Primjeri sustava racionalnih nejednakosti. Racionalne nejednakosti i njihovi sustavi

Nastavljamo s analizom načina rješavanja nejednakosti koje u svom sastavu imaju jednu varijablu. Već smo proučavali linearne i kvadratne nejednakosti, koje su posebni slučajevi racionalne nejednakosti. U ovom članku ćemo pojasniti koje su vrste nejednakosti racionalne, reći ćemo vam na koje se vrste dijele (cijelobrojne i razlomke). Nakon toga ćemo pokazati kako ih ispravno riješiti, dat ćemo potrebne algoritme i pogledajte konkretne probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept racionalnih jednakosti

Kada se u školi proučava tema rješavanja nejednakosti, odmah uzimaju racionalne nejednakosti. Stječu i usavršavaju vještine rada s ovom vrstom izražavanja. Formulirajmo definiciju ovog pojma:

Definicija 1

Racionalna nejednakost je nejednakost s varijablama koja sadrži racionalne izraze u oba dijela.

Napominjemo da definicija ni na koji način ne utječe na broj varijabli, što znači da ih može postojati proizvoljno velik broj. Stoga su moguće racionalne nejednakosti s 1, 2, 3 ili više varijabli. Najčešće se mora nositi s izrazima koji sadrže samo jednu varijablu, rjeđe dvije i nejednakostima velika količina varijable obično unutar školski tečaj uopće se ne razmatraju.

Stoga možemo naučiti racionalnu nejednakost gledajući njezinu notaciju. I s desne i s lijeve strane treba imati racionalne izraze. Evo nekoliko primjera:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

A ovdje je nejednakost oblika 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Sve racionalne nejednakosti dijele se na cjelobrojne i razlomke.

Definicija 2

Cjelobrojna racionalna jednakost sastoji se od cjelobrojnih racionalnih izraza (u oba dijela).

Definicija 3

Frakcijsko racionalna jednakost je jednakost koja sadrži frakcijski izraz u jednom ili oba njegova dijela.

Na primjer, nejednakosti oblika 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 i 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 su razlomački racionalni i 0 ,5 x ≤ 3 (2 − 5 y) i 1: x + 3 > 0- cijeli.

Analizirali smo što su racionalne nejednakosti i identificirali njihove glavne vrste. Možemo prijeći na pregled kako ih riješiti.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenja za cjelobrojnu racionalnu nejednakost r(x)< s (x) , koji uključuje samo jednu varijablu x . Pri čemu r(x) i s(x) su bilo cjeline racionalni brojevi ili izraze, a znak nejednakosti može biti različit. Da bismo riješili ovaj zadatak, moramo ga transformirati i dobiti ekvivalentnu jednakost.

Počnimo pomicanjem izraza s desne strane na lijevu. Dobivamo sljedeće:

oblika r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Mi to znamo r(x) − s(x) bit će cjelobrojna vrijednost, a bilo koji cjelobrojni izraz može se pretvoriti u polinom. Preobrazimo se r(x) − s(x) u h(x) . Ovaj izraz će biti identično jednak polinom. S obzirom da r (x) − s (x) i h (x) imaju površinu dopuštene vrijednosti x je isto, možemo ići na nejednakosti h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , što će biti ekvivalentno izvornom.

Često će takva jednostavna transformacija biti dovoljna za rješavanje nejednakosti, budući da rezultat može biti linearan ili kvadratna nejednakost, čiju je vrijednost lako izračunati. Pogledajmo ova pitanja.

Primjer 1

Stanje: riješiti cjelobrojnu racionalnu nejednakost x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Riješenje

Počnimo s prijenosom izraza s desne strane na lijevu stranu s suprotnim predznakom.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Sada kada smo napravili sve polinome s lijeve strane, možemo prijeći na linearna nejednakost 3 x − 2 ≤ 0, što je jednako onome što je dano u uvjetu. Rješavanje je jednostavno:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Odgovor: x ≤ 2 3 .

Primjer 2

Stanje: pronaći rješenje nejednakosti (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Riješenje

Prenosimo izraz s lijeve strane na desnu i provodimo daljnje transformacije koristeći skraćene formule za množenje.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Kao rezultat naših transformacija, dobili smo nejednakost koja će vrijediti za bilo koju vrijednost x, dakle, bilo koji realni broj može biti rješenje izvorne nejednakosti.

Odgovor: bilo koji pravi broj.

Primjer 3

Stanje: riješiti nejednakost x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Riješenje

Nećemo ništa prenositi s desne strane, budući da postoji 0 . Počnimo odmah pretvaranjem lijeve strane u polinom:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Izveli smo kvadratnu nejednakost ekvivalentnu izvornoj, koja se lako može riješiti s nekoliko metoda. Koristimo se grafičkom metodom.

Počnimo s izračunavanjem korijena kvadratnog trinoma − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x u003d 6

Sada na dijagramu označavamo sve potrebne nule. Budući da je vodeći koeficijent manji od nule, grane parabole na grafu će gledati prema dolje.

Trebat će nam područje parabole koje se nalazi iznad osi apscise, budući da u nejednadžbi imamo predznak >. Željeni interval je (− 0 , 5 , 6) , dakle, ovaj raspon vrijednosti će biti rješenje koje nam treba.

Odgovor: (− 0 , 5 , 6) .

Ima još teški slučajevi kada se s lijeve strane dobije polinom trećeg ili više visoki stupanj. Za rješavanje takve nejednakosti preporuča se korištenje intervalne metode. Prvo izračunamo sve korijene polinoma h(x), što se najčešće radi faktoriranjem polinoma.

Primjer 4

Stanje: izračunati (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Riješenje

Počnimo, kao i uvijek, pomicanjem izraza na lijevu stranu, nakon čega ćemo morati proširiti zagrade i baciti slični pojmovi.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Kao rezultat transformacija, dobili smo jednakost ekvivalentnu izvornoj, na kojoj se lijevo nalazi polinom trećeg stupnja. Za rješavanje toga primjenjujemo metodu intervala.

Prvo izračunamo korijene polinoma, za koje se trebamo odlučiti kubna jednadžba x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Ima li racionalne korijene? Mogu biti samo među djeliteljima slobodnog pojma, t.j. među brojevima ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Zamijenimo ih redom u izvornu jednadžbu i saznamo da će brojevi 1, 2 i 3 biti njezini korijeni.

Dakle, polinom x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 može se opisati kao proizvod (x − 1) (x − 2) (x − 3), i nejednakost x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 može se predstaviti kao (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . S ovakvom nejednakošću tada će nam biti lakše odrediti predznake na intervalima.

Slijedite ostale korake intervalna metoda: nacrtati brojevni pravac i točke na njemu s koordinatama 1, 2, 3. Oni dijele ravnu liniju na 4 intervala u kojima je potrebno odrediti znakove. Zasjenimo praznine s minusom, budući da izvorna nejednakost ima predznak < .

Ostaje nam samo zapisati gotov odgovor: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​.

Odgovor: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

U nekim slučajevima izvedite prijelaz iz nejednakosti r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) do h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , gdje h(x)– polinom veći od 2 je neprikladan. To se proteže na one slučajeve u kojima r (x) − s (x) predstavljamo kao proizvod linearnih binoma i kvadratni trinomi lakše nego faktoring h(x) u zasebne faktore. Pogledajmo ovaj problem.

Primjer 5

Stanje: pronaći rješenje nejednakosti (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Riješenje

Ova se nejednakost odnosi na cijele brojeve. Ako izraz pomaknemo s desne strane na lijevu, otvorimo zagrade i izvršimo redukciju pojmova, dobivamo x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Rješavanje takve nejednakosti nije lako, jer morate tražiti korijene polinoma četvrtog stupnja. Ona nema nikakav racionalni korijen (na primjer, 1, − 1, 19 ili − 19 ne uklapaju), a teško je tražiti druge korijene. Dakle, ne možemo koristiti ovu metodu.

Ali postoje i druga rješenja. Prenesemo li izraze s desne strane izvorne nejednadžbe na lijevu stranu, tada možemo izvesti zagrada zajedničkog faktora x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Dobili smo nejednakost ekvivalentnu izvornoj, a njezino rješenje će nam dati traženi odgovor. Naći nule izraza na lijevoj strani za koje se odlučujemo kvadratne jednadžbe x 2 − 2 x − 1 = 0 i x 2 − 2 x − 19 = 0. Njihovi korijeni su 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Prelazimo na jednakost x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , koja se može riješiti intervalnom metodom:

Prema slici, odgovor je - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Odgovor: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Dodajemo da ponekad nije moguće pronaći sve korijene polinoma h(x), dakle, ne možemo ga predstaviti kao proizvod linearnih binoma i kvadratnih trinoma. Zatim riješite nejednakost oblika h (x)< 0 (≤ , >, ≥) ne možemo, dakle, također nemoguće riješiti izvornu racionalnu nejednakost.

Pretpostavimo da trebamo riješiti frakcijske racionalne nejednakosti oblika r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , gdje je r (x) i s(x) su racionalni izrazi, x je varijabla. Barem jedan od specificirani izrazi bit će frakcijski. Algoritam rješenja u ovom slučaju bit će sljedeći:

1. Određujemo raspon prihvatljivih vrijednosti za varijablu x.
2. Prenosimo izraz s desne strane nejednadžbe na lijevu, a rezultirajući izraz r(x) − s(x) predstavljen kao razlomak. U međuvremenu, gdje p(x) i q(x) bit će cjelobrojni izrazi koji su produkti linearnih binoma, nerazložljivih kvadratnih trinoma, kao i potencija s prirodnim eksponentom.
3. Nakon toga rješavamo rezultirajuću nejednakost metodom intervala.
4. Posljednji korak je izuzimanje bodova dobivenih tijekom rješenja iz raspona prihvatljivih vrijednosti za varijablu x koju smo definirali na početku.

Ovo je algoritam za rješavanje frakcijske racionalne nejednakosti. Većina njegova jasna, mala objašnjenja potrebna su samo za stavak 2. Pomaknuli smo izraz s desne strane na lijevu i dobili smo r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) , a zatim kako to dovesti u oblik p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Prvo utvrđujemo može li se određena transformacija uvijek izvesti. Teoretski, ova mogućnost uvijek postoji, budući da u racionalni razlomak može se pretvoriti u bilo koji racionalno izražavanje. Ovdje imamo razlomak s polinomima u brojniku i nazivniku. Prisjetite se temeljnog teorema algebre i Bezoutovog teorema i odredite da se svaki polinom n-tog stupnja koji sadrži jednu varijablu može transformirati u proizvod linearnih binoma. Stoga, u teoriji, izraz uvijek možemo transformirati na ovaj način.

U praksi je faktoriranje polinoma često prilično težak zadatak, pogotovo ako je stupanj veći od 4. Ako ne možemo izvesti proširenje, onda nećemo moći riješiti ovu nejednakost, ali se takvi problemi obično ne proučavaju u okviru školskog predmeta.

Zatim moramo odlučiti hoće li rezultirajuća nejednakost p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekvivalentno s obzirom na r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) i na izvorni. Postoji mogućnost da se pokaže nejednakim.

Ekvivalencija nejednakosti će se osigurati kada je raspon prihvatljivih vrijednosti p(x)q(x) odgovara rasponu izraza r(x) − s(x). Tada nije potrebno slijediti zadnji odlomak uputa za rješavanje frakcijski racionalnih nejednakosti.

Ali raspon za p(x)q(x) može biti širi od r(x) − s(x), na primjer, smanjenjem razlomaka. Primjer bi bio prelazak s x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 na x x - 1 x + 3 . Ili se to može dogoditi pri dodavanju sličnih pojmova, na primjer, ovdje:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 do 1 x + 3

Za takve slučajeve dodaje se zadnji korak algoritma. Njegovim izvršavanjem riješit ćete se stranih vrijednosti varijable koje nastaju zbog proširenja raspona valjanih vrijednosti. Uzmimo nekoliko primjera da bi bilo jasnije o čemu govorimo.

Primjer 6

Stanje: pronaći rješenja racionalne jednakosti x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Riješenje

Djelujemo prema gore navedenom algoritmu. Prvo određujemo raspon prihvatljivih vrijednosti. NA ovaj slučaj određen je sustavom nejednadžbi x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 čije je rješenje skup (− ∞ , − 1) ∪ ( − 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Nakon toga, moramo ga transformirati tako da je prikladno primijeniti metodu intervala. Prije svega, predstavljamo algebarski razlomci na najmanji zajednički nazivnik (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Sažimamo izraz u brojniku primjenom formule kvadrata zbroja:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Raspon valjanih vrijednosti rezultirajućeg izraza je (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Vidimo da je sličan onom koji je definiran za izvornu jednakost. Zaključujemo da je nejednakost x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 ekvivalentna izvornoj, što znači da nam nije potreban zadnji korak algoritma.

Koristimo metodu intervala:

Vidimo rješenje ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) , koje će biti rješenje izvorne racionalne nejednadžbe x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Odgovor: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Primjer 7

Stanje: izračunaj rješenje x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Riješenje

Određujemo područje dopuštenih vrijednosti. U slučaju ove nejednakosti, ona će biti jednaka svim realnim brojevima osim − 2 , − 1 , 0 i 1 .

Izraze pomičemo s desne strane na lijevu:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

S obzirom na rezultat, pišemo:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Za izraz - 1 x - 1, raspon valjanih vrijednosti bit će skup svih realni brojevi, osim jedinice. Vidimo da se raspon vrijednosti proširio: − 2 , − 1 i 0 . Dakle, moramo izvesti posljednji korak algoritma.

Pošto smo došli do nejednakosti - 1 x - 1 > 0 , možemo napisati njen ekvivalent 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Isključujemo točke koje nisu uključene u raspon prihvatljivih vrijednosti izvorne jednakosti. Moramo isključiti iz (− ∞ , 1) brojeve − 2 , − 1 i 0 . Dakle, rješenje racionalne nejednadžbe x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 bit će vrijednosti (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Odgovor: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

U zaključku dajemo još jedan primjer problema u kojem konačni odgovor ovisi o rasponu dopuštenih vrijednosti.

Primjer 8

Stanje: pronađite rješenje nejednadžbe 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Riješenje

Područje dopuštenih vrijednosti nejednakosti navedene u uvjetu određeno je sustavom x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

Ovaj sustav nema rješenja jer

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

To znači da izvorna jednakost 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 nema rješenja, jer ne postoje takve vrijednosti varijable za koje bi ima smisla.

Odgovor: nema rješenja.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u pravnom postupku, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

primjeri:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

Kod rješavanja frakcijskih racionalnih nejednadžbi koristi se metoda intervala. Stoga, ako vam algoritam u nastavku stvara poteškoće, pogledajte članak na .

Kako riješiti frakcijske racionalne nejednakosti:

Algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih nejednakosti.

primjeri:



Postavite znakove na intervale brojevne osi. Dopustite mi da vas podsjetim na pravila za postavljanje znakova:

Određujemo predznak u krajnjem desnom intervalu - uzimamo broj iz tog intervala i zamjenjujemo ga u nejednadžbi umjesto x. Nakon toga odredimo znakove u zagradama i rezultat množenja ovih znakova;

primjeri:




Istaknite prostore koje želite. Ako postoji poseban korijen, označite ga zastavicom kako ga ne biste zaboravili uključiti u odgovor (vidi primjer u nastavku).

primjeri:


Zapišite kao odgovor istaknute praznine i korijene označene zastavicom (ako ih ima).

primjeri:
Odgovor: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)