Grafovi tijela bačenog pod kutom prema horizontu. Kretanje tijela pod kutom prema horizontu: formule, izračun dometa leta i maksimalne visine polijetanja

Kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu

Osnovne formule za krivolinijsko gibanje

1 . Brzina kretanja materijalne točke

$\vec V=\frac(d\vec r)(dt)$ ,

gdje je $\vec r$ vektor radijusa točke.

2 . Ubrzanje materijalne točke

$\vec a=\frac(d\vec V)(dt)=\frac(d^2\vec r)(dt^2)$,

$a=\sqrt(a^2_(\tau)+a^2_n)$ ,

gdje je $a_(\tau)$ tangencijalno ubrzanje, $a_n$ normalno ubrzanje.

3 . Tangencijalno ubrzanje

$a_(\tau)=\frac(dV)(dt)=\frac(d^2s)(dt^2)$

4 . Normalno ubrzanje

$a_n=\frac(V^2)(R)$ ,

gdje je $R$ polumjer zakrivljenosti putanje.

5 . za ravnomjerno kretanje

$S=V_0t+\frac(at^2)(2)$

$V=V_0+at$

Izražavajući $t$ iz druge jednakosti i zamjenom u prvu, dobivamo korisnu formulu

$2aS=V^2-V_0^2$

Primjeri rješavanja problema

U zadacima o gibanju tijela u gravitacijskom polju pretpostavit ćemo $a=g=9,8$ m/s 2 .

Zadatak 1.

Projektil izleti iz topa početnom brzinom od 490 m/s pod kutom od 30 0 prema horizontu. Pronađite visinu, domet i vrijeme leta projektila, ne uzimajući u obzir njegovu rotaciju i otpor zraka.

Rješenje problema

Pronađite: $h, S, t$

$V_0=490$ m/s

$\alpha=30^0$

Povežite ISO s pištoljem.

Komponente brzine duž osi Ox i Oy u početnom trenutku vremena jednake su:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ - ostaje nepromijenjen tijekom cijelog leta projektila,

$V_(0y)=V_0\sin\alpha$ - mijenja se prema jednadžbi ravnomjernog gibanja

$V_y=V_0\sin\alpha-gt$ .

Na najvišoj točki uspona $V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0$ , odakle

$t_1=\frac(V_0\sin\alpha)(g)$

Ukupno vrijeme leta projektila

$t=2t_1=\frac(2V_0\sin\alpha)(g)=50$ c.

Određujemo visinu projektila iz formule putanja jednaka usporenom kretanju

$h=V_(0y)t_1-\frac(gt_1^2)(2)=\frac(V_0^2\sin^2\alpha)(2g)=3060$ m.

Domet leta definiran je kao

$S=V_(0x)t=\frac(V_0^2\sin(2\alpha))(g)=21000$ m.

Zadatak 2.

Tijelo slobodno pada iz točke A. Istodobno se drugo tijelo baca iz točke B pod kutom $\alpha$ prema horizontu tako da se oba tijela sudare u zraku. Pokažite da kut $\alpha$ ne ovisi o početnoj brzini $V_0$ tijela bačenog iz točke B i odredite taj kut ako je $\frac(H)(S)=\sqrt3$ . Zanemarite otpor zraka.

Rješenje problema.

Pronađite: $\alpha$

Zadano: $\frac(H)(S)=\sqrt3$

Povežite ISO s točkom B.

Oba tijela se mogu sresti na liniji OA (vidi sliku) u točki C. Razložimo brzinu $V_0$ tijela bačenog iz točke B na horizontalnu i vertikalnu komponentu:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ ; $V_(0y)=V_0\sin\alpha$ .

Neka vrijeme prođe od početka pokreta do trenutka susreta

$t=\frac(S)(V_(0x))=\frac(S)(V_0\cos\alpha)$.

Za to vrijeme tijelo iz točke A spušta se za vrijednost

$H-h=\frac(gt^2)(2)$ ,

a tijelo iz točke B podići će se u visinu

$h=V_(0y)t-\frac(gt^2)(2)=V_0\sin\alpha(t)-\frac(gt^2)(2)$.

Rješavajući zajedno posljednje dvije jednadžbe, nalazimo

$H=V_0\sin\alpha(t)$ .

Zamjenjujući ovdje prethodno pronađeno vrijeme, dobivamo

$\tan\alpha=\frac(H)(S)=\sqrt3$,

oni. kut bacanja ne ovisi o početnoj brzini.

$\alpha=60^0$

Zadatak 3.

Tijelo je izbačeno s tornja u vodoravnom smjeru brzinom od 40 m/s. Kolika je brzina tijela 3 sekunde nakon početka gibanja? Koji kut čini vektor brzine tijela s horizontom u ovom trenutku?

Rješenje problema.

Pronađite: $\alpha$

Zadano: $V_0=40$ m/s. $t=3$ c.

Povežite ISO s tornjem.

Tijelo istovremeno sudjeluje u dva kretanja: jednoliko u horizontalnom smjeru brzinom $V_0$ i u slobodnom padu brzinom $V_y=gt$ . Tada je ukupna brzina tijela

$V=\sqrt(V_0^2+g^2t^2)=50 m/s.$

Smjer vektora brzine određen je kutom $\alpha$ . Iz slike to vidimo

$\cos\alpha=\frac(V_0)(V)=\frac(V_0)(\sqrt(V_0^2+g^2t^2))=0,8$

$\alpha=37^0$

Zadatak 4.

Dva su tijela bačena okomito prema gore iz jedne točke jedno za drugim s vremenskim intervalom jednakim $\Delta(t)$ , istim brzinama $V_0$ . Koliko dugo će se $t$ nakon bacanja prvog tijela sresti?

Rješenje problema.

Pronađite: $t$

Zadano: $V_0$ , $\Delta(t)$

Iz analize stanja problema jasno je da će se prvo tijelo podići na maksimalnu visinu i na spuštanju susresti drugo tijelo. Zapišimo zakone gibanja tijela:

$h_1=V_0t-\frac(gt^2)(2)$

$h_2=V_0(t-\Delta(t))-\frac(g(t-\Delta(t))^2)(2)$.

U vrijeme sastanka $h_1=h_2$ , iz kojeg odmah dobivamo

$t=\frac(V_0)(g)+\frac(\Delta(t))(2)$

Ako je tijelo bačeno pod kutom prema horizontu, tada u letu na njega utječu gravitacija i otpor zraka. Ako se zanemari sila otpora, jedina preostala sila je sila gravitacije. Stoga se zbog Newtonova 2. zakona tijelo giba akceleracijom jednakom akceleraciji slobodnog pada; projekcije ubrzanja na koordinatne osi ax = 0, ay = - g.

Slika 1. Kinematske karakteristike tijela bačenog pod kutom prema horizontu

Svako složeno pomicanje materijalne točke može se predstaviti kao nametanje neovisnih kretanja duž koordinatnih osi, a u smjeru različitih osi može se razlikovati vrsta kretanja. U našem slučaju, gibanje letećeg tijela može se predstaviti kao superpozicija dvaju neovisnih gibanja: jednoliko gibanje po horizontalnoj osi (X-os) i jednoliko ubrzano gibanje duž vertikalne osi (Y-os) (Sl. 1) .

Stoga se projekcije brzine tijela mijenjaju s vremenom na sljedeći način:

gdje je $v_0$ početna brzina, $(\mathbf \alpha )$ je kut bacanja.

Uz naš izbor ishodišta, početne koordinate (slika 1) su $x_0=y_0=0$. Tada dobivamo:

(1)

Analizirajmo formule (1). Odredimo vrijeme gibanja bačenog tijela. Da bismo to učinili, postavili smo y koordinatu jednaku nuli, jer u trenutku slijetanja visina tijela je nula. Odavde dobivamo za vrijeme leta:

Druga vrijednost vremena u kojem je visina jednaka nuli jednaka je nuli, što odgovara trenutku bacanja, t.j. ova vrijednost ima i fizičko značenje.

Domet leta dobiva se iz prve formule (1). Raspon leta je vrijednost x-koordinate na kraju leta, t.j. u trenutku vremena jednakom $t_0$. Zamjenom vrijednosti (2) u prvu formulu (1) dobivamo:

Iz ove formule može se vidjeti da se najveći domet leta postiže pri kutu bacanja od 45 stupnjeva.

Najveća visina dizanja bačenog tijela može se dobiti iz druge formule (1). Da biste to učinili, morate u ovu formulu zamijeniti vrijednost vremena jednaku polovici vremena leta (2), jer na sredini putanje je najveća visina leta. Provodeći izračune, dobivamo

Iz jednadžbi (1) može se dobiti jednadžba putanje tijela, t.j. jednadžba koja povezuje x i y koordinate tijela tijekom gibanja. Da biste to učinili, trebate izraziti vrijeme iz prve jednadžbe (1):

i zamijenite ga u drugu jednadžbu. Tada dobivamo:

Ova jednadžba je jednadžba putanje. Može se vidjeti da je ovo jednadžba parabole s granama prema dolje, što je označeno znakom "-" ispred kvadratnog člana. Treba imati na umu da su kut bacanja $\alpha $ i njegove funkcije ovdje samo konstante, t.j. stalni brojevi.

Tijelo je bačeno brzinom v0 pod kutom $(\mathbf \alpha )$ prema horizontu. Vrijeme leta $t = 2 s$. Na koju će se visinu Hmax podići tijelo?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Zakon gibanja tijela je:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Početni vektor brzine tvori kut $(\mathbf \alpha )$ s osi OX. Stoga,

\ \ \

Kamen je bačen s vrha planine pod kutom = 30$()^\circ$ prema horizontu početnom brzinom $v_0 = 6 m/s$. Kut nagnute ravnine = 30$()^\circ$. Na kojoj će udaljenosti od točke bacanja kamen pasti?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Postavimo ishodište koordinata u točku bacanja, OX - duž nagnute ravnine dolje, OY - okomito na nagnutu ravninu prema gore. Kinematske karakteristike kretanja:

zakon gibanja:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(niz) \desno.$$ \

Zamjenom rezultirajuće vrijednosti $t_B$, nalazimo $S$:

Neka tijelo bude bačeno pod kutom α prema horizontu brzinom $~\vec \upsilon_0$. Kao i u prethodnim slučajevima, zanemarit ćemo otpor zraka. Za opis kretanja potrebno je odabrati dvije koordinatne osi - Vol i Oy(Sl. 1). Podrijetlo je kompatibilno s početnim položajem tijela. Projekcije početne brzine na os Oy i Vol\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Projekcije ubrzanja: g x = 0; g y=- g.

Tada će se gibanje tijela opisati jednadžbama:

$~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)$ $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)$ $~y = \upsilon_0 \sin \ alpha t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)$ $~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)$

Iz ovih formula proizlazi da se u horizontalnom smjeru tijelo giba jednoliko brzinom $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha$, a u vertikalnom smjeru - jednoliko ubrzano.

Putanja tijela bit će parabola. S obzirom da je na vrhu parabole υ y = 0, možete pronaći vrijeme t 1 podizanje tijela na vrh parabole:

$~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)$

Zamjena vrijednosti t 1 u jednadžbu (3), nalazimo maksimalnu visinu tijela:

$~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alpha)(g^2),$ $~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)$ - maksimalna tjelesna visina.

Vrijeme leta tijela nalazi se iz uvjeta da na t = t 2 koordinata y 2 = 0. Prema tome, $~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0$. Dakle, $~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)$ je vrijeme leta tijela. Uspoređujući ovu formulu s formulom (5), vidimo da t 2 = 2 t jedan . Vrijeme kretanja tijela s maksimalne visine t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t jedan . Dakle, koliko vremena se tijelo diže na maksimalnu visinu, koliko vremena pada s ove visine. Zamjena koordinata u jednadžbu x(1) vremenska vrijednost t 2, nalazimo:

$~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)$ - domet leta tijela.

Trenutačna brzina u bilo kojoj točki putanje usmjerena je tangencijalno na putanju (vidi sliku 1). modul brzine određuje se formulom

$~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .$

Dakle, kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu ili u vodoravnom smjeru može se smatrati rezultatom dvaju neovisnih gibanja - vodoravnog jednolikog i vertikalnog jednoliko ubrzanog (slobodnog pada bez početne brzine ili kretanja tijela bačenog okomito prema gore). ).

Književnost

Aksenovich L. A. Fizika u srednjoj školi: Teorija. Zadaci. Testovi: Proc. doplatak za ustanove koje pružaju opću. okruženja, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsy i vykhavanne, 2004. - S. 16-17.

Promatrajmo gibanje tijela u Zemljinom gravitacijskom polju, nećemo uzeti u obzir otpor zraka. Neka je početna brzina bačenog tijela usmjerena pod kutom prema horizontu $\alpha $ (Sl.1). Tijelo bačeno s visine $(y=h)_0$; $x_0=0$.

Tada u početnom trenutku vremena tijelo ima horizontalnu ($v_x$) i vertikalnu ($v_y$) komponente brzine. Projekcije brzine na koordinatne osi pri $t=0$ jednake su:

\[\left\( \begin(array)(c) v_(0x)=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_(0y)=v_0(\sin \alpha .\ ) \end(array) \ desno.\lijevo(1\desno).\]

Ubrzanje tijela jednako je ubrzanju slobodnog gorenja i cijelo je vrijeme usmjereno prema dolje:

\[\overline(a)=\overline(g)\left(2\right).\]

Dakle, projekcija ubrzanja na os X jednaka je nuli, a na osi Y jednaka je $a_y=g.$

Budući da je komponenta ubrzanja duž osi X jednaka nuli, brzina tijela u tom smjeru je konstantna vrijednost i jednaka je projekciji početne brzine na os X (vidi (1)). Kretanje tijela duž X osi je jednoliko.

U situaciji prikazanoj na slici 1, tijelo duž Y osi će se kretati prvo prema gore, a zatim obrnuto. U ovom slučaju, akceleracija gibanja tijela u oba slučaja jednaka je akceleraciji $\overline(g).$ Tijelo troši isto vrijeme na podizanje s proizvoljne visine $(y=h)_0 $ do maksimalne visine dizanja ($h$) kao pri padu s $h$ na $(y=h)_0$. Stoga točke koje su simetrične u odnosu na vrh uzdizanja tijela leže na istoj visini. Ispada da je putanja kretanja tijela simetrična u odnosu na točku-vrh uspona - a to je parabola.

Brzina tijela bačenog pod kutom prema horizontu može se izraziti formulom:

\[\overline(v)\left(t\right)=(\overline(v))_0+\overline(g)t\ \left(3\right),\]

gdje je $(\overline(v))_0$ brzina tijela u trenutku bacanja. Formula (3) se može smatrati rezultatom zbrajanja brzina dvaju neovisnih gibanja duž ravnih linija u kojima tijelo sudjeluje.

Izrazi za projekciju brzine na os imaju oblik:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_y=v_0(\sin \alpha -gt\ ) \end(array) \left(4\right) ).\pravo.\]

Jednadžba za kretanje tijela pri kretanju u gravitacionom polju:

\[\overline(s)\left(t\right)=(\overline(s))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(5 \pravo),\]

gdje je $(\overline(s))_0$ pomak tijela u početnom trenutku vremena.

Projiciranjem jednadžbe (5) na koordinatne osi X i Y dobivamo:

\[\left\( \begin(array)(c) x=v_0(\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ ) \\ y=(h_0+v)_0(\sin \left( \alpha \right)\cdot t-\frac(gt^2)(2)\ ) \end(array) \left(6\right).\right.\]

Tijelo, krećući se prema gore, ima jednoliko sporo kretanje duž osi Y, nakon što tijelo dosegne vrh, kretanje duž osi Y postaje jednoliko ubrzano.

Dobiva se putanja kretanja materijalne točke, zadana jednadžbom:

Oblik jednadžbe (7) pokazuje da je putanja gibanja parabola.

Vrijeme uspona i leta tijela bačenog pod kutom prema horizontu

Vrijeme potrebno tijelu da dosegne maksimalnu visinu dizanja dobiva se iz sustava jednadžbi (4). . Na vrhu putanje tijelo ima samo horizontalnu komponentu, $v_y=0.$ Vrijeme uspona ($t_p$) je:

Ukupno vrijeme kretanja tijela (vrijeme leta ($t_(pol)))$ nalazi se iz druge jednadžbe sustava (6), znajući da kada tijelo padne na Zemlju $y=0$, imamo:

Domet leta i visina tijela bačenog pod kutom prema horizontu

Da bismo pronašli horizontalni raspon leta tijela ($s$) pod zadanim uvjetima, trebali bismo zamijeniti vrijeme leta ($t_(pol)$) (9) u jednadžbu koordinate $x$ sustava jednadžbi (6). Za $h=0,$ raspon leta je jednak:

Iz izraza (9) slijedi da je pri zadanoj brzini bacanja domet leta maksimalan pri $\alpha =\frac(\pi )(4)$.

Maksimalna visina dizanja tijela ($h_(max)$) nalazi se iz druge jednadžbe sustava (6), zamjenjujući u nju vrijeme dizanja ($t_p$) (8):

Izraz (11) pokazuje da je najveća visina dizanja tijela izravno proporcionalna kvadratu brzine bacanja i raste s povećanjem kuta bacanja.

Primjeri problema s rješenjem

Primjer 1

Vježbajte. Koliko će se puta promijeniti vrijeme leta tijela bačenog s visine $h$ u horizontalnom smjeru ako se brzina bacanja tijela poveća za $n$ puta?

Odluka. Nađimo formulu za izračunavanje vremena leta tijela ako je bačeno vodoravno (slika 2).

Kao osnovu za rješavanje problema koristimo izraz za jednoliko ubrzano gibanje tijela u gravitacijskom polju:

\[\overline(s)=(\overline(s))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(1.1\right).\]

Pomoću slike 2 zapisujemo projekcije jednadžbe (1.1) na koordinatne osi:

\[\left\( \begin(array)(c) X:x=v_0t;; \\ Y:y=h_0-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.\left( 1.2\desno).\]

Prilikom pada tijela na tlo $y=0,$ koristimo ovu činjenicu i izražavamo vrijeme leta iz druge jednadžbe sustava (1.2), imamo:

Kao što vidimo, vrijeme leta tijela ne ovisi o njegovoj početnoj brzini, pa se s povećanjem početne brzine za $n$ puta, vrijeme leta tijela neće promijeniti.

Odgovor. Neće se promijeniti.

Primjer 2

Vježbajte. Kako će se promijeniti domet leta tijela u prethodnom zadatku ako se početna brzina poveća za $n$ puta?

Odluka. Domet leta je udaljenost koju će tijelo prijeći duž horizontalne osi. To znači da nam je potrebna jednadžba:

iz sustava (1.2) prvog primjera. Zamjenom vremena leta pronađenog u (1.3) umjesto $t,$, dobivamo raspon leta ($s_(pol)$):

Iz formule (2.2) vidimo da je u zadanim uvjetima gibanja domet leta izravno proporcionalan brzini bacanja tijela, dakle, za koliko puta povećamo početnu brzinu, domet leta tijela će se povećati pa puno puta.

Odgovor. Domet leta tijela povećat će se $n$ puta.

Razmotrimo, kao primjer primjene izvedenih formula, gibanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu u nedostatku otpora zraka. Recimo, na planini, na visini iznad razine mora, nalazi se top koji čuva priobalne vode. Neka projektil bude ispaljen pod kutom prema horizontu početnom brzinom iz točke čiji je položaj određen radijus vektorom (slika 2.16).

Riža. 2.16. Kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu

Dodatak.

Izvođenje jednadžbi gibanja materijalne točke u polju gravitacije

Napišimo jednadžbu gibanja (jednadžba drugog Newtonovog zakona):

to znači da će se tijela – materijalne točke – bilo koje mase pod istim početnim uvjetima kretati u jednoličnom gravitacijskom polju na isti način. Projicirajmo jednadžbu (2.7.2) na osi kartezijanskog koordinatnog sustava. Vodoravna os OH prikazano na sl. 13 isprekidana os OY proći kroz točku O okomito prema gore, a vodoravna os oz također prolazeći kroz točku O, izravno okomito na vektor na nas. dobivamo:

Vertikalni smjer, po definiciji, je smjer vektora, dakle njegove projekcije na horizontalne osi VOL i OY jednaki su nuli. Druga jednadžba uzima u obzir da je vektor usmjeren prema dolje, a os OY- gore.

Riža. 2.17. Gibanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu.

Dodajmo jednadžbama gibanja početne uvjete koji određuju položaj i brzinu tijela u početnom trenutku vremena t0, neka bude t0 = 0. Zatim, prema sl. 2.7.4

Ako je derivacija neke funkcije jednaka nuli, tada je funkcija konstantna, odnosno iz prve i treće jednadžbe (2.7.3) dobivamo:

U drugoj jednadžbi (2.7.3) derivacija je jednaka konstanti, što znači da funkcija linearno ovisi o svom argumentu, tj.

Kombinirajući (2.7.7) i (2.7.9) dobivamo konačne izraze za ovisnosti projekcija brzine na koordinatne osi o vremenu:

Treća jednadžba (2.7.11) pokazuje da je putanja tijela ravna, da u potpunosti leži u ravnini XOY, je okomita ravnina definirana vektorima i . Očito je posljednja tvrdnja općenita: bez obzira na to kako su odabrani smjerovi koordinatnih osi, putanja tijela bačenog pod kutom prema horizontu je ravna, uvijek leži u ravnini koju određuju početni vektor brzine i gravitacijski vektor ubrzanja.

Ako se tri jednadžbe (2.7.10) pomnože s jediničnim vektorima osi , , i i dodaju, a zatim se isto učini s tri jednadžbe (2.7.11), tada dobivamo vremensku ovisnost vektora brzine čestice i njegov radijus vektor. Uzimajući u obzir početne uvjete, imamo:

Formule (2.7.12) i (2.7.13) mogu se dobiti odmah, izravno iz (2.7.2), s obzirom da je gravitacijsko ubrzanje konstantan vektor. Ako je ubrzanje - derivacija vektora brzine - konstantna, tada vektor brzine ovisi linearno o vremenu, a vektor radijusa, čija je vremenska derivacija vektor brzine koji linearno ovisi o vremenu, kvadratno ovisi o vremenu. To je zapisano u relacijama (2.7.12) i (2.7.13) s konstantama - konstantnim vektorima - odabranim prema početnim uvjetima u obliku (2.7.4).

Posebno se iz (2.7.13) može vidjeti da je radijus vektor zbroj tri vektora dodana prema uobičajenim pravilima, što je jasno prikazano na Sl. 2.18.

Riža. 2.18. Prikaz vektora radijusa r(t) u proizvoljno vrijeme t kao zbroj tri vektora

Ovi vektori su:

Ovdje je načelo neovisnosti gibanja, poznato u drugim područjima fizike kao princip superpozicije(preklapanja). Općenito govoreći, prema principu superpozicije, neto učinak nekoliko radnji je zbroj učinaka svake akcije poduzete zasebno. Posljedica je linearnosti jednadžbi gibanja.

Video 2.3. Neovisnost horizontalnih i vertikalnih gibanja pri kretanju u polju gravitacije.

Postavimo ishodište na točku pada. Sada =0 , osi će se, kao i prije, zarotirati tako da os 0x bila horizontalna, os 0g- okomito, a početna brzina je bila u ravnini x0y(slika 2.19).

Riža. 2.19. Projekcije početne brzine na koordinatne osi

Projektiramo na koordinatne osi (vidi (2.7.11)):

Put leta. Ako se vrijeme isključi iz sustava dobivenih jednadžbi t, tada dobivamo jednadžbu putanje:

Ovo je jednadžba parabole, čije su grane usmjerene prema dolje.

Domet leta pri pucanju s visine h . U trenutku pada tijela (projektil pogađa metu koja se nalazi na površini mora). Horizontalna udaljenost od pištolja do mete jednaka je . Zamjena ; u jednadžbu putanje dobivamo kvadratnu jednadžbu za raspon leta:

Kvadratna jednadžba ima dva rješenja (u ovom slučaju pozitivno i negativno). Potrebna nam je pozitivna odluka. Standardni izraz za korijen kvadratne jednadžbe našeg problema može se svesti na oblik:

se postiže na , ako h = 0.

Maksimalni domet leta. Kad se puca s visoke planine, to više nije slučaj. Pronađite kut pod kojim se postiže najveći domet leta. Ovisnost raspona leta o kutu je prilično komplicirana, a umjesto diferenciranja kako bismo pronašli maksimum, učinit ćemo sljedeće. Zamislimo da povećavamo početni kut. Prvo, domet leta se povećava (vidi formulu (2.7.15)), doseže svoju maksimalnu vrijednost i ponovno počinje padati (na nulu kad se puca okomito prema gore). Dakle, za svaki raspon leta, osim za maksimum, postoje dva smjera početne brzine.

Vratimo se opet kvadratnoj jednadžbi za relativnost udaljenosti leta i razmotrimo je kao jednadžbu za kut. S obzirom na to

prepišimo to u obliku:

Opet smo dobili kvadratnu jednadžbu, ovaj put za nepoznatu količinu. Jednadžba ima dva korijena, što odgovara dva kuta pod kojima je raspon leta . Ali kada , oba korijena moraju odgovarati. To znači da je diskriminant kvadratne jednadžbe jednak nuli:

odakle dolazi rezultat

S ovim rezultatom reproducira se formula (2.7.16)

Obično je visina mnogo manja od raspona leta na ravnici. Za , kvadratni korijen se može aproksimirati prvim članovima proširenja Taylorovog niza i dobivamo približni izraz

odnosno domet metka se povećava približno za visinu pištolja.

Kada l = l max , i a = a max, kao što je već napomenuto, diskriminant kvadratne jednadžbe jednak je nuli, odnosno njeno rješenje ima oblik:

Budući da je tangenta manja od jedan, kut pod kojim se postiže maksimalni domet leta je manji.

Maksimalna visina uspona iznad početne točke. Ova se vrijednost može odrediti iz jednakosti na nulu vertikalne komponente brzine na vrhu putanje

U ovom slučaju horizontalna komponenta brzine nije, dakle, jednaka nuli