήν μαθηματική προσδοκία, δηλ.

Αυτή η τιμή χαρακτηρίζει τη μέση αναμενόμενη τιμή της τετραγωνικής απόκλισης Χαπό
. Από τον τελευταίο τύπο που έχουμε

διασπορά
μπορεί να βρεθεί με άλλο τρόπο, με βάση την ακόλουθη ιδιότητά του: διακύμανση
ισούται με τη διαφορά μεταξύ της μαθηματικής προσδοκίας του τετραγώνου της τυχαίας μεταβλητής Χκαι το τετράγωνο της μαθηματικής του προσδοκίας
, δηλ

Να υπολογίσω
συνθέτουμε τον παρακάτω νόμο κατανομής της ποσότητας
:

3) Για να χαρακτηριστεί η διασπορά των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της, εισάγεται η τυπική απόκλιση
τυχαία μεταβλητή Χ, ίση με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης
, δηλ

.

Από αυτόν τον τύπο έχουμε:

Εργασία 6.Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χπου δίνεται από τη συνάρτηση ολοκληρωτικής κατανομής

Βρείτε: 1) συνάρτηση διαφορικής κατανομής
; 2) μαθηματική προσδοκία
; 3) διασπορά
.

Απόφαση. 1) Συνάρτηση διαφορικής κατανομής
συνεχής τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης ολοκληρωτικής κατανομής
, δηλ

.

Η επιθυμητή διαφορική συνάρτηση έχει την ακόλουθη μορφή:

2) Εάν μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τη συνάρτηση
, τότε η μαθηματική προσδοκία του καθορίζεται από τον τύπο

Από τη λειτουργία
στο
και στο
ισούται με μηδέν, τότε από τον τελευταίο τύπο έχουμε

.

3) Διασπορά
ορίστε με τον τύπο

Εργασία 7.Το μήκος του εξαρτήματος είναι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με μαθηματική προσδοκία 40 mm και τυπική απόκλιση 3 mm. Βρείτε: 1) την πιθανότητα ότι το μήκος ενός αυθαίρετου τμήματος θα είναι μεγαλύτερο από 34 mm και μικρότερο από 43 mm. 2) η πιθανότητα το μήκος του εξαρτήματος να αποκλίνει από τη μαθηματική του προσδοκία κατά όχι περισσότερο από 1,5 mm.

Απόφαση. 1) Αφήστε Χ- το μήκος του εξαρτήματος. Αν η τυχαία μεταβλητή Χδεδομένος διαφορική συνάρτηση
, τότε η πιθανότητα ότι Χθα λάβει τις τιμές που ανήκουν στο τμήμα
, καθορίζεται από τον τύπο

.

Πιθανότητα εκπλήρωσης αυστηρών ανισοτήτων
καθορίζεται με τον ίδιο τύπο. Αν η τυχαία μεταβλητή Χδιανεμήθηκαν από κανονικός νόμος, τότε

, (1)

που
είναι η συνάρτηση Laplace,
.

Στην εργασία. Τότε

2) Από την συνθήκη του προβλήματος, όπου
. Αντικαθιστώντας σε (1) , έχουμε

. (2)

Από τον τύπο (2) έχουμε.

Η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να εξεταστεί χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της ρίψης ενός ζαριού. Με κάθε ρίψη καταγράφονται οι πόντοι που πέφτουν. Για να τις εκφράσουν χρησιμοποιούνται φυσικές τιμές στην περιοχή 1 - 6.

Μετά από έναν ορισμένο αριθμό ρίψεων, με τη βοήθεια απλών υπολογισμών, μπορείτε να βρείτε τον μέσο όρο αριθμητική τιμήέπεσαν πόντους.

Εκτός από την απόρριψη οποιασδήποτε από τις τιμές εύρους, αυτή η τιμή θα είναι τυχαία.

Και αν αυξήσετε τον αριθμό των βολών αρκετές φορές; Στο μεγάλες ποσότητεςρίχνει, ο αριθμητικός μέσος όρος των πόντων θα πλησιάσει συγκεκριμένο αριθμό, που στη θεωρία πιθανοτήτων ονομάζεται μαθηματική προσδοκία.

Έτσι, η μαθηματική προσδοκία νοείται ως η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να παρουσιαστεί ως σταθμισμένο άθροισμα πιθανών τιμών.

Αυτή η έννοια έχει πολλά συνώνυμα:

• σημαίνω;
• μέση αξία;
• κεντρικός δείκτης τάσης·
• πρώτη στιγμή.

Με άλλα λόγια, δεν είναι τίποτα άλλο από έναν αριθμό γύρω από τον οποίο κατανέμονται οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής.

ΣΤΟ διάφορα πεδία ανθρώπινη δραστηριότηταΟι προσεγγίσεις για την κατανόηση της μαθηματικής προσδοκίας θα είναι κάπως διαφορετικές.

Μπορεί να θεωρηθεί ως:

• το μέσο όφελος που προκύπτει από την έκδοση απόφασης, στην περίπτωση που μια τέτοια απόφαση εξετάζεται από την άποψη της θεωρίας των μεγάλων αριθμών·
• πιθανό ποσό κέρδους ή ζημίας (θεωρία ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ), υπολογίζεται κατά μέσο όρο για κάθε ένα από τα ποσοστά. Στην αργκό, ακούγονται σαν "πλεονέκτημα του παίκτη" (θετικό για τον παίκτη) ή "πλεονέκτημα καζίνο" (αρνητικό για τον παίκτη).
• ποσοστό του κέρδους που λαμβάνεται από τα κέρδη.

Η μαθηματική προσδοκία δεν είναι υποχρεωτική για όλες τις τυχαίες μεταβλητές. Απουσιάζει για όσους έχουν απόκλιση στο αντίστοιχο άθροισμα ή ολοκλήρωμα.

Ιδιότητες προσδοκίας

Όπως κάθε στατιστική παράμετρος, η μαθηματική προσδοκία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Βασικοί τύποι για τη μαθηματική προσδοκία

Ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο για τυχαίες μεταβλητές που χαρακτηρίζονται τόσο από συνέχεια (τύπος Α) όσο και από διακριτικότητα (τύπος Β):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, όπου xi είναι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής, pi είναι οι πιθανότητες:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, όπου f(x) είναι μια δεδομένη πυκνότητα πιθανότητας.

Παραδείγματα υπολογισμού της μαθηματικής προσδοκίας

Παράδειγμα Α.

Είναι δυνατόν να μάθετε το μέσο ύψος των καλικάντζαρων στο παραμύθι για τη Χιονάτη. Είναι γνωστό ότι καθένας από τους 7 καλικάντζαρους είχε ένα ορισμένο ύψος: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 και 0,81 μ.

Ο αλγόριθμος υπολογισμού είναι αρκετά απλός:

• βρείτε το άθροισμα όλων των τιμών του δείκτη ανάπτυξης (τυχαία μεταβλητή):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Το ποσό που προκύπτει διαιρείται με τον αριθμό των καλικάντζαρων:
  6,31:7=0,90.

Έτσι, το μέσο ύψος των καλικάντζαρων σε ένα παραμύθι είναι 90 εκ. Με άλλα λόγια, αυτή είναι η μαθηματική προσδοκία για την ανάπτυξη των καλικάντζαρων.

Τύπος εργασίας - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Πρακτική εφαρμογή της μαθηματικής προσδοκίας

Ο υπολογισμός του στατιστικού δείκτη της μαθηματικής προσδοκίας χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς πρακτικές δραστηριότητες. Πρωτίστως μιλαμεγια την εμπορική περιοχή. Εξάλλου, η εισαγωγή αυτού του δείκτη από τον Huygens συνδέεται με τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων που μπορεί να είναι ευνοϊκές ή, αντίθετα, δυσμενείς, για κάποιο γεγονός.

Αυτή η παράμετρος χρησιμοποιείται ευρέως για την αξιολόγηση κινδύνου, ειδικά όταν πρόκειται για χρηματοοικονομικές επενδύσεις.
Έτσι, στις επιχειρήσεις, ο υπολογισμός των μαθηματικών προσδοκιών λειτουργεί ως μέθοδος για την εκτίμηση του κινδύνου κατά τον υπολογισμό των τιμών.

Επίσης, αυτός ο δείκτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά τον υπολογισμό της αποτελεσματικότητας ορισμένων μέτρων, για παράδειγμα, για την προστασία της εργασίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν.

Ένας άλλος τομέας εφαρμογής αυτής της παραμέτρου είναι η διαχείριση. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί κατά τον ποιοτικό έλεγχο του προϊόντος. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας χαλάκι. οι προσδοκίες μπορούν να υπολογιστούν πιθανός αριθμόςπαραγωγή ελαττωματικών ανταλλακτικών.

Η μαθηματική προσδοκία αποδεικνύεται επίσης απαραίτητη κατά τη διεξαγωγή στατιστική επεξεργασίαελήφθη κατά τη διάρκεια επιστημονική έρευναΑποτελέσματα. Σας επιτρέπει επίσης να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός επιθυμητού ή ανεπιθύμητου αποτελέσματος ενός πειράματος ή μελέτης, ανάλογα με το επίπεδο επίτευξης του στόχου. Άλλωστε, το επίτευγμά του μπορεί να συσχετιστεί με κέρδος και κέρδος, και η μη επίτευξή του - ως απώλεια ή απώλεια.

Χρήση μαθηματικών προσδοκιών στο Forex

Η πρακτική εφαρμογή αυτής της στατιστικής παραμέτρου είναι δυνατή κατά τη διενέργεια συναλλαγών στην αγορά συναλλάγματος. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση της επιτυχίας των εμπορικών συναλλαγών. Επιπλέον, η αύξηση της αξίας των προσδοκιών υποδηλώνει αύξηση της επιτυχίας τους.

Είναι επίσης σημαντικό να θυμόμαστε ότι η μαθηματική προσδοκία δεν πρέπει να θεωρείται ως η μόνη στατιστική παράμετρος που χρησιμοποιείται για την ανάλυση της απόδοσης ενός εμπόρου. Η χρήση πολλών στατιστικών παραμέτρων μαζί με τη μέση τιμή αυξάνει την ακρίβεια της ανάλυσης κατά καιρούς.

Αυτή η παράμετρος έχει αποδειχθεί καλά στην παρακολούθηση των παρατηρήσεων των λογαριασμών συναλλαγών. Χάρη σε αυτόν, πραγματοποιείται μια γρήγορη αξιολόγηση των εργασιών που πραγματοποιήθηκαν στον καταθετικό λογαριασμό. Σε περιπτώσεις που η δραστηριότητα του εμπόρου είναι επιτυχής και αποφεύγει τις απώλειες, δεν συνιστάται η χρήση μόνο του υπολογισμού της μαθηματικής προσδοκίας. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι κίνδυνοι δεν λαμβάνονται υπόψη, γεγονός που μειώνει την αποτελεσματικότητα της ανάλυσης.

Οι μελέτες που διεξήχθησαν για τις τακτικές των εμπόρων δείχνουν ότι:

• Οι πιο αποτελεσματικές είναι οι τακτικές που βασίζονται σε τυχαία εισαγωγή.
• Οι λιγότερο αποτελεσματικές είναι οι τακτικές που βασίζονται σε δομημένες εισροές.

Για να επιτευχθούν θετικά αποτελέσματα, είναι εξίσου σημαντικό:

• τακτικές διαχείρισης χρημάτων?
• στρατηγικές εξόδου.

Χρησιμοποιώντας έναν τέτοιο δείκτη όπως η μαθηματική προσδοκία, μπορούμε να υποθέσουμε ποιο θα είναι το κέρδος ή η ζημία όταν επενδύουμε 1 δολάριο. Είναι γνωστό ότι αυτός ο δείκτης, που υπολογίζεται για όλα τα παιχνίδια που ασκούνται στο καζίνο, είναι υπέρ του ιδρύματος. Αυτό είναι που σας επιτρέπει να κερδίσετε χρήματα. Στην περίπτωση μιας μεγάλης σειράς παιχνιδιών, η πιθανότητα απώλειας χρημάτων από τον πελάτη αυξάνεται σημαντικά.

Τα παιχνίδια των επαγγελματιών παικτών περιορίζονται σε μικρές χρονικές περιόδους, γεγονός που αυξάνει την πιθανότητα νίκης και μειώνει τον κίνδυνο ήττας. Το ίδιο μοτίβο παρατηρείται και στην απόδοση των επενδυτικών πράξεων.

Ένας επενδυτής μπορεί να κερδίσει ένα σημαντικό ποσό με θετική προσδοκία και απόδοση ένας μεγάλος αριθμόςσυναλλαγές σε σύντομο χρονικό διάστημα.

Η προσδοκία μπορεί να θεωρηθεί ως η διαφορά μεταξύ του ποσοστού κέρδους (PW) επί του μέσου κέρδους (AW) και της πιθανότητας απώλειας (PL) επί της μέσης ζημίας (AL).

Ως παράδειγμα, εξετάστε τα εξής: θέση - 12,5 χιλιάδες δολάρια, χαρτοφυλάκιο - 100 χιλιάδες δολάρια, κίνδυνος ανά κατάθεση - 1%. Η κερδοφορία των συναλλαγών είναι 40% των περιπτώσεων με μέσο κέρδος 20%. Σε περίπτωση απώλειας, η μέση απώλεια είναι 5%. Ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας για μια συναλλαγή δίνει μια τιμή 625 $.

Οι τυχαίες μεταβλητές, εκτός από τους νόμους κατανομής, μπορούν επίσης να περιγραφούν αριθμητικά χαρακτηριστικά .

μαθηματική προσδοκίαΤο M (x) μιας τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται μέση τιμή της.

Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται από τον τύπο

που – τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής, σελ Εγώ-τις πιθανότητες τους.

Εξετάστε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:

1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά

2. Εάν μια τυχαία μεταβλητή πολλαπλασιαστεί με έναν ορισμένο αριθμό k, τότε η μαθηματική προσδοκία θα πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό

M (kx) = kM (x)

3. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές x 1 , x 2 , … x n η μαθηματική προσδοκία του προϊόντος είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία για την τυχαία μεταβλητή από το Παράδειγμα 11.

Μ(χ) == .

Παράδειγμα 12.Έστω οι τυχαίες μεταβλητές x 1 , x 2 από τους νόμους κατανομής, αντίστοιχα:

x 1 Πίνακας 2

x 2 Πίνακας 3

Υπολογίστε το M (x 1) και το M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Οι μαθηματικές προσδοκίες και των δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίδιες - είναι ίσες με μηδέν. Ωστόσο, η κατανομή τους είναι διαφορετική. Εάν οι τιμές του x 1 διαφέρουν ελάχιστα από τις μαθηματικές προσδοκίες τους, τότε οι τιμές του x 2 διαφέρουν σε μεγάλο βαθμό από τις μαθηματικές προσδοκίες τους και οι πιθανότητες τέτοιων αποκλίσεων δεν είναι μικρές. Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι είναι αδύνατο να προσδιοριστεί από τη μέση τιμή ποιες αποκλίσεις από αυτήν λαμβάνουν χώρα τόσο προς τα πάνω όσο και προς τα κάτω. Με το ίδιο λοιπόν μέση τιμήΟι ετήσιες βροχοπτώσεις σε δύο τοποθεσίες δεν μπορούμε να πούμε ότι είναι εξίσου ευνοϊκές για γεωργικές εργασίες. Ομοίως, ως προς τον μέσο όρο μισθοίδεν είναι δυνατόν να κρίνουμε ειδικό βάροςυψηλά και χαμηλά αμειβόμενοι εργαζόμενοι. Ως εκ τούτου, εισάγεται αριθμητικό χαρακτηριστικό – διασπορά D(x) , που χαρακτηρίζει τον βαθμό απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Η διασπορά είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική προσδοκία. Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η διακύμανση υπολογίζεται από τον τύπο:

D(x)= = (3)

Από τον ορισμό της διασποράς προκύπτει ότι D (x) 0.

Ιδιότητες διασποράς:

1. Η διασπορά της σταθεράς είναι μηδέν

2. Εάν μια τυχαία μεταβλητή πολλαπλασιαστεί με κάποιον αριθμό k, τότε η διακύμανση πολλαπλασιάζεται με το τετράγωνο αυτού του αριθμού

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ανά ζεύγη x 1 , x 2 , … x n η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση για την τυχαία μεταβλητή από το Παράδειγμα 11.

Μαθηματική προσδοκία M (x) = 1. Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Σημειώστε ότι είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε τη διακύμανση εάν χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Ας υπολογίσουμε τις διακυμάνσεις για τις τυχαίες μεταβλητές x 1 , x 2 από το Παράδειγμα 12 χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο. Οι μαθηματικές προσδοκίες και των δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίσες με μηδέν.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u03

D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Όσο πιο κοντά είναι η τιμή διασποράς στο μηδέν, τόσο μικρότερη είναι η εξάπλωση της τυχαίας μεταβλητής σε σχέση με τη μέση τιμή.

Η τιμή ονομάζεται τυπική απόκλιση. Τυχαία μόδαΧ διακριτού τύπου Mdείναι η τιμή της τυχαίας μεταβλητής, η οποία αντιστοιχεί στην υψηλότερη πιθανότητα.

Τυχαία μόδαΧ συνεχούς τύπου Md, λέγεται πραγματικός αριθμός, ορίζεται ως το μέγιστο σημείο της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας f(x).

Διάμεσος μιας τυχαίας μεταβλητήςΧ συνεχούς τύπου Mnείναι ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση

Θεωρία πιθανοτήτων - ειδικό τμήμαμαθηματικά, τα οποία μελετούν μόνο φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Σας αρέσουν οι υπολογισμοί και οι τύποι; Δεν φοβάστε τις προοπτικές γνωριμίας με την κανονική κατανομή, την εντροπία του συνόλου, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής; Τότε αυτό το θέμα θα σας ενδιαφέρει πολύ. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά από τα πιο σημαντικά ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣαυτόν τον κλάδο της επιστήμης.

Ας θυμηθούμε τα βασικά

Ακόμα κι αν θυμάστε τα περισσότερα απλές έννοιεςθεωρία πιθανοτήτων, μην παραμελείτε τις πρώτες παραγράφους του άρθρου. Το γεγονός είναι ότι χωρίς σαφή κατανόηση των βασικών, δεν θα μπορείτε να εργαστείτε με τους τύπους που συζητούνται παρακάτω.

Άρα υπάρχουν μερικά τυχαίο συμβάν, κάποιο πείραμα. Ως αποτέλεσμα των ενεργειών που εκτελούνται, μπορούμε να έχουμε πολλά αποτελέσματα - μερικά από αυτά είναι πιο κοινά, άλλα λιγότερο κοινά. Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ο λόγος του αριθμού των πραγματικά ληφθέντων αποτελεσμάτων ενός τύπου προς συνολικός αριθμόςδυνατόν. Μόνο γνωρίζοντας κλασικός ορισμόςαπό αυτήν την έννοια, μπορείτε να αρχίσετε να μελετάτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση συνεχών τυχαίων μεταβλητών.

Μέση τιμή

Πίσω στο σχολείο, στα μαθήματα μαθηματικών, άρχισες να δουλεύεις με τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και επομένως δεν μπορεί να αγνοηθεί. Το κυριότερο για εμάς αυτή τη στιγμήείναι ότι θα το συναντήσουμε στους τύπους για τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Έχουμε μια ακολουθία αριθμών και θέλουμε να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο. Το μόνο που απαιτείται από εμάς είναι να αθροίσουμε όλα τα διαθέσιμα και να διαιρέσουμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Έστω ότι έχουμε αριθμούς από το 1 έως το 9. Το άθροισμα των στοιχείων θα είναι 45, και θα διαιρέσουμε αυτήν την τιμή με το 9. Απάντηση: - 5.

Διασπορά

ομιλία επιστημονική γλώσσα, η διακύμανση είναι μεσαίο τετράγωνοαποκλίσεις των λαμβανόμενων χαρακτηριστικών τιμών από τον αριθμητικό μέσο όρο. Το ένα συμβολίζεται με κεφαλαίο λατινικό γράμμα D. Τι χρειάζεται για τον υπολογισμό του; Για κάθε στοιχείο της ακολουθίας, υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του διαθέσιμου αριθμού και του αριθμητικού μέσου όρου και τον τετραγωνίζουμε. Θα υπάρξουν ακριβώς τόσες αξίες όσες μπορεί να υπάρξουν αποτελέσματα για το γεγονός που εξετάζουμε. Στη συνέχεια, συνοψίζουμε όλα όσα λάβαμε και διαιρούμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Αν έχουμε πέντε πιθανά αποτελέσματα, τότε διαιρέστε με πέντε.

Η διακύμανση έχει επίσης ιδιότητες που πρέπει να θυμάστε για να την εφαρμόσετε κατά την επίλυση προβλημάτων. Για παράδειγμα, εάν η τυχαία μεταβλητή αυξηθεί κατά Χ φορές, η διακύμανση αυξάνεται κατά Χ φορές το τετράγωνο (δηλαδή, X*X). Δεν είναι ποτέ λιγότερο από το μηδέν και δεν εξαρτάται από τη μετατόπιση των τιμών κατά ίσης αξίαςπάνω ή κάτω. Επίσης, για ανεξάρτητες δοκιμές, η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.

Τώρα πρέπει οπωσδήποτε να εξετάσουμε παραδείγματα της διακύμανσης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Ας υποθέσουμε ότι κάνουμε 21 πειράματα και έχουμε 7 διαφορετικά αποτελέσματα. Παρατηρήσαμε το καθένα από αυτά, αντίστοιχα, 1,2,2,3,4,4 και 5 φορές. Ποια θα είναι η διακύμανση;

Αρχικά, υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο: το άθροισμα των στοιχείων, φυσικά, είναι 21. Το διαιρούμε με το 7, παίρνοντας 3. Τώρα αφαιρούμε 3 από κάθε αριθμό της αρχικής ακολουθίας, τετραγωνίζουμε κάθε τιμή και προσθέτουμε τα αποτελέσματα μαζί . Αποδεικνύεται 12. Τώρα μένει να διαιρέσουμε τον αριθμό με τον αριθμό των στοιχείων και, όπως φαίνεται, αυτό είναι όλο. Υπάρχει όμως ένα πιάσιμο! Ας το συζητήσουμε.

Εξάρτηση από τον αριθμό των πειραμάτων

Αποδεικνύεται ότι κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης, ο παρονομαστής μπορεί να είναι ένας από τους δύο αριθμούς: είτε N είτε N-1. Εδώ N είναι ο αριθμός των πειραμάτων που εκτελούνται ή ο αριθμός των στοιχείων στην ακολουθία (που είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα). Από τι εξαρτάται;

Εάν ο αριθμός των δοκιμών μετρηθεί σε εκατοντάδες, τότε πρέπει να βάλουμε στον παρονομαστή το N. Αν σε μονάδες, τότε N-1. Οι επιστήμονες αποφάσισαν να σχεδιάσουν τα σύνορα αρκετά συμβολικά: σήμερα τρέχει κατά μήκος του αριθμού 30. Εάν πραγματοποιούσαμε λιγότερα από 30 πειράματα, τότε θα διαιρέσουμε το ποσό με το N-1 και αν περισσότερο, τότε με το N.

Εργο

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας για την επίλυση του προβλήματος διακύμανσης και προσδοκιών. Πήραμε έναν ενδιάμεσο αριθμό 12, ο οποίος έπρεπε να διαιρεθεί με Ν ή Ν-1. Δεδομένου ότι πραγματοποιήσαμε 21 πειράματα, τα οποία είναι λιγότερα από 30, θα επιλέξουμε τη δεύτερη επιλογή. Άρα η απάντηση είναι: η διακύμανση είναι 12 / 2 = 2.

Αναμενόμενη αξία

Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη έννοια, την οποία πρέπει να εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο. Η μαθηματική προσδοκία είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των πιθανών αποτελεσμάτων πολλαπλασιαζόμενη με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η τιμή που προκύπτει, καθώς και το αποτέλεσμα του υπολογισμού της διακύμανσης, λαμβάνεται μόνο μία φορά για ολόκληρο έργο, ανεξάρτητα από το πόσα αποτελέσματα θεωρεί.

Ο τύπος των μαθηματικών προσδοκιών είναι αρκετά απλός: παίρνουμε το αποτέλεσμα, το πολλαπλασιάζουμε με την πιθανότητα του, προσθέτουμε το ίδιο για το δεύτερο, το τρίτο αποτέλεσμα κ.λπ. Όλα όσα σχετίζονται με αυτήν την έννοια είναι εύκολο να υπολογιστούν. Για παράδειγμα, το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών είναι ίσο με τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος. Το ίδιο ισχύει και για το έργο. Τέτοιος απλές λειτουργίεςμακριά από κάθε ποσότητα στη θεωρία των πιθανοτήτων μας επιτρέπει να εκπληρώσουμε με αυτήν. Ας αναλάβουμε μια εργασία και ας υπολογίσουμε την αξία δύο εννοιών που μελετήσαμε ταυτόχρονα. Επιπλέον, μας αποσπούσε η θεωρία - ήρθε η ώρα να εξασκηθούμε.

Ένα ακόμη παράδειγμα

Πραγματοποιήσαμε 50 δοκιμές και πήραμε 10 είδη αποτελεσμάτων - αριθμούς από το 0 έως το 9 - που εμφανίστηκαν σε διαφορετικά ποσοστό. Αυτά είναι, αντίστοιχα: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Θυμηθείτε ότι για να λάβετε τις πιθανότητες, πρέπει να διαιρέσετε τις ποσοστιαίες τιμές με το 100. Έτσι, παίρνουμε 0,02. 0,1 κ.λπ. Ας παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο που θυμόμαστε δημοτικό σχολείο: 50/10 = 5.

Τώρα ας μεταφράσουμε τις πιθανότητες στον αριθμό των αποτελεσμάτων "σε κομμάτια" για να είναι πιο βολικό να μετράμε. Λαμβάνουμε 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 και 9. Αφαιρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο από κάθε τιμή που λαμβάνεται, μετά την οποία τετραγωνίζουμε καθένα από τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Δείτε πώς να το κάνετε αυτό με το πρώτο στοιχείο ως παράδειγμα: 1 - 5 = (-4). Επιπλέον: (-4) * (-4) = 16. Για άλλες τιμές, κάντε αυτές τις πράξεις μόνοι σας. Εάν τα κάνατε όλα σωστά, τότε αφού τα προσθέσετε όλα θα έχετε 90.

Ας συνεχίσουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης και του μέσου όρου διαιρώντας το 90 με το N. Γιατί επιλέγουμε N και όχι N-1; Σωστά, γιατί ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ξεπερνά τα 30. Άρα: 90/10 = 9. Πήραμε τη διασπορά. Εάν λάβετε διαφορετικό αριθμό, μην απελπίζεστε. Πιθανότατα, κάνατε ένα κοινό λάθος στους υπολογισμούς. Ελέγξτε ξανά αυτό που γράψατε και σίγουρα όλα θα μπουν στη θέση τους.

Τέλος, ας θυμηθούμε τον τύπο της μαθηματικής προσδοκίας. Δεν θα δώσουμε όλους τους υπολογισμούς, θα γράψουμε μόνο την απάντηση με την οποία μπορείτε να ελέγξετε αφού ολοκληρώσετε όλες τις απαιτούμενες διαδικασίες. Η αναμενόμενη τιμή θα είναι 5,48. Θυμόμαστε μόνο πώς να πραγματοποιήσουμε λειτουργίες, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των πρώτων στοιχείων: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... και ούτω καθεξής. Όπως μπορείτε να δείτε, απλώς πολλαπλασιάζουμε την τιμή του αποτελέσματος με την πιθανότητα του.

Απόκλιση

Μια άλλη έννοια που σχετίζεται στενά με τη διασπορά και τη μαθηματική προσδοκία είναι η τυπική απόκλιση. Σημειώνεται είτε με λατινικά γράμματα sd, ή ελληνικό πεζό «σίγμα». Αυτή η έννοιαδείχνει πώς οι τιμές αποκλίνουν κατά μέσο όρο από το κεντρικό χαρακτηριστικό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει να υπολογίσετε Τετραγωνική ρίζααπό τη διασπορά.

Αν κάνετε ένα γράφημα κανονική κατανομήκαι θέλετε να δείτε απευθείας σε αυτό τυπική απόκλιση, αυτό μπορεί να γίνει σε πολλά βήματα. Πάρτε τη μισή εικόνα στα αριστερά ή στα δεξιά της λειτουργίας (κεντρική τιμή), σχεδιάστε μια κάθετη στον οριζόντιο άξονα έτσι ώστε οι περιοχές των σχημάτων που προκύπτουν να είναι ίσες. Η τιμή του τμήματος μεταξύ του μέσου της κατανομής και της προκύπτουσας προβολής στον οριζόντιο άξονα θα είναι η τυπική απόκλιση.

Λογισμικό

Όπως φαίνεται από τις περιγραφές των τύπων και τα παραδείγματα που παρουσιάζονται, ο υπολογισμός της διακύμανσης και των μαθηματικών προσδοκιών δεν είναι η ευκολότερη διαδικασία από αριθμητικής απόψεως. Για να μην χάνετε χρόνο, είναι λογικό να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα που χρησιμοποιείται σε υψηλότερο Εκπαιδευτικά ιδρύματα- λέγεται "R". Διαθέτει λειτουργίες που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε τιμές για πολλές έννοιες από στατιστικές και θεωρία πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, ορίζετε ένα διάνυσμα τιμών. Αυτό γίνεται ως εξής: διάνυσμα<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Τελικά

Η διασπορά και η μαθηματική προσδοκία είναι χωρίς τις οποίες είναι δύσκολο να υπολογιστεί οτιδήποτε στο μέλλον. Στο κύριο μάθημα των διαλέξεων στα πανεπιστήμια, εξετάζονται ήδη από τους πρώτους μήνες της μελέτης του αντικειμένου. Ακριβώς λόγω της έλλειψης κατανόησης αυτών των απλών εννοιών και της αδυναμίας υπολογισμού τους, πολλοί μαθητές αρχίζουν αμέσως να υστερούν στο πρόγραμμα και αργότερα να λαμβάνουν κακούς βαθμούς στη συνεδρία, γεγονός που τους στερεί υποτροφίες.

Εξασκηθείτε τουλάχιστον μία εβδομάδα για μισή ώρα την ημέρα, λύνοντας εργασίες παρόμοιες με αυτές που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο. Στη συνέχεια, σε οποιοδήποτε τεστ θεωρίας πιθανοτήτων, θα αντιμετωπίσετε παραδείγματα χωρίς ξένες συμβουλές και φύλλα εξαπάτησης.

Η μαθηματική προσδοκία είναι, ο ορισμός

Ματ αναμονή είναιμια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων, που χαρακτηρίζει την κατανομή των τιμών ή πιθανότητεςτυχαία μεταβλητή. Συνήθως εκφράζεται ως σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών παραμέτρων μιας τυχαίας μεταβλητής. Χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνική ανάλυση, τη μελέτη των σειρών αριθμών, τη μελέτη συνεχών και μακροπρόθεσμων διεργασιών. Είναι σημαντικό για την αξιολόγηση των κινδύνων, την πρόβλεψη δεικτών τιμών κατά τη διαπραγμάτευση σε χρηματοπιστωτικές αγορές και χρησιμοποιείται στην ανάπτυξη στρατηγικών και μεθόδων τακτικής παιχνιδιών σε θεωρία του τζόγου.

Αναμονή ματ- Αυτόμέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής, κατανομή πιθανότητεςΗ τυχαία μεταβλητή θεωρείται στη θεωρία πιθανοτήτων.

Ματ αναμονή είναιμέτρο της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων. Μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χσυμβολίζεται M(x).

Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι

Ματ αναμονή είναι

Ματ αναμονή είναιστη θεωρία πιθανοτήτων, ο σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει αυτή η τυχαία μεταβλητή.

Ματ αναμονή είναιτο άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής από τις πιθανότητες αυτών των τιμών.

Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι

Ματ αναμονή είναιτο μέσο όφελος από μια συγκεκριμένη απόφαση, υπό την προϋπόθεση ότι μια τέτοια απόφαση μπορεί να εξεταστεί στο πλαίσιο της θεωρίας των μεγάλων αριθμών και της μεγάλης απόστασης.

Ματ αναμονή είναιστη θεωρία του τζόγου, το ποσό των κερδών που μπορεί να κερδίσει ή να χάσει ένας κερδοσκόπος, κατά μέσο όρο, για κάθε στοίχημα. Στη γλώσσα του τζόγου κερδοσκόπωναυτό μερικές φορές ονομάζεται «πλεονέκτημα κερδοσκόπος» (αν είναι θετικό για τον κερδοσκόπο) ή «ακρη του σπιτιού» (αν είναι αρνητικό για τον κερδοσκόπο).

Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι

Wir verwenden Cookies für die beste Παρουσίαση unserer Ιστότοπος. Wenn Sie diese Ιστότοπος weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. Εντάξει