Neka L- proizvoljni linearni prostor, a i Î L su njegovi elementi (vektori).

Definicija 3.3.1. Izraz , gdje , - proizvoljni realni brojevi, koji se nazivaju linearna kombinacija vektora a 1, a 2,…, a n.

Ako vektor R = , onda to kažu R razlagati na vektore a 1, a 2,…, a n.

Definicija 3.3.2. Linearna kombinacija vektora naziva se netrivijalan, ako među brojevima postoji barem jedan osim nule. Inače, linearna kombinacija se zove trivijalno.

Definicija 3.3.3 . Vektori a 1 , a 2 ,…, a n nazivaju se linearno ovisnima ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija takva da

= 0 .

Definicija 3.3.4. Vektori a 1 ,a 2 ,…, a n nazivaju se linearno neovisnim ako je jednakost = 0 moguće samo ako su svi brojevi l 1, l 2,…, l n su istovremeno nula.

Imajte na umu da se svaki element različit od nule a 1 može smatrati linearno neovisnim sustavom, budući da je jednakost l a 1 = 0 moguće samo pod uvjetom l= 0.

Teorem 3.3.1. Neophodan i dovoljan uvjet za linearnu ovisnost a 1 , a 2 ,…, a n je mogućnost razlaganja barem jednog od ovih elemenata na ostatak.

Dokaz. Potreba. Neka elementi a 1 , a 2 ,…, a n linearno ovisan. To znači da = 0 , i barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, l n različit od nule. Neka za određenost l 1 ¹ 0. Zatim

tj. element a 1 se rastavlja na elemente a 2 , a 3 , …, a n.

Adekvatnost. Neka se element a 1 razloži na elemente a 2 , a 3 , …, a n, tj. a 1 = . Zatim = 0 , dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija vektora a 1 , a 2 ,..., a n jednak 0 , pa su linearno ovisni .

Teorem 3.3.2. Ako je barem jedan od elemenata a 1 , a 2 ,…, a n nula, tada su ti vektori linearno ovisni.

Dokaz . Neka a n= 0 , zatim = 0 , što znači linearnu ovisnost naznačenih elemenata.

Teorem 3.3.3. Ako među n vektora bilo koji p (str< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dokaz. Neka su, radi određenosti, elementi a 1 , a 2 ,…, a str linearno ovisan. To znači da postoji netrivijalna linearna kombinacija takva da = 0 . Navedena jednakost bit će sačuvana ako elementu dodamo oba njegova dijela. Zatim + = 0 , dok je barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, lp različit od nule. Dakle, vektori a 1 , a 2 ,…, a n linearno su ovisni.

Korolar 3.3.1. Ako je n elemenata linearno neovisno, tada je bilo koji k od njih linearno neovisno (k< n).

Teorem 3.3.4. Ako vektori a 1, a 2,…, a n- 1 linearno su neovisni, a elementi a 1, a 2,…, a n- 1 , a n su linearno ovisni, zatim vektor a n se može rastaviti na vektore a 1, a 2,…, a n- 1 .

Dokaz. Budući da prema uvjetu a 1 , a 2 ,…, a n- 1 , a n su linearno ovisni, onda postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija = 0 , i (inače, vektori a 1 , a 2 ,…, a n- jedan). Ali onda vektor

,

Q.E.D.

Zadatak 1. Saznajte je li sustav vektora linearno neovisan. Sustav vektora bit će definiran matricom sustava čiji se stupci sastoje od koordinata vektora.

.

Riješenje. Neka linearna kombinacija jednaka nuli. Napisavši ovu jednakost u koordinatama, dobivamo sljedeći sustav jednadžbi:

.

Takav sustav jednadžbi naziva se trokutasti. Ona ima jedino rješenje. . Stoga vektori linearno su neovisni.

Zadatak 2. Saznajte je li sustav vektora linearno neovisan.

.

Riješenje. Vektori linearno su neovisni (vidi problem 1). Dokažimo da je vektor linearna kombinacija vektora . Vektorski koeficijenti ekspanzije određuju se iz sustava jednadžbi

.

Ovaj sustav, kao i trokutasti, ima jedinstveno rješenje.

Dakle, sustav vektora linearno ovisan.

Komentar. Pozivaju se matrice kao u zadatku 1 trokutasta , a u zadatku 2 – stepenasti trokutasti . Pitanje linearne ovisnosti sustava vektora lako se rješava ako je matrica sastavljena od koordinata ovih vektora postupno trokutasta. Ako matrica nema poseban oblik, tada se koristi elementarne transformacije nizova , čuvajući linearne odnose između stupaca, može se svesti na stepenasti trokutasti oblik.

Elementarne transformacije nizova matrice (EPS) nazivaju se sljedeće operacije na matrici:

1) permutacija linija;

2) množenje niza brojem koji nije nula;

3) dodavanje u niz još jednog niza, pomnoženog proizvoljnim brojem.

Zadatak 3. Pronađite maksimalni linearno neovisni podsustav i izračunajte rang sustava vektora

.

Riješenje. Svedujmo matricu sustava uz pomoć EPS-a na stepenasti trokutasti oblik. Da bismo objasnili postupak, red s brojem matrice koju treba transformirati označit će se simbolom . Stupac iza strelice prikazuje radnje koje treba izvršiti na recima konvertirane matrice kako bi se dobili retki nove matrice.

.

Očito, prva dva stupca rezultirajuće matrice su linearno neovisna, treći stupac je njihova linearna kombinacija, a četvrti ne ovisi o prva dva. Vektori nazivaju se osnovnim. Oni čine maksimalno linearno neovisni podsustav sustava , a rang sustava je tri.

Osnova, koordinate

Zadatak 4. Nađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu geometrijskih vektora čije koordinate zadovoljavaju uvjet .

Riješenje. Skup je ravnina koja prolazi kroz ishodište. Proizvoljna baza na ravnini sastoji se od dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora u odabranoj bazi određuju se rješavanjem odgovarajućeg sustava linearnih jednadžbi.

Postoji još jedan način rješavanja ovog problema, kada možete pronaći osnovu po koordinatama.

Koordinate prostori nisu koordinate na ravnini, jer su povezani relacijom , odnosno nisu neovisni. Nezavisne varijable i (oni se nazivaju slobodnima) jednoznačno određuju vektor na ravnini i stoga se mogu odabrati kao koordinate u . Zatim osnova sastoji se od vektora koji leže i odgovaraju skupovima slobodnih varijabli i , to je .

Zadatak 5. Pronađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih vektora u prostoru , čije su neparne koordinate jednake jedna drugoj.

Riješenje. Biramo, kao iu prethodnom zadatku, koordinate u prostoru.

Jer , zatim slobodne varijable jednoznačno definiraju vektor iz i, prema tome, su koordinate. Odgovarajuća baza se sastoji od vektora .

Zadatak 6. Nađite bazu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih matrica oblika , gdje su proizvoljni brojevi.

Riješenje. Svaka matrica iz može se jedinstveno predstaviti kao:

Ova relacija je proširenje vektora iz u smislu baze
s koordinatama .

Zadatak 7. Odrediti dimenziju i bazu linearnog raspona sustava vektora

.

Riješenje. Pomoću EPS-a transformiramo matricu iz koordinata vektora sustava u stepenasti trokutasti oblik.

.

stupaca posljednje matrice su linearno neovisni, a stupci linearno se izražavaju kroz njih. Stoga vektori čine osnovu , i .

Komentar. Osnova u izabran dvosmisleno. Na primjer, vektori također čine osnovu .

Predstavili smo mi linearne operacije na vektorima omogućuju stvaranje različitih izraza za vektorske veličine i transformirati ih koristeći svojstva postavljena za te operacije.

Na temelju zadanog skupa vektora a 1, ... i n, možete sastaviti izraz oblika

gdje su a 1 , ... i n proizvoljni realni brojevi. Ovaj izraz se zove linearna kombinacija vektora a 1 , ..., a n . Brojevi α i , i = 1, n , su koeficijenti linearne kombinacije. Skup vektora se također naziva vektorski sustav.

U vezi s uvedenim konceptom linearne kombinacije vektora javlja se problem opisivanja skupa vektora koji se može zapisati kao linearna kombinacija zadanog sustava vektora a 1 , ..., a n . Osim toga, prirodna su pitanja o uvjetima pod kojima postoji predstava vektora u obliku linearne kombinacije i o jedinstvenosti takvog prikaza.

Definicija 2.1. Vektori a 1, ... i n se nazivaju linearno ovisan, ako postoji takav skup koeficijenata α 1 , ... , α n da

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

a barem jedan od tih koeficijenata nije jednak nuli. Ako navedeni skup koeficijenata ne postoji, vektori se pozivaju linearno neovisno.

Ako je α 1 = ... = α n = 0, onda je, očito, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Imajući to na umu, možemo reći ovo: vektori a 1 , ..., i n su linearno neovisni ako iz jednakosti (2.2) slijedi da su svi koeficijenti α 1 , ... , α n jednaki nuli.

Sljedeći teorem objašnjava zašto se novi koncept naziva terminom "ovisnost" (ili "nezavisnost") i daje jednostavan kriterij za linearnu ovisnost.

Teorem 2.1. Da bi vektori a 1 , ... i n , n > 1 bili linearno ovisni, potrebno je i dovoljno da jedan od njih bude linearna kombinacija ostalih.

◄ Nužnost. Pretpostavimo da su vektori a 1 , ... i n linearno ovisni. Prema definiciji 2.1 linearne ovisnosti, u jednakosti (2.2) s lijeve strane postoji barem jedan koeficijent različit od nule, na primjer α 1 . Ostavljajući prvi član na lijevoj strani jednakosti, ostale pomičemo na desnu stranu, mijenjajući njihove predznake kao i obično. Podijelimo rezultirajuću jednakost s α 1 , dobivamo

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

oni. prikaz vektora a 1 kao linearne kombinacije preostalih vektora a 2 , ... i n .

Adekvatnost. Neka se, na primjer, prvi vektor a 1 može predstaviti kao linearna kombinacija preostalih vektora: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Prenoseći sve članove s desne strane na lijevu, dobivamo a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.j. linearna kombinacija vektora a 1 , ... i n s koeficijentima α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , jednakim nulti vektor. U ovoj linearnoj kombinaciji nisu svi koeficijenti jednaki nuli. Prema definiciji 2.1, vektori a 1, ... i n su linearno ovisni.

Definicija i kriterij linearne ovisnosti formulirani su na način da impliciraju prisutnost dva ili više vektora. Međutim, može se govoriti i o linearnoj ovisnosti jednog vektora. Da bismo ostvarili ovu mogućnost, umjesto "vektori su linearno ovisni" trebamo reći "sustav vektora je linearno ovisan". Lako je vidjeti da izraz "sustav jednog vektora je linearno ovisan" znači da je taj pojedinačni vektor nula (u linearnoj kombinaciji postoji samo jedan koeficijent i ne smije biti jednak nuli).

Koncept linearne ovisnosti ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Ovo tumačenje pojašnjavaju sljedeće tri tvrdnje.

Teorem 2.2. Dva su vektora linearno ovisna ako i samo ako su kolinearna.

◄ Ako su vektori a i b linearno ovisni, tada se jedan od njih, na primjer a, izražava kroz drugi, t.j. a = λb za neki realni broj λ. Prema definiciji 1.7 djela vektora brojem, vektori a i b su kolinearni.

Sada neka su vektori a i b kolinearni. Ako su oba nula, onda je očito da su linearno ovisni, budući da je svaka njihova linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Neka jedan od ovih vektora nije jednak 0, na primjer vektor b. Označimo sa λ omjer duljina vektora: λ = |a|/|b|. Kolinearni vektori mogu biti jednosmjerna ili suprotnim smjerovima. U potonjem slučaju mijenjamo predznak λ. Zatim, provjeravajući definiciju 1.7, vidimo da je a = λb. Prema teoremu 2.1, vektori a i b su linearno ovisni.

Napomena 2.1. U slučaju dva vektora, uzimajući u obzir kriterij linearne ovisnosti, dokazani teorem može se preformulirati na sljedeći način: dva su vektora kolinearna ako i samo ako je jedan od njih predstavljen kao umnožak drugog brojem. Ovo je prikladan kriterij kolinearnosti dvaju vektora.

Teorem 2.3. Tri su vektora linearno ovisna ako i samo ako su komplanarna.

◄ Ako su tri vektora a, b, c linearno ovisna, tada je, prema teoremu 2.1, jedan od njih, na primjer a, linearna kombinacija ostalih: a = βb + γs. Kombinirajmo ishodište vektora b i c u točki A. Tada će vektori βb, γc imati zajedničko ishodište u točki A i paralelogram vlada njihovim zbrojem, oni. vektor a, bit će vektor s početkom A i kraj, koji je vrh paralelograma izgrađenog na sumandnim vektorima. Dakle, svi vektori leže u istoj ravnini, odnosno koplanarni su.

Neka su vektori a, b, c komplanarni. Ako je jedan od ovih vektora jednak nuli, onda je očito da će to biti linearna kombinacija ostalih. Dovoljno je uzeti sve koeficijente linearne kombinacije jednakima nuli. Stoga možemo pretpostaviti da sva tri vektora nisu nula. Kompatibilan početak ovi vektori u zajedničkoj točki O. Neka su njihovi krajevi, redom, točke A, B, C (slika 2.1). Povucite prave kroz točku C paralelno s pravcima koji prolaze kroz parove točaka O, A i O, B. Označavajući točke presjeka s A" i B", dobivamo paralelogram OA"CB", dakle, OC" = OA" + OB " . Vektor OA" i vektor različit od nule a= OA su kolinearni, pa se prvi od njih može dobiti množenjem drugog sa realnim brojem α:OA" = αOA. Slično, OB" = βOB , β ∈ R. Kao rezultat dobivamo da je OC" = α OA + βOB , tj. vektor c je linearna kombinacija vektora a i b. Prema teoremu 2.1, vektori a, b, c su linearno ovisni.

Teorem 2.4. Svaka četiri vektora su linearno ovisna.

◄ Dokaz slijedi istu shemu kao u teoremu 2.3. Razmotrimo proizvoljna četiri vektora a, b, c i d. Ako je jedan od četiri vektora jednak nuli, ili među njima postoje dva kolinearna vektora, ili su tri od četiri vektora koplanarna, tada su ta četiri vektora linearno ovisna. Na primjer, ako su vektori a i b kolinearni, tada možemo sastaviti njihovu linearnu kombinaciju αa + βb = 0 s koeficijentima koji nisu nula, a zatim ovoj kombinaciji dodati preostala dva vektora, uzimajući nule kao koeficijente. Dobivamo linearnu kombinaciju četiri vektora jednaku 0, u kojoj postoje koeficijenti različiti od nule.

Dakle, možemo pretpostaviti da među odabrana četiri vektora nema nul-vektora, niti dva nisu kolinearna, niti tri nisu komplanarna. Za njihov zajednički početak biramo točku O. Tada će krajevi vektora a, b, c, d biti neke točke A, B, C, D (slika 2.2). Kroz točku D povučemo tri ravnine paralelne s ravninama OVS, OCA, OAB, i neka su A", B", S" točke presjeka ovih ravnina s pravima OA, OB, OS, redom. Dobivamo paralelepiped OA"C"B"C" B"DA", a vektori a, b, c leže na njegovim rubovima koji izlaze iz vrha O. Budući da je četverokut OC"DC" paralelogram, onda je OD = OC" + OC " . Zauzvrat, segment OS" je dijagonalni paralelogram OA"C"B", dakle OC" = OA" + OB" , i OD = OA" + OB" + OC" .

Ostaje napomenuti da su parovi vektora OA ≠ 0 i OA" , OB ≠ 0 i OB" , OC ≠ 0 i OC" kolinearni, te stoga možemo odabrati koeficijente α, β, γ tako da OA" = αOA , OB" = βOB i OC" = γOC . Konačno, dobivamo OD = αOA + βOB + γOC . Posljedično, vektor OD je izražen u terminima preostala tri vektora, a sva četiri vektora, prema teoremu 2.1, linearno su ovisna.

Sustav vektora naziva se linearno ovisan, ako postoje takvi brojevi , među kojima je barem jedan različit od nule, da je jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ako ova jednakost vrijedi samo ako sve , tada se zove sustav vektora linearno neovisno.

Teorema. Sustav vektora će linearno ovisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih.

Primjer 1 Polinom je linearna kombinacija polinoma https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi čine linearno neovisni sustav, budući da https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primjer 2 Matrični sustav , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno neovisan, budući da je linearna kombinacija jednaka nulta matrica samo u kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno ovisno.

Riješenje.

Sastavite linearnu kombinaciju ovih vektora https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Izjednačavajući istoimene koordinate jednakih vektora, dobivamo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Napokon dobivamo

i

Sustav ima jedinstveno trivijalno rješenje, pa je linearna kombinacija ovih vektora nula samo ako su svi koeficijenti nula. Stoga je ovaj sustav vektora linearno neovisan.

Primjer 4 Vektori su linearno neovisni. Kakvi će biti sustavi vektora

a).;

b).?

Riješenje.

a). Sastavite linearnu kombinaciju i izjednačite je s nulom

Koristeći svojstva operacija s vektorima u linearnom prostoru, prepisujemo posljednju jednakost u obliku

Budući da su vektori linearno neovisni, koeficijenti za moraju biti jednaki nuli, tj. gif" width="12" height="23 src=">

Rezultirajući sustav jednadžbi ima jedinstveno trivijalno rješenje .

Budući da je jednakost (*) izvršeno samo na https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno neovisno;

b). Sastavite jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Primjenjujući slično razmišljanje, dobivamo

Rješavanjem sustava jednadžbi Gaussovom metodom dobivamo

ili

Posljednji sustav ima beskonačan broj rješenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dakle, postoji ne- nulti skup koeficijenata za koji je jednakost (**) . Dakle, sustav vektora je linearno ovisan.

Primjer 5 Vektorski sustav je linearno neovisan, a vektorski sustav linearno ovisan..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

U jednakosti (***) . Doista, za , sustav bi bio linearno ovisan.

Iz odnosa (***) dobivamo ili Označiti .

Dobiti

Zadaci za samostalno rješavanje (u učionici)

1. Sustav koji sadrži nulti vektor linearno je ovisan.

2. Jednovektorski sustav a, linearno je ovisan ako i samo ako, a=0.

3. Sustav koji se sastoji od dva vektora linearno je ovisan ako i samo ako su vektori proporcionalni (to jest, jedan od njih se dobije od drugog množenjem brojem).

4. Ako se linearno ovisan sustav doda vektor, onda se dobije linearno ovisan sustav.

5. Ako se vektor ukloni iz linearno neovisnog sustava, tada je rezultirajući sustav vektora linearno neovisan.

6. Ako sustav S linearno neovisno, ali postaje linearno ovisno kada se doda vektor b, zatim vektor b linearno izražena u terminima vektora sustava S.

c). Sustav matrica , , u prostoru matrica drugog reda.

10. Neka je sustav vektora a,b,c vektorski prostor je linearno neovisan. Dokažite linearnu neovisnost sljedećih sustava vektora:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– proizvoljan broj

c).a+b, a+c, b+c.

11. Neka a,b,c su tri vektora u ravnini koji se mogu koristiti za formiranje trokuta. Hoće li ti vektori biti linearno ovisni?

12. Zadana su dva vektora a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Pokupite još dva 4D vektora a3 ia4 tako da sustav a1,a2,a3,a4 bila linearno neovisna .

Linearna ovisnost i linearna neovisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sustav

U publici su kolica s čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par – analitičku geometriju s linearnom algebrom. Ovaj članak dotaknut će se dva dijela više matematike odjednom, a vidjet ćemo kako se slažu u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... kvragu, pa, svađaju se gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba biti pozitivan stav prema učenju.

Linearna ovisnost vektora, linearna neovisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi nemaju samo geometrijsko tumačenje, nego, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stajališta linearne algebre daleko je od uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravnini ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, po koji sam upravo otišao u Gismeteo: - temperaturu i atmosferski tlak. Primjer je, naravno, netočan s gledišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, nitko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću vas zamarati teorijom, linearnim vektorskim prostorima, zadatak je da razumjeti definicije i teoreme. Novi pojmovi (linearna ovisnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza itd.) primjenjivi su na sve vektore s algebarskog stajališta, ali primjeri će biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Uz probleme analitičke geometrije, razmotrit ćemo i neke tipične zadatke algebre. Da biste svladali gradivo, preporučljivo je upoznati se s lekcijama Vektori za lutke i Kako izračunati determinantu?

Linearna ovisnost i neovisnost ravninskih vektora.
Ravninska baza i afini koordinatni sustav

Razmislite o ravnini vašeg računalnog stola (samo stol, noćni ormarić, pod, strop, što god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite bazu ravnine. Grubo govoreći, stolna ploča ima duljinu i širinu, pa je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na temelju odabrane osnove postaviti koordinatni sustav(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tablici.

Nemojte se iznenaditi, u početku će objašnjenja biti na prstima. Štoviše, na vašem. Molimo stavite kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sada mjesto mali prst desne ruke na rubu stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Što se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearna, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravninu računalnog stola? Očito ne. Kolinearni vektori putuju naprijed i natrag sama smjer, dok ravnina ima duljinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno ovisan.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama, izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stupanj) izrazi i ovisnosti.

Dva ravna vektora linearno ovisan ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji kut osim 0 ili 180 stupnjeva. Dva ravna vektoralinearno ne su ovisni ako i samo ako nisu kolinearni. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je baza ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih duljina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da za njegovu konstrukciju nije prikladan samo kut od 90 stupnjeva, a ne samo jedinični vektori jednake duljine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Kažu i to vektorpredstavljen u obliku linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, može se reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravnine, ili se može reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Formulirajmo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna točka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redoslijedom. baze To su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomaknuti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravnini. Kako onda dodijeliti koordinate onim malim prljavim točkicama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna točka. A takva referentna točka je svima poznata točka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sustava:

Krenut ću od "školskog" sustava. Već u uvodnom satu Vektori za lutke Istaknuo sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sustava i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kad se govori o pravokutni koordinatni sustav, tada najčešće znače ishodište, koordinatne osi i mjerilo po osi. Pokušajte u tražilicu upisati "pravokutni koordinatni sustav" i vidjet ćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osima poznatim iz 5.-6. razreda i kako crtati točke na ravnini.

S druge strane, stječe se dojam da se pravokutni koordinatni sustav može dobro definirati u terminima ortonormalne baze. I gotovo je. Formulacija glasi ovako:

podrijetlo, i ortonormalno osnovni set Kartezijanski koordinatni sustav ravnine . To jest, pravokutni koordinatni sustav definitivno definiran je jednom točkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali daleko od uvijek) crtaju i vektori i koordinatne osi.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć točke (podrijetla) i ortonormalne osnove BILO KOJA TOČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravnine mogu se dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, "sve se u avionu može numerirati".

Moraju li koordinatni vektori biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu duljinu različitu od nule. Razmotrimo točku i dva ortogonalna vektora proizvoljne duljine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalni. Podrijetlo koordinata s vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka točka ravnine, svaki vektor ima svoje koordinate u zadanoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori općenito imaju različite duljine osim jedinice. Ako su duljine jednake jedan, tada se dobiva uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i ispod u afinim bazama ravnine i prostora, razmatraju se jedinice duž osi UVJETNO. Na primjer, jedna jedinica duž apscise sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinate sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna za pretvaranje "nestandardnih" koordinata u "naše uobičajene centimetre" ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - je li potrebno da kut između baznih vektora bude 90 stupnjeva? Ne! Kao što definicija kaže, bazni vektori moraju biti samo nekolinearna. Sukladno tome, kut može biti bilo što osim 0 i 180 stupnjeva.

Točka na ravnini pozvana podrijetlo, i nekolinearna vektori, , postavljeno afini koordinatni sustav ravnine :

Ponekad se ovaj koordinatni sustav naziva koso sustav. Točke i vektori prikazani su kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sustav je još manje prikladan, formule za duljine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane uz skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinoga koordinatnog sustava kartezijanski pravokutni sustav. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polarni) koordinatni sustav. Da, i humanoidi takvi sustavi mogu pasti na ukus =)

Prijeđimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za opći afini slučaj. Ovdje nema ništa komplicirano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Da bi dva ravna vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je koordinata po koordinata pročišćavanje očitog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Riješenje:
a) Saznajte postoji li vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Svakako ću vam reći o “foppish” verziji primjene ovog pravila, koja u praksi dobro funkcionira. Ideja je odmah sastaviti omjer i vidjeti je li točan:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje može se koristiti činjenica da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova valjanost može se lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravna vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednadžbe slijedi da , što znači, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite omjer iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Kao ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporciju? (Zaista, ne možete podijeliti s nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

Odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za samostalno rješenje:

Primjer 2

Pri kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se pronalazi kroz omjer.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Sistematizirajmo naše znanje i samo ga dodajmo kao petu točku:

Za dva ravna vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

Odnosno, sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno ovisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Jako, jako se nadam da u ovom trenutku već razumijete sve pojmove i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo pobliže novu, petu točku: dva ravna vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu značajku, naravno, morate biti u mogućnosti pronaći odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravna vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno neovisni i čine bazu.

Odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda puno kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelnost segmenata, ravnih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokaži da je četverokut paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti isključivo analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Četverokut se naziva, u kojem su suprotne strane parno paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i .

Dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi” - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očita, ali bolje je donijeti odluku kako treba, s dogovorom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ti vektori kolinearni, i .

Zaključak: Suprotne strane četverokuta su parno paralelne, pa je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih brojki:

Primjer 4

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokaži da je četverokut trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da iz aviona polako krenemo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

a) ;
b)
u)

Riješenje:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom omjera. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

Odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za samostalnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora i putem determinante trećeg reda ova metoda je obrađena u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravnine, razmatrani alati mogu se koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugi odjeljak:

Linearna ovisnost i neovisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sustav

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali u avionu vrijedit će i za prostor. Pokušao sam minimalizirati sažetak teorije, budući da je lavovski dio informacija već prožvakan. Ipak, preporučam da pažljivo pročitate uvodni dio jer će se pojaviti novi pojmovi i pojmovi.

Sada, umjesto ravnine računalnog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, stvorimo njegovu osnovu. Netko je sada u zatvorenom, netko na otvorenom, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga su za konstruiranje baze potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite se u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite duljine i imaju različite kutove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Usput, ne trebate to demonstrirati učiteljima, ma kako zavrtili prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na ploču stola računala. Što se dogodilo? Tri vektora nalaze se u istoj ravnini, i, grubo govoreći, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarna i, sasvim očito, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da komplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravnini, mogu biti u paralelnim ravninama (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali tako otpao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarna ako postoji ravnina s kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravnina ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno ovisna, odnosno linearno se izražavaju jedno kroz drugo. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravnini. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odjeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno neovisna, odnosno nikako se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očito, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redoslijedom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u zadanoj bazi , gdje su koordinate vektora u danoj bazi

Podsjetimo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sustava uvodi se na potpuno isti način kao i za slučaj ravnine, dovoljna je jedna točka i bilo koja tri linearno neovisna vektora:

podrijetlo, i nekoplanarni vektori, uzeti određenim redoslijedom, postavljeno afini koordinatni sustav trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruirani koordinatni sustav omogućuje nam definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sustavu prostora.

Najpoznatiji i najprikladniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava, kao što svi mogu pretpostaviti, jest pravokutni prostorni koordinatni sustav:

točka u prostoru tzv podrijetlo, i ortonormalno osnovni set Kartezijanski koordinatni sustav prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovno sistematiziramo informacije:

Za tri vektora prostora, sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, različita je od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna ovisnost / neovisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (točka 5). Preostali praktični zadaci bit će izražene algebarske prirode. Vrijeme je da objesite geometrijski štap na čavao i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri vektora prostora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pozornost na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se napisati ne samo u stupcima, već iu recima (vrijednost determinante se neće promijeniti iz ovoga - pogledajte svojstva determinanti). Ali puno je bolje u stupcima, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučam jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite čine li sljedeći vektori osnovu trodimenzionalnog prostora:

Riješenje: Zapravo se cijelo rješenje svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom retku):

, što znači da su vektori linearno neovisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovor: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je točka za neovisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Riješenje: Vektori su koplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednadžbu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom retku i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednadžbu:

Odgovor: kod

Ovdje je lako provjeriti, za to trebate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u izvornu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

U zaključku, razmotrimo još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u tečaj linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokažite da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađi koordinate 4. vektora u zadanoj bazi

Primjer 8

Dani su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Riješenje: Pozabavimo se prvo stanjem. Po uvjetu su dana četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Što je osnova – ne zanima nas. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu tvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje iz primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori stvarno linearno neovisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno neovisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Važno : vektorske koordinate nužno Zapiši u kolone odrednica, a ne nizovi. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu rješenja.