Magic Square του Άλμπρεχτ Ντύρερ. "Melancholia I" - το πιο μυστηριώδες χαρακτικό του Albrecht Dürer, στο οποίο κρυπτογραφούνται μυστικά μηνύματα

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

Durer (Durer) Albrecht (1471-1528), Γερμανός ζωγράφος, σχεδιαστής, χαράκτης, θεωρητικός της τέχνης.

σπούδασε με τον πατέρα του.
Ο πατέρας, κοσμηματοπώλης, ήθελε να εμπλέξει τον γιο του σε δουλειά σε ένα εργαστήριο κοσμημάτων, αλλά ο Άλμπρεχτ δεν εξέφρασε καμία επιθυμία. Αγαπούσε και τον τράβηξε η ζωγραφική.

Στη Νυρεμβέργη καλλιτέχνης Wolgemut Ο Ντύρερ κατέκτησε όχι μόνο τη ζωγραφική, αλλά και τη χαρακτικήσε ξύλο.
Εμπνευσμένος από τα έργα του καλλιτέχνη Martin Schongauer, τον οποίο δεν γνώρισε ποτέ, ο Άλμπρεχτ ταξίδεψε πολύ και μελέτησε παντού, μελέτησε, μελέτησε...

Όμως ήρθε η στιγμή που ο Άλμπρεχτ χρειάστηκε να παντρευτεί. Και μετά επέλεξε την Agnes Frey, την κόρη του φίλου του πατέρα του, από μια παλιά και σεβαστή οικογένεια της Νυρεμβέργης. Ο γάμος με την Agnes ήταν άτεκνος και οι σύζυγοι ήταν διαφορετικοί σε χαρακτήρα, γεγονός που έκανε την οικογένεια να μην είναι πολύ ευτυχισμένη.

Ωστόσο, άνοιξε τη δική του επιχείρηση και δημιούργησε σημαντικό μέρος των χαρακτικών του στο εργαστήριό του.
Στη Βενετία, κυκλοφόρησαν φήμες για τον έρωτά του και για τα δύο φύλα... Ίσως ο Dürer να ασκούσε έρωτα του ίδιου φύλου με έναν εγκάρδιο φίλο, γνώστη της αρχαίας λογοτεχνίας Pirkheimer.

Μακριά, καυτερά μαλλιά, μαθήματα χορού, φόβος σύφιλης στη Βενετία και αγορά θεραπείας για αυτή την ασθένεια στην Ολλανδία, κομψά ρούχα, ματαιοδοξία σε ό,τι αφορά την ομορφιά και την εμφάνισή του, μελαγχολία, ναρκισσισμό και επιδειξιισμό, το σύμπλεγμα Χριστού , άτεκνος γάμος, υποταγή στη γυναίκα του, τρυφερή φιλία με τον ελευθεριακό Πιρκχάιμερ, τον οποίο ο ίδιος σε μια επιστολή του Οκτωβρίου του 1506 πρότεινε αστειευόμενος να τον ευνουχίσει -

Όλα αυτά συνδυάζονται στο Dürer με τρυφερή φροντίδα για τη μητέρα και τα αδέρφια του, με πολλά χρόνια σκληρής δουλειάς, συχνά παράπονα για φτώχεια, ασθένειες, κακοτυχίες, υποτίθεται ότι τον κυνηγούν.

Να είσαι πιστός στον Θεό!
Γίνετε υγιείς
Και αιώνια ζωή στον ουρανό
Σαν την Υπεραγία Θεοτόκο.
Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ σου λέει -
Μετάνοια για τις αμαρτίες
Μέχρι την τελευταία μέρα της νηστείας,
Και κλείσε το στόμα του διαβόλου
Νίκησε τους ακάθαρτους.
Είθε ο Κύριος Ιησούς Χριστός να σας βοηθήσει
Φρόντισε να είσαι καλά!
Σκεφτείτε περισσότερο τον θάνατο
Σχετικά με την ταφή των σωμάτων σας.
Τρομάζει την ψυχή
Αποσπά την προσοχή από το κακό
Και ο αμαρτωλός κόσμος
Από την καταπίεση της σάρκας
Και οι υποκινήσεις του διαβόλου...

Όταν το 1498 ο Koberger δημοσίευσε"Αποκάλυψη",

Ο Ντύρερ δημιούργησε 15 ξυλογραφίες, που του έφεραν ευρωπαϊκή φήμη.Η γνωριμία με τη βενετική σχολή άσκησε ισχυρή επιρροή στο ζωγραφικό στυλ του καλλιτέχνη.
Στη Βενετία, ο καλλιτέχνης εκτελέστηκε με εντολή Γερμανών εμπόρων «Φεστιβάλ στεφάνου τριαντάφυλλου»και μετά υπήρξαν και άλλες προτάσεις, πίνακες που άφησαν ανεξίτηλη εντύπωση με την πολυχρηστικότητα των χρωμάτων και των θεμάτων.

ο ίδιος ο αυτοκράτορας Μαξιμιλιανός Ι

ένιωθε δέος για την τέχνη του Άλμπρεχτ Ντύρερ.
Ο Ντύρερ συμμετείχε στις απόψεις των «εικονομάχων, ωστόσο, στα μεταγενέστερα έργα του A. Durer, ορισμένοι ερευνητές βρίσκουν συμπάθεια για τον προτεσταντισμό.

Στο τέλος της ζωής του, ο Dürer εργάστηκε πολύ ως ζωγράφος, κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου δημιούργησε τα πιο βαθιά έργα στα οποία εκδηλώνεται η εξοικείωση με την ολλανδική τέχνη.

Ένας από τους σημαντικότερους πίνακες των τελευταίων ετών - δίπτυχο «Τέσσερις Απόστολοι», το οποίο ο καλλιτέχνης παρουσίασε στο Δημοτικό Συμβούλιο το 1526.

Στην Ολλανδία, ο Dürer έπεσε θύμα μιας άγνωστης ασθένειας (πιθανώς ελονοσίας), από την οποία υπέφερε μέχρι το τέλος της ζωής του.

Ο Άλμπρεχ έφτιαξε το λεγόμενο μαγικό τετράγωνο,απεικονίζεται σε ένα από τα πιο τέλεια χαρακτικά του -"Μελαγχολία". Merit Durerέγκειται στο γεγονός ότι μπόρεσε να εγγράψει αριθμούς από το 1 έως το 16 στο σχεδιασμένο τετράγωνο με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα 34 να προκύπτει όχι μόνο προσθέτοντας αριθμούς κάθετα, οριζόντια και διαγώνια, αλλά και στα τέσσερα τέταρτα, στο κεντρικό τετράγωνο, ακόμη και κατά την προσθήκη τεσσάρων γωνιακών κελιών. Ο Dürer κατάφερε επίσης να ολοκληρώσει στον πίνακα το έτος δημιουργίας του χαρακτικού "» (1514).

Υπάρχουν τρεις διάσημες ξυλογραφίες στα έργα του Άλμπρεχτ Ντύρερ, που απεικονίζουν χάρτες του νότιου και βόρειου ημισφαιρίου του έναστρου ουρανού και του ανατολικού ημισφαιρίου της Γης, το οποίο ήταν το πρώτο στην ιστορία που τυπώθηκε με τυπογραφικό τρόπο.

Το 1494 εκδίδεται το βιβλίο του Σεμπάστιαν Μπραντ με τον συμβολικό τίτλο"Καράβι των ανόητων" (Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Κατά τη διάρκεια των ταξιδιών κατά μήκος του Ρήνου, που είναι υποχρεωτικά για έναν μαθητευόμενο συντεχνίας, ο Dürer έκανε αρκετές γκραβούρες στο καβαλέτο στο πνεύμα της ύστερης γοτθικής εποχής, εικονογραφήσεις για το «Καράβι των ανόητων» του S. Brant.

πάνω στο οποίο ο στόλος διασχίζει τη θάλασσα. Υπάρχουν πολλοί ανόητοι τριγύρω. Εδώ γελάνε με τους ανόητους ναυτικούς και τα καράβια της Αυτοκρατορίας.

Πιστεύεται ότι εκτός από τον A. Durer, αρκετοί σχεδιαστές-σκαλιστές εργάστηκαν ταυτόχρονα στο έργο ... Ζωγραφική "Καράβι των ανόητων"- γραμμένο από διάσημο καλλιτέχνηΙερώνυμος Μπος.

Σχέδιο του Ντύρερ «Καραβίο των ανόητων»

Πάνω δεξιά είναι οι ανόητοι σε ένα κάρο, κάτω ένα πλοίο πλέει κατά μήκος της θάλασσας περιτριγυρισμένο από βάρκες, και στο πλοίο και στις βάρκες όλοι οι ανόητοι.
Πολλές από τις εικονογραφήσεις για το «Πλοίο των Ηλιθίων», όπως σημειώνουν οι σχολιαστές, ΕΧΟΥΝ ΛΙΓΗ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΟΥ ΙΔΙΟΥ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ.
Όπως αποδεικνύεται, το ίδιο το βιβλίο του Μπραντ επιλέχθηκε μόνο ως πρόσχημα, πρόσχημα, για τη δημοσίευση μεγάλου αριθμού χαρακτικών (εκατόν δεκαέξι) με θέμα το «Καράβι των ηλίθιων».

Εχω Albrecht Dürer και μια τέτοια εικόνα όπως «Εορτή των Αγίων Πάντων» (Landauer Altarpiece) 1511. Kunsthistorisches Museum, Βιέννη. Αυτή η εικόνα έφερε επίσης μεγάλη φήμη στον καλλιτέχνη.

Sea Miracle, 1498 Μητροπολιτικό Μουσείο Τέχνης, Νέα Υόρκη

ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ

Η Κίνα θεωρείται η γενέτειρα των μαγικών τετραγώνων. Στην Κίνα, υπάρχει η διδασκαλία του Φενγκ Σούι, σύμφωνα με την οποία το χρώμα, το σχήμα και η φυσική θέση κάθε στοιχείου στο διάστημα επηρεάζει τη ροή του Qi, επιβραδύνοντάς το, ανακατευθύνοντάς το ή επιταχύνοντάς το, γεγονός που επηρεάζει άμεσα το ενεργειακό επίπεδο του κάτοικοι. Για να μάθουν τα μυστικά του κόσμου, οι θεοί έστειλαν στον αυτοκράτορα Yu (Yu) το αρχαιότερο σύμβολο, την πλατεία Lo Shu (Lo - ποτάμι).

MAGIC SQARE LO SHU

Ο θρύλος λέει ότι πριν από περίπου τέσσερις χιλιάδες χρόνια, μια μεγάλη χελώνα, η Shu, αναδύθηκε από τα ταραγμένα νερά του ποταμού Lo. Οι άνθρωποι που πρόσφεραν θυσίες στο ποτάμι είδαν τη χελώνα και την αναγνώρισαν αμέσως ως θεότητα. Οι σκέψεις των αρχαίων σοφών φάνηκαν τόσο λογικές στον αυτοκράτορα Yu που διέταξε να διαιωνιστεί η εικόνα μιας χελώνας σε χαρτί και τη σφράγισε με την αυτοκρατορική του σφραγίδα. Διαφορετικά, πώς θα ξέραμε για αυτό το γεγονός;

Αυτή η χελώνα ήταν πραγματικά ξεχωριστή γιατί είχε ένα περίεργο σχέδιο κουκκίδων στο καβούκι της. Τα σημεία εφαρμόστηκαν με τάξη, γεγονός που οδήγησε τους αρχαίους φιλοσόφους στην ιδέα ότι το τετράγωνο με τους αριθμούς στο κέλυφος της χελώνας χρησιμεύει ως πρότυπο διαστήματος - ένας χάρτης του κόσμου που συνέταξε ο μυθικός ιδρυτής του κινεζικού πολιτισμού, Huangdi. Πράγματι, το άθροισμα των αριθμών σε στήλες, σειρές, και στις δύο διαγώνιους του τετραγώνου είναι το ίδιο M=15 και ισούται με τον αριθμό των ημερών σε κάθε έναν από τους 24 κύκλους του κινεζικού ηλιακού έτους.

Ζυγοί και περιττοί αριθμοί εναλλάσσονται: επιπλέον, 4 άρτιοι αριθμοί (γραμμένοι από κάτω προς τα πάνω με φθίνουσα σειρά) βρίσκονται σε τέσσερις γωνίες και 5 περιττοί αριθμοί (γραμμένοι από κάτω προς τα πάνω σε αύξουσα σειρά) σχηματίζουν έναν σταυρό στο κέντρο του τετραγώνου. Τα πέντε στοιχεία του σταυρού αντανακλούν τη γη, τη φωτιά, το μέταλλο, το νερό και το ξύλο. Το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο αριθμών που χωρίζονται από το κέντρο είναι ίσο με τον αριθμό Ho Ti, δηλ. δέκα.

Οι ζυγοί αριθμοί (σύμβολα της γης) του Λούο Σου ήταν χαραγμένοι στο σώμα της χελώνας ως μαύρες κουκκίδες ή σύμβολα Γιν και οι περιττοί αριθμοί (σύμβολα του ουρανού) ως λευκές κουκκίδες ή σύμβολα Γιανγκ. Η γη 1 (ή το νερό) είναι κάτω, η φωτιά 9 (ή ο ουρανός) είναι από πάνω. Είναι πιθανό η σύγχρονη εικόνα του αριθμού 5, που τοποθετείται στο κέντρο της σύνθεσης, να οφείλεται στο κινεζικό σύμβολο της δυαδικότητας του Γιανγκ και του Γιν.

ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ ΑΠΟ ΤΟ KHAJURAKHO

Ανατολικό δωμάτιο

Η μαγεία του Joseph Rudyard Kipling, που δημιούργησε τις εικόνες του Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan και, φυσικά, του Tobacco, ξεκίνησε στις παραμονές του εικοστού αιώνα. Μισό αιώνα νωρίτερα, τον Φεβρουάριο του 1838, ένας νεαρός Βρετανός αξιωματικός των Μηχανικών της Βεγγάλης, ο T.S. Ο Μπερτ, ενδιαφερόμενος για τη συζήτηση των υπηρετών που κουβαλούσαν την παλανκίνα του, παρέκκλινε από τη διαδρομή και έπεσε πάνω σε αρχαίους ναούς στις ζούγκλες της Ινδίας.

Στα σκαλιά του ναού Vishwanath, ο αξιωματικός βρήκε μια επιγραφή που μαρτυρεί την αρχαιότητα των κατασκευών. Λίγο αργότερα, ο ενεργητικός Υποστράτηγος A. Cunningham σχεδίασε λεπτομερή σχέδια για τον Khajuraho. Ξεκίνησαν οι ανασκαφές, με αποκορύφωμα την εντυπωσιακή ανακάλυψη 22 ναών. Οι ναοί ανεγέρθηκαν από τους Μαχαραγιές της δυναστείας τους Chandel. Μετά την κατάρρευση του βασιλείου τους, η ζούγκλα κατάπιε τα κτίρια για χίλια χρόνια. Βρέθηκε ανάμεσα στις εικόνες γυμνών θεών και θεών, το τετράγωνο της τέταρτης τάξης κατέπληξε τη φαντασία.

Όχι μόνο αυτό το τετράγωνο είχε τα ίδια αθροίσματα σε σειρές, στήλες και διαγώνιες και ισοδυναμούσε με 34. Συνέπεσαν επίσης σε σπασμένες διαγώνιους που σχηματίστηκαν όταν το τετράγωνο διπλώθηκε σε έναν τόρο και προς τις δύο κατευθύνσεις. Για τέτοια μαγεία αριθμών, τέτοια τετράγωνα ονομάζονται «διαβολικά» (ή «πανδιαγώνια» ή «νασίκ»).

Φυσικά, αυτό μαρτυρούσε τις ασυνήθιστες μαθηματικές ικανότητες των δημιουργών τους, ανώτερες από τους αποικιοκράτες. Αυτό που ένιωσαν αναπόφευκτα οι άνθρωποι με λευκά κράνη.

Η ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ DURER

Ο διάσημος Γερμανός καλλιτέχνης των αρχών του 16ου αιώνα, Albrecht Durer, έφτιαξε το πρώτο μαγικό τετράγωνο 4x4 στην ευρωπαϊκή τέχνη. Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε σειρά, στήλη, διαγώνιο και, παραδόξως, σε κάθε τέταρτο (ακόμη και στο κεντρικό τετράγωνο) και ακόμη και το άθροισμα των γωνιακών αριθμών είναι 34. Οι δύο μεσαίοι αριθμοί στην κάτω σειρά δείχνουν την ημερομηνία ο πίνακας (1514). Έχουν γίνει διορθώσεις στα μεσαία τετράγωνα της πρώτης στήλης - οι αριθμοί παραμορφώνονται.

Στην εικόνα με το απόκρυφο φτερωτό ποντίκι Κρόνος, το μαγικό τετράγωνο αποτελείται από τον φτερωτό νου Δία, που εναντιώνονται μεταξύ τους. Το τετράγωνο είναι συμμετρικό, αφού το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο αριθμών που περιλαμβάνονται σε αυτό, που βρίσκονται συμμετρικά σε σχέση με το κέντρο του, είναι 17. Αν αθροίσετε τους τέσσερις αριθμούς που προκύπτουν από την κίνηση του ιππότη του σκακιού, θα είναι 34. Πραγματικά, αυτό Το τετράγωνο, με την άψογη τάξη του, αντανακλά τη μελαγχολία που κυρίευσε τον καλλιτέχνη.

Πρωινό όνειρο.

Οι Ευρωπαίοι γνώρισαν εκπληκτικά αριθμητικά τετράγωνα από τον βυζαντινό συγγραφέα και γλωσσολόγο Μοσχόπουλο. Το έργο του ήταν ένα ειδικό δοκίμιο για το θέμα και περιείχε παραδείγματα από τα μαγικά τετράγωνα του συγγραφέα.

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΠΛΑΤΕΩΝ ΜΑΓΙΚΗΣ

Στα μέσα του XVI αιώνα. στην Ευρώπη εμφανίστηκαν έργα στα οποία τα μαγικά τετράγωνα εμφανίζονταν ως αντικείμενα μαθηματικής έρευνας. Ακολούθησαν πολλά άλλα έργα, ιδιαίτερα από τόσο γνωστούς μαθηματικούς, τους ιδρυτές της σύγχρονης επιστήμης, όπως οι Stiefel, Basche, Pascal, Fermat, Bessie, Euler, Gauss.

Μαγικός, ή μαγικό τετράγωνο, είναι ένας τετράγωνος πίνακας γεμάτος με n 2 αριθμούς με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή, κάθε στήλη και στις δύο διαγώνιες να είναι το ίδιο. Ο ορισμός είναι υπό όρους, αφού και οι αρχαίοι έδιναν σημασία, για παράδειγμα, στο χρώμα.

κανονικόςονομάζεται ένα μαγικό τετράγωνο γεμάτο με ακέραιους αριθμούς από το 1 έως το n 2 . Τα κανονικά μαγικά τετράγωνα υπάρχουν για όλες τις παραγγελίες εκτός από το n = 2, αν και η περίπτωση n = 1 είναι ασήμαντη - το τετράγωνο αποτελείται από έναν μόνο αριθμό.

Καλείται το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο μαγική σταθεράΜ. Η μαγική σταθερά ενός κανονικού μαγικού τετραγώνου εξαρτάται μόνο από το n και δίνεται από

M = n (n 2 + 1) / 2

Οι πρώτες τιμές των μαγικών σταθερών δίνονται στον πίνακα

Αν τα αθροίσματα των αριθμών στο τετράγωνο είναι ίσα μόνο σε γραμμές και στήλες, τότε καλείται ημι-μαγική. Το μαγικό τετράγωνο λέγεται προσεταιριστικήή συμμετρικός, αν το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο αριθμών που βρίσκονται συμμετρικά γύρω από το κέντρο του τετραγώνου είναι n 2 + 1.

Υπάρχει μόνο ένα κανονικό τετράγωνο τρίτης τάξης. Πολλά έθνη τον γνώρισαν. Η διάταξη των αριθμών στο τετράγωνο Lo Shu είναι παρόμοια με τους συμβολικούς χαρακτηρισμούς των πνευμάτων στην Καμπάλα και τα σημάδια της ινδικής αστρολογίας.

Γνωστό και ως τετράγωνο του Κρόνου. Κάποιες μυστικές εταιρείες τον Μεσαίωνα έβλεπαν σε αυτό την «Καμπάλα των Εννέα Θαλάμων». Αναμφίβολα, η απόχρωση της απαγορευμένης μαγείας σήμαινε πολλά για τη διατήρηση των εικόνων του.

Ήταν σημαντικό στη μεσαιωνική αριθμολογία, χρησιμοποιούμενο συχνά ως φυλαχτό ή μαντικό εργαλείο. Κάθε κελί του αντιστοιχεί σε ένα μυστικιστικό γράμμα ή άλλο σύμβολο. Διαβάστε μαζί σε μια συγκεκριμένη γραμμή, αυτά τα ζώδια μετέφεραν απόκρυφα μηνύματα. Οι αριθμοί που απαρτίζουν την ημερομηνία γέννησης τοποθετήθηκαν στα κελιά του τετραγώνου και στη συνέχεια αποκρυπτογραφήθηκαν ανάλογα με τη σημασία και τη θέση των αριθμών.

Ανάμεσα στα πανδιαγωνικά, όπως λέγονται και, διακρίνονται διαβολικά μαγικά τετράγωνα, συμμετρικά – ιδανικά. Το διαβολικό τετράγωνο παραμένει διαβολικό αν περιστραφεί, αντανακλάται, η γραμμή αναδιατάσσεται από πάνω προς τα κάτω και αντίστροφα, η στήλη διαγράφεται δεξιά ή αριστερά και της αποδίδεται στην αντίθετη πλευρά. Υπάρχουν πέντε μετασχηματισμοί συνολικά, το σχήμα του τελευταίου φαίνεται στο σχήμα.

Υπάρχουν 48 τετράγωνα διαβόλων 4x4 μέχρι περιστροφές και αντανακλάσεις. Αν λάβουμε επίσης υπόψη τη συμμετρία στις παράλληλες μεταφράσεις τορικών, τότε απομένουν μόνο τρία ουσιαστικά διαφορετικά διαβολικά τετράγωνα 4 × 4:

Ο Claude F. Bragdon, ένας διάσημος Αμερικανός αρχιτέκτονας, ανακάλυψε ότι συνδέοντας ένα προς ένα κελιά με μόνο ζυγούς ή μόνο περιττούς αριθμούς μαγικών τετραγώνων μιας πολυγωνικής γραμμής, στις περισσότερες περιπτώσεις έχουμε ένα κομψό μοτίβο. Το σχέδιο που επινόησε για τη σχάρα εξαερισμού στην οροφή του Εμπορικού Επιμελητηρίου στο Ρότσεστερ της Νέας Υόρκης, όπου ζούσε, κατασκευάστηκε από το μαγικό σπασμένο φυλακτό Lo-Shu. Ο Μπράγκντον χρησιμοποίησε «μαγικές γραμμές» ως σχέδια σχεδίασης για υφάσματα, εξώφυλλα βιβλίων, αρχιτεκτονικά διακοσμητικά και διακοσμητικά κεφαλάρια.

Εάν απλώσετε ένα μωσαϊκό από πανομοιότυπα διαβολικά τετράγωνα (κάθε τετράγωνο πρέπει να γειτνιάζει με τους γείτονές του), τότε θα έχετε κάτι σαν παρκέ, στο οποίο οι αριθμοί σε οποιαδήποτε ομάδα κελιών 4x4 θα σχηματίσουν ένα διαβολικό τετράγωνο. Οι αριθμοί σε τέσσερα κελιά, ακολουθώντας ο ένας μετά τον άλλο, ανεξάρτητα από το πώς είναι διατεταγμένοι -κάθετα, οριζόντια ή διαγώνια- στο άθροισμα δίνουν πάντα τη σταθερά του τετραγώνου. Οι σύγχρονοι μαθηματικοί αποκαλούν τέτοια τετράγωνα «τέλεια».

ΛΑΤΙΝΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Το λατινικό τετράγωνο είναι ένα είδος ακανόνιστων μαθηματικών τετραγώνων γεμάτα με n διαφορετικά σύμβολα με τέτοιο τρόπο ώστε και τα n σύμβολα να εμφανίζονται σε κάθε γραμμή και κάθε στήλη (κάθε φορά).

Τα λατινικά τετράγωνα υπάρχουν για οποιοδήποτε n. Κάθε λατινικό τετράγωνο είναι ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (πίνακας Cayley) μιας οιονεί ομάδας. Το όνομα "λατινικό τετράγωνο" προέρχεται από τον Leonhard Euler, ο οποίος χρησιμοποιούσε λατινικά γράμματα αντί για αριθμούς στον πίνακα.

Τα δύο λατινικά τετράγωνα λέγονται ορθογώνιο, εάν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη συμβόλων (a,b) είναι διαφορετικά, όπου το a είναι σύμβολο σε κάποιο κελί του πρώτου λατινικού τετραγώνου και το b είναι σύμβολο στο ίδιο κελί του δεύτερου λατινικού τετραγώνου.

Τα ορθογώνια λατινικά τετράγωνα υπάρχουν για οποιαδήποτε σειρά εκτός από το 2 και το 6. Επειδή το n είναι πρώτη δύναμη, υπάρχει ένα σύνολο από n–1 ανά ζεύγη ορθογώνια λατινικά τετράγωνα. Εάν όλα τα στοιχεία σε κάθε διαγώνιο ενός λατινικού τετραγώνου είναι διαφορετικά, τότε ένα τέτοιο λατινικό τετράγωνο ονομάζεται διαγώνιος. Ζεύγη ορθογώνιων διαγώνιων λατινικών τετραγώνων υπάρχουν για όλες τις τάξεις εκτός από τις 2, 3 και 6. Το λατινικό τετράγωνο είναι κοινό στα προβλήματα προγραμματισμού επειδή οι αριθμοί δεν επαναλαμβάνονται σε σειρές και στήλες.

Ένα τετράγωνο ζευγών στοιχείων δύο ορθογώνιων λατινικών τετραγώνων ονομάζεται ελληνολατινικά σε τετράγωνο. Τέτοια τετράγωνα χρησιμοποιούνται συχνά για την κατασκευή μαγικών τετραγώνων και σε προχωρημένα προβλήματα προγραμματισμού.

Μελετώντας τα ελληνολατινικά τετράγωνα, ο Euler απέδειξε ότι δεν υπάρχουν τετράγωνα δεύτερης τάξης, αλλά βρέθηκαν τετράγωνα 3, 4 και 5 τάξεων. Δεν βρήκε ούτε ένα τετράγωνο 6ης τάξης. Υπέθεσε ότι δεν υπάρχουν τετράγωνα άρτιων τάξεων που να μην διαιρούνται με το 4 (δηλαδή 6, 10, 14 κ.λπ.). Το 1901, ο Gaston Terry brute force επιβεβαίωσε την υπόθεση για την 6η τάξη. Αλλά το 1959 η υπόθεση διαψεύστηκε από τους E. T. Parker, R. C. Bowes και C. S. Schrickhard, οι οποίοι ανακάλυψαν ένα ελληνολατινικό τετράγωνο τάξης 10.

ΤΟ ΠΟΛΙΜΙΝΟ ΤΟΥ ΑΡΘΟΥΡ ΚΛΑΡΚ

Το Polyomino - λόγω της πολυπλοκότητάς του, φυσικά, ανήκει στην κατηγορία των πιο δύσκολων μαθηματικών τετραγώνων. Να πώς γράφει για αυτόν ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας A. Clark - παρακάτω ένα απόσπασμα από το βιβλίο «Earthly Empire». Προφανώς, ο Κλαρκ, ζώντας στο νησί του, έζησε στην Κεϋλάνη - και η φιλοσοφία του αποχωρισμού από την κοινωνία είναι από μόνη της ενδιαφέρουσα, παρασύρθηκε από τη διασκέδαση που διδάσκει η γιαγιά του αγοριού και μας τη μετέδωσε. Ας προτιμήσουμε αυτή τη ζωντανή περιγραφή από τις διαθέσιμες συστηματοποιήσεις, που αποδίδουν, ίσως, την ουσία, αλλά όχι το πνεύμα του παιχνιδιού.

«Είσαι αρκετά μεγάλο αγόρι τώρα, Ντάνκαν, για να καταλάβεις αυτό το παιχνίδι… είναι πολύ περισσότερο από ένα παιχνίδι, όμως. Σε αντίθεση με τα λόγια της γιαγιάς του, το παιχνίδι δεν εντυπωσίασε τον Ντάνκαν. Λοιπόν, τι μπορεί να γίνει με πέντε λευκά πλαστικά τετράγωνα;

«Πρώτα απ' όλα», συνέχισε η γιαγιά, «πρέπει να ελέγξετε πόσα διαφορετικά σχέδια μπορείτε να συνδυάσετε από τα τετράγωνα.

«Υποτίθεται ότι είναι στο τραπέζι;» ρώτησε ο Ντάνκαν.

- Ναι, πρέπει να λένε ψέματα, αγγίζοντας. Δεν μπορείτε να επικαλύπτετε ένα τετράγωνο με ένα άλλο.

Ο Ντάνκαν άρχισε να στρώνει τα τετράγωνα.

«Λοιπόν, μπορώ να τα βάλω όλα σε μια ευθεία γραμμή», άρχισε.

Το αγόρι έκανε γρήγορα μισή ντουζίνα συνδυασμούς, μετά έναν άλλο και ξαφνικά διαπίστωσε ότι επαναλάμβαναν τους υπάρχοντες.

Ίσως είμαι χαζός, αλλά αυτό είναι όλο.

Ο Ντάνκαν έχασε την πιο απλή από τις φιγούρες - τον σταυρό, για να δημιουργήσει τον οποίο αρκούσε να απλωθούν τέσσερα τετράγωνα στις πλευρές του πέμπτου, κεντρικού.

«Οι περισσότεροι ξεκινούν από το σταυρό», χαμογέλασε η γιαγιά. «Κατά τη γνώμη μου, έσπευσες να δηλώσεις τον εαυτό σου ηλίθιο. Σκεφτείτε καλύτερα: θα μπορούσαν να υπάρχουν περισσότερα στοιχεία;

Επικεντρωμένος στη μετακίνηση των τετραγώνων, ο Ντάνκαν βρήκε άλλα τρία κομμάτια και μετά σταμάτησε να ψάχνει.

«Αυτό είναι σίγουρο τώρα», είπε με σιγουριά.

Τι μπορείτε να πείτε για μια τέτοια φιγούρα;

Κουνώντας ελαφρά τα τετράγωνα, η γιαγιά τα ένωσε σαν ένα γράμμα με καμπούρα F.

- Και εδώ είναι άλλο ένα.

Ο Ντάνκαν ένιωθε σαν εντελώς ηλίθιος και τα λόγια της γιαγιάς του ήταν βάλσαμο για τη μπερδεμένη ψυχή του:

-Είσαι απλά υπέροχος. Σκεφτείτε, χάσατε μόνο δύο φιγούρες. Και ο συνολικός αριθμός των ψηφίων είναι δώδεκα. Ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο. Τώρα τους ξέρεις όλους. Ψάξτε για τουλάχιστον μια αιωνιότητα - δεν θα βρείτε άλλη.

Η γιαγιά σάρωσε πέντε λευκά τετράγωνα σε μια γωνία και άπλωσε μια ντουζίνα πλαστικά κομμάτια με έντονα χρώματα στο τραπέζι. Αυτές ήταν οι ίδιες δώδεκα φιγούρες, αλλά ήδη σε τελειωμένη μορφή, και η καθεμία αποτελούνταν από πέντε τετράγωνα. Ο Ντάνκαν ήταν ήδη έτοιμος να παραδεχτεί ότι δεν υπήρχαν στην πραγματικότητα άλλες φιγούρες.

Αλλά αφού η γιαγιά έβαλε αυτές τις πολύχρωμες ρίγες, τότε το παιχνίδι συνεχίζεται και ο Ντάνκαν αντιμετώπιζε άλλη μια έκπληξη.

«Τώρα, Ντάνκαν, άκου προσεκτικά. Αυτά τα κομμάτια ονομάζονται πεντομινό. Το όνομα προέρχεται από την ελληνική λέξη «penta», που σημαίνει «πέντε». Όλα τα σχήματα είναι ίσα σε εμβαδόν, αφού το καθένα αποτελείται από πέντε ίδια τετράγωνα. Υπάρχουν δώδεκα σχήματα, πέντε τετράγωνα, επομένως, η συνολική επιφάνεια θα είναι ίση με εξήντα τετράγωνα. Σωστά?

- Χμμ ναι.

- Άκου περαιτέρω. Το εξήντα είναι ένας υπέροχος στρογγυλός αριθμός που μπορεί να σχηματιστεί με διάφορους τρόπους. Το πιο εύκολο είναι να πολλαπλασιάσετε το δέκα επί έξι. Αυτό το κουτί έχει μια τέτοια περιοχή: δέκα τετράγωνα χωρούν οριζόντια και έξι κάθετα. Επομένως, και οι δώδεκα φιγούρες θα πρέπει να ταιριάζουν σε αυτό. Ακριβώς όπως μια σύνθετη εικόνα - ένας γρίφος.

Ο Ντάνκαν περίμενε ένα κόλπο. Η γιαγιά λάτρευε τα λεκτικά και μαθηματικά παράδοξα και δεν ήταν όλα η έννοια του δεκάχρονου θύματός της. Όμως αυτή τη φορά δεν υπήρχαν παράδοξα. Το κάτω μέρος του κουτιού ήταν γραμμένο σε εξήντα τετράγωνα, που σημαίνει ... Σταμάτα! Η περιοχή είναι η περιοχή, αλλά οι φιγούρες έχουν διαφορετικά περιγράμματα. Δοκιμάστε να τα βάλετε σε ένα κουτί!

«Αφήνω αυτό το καθήκον σε εσάς να αποφασίσετε μόνοι σας», ανακοίνωσε η γιαγιά, βλέποντας πώς με απογοήτευση κινεί τα πεντομινό στο κάτω μέρος του κουτιού. «Πιστέψτε με, μπορούν να μαζευτούν.

Σύντομα ο Ντάνκαν άρχισε να αμφιβάλλει έντονα για τα λόγια της γιαγιάς του. Κατάφερε εύκολα να χωρέσει δέκα φιγούρες στο κουτί και μια φορά κατάφερε να στριμώξει μια ενδέκατη. Αλλά τα περιγράμματα του κενού χώρου δεν συνέπιπταν με τα περιγράμματα της δωδέκατης φιγούρας, την οποία το αγόρι γύρισε στα χέρια του. Υπήρχε ένας σταυρός και η υπόλοιπη φιγούρα έμοιαζε με το γράμμα Z ...

Σε μισή ώρα ο Ντάνκαν ήταν ήδη στα όρια της απόγνωσης. Η γιαγιά είχε βυθιστεί σε έναν διάλογο με τον υπολογιστή της, αλλά από καιρό σε καιρό τον κοιτούσε με ενδιαφέρον, σαν να έλεγε: «Δεν είναι τόσο εύκολο όσο νόμιζες».

Σε ηλικία δέκα ετών, ο Ντάνκαν ήταν εντυπωσιακά πεισματάρης. Οι περισσότεροι από τους συνομηλίκους του θα είχαν εγκαταλείψει την προσπάθεια εδώ και πολύ καιρό. (Μόλις λίγα χρόνια αργότερα συνειδητοποίησε ότι η γιαγιά του του είχε κάνει με χάρη ένα ψυχολογικό τεστ.) Ο Ντάνκαν άντεξε σχεδόν σαράντα λεπτά χωρίς βοήθεια...

Τότε η γιαγιά σηκώθηκε από τον υπολογιστή και έσκυψε πάνω από το παζλ. Τα δάχτυλά της κινούσαν τα σχήματα U, X και L...

Ο πάτος του κουτιού γέμισε εντελώς! Όλα τα κομμάτια του παζλ βρίσκονται στα σωστά σημεία.

Φυσικά ήξερες ήδη την απάντηση! είπε ο Ντάνκαν θυμωμένα.

- Απάντηση; Η γιαγιά ρώτησε: «Με πόσους τρόπους πιστεύεις ότι μπορείς να βάλεις πεντομινό σε αυτό το κουτί;»

Εδώ είναι η παγίδα. Ο Ντάνκαν έψαχνε για σχεδόν μια ώρα χωρίς να βρει λύση, αν και κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου δοκίμασε τουλάχιστον εκατό επιλογές. Πίστευε ότι υπήρχε μόνο ένας τρόπος. Θα μπορούσαν να είναι… δώδεκα; Ή περισσότερο?

«Λοιπόν πόσοι τρόποι πιστεύεις ότι μπορεί να υπάρχουν;» ξαναρώτησε η γιαγιά.

«Είκοσι», θόλωσε ο Ντάνκαν, νομίζοντας ότι η γιαγιά δεν θα την πείραζε τώρα.

- Προσπάθησε ξανά.

Ο Ντάνκαν ένιωσε τον κίνδυνο. Η διασκέδαση αποδείχθηκε πολύ πιο πονηρή από ό,τι πίστευε, και το αγόρι αποφάσισε σοφά να μην το ρισκάρει.

«Στην πραγματικότητα, δεν ξέρω», είπε κουνώντας το κεφάλι του.

«Και είσαι δεκτικό αγόρι», χαμογέλασε ξανά η γιαγιά. «Η διαίσθηση είναι επικίνδυνος αγωγός, αλλά μερικές φορές δεν έχουμε άλλο. Μπορώ να σας ευχαριστήσω: είναι αδύνατο να μαντέψετε τη σωστή απάντηση εδώ. Υπάρχουν πάνω από 2.000 διαφορετικοί τρόποι για να βάλετε πεντομινό σε αυτό το κουτί. Πιο συγκεκριμένα, δύο χιλιάδες τριακόσιες τριάντα εννέα. Και τι λέτε για αυτό;

Είναι απίθανο να τον εξαπάτησε η γιαγιά του. Αλλά ο Ντάνκαν ήταν τόσο συνθλιμμένος από την αδυναμία του να βρει μια λύση που δεν μπόρεσε να συγκρατηθεί και ξέσπασε:

- Δεν πιστεύω!

Η Ελένη σπάνια έδειχνε εκνευρισμό. Όταν ο Ντάνκαν την προσέβαλε με κάποιο τρόπο, απλά έγινε ψυχρή και απόμακρη. Ωστόσο, τώρα η γιαγιά μόνο χαμογέλασε και χτύπησε κάτι στο πληκτρολόγιο του υπολογιστή.

«Κοίτα εδώ», πρότεινε εκείνη.

Ένα σετ από δώδεκα χρωματιστά πεντομινό εμφανίστηκε στην οθόνη, γεμίζοντας ένα ορθογώνιο δέκα επί έξι. Λίγα δευτερόλεπτα αργότερα, αντικαταστάθηκε από μια άλλη εικόνα, όπου τα κομμάτια, πιθανότατα, βρίσκονταν με διαφορετικό τρόπο (ο Ντάνκαν δεν μπορούσε να πει με βεβαιότητα, γιατί δεν θυμόταν τον πρώτο συνδυασμό). Σύντομα η εικόνα άλλαξε ξανά, μετά άλλη και άλλη... Αυτό συνεχίστηκε μέχρι που η γιαγιά σταμάτησε το πρόγραμμα.

«Ακόμη και με μεγάλη ταχύτητα, θα χρειαστούν πέντε ώρες ο υπολογιστής για να διανύσει όλους τους τρόπους», εξήγησε η γιαγιά. «Μπορείτε να λάβετε υπόψη μου: είναι όλοι διαφορετικοί. Αν δεν υπήρχαν οι υπολογιστές, αμφιβάλλω ότι οι άνθρωποι θα είχαν βρει όλους τους τρόπους απλώς ταξινομώντας τις επιλογές.

Ο Ντάνκαν κοίταξε τις δώδεκα απατηλά απλές φιγούρες για πολλή ώρα. Χώνεψε αργά τα λόγια της γιαγιάς του. Ήταν η πρώτη μαθηματική αποκάλυψη στη ζωή του. Αυτό που τόσο απερίσκεπτα θεωρούσε συνηθισμένο παιδικό παιχνίδι άρχισε ξαφνικά να ξετυλίγεται μπροστά του ατελείωτα μονοπάτια και ορίζοντες, αν και ακόμη και το πιο προικισμένο δεκάχρονο παιδί δύσκολα θα μπορούσε να νιώσει την απέραντη φύση αυτού του σύμπαντος.

Αλλά τότε η απόλαυση και το δέος του Ντάνκαν ήταν παθητικά. Η πραγματική έκρηξη της πνευματικής απόλαυσης ήρθε αργότερα, όταν βρήκε ανεξάρτητα τον πρώτο του τρόπο να στοιβάζει πεντομινό. Για αρκετές εβδομάδες, ο Ντάνκαν κουβαλούσε ένα πλαστικό κουτί μαζί του παντού. Όλο τον ελεύθερο χρόνο του τον περνούσε μόνο σε πεντομινό. Οι φιγούρες μετατρέπονται σε προσωπικούς φίλους του Ντάνκαν. Τους αποκαλούσε με τα γράμματα που έμοιαζαν, αν και σε ορισμένες περιπτώσεις η ομοιότητα ήταν κάτι παραπάνω από απομακρυσμένη. Πέντε φιγούρες - F, I, L, P, N πήγαν τυχαία, αλλά οι υπόλοιπες επτά επανέλαβαν την ακολουθία του λατινικού αλφαβήτου: T, U, V, W, X, Y, Z.

Μια μέρα, σε μια κατάσταση είτε γεωμετρικής έκστασης είτε γεωμετρικής έκστασης που δεν συνέβη ποτέ ξανά, η Ντάνκαν βρήκε πέντε επιλογές styling σε λιγότερο από μία ώρα. Ίσως ακόμη και ο Νεύτωνας, ο Αϊνστάιν ή ο Τσεν Τζου, στις στιγμές της αλήθειας τους, δεν ένιωθαν περισσότερη συγγένεια με τους θεούς των μαθηματικών από τον Ντάνκαν Μακένζι.

Σύντομα κατάλαβε, και μόνος του, χωρίς τις υποδείξεις της γιαγιάς του, ότι τα πεντομινό μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα ορθογώνιο με διαφορετικά μεγέθη πλευρών. Πολύ εύκολα, ο Ντάνκαν βρήκε πολλές επιλογές για ορθογώνια 5 επί 12 και 4 επί 15. Στη συνέχεια πάλεψε για μια ολόκληρη εβδομάδα προσπαθώντας να χωρέσει δώδεκα σχήματα σε ένα μακρύτερο και στενότερο ορθογώνιο 3 επί 20. Ξανά και ξανά άρχισε να γεμίζει τον ύπουλο χώρο και ... θα πάρει τρύπες στο ορθογώνιο και «έξτρα» φιγούρες.

Συντετριμμένος ο Ντάνκαν επισκέφτηκε τη γιαγιά του, όπου τον περίμενε μια νέα έκπληξη.

«Χαίρομαι για τα πειράματά σου», είπε η Έλεν. «Εξερευνήσατε όλες τις πιθανότητες, προσπαθώντας να συναγάγετε ένα γενικό μοτίβο. Αυτό κάνουν πάντα οι μαθηματικοί. Αλλά κάνετε λάθος: υπάρχουν λύσεις για ένα ορθογώνιο τριών επί είκοσι. Υπάρχουν μόνο δύο από αυτά, και αν βρείτε ένα, θα μπορείτε να βρείτε και το δεύτερο.

Εμπνευσμένος από τον έπαινο της γιαγιάς του, ο Ντάνκαν συνέχισε να «κυνηγάει πεντομινό» με ανανεωμένο σθένος. Μια εβδομάδα αργότερα, άρχισε να καταλαβαίνει τι αφόρητο βάρος είχε βάλει στους ώμους του. Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούσαν να τακτοποιηθούν δώδεκα κομμάτια ήταν συντριπτικός για τον Ντάνκαν. Εξάλλου, κάθε φιγούρα είχε τέσσερις θέσεις!

Και πάλι εμφανίστηκε στη γιαγιά του, εκθέτοντας της όλες τις δυσκολίες του. Εάν υπήρχαν μόνο δύο επιλογές για ένα ορθογώνιο 3x20, πόσος χρόνος θα χρειαζόταν για να τις βρούμε;

«Αν σε παρακαλώ, θα σου απαντήσω», είπε η γιαγιά. «Αν συμπεριφερόσουν σαν υπολογιστής χωρίς εγκέφαλο, κάνοντας μια απλή απαρίθμηση συνδυασμών και αφιερώνοντας ένα δευτερόλεπτο για τον καθένα, θα χρειαζόσουν…» Εδώ σταμάτησε επίτηδες. Θα χρειαστείτε περισσότερα από έξι εκατομμύρια… ναι, πάνω από έξι εκατομμύρια χρόνια.

Γη ή Τιτάνας; Η ερώτηση ήρθε αμέσως στο μυαλό του Ντάνκαν. Ωστόσο, ποια είναι η διαφορά;

«Αλλά διαφέρεις από έναν υπολογιστή χωρίς εγκέφαλο», συνέχισε η γιαγιά. «Βλέπεις αμέσως προφανώς ακατάλληλους συνδυασμούς και επομένως δεν χρειάζεται να χάνεις χρόνο ελέγχοντάς τους. Προσπάθησε ξανά.

Ο Ντάνκαν υπάκουσε, ήδη χωρίς ενθουσιασμό και πίστη στην επιτυχία. Και τότε του ήρθε μια φαεινή ιδέα.

Ο Καρλ ενδιαφέρθηκε αμέσως για το πεντομίνο και δέχτηκε την πρόκληση. Πήρε το κουτί με τις φιγούρες από τον Ντάνκαν και εξαφανίστηκε για αρκετές ώρες.

Όταν του τηλεφώνησε ο Καρλ, ο φίλος φαινόταν κάπως αναστατωμένος.

«Είστε σίγουροι ότι αυτό το πρόβλημα έχει πραγματικά λύση;» - ρώτησε.

-Απολύτως σίγουρο. Υπάρχουν δύο από αυτούς. Δεν έχετε βρει τουλάχιστον ένα ακόμα; Νόμιζα ότι ήσουν υπέροχος στα μαθηματικά.

«Φανταστείτε, καταλαβαίνω, και επομένως ξέρω τι είδους δουλειά αξίζει το έργο σας. Πρέπει να δοκιμάσουμε... ένα εκατομμύριο δισεκατομμύριο πιθανούς συνδυασμούς.

«Πώς ήξερες ότι ήταν τόσοι πολλοί;» ρώτησε ο Ντάνκαν, ευχαριστημένος που κατάφερε τουλάχιστον με κάποιο τρόπο να κάνει τον φίλο του να του ξύσει το κεφάλι μπερδεμένος.

Ο Καρλ κοίταξε ένα φύλλο χαρτιού γεμάτο με μερικά διαγράμματα και αριθμούς.

«Αν εξαιρέσετε μη έγκυρους συνδυασμούς και λάβετε υπόψη τη συμμετρία και τη δυνατότητα περιστροφής ... θα λάβετε ένα παραγοντικό ... τον συνολικό αριθμό των μεταθέσεων ... εξακολουθείτε να μην καταλαβαίνετε. Θα σας δείξω τον ίδιο τον αριθμό.

Κράτησε άλλο ένα φύλλο χαρτιού στην κάμερα, στο οποίο απεικονιζόταν μια εντυπωσιακή σειρά αριθμών σε μεγάλο μέγεθος:

1 004 539 160 000 000.

Ο Ντάνκαν δεν ήξερε τίποτα για τα παραγοντικά, αλλά η Κάρλα δεν είχε καμία αμφιβολία για την ακρίβεια των υπολογισμών του. Του άρεσε πολύ το μακρύ νούμερο.

«Λοιπόν, θα εγκαταλείψατε αυτή τη δουλειά;» ρώτησε προσεκτικά ο Ντάνκαν.

- Τι περισσότερο! Ήθελα απλώς να σας δείξω πόσο δύσκολο είναι.

Το πρόσωπο του Καρλ έδειχνε ζοφερή αποφασιστικότητα. Αφού είπε αυτά τα λόγια, λιποθύμησε.

Την επόμενη μέρα, ο Ντάνκαν υπέστη ένα από τα μεγαλύτερα σοκ της παιδικής του ηλικίας. Το απογοητευμένο πρόσωπο του Καρλ, με φλεγμένα μάτια, τον κοίταξε από την οθόνη. Έμοιαζε να είχε μια άγρυπνη νύχτα.

«Λοιπόν, αυτό είναι όλο», ανακοίνωσε με μια κουρασμένη αλλά θριαμβευτική φωνή.

Ο Ντάνκαν δύσκολα πίστευε στα μάτια του. Του φαινόταν ότι οι πιθανότητες επιτυχίας ήταν αμελητέες. Έπεισε ακόμη και τον εαυτό του για αυτό. Και ξαφνικά... Μπροστά του βρισκόταν ένα ορθογώνιο τριών επί είκοσι γεμάτο με και τα δώδεκα κομμάτια πεντόμινο.

Στη συνέχεια, ο Carl αντάλλαξε και γύρισε τα κομμάτια στα άκρα, αφήνοντας το κεντρικό τμήμα ανέπαφο. Τα δάχτυλά του έτρεμαν ελαφρά από την κούραση.

«Αυτή είναι η δεύτερη λύση», εξήγησε. «Και τώρα πάω για ύπνο. Καληνύχτα λοιπόν ή καλημέρα, ό,τι θέλεις.

Ο ταπεινωμένος Ντάνκαν κοίταξε την κενή οθόνη για πολλή ώρα. Δεν ήξερε προς ποια κατεύθυνση κινούνταν ο Καρλ, ψαχουλεύοντας για τη λύση του παζλ. Ήξερε όμως ότι ο φίλος του είχε βγει νικητής. Κόντρα σε όλα.

Δεν ζήλεψε τη νίκη του φίλου του. Ο Ντάνκαν αγαπούσε πάρα πολύ τον Καρλ και πάντα χαιρόταν με τις επιτυχίες του, αν και ο ίδιος συχνά αποδεικνυόταν ότι ήταν το αουτσάιντερ. Αλλά υπήρχε κάτι διαφορετικό στον θρίαμβο του φίλου του απόψε, κάτι σχεδόν μαγικό.

Ο Ντάνκαν είδε για πρώτη φορά τη δύναμη της διαίσθησης. Βρέθηκε αντιμέτωπος με τη μυστηριώδη ικανότητα του μυαλού να ξεπεράσει τα όρια των γεγονότων και να παραμερίσει την παρεμβατική λογική. Μέσα σε λίγες ώρες, ο Carl έκανε τρομερή δουλειά, ξεπερνώντας τον ταχύτερο υπολογιστή.

Στη συνέχεια, ο Ντάνκαν έμαθε ότι όλοι οι άνθρωποι έχουν τέτοιες ικανότητες, αλλά τις χρησιμοποιούν εξαιρετικά σπάνια - ίσως μια φορά στη ζωή τους. Στον Καρλ, αυτό το δώρο αναπτύχθηκε εξαιρετικά... Από εκείνη τη στιγμή, ο Ντάνκαν άρχισε να παίρνει στα σοβαρά τα επιχειρήματα του φίλου του, ακόμη και τα πιο γελοία και εξωφρενικά από την άποψη της κοινής λογικής.

Αυτό έγινε πριν από είκοσι χρόνια. Ο Ντάνκαν δεν θυμόταν πού είχαν πάει τα πλαστικά κομμάτια πεντόμινο. Ίσως παρέμειναν με τον Καρλ.

Το δώρο της γιαγιάς έχει γίνει η νέα τους ενσάρκωση, τώρα με τη μορφή κομματιών πολύχρωμης πέτρας. Η εκπληκτική, απαλή ροζ απόχρωση του γρανίτη ήταν από τους λόφους του Γαλιλαίου, ο οψιανός - από το οροπέδιο Huygens, και το ψευδο-μάρμαρο - από την κορυφογραμμή Herschel. Και ανάμεσά τους… στην αρχή ο Ντάνκαν νόμιζε ότι έκανε λάθος. Όχι, έτσι είναι: ήταν το πιο σπάνιο και μυστηριώδες ορυκτό του Τιτάνα. Η γιαγιά έφτιαξε έναν πέτρινο σταυρό πεντομινό από τιτανίτη. Αυτό το μπλε-μαύρο, με χρυσές εγκλείσεις ορυκτό δεν μπορεί να συγχέεται με τίποτα. Ο Ντάνκαν δεν είχε δει ποτέ τόσο μεγάλα κομμάτια και μπορούσε μόνο να μαντέψει ποια ήταν η αξία τους.

«Δεν ξέρω τι να πω», μουρμούρισε. «Τι ομορφιά. Είναι η πρώτη φορά που το βλέπω αυτό.

Αγκάλιασε τους λεπτούς ώμους της γιαγιάς του και ξαφνικά ένιωσε ότι έτρεμαν και εκείνη δεν μπορούσε να σταματήσει αυτό το τρέμουλο. Ο Ντάνκαν την κράτησε προσεκτικά στην αγκαλιά του μέχρι που οι ώμοι της έπαψαν να τρέμουν. Τέτοιες στιγμές δεν χρειάζονται λόγια. Πιο ξεκάθαρα από πριν, ο Ντάνκαν κατάλαβε: ήταν ο τελευταίος έρωτας στην κατεστραμμένη ζωή της Έλεν Μακένζι. Και τώρα πετάει μακριά, αφήνοντάς την μόνη με τις αναμνήσεις της.

ΜΕΓΑΛΗ ΜΑΓΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ

Ο Κινέζος μαθηματικός του 13ου αιώνα Γιανγκ Χούι ήταν εξοικειωμένος με το τρίγωνο του Πασκάλ (αριθμητικό τρίγωνο). Άφησε μια παρουσίαση μεθόδων επίλυσης εξισώσεων 4ου και ανώτερου βαθμού, υπάρχουν κανόνες για την επίλυση πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης, άθροιση προόδων και τεχνικές κατασκευής μαγικών τετραγώνων. Κατάφερε να κατασκευάσει ένα μαγικό τετράγωνο έκτης τάξης και το τελευταίο αποδείχθηκε σχεδόν συνειρμικό (σε αυτό, μόνο δύο ζεύγη κεντρικά αντίθετων αριθμών δεν δίνουν το άθροισμα 37).

Ο Μπέντζαμιν Φράνκλιν δημιούργησε ένα τετράγωνο 16×16 που, εκτός από το σταθερό άθροισμα 2056 σε όλες τις σειρές, τις στήλες και τις διαγώνιες, είχε μια επιπλέον ιδιότητα. Εάν κόψουμε ένα τετράγωνο 4×4 από ένα φύλλο χαρτιού και βάλουμε αυτό το φύλλο σε ένα μεγάλο τετράγωνο έτσι ώστε 16 κελιά του μεγαλύτερου τετραγώνου να πέσουν σε αυτήν την υποδοχή, τότε το άθροισμα των αριθμών που εμφανίζονται σε αυτήν την υποδοχή, όπου και αν βάλουμε θα είναι το ίδιο - 2056.

Το πιο πολύτιμο με αυτό το τετράγωνο είναι ότι είναι αρκετά εύκολο να το μετατρέψεις σε ένα τέλειο μαγικό τετράγωνο, ενώ η κατασκευή τέλειων μαγικών τετραγώνων δεν είναι εύκολη υπόθεση. Ο Φράνκλιν ονόμασε αυτό το τετράγωνο «την πιο γοητευτική μαγεία από όλα τα μαγικά τετράγωνα που δημιουργήθηκαν ποτέ από μάγους».