Fraktaalid algarvudes. Teose põhiküsimus

Fraktaale on tuntud peaaegu sajand, nad on hästi uuritud ja neil on elus palju rakendusi. See nähtus põhineb väga lihtsal ideel: suhteliselt lihtsate struktuuride abil on võimalik saada lõpmatu arv ilusaid ja mitmekesiseid figuure, kasutades vaid kahte toimingut – kopeerimist ja skaleerimist.

Sellel mõistel pole ranget määratlust. Seetõttu ei ole sõna "fraktal" matemaatiline termin. See on tavaliselt geomeetrilise kujundi nimi, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest:

on keerulise struktuuriga mis tahes suurendusega;
on (ligikaudselt) enesesarnane;
omab murdosa Hausdorffi (fraktaal) dimensiooni , mis on suurem kui topoloogiline;
saab ehitada rekursiivsete protseduuride abil.

19. ja 20. sajandi vahetusel oli fraktaalide uurimine pigem episoodiline kui süstemaatiline, sest varasemad matemaatikud uurisid peamiselt “häid” objekte, mida sai uurida üldiste meetodite ja teooriate abil. 1872. aastal konstrueeris saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil diferentseeritav. Selle konstruktsioon oli aga täiesti abstraktne ja raskesti mõistetav. Seetõttu mõtles rootslane Helge von Koch 1904. aastal välja pideva kõvera, millel pole puutujat kuskil ja mille joonistamine on üsna lihtne. Selgus, et sellel on fraktali omadused. Selle kõvera üht varianti nimetatakse Kochi lumehelbeks.

Figuuride enesesarnasuse ideed noppis üles prantslane Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbroti tulevane mentor. 1938. aastal ilmus tema artikkel “Tervikuga sarnastest osadest koosnevad tasapinnalised ja ruumilised kõverad ja pinnad”, milles kirjeldatakse teist fraktalit – Lévy C-kõverat. Kõik ülaltoodud fraktaalid võib tinglikult omistada ühte konstruktiivsete (geomeetriliste) fraktaalide klassi.

Teine klass on dünaamilised (algebralised) fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uuringud pärinevad 20. sajandi algusest ja on seotud prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega. 1918. aastal avaldati peaaegu kakssada lehekülge Julia teost, mis oli pühendatud keeruliste ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonidele, milles kirjeldatakse Julia komplekte – tervet fraktaalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti hulgaga. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühtegi illustratsiooni, mistõttu avastatud objektide ilu oli võimatu hinnata. Vaatamata sellele, et see töö tegi Julia kuulsaks tolleaegsete matemaatikute seas, unustati see kiiresti.

Vaid pool sajandit hiljem, arvutite tulekuga, pöördus tähelepanu Julia ja Fatou loomingule: just nemad tegid nähtavaks fraktaalide maailma rikkuse ja ilu. Fatou ei saanud ju kunagi vaadata pilte, mida me praegu tunneme Mandelbroti komplekti piltidena, sest vajalikku arvu arvutusi ei saa käsitsi teha. Esimene inimene, kes selleks arvutit kasutas, oli Benoit Mandelbrot.

1982. aastal ilmus Mandelbroti raamat "Looduse fraktalgeomeetria", kuhu autor kogus ja süstematiseeris peaaegu kogu tol ajal kättesaadava teabe fraktalide kohta ning esitas selle lihtsalt ja arusaadavalt. Mandelbrot ei asetanud oma ettekandes põhirõhu mitte kaalukatele valemitele ja matemaatilistele konstruktsioonidele, vaid lugejate geomeetrilisele intuitsioonile. Tänu arvutiga loodud illustratsioonidele ja ajaloolistele lugudele, millega autor monograafia teaduslikku komponenti oskuslikult lahjendas, sai raamatust bestseller ja fraktalid said laiemale avalikkusele tuntuks. Nende edu mittematemaatikute seas on suuresti tingitud sellest, et väga lihtsate, isegi keskkooliõpilasele mõistetavate konstruktsioonide ja valemite abil saadakse hämmastava keerukuse ja iluga pilte. Kui personaalarvutid muutusid piisavalt võimsaks, ilmus kunstis isegi terve suund – fraktaalmaal ja sellega sai hakkama peaaegu iga arvutiomanik. Nüüd leiate Internetist hõlpsalt palju sellele teemale pühendatud saite.

Mis on ühist puul, mererannal, pilvel või meie käes olevatel veresoontel? Esmapilgul võib tunduda, et kõigil neil objektidel pole midagi ühist. Kuid tegelikult on struktuuril üks omadus, mis on omane kõigile loetletud objektidele: nad on isesarnased. Oksast, nagu ka puu tüvest, väljuvad väiksemad protsessid, neist - veelgi väiksemad jne, see tähendab, et oks on sarnane kogu puuga. Vereringesüsteem on paigutatud sarnaselt: arterioolid väljuvad arteritest ja neist - väikseimad kapillaarid, mille kaudu hapnik siseneb elunditesse ja kudedesse. Vaatame mereranniku satelliidipilte: näeme lahtesid ja poolsaari; vaatame seda, aga linnulennult: näeme lahtesid ja neeme; kujutage nüüd ette, et me seisame rannas ja vaatame oma jalgu: alati on veerisid, mis ulatuvad kaugemale vette kui ülejäänud. See tähendab, et rannajoon jääb sisse suumimisel endaga sarnaseks. Ameerika matemaatik Benoit Mandelbrot (ehkki üleskasvatatud Prantsusmaal) nimetas seda objektide omadust fraktaalsuseks ja selliseid objekte endid - fraktaalideks (ladina fractus - katki).

Sellel mõistel pole ranget määratlust. Seetõttu ei ole sõna "fraktal" matemaatiline termin. Tavaliselt on fraktaal geomeetriline kujund, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest: Sellel on keeruline struktuur igal suumitasemel (erinevalt näiteks sirgjoonest, mille mis tahes osa on kõige lihtsam geomeetriline kujund - joonelõik ). See on (ligikaudu) enesesarnane. Sellel on murdosa Hausdorffi (fraktaal) mõõde, mis on suurem kui topoloogiline. Saab ehitada rekursiivsete protseduuridega.

Geomeetria ja algebra

Fraktaalide uurimine 19. ja 20. sajandi vahetusel oli pigem episoodiline kui süstemaatiline, sest varasemad matemaatikud uurisid peamiselt “häid” objekte, mida sai uurida üldiste meetodite ja teooriate abil. 1872. aastal ehitas saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil eristatav. Selle konstruktsioon oli aga täiesti abstraktne ja raskesti mõistetav. Seetõttu mõtles rootslane Helge von Koch 1904. aastal välja pideva kõvera, millel pole puutujat kuskil ja mille joonistamine on üsna lihtne. Selgus, et sellel on fraktali omadused. Selle kõvera üht varianti nimetatakse Kochi lumehelbeks.

Teine klass on dünaamilised (algebralised) fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uurimused algasid 20. sajandi alguses ja on seotud prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega. 1918. aastal ilmus peaaegu kakssada lehekülge Julia mälestusteraamatut, mis oli pühendatud keeruliste ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonidele, milles kirjeldatakse Julia komplekte – tervet fraktaalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti komplektiga. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühtegi illustratsiooni, mistõttu avastatud objektide ilu oli võimatu hinnata. Vaatamata sellele, et see töö tegi Julia kuulsaks tolleaegsete matemaatikute seas, unustati see kiiresti. Taas pöördus tähelepanu sellele alles pool sajandit hiljem arvutite tulekuga: just nemad tegid nähtavaks fraktaalide maailma rikkuse ja ilu.

Fraktaali mõõtmed

Nagu teate, on geomeetrilise kujundi mõõde (mõõtmiste arv) koordinaatide arv, mis on vajalik sellel joonisel asuva punkti asukoha määramiseks.
Näiteks punkti asukoht kõveral määratakse ühe koordinaadiga, pinnal (mitte tingimata tasapinnal) kahe koordinaadiga, kolmemõõtmelises ruumis kolme koordinaadiga.
Üldisemast matemaatilisest vaatepunktist võib dimensiooni defineerida järgmiselt: lineaarsete mõõtmete suurenemine, näiteks kaks korda, ühemõõtmeliste (topoloogilisest vaatepunktist) objektide (segmendi) korral toob kaasa suuruse (pikkuse) suurenemise. ) kahekordse teguriga, kahemõõtmelise (ruut ) korral suurendab sama lineaarsete mõõtmete suurenemine suurust (pindala) 4 korda, kolmemõõtmelise (kuubiku) puhul 8 korda. See tähendab, et "tegelikku" (nn Hausdorffi) mõõdet saab arvutada objekti "suuruse" suurenemise logaritmi ja selle lineaarse suuruse suurenemise logaritmi suhtena. See tähendab, et segmendi jaoks D = log (2) / log (2) = 1, tasandi jaoks D = log (4) / log (2) = 2, ruumala jaoks D = log (8) / log (2) )=3.
Arvutame nüüd välja Kochi kõvera mõõtme, mille konstrueerimiseks jagatakse ühiklõik kolmeks võrdseks osaks ja keskmine intervall asendatakse ilma selle lõiguta võrdkülgse kolmnurgaga. Kui minimaalse segmendi lineaarmõõtmed suurenevad kolm korda, suureneb Kochi kõvera pikkus log (4) / log (3) ~ 1,26. See tähendab, et Kochi kõvera mõõde on murdosa!

Teadus ja kunst

Kochi kõvera saamise skeem

Sõda ja rahu

Nagu eespool märgitud, on üks fraktaalsete omadustega loodusobjekte rannajoon. Sellega, õigemini, selle pikkuse mõõtmise katsega on seotud üks huvitav lugu, mis oli aluseks Mandelbroti teaduslikule artiklile ja mida kirjeldab ka tema raamat "Looduse fraktaalne geomeetria". Jutt on väga andeka ja ekstsentrilise matemaatiku, füüsiku ja meteoroloogi Lewis Richardsoni loodud eksperimendist. Tema uurimistöö üheks suunaks oli katse leida matemaatiline kirjeldus kahe riigi vahelise relvakonflikti põhjuste ja tõenäosuse kohta. Parameetrite hulgas, mida ta arvesse võttis, oli kahe sõdiva riigi vahelise ühise piiri pikkus. Numbriliste katsete jaoks andmeid kogudes leidis ta, et erinevates allikates on Hispaania ja Portugali ühise piiri andmed väga erinevad. See viis ta järgmise avastuseni: riigi piiride pikkus sõltub joonlauast, millega me neid mõõdame. Mida väiksem on skaala, seda pikem on piir. Põhjuseks on asjaolu, et suurema suurenduse korral saab üha enam arvesse võtta ranniku käänakuid, mida varem mõõtmiste ebatasasuse tõttu eirati. Ja kui iga suumiga avatakse varem arvestamata joonte kõverad, siis selgub, et piiride pikkus on lõpmatu! Tõsi, tegelikult seda ei juhtu – meie mõõtmiste täpsusel on piiratud piir. Seda paradoksi nimetatakse Richardsoni efektiks.

Konstruktiivsed (geomeetrilised) fraktaalid

Konstruktiivse fraktali konstrueerimise algoritm üldjuhul on järgmine. Kõigepealt vajame kahte sobivat geomeetrilist kujundit, nimetagem neid aluseks ja fragmendiks. Esimeses etapis on kujutatud tulevase fraktali alus. Seejärel asendatakse mõned selle osad sobivas mõõtkavas võetud fragmendiga - see on konstruktsiooni esimene iteratsioon. Seejärel muutuvad saadud joonisel mõned osad jällegi fragmendiga sarnasteks kujunditeks jne. Kui seda protsessi lõputult jätkata, siis limiiti saad fraktali.

Mõelge sellele protsessile Kochi kõvera näitel (vt eelmisel leheküljel külgriba). Kochi kõvera aluseks võib võtta mis tahes kõverat (Kochi lumehelbe puhul on see kolmnurk). Kuid me piirdume kõige lihtsama juhtumiga - segmendiga. Fragment on katkendlik joon, mis on näidatud joonise ülaosas. Pärast algoritmi esimest iteratsiooni kattub antud juhul algne segment fragmendiga, seejärel asendatakse kõik selle koostisosad fragmendiga sarnase katkendjoonega jne. Joonisel on neli esimest selle protsessi etapid.

Matemaatika keel: dünaamilised (algebralised) fraktaalid

Seda tüüpi fraktalid tekivad mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide uurimisel (sellest ka nimi). Sellise süsteemi käitumist saab kirjeldada kompleksse mittelineaarse funktsiooniga (polünoomiga) f(z). Võtame komplekstasandil mingi algpunkti z0 (vt külgriba). Vaatleme nüüd sellist lõpmatut arvujada komplekstasandil, millest igaüks on saadud eelmisest: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Olenevalt algpunktist z0 võib selline jada käituda erinevalt: kalduda lõpmatuseni kui n -> ∞; lähenema mõnele lõpp-punktile; võtta tsükliliselt mitu fikseeritud väärtust; on võimalikud keerulisemad variandid.

Keerulised numbrid

Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast - reaal- ja imaginaarsest, see tähendab formaalsest summast x + iy (x ja y on siin reaalarvud). ma olen nn. imaginaarne ühik, see tähendab võrrandit rahuldav arv i^ 2 = -1. Kompleksarvude kohal defineeritakse põhilised matemaatilised toimingud - liitmine, korrutamine, jagamine, lahutamine (ainult võrdlustehte pole määratletud). Kompleksarvude kuvamiseks kasutatakse sageli geomeetrilist esitust - tasapinnal (seda nimetatakse kompleksiks) joonistatakse reaalosa piki abstsisstellge ja imaginaarne osa piki ordinaattelge, kompleksarv aga vastab punktile. ristkoordinaatidega x ja y.

Seega on komplekstasandi mis tahes punktil z funktsiooni f (z) iteratsioonide ajal oma käitumise iseloom ja kogu tasapind jaguneb osadeks. Veelgi enam, nende osade piiridel asuvatel punktidel on järgmine omadus: suvaliselt väikese nihke korral muutub nende käitumise olemus dramaatiliselt (sellisi punkte nimetatakse bifurkatsioonipunktideks). Seega selgub, et punktide komplektidel, millel on üht kindlat tüüpi käitumist, ja ka bifurkatsioonipunktide komplektidel on sageli fraktaalomadused. Need on funktsiooni f(z) Julia hulgad.

draakoni perekond

Alust ja fragmenti muutes saate hämmastavalt erinevaid konstruktiivseid fraktale.
Lisaks saab sarnaseid toiminguid teha ka kolmemõõtmelises ruumis. Volumeetrilised fraktaalid on näiteks "Mengeri käsn", "Sierpinski püramiid" jt.
Draakonite perekonda nimetatakse ka konstruktiivseteks fraktaalideks. Mõnikord nimetatakse neid avastajate nimede järgi "Heiwei-Harteri draakoniteks" (oma kuju poolest meenutavad nad Hiina draakoneid). Selle kõvera koostamiseks on mitu võimalust. Lihtsaim ja ilmsem neist on järgmine: peate võtma piisavalt pika pabeririba (mida õhem paber, seda parem) ja painutage see pooleks. Seejärel painutage see uuesti pooleks samas suunas nagu esimesel korral. Pärast mitut kordust (tavaliselt pärast viit või kuut volti muutub riba liiga paksuks, et seda ettevaatlikult edasi painutada) tuleb riba tagasi sirutada ja püüda moodustada voltidele 90˚ nurgad. Siis muutub draakoni kõver profiilis välja. Loomulikult on see vaid ligikaudne, nagu kõik meie katsed kujutada fraktaalobjekte. Arvuti võimaldab selles protsessis kujutada veel palju samme ning tulemuseks on väga ilus figuur.

Mandelbroti komplekt on konstrueeritud mõnevõrra erinevalt. Vaatleme funktsiooni fc (z) = z 2 +c, kus c on kompleksarv. Koostame selle funktsiooni jada z0=0, sõltuvalt parameetrist c võib see lõpmatuseni lahkneda või jääda piirituks. Lisaks moodustavad kõik c väärtused, mille jaoks see jada on piiratud, Mandelbroti komplekti. Seda uurisid üksikasjalikult Mandelbrot ise ja teised matemaatikud, kes avastasid selle komplekti palju huvitavaid omadusi.

On näha, et Julia ja Mandelbroti hulga definitsioonid on üksteisega sarnased. Tegelikult on need kaks komplekti omavahel tihedalt seotud. Nimelt on Mandelbroti hulk kõik kompleksparameetri c väärtused, mille jaoks on ühendatud Julia hulk fc (z) (hulka nimetatakse ühendatuks, kui seda ei saa teatud lisatingimustega jagada kaheks mittelõikuvaks osaks).

fraktalid ja elu

Tänapäeval kasutatakse fraktaalide teooriat laialdaselt erinevates inimtegevuse valdkondades. Lisaks puhtteaduslikule uurimisobjektile ja juba mainitud fraktaalimaalile kasutatakse infoteoorias fraktaleid graafiliste andmete tihendamiseks (siin kasutatakse peamiselt fraktaalide enesesarnasuse omadust - ju ikka selleks, et väike fragment meelde jätta joonise ja teisenduste jaoks, millega saate ülejäänud osad hankida, võtab see palju vähem mälu kui kogu faili salvestamine). Lisades fraktaali defineerivatele valemitele juhuslikud häired, saab saada stohhastilisi fraktale, mis annavad väga usutavalt edasi mingeid reaalseid objekte - reljeefielemente, veekogude pinda, mõningaid taimi, mille saavutamiseks kasutatakse edukalt füüsikas, geograafias ja arvutigraafikas. simuleeritud objektide suurem sarnasus reaalsetega. Raadioelektroonikas hakati viimasel kümnendil tootma antenne, millel on fraktaalkuju. Võttes vähe ruumi, pakuvad need üsna kvaliteetset signaali vastuvõttu. Majandusteadlased kasutavad valuutakõikumiste kõverate kirjeldamiseks fraktaleid (selle omaduse avastas Mandelbrot üle 30 aasta tagasi). Sellega lõpetame selle lühikese ekskursiooni fraktaalide maailma, mis on hämmastav ilu ja mitmekesisuse poolest.

Kui ma loetust kõigest aru ei saa, pole ma eriti ärritunud. Kui teema mulle hiljem peale ei tule, siis see pole (vähemalt minu jaoks) väga oluline. Kui teema uuesti kokku puutub, siis kolmandat korda, on mul uued võimalused seda paremini mõista. Fraktalid kuuluvad selliste teemade hulka. Sain neist esmalt teada Nassim Talebi raamatust ja seejärel täpsemalt Benoit Mandelbroti raamatust. Täna saate saidi fraktali taotlusel saada 20 sedelit.

I osa. REIS PÄRITOOTUSE JUURDE

NIMI ON TEADA. Veel 20. sajandi alguses märkis Henri Poincaré: „Te olete üllatunud, kui suur jõud võib ühel sõnal olla. Siin on objekt, mille kohta ei saanud enne ristimist midagi öelda. Piisas talle nime andmisest, et ime juhtuks ”(vt ka). Ja nii juhtuski, kui 1975. aastal kogus Poola päritolu prantsuse matemaatik Benoit Mandelbrot Sõna. Ladinakeelsetest sõnadest frangere(vaheaeg) ja fractus(katkendav, diskreetne, murdosaline) on tekkinud fraktaal. Mandelbrot propageeris ja propageeris oskuslikult fraktalit kui kaubamärki, mis põhines emotsionaalsel atraktiivsusel ja ratsionaalsel kasulikkus. Ta avaldab mitmeid monograafiaid, sealhulgas The Fractal Geometry of Nature (1982).

FRAKTAALID LOODUSES JA KUNSTIS. Mandelbrot tõi välja eukleidilisest erineva fraktaalgeomeetria kontuurid. Erinevus ei kehtinud paralleelsuse aksioomi puhul, nagu Lobatševski või Riemanni geomeetriates. Erinevus seisnes selles, et Eukleidese vaikimisi sujuvuse nõue lükati tagasi. Mõned objektid on oma olemuselt karedad, poorsed või killustunud ning paljudel neist on need omadused "mis tahes mõõtkavas samal määral". Looduses pole sellistest vormidest puudust: päevalilled ja spargelkapsas, merekarbid, sõnajalad, lumehelbed, mäelõhed, rannajooned, fjordid, stalagmiidid ja stalaktiidid, välk.

Tähelepanelikud ja tähelepanelikud inimesed on juba ammu märganud, et mõned vormid näitavad "lähedalt või kaugelt" vaadates korduvat struktuuri. Sellistele objektidele lähenedes märkame, et muutuvad vaid pisidetailid, kuid kuju tervikuna jääb peaaegu muutumatuks. Sellest lähtuvalt on fraktaali kõige lihtsam defineerida kui geomeetrilist kujundit, mis sisaldab korduvaid elemente mis tahes mõõtkavas.

MÜÜTID JA MÜSTIFIKATSIOONID. Mandelbroti avastatud uuest vormikihist sai disainerite, arhitektide ja inseneride kullakaevandus. Lugematu arv fraktaleid on ehitatud samade mitme korduse põhimõtete järgi. Siit edasi on fraktaali kõige lihtsam määratleda kui geomeetrilist kujundit, mis sisaldab korduvaid elemente mis tahes mõõtkavas. See geomeetriline vorm on lokaalselt muutumatu (invariantne), mastaapselt enesesarnane ja oma piirangutes terviklik, tõeline singulaarsus, mille keerukus ilmneb lähenedes, ja triviaalsus ise distantsilt.

KURATREDEL. Arvutitevaheliseks andmete edastamiseks kasutatakse ülitugevaid elektrisignaale. Selline signaal on diskreetne. Häired või müra tekivad elektrivõrkudes mitmel põhjusel juhuslikult ja põhjustavad arvutite vahel teabe edastamisel andmete kadumist. Müra mõju andmeedastusele kõrvaldamine usaldati eelmise sajandi kuuekümnendate alguses IBMi inseneride rühmale, milles osales Mandelbrot.

Ligikaudne analüüs näitas perioodide olemasolu, mille jooksul vigu ei registreeritud. Tunniseid perioode välja toonud, märkasid insenerid, et nende vahel on ka signaali vigadeta läbimise perioodid katkendlikud, lühemaid pause, mis kestavad paarkümmend minutit. Seega iseloomustavad vigadeta andmeedastust erineva pikkusega andmepaketid ja pausid müras, mille käigus edastatakse signaal vigadeta. Kõrgema järgu pakettidesse on sisse ehitatud justkui madalama järgu paketid. Selline kirjeldus viitab sellise asja olemasolule nagu madalama asetusega pakettide suhteline asukoht kõrgema järgu paketis. Kogemused on näidanud, et nende pakkide suhteliste asukohtade tõenäosusjaotus ei sõltu nende järjestusest. See muutumatus näitab andmete moonutamise protsessi enesesarnasust elektrilise müra toimel. See protseduur, kuidas andmeedastuse ajal signaalist veatuid pause välja lõigata, ei saanud elektriinseneridele pähe, kuna see oli neile uus.

Kuid Mandelbrot, kes õppis puhast matemaatikat, oli hästi teadlik Cantori komplektist, mida kirjeldati juba 1883. aastal ja mis kujutas range algoritmi järgi saadud punktidest saadud tolmu. "Kantori tolmu" konstrueerimise algoritmi olemus on järgmine. Võtke sirgjoon. Eemaldage sellest segmendi keskmine kolmandik, hoides alles kaks otsa. Nüüd kordame sama toimingut lõppsegmentidega ja nii edasi. Mandelbrot avastas, et just selline on pakettide ja pauside geomeetria signaalide edastamisel arvutite vahel. Viga on kumulatiivne. Selle akumuleerumist saab modelleerida järgmiselt. Esimeses etapis omistame intervalli kõikidele punktidele väärtuse 1/2, intervalli teises etapis väärtuse 1/4, väärtuse 3/4 intervalli punktidele jne. Nende koguste samm-sammult liitmine võimaldab konstrueerida nn "kuradiredeli" (joon. 1). "Kantori tolmu" mõõt on irratsionaalne arv, mis on võrdne 0,618 ..., mida nimetatakse "kuldseks suhteks" või "jumalikuks proportsiooniks".

II osa. ASI ON FRAKTALID

NAERATA ILMA KASSITA: FRAKTAALNE MÕÕDE. Dimensioon on üks põhimõisteid, mis ulatub matemaatikast palju kaugemale. Eukleides määratles "Alguste" esimeses raamatus geomeetria punkti, sirge, tasandi põhimõisted. Nende definitsioonide põhjal püsis kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi mõiste muutumatuna ligi kaks ja pool tuhat aastat. Arvukad flirtimised nelja-, viie- ja enamamõõtmeliste ruumidega ei anna sisuliselt midagi juurde, kuid nad seisavad silmitsi sellega, mida inimese kujutlusvõime ette ei kujuta. Fraktaalgeomeetria avastamisega toimus dimensiooni mõistes radikaalne revolutsioon. Ilmus palju erinevaid mõõtmeid ja nende hulgas pole mitte ainult täisarve, vaid ka murdosa ja isegi irratsionaalseid. Ja need mõõtmed on saadaval visuaalseks ja sensuaalseks esituseks. Tõepoolest, aukudega juustu võime hõlpsasti ette kujutada söötme mudelina, mille mõõde on suurem kui kaks, kuid juustuaukude tõttu jääb alla kolmele, mis vähendab juustumassi mõõtmeid.

Murd- või fraktaalmõõtme mõistmiseks pöördume Richardsoni paradoksi poole, mis väitis, et Suurbritannia karmi rannajoone pikkus on lõpmatu! Louis Fry Richardson mõtles, milline on mõõtmisskaala mõju Briti rannajoone mõõdetud pikkuse suurusele. Liikudes kontuurkaartide mõõtkavalt "rannikukivide" mõõtkavale, jõudis ta kummalise ja ootamatu järelduseni: rannajoone pikkus pikeneb lõputult ja sellel tõusul pole piire. Siledad kumerad jooned niimoodi ei käitu. Richardsoni empiirilised andmed, mis saadi järjest suurema mõõtkavaga kaartidelt, andsid tunnistust rannikujoone pikkuse võimsusseaduse suurenemisest koos mõõtesammu vähenemisega:

Selles lihtsas Richardsoni valemis L on ranniku mõõdetud pikkus, ε on mõõtesammu väärtus ja β ≈ 3/2 on tema leitud ranniku pikkuse kasvuaste mõõtmise sammu vähenemisega. Erinevalt ümbermõõdust suureneb Ühendkuningriigi rannajoone pikkus ilma 55 piiranguta. Ta on lõputu! Tuleb leppida tõsiasjaga, et kurvid on katkised, mittesiledad, neil ei ole piiravat pikkust.

Kuid Richardsoni uuringud näitasid, et neil on kahaneva mõõtmisskaalaga pikkuse kasvu määra iseloomulik näitaja. Selgus, et just see väärtus identifitseerib müstiliselt katkendliku joone inimese isiksuse sõrmejäljena. Mandelbrot tõlgendas rannajoont fraktaalobjektina – objektina, mille mõõde langeb kokku eksponendiga β.

Näiteks Norra lääneranniku rannikupiiri kõverate mõõtmed on 1,52; Ühendkuningriigi jaoks - 1,25; Saksamaale - 1,15; Austraaliale - 1,13; Lõuna-Aafrika suhteliselt sileda ranniku jaoks - 1,02 ja lõpuks täiesti sileda ringi jaoks - 1,0.

Fraktali fragmenti vaadates ei saa te öelda, mis on selle mõõde. Ja põhjus ei ole fragmendi geomeetrilises keerukuses, fragment võib olla väga lihtne, vaid selles, et fraktaalmõõde ei kajasta mitte ainult fragmendi kuju, vaid ka fragmendi teisenduse vormingut konstrueerimise käigus. fraktal. Fraktaalne mõõde on vormilt justkui eemaldatud. Ja tänu sellele jääb fraktaalidimensiooni väärtus muutumatuks; see on sama mis tahes fraktaali fragmendi jaoks mis tahes vaateskaalal. Seda ei saa "näppudega haarata", kuid seda saab arvutada.

FRAKTAALI KORDUS. Kordust saab modelleerida mittelineaarsete võrranditega. Lineaarvõrrandeid iseloomustab muutujate üks-ühele vastavus: iga väärtus X vastab ühele ja ainult ühele väärtusele juures ja vastupidi. Näiteks võrrand x + y = 1 on lineaarne. Lineaarsete funktsioonide käitumine on täielikult määratud, algtingimuste poolt üheselt määratud. Mittelineaarsete funktsioonide käitumine ei ole nii ühemõtteline, sest kaks erinevat algtingimust võivad viia sama tulemuseni. Selle põhjal kuvatakse toimingu kordamise iteratsioon kahes erinevas vormingus. Sellel võib olla lineaarse viite iseloom, kui arvutuste igal etapil pöördutakse tagasi algseisundisse. See on omamoodi "mustri iteratsioon". Seeriatootmine koosteliinil on "mustri iteratsioon". Lineaarse viite vormingus iteratsioon ei sõltu süsteemi evolutsiooni vaheolekutest. Siin algab iga uus iteratsioon "pliidist". Hoopis teine asi on siis, kui iteratsioonil on rekursioonivorming, st eelmise iteratsioonietapi tulemus saab järgmise algtingimuseks.

Rekursiooni saab illustreerida Fibonacci seeriaga, mis on esitatud Girardi jada kujul:

u n +2 = u n +1 + u n

Tulemuseks on Fibonacci numbrid:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Selles näites on üsna selge, et funktsioon rakendatakse iseendale ilma algväärtusele viitamata. See libiseb mööda Fibonacci seeriat ja iga eelmise iteratsiooni tulemus saab järgmise lähteväärtuseks. Just see kordus realiseerub fraktaalvormide konstrueerimisel.

Näidakem, kuidas on "Sierpinski salvrätiku" konstrueerimise algoritmides (kasutades lõikamismeetodit ja CIF-meetodit) rakendatud fraktaalkordust.

lõikamise meetod. Võtke võrdkülgne kolmnurk küljega r. Esimese sammuna lõikasime selle keskelt välja tagurpidi pööratud võrdkülgse kolmnurga küljepikkusega r 1 = r 0/2. Selle sammu tulemusena saame kolm külgpikkusega võrdkülgset kolmnurka r 1 = r 0 /2, mis asub algse kolmnurga tippudes (joonis 2).

Teises etapis lõikasime igast kolmest moodustatud kolmnurgast välja küljepikkusega ümberpööratud kolmnurgad r 2 = r 1 /2 = r 0 /4. Tulemus - 9 kolmnurka külje pikkusega r 2 = r 0 /4. Selle tulemusena muutub "Sierpinski salvrätiku" kuju järk-järgult üha selgemaks. Fikseerimine toimub igal sammul. Kõik varasemad fiksatsioonid on justkui "kustutatud".

SIF-meetod ehk Barnsley itereeritud funktsioonide süsteemide meetod. Antud on: võrdkülgne kolmnurk nurkade A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3/2) koordinaatidega. Z 0 on suvaline punkt selle kolmnurga sees (joonis 3). Võtame täringu, mille külgedel on kaks tähte A, B ja C.

Samm 1. Viska luu. Iga tähe saamise tõenäosus on 2/6 = 1/3.

Kui täht A kukub välja, ehitame lõigu z 0 -A, mille keskele paneme punkti z 1
Kui täht B kukub välja, ehitame lõigu z 0 -B, mille keskele paneme punkti z 1
Kui täht C kukub välja, ehitame lõigu z 0 -C, mille keskele paneme punkti z 1

Samm 2. Viska luu uuesti.

Kui täht A kukub välja, ehitame lõigu z 1 -A, mille keskele paneme punkti z 2
Kui täht B kukub välja, ehitame lõigu z 1 -B, mille keskele paneme punkti z 2
Kui täht C kukub välja, ehitame lõigu z 1 -C, mille keskele paneme punkti z 2

Tehet mitu korda korrates saame punktid z 3 , z 4 , …, z n . Igaühe nende eripära on see, et punkt on täpselt poolel teel eelmisest suvaliselt valitud tipuni. Kui nüüd jätta kõrvale algpunktid, näiteks z 0 kuni z 100 , siis ülejäänud moodustavad piisavalt suure arvuga struktuuri "Sierpinski salvrätik". Mida rohkem punkte, seda rohkem iteratsioone, seda selgemalt paistab Sierpinski fraktal vaatlejale. Ja seda hoolimata asjaolust, et protsess kulgeb, näib olevat juhuslikult (tänu täringule). “Sierpinski salvrätik” on omamoodi protsessi atraktor ehk kujund, millele kalduvad kõik selles protsessis piisavalt suure iteratsioonide arvuga rajatud trajektoorid. Kujutise parandamine on sel juhul kumulatiivne, kuhjuv protsess. Võimalik, et iga üksik punkt ei lange kunagi kokku Sierpinski fraktali punktiga, kuid selle protsessi iga järgnev "juhuslikult" korraldatud punkt tõmbab üha lähemale "Sierpinski salvrätiku" punktidele.

TAGASISIDE ALK. Küberneetika rajaja Norbert Wiener tõi tagasisideahela kirjeldamiseks näiteks tüürimehe paadis. Tüürimees peab püsima kursil ja hindab pidevalt, kui hästi paat sellest kinni peab. Kui tüürimees näeb, et paat kaldub kõrvale, pöörab ta tüüri, et see etteantud kursile naasta. Mõne aja pärast hindab ta uuesti ja korrigeerib rooli abil taas liikumissuunda. Seega navigeerimine toimub paadi liikumise iteratsioonide, korduste ja järjestikuste lähenduste abil antud kursile.

Tüüpiline tagasisideahela diagramm on näidatud joonisel fig. 4 See taandub muutuvate parameetrite (paadi suund) ja juhitava parameetri C (paadi kurss) muutmisele.

Mõelge kaardistamisele "Bernoulli nihe". Olgu algseisundiks valitud mingi arv, mis kuulub vahemikku 0 kuni 1. Kirjutame selle numbri kahendarvusüsteemi:

x 0 \u003d 0,01011010001010011001010 ...

Nüüd on aja arengu üks samm see, et nullide ja ühtede jada nihutatakse ühe koha võrra vasakule ja koma vasakul pool asunud number jäetakse kõrvale:

x 1 \u003d 0,1011010001010011001010 ...

x 2 \u003d 0,011010001010011001010 ...

x 3 \u003d 0,11010001010011001010 ...

Pange tähele, et kui algsed numbrid x 0 ratsionaalne, siis iteratsiooni protsessis väärtused Xn minna perioodilisele orbiidile. Näiteks algarvu 11/24 jaoks saame iteratsiooni käigus rea väärtusi:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Kui algväärtused x0 on irratsionaalsed, ei jõua kaardistamine kunagi perioodilisse režiimi. Algväärtuste intervall x 0 ∈ sisaldab lõpmatult palju ratsionaalseid punkte ja lõpmatult palju irratsionaalseid punkte. Seega on perioodiliste orbiitide tihedus võrdne nende orbiitide tihedusega, mis ei jõua kunagi perioodilise režiimini. Igas ratsionaalse väärtusega naabruses x0 algparameetril on irratsionaalne väärtus x'0 Sellises olukorras tekib paratamatult peen tundlikkus algtingimuste suhtes. See on iseloomulik märk sellest, et süsteem on dünaamilise kaose seisundis.

ELEMENTAARNE TAGASISIDE LOOP. Tagurpidi on vajalik tingimus ja iga külgpilgu tagajärg, mis ootamatult tabab. Pöördsilmuse ikoon võib olla Möbiuse riba, milles selle alumine külg läheb iga ringiga ülemisse, sisemine muutub välimiseks ja vastupidi. Erinevuste kuhjumine pöördprotsessi käigus viib pildi esmalt originaalist eemale ja naaseb seejärel selle juurde. Loogikas illustreerib pöördesilmust Epimenidese paradoks: "kõik kreetalased on valetajad". Kuid Epimenides ise on kreetalane.

KUMMALINE SILM. Kummalise silmuse fenomeni dünaamiline olemus seisneb selles, et teisenedes ja üha enam esialgsest erinevast kujutisest naaseb arvukate deformatsioonide käigus algkujutisse, kuid ei korda seda kunagi täpselt. Seda nähtust kirjeldades võtab Hofstadter raamatus kasutusele mõiste "kummaline silmus". Ta järeldab, et nii Escher, Bach kui ka Gödel avastasid või, täpsemalt, kasutasid kummalisi silmuseid oma töös ja loovuses vastavalt kujutavas kunstis, muusikas ja matemaatikas. Escher avastas raamatus Metamorfoosid reaalsuse erinevate tasandite kummalise sidususe. Ühe kunstilise vaatenurga vormid muudetakse plastiliselt teise kunstilise vaatenurga vormideks (joon. 5).

Riis. 5. Maurits Escher. Käte joonistamine. 1948. aastal

Selline veidrus avaldus muusikas veidral moel. Üks Bachi muusikalise pakkumise kaanoneid ( Canon Tonose kohta- Tonaalne kaanon) on üles ehitatud nii, et selle näiline lõpp läheb ootamatult sujuvalt algusse, kuid tooninihkega. Need järjestikused modulatsioonid viivad kuulaja algsest helikõrgust aina kõrgemale. Kuid imekombel oleme pärast kuut modulatsiooni peaaegu tagasi. Kõik hääled kõlavad nüüd täpselt ühe oktaavi võrra kõrgemalt kui alguses. Ainus kummaline asi on see, et kui me tõuseme läbi teatud hierarhia tasandite, leiame end ühtäkki peaaegu samast kohast, kust me oma teekonda alustasime. tagasi ilma kordamiseta.

Kurt Gödel avastas kummalised silmused ühes iidsemas ja valdatuimas matemaatika valdkonnas – arvuteoorias. Gödeli teoreem nägi esmakordselt valgust teoreemina VI oma 1931. aasta artiklis "Formaalselt otsustamatute propositsioonide kohta" ajakirjas Principle Mathematica. Teoreem ütleb järgmist: kõik arvuteooria järjekindlad aksiomaatilised formuleeringud sisaldavad otsustamatuid väiteid. Arvuteooria hinnangud ei ütle midagi arvuteooria otsuste kohta; need pole midagi muud kui arvuteooria hinnangud. Siin on silmus, aga ei mingit veidrust. Tõestuses on peidus kummaline silmus.

KUMMALINE ATRAKTOR. Attraktor (inglise keelest. meelitada meelitada) punkt või suletud joon, mis tõmbab enda poole kõik süsteemi käitumise võimalikud trajektoorid. Atraktor on stabiilne ehk pikemas perspektiivis on ainuvõimalik käitumine atraktor, kõik muu on ajutine. Atraktor on ruumilis-ajaline objekt, mis katab kogu protsessi, olles ei selle põhjus ega tagajärg. Selle moodustavad ainult piiratud arvu vabadusastmetega süsteemid. Atraktoriteks võivad olla punkt, ring, torustik ja fraktal. Viimasel juhul nimetatakse atraktorit "kummaliseks" (joon. 6).

Punkttraktor kirjeldab süsteemi mis tahes stabiilset olekut. Faasiruumis on see punkt, mille ümber moodustuvad "sõlme", "fookuse" või "sadula" lokaalsed trajektoorid. Pendel käitub nii: mis tahes algkiirusel ja mis tahes algasendis, piisava aja möödudes, hõõrdumise mõjul pendel peatub ja jõuab stabiilsesse tasakaaluolekusse. Ringikujuline (tsükliline) atraktor on liikumine edasi-tagasi, nagu ideaalne pendel (ilma hõõrdumiseta), ringis.

Kummalised atraktorid ( kummalised atraktorid) tunduvad kummalised ainult väljastpoolt, kuid mõiste "kummaline atraktor" levis kohe pärast David Rueli ja hollandlase Floris Takensi artikli "The Nature of Turbulence" ilmumist 1971. aastal (vt ka). Ruelle ja Takens mõtlesid, kas igal atraktoril on õiged omadused: stabiilsus, piiratud arv vabadusastmeid ja mitteperioodilisus. Geomeetrilisest vaatenurgast tundus küsimus puhas mõistatusena. Millise kujuga peaks olema piiratud ruumis tõmmatud lõpmatult pikenenud trajektoor, et end kunagi ei korduks ega ristuks? Iga rütmi taasesitamiseks peab orbiit olema piiratud alal lõpmatult pikk joon ehk teisisõnu olema ise neelav (joonis 7).

1971. aastaks oli sellisest atraktorist teaduskirjanduses juba üks visand. Eduard Lorentz tegi selle lisana oma 1963. aasta deterministlikku kaost käsitlevale artiklile. See atraktor oli stabiilne, mitteperioodiline, sellel oli väike arv vabadusastmeid ja see ei ületanud kunagi ennast. Kui see juhtus ja ta naaseb punkti, millest ta oli juba möödas, korratakse liikumist tulevikus, moodustades toroidaalse atraktori, kuid seda ei juhtunud.

Atraktori kummalisus seisneb, nagu Ruel uskus, kolmes mittevõrdväärses, kuid praktikas koos eksisteerivas märgis:

fraktaalsus (pesastumine, sarnasus, järjepidevus);
determinism (sõltuvus algtingimustest);
singulaarsused (lõplik arv defineerivaid parameetreid).

III osa. FRAKTAALVORMIDE KUJULETAV KERGUS

VÄLJAMÕISTLUSED NUMBRID, FAASPORTREED JA TÕENÄOSUS. Fraktaalgeomeetria põhineb imaginaarsete arvude teoorial, dünaamilistel faasiportreedel ja tõenäosusteoorial. Imaginaararvude teooria eeldab, et miinus ühest on ruutjuur. Gerolamo Cardano esitas oma teoses "Suur kunst" ("Ars Magna", 1545) kuupvõrrandi z 3 + pz + q = 0 üldlahenduse. Cardano kasutab imaginaarseid arve tehnilise formalismi vahendina, et väljendada selle juure. võrrand. Ta märkab kummalisust, mida ta illustreerib lihtsa võrrandiga x 3 = 15x + 4. Sellel võrrandil on üks ilmne lahendus: x = 4. Üldistav valem annab aga kummalise tulemuse. See sisaldab negatiivse arvu juure:

Rafael Bombelli märkis oma algebrateemalises raamatus ("L'Algebra", 1560), et = 2 ± i ja see võimaldas tal kohe saada reaaljuur x = 4. Sellistel juhtudel, kui kompleksarvud on konjugeeritud, saadakse reaaljuur ja kompleksarvud on tehniliseks abiks kuupvõrrandi lahenduse leidmisel.

Newton uskus, et lahendusi, mis sisaldavad miinus ühe juurt, tuleks käsitleda "füüsilise tähenduseta" ja need tuleks kõrvale heita. XVII-XVIII sajandil kujunes arusaam, et miski kujuteldav, vaimne, kujuteldav pole vähem reaalne kui kõik reaalne kokku. Täpseks kuupäevaks võib tuua isegi 10. novembri 1619, mil Descartes sõnastas uue mõtlemise manifesti "cogito ergo sum". Sellest hetkest alates on mõte absoluutne ja vaieldamatu reaalsus: "kui ma mõtlen, siis see tähendab, et ma olen olemas"! Täpsemalt tajutakse nüüd mõtet reaalsusena. Descartes'i idee ortogonaalsest koordinaatsüsteemist saab tänu kujuteldavatele arvudele teostuse. Nüüd on võimalik need mõttelised numbrid tähendustega täita.

19. sajandil töötasid Euleri, Argani, Cauchy, Hamiltoni teosed välja aritmeetilise aparaadi kompleksarvudega töötamiseks. Mis tahes kompleksarvu saab esitada X + iY summana, kus X ja Y on meile tuttavad reaalarvud ja i kujuteldav ühik (sisuliselt on see √–1). Igale kompleksarvule vastab punkt koordinaatidega (X, Y) nn komplekstasandil.

Teine oluline mõiste, dünaamilise süsteemi faasiportree, kujunes välja 20. sajandil. Pärast seda, kui Einstein näitas, et kõik liigub valguse suhtes sama kiirusega, tekkis idee, et süsteemi dünaamilist käitumist on võimalik väljendada külmutatud geomeetriliste joonte, nn dünaamilise süsteemi faasiportree kujul. selge füüsiline tähendus.

Illustreerime seda pendli näitel. Esimesed katsed pendliga tegi Jean Foucault 1851. aastal keldris, seejärel Pariisi observatooriumis, seejärel Pantheoni kupli all. Lõpuks riputati 1855. aastal Foucault’ pendel Pariisi Saint-Martin-des-Champsi kiriku kupli alla. Foucault pendli trossi pikkus on 67 m, kettlebelli kaal 28 kg. Suurelt distantsilt näeb pendel välja nagu punkt. Punkt on alati paigal. Lähenedes eristame kolme tüüpilise trajektooriga süsteemi: harmooniline ostsillaator (sinϕ ≈ ϕ), pendel (võnkub edasi-tagasi), propeller (pöörlemine).

Kui kohalik vaatleja näeb üht kolmest palli liikumise võimalikust konfiguratsioonist, võib protsessist eraldatud analüütik eeldada, et pall teeb ühe kolmest tüüpilisest liikumisest. Seda saab näidata ühel tasapinnal. Tuleb kokku leppida, et liigutame “palli niidil” abstraktsesse faasiruumi, millel on sama palju koordinaate, kui palju on vaadeldaval süsteemil vabadusastmeid. Sel juhul räägime kahest vabadusastmest v ja keerme kaldenurk kuuliga vertikaali suhtes ϕ. Koordinaatides ϕ ja v on harmoonilise ostsillaatori trajektoor kontsentriliste ringide süsteem, nurga ϕ suurenedes muutuvad need ringid ovaalseteks ja kui ϕ = ± π ovaali sulgemine on kadunud. See tähendab, et pendel on lülitunud propelleri režiimi: v = konst(joonis 8).

Riis. 8. Pendel: a) trajektoor ideaalse pendli faasiruumis; b) sumbumisega õõtsuva pendli trajektoor faasiruumis; c) faasiportree

Faasiruumis ei pruugi olla pikkusi, kestusi ega liikumisi. Siin on iga tegevus ette antud, kuid mitte iga tegevus pole reaalne. Geomeetriast jääb alles vaid topoloogia, mõõtmete asemel parameetrid, mõõtmete asemel mõõtmed. Siin on igal dünaamilisel süsteemil oma ainulaadne faasiportree jäljend. Ja nende hulgas on üsna kummalisi faasiportreesid: olles keerulised, on need määratud ühe parameetriga; kuna need on proportsionaalsed, on need ebaproportsionaalsed; olles pidevad, on need diskreetsed. Sellised kummalised faasiportreed on iseloomulikud atraktorite fraktaalkonfiguratsiooniga süsteemidele. Tõmbekeskuste (atraktorite) diskreetsus loob toimekvanti, tühimiku või hüppe efekti, samas kui trajektoorid jäävad pidevaks ja tekitavad kummalise atraktori ühtse seotud vormi.

FRAKTAALIDE KLASSIFIKATSIOON. Fraktalil on kolm hüpostaasi: formaalne, operatiivne ja sümboolne, mis on üksteise suhtes ortogonaalsed. Ja see tähendab, et erinevate algoritmide abil on võimalik saada sama fraktaali vorm ning täiesti erinevates fraktalides võib esineda sama arv fraktaalide mõõtmeid. Võttes arvesse neid märkusi, klassifitseerime fraktalid sümboolsete, formaalsete ja operatiivsete tunnuste järgi:

sümboolselt võib fraktalile iseloomulik mõõde olla täis- või murdosa;
formaalsel alusel võivad fraktaalid olla ühendatud, nagu leht või pilv, ja lahti ühendatud, nagu tolm;
Operatsioonipõhiselt võib fraktaale jagada tavalisteks ja stohhastilisteks.

Tavalised fraktaalid on ehitatud rangelt määratletud algoritmi järgi. Ehitusprotsess on pöörduv. Saate korrata kõiki toiminguid vastupidises järjekorras, kustutades punkthaaval kõik deterministliku algoritmi käigus loodud pildid. Deterministlik algoritm võib olla lineaarne või mittelineaarne.

Stohhastilises mõttes sarnased stohhastilised fraktaalid tekivad siis, kui nende konstrueerimise algoritmis muutuvad iteratsioonide käigus mõned parameetrid juhuslikult. Mõiste "stohhastiline" pärineb kreeka sõnast stohhaas- oletus, oletus. Stohhastiline protsess on protsess, mille muutuste olemust ei saa täpselt ennustada. Fraktaale toodetakse vastavalt looduse kapriisile (kivimite murrangupinnad, pilved, turbulentsed voolud, vaht, geelid, tahmaosakeste kontuurid, aktsiahindade ja jõgede taseme muutused jne), neil puudub geomeetriline sarnasus, kuid nad paljunevad visalt. igas fragmendis terviku statistilised omadused keskmiselt. Arvuti võimaldab genereerida pseudojuhuslike arvude jadasid ning simuleerida koheselt stohhastilisi algoritme ja vorme.

LINEAARSED FRAKTALID. Lineaarsed fraktaalid on nimetatud põhjusel, et need kõik on ehitatud kindla lineaarse algoritmi järgi. Need fraktalid on isesarnased, neid ei moonuta ükski skaala muutus ega ole üheski punktis eristatavad. Selliste fraktaalide konstrueerimiseks piisab aluse ja fragmendi määramisest. Neid elemente korratakse mitu korda, suumides lõpmatuseni.

Kantori tolm. 19. sajandil pakkus saksa matemaatik Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845–1918) matemaatikutele välja kummalise arvude komplekti vahemikus 0 kuni 1. Hulk sisaldas määratud intervallis lõpmatu arvu elemente ja pealegi oli see null mõõde. Vaevalt oleks juhuslikult lastud nool tabanud vähemalt üht selle komplekti elementi.

Kõigepealt peate valima ühiku pikkuse segmendi (esimene samm: n = 0), seejärel jagage see kolmeks osaks ja eemaldage keskmine kolmandik (n = 1). Lisaks teeme täpselt sama iga moodustatud segmendiga. Operatsiooni lõpmatu arvu korduste tulemusena saame soovitud komplekti "Kantori tolm". Nüüd puudub vastand katkematu ja lõpmatult jaotatava vahel, „kantori tolm” on mõlemad (vt joon. 1). "Cantor Dust" on fraktal. Selle fraktaalmõõde on 0,6304…

Ühemõõtmelise Cantori komplekti üht kahemõõtmelist analoogi kirjeldas Poola matemaatik Vaclav Sierpinski. Seda nimetatakse "kantorivaibaks" või sagedamini "Sierpinski vaibaks". Ta on rangelt enesesarnane. Selle fraktaalmõõtme saame arvutada ln8/lnЗ = 1,89… (joonis 9).

LENNUKI TÄITMISED JOONED. Vaatleme tervet tavaliste fraktaalide perekonda, mis on kõverad, mis on võimelised täitma tasapinna. Leibniz märkis ka: "Kui eeldame, et keegi paneb paberile juhuslikult palju punkte,<… >Ma ütlen, et on võimalik paljastada konstantne ja täielik, teatud reeglile alluv geomeetriline joon, mis läbib kõiki punkte. See Leibnizi väide oli vastuolus eukleidilise arusaamaga dimensioonist kui väikseimast arvust parameetritest, mille abil määratakse üheselt ruumipunkti asukoht. Range tõestuse puudumisel jäid need Leibnizi ideed matemaatilise mõtte perifeeriasse.

Peano kõver. Kuid 1890. aastal konstrueeris itaalia matemaatik Giuseppe Peano sirge, mis katab täielikult tasase pinna, läbides kõik selle punktid. "Peano kõvera" konstruktsioon on näidatud joonisel fig. kümme.

Kui Peano kõvera topoloogiline mõõde on võrdne ühega, siis selle fraktaalmõõde on võrdne d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. Fraktaalgeomeetria raames lahendati paradoks aastal kõige loomulikum viis. Joon, nagu ämblikuvõrk, võib katta lennukit. Sel juhul luuakse üks-ühele vastavus: iga joone punkt vastab tasapinna punktile. Kuid see vastavus ei ole üks-ühele, sest iga tasapinna punkt vastab ühele või mitmele punktile joonel.

Hilberti kõver. Aasta hiljem, 1891. aastal, ilmus saksa matemaatiku David Hilberti (1862–1943) artikkel, milles ta esitas kõvera, mis katab tasandit ilma ristumise ja puutujata. "Hilberti kõvera" konstruktsioon on näidatud joonisel fig. üksteist.

Hilberti kõver oli esimene näide FASS-kõveratest (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar space-filling self-aviding, simple and self-similar lines). Gilberti joone fraktaalmõõde, nagu ka Peano kõver, on võrdne kahega.

Minkowski lint. Hilberti lähedane sõber tudengipõlvest Herman Minkowski konstrueeris kõvera, mis ei kata tervet tasapinda, vaid moodustab midagi linditaolist. "Minkowski lindi" ehitamisel igal etapil asendatakse iga segment katkendjoonega, mis koosneb 8 segmendist. Järgmises etapis korratakse toimingut iga uue segmendiga mõõtkavas 1:4. Minkowski riba fraktaalmõõde on d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

MITTELINEAARSED FRAKTALID. Lihtsaim mittelineaarne komplekstasandi kaardistamine iseendaga on esimeses osas vaadeldud Julia kaardistus z g z 2 + C. See on suletud ahela arvutus, mille käigus korrutatakse eelmise tsükli tulemus iseendaga, lisades sellele kindla summa. konstantne, st tagasiside ahel (joonis 13).

Konstandi C fikseeritud väärtuse iteratsioonide käigus, mis sõltuvad suvalisest lähtepunktist Z 0 , punkt Z n n-> ∞ võib olla kas lõplik või lõpmatu. Kõik oleneb Z 0 asukohast lähtepunkti suhtes z = 0. Kui arvutatud väärtus on lõplik, siis on see kaasatud Julia hulka; kui see läheb lõpmatuseni, siis on see Julia komplektist ära lõigatud.

Kuju, mis saadakse pärast Julia kaardi rakendamist mõne pinna punktidele, määratakse üheselt parameetriga C. Väikese C puhul on need lihtsad ühendatud silmused, suure C puhul on need lahtiühendatud, kuid rangelt järjestatud punktide klastrid. Üldiselt võib kõik Julia vormid jagada kaheks suureks perekonnaks - ühendatud ja lahti ühendatud kaardistusteks. Esimesed meenutavad "Kochi lumehelvest", teised "Kantori tolmu".

Julia kujundite mitmekesisus hämmastas matemaatikuid, kui nad said esimest korda neid kujundeid arvutimonitoridel jälgida. Katsed seda sorti järjestada olid väga meelevaldsed ja ulatusid tõsiasjani, et Julia kaartide klassifitseerimise aluseks oli Mandelbroti komplekt, mille piirid, nagu selgus, on asümptootiliselt sarnased Julia kaartidega.

Kui C = 0, annab Julia kaardistuse kordamine arvude jada z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 ... Selle tulemusena on võimalikud kolm võimalust:

jaoks |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
jaoks |z 0 | > 1 iteratsioonide käigus suurenevad arvud z n absoluutväärtuses, kaldudes lõpmatuseni. Sel juhul on atraktor lõpmatuses asuv punkt ja me jätame sellised väärtused Julia komplektist välja;
jaoks |z 0 | = 1 jada kõik punktid jäävad sellele ühikuringile. Sel juhul on atraktoriks ring.

Seega, kui C = 0, on atraktiivse ja tõrjuva lähtepunkti vaheline piir ring. Sel juhul on kaardistamisel kaks fikseeritud punkti: z = 0 ja z = 1. Esimene neist on atraktiivne, kuna ruutfunktsiooni tuletis nullis on 0 ja teine on tõrjuv, kuna ruutfunktsiooni tuletis funktsioon parameetri üks väärtusel on võrdne kahega.

Vaatleme olukorda, kui konstant C on reaalarv, s.t. tundub, et me liigume mööda Mandelbroti hulga telge (joonis 14). C = –0,75 juures ristub Julia komplekti piir ja ilmub teine atraktor. Sellel kohal olev fraktal kannab San Marco fraktali nime, mille andis talle Mandelbrot kuulsa Veneetsia katedraali auks. Joonist vaadates pole raske mõista, miks Mandelbrot tuli ideele anda fraktal selle struktuuri auks: sarnasus on hämmastav.

Riis. 14. Julia hulga vormi muutmine C reaalväärtuse vähenemisega 0-lt -1-le

Vähendades C-d veelgi -1,25-ni, saame uue tüübivormi nelja fikseeritud punktiga, mis püsivad kuni C-ni< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Riis. 15. Julia komplekti uute vormide ilmumine reaalväärtuse C vähenemisega< –1

Niisiis, isegi Mandelbroti fraktali teljel püsides (konstant C on reaalarv), "püüdsime" tähelepanuväljale ja reastasime mingil moel üsna suure hulga Julia kujundeid ringist tolmuni. Vaatleme nüüd Mandelbroti fraktali märgialasid ja Julia fraktalide vastavaid vorme. Kõigepealt kirjeldame Mandelbroti fraktaalit terminite "kardioid", "neerud" ja "sibulad" (joon. 16).

Peamine kardioid ja sellega külgnev ring moodustavad Mandelbroti fraktali põhikuju. Need on külgnevad lõpmatu arvu tema enda koopiatega, mida tavaliselt nimetatakse neerudeks. Igaüks neist pungadest on ümbritsetud lõpmatu hulga väiksemate pungadega, mis näevad välja sarnased. Kaks suurimat punga peamise kardioidi kohal ja all nimetati sibulaks.

Prantslane Adrien Dowdy ja ameeriklane Bill Hubbard, kes uurisid selle komplekti tüüpilist fraktalit (C = –0,12 + 0,74i), nimetasid seda "jänese fraktaaliks" (joonis 17).

Mandelbroti fraktali piiri ületades kaotavad Julia fraktalid alati ühenduse ja muutuvad tolmuks, mida tavaliselt nimetatakse "Fatou tolmuks" Pierre Fatou auks, kes tõestas, et teatud C väärtuste puhul tõmbab lõpmatuse punkt ligi. kogu komplekstasandil, välja arvatud väga õhuke kogum nagu tolm (joonis 18).

STOHHASTILISED FRAKTALID. Rangelt enesesarnasel von Kochi kõveral ja näiteks Norra rannikul on oluline erinevus. Viimane, mis ei ole rangelt enesesarnasus, näitab statistilises mõttes sarnasust. Samas on mõlemad kõverad nii katki, et ühelegi nende punktile ei saa puutujat tõmmata ehk teisisõnu eristada. Sellised kõverad on omamoodi "koletised" tavaliste eukleidiliste joonte hulgas. Esimene, kes konstrueeris pideva funktsiooni, mille üheski punktis pole puutujat, oli Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Tema tööd esitati Preisi Kuninglikule Akadeemiale 18. juulil 1872 ja avaldati 1875. aastal. Weierstrassi kirjeldatud funktsioonid näevad välja nagu müra (joonis 19).

Vaadake aktsiabülletääni diagrammi, temperatuurikõikumiste või õhurõhu kõikumiste kokkuvõtet ja leiate mõne korrapärase ebakorrapärasuse. Veelgi enam, skaala suurendamisel säilib ebakorrapärasuse olemus. Ja see viitab meile fraktaalgeomeetriale.

Browni liikumine on üks kuulsamaid stohhastilise protsessi näiteid. 1926. aastal sai Jean Perrin Nobeli preemia Browni liikumise olemuse uurimise eest. Just tema juhtis tähelepanu Browni trajektoori enesesarnasusele ja mittediferentseerumisele.

Seega on fraktal matemaatiline komplekt, mis koosneb selle hulgaga sarnastest objektidest. Teisisõnu, kui me uurime suurenduse all väikest fraktaalfiguuri fragmenti, siis näeb see välja nagu suurem osa sellest kujundist või isegi kogu kujund. Pealegi ei tähenda fraktali jaoks mastaabi suurenemine struktuuri lihtsustamist. Seetõttu näeme kõigil tasanditel ühtviisi keerulist pilti.

Fraktali omadused

Ülaltoodud määratluse põhjal kujutatakse fraktalit tavaliselt geomeetrilise kujundina, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest:

Sellel on keeruline struktuur mis tahes suurendusega;

Ligikaudu enesesarnane (osad on tervikuga sarnased);

Sellel on murdosa mõõde, mis on suurem kui topoloogiline;

Saab ehitada rekursiivselt.

Fraktalid maailmas

Hoolimata sellest, et mõiste "fraktal" tundub äärmiselt abstraktne, võib elus kohata selle nähtuse kohta palju elulisi ja isegi praktilisi näiteid. Pealegi tuleb neid välismaailmast kindlasti arvestada, sest need annavad fraktaalist ja selle omadustest parema ülevaate.

Näiteks erinevate seadmete antennid, mille konstruktsioonid on tehtud fraktaalmeetodil, näitavad oma töö efektiivsust 20% rohkem kui traditsioonilised antennid. Lisaks võib fraktaalantenn töötada suurepärase jõudlusega üheaegselt väga erinevatel sagedustel. Seetõttu pole tänapäevastel mobiiltelefonidel oma disainis praktiliselt klassikalise seadme välisantenne - viimased on asendatud sisemiste fraktaalantennidega, mis monteeritakse otse telefoni trükkplaadile.

Fraktalid on saanud infotehnoloogia arenguga palju tähelepanu. Praeguseks on välja töötatud algoritmid erinevate kujutiste tihendamiseks fraktaalide abil, on olemas meetodid arvutigraafika objektide (puud, mäe- ja merepinnad) konstrueerimiseks fraktaalviisil, samuti fraktaalsüsteem IP-aadresside määramiseks mõnes võrgus.

Majandusteaduses on börsikursside ja valuutade analüüsimisel võimalus kasutada fraktaale. Võib-olla on Forexi turul kauplev lugeja näinud fraktaalanalüüsi kauplemisterminalis või isegi seda praktikas rakendanud.

Samuti võib lisaks inimese poolt kunstlikult loodud fraktaalomadustega objektidele leida palju sarnaseid objekte ka looduses. Fraktalist on headeks näideteks korallid, merekarbid, mõned lilled ja taimed (brokkoli, lillkapsas), inimeste ja loomade vereringe ja bronhid, klaasile moodustunud mustrid, looduslikud kristallid. Neil ja paljudel teistel objektidel on väljendunud fraktaalkuju.

Sageli võivad teaduses tehtud hiilgavad avastused meie elu radikaalselt muuta. Nii võib näiteks vaktsiini leiutamine päästa paljusid inimesi ning uue relva loomine viib mõrvani. Sõna otseses mõttes eile (ajaloo mastaabis) "taltsutas" inimene elektrit ja täna ei kujuta ta enam oma elu ilma selleta ette. Siiski on ka selliseid avastusi, mis, nagu öeldakse, jäävad varju ja vaatamata sellele, et neil on ka mingisugune mõju meie elule. Üks neist avastustest oli fraktal. Enamik inimesi pole sellisest mõistest isegi kuulnud ega suuda selle tähendust selgitada. Selles artiklis püüame käsitleda küsimust, mis on fraktal, mõelge selle mõiste tähendusele teaduse ja looduse seisukohast.

Kord kaoses

Et aru saada, mis on fraktal, tuleks debriifingut alustada matemaatika positsioonilt, kuid enne sellesse süvenemist filosofeerime veidi. Igal inimesel on loomupärane uudishimu, tänu millele ta õpib ümbritsevat maailma. Tihti püüab ta oma teadmisteihas oma hinnangutes loogikaga opereerida. Niisiis, analüüsides ümberringi toimuvaid protsesse, püüab ta arvutada seoseid ja tuletada teatud mustreid. Nende probleemide lahendamisega tegelevad planeedi suurimad mõtted. Jämedalt öeldes otsivad meie teadlased mustreid seal, kus neid ei ole ega tohiks olla. Sellegipoolest on ka kaoses teatud sündmuste vahel seos. See ühendus on fraktal. Näiteks võtke teelt lebavat murdunud oksa. Kui me seda tähelepanelikult vaatame, näeme, et see koos kõigi oma okste ja sõlmedega näeb ise välja nagu puu. See eraldiseisva osa sarnasus ühtse tervikuga annab tunnistust nn rekursiivse enesesarnasuse printsiibist. Fraktaleid looduses võib leida kogu aeg, sest paljud anorgaanilised ja orgaanilised vormid tekivad sarnaselt. Need on pilved ja merekarbid, teokarbid ja puuvõrad ja isegi vereringesüsteem. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõiki neid juhuslikke kujundeid on lihtne kirjeldada fraktalalgoritmiga. Siin hakkame arutama, mis on fraktal täppisteaduste seisukohast.

Mõned kuivad faktid

Sõna "fraktal" on ladina keelest tõlgitud kui "osaline", "jagatud", "killustunud" ja mis puutub selle termini sisusse, siis sõnastust kui sellist ei eksisteeri. Tavaliselt käsitletakse seda enesesarnase komplektina, osana tervikust, mida korratakse selle struktuuri järgi mikrotasandil. Selle termini võttis 20. sajandi seitsmekümnendatel kasutusele isana tunnustatud Benoit Mandelbrot.Tänapäeval tähendab fraktaal teatud struktuuri graafilist esitust, mis suurendades sarnaneb iseendaga. Selle teooria loomise matemaatiline alus pandi aga juba enne Mandelbroti enda sündi, kuid see ei saanud areneda enne, kui ilmusid elektroonilised arvutid.

Ajalooline viide ehk Kuidas see kõik algas

19. ja 20. sajandi vahetusel oli fraktaalide olemuse uurimine episoodiline. Selle põhjuseks on asjaolu, et matemaatikud eelistasid uurida objekte, mida saab uurida üldiste teooriate ja meetodite alusel. Saksa matemaatik K. Weierstrass konstrueeris 1872. aastal näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil diferentseeritav. See konstruktsioon osutus aga täiesti abstraktseks ja raskesti mõistetavaks. Edasi tuli rootslane Helge von Koch, kes 1904. aastal ehitas pideva kõvera, millel pole kuskil puutujat. Seda on üsna lihtne joonistada ja nagu selgus, iseloomustavad seda fraktaaliomadused. Üks selle kõvera variantidest sai nime selle autori järgi - "Kochi lumehelves". Edasi arendas figuuride enesesarnasuse idee välja B. Mandelbroti tulevane mentor prantslane Paul Levy. 1938. aastal avaldas ta artikli "Tervikuna osadest koosnevad tasapinnalised ja ruumilised kõverad ja pinnad". Selles kirjeldas ta uut liiki – Levy C-kõverat. Kõik ülaltoodud joonised viitavad tinglikult sellisele vormile kui geomeetrilistele fraktaalidele.

Dünaamilised või algebralised fraktalid

Sellesse klassi kuulub Mandelbroti komplekt. Selle suuna esimesteks uurijateks said prantsuse matemaatikud Pierre Fatou ja Gaston Julia. 1918. aastal avaldas Julia töö, mis põhines ratsionaalsete kompleksfunktsioonide iteratsioonide uurimisel. Siin kirjeldas ta fraktalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti kogumiga. Hoolimata asjaolust, et see teos ülistas autorit matemaatikute seas, unustati see kiiresti. Ja alles pool sajandit hiljem sai Julia töö tänu arvutitele teise elu. Arvutid võimaldasid teha igale inimesele nähtavaks fraktaalide maailma ilu ja rikkuse, mida matemaatikud funktsioonide kaudu kuvades said "näha". Mandelbrot oli esimene, kes kasutas arvutit arvutuste tegemiseks (käsitsi sellist mahtu pole võimalik teostada), mis võimaldas nendest kujunditest pildi luua.

Ruumilise kujutlusvõimega mees

Mandelbrot alustas oma teaduslikku karjääri IBMi uurimiskeskuses. Uurides andmeedastusvõimalusi pikkade vahemaade tagant, seisid teadlased silmitsi suurte kadudega, mis tekkisid mürahäirete tõttu. Benoit otsis võimalusi selle probleemi lahendamiseks. Mõõtmistulemusi läbi vaadates juhtis ta tähelepanu kummalisele mustrile, nimelt: müragraafikud nägid erinevatel ajaskaaladel ühesugused välja.

Sarnast pilti täheldati nii ühe päeva kui ka seitsme päeva või tunni jooksul. Benoit Mandelbrot ise kordas sageli, et ta ei tööta valemitega, vaid mängib piltidega. Seda teadlast eristas kujutlusvõimeline mõtlemine, ta tõlkis mis tahes algebralise ülesande geomeetriliseks alaks, kus õige vastus on ilmne. Seega pole üllatav, et rikkad eristasid teda ja temast sai fraktaalgeomeetria isa. Selle kujundi teadvustamine saab ju alles siis, kui uurid jooniseid ja mõtled nende kummaliste keeriste tähendusele, mis mustrit moodustavad. Fraktaaljoonistel ei ole identseid elemente, kuid need on sarnased mis tahes mõõtkavas.

Julia - Mandelbrot

Üks esimesi selle kujundi jooniseid oli komplekti graafiline tõlgendus, mis sündis tänu Gaston Julia tööle ja mille vormistas Mandelbrot. Gaston püüdis ette kujutada, kuidas komplekt välja näeb, kui see on ehitatud lihtsa valemi järgi, mida itereerib tagasiside ahel. Proovime inimkeeli öeldut nii-öelda näppudel seletada. Konkreetse arvväärtuse jaoks leiame valemi abil uue väärtuse. Asendame selle valemiga ja leiame järgmise. Tulemus on suur. Sellise komplekti esindamiseks peate seda toimingut tegema tohutult palju kordi: sadu, tuhandeid, miljoneid. Seda tegi Benoit. Ta töötles jada ja kandis tulemused graafilisele kujule. Seejärel värvis ta saadud joonise (iga värv vastab teatud arvule iteratsioonidele). Seda graafilist pilti nimetatakse Mandelbroti fraktaliks.

L. Puusepp: looduse loodud kunst

Fraktaliteooria leidis kiiresti praktilise rakenduse. Kuna see on väga tihedalt seotud isesarnaste kujutiste visualiseerimisega, võtsid nende ebatavaliste vormide konstrueerimise põhimõtted ja algoritmid esimesena kasutusele kunstnikud. Esimene neist oli Pixari stuudio tulevane asutaja Lauren Carpenter. Lennukite prototüüpide esitlusega tegeledes tekkis tal idee kasutada taustaks mägede kujutist. Tänapäeval saab sellise ülesandega hakkama pea iga arvutikasutaja ning eelmise sajandi seitsmekümnendatel ei suutnud arvutid selliseid protsesse teostada, sest tollal puudusid kolmemõõtmelise graafika graafilised redaktorid ja rakendused. Loren leidis Mandelbroti fraktalid: kuju, juhuslikkus ja mõõtmed. Selles tõi Benois palju näiteid, näidates, et looduses on fraktaale (fiva), kirjeldas ta nende erinevaid vorme ja tõestas, et neid on matemaatiliste avaldiste abil lihtne kirjeldada. Matemaatik nimetas seda analoogiat argumendiks selle teooria kasulikkuse kohta, mida ta töötas välja vastuseks kolleegide kriitikatuhinal. Nad väitsid, et fraktal on lihtsalt ilus pilt, millel pole väärtust, elektrooniliste masinate kõrvalsaadus. Carpenter otsustas seda meetodit praktikas proovida. Olles raamatut hoolikalt uurinud, hakkas tulevane animaator otsima võimalust fraktaalgeomeetria rakendamiseks arvutigraafikas. Tal kulus vaid kolm päeva, et arvutis mägimaastikust täiesti realistlik pilt renderdada. Ja tänapäeval kasutatakse seda põhimõtet laialdaselt. Nagu selgus, ei võta fraktalide loomine palju aega ja vaeva.

Puusepa lahendus

Laureni kasutatud põhimõte osutus lihtsaks. See seisneb suuremate jagamises väiksemateks ja samalaadseteks väiksemateks jne. Carpenter purustas suurte kolmnurkade abil need 4 väikeseks ja nii edasi, kuni sai realistliku mägimaastiku. Nii sai temast esimene kunstnik, kes rakendas arvutigraafikas vajaliku pildi konstrueerimiseks fraktalalgoritmi. Tänapäeval kasutatakse seda põhimõtet erinevate realistlike loodusvormide simuleerimiseks.

Esimene 3D-visualisatsioon, mis põhineb fraktaalialgoritmil

Mõni aasta hiljem rakendas Lauren oma tööd suuremahulises projektis - animeeritud videos Vol Libre, mida näidati Siggraphis 1980. aastal. See video šokeeris paljusid ja selle looja kutsuti tööle Lucasfilmi. Siin sai animaator end täielikult realiseerida, ta lõi mängufilmi "Star Trek" jaoks kolmemõõtmelisi maastikke (kogu planeedi). Iga kaasaegne programm ("Fractals") või rakendus kolmemõõtmelise graafika loomiseks (Terragen, Vue, Bryce) kasutab tekstuuride ja pindade modelleerimiseks sama algoritmi.

Tom Beddard

Endine laserfüüsik ja nüüdne digikunstnik ja kunstnik Beddard lõi väga intrigeerivate geomeetriliste kujundite seeria, mida ta nimetas Faberge'i fraktaalideks. Väliselt meenutavad need Vene juveliiri dekoratiivmune, neil on sama särav keerukas muster. Beddard kasutas mudelite digitaalsete renderduste loomiseks mallimeetodit. Saadud tooted on oma ilu poolest silmatorkavad. Kuigi paljud keelduvad võrdlemast käsitsi valmistatud toodet arvutiprogrammiga, tuleb tunnistada, et saadud vormid on ebatavaliselt kaunid. Tähtsaim on see, et igaüks saab WebGL-i tarkvarateegi abil sellise fraktali ehitada. See võimaldab teil reaalajas uurida erinevaid fraktaalstruktuure.

fraktaalid looduses

Vähesed inimesed pööravad tähelepanu, kuid need hämmastavad arvud on kõikjal. Loodus koosneb enesesarnastest kujudest, me lihtsalt ei pane seda tähele. Piisab, kui vaatame läbi suurendusklaasi oma nahka või puulehte ja me näemegi fraktaale. Või võtke näiteks ananass või isegi paabulinnu saba – need koosnevad sarnastest kujunditest. Ja Romanescu spargelkapsasort on oma välimuselt üldiselt silmatorkav, sest seda võib tõesti nimetada looduse imeks.

Muusikaline paus

Selgub, et fraktalid ei ole ainult geomeetrilised kujundid, need võivad olla ka helid. Niisiis, muusik Jonathan Colton kirjutab muusikat fraktaalgoritmide abil. Ta väidab, et vastab loomulikule harmooniale. Helilooja avaldab kõik oma teosed CreativeCommonsi Attribution-Noncommercial litsentsi alusel, mis näeb ette teoste tasuta levitamise, kopeerimise, üleandmise teiste isikute poolt.

Fraktaali indikaator

See tehnika on leidnud väga ootamatu rakenduse. Selle põhjal loodi tööriist börsituru analüüsimiseks ja selle tulemusena hakati seda kasutama Forexi turul. Nüüd leidub fraktaalindikaatorit kõigil kauplemisplatvormidel ja seda kasutatakse kauplemistehnikas, mida nimetatakse hinnamurdeks. Bill Williams töötas selle tehnika välja. Nagu autor oma leiutist kommenteerib, on see algoritm mitme "küünla" kombinatsioon, milles keskne peegeldab maksimaalset või vastupidi minimaalset äärmuspunkti.

Lõpuks

Seega oleme mõelnud, mis on fraktal. Selgub, et meid ümbritsevas kaoses on tegelikult ideaalsed vormid. Loodus on parim arhitekt, ideaalne ehitaja ja insener. See on paigutatud väga loogiliselt ja kui me ei leia mustrit, ei tähenda see, et seda pole olemas. Võib-olla peate vaatama teistsugust skaalat. Võime kindlalt öelda, et fraktalid hoiavad endiselt palju saladusi, mida me veel avastama ei pea.