Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda. Konstrukcija općeg rješenja linearne homogene

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima ima opće rješenje
, gdje i linearno neovisna partikularna rješenja ove jednadžbe.

Opći oblik rješenja homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima
, ovisi o korijenima karakteristične jednadžbe
.

Korijeni karakteristike jednadžbe	Pogled zajedničko rješenje
Korijenje i valjana i raznolika
Korijenje == valjani i istovjetni
Složeni korijeni ,

Primjer

Nađite opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima:

Riješenje:
.

Nakon što ga riješimo, pronaći ćemo korijene
,
valjano i drugačije. Stoga je opće rješenje:
.

Riješenje: Napravimo karakterističnu jednadžbu:
.

Nakon što ga riješimo, pronaći ćemo korijene

valjani i istovjetni. Stoga je opće rješenje:
.

Riješenje: Napravimo karakterističnu jednadžbu:
.

Nakon što ga riješimo, pronaći ćemo korijene
kompleks. Stoga je opće rješenje:

Linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik

Gdje
. (1)

Opće rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda ima oblik
, gdje
je partikularno rješenje ove jednadžbe, je opće rješenje odgovarajuće homogena jednadžba, tj. jednadžbe.

Vrsta privatnog rješenja
nehomogena jednadžba(1) ovisno o desnoj strani
:

Desni dio	Privatno rješenje
– stupanj polinoma	, gdje je broj korijena karakteristične jednadžbe jednak nuli.
	, gdje = je korijen karakteristične jednadžbe.
	Gdje - broj, jednak broju korijenje karakteristična jednadžba, podudara se s .
	gdje je broj korijena karakteristične jednadžbe koji se podudaraju s .

Razmotrimo različite vrste desnih strana linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe:

1.
, gdje je polinom stupnja . Zatim posebno rješenje
može se pretraživati u obrascu
, gdje

, a je broj korijena karakteristične jednadžbe jednak nuli.

Primjer

Pronađite opće rješenje
.

Riješenje:

B) Budući da je desna strana jednadžbe polinom prvog stupnja i nijedan od korijena karakteristične jednadžbe
nije jednako nuli (
), tada tražimo određeno rješenje u obliku where i su nepoznati koeficijenti. Razlikovanje dva puta
i zamjena
,
i
u izvornu jednadžbu, nalazimo.

Izjednačavanje koeficijenata pri istim potencijama na obje strane jednadžbe
,
, pronašli smo
,
. Dakle, posebno rješenje dana jednadžba ima oblik
, i njegovo opće rješenje.

2. Neka desni dio ima oblik
, gdje je polinom stupnja . Zatim posebno rješenje
može se pretraživati u obrascu
, gdje
je polinom istog stupnja kao
, a - broj koji pokazuje koliko puta je korijen karakteristične jednadžbe.

Primjer

Pronađite opće rješenje
.

Riješenje:

A) Pronađite opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe
. Da bismo to učinili, napišemo karakterističnu jednadžbu
. Nađimo korijene posljednje jednadžbe
. Stoga opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik
.

karakteristična jednadžba

, gdje je nepoznati koeficijent. Razlikovanje dva puta
i zamjena
,
i
u izvornu jednadžbu, nalazimo. Gdje
, to je
ili
.

Dakle, određeno rješenje ove jednadžbe ima oblik
, i njegovo opće rješenje
.

3. Neka desna strana izgleda kao , gdje
i - zadani brojevi. Zatim posebno rješenje
može se pretraživati u obliku gdje i su nepoznati koeficijenti, i je broj jednak broju korijena karakteristične jednadžbe koja se podudara s
. Ako u funkcijskom izrazu
uključuju barem jednu od funkcija
ili
, zatim unutra
treba uvijek unijeti oba funkcije.

Primjer

Pronađite opće rješenje.

Riješenje:

B) Budući da je desna strana jednadžbe funkcija
, tada je kontrolni broj ove jednadžbe, ne podudara se s korijenima
karakteristična jednadžba
. Zatim tražimo određeno rješenje u obrascu

Gdje i su nepoznati koeficijenti. Razlikujući dvaput, dobivamo. Zamjena
,
i
u izvornu jednadžbu, nalazimo

Spajajući slične uvjete, dobivamo

Izjednačavamo koeficijente pri
i
na desnoj, odnosno lijevoj strani jednadžbe. Shvaćamo sustav
. Rješavajući to, nalazimo
,
.

Dakle, određeno rješenje izvorne diferencijalne jednadžbe ima oblik .

Opće rješenje izvorne diferencijalne jednadžbe ima oblik .

Jednadžba

gdje su i kontinuirane funkcije u intervalu naziva se nehomogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, funkcije i su njezini koeficijenti. Ako je u tom intervalu, onda jednadžba ima oblik:

a naziva se homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Ako jednadžba (**) ima iste koeficijente i kao jednadžba (*), tada se naziva homogena jednadžba koja odgovara nehomogenoj jednadžbi (*).

Homogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda

Neka u linearnoj jednadžbi

I - trajno realni brojevi.

Pojedinačno rješenje jednadžbe ćemo tražiti u obliku funkcije , gdje je realno ili složeni broj biti odlučan. Diferencirajući s obzirom na , dobivamo:

Zamjenom u izvornu diferencijalnu jednadžbu dobivamo:

Dakle, uzimajući u obzir da imamo:

Ova se jednadžba naziva karakteristična jednadžba homogene linearne diferencijalne jednadžbe. Karakteristična jednadžba također omogućuje pronalaženje . Ovo je jednadžba drugog stupnja, tako da ima dva korijena. Označimo ih s i . Moguća su tri slučaja:

1) Korijeni su stvarni i različiti. U ovom slučaju, opće rješenje jednadžbe je:

Primjer 1

2) Korijeni su pravi i jednaki. U ovom slučaju, opće rješenje jednadžbe je:

Primjer2

Dospjeli ste na ovu stranicu dok ste pokušavali riješiti problem na ispitu ili testu? Ako i dalje niste uspjeli položiti ispit - sljedeći put se unaprijed dogovorite na web stranici o online pomoći u višoj matematici.

Karakteristična jednadžba ima oblik:

Rješenje karakteristične jednadžbe:

Opće rješenje izvorne diferencijalne jednadžbe:

3) Složeni korijeni. U ovom slučaju, opće rješenje jednadžbe je:

Primjer 3

Karakteristična jednadžba ima oblik:

Rješenje karakteristične jednadžbe:

Opće rješenje izvorne diferencijalne jednadžbe:

Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda

Razmotrimo sada rješenje nekih tipova linearne nehomogene jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima

gdje su i konstantni realni brojevi, je poznata kontinuirana funkcija u intervalu . Za pronalaženje općeg rješenja takve diferencijalne jednadžbe potrebno je poznavati opće rješenje odgovarajuće homogene diferencijalne jednadžbe i partikularno rješenje. Razmotrimo neke slučajeve:

Također tražimo određeno rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku kvadratnog trinoma:

Ako je 0 jedan korijen karakteristične jednadžbe, tada

Ako je 0 dvostruki korijen karakteristične jednadžbe, tada

Situacija je slična ako je polinom proizvoljnog stupnja

Primjer 4

Rješavamo odgovarajuću homogenu jednadžbu.

Karakteristična jednadžba:

Opće rješenje homogene jednadžbe:

Nađimo posebno rješenje nehomogene dif-jednadžbe:

Zamjenom pronađenih derivata u izvornu diferencijalnu jednadžbu dobivamo:

Željeno posebno rješenje:

Opće rješenje izvorne diferencijalne jednadžbe:

Pojedinačno rješenje tražimo u obliku , gdje je neodređeni koeficijent.

Zamjenom i u izvornu diferencijalnu jednadžbu dobivamo identitet iz kojeg nalazimo koeficijent.

Ako je korijen karakteristične jednadžbe, tada tražimo određeno rješenje izvorne diferencijalne jednadžbe u obliku , kada je jednokorijen, a , kada je dvokorijen.

Primjer 5

Karakteristična jednadžba:

Opće rješenje odgovarajuće homogene diferencijalne jednadžbe je:

Nađimo posebno rješenje odgovarajuće nehomogene diferencijalne jednadžbe:

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe:

U ovom slučaju tražimo određeno rješenje u obliku trigonometrijskog binoma:

gdje su i nesigurni koeficijenti

Zamjenom i u izvornu diferencijalnu jednadžbu dobivamo identitet iz kojeg nalazimo koeficijente.

Ove jednadžbe određuju koeficijente i osim u slučaju kada (ili kada su korijeni karakteristične jednadžbe). U potonjem slučaju tražimo određeno rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku:

Primjer6

Karakteristična jednadžba:

Opće rješenje odgovarajuće homogene diferencijalne jednadžbe je:

Nađimo partikularno rješenje nehomogene dif-jednadžbe

Zamjenom u izvornu diferencijalnu jednadžbu dobivamo:

Opće rješenje izvorne diferencijalne jednadžbe:

Konvergencija nizova brojeva
Dana je definicija konvergencije niza i detaljno su razmotreni problemi proučavanja konvergencije serije brojeva- kriteriji usporedbe, d'Alembertov kriterij konvergencije, Cauchyjev kriterij konvergencije i Cauchyjev integralni kriterij konvergencije⁡.

Apsolutna i uvjetna konvergencija niza
Stranica se bavi izmjeničnim nizovima, njihovom uvjetnom i apsolutnom konvergencijom, Leibnizovim testom konvergencije za izmjenične nizove - sadrži kratka teorija na temu i primjer rješavanja problema.

Ovdje primjenjujemo metodu varijacije Lagrangeovih konstanti za rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda. Detaljan opis ova metoda za rješavanje jednadžbi proizvoljnog reda navedena je na stranici
Rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi viših redova Lagrangeovom metodom >>> .

Primjer 1

Riješite diferencijalnu jednadžbu drugog reda pomoću konstantni koeficijenti metoda varijacije Lagrangeovih konstanti:
(1)

Riješenje

Prvo rješavamo homogenu diferencijalnu jednadžbu:
(2)

Ovo je jednadžba drugog reda.

Rješavamo kvadratnu jednadžbu:
.
Višestruki korijeni: . Temeljni sustav rješenja jednadžbe (2) ima oblik:
(3) .
Time dobivamo opće rješenje homogene jednadžbe (2):
(4) .

Variramo konstante C 1 i C 2 . Odnosno, konstante i u (4) zamjenjujemo funkcijama:
.
Tražimo rješenje izvorne jednadžbe (1) u obliku:
(5) .

Nalazimo izvod:
.
Povezujemo funkcije i jednadžbu:
(6) .
Zatim
.

Nalazimo drugu derivaciju:
.
Zamjenjujemo u izvornu jednadžbu (1):
(1) ;

.
Budući da i zadovoljavaju homogenu jednadžbu (2), zbroj članova u svakom stupcu posljednja tri retka je nula, a prethodna jednadžba postaje:
(7) .
ovdje .

Zajedno s jednadžbom (6) dobivamo sustav jednadžbi za određivanje funkcija i :
(6) :
(7) .

Rješavanje sustava jednadžbi

Rješavamo sustav jednadžbi (6-7). Napišimo izraze za funkcije i :
.
Nalazimo njihove derivate:
;
.

Sustav jednadžbi (6-7) rješavamo Cramerovom metodom. Izračunavamo determinantu matrice sustava:

.
Cramerovim formulama nalazimo:
;
.

Dakle, pronašli smo izvode funkcija:
;
.
Integrirajmo (vidi Metode integriranja korijena). Izrada zamjene
; ; ; .

.
.

;
.

Odgovor

Primjer 2

Riješite diferencijalnu jednadžbu metodom varijacije Lagrangeovih konstanti:
(8)

Riješenje

Korak 1. Rješenje homogene jednadžbe

Rješavamo homogenu diferencijalnu jednadžbu:

(9)
Tražite rješenje u formi. Sastavljamo karakterističnu jednadžbu:

Ova jednadžba ima složene korijene:
.
Osnovni sustav rješenja koji odgovara tim korijenima ima oblik:
(10) .
Opće rješenje homogene jednadžbe (9):
(11) .

Korak 2. Varijacije konstanti - zamjena konstanti funkcijama

Sada mijenjamo konstante C 1 i C 2 . To jest, zamijenimo konstante u (11) funkcijama:
.
Tražimo rješenje izvorne jednadžbe (8) u obliku:
(12) .

Dalje, tijek rješenja je isti kao u primjeru 1. Dolazimo do sljedeći sustav jednadžbe za određivanje funkcija i :
(13) :
(14) .
ovdje .

Rješavanje sustava jednadžbi

Riješimo ovaj sustav. Napišimo izraze funkcija i :
.
Iz tablice izvedenica nalazimo:
;
.

Sustav jednadžbi (13-14) rješavamo Cramerovom metodom. Determinanta matrice sustava:

.
Cramerovim formulama nalazimo:
;
.

.
Budući da , tada se znak modula ispod znaka logaritma može izostaviti. Pomnožite brojnik i nazivnik sa:
.
Zatim
.

Opće rješenje izvorne jednadžbe:

.

Obrazovna ustanova "Bjeloruska država

poljoprivredna akademija"

Katedra za višu matematiku

Smjernice

na studiju teme "Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda" od strane studenata računovodstvenog odjela dopisnog oblika obrazovanja (NISPO)

Gorki, 2013. (monografija).

Linearno diferencijalne jednadžbe

drugi red s konstantomkoeficijenti

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe

Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima naziva se jednadžba oblika

oni. jednadžba koja sadrži traženu funkciju i njezine izvodnice samo do prvog stupnja i ne sadrži njihove umnoške. U ovoj jednadžbi i
su neki brojevi i funkcija
dati u nekom intervalu
.

Ako a
na intervalu
, tada jednadžba (1) poprima oblik

, (2)

i nazvao linearno homogen . Inače se jednadžba (1) zove linearno nehomogen .

Razmotrite složenu funkciju

, (3)

gdje
i
- realne funkcije. Ako je funkcija (3) kompleksno rješenje jednadžbe (2), tada realni dio
, i imaginarni dio
rješenja
odvojeno su rješenja iste homogene jednadžbe. Dakle, svaki cjelovito rješenje jednadžba (2) generira dva realna rješenja ove jednadžbe.

Homogene otopine Linearna jednadžba imaju svojstva:

Ako a je rješenje jednadžbe (2), zatim funkcija
, gdje IZ- proizvoljna konstanta, također će biti rješenje jednadžbe (2);

Ako a i su rješenja jednadžbe (2), zatim funkcija
također će biti rješenje jednadžbe (2);

Ako a i su rješenja jednadžbe (2), zatim njihova linearna kombinacija
također će biti rješenje jednadžbe (2), gdje i
su proizvoljne konstante.

Funkcije
i
nazvao linearno ovisna na intervalu
ako postoje takvi brojevi i
, koji nisu istodobno jednaki nuli, da je na ovom intervalu jednakost

Ako jednakost (4) vrijedi samo kada
i
, zatim funkcije
i
nazvao linearno neovisni na intervalu
.

Primjer 1 . Funkcije
i
su linearno ovisni, jer
duž cijelog brojevnog pravca. U ovom primjeru
.

Primjer 2 . Funkcije
i
su linearno neovisni o bilo kojem intervalu, budući da je jednakost
moguće samo ako i
, i
.

Konstrukcija općeg rješenja linearne homogene

jednadžbe

Da biste pronašli opće rješenje jednadžbe (2), trebate pronaći dva njezina linearno neovisna rješenja i . Linearna kombinacija ovih rješenja
, gdje i
proizvoljne su konstante i dat će opće rješenje linearne homogene jednadžbe.

Linearno neovisna rješenja jednadžbe (2) tražit ćemo u obliku

, (5)

gdje - neki broj. Zatim
,
. Zamijenimo ove izraze u jednadžbu (2):

ili
.

Jer
, onda
. Dakle funkcija
bit će rješenje jednadžbe (2) ako će zadovoljiti jednadžbu

. (6)

Jednadžba (6) naziva se karakteristična jednadžba za jednadžbu (2). Ova jednadžba je algebarska kvadratna jednadžba.

Neka i su korijeni ove jednadžbe. One mogu biti ili stvarne i različite, ili složene, ili stvarne i jednake. Razmotrimo ove slučajeve.

Pustite korijenje i karakteristične jednadžbe su realne i različite. Tada će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije
i
. Ova rješenja su linearno neovisna, budući da je jednakost
može se izvesti samo kada
, i
. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik

gdje i
su proizvoljne konstante.

Primjer 3
.

Riješenje . Karakteristična jednadžba za ovaj diferencijal bit će
. Rješavajući to kvadratna jednadžba, pronaći svoje korijene
i
. Funkcije
i
su rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednadžbe ima oblik
.

složeni broj naziva se izraz forme
, gdje i su realni brojevi, i
naziva se imaginarna jedinica. Ako a
, zatim broj
naziva se čisto imaginarno. Ako
, zatim broj
poistovjećuje se s realnim brojem .

Broj naziva se realni dio kompleksnog broja, i - imaginarni dio. Ako se dva kompleksna broja međusobno razlikuju samo predznakom imaginarnog dijela, nazivaju se konjugirani:
,
.

Primjer 4 . Riješite kvadratnu jednadžbu
.

Riješenje . Diskriminant jednadžbe
. Zatim. Također,
. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima konjugirane kompleksne korijene.

Neka su korijeni karakteristične jednadžbe kompleksni, tj.
,
, gdje
. Rješenja jednadžbe (2) mogu se napisati kao
,
ili
,
. Prema Eulerovim formulama

,
.

Zatim,. Kao što je poznato, ako je složena funkcija rješenje linearne homogene jednadžbe, tada su rješenja te jednadžbe i realni i imaginarni dio te funkcije. Dakle, rješenja jednadžbe (2) bit će funkcije
i
. Od jednakosti

može se izvesti samo ako
i
, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik

gdje i
su proizvoljne konstante.

Primjer 5 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje . Jednadžba
je karakterističan za dati diferencijal. Rješavamo ga i dobivamo složene korijene
,
. Funkcije
i
su linearno neovisna rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednadžbe ima oblik.

Neka su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki, tj.
. Tada su rješenja jednadžbe (2) funkcije
i
. Ova rješenja su linearno neovisna, jer izraz može biti identički jednak nuli samo kada
i
. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
.

Primjer 6 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje . Karakteristična jednadžba
ima jednake korijene
. U ovom slučaju linearno neovisna rješenja diferencijalne jednadžbe su funkcije
i
. Opće rješenje ima oblik
.

Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima

a posebna desna strana

Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe (1) jednako je zbroju općeg rješenja
odgovarajuću homogenu jednadžbu i svako posebno rješenje
nehomogena jednadžba:
.

U nekim slučajevima, određeno rješenje nehomogene jednadžbe može se pronaći vrlo jednostavno prema obliku desne strane
jednadžbe (1). Razmotrimo slučajeve kada je to moguće.

oni. desna strana nehomogene jednadžbe je polinom stupnja m. Ako a
nije korijen karakteristične jednadžbe, tada partikularno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku polinoma stupnja m, tj.

Izgledi
određuju se u procesu pronalaženja pojedinog rješenja.

Ako
je korijen karakteristične jednadžbe, tada partikularno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku

Primjer 7 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje . Odgovarajuća homogena jednadžba za ovu jednadžbu je
. Njegova karakteristična jednadžba
ima korijene
i
. Opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik
.

Jer
nije korijen karakteristične jednadžbe, tada ćemo partikularno rješenje nehomogene jednadžbe tražiti u obliku funkcije
. Nađite derivacije ove funkcije
,
i zamijenite ih u ovu jednadžbu:

ili . Izjednačite koeficijente pri i besplatni članovi:
Odlučujući ovaj sustav, dobivamo
,
. Tada određeno rješenje nehomogene jednadžbe ima oblik
, a opće rješenje te nehomogene jednadžbe bit će zbroj općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe i partikularnog rješenja nehomogene:
.

Neka nehomogena jednadžba ima oblik

Ako a
nije korijen karakteristične jednadžbe, tada partikularno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku. Ako
je korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti k (k=1 ili k=2), tada će u tom slučaju partikularno rješenje nehomogene jednadžbe imati oblik .

Primjer 8 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje . Karakteristična jednadžba za odgovarajuću homogenu jednadžbu ima oblik
. svoje korijene
,
. U tom slučaju opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe piše se kao
.

Kako broj 3 nije korijen karakteristične jednadžbe, tada partikularno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku
. Nađimo derivacije prvog i drugog reda:,

Zamijenite u diferencijalnu jednadžbu:
+ +,
+,.

Izjednačite koeficijente pri i besplatni članovi:

Odavde
,
. Tada određeno rješenje ove jednadžbe ima oblik
, i opće rješenje

Lagrangeova metoda varijacije proizvoljnih konstanti

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti može se primijeniti na bilo koju nehomogenu linearnu jednadžbu s konstantnim koeficijentima, bez obzira na oblik desne strane. Ova metoda omogućuje da se uvijek nađe opće rješenje nehomogene jednadžbe ako je poznato opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe.

Neka
i
su linearno neovisna rješenja jednadžbe (2). Tada je opće rješenje ove jednadžbe
, gdje i
su proizvoljne konstante. Bit metode varijacije proizvoljnih konstanti je da se opće rješenje jednadžbe (1) traži u obliku

gdje
i
- nove nepoznate značajke koje treba pronaći. Budući da postoje dvije nepoznate funkcije, za njihovo pronalaženje potrebne su dvije jednadžbe koje sadrže te funkcije. Ove dvije jednadžbe čine sustav

koji je linearni algebarski sustav jednadžbi s obzirom na
i
. Rješavajući ovaj sustav, nalazimo
i
. Integrirajući oba dijela dobivenih jednakosti, nalazimo

i
.

Zamjenom ovih izraza u (9) dobivamo opće rješenje nehomogene linearne jednadžbe (1).

Primjer 9 . Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
.

Riješenje. Karakteristična jednadžba za homogenu jednadžbu koja odgovara zadanoj diferencijalnoj jednadžbi je
. Njegovi su korijeni složeni
,
. Jer
i
, onda
,
, a opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik Tada ćemo opće rješenje ove nehomogene jednadžbe tražiti u obliku gdje je
i
- nepoznate funkcije.

Sustav jednadžbi za pronalaženje tih nepoznatih funkcija ima oblik

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo
,
. Zatim

,
. Zamijenimo dobivene izraze u opću formulu rješenja:

Ovo je opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe dobiveno Lagrangeovom metodom.

Pitanja za samokontrolu znanja

Koja se diferencijalna jednadžba naziva linearnom diferencijalnom jednadžbom drugog reda s konstantnim koeficijentima?

Koja se linearna diferencijalna jednadžba naziva homogenom, a koja nehomogenom?

Koja su svojstva linearne homogene jednadžbe?

Koja se jednadžba naziva karakterističnom za linearnu diferencijalnu jednadžbu i kako se ona dobiva?

U kojem je obliku zapisano opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima u slučaju različitih korijena karakteristične jednadžbe?

U kojem obliku je zapisano opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima u slučaju jednaki korijeni karakteristična jednadžba?

U kojem je obliku zapisano opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima u slučaju kompleksnih korijena karakteristične jednadžbe?

Kako se piše opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe?

U kojem obliku se traži partikularno rješenje linearne nehomogene jednadžbe ako su korijeni karakteristične jednadžbe različiti i nisu jednaki nuli, a desna strana jednadžbe je polinom stupnja m?

U kojem obliku se traži partikularno rješenje linearne nehomogene jednadžbe ako među korijenima karakteristične jednadžbe postoji jedna nula, a desna strana jednadžbe je polinom stupnja m?

Što je bit Lagrangeove metode?