Fractals in priemgetallen. De fundamentele vraag van het werk

Fractals zijn al bijna een eeuw bekend, zijn goed bestudeerd en hebben talloze toepassingen in het leven. Dit fenomeen is gebaseerd op een heel eenvoudig idee: een oneindig aantal figuren in schoonheid en variëteit kan worden verkregen uit relatief eenvoudige structuren met slechts twee bewerkingen - kopiëren en schalen.

Dit begrip heeft geen strikte definitie. Daarom is het woord "fractal" geen wiskundige term. Dit wordt gewoonlijk een geometrische figuur genoemd die aan een of meer van de volgende eigenschappen voldoet:

heeft een complexe structuur bij elke vergroting;
is (ongeveer) op zichzelf gelijkend;
heeft een fractionele Hausdorff (fractal) dimensie, die groter is dan de topologische;
kan worden gebouwd door recursieve procedures.

Aan het begin van de 19e en 20e eeuw was de studie van fractals meer episodisch dan systematisch, omdat eerdere wiskundigen voornamelijk 'goede' objecten bestudeerden die met algemene methoden en theorieën konden worden bestudeerd. In 1872 bouwde de Duitse wiskundige Karl Weierstrass een voorbeeld van een continue functie die nergens differentieerbaar is. De constructie ervan was echter volledig abstract en moeilijk te begrijpen. Daarom bedacht de Zweed Helge von Koch in 1904 een continue curve die nergens een raaklijn heeft, en het is vrij eenvoudig om hem te tekenen. Het bleek dat het de eigenschappen van een fractal heeft. Een variant van deze curve wordt de Koch-sneeuwvlok genoemd.

De ideeën van zelfgelijkenis van figuren werden opgepikt door de Fransman Paul Pierre Levy, de toekomstige mentor van Benoit Mandelbrot. In 1938 verscheen zijn artikel "Vlakke en ruimtelijke krommen en oppervlakken bestaande uit delen die vergelijkbaar zijn met het geheel", waarin een andere fractal wordt beschreven - de Lévy C-curve. Alle bovenstaande fractals kunnen voorwaardelijk worden toegeschreven aan één klasse van constructieve (geometrische) fractals.

Een andere klasse zijn dynamische (algebraïsche) fractals, waaronder de Mandelbrot-verzameling. De eerste studies in deze richting dateren uit het begin van de 20e eeuw en worden geassocieerd met de namen van de Franse wiskundigen Gaston Julia en Pierre Fatou. In 1918 werden bijna tweehonderd pagina's van Julia's werk gepubliceerd, gewijd aan iteraties van complexe rationale functies, waarin Julia-sets worden beschreven - een hele familie van fractals die nauw verwant zijn aan de Mandelbrot-set. Dit werk werd bekroond met de prijs van de Franse Academie, maar bevatte geen enkele illustratie, dus het was onmogelijk om de schoonheid van de ontdekte objecten te waarderen. Ondanks het feit dat dit werk Julia beroemd maakte onder de wiskundigen van die tijd, werd het snel vergeten.

Pas een halve eeuw later, met de komst van computers, ging de aandacht naar het werk van Julia en Fatou: zij waren het die de rijkdom en schoonheid van de wereld van fractals zichtbaar maakten. Fatou zou immers nooit naar de afbeeldingen kunnen kijken die we nu kennen als afbeeldingen van de Mandelbrot-set, omdat het benodigde aantal berekeningen niet handmatig kan worden gedaan. De eerste persoon die hiervoor een computer gebruikte, was Benoit Mandelbrot.

In 1982 werd Mandelbrots boek "The Fractal Geometry of Nature" gepubliceerd, waarin de auteur bijna alle informatie over fractals die op dat moment beschikbaar was, verzamelde en systematiseerde en op een gemakkelijke en toegankelijke manier presenteerde. Mandelbrot legde de nadruk in zijn presentatie niet op logge formules en wiskundige constructies, maar op de geometrische intuïtie van lezers. Dankzij computer gegenereerde illustraties en historische verhalen, waarmee de auteur de wetenschappelijke component van de monografie vakkundig verwaterde, werd het boek een bestseller en werden de fractals bekend bij het grote publiek. Hun succes onder niet-wiskundigen is grotendeels te danken aan het feit dat met behulp van zeer eenvoudige constructies en formules die zelfs een middelbare scholier kan begrijpen, beelden van verbazingwekkende complexiteit en schoonheid worden verkregen. Toen personal computers krachtig genoeg werden, verscheen zelfs een hele trend in kunst - fractal schilderen, en bijna elke computerbezitter kon het. Nu kunt u op internet gemakkelijk veel sites vinden die aan dit onderwerp zijn gewijd.

Wat hebben een boom, een kust, een wolk of bloedvaten in onze hand met elkaar gemeen? Op het eerste gezicht lijkt het alsof al deze objecten niets met elkaar gemeen hebben. In feite is er echter één eigenschap van de structuur die inherent is aan alle objecten op de lijst: ze lijken op elkaar. Van de tak, maar ook van de stam van een boom, vertrekken kleinere processen, van hen - zelfs kleinere, enz., Dat wil zeggen, een tak is vergelijkbaar met de hele boom. De bloedsomloop is op een vergelijkbare manier gerangschikt: arteriolen vertrekken van de slagaders, en van hen - de kleinste haarvaten waardoor zuurstof organen en weefsels binnendringt. Laten we eens kijken naar satellietbeelden van de zeekust: we zullen baaien en schiereilanden zien; laten we er eens naar kijken, maar vanuit vogelperspectief: we zullen baaien en kapen zien; stel je nu voor dat we op het strand staan en naar onze voeten kijken: er zullen altijd kiezels zijn die verder in het water uitsteken dan de rest. Dat wil zeggen, de kustlijn blijft gelijk aan zichzelf wanneer ingezoomd. De Amerikaanse wiskundige Benoit Mandelbrot (hoewel opgegroeid in Frankrijk) noemde deze eigenschap van objecten fractaliteit, en dergelijke objecten zelf - fractals (van het Latijnse fractus - gebroken).

Dit begrip heeft geen strikte definitie. Daarom is het woord "fractal" geen wiskundige term. Gewoonlijk is een fractal een geometrische figuur die aan een of meer van de volgende eigenschappen voldoet: hij heeft een complexe structuur bij elke vergroting (in tegenstelling tot bijvoorbeeld een rechte lijn, waarvan een deel de eenvoudigste geometrische figuur is - een segment). Het is (ongeveer) zelf-gelijkend. Het heeft een fractionele Hausdorff (fractale) dimensie, die groter is dan de topologische. Kan worden gebouwd met recursieve procedures.

Meetkunde en Algebra

De studie van fractals aan het begin van de 19e en 20e eeuw was meer episodisch dan systematisch, omdat eerdere wiskundigen voornamelijk 'goede' objecten bestudeerden die met algemene methoden en theorieën konden worden bestudeerd. In 1872 bouwt de Duitse wiskundige Karl Weierstrass een voorbeeld van een continue functie die nergens differentieerbaar is. De constructie ervan was echter volledig abstract en moeilijk te begrijpen. Daarom bedacht de Zweed Helge von Koch in 1904 een continue curve die nergens een raaklijn heeft, en het is vrij eenvoudig om hem te tekenen. Het bleek dat het de eigenschappen van een fractal heeft. Een variant van deze curve wordt de Koch-sneeuwvlok genoemd.

De ideeën van zelfgelijkenis van figuren werden opgepikt door de Fransman Paul Pierre Levy, de toekomstige mentor van Benoit Mandelbrot. In 1938 werd zijn artikel "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like to the Whole" gepubliceerd, waarin een andere fractal wordt beschreven - de Lévy C-curve. Al deze hierboven genoemde fractals kunnen voorwaardelijk worden toegeschreven aan één klasse van constructieve (geometrische) fractals.

Een andere klasse zijn dynamische (algebraïsche) fractals, waaronder de Mandelbrot-verzameling. Het eerste onderzoek in deze richting begon aan het begin van de 20e eeuw en wordt geassocieerd met de namen van de Franse wiskundigen Gaston Julia en Pierre Fatou. In 1918 werden bijna tweehonderd pagina's van Julia's memoires gepubliceerd, gewijd aan iteraties van complexe rationale functies, waarin Julia-sets worden beschreven - een hele familie van fractals die nauw verwant zijn aan de Mandelbrot-set. Dit werk werd bekroond met de prijs van de Franse Academie, maar bevatte geen enkele illustratie, dus het was onmogelijk om de schoonheid van de ontdekte objecten te waarderen. Ondanks het feit dat dit werk Julia beroemd maakte onder de wiskundigen van die tijd, werd het snel vergeten. Pas een halve eeuw later, met de komst van computers, werd er opnieuw aandacht aan besteed: zij waren het die de rijkdom en schoonheid van de wereld van fractals zichtbaar maakten.

Fractale afmetingen

Zoals u weet, is de afmeting (aantal metingen) van een geometrische figuur het aantal coördinaten dat nodig is om de positie te bepalen van een punt dat op deze figuur ligt.
De positie van een punt op een kromme wordt bijvoorbeeld bepaald door één coördinaat, op een oppervlak (niet noodzakelijkerwijs een vlak) door twee coördinaten, in de driedimensionale ruimte door drie coördinaten.
Vanuit een meer algemeen wiskundig oogpunt kan dimensie als volgt worden gedefinieerd: een toename van lineaire dimensies, zeg twee keer, voor eendimensionale (topologisch oogpunt) objecten (segment) leidt tot een toename in grootte (lengte ) met een factor twee, voor tweedimensionaal (vierkant ) leidt dezelfde toename in lineaire afmetingen tot een toename van de grootte (oppervlakte) met 4 keer, voor driedimensionaal (kubus) - met 8 keer. Dat wil zeggen, de "echte" (zogenaamde Hausdorff) dimensie kan worden berekend als de verhouding van de logaritme van de toename van de "grootte" van een object tot de logaritme van de toename van de lineaire grootte. Dat wil zeggen, voor een segment D=log (2)/log (2)=1, voor een vlak D=log (4)/log (2)=2, voor een volume D=log (8)/log (2 )=3.
Laten we nu de afmeting van de Koch-curve berekenen, voor de constructie waarvan het eenheidssegment in drie gelijke delen wordt verdeeld en het middelste interval wordt vervangen door een gelijkzijdige driehoek zonder dit segment. Met een drievoudige toename van de lineaire afmetingen van het minimumsegment, neemt de lengte van de Koch-curve toe in log (4) / log (3) ~ 1,26. Dat wil zeggen, de afmeting van de Koch-curve is fractioneel!

Wetenschap en kunst

Schema voor het verkrijgen van de Koch-curve

Oorlog en vrede

Zoals hierboven vermeld, is een van de natuurlijke objecten met fractale eigenschappen de kustlijn. Een interessant verhaal is ermee verbonden, of beter gezegd, met een poging om de lengte ervan te meten, die de basis vormde van Mandelbrots wetenschappelijke artikel en ook wordt beschreven in zijn boek "The Fractal Geometry of Nature". We hebben het over een experiment dat is opgezet door Lewis Richardson, een zeer getalenteerde en excentrieke wiskundige, natuurkundige en meteoroloog. Een van de richtingen van zijn onderzoek was een poging om een wiskundige beschrijving te vinden van de oorzaken en waarschijnlijkheid van een gewapend conflict tussen twee landen. Een van de parameters waarmee hij rekening hield, was de lengte van de gemeenschappelijke grens tussen de twee strijdende landen. Toen hij gegevens verzamelde voor numerieke experimenten, ontdekte hij dat in verschillende bronnen de gegevens over de gemeenschappelijke grens van Spanje en Portugal sterk verschillen. Dit bracht hem tot de volgende ontdekking: de lengte van de landsgrenzen hangt af van de heerser waarmee we ze meten. Hoe kleiner de schaal, hoe langer de rand zal zijn. Dit komt doordat bij hogere vergroting rekening kan worden gehouden met steeds meer bochten van de kust, die voorheen werden genegeerd vanwege de ruwheid van de metingen. En als bij elke zoom voorheen onbekende bochten van lijnen worden geopend, dan blijkt dat de lengte van de randen oneindig is! Toegegeven, in feite gebeurt dit niet - de nauwkeurigheid van onze metingen heeft een eindige limiet. Deze paradox wordt het Richardson-effect genoemd.

Constructieve (geometrische) fractals

Het algoritme voor het construeren van een constructieve fractal in het algemene geval is als volgt. Allereerst hebben we twee geschikte geometrische vormen nodig, laten we ze de basis en het fragment noemen. In de eerste fase wordt de basis van de toekomstige fractal afgebeeld. Vervolgens worden sommige onderdelen vervangen door een fragment dat op een geschikte schaal is genomen - dit is de eerste iteratie van de constructie. Dan, in de resulterende figuur, veranderen sommige delen weer in figuren die lijken op een fragment, enz. Als je dit proces oneindig voortzet, krijg je in de limiet een fractal.

Beschouw dit proces aan de hand van het voorbeeld van de Koch-curve (zie kader op de vorige pagina). Elke curve kan als basis van de Koch-curve worden genomen (voor de Koch-sneeuwvlok is dit een driehoek). Maar we beperken ons tot het eenvoudigste geval - een segment. Het fragment is een onderbroken lijn die bovenaan de figuur wordt weergegeven. Na de eerste iteratie van het algoritme, in dit geval, valt het oorspronkelijke segment samen met het fragment, waarna elk van de samenstellende segmenten zelf wordt vervangen door een onderbroken lijn die lijkt op het fragment, enz. De afbeelding toont de eerste vier stappen van dit proces.

De taal van de wiskunde: dynamische (algebraïsche) fractals

Fractals van dit type ontstaan bij de studie van niet-lineaire dynamische systemen (vandaar de naam). Het gedrag van een dergelijk systeem kan worden beschreven door een complexe niet-lineaire functie (polynoom) f (z). Laten we een beginpunt z0 nemen op het complexe vlak (zie kader). Beschouw nu zo'n oneindige reeks getallen op het complexe vlak, die elk worden verkregen uit de vorige: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Afhankelijk van het beginpunt z0 kan zo'n rij zich anders gedragen: neigen naar oneindig als n -> ∞; convergeren naar een eindpunt; cyclisch een aantal vaste waarden aannemen; meer complexe opties zijn mogelijk.

Complexe getallen

Een complex getal is een getal dat uit twee delen bestaat - reëel en denkbeeldig, dat wil zeggen de formele som x + iy (x en y zijn hier reële getallen). ik is de zogenaamde. denkbeeldige eenheid, dat wil zeggen, een getal dat voldoet aan de vergelijking ik^ 2 = -1. Over complexe getallen worden de wiskundige basisbewerkingen gedefinieerd - optellen, vermenigvuldigen, delen, aftrekken (alleen de vergelijkingsbewerking is niet gedefinieerd). Om complexe getallen weer te geven, wordt vaak een geometrische weergave gebruikt - op het vlak (het wordt complex genoemd), wordt het reële deel uitgezet langs de as van de abscis en het denkbeeldige deel langs de ordinaat-as, terwijl het complexe getal overeenkomt met een punt met cartesiaanse coördinaten x en y.

Dus elk punt z van het complexe vlak heeft zijn eigen karakter van gedrag tijdens iteraties van de functie f (z), en het hele vlak is verdeeld in delen. Bovendien hebben de punten die op de grenzen van deze delen liggen de volgende eigenschap: bij een willekeurig kleine verplaatsing verandert de aard van hun gedrag drastisch (dergelijke punten worden bifurcatiepunten genoemd). Het blijkt dus dat sets van punten die een bepaald type gedrag vertonen, evenals sets van bifurcatiepunten, vaak fractale eigenschappen hebben. Dit zijn de Juliaverzamelingen voor de functie f(z).

drakenfamilie

Door de basis en het fragment te variëren, kun je een verbluffende verscheidenheid aan constructieve fractals krijgen.
Bovendien kunnen soortgelijke bewerkingen worden uitgevoerd in de driedimensionale ruimte. Voorbeelden van volumetrische fractals zijn "Menger's sponge", "Sierpinski's pyramid" en andere.
De familie van draken wordt ook wel constructieve fractals genoemd. Ze worden soms aangeduid met de naam van de ontdekkers als de "draken van Heiwei-Harter" (ze lijken op Chinese draken in hun vorm). Er zijn verschillende manieren om deze curve te construeren. De eenvoudigste en meest voor de hand liggende is deze: je moet een voldoende lange strook papier nemen (hoe dunner het papier, hoe beter) en deze doormidden buigen. Buig het dan opnieuw in de helft in dezelfde richting als de eerste keer. Na verschillende herhalingen (meestal na vijf of zes vouwen wordt de strook te dik om voorzichtig verder te buigen), moet u de strook weer rechttrekken en proberen hoeken van 90˚ op de vouwen te maken. Dan zal de ronding van de draak in profiel uitkomen. Natuurlijk zal dit slechts een benadering zijn, zoals al onze pogingen om fractale objecten weer te geven. Met de computer kun je nog veel meer stappen in dit proces weergeven en het resultaat is een heel mooi figuur.

De Mandelbrot-set is iets anders opgebouwd. Beschouw de functie fc (z) = z 2 +c, waarbij c een complex getal is. Laten we een rij van deze functie construeren met z0=0, afhankelijk van de parameter c kan deze naar oneindig divergeren of begrensd blijven. Bovendien vormen alle waarden van c waarvoor deze rij is begrensd de Mandelbrot-verzameling. Het werd in detail bestudeerd door Mandelbrot zelf en andere wiskundigen, die veel interessante eigenschappen van deze set ontdekten.

Het is te zien dat de definities van de Julia- en Mandelbrot-verzamelingen op elkaar lijken. In feite zijn deze twee sets nauw verwant. De Mandelbrot-set bestaat namelijk uit alle waarden van de complexe parameter c waarvoor de Julia-set fc (z) is verbonden (een set wordt verbonden genoemd als deze niet in twee niet-kruisende delen kan worden verdeeld, met enkele aanvullende voorwaarden).

fractals en leven

Tegenwoordig wordt de theorie van fractals veel gebruikt in verschillende gebieden van menselijke activiteit. Naast een puur wetenschappelijk object voor onderzoek en het al genoemde fractal-schilderij, worden fractals in de informatietheorie gebruikt om grafische gegevens te comprimeren (hier wordt vooral de zelf-gelijkeniseigenschap van fractals gebruikt - immers om een klein fragment te onthouden van een tekening en transformaties waarmee je de rest van de onderdelen kunt krijgen, kost het veel minder geheugen dan om het hele bestand op te slaan). Door willekeurige verstoringen toe te voegen aan de formules die de fractal definiëren, kan men stochastische fractals verkrijgen die zeer aannemelijk enkele echte objecten weergeven - reliëfelementen, het oppervlak van waterlichamen, sommige planten, die met succes worden gebruikt in de natuurkunde, aardrijkskunde en computergraphics om te bereiken grotere gelijkenis van gesimuleerde objecten met echte. In de radio-elektronica begonnen ze in het laatste decennium antennes te produceren met een fractale vorm. Ze nemen weinig ruimte in beslag en bieden een vrij hoogwaardige signaalontvangst. Economen gebruiken fractals om valutaschommelingen te beschrijven (deze eigenschap werd meer dan 30 jaar geleden ontdekt door Mandelbrot). Dit besluit deze korte excursie naar de wereld van fractals, verbazingwekkend in zijn schoonheid en diversiteit.

Als ik niet alles begrijp in wat ik lees, ben ik niet bijzonder van streek. Als het onderwerp later niet bij me opkomt, dan is het niet erg belangrijk (althans voor mij). Als het onderwerp voor de derde keer weer samenkomt, heb ik nieuwe kansen om het beter te begrijpen. Fractals behoren tot dergelijke onderwerpen. Ik leerde er eerst over uit een boek van Nassim Taleb, en daarna meer in detail uit een boek van Benoit Mandelbrot. Vandaag kunt u op het verzoek "fractal" op de site 20 notities krijgen.

Deel I. EEN REIS NAAR DE OORSPRONG

NAAM IS WETEN. Al in het begin van de 20e eeuw merkte Henri Poincaré op: “Je staat versteld van de kracht die één woord kan hebben. Hier is een voorwerp waarover niets gezegd kon worden totdat het werd gedoopt. Het was genoeg om hem een naam te geven om een wonder te laten gebeuren ”(zie ook). En zo gebeurde het toen, in 1975, de Franse wiskundige van Poolse afkomst, Benoit Mandelbrot, het Woord verzamelde. Van Latijnse woorden franère(pauze) en fractus(discontinu, discreet, fractioneel) een fractal is gevormd. Mandelbrot promootte en propageerde de fractal vakkundig als een merk gebaseerd op emotionele aantrekkingskracht en rationeel nut. Hij publiceert verschillende monografieën, waaronder The Fractal Geometry of Nature (1982).

FRACTALS IN NATUUR EN KUNST. Mandelbrot schetste de contouren van een andere fractale geometrie dan Euclidische. Het verschil was niet van toepassing op het axioma van parallellisme, zoals in de geometrieën van Lobachevsky of Riemann. Het verschil was de afwijzing van Euclides standaardvereiste voor gladheid. Sommige objecten zijn inherent ruw, poreus of gefragmenteerd, en veel van hen hebben deze eigenschappen "in dezelfde mate op elke schaal". In de natuur is er geen gebrek aan dergelijke vormen: zonnebloemen en broccoli, zeeschelpen, varens, sneeuwvlokken, bergspleten, kustlijnen, fjorden, stalagmieten en stalactieten, bliksem.

Mensen die oplettend en oplettend zijn, hebben lang gemerkt dat sommige vormen een repetitieve structuur vertonen wanneer ze 'van dichtbij of van veraf' worden bekeken. Als we dergelijke objecten naderen, merken we dat slechts kleine details veranderen, maar de vorm als geheel blijft vrijwel ongewijzigd. Op basis hiervan is de fractal het gemakkelijkst te definiëren als een geometrische vorm die herhalende elementen op elke schaal bevat.

MYTHEN EN MYSTIFICATIES. De nieuwe laag vormen die Mandelbrot ontdekte, werd een goudmijn voor ontwerpers, architecten en ingenieurs. Een ontelbaar aantal fractals is gebouwd volgens dezelfde principes van meervoudige herhaling. Vanaf hier is de fractal het gemakkelijkst te definiëren als een geometrische vorm die herhalende elementen op elke schaal bevat. Deze geometrische vorm is lokaal onveranderlijk (invariant), op zichzelf gelijkend op een schaal en integraal in zijn beperkingen, een echte singulariteit waarvan de complexiteit onthuld wordt naarmate ze dichterbij komt, en de trivialiteit zelf op een afstand.

DE LADDER VAN DE DUIVEL. Extreem sterke elektrische signalen worden gebruikt om gegevens tussen computers over te dragen. Een dergelijk signaal is discreet. Interferentie of ruis treedt om verschillende redenen willekeurig op in elektrische netwerken en leidt tot gegevensverlies wanneer informatie tussen computers wordt verzonden. Het elimineren van de invloed van ruis op datatransmissie werd begin jaren zestig van de vorige eeuw toevertrouwd aan een groep IBM-ingenieurs, waaraan Mandelbrot deelnam.

Een ruwe analyse toonde de aanwezigheid van perioden waarin geen fouten werden geregistreerd. Nadat ze perioden van een uur hadden uitgekozen, merkten de ingenieurs dat de perioden van signaalpassage zonder fouten daartussen ook intermitterend zijn; er zijn kortere pauzes van ongeveer twintig minuten. Zo wordt datatransmissie zonder fouten gekenmerkt door datapakketten van verschillende lengtes en pauzes in ruis, waarbij het signaal foutloos wordt verzonden. In pakketten van een hogere rang worden als het ware pakketten van een lagere rang ingebouwd. Een dergelijke beschrijving impliceert het bestaan van zoiets als de relatieve positie van pakketten met een lagere rangorde in een pakket met een hogere rangorde. De ervaring heeft geleerd dat de kansverdeling van deze relatieve locaties van pakketten onafhankelijk is van hun rangorde. Deze onveranderlijkheid geeft de zelfgelijkenis aan van het proces van gegevensvervorming onder invloed van elektrische ruis. De procedure om foutloze pauzes in het signaal tijdens de datatransmissie te doorbreken, kon elektrotechnici niet bedenken, omdat dit nieuw voor hen was.

Maar Mandelbrot, die zuivere wiskunde studeerde, was zich goed bewust van de Cantor-verzameling, die in 1883 werd beschreven en stof weergeeft van punten die zijn verkregen volgens een strikt algoritme. De essentie van het algoritme voor het construeren van "Cantor's dust" is als volgt. Neem een rechte lijn. Verwijder het middelste derde deel van het segment en bewaar de twee uiteinden. Nu herhalen we dezelfde bewerking met de eindsegmenten enzovoort. Mandelbrot ontdekte dat dit precies de geometrie is van pakketten en pauzes in de overdracht van signalen tussen computers. De fout is cumulatief. De accumulatie ervan kan als volgt worden gemodelleerd. Bij de eerste stap kennen we de waarde 1/2 toe aan alle punten uit het interval, bij de tweede stap vanaf het interval de waarde 1/4, de waarde 3/4 aan de punten uit het interval, enz. Stapsgewijze optelling van deze grootheden maakt het mogelijk om de zogenaamde "duivelsladder" te construeren (Fig. 1). De maat van "Cantor's stof" is een irrationeel getal gelijk aan 0,618 ..., bekend als de "gulden snede" of "Goddelijke proportie".

Deel II. FRACTALS ZIJN DE ZAAK

GLIMLACH ZONDER KAT: FRACTAL DIMENSIE. Dimensie is een van de fundamentele concepten die veel verder gaat dan wiskunde. Euclides definieerde in het eerste boek van de "Beginnings" de basisconcepten van meetkunde punt, lijn, vlak. Op basis van deze definities bleef het concept van driedimensionale Euclidische ruimte bijna twee en een half duizend jaar onveranderd. Talloze flirten met ruimtes van vier, vijf en meer dimensies voegen in wezen niets toe, maar ze worden geconfronteerd met wat de menselijke verbeelding zich niet kan voorstellen. Met de ontdekking van fractale geometrie vond er een radicale revolutie plaats in het begrip dimensie. Er verscheen een grote verscheidenheid aan dimensies, en onder hen zijn niet alleen gehele getallen, maar ook fractionele en zelfs irrationele. En deze afmetingen zijn beschikbaar voor visuele en sensuele weergave. In feite kunnen we kaas met gaten gemakkelijk voorstellen als een model van een medium waarvan de afmeting groter is dan twee, maar niet drie omdat kaasgaten de afmeting van de kaasmassa verlagen.

Om fractionele of fractale dimensies te begrijpen, gaan we naar de paradox van Richardson, die beweerde dat de lengte van de ruige kustlijn van Groot-Brittannië oneindig is! Louis Fry Richardson vroeg zich af wat het effect is van de meetschaal op de grootte van de gemeten lengte van de Britse kustlijn. Toen hij van de schaal van contourkaarten naar de schaal van "kuststeentjes" ging, kwam hij tot een vreemde en onverwachte conclusie: de lengte van de kustlijn neemt oneindig toe, en deze toename kent geen limiet. Gladde gebogen lijnen gedragen zich niet zo. De empirische gegevens van Richardson, verkregen op kaarten van steeds grotere schaal, getuigden van een machtswettoename in de lengte van de kustlijn met een afname van de meetstap:

In deze eenvoudige Richardson-formule: L is de gemeten lengte van de kust, ε is de waarde van de meetstap, en β ≈ 3/2 is de door hem gevonden mate van groei van de kustlengte bij afname van de meetstap. In tegenstelling tot de omtrek neemt de lengte van de kustlijn van het VK toe zonder een limiet van 55 te hebben. Ze is eindeloos! Men moet in het reine komen met het feit dat de rondingen gebroken zijn, niet glad, geen beperkende lengte hebben.

De studies van Richardson suggereerden echter dat ze een karakteristieke maat hebben voor de mate van groei in lengte met afnemende meetschaal. Het bleek dat het deze waarde is die op mystieke wijze een onderbroken lijn identificeert als een vingerafdruk van iemands persoonlijkheid. Mandelbrot interpreteerde de kustlijn als een fractaal object - een object waarvan de afmeting samenvalt met de exponent β.

De afmetingen van de kustgrenskrommen voor de westkust van Noorwegen zijn bijvoorbeeld 1,52; voor het VK - 1,25; voor Duitsland - 1,15; voor Australië - 1,13; voor een relatief gladde kust van Zuid-Afrika - 1.02 en, ten slotte, voor een perfect gladde cirkel - 1.0.

Als je naar een fragment van een fractal kijkt, kun je niet zeggen wat de afmeting is. En de reden ligt niet in de geometrische complexiteit van het fragment, het fragment kan heel eenvoudig zijn, maar in het feit dat de fractale dimensie niet alleen de vorm van het fragment weerspiegelt, maar ook het formaat van de fragmenttransformatie tijdens het construeren de fractaal. De fractale dimensie wordt als het ware uit de vorm verwijderd. En dankzij dit blijft de waarde van de fractal-dimensie onveranderlijk; het is hetzelfde voor elk fragment van de fractal op elke kijkschaal. Het is niet "met de vingers vast te pakken", maar het kan worden berekend.

FRACTAL HERHALEN. Herhaling kan worden gemodelleerd met niet-lineaire vergelijkingen. Lineaire vergelijkingen worden gekenmerkt door een één-op-één overeenkomst van variabelen: elke waarde X komt overeen met één en slechts één waarde Bij en vice versa. De vergelijking x + y = 1 is bijvoorbeeld lineair. Het gedrag van lineaire functies wordt volledig bepaald, uniek bepaald door de beginvoorwaarden. Het gedrag van niet-lineaire functies is niet zo eenduidig, omdat twee verschillende beginvoorwaarden tot hetzelfde resultaat kunnen leiden. Op basis hiervan verschijnt de iteratie van de herhaling van de bewerking in twee verschillende formaten. Het kan het karakter hebben van een lineaire referentie, wanneer bij elke stap van de berekeningen wordt teruggekeerd naar de begintoestand. Dit is een soort "patroon-iteratie". Serieproductie op de lopende band is "patrooniteratie". Iteratie in het formaat van lineaire referentie is niet afhankelijk van de tussenliggende toestanden van de evolutie van het systeem. Hier begint elke nieuwe iteratie "van de kachel". Het is iets heel anders als de iteratie een recursieformaat heeft, d.w.z. het resultaat van de vorige iteratiestap wordt de beginvoorwaarde voor de volgende.

De recursie kan worden geïllustreerd met een Fibonacci-reeks, weergegeven in de vorm van een Girard-reeks:

u n +2 = u n +1 + u n

Het resultaat zijn de Fibonacci-getallen:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

In dit voorbeeld is het vrij duidelijk dat de functie op zichzelf wordt toegepast zonder te verwijzen naar de beginwaarde. Het glijdt als het ware langs de Fibonacci-reeks en elk resultaat van de vorige iteratie wordt de startwaarde voor de volgende. Het is deze herhaling die wordt gerealiseerd in de constructie van fractale vormen.

Laten we laten zien hoe de fractale herhaling wordt geïmplementeerd in de algoritmen voor het construeren van het "Sierpinski-servet" (met behulp van de snijmethode en de CIF-methode).

snij methode. Neem een gelijkzijdige driehoek met een zijde r. Bij de eerste stap sneden we er in het midden een gelijkzijdige driehoek uit die ondersteboven was gedraaid met een zijlengte r 1 = r 0/2. Als resultaat van deze stap krijgen we drie gelijkzijdige driehoeken met zijlengtes r 1 = r 0 /2 op de hoekpunten van de oorspronkelijke driehoek (Fig. 2).

Bij de tweede stap, in elk van de drie gevormde driehoeken, snijden we omgekeerde ingeschreven driehoeken uit met een zijlengte r 2 = r 1 /2 = r 0 /4. Resultaat - 9 driehoeken met zijdelengte r 2 = r 0 /4. Als gevolg hiervan wordt de vorm van het "Sierpinski-servet" geleidelijk meer en meer gedefinieerd. Bij elke stap vindt fixatie plaats. Alle eerdere fixaties zijn een soort van "gewist".

Methode SIF, of Barnsley's methode van systemen van herhaalde functies. Gegeven: een gelijkzijdige driehoek met de coördinaten van de hoeken A (0.0), B (1.0), C (1/2, √3/2). Z 0 is een willekeurig punt binnen deze driehoek (Fig. 3). We nemen een dobbelsteen, met aan de zijkanten twee letters A, B en C.

Stap 1. Gooi het bot. De kans om elke letter te krijgen is 2/6 = 1/3.

Als de letter A uitvalt, bouwen we een segment z 0 -A, in het midden plaatsen we een punt z 1
Als de letter B uitvalt, bouwen we een segment z 0 -B, in het midden plaatsen we een punt z 1
Als de letter C uitvalt, bouwen we een segment z 0 -C, in het midden plaatsen we een punt z 1

Stap 2. Gooi het bot opnieuw.

Als de letter A uitvalt, bouwen we een segment z 1 -A, in het midden plaatsen we een punt z 2
Als de letter B uitvalt, bouwen we een segment z 1 -B, in het midden plaatsen we een punt z 2
Als de letter C uitvalt, bouwen we een segment z 1 -C, in het midden plaatsen we een punt z 2

Als we de bewerking vele malen herhalen, krijgen we de punten z 3 , z 4 , …, z n . De eigenaardigheid van elk van hen is dat het punt precies halverwege is van het vorige naar een willekeurig gekozen hoekpunt. Als we nu de beginpunten weggooien, bijvoorbeeld van z 0 tot z 100 , dan vormt de rest, met een voldoende groot aantal, de structuur "Sierpinski-servet". Hoe meer punten, hoe meer herhalingen, hoe duidelijker de Sierpinski-fractal voor de waarnemer verschijnt. En dit ondanks het feit dat het proces, zo lijkt het, op een willekeurige manier verloopt (dankzij de dobbelstenen). Het "Sierpinski-servet" is een soort aantrekker van het proces, dat wil zeggen de figuur waarnaar alle trajecten die in dit proces zijn gebouwd met een voldoende groot aantal iteraties neigen. Het corrigeren van de afbeelding is in dit geval een cumulatief, accumulatief proces. Elk afzonderlijk punt zal misschien nooit samenvallen met het punt van de Sierpinski-fractal, maar elk volgend punt van dit proces dat "toevallig" is georganiseerd, wordt steeds dichter naar de punten van het "Sierpinski-servet" getrokken.

TERUGKOPPELING. De oprichter van cybernetica, Norbert Wiener, noemde de stuurman op een boot als voorbeeld om de feedbacklus te beschrijven. De stuurman moet op koers blijven en beoordeelt voortdurend hoe goed de boot zich aan de koers houdt. Als de stuurman ziet dat de boot afwijkt, draait hij het roer om om hem weer op een bepaalde koers te zetten. Na een tijdje evalueert en corrigeert hij opnieuw de bewegingsrichting met behulp van het stuur. De navigatie wordt dus uitgevoerd met behulp van iteraties, herhalingen en opeenvolgende benaderingen van de beweging van de boot naar een bepaalde koers.

Een typisch feedbacklusdiagram wordt getoond in Fig. 4 Het komt neer op het wijzigen van de variabele parameters (de richting van de boot) en de gecontroleerde parameter C (de koers van de boot).

Beschouw de mapping "Bernoulli shift". Laat als begintoestand een getal kiezen dat hoort bij het interval van 0 tot 1. Laten we dit getal in het binaire getalsysteem schrijven:

x 0 \u003d 0.01011010001010011001010 ...

Een stap in de evolutie in de tijd is dat de reeks nullen en enen één positie naar links wordt verschoven, en het cijfer dat toevallig aan de linkerkant van de komma stond, wordt weggegooid:

x 1 \u003d 0.1011010001010011001010 ...

x 2 \u003d 0.011010001010011001010 ...

x 3 \u003d 0.11010001010011001010 ...

Merk op dat als de originele nummers x 0 rationeel, dan in het iteratieproces de waarden Xn in een periodieke baan gaan. Voor het eerste nummer 11/24 krijgen we tijdens het iteratieproces bijvoorbeeld een reeks waarden:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Als de oorspronkelijke waarden x0 irrationeel zijn, zal de mapping nooit de periodieke modus bereiken. Het interval van beginwaarden x 0 ∈ bevat oneindig veel rationale punten en oneindig veel irrationele punten. De dichtheid van periodieke banen is dus gelijk aan de dichtheid van banen die het periodieke regime nooit bereiken. In elke buurt van rationele waarde x0 er is een irrationele waarde van de initiële parameter x' 0 In deze stand van zaken ontstaat onvermijdelijk een subtiele gevoeligheid voor beginvoorwaarden. Dit is een kenmerkend teken dat het systeem zich in een staat van dynamische chaos bevindt.

ELEMENTAIRE FEEDBACK-LUS. Het omgekeerde is een noodzakelijke voorwaarde en een gevolg van elke zijwaartse blik die zichzelf overrompelt. Het icoon van de keerlus kan de Möbius-strook zijn, waarbij de onderkant bij elke cirkel overgaat in de bovenste, de binnenste buiten wordt en omgekeerd. De opeenstapeling van verschillen tijdens het omgekeerde proces leidt het beeld eerst weg van het origineel en keert er vervolgens weer naar terug. In de logica wordt de omkeerlus geïllustreerd door de paradox van Epimenides: 'alle Kretenzers zijn leugenaars'. Maar Epimenides zelf is een Kretenzer.

VREEMDE LUS. De dynamische essentie van het fenomeen van een vreemde lus is dat het beeld, dat wordt getransformeerd en steeds meer verschilt van het oorspronkelijke, terugkeert naar het oorspronkelijke beeld in het proces van talrijke vervormingen, maar het nooit precies herhaalt. Hofstadter beschrijft dit fenomeen en introduceert de term 'vreemde lus' in het boek. Hij concludeert dat zowel Escher, Bach als Gödel vreemde loops hebben ontdekt of, beter gezegd, gebruikten in hun werk, en creativiteit in respectievelijk de beeldende kunst, muziek en wiskunde. Escher ontdekte in Metamorfosen de vreemde samenhang van de verschillende gebieden van de werkelijkheid. De vormen van een van de artistieke perspectieven worden plastisch getransformeerd in de vormen van een ander artistiek perspectief (afb. 5).

Rijst. 5. Maurits Escher. Handen tekenen. 1948

Die vreemdheid manifesteerde zich op een bizarre manier in de muziek. Een van de canons van Bachs Musical Offering ( Canon per Tonos- Tonale canon) is zo opgebouwd dat het schijnbare einde onverwacht soepel overgaat in het begin, maar met een toonverschuiving. Deze opeenvolgende modulaties brengen de luisteraar steeds hoger vanaf de oorspronkelijke toonhoogte. Maar wonder boven wonder zijn we na zes modulaties bijna terug. Alle stemmen klinken nu precies een octaaf hoger dan aan het begin. Het enige vreemde is dat als we door de niveaus van een bepaalde hiërarchie stijgen, we ons plotseling op bijna dezelfde plaats bevinden waar we onze reis begonnen - keer terug zonder herhaling.

Kurt Gödel ontdekte vreemde lussen in een van de oudste en meest beheerste gebieden van de wiskunde - in de getaltheorie. De stelling van Gödel zag voor het eerst het licht als stelling VI in zijn artikel uit 1931 "Over formeel onbeslisbare proposities" in Principle Mathematica. De stelling stelt het volgende: alle consistente axiomatische formuleringen van de getaltheorie bevatten onbeslisbare proposities. De oordelen van de getaltheorie zeggen niets over de oordelen van de getaltheorie; ze zijn niets meer dan oordelen van de getaltheorie. Er is hier een lus, maar geen gekheid. In het bewijs zit een vreemde lus verborgen.

VREEMDE AANTREKKER. Aantrekker (uit het Engels. aantrekken aantrekken) een punt of een gesloten lijn die alle mogelijke banen van het systeemgedrag naar zich toe trekt. De attractor is stabiel, dat wil zeggen, op de lange termijn is het enige mogelijke gedrag de attractor, al het andere is tijdelijk. Een attractor is een ruimtelijk-temporeel object dat het hele proces bestrijkt en niet de oorzaak of het gevolg is. Het wordt alleen gevormd door systemen met een beperkt aantal vrijheidsgraden. Attractoren kunnen een punt, een cirkel, een torus en een fractal zijn. In het laatste geval wordt de attractor "vreemd" genoemd (Fig. 6).

Een puntattractor beschrijft elke stabiele toestand van het systeem. In de faseruimte is het een punt waaromheen lokale banen van een "knooppunt", "focus" of "zadel" worden gevormd. Dit is hoe de slinger zich gedraagt: bij elke beginsnelheid en elke beginpositie, na voldoende tijd, onder invloed van wrijving, stopt de slinger en komt in een toestand van stabiel evenwicht. Een circulaire (cyclische) attractor is een beweging heen en weer, zoals een ideale slinger (zonder wrijving), in een cirkel.

Vreemde aantrekkers ( vreemde aantrekkers) lijkt alleen van de buitenkant vreemd, maar de term "vreemde aantrekker" verspreidde zich onmiddellijk na het verschijnen in 1971 van het artikel "The Nature of Turbulence" van David Ruel en de Nederlander Floris Takens (zie ook). Ruelle en Takens vroegen zich af of een attractor de juiste eigenschappen heeft: stabiliteit, een beperkt aantal vrijheidsgraden en niet-periodiciteit. Geometrisch gezien leek de vraag een pure puzzel. Welke vorm moet een oneindig uitgestrekt traject, getekend in een beperkte ruimte, hebben om zichzelf nooit te herhalen of te doorsnijden? Om elk ritme te reproduceren, moet de baan een oneindig lange lijn zijn in een beperkt gebied, met andere woorden, zichzelf inslikkend (Fig. 7).

In 1971 was er al een schets van zo'n attractor in de wetenschappelijke literatuur. Eduard Lorentz maakte er een bijlage van zijn paper uit 1963 over deterministische chaos. Deze attractor was stabiel, niet-periodiek, had een klein aantal vrijheidsgraden en kruiste zichzelf nooit. Als dit gebeurde en hij terugkeerde naar een punt dat hij al was gepasseerd, zou de beweging in de toekomst worden herhaald en een toroidale attractor vormen, maar dit gebeurde niet.

De vreemdheid van de attractor ligt volgens Ruel in drie niet-equivalente, maar in de praktijk tekens die samen bestaan:

fractaliteit (nesting, gelijkenis, consistentie);
determinisme (afhankelijkheid van beginvoorwaarden);
singulariteiten (een eindig aantal definiërende parameters).

Deel III. IMAGINARY LICHTHEID VAN FRACTAL VORMEN

IMAGINARY NUMMERS, FASE PORTRETTEN EN KANS. Fractale meetkunde is gebaseerd op de theorie van imaginaire getallen, dynamische faseportretten en kansrekening. De theorie van denkbeeldige getallen gaat ervan uit dat er een vierkantswortel is van min één. Gerolamo Cardano presenteerde in zijn werk "The Great Art" ("Ars Magna", 1545) de algemene oplossing van de derdegraadsvergelijking z 3 + pz + q = 0. Cardano gebruikt denkbeeldige getallen als middel van technisch formalisme om de wortels van de vergelijking. Hij merkt een vreemdheid op, die hij illustreert met een eenvoudige vergelijking x 3 = 15x + 4. Deze vergelijking heeft één voor de hand liggende oplossing: x = 4. De generaliserende formule geeft echter een vreemd resultaat. Het bevat de wortel van een negatief getal:

Rafael Bombelli wees er in zijn boek over algebra ("L'Algebra", 1560) op dat = 2 ± i, en dit stelde hem onmiddellijk in staat een reële wortel x = 4 te verkrijgen. In dergelijke gevallen, wanneer complexe getallen geconjugeerd zijn, een echte wortel wordt verkregen en complexe getallen dienen als technisch hulpmiddel bij het verkrijgen van een oplossing voor een derdegraadsvergelijking.

Newton was van mening dat oplossingen met een wortel van min één als "zonder fysieke betekenis" moeten worden beschouwd en moeten worden weggegooid. In de XVII-XVIII eeuw ontstond het besef dat iets denkbeeldig, spiritueels, denkbeeldigs niet minder echt is dan alles wat echt is bij elkaar. We kunnen zelfs de exacte datum geven van 10 november 1619, toen Descartes het manifest van het nieuwe denken "cogito ergo sum" formuleerde. Vanaf dit moment is het denken een absolute en onbetwistbare realiteit: "als ik denk, dan betekent het dat ik besta"! Meer precies wordt het denken nu als werkelijkheid gezien. Descartes' idee van een orthogonaal coördinatensysteem, dankzij denkbeeldige getallen, vindt zijn voltooiing. Nu is het mogelijk om deze denkbeeldige getallen te vullen met betekenissen.

In de 19e eeuw ontwikkelden de werken van Euler, Argan, Cauchy, Hamilton een rekenapparaat voor het werken met complexe getallen. Elk complex getal kan worden weergegeven als de som van X + iY, waarbij X en Y voor ons bekende reële getallen zijn, en i denkbeeldige eenheid (in wezen is het √-1). Elk complex getal komt overeen met een punt met coördinaten (X, Y) op het zogenaamde complexe vlak.

Het tweede belangrijke concept, het faseportret van een dynamisch systeem, ontstond in de 20e eeuw. Nadat Einstein aantoonde dat alles met dezelfde snelheid beweegt ten opzichte van licht, ontstond het idee om het dynamische gedrag van een systeem uit te kunnen drukken in de vorm van bevroren geometrische lijnen, het zogenaamde faseportret van een dynamisch systeem. een duidelijke fysieke betekenis.

Laten we het illustreren aan het voorbeeld van een slinger. De eerste experimenten met een slinger die Jean Foucault in 1851 uitvoerde in de kelder, daarna in het Observatorium van Parijs en vervolgens onder de koepel van het Pantheon. Ten slotte werd in 1855 de slinger van Foucault opgehangen onder de koepel van de Saint-Martin-des-Champs-kerk in Parijs. De lengte van het touw van de Foucault-slinger is 67 m, het gewicht van de kettlebell is 28 kg. Van grote afstand lijkt de slinger op een punt. Het punt is altijd stationair. Als we naderen, onderscheiden we een systeem met drie typische trajecten: een harmonische oscillator (sinϕ ≈ ϕ), een slinger (oscillaties heen en weer), een propeller (rotatie).

Waar een lokale waarnemer een van de drie mogelijke configuraties van de beweging van de bal ziet, kan een analist die losstaat van het proces aannemen dat de bal een van de drie typische bewegingen maakt. Dit kan op één vlak worden weergegeven. Het is noodzakelijk om af te spreken dat we de "bal aan een draad" naar een abstracte faseruimte zullen verplaatsen die net zoveel coördinaten heeft als het aantal vrijheidsgraden dat het systeem in kwestie heeft. In dit geval hebben we het over twee vrijheidsgraden snelheid v en de hellingshoek van de draad met de bal naar de verticaal ϕ. In de coördinaten ϕ en v is het traject van de harmonische oscillator een systeem van concentrische cirkels; naarmate de hoek ϕ groter wordt, worden deze cirkels ovaal, en wanneer ϕ = ± π de sluiting van het ovaal gaat verloren. Dit betekent dat de slinger is overgeschakeld naar de propellermodus: v = const(Afb. 8).

Rijst. 8. Slinger: a) traject in de faseruimte van een ideale slinger; b) de baan in de faseruimte van een slingerende slinger met demping; c) fase portret

Er mogen geen lengtes, duur of bewegingen in de faseruimte zijn. Hier is elke actie vooraf gegeven, maar niet elke actie is echt. Van geometrie blijft alleen topologie over, in plaats van metingen, parameters, in plaats van dimensies, dimensies. Hier heeft elk dynamisch systeem zijn eigen unieke afdruk van het faseportret. En onder hen zijn er nogal vreemde faseportretten: omdat ze complex zijn, worden ze bepaald door een enkele parameter; omdat ze evenredig zijn, zijn ze onevenredig; omdat ze continu zijn, zijn ze discreet. Dergelijke vreemde faseportretten zijn kenmerkend voor systemen met een fractale configuratie van attractoren. De discretie van de aantrekkingscentra (attractors) creëert het effect van een kwantum van actie, het effect van een opening of een sprong, terwijl de banen continu blijven en een enkele gebonden vorm van een vreemde attractor produceren.

CLASSIFICATIE VAN FRACTALS. De fractal heeft drie hypostasen: formeel, operationeel en symbolisch, die loodrecht op elkaar staan. En dit betekent dat dezelfde vorm van een fractal kan worden verkregen met verschillende algoritmen, en hetzelfde aantal fractal-dimensies kan voorkomen in totaal verschillende fractals. Rekening houdend met deze opmerkingen, classificeren we fractals volgens symbolische, formele en operationele kenmerken:

symbolisch kan de dimensiekarakteristiek van een fractal geheel of gedeeltelijk zijn;
op formele basis kunnen fractals verbonden zijn, zoals een blad of een wolk, en losgekoppeld, zoals stof;
Op operationele basis kunnen fractals worden onderverdeeld in regulier en stochastisch.

Reguliere fractals worden gebouwd volgens een strikt gedefinieerd algoritme. Het bouwproces is omkeerbaar. U kunt alle bewerkingen in omgekeerde volgorde herhalen en elke afbeelding die is gemaakt tijdens het proces van het deterministische algoritme, punt voor punt wissen. Een deterministisch algoritme kan lineair of niet-lineair zijn.

Stochastische fractals, vergelijkbaar in stochastische zin, ontstaan wanneer in het algoritme voor hun constructie, tijdens iteraties, sommige parameters willekeurig veranderen. De term "stochastisch" komt van het Griekse woord stochasis- vermoeden, vermoeden. Een stochastisch proces is een proces waarvan de aard van de verandering niet nauwkeurig kan worden voorspeld. Fractals worden geproduceerd volgens de grillen van de natuur (breukvlakken van rotsen, wolken, turbulente stromingen, schuim, gels, contouren van roetdeeltjes, veranderingen in aandelenkoersen en rivierniveaus, enz.), Ze zijn verstoken van geometrische gelijkenis, maar reproduceren hardnekkig in elk fragment gemiddeld de statistische eigenschappen van het geheel. Met de computer kunt u reeksen pseudo-willekeurige getallen genereren en onmiddellijk stochastische algoritmen en vormen simuleren.

LINEAIRE FRACTALS. Lineaire fractals worden zo genoemd omdat ze allemaal zijn gebouwd volgens een bepaald lineair algoritme. Deze fractals lijken op elkaar, worden niet vervormd door schaalveranderingen en zijn op geen enkel punt van elkaar te onderscheiden. Om dergelijke fractals te construeren, volstaat het om een base en een fragment te specificeren. Deze elementen zullen vele malen worden herhaald, waarbij wordt uitgezoomd tot in het oneindige.

Stof van Kantor. In de 19e eeuw stelde de Duitse wiskundige Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845-1918) de wiskundige gemeenschap een vreemde reeks getallen voor tussen 0 en 1. De reeks bevatte een oneindig aantal elementen in het gespecificeerde interval en had bovendien nul dimensie. Een willekeurig afgevuurde pijl zou nauwelijks ten minste één element van deze set hebben geraakt.

Eerst moet je een segment van de eenheidslengte kiezen (eerste stap: n = 0), het dan in drie delen verdelen en het middelste derde deel verwijderen (n = 1). Verder zullen we precies hetzelfde doen met elk van de gevormde segmenten. Als resultaat van een oneindig aantal herhalingen van de operatie verkrijgen we de gewenste set "Cantor's dust". Nu is er geen tegenstelling tussen het discontinue en het oneindig deelbare.'Cantor's dust' is beide (zie figuur 1). "Cantor Dust" is een fractal. De fractale dimensie is 0,6304...

Een van de tweedimensionale analogen van de eendimensionale Cantor-verzameling werd beschreven door de Poolse wiskundige Vaclav Sierpinski. Het wordt "cantor-tapijt" of vaker "Sierpinski-tapijt" genoemd. Hij is strikt op zichzelf gelijkend. We kunnen de fractale dimensie ervan berekenen als ln8/lnЗ = 1,89... (Fig. 9).

LIJNEN DIE HET VLIEGTUIG VULLEN. Beschouw een hele familie van reguliere fractals, dit zijn krommen die een vlak kunnen vullen. Leibniz verklaarde ook: “Als we aannemen dat iemand toevallig veel stippen op papier zet,<… >Ik zeg dat het mogelijk is om een constante en volledige, onder een bepaalde regel, een geometrische lijn te onthullen die door alle punten gaat. Deze verklaring van Leibniz was in tegenspraak met het Euclidische begrip van dimensie als het kleinste aantal parameters waarmee de positie van een punt in de ruimte op unieke wijze wordt bepaald. Bij gebrek aan een rigoureus bewijs bleven deze ideeën van Leibniz aan de periferie van het wiskundig denken.

Peano-curve. Maar in 1890 construeerde de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano een lijn die een plat oppervlak volledig bedekt en door al zijn punten gaat. De constructie van de "Peano-curve" wordt getoond in Fig. tien.

Terwijl de topologische dimensie van de Peano-curve gelijk is aan één, is de fractale dimensie gelijk aan d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. In het kader van de fractale geometrie werd de paradox opgelost in de meest natuurlijke manier. Een lijn kan, net als een spinnenweb, een vlak bedekken. In dit geval wordt een één-op-één overeenkomst tot stand gebracht: elk punt van de lijn komt overeen met een punt op het vlak. Maar deze overeenkomst is niet één-op-één, omdat elk punt op het vlak overeenkomt met één of meer punten op de lijn.

Hilbert-curve. Een jaar later, in 1891, verscheen een artikel van de Duitse wiskundige David Hilbert (1862-1943) waarin hij een kromme presenteerde die een vlak bedekt zonder snijpunten of raaklijnen. De constructie van de "Hilbert-curve" is weergegeven in Fig. elf.

De Hilbert-curve was het eerste voorbeeld van FASS-curven (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar space-filling self-avoiding, simple and self-similar lines). De fractale dimensie van de Gilbert-lijn, evenals de Peano-curve, is gelijk aan twee.

Minkowski-tape. Herman Minkowski, een goede vriend van Hilbert uit zijn studententijd, construeerde een curve die niet het hele vlak bedekt, maar zoiets als een lint vormt. Bij het construeren van de "Minkowski-tape" bij elke stap, wordt elk segment vervangen door een onderbroken lijn bestaande uit 8 segmenten. In de volgende fase, bij elk nieuw segment, wordt de bewerking herhaald op een schaal van 1:4. De fractale dimensie van de Minkowski-strip is d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

NIET-LINEAIRE FRACTALS. De eenvoudigste niet-lineaire afbeelding van het complexe vlak op zichzelf is de Julia-afbeelding z g z 2 + C die in het eerste deel wordt beschouwd. Het is een berekening met een gesloten lus waarin het resultaat van de vorige cyclus met zichzelf wordt vermenigvuldigd met de toevoeging van een bepaalde constant, d.w.z. feedbacklus (Fig. 13).

In het proces van iteraties voor een vaste waarde van de constante C, afhankelijk van een willekeurig startpunt Z 0 , het punt Z n op n-> ∞ kan eindig of oneindig zijn. Het hangt allemaal af van de positie van Z 0 ten opzichte van de oorsprong z = 0. Als de berekende waarde eindig is, wordt deze opgenomen in de Julia-verzameling; als het naar oneindig gaat, wordt het afgesneden van de Julia-verzameling.

De vorm die wordt verkregen na het toepassen van de Julia-kaart op punten van een bepaald oppervlak, wordt uniek bepaald door de parameter C. Voor kleine C zijn dit eenvoudige verbonden lussen, voor grote C zijn dit clusters van niet-verbonden maar strikt geordende punten. Over het algemeen kunnen alle Julia-vormen worden onderverdeeld in twee grote families - verbonden en niet-verbonden afbeeldingen. De eerste lijken op "Koch's sneeuwvlok", de laatste op "Cantor's dust".

De diversiteit van Julia's vormen verbaasde wiskundigen toen ze deze vormen voor het eerst op computerschermen konden waarnemen. Pogingen om deze variëteit te rangschikken waren van een zeer willekeurige aard en kwamen erop neer dat de basis voor de classificatie van Julia-kaarten de Mandelbrot-set was, waarvan de grenzen, zoals later bleek, asymptotisch vergelijkbaar zijn met Julia-kaarten.

Met C = 0 geeft de herhaling van de Julia-mapping een reeks getallen z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 ... Hierdoor zijn er drie opties mogelijk:

voor |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
voor |z 0 | > 1 in de loop van iteraties nemen de getallen z n toe in absolute waarde, neigend naar oneindig. In dit geval is de attractor een punt op oneindig, en we sluiten dergelijke waarden uit van de Julia-verzameling;
voor |z 0 | = 1 alle punten van de reeks blijven op deze eenheidscirkel staan. In dit geval is de attractor een cirkel.

Dus bij C = 0 is de grens tussen de aantrekkelijke en afstotende uitgangspunten een cirkel. In dit geval heeft de afbeelding twee vaste punten: z = 0 en z = 1. De eerste is aantrekkelijk, omdat de afgeleide van de kwadratische functie bij nul 0 is, en de tweede is afstotend, omdat de afgeleide van de kwadratische functie functie bij de waarde van de parameter één is gelijk aan twee.

Beschouw de situatie waarin de constante C een reëel getal is, d.w.z. we lijken te bewegen langs de as van de Mandelbrot-verzameling (Fig. 14). Bij C = -0,75 kruist de grens van de Julia set zichzelf en verschijnt de tweede attractor. De fractal op dit punt draagt de naam van de San Marco-fractal, die Mandelbrot eraan heeft gegeven ter ere van de beroemde Venetiaanse kathedraal. Als je naar de figuur kijkt, is het niet moeilijk te begrijpen waarom Mandelbrot op het idee kwam om de fractal te noemen ter ere van deze structuur: de gelijkenis is verbluffend.

Rijst. 14. De vorm van de Julia-verzameling wijzigen met een afname van de reële waarde van C van 0 naar -1

Als we C verder verlagen tot -1,25, krijgen we een nieuwe typevorm met vier vaste punten, die aanhouden tot C< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Rijst. 15. Het verschijnen van nieuwe vormen van de Julia-verzameling met een afname van de reële waarde C< –1

Dus, zelfs als we op de as van de Mandelbrot-fractal bleven (constante C is een reëel getal), 'vingen' we in het aandachtsveld en rangschikten we op de een of andere manier een vrij grote verscheidenheid aan Julia-vormen, van cirkel tot stof. Beschouw nu de tekengebieden van de Mandelbrot-fractal en de overeenkomstige vormen van de Julia-fractalen. Laten we allereerst de Mandelbrot-fractal beschrijven in termen van "cardioïde", "nieren" en "uien" (Fig. 16).

De hoofdcardioïde en de cirkel ernaast vormen de basisvorm van de Mandelbrot-fractal. Ze grenzen aan een oneindig aantal van zijn eigen kopieën, die gewoonlijk nieren worden genoemd. Elk van deze toppen is omgeven door een oneindig aantal kleinere toppen die op elkaar lijken. De twee grootste knoppen boven en onder de hoofdcardioïde werden uien genoemd.

De Fransman Adrien Dowdy en de Amerikaan Bill Hubbard, die de typische fractal van deze verzameling (C = -0,12 + 0,74i) bestudeerden, noemden het de 'konijnenfractal' (Fig. 17).

Bij het overschrijden van de grens van de Mandelbrot-fractal verliezen Julia-fractals altijd hun verbinding en veranderen in stof, dat meestal "Fatou-stof" wordt genoemd ter ere van Pierre Fatou, die bewees dat voor bepaalde waarden van C een punt op oneindig aantrekt het hele complexe vlak, met uitzondering van een zeer dunne set zoals stof (Fig. 18).

STOCHASTISCHE FRACTALEN. Er is een significant verschil tussen een strikt gelijkende Von Koch-curve en bijvoorbeeld de kust van Noorwegen. De laatste, die niet strikt op zichzelf lijkt, vertoont overeenkomst in statistische zin. Tegelijkertijd zijn beide krommen zo gebroken dat je geen raaklijn aan een van hun punten kunt trekken, of met andere woorden, je kunt het niet differentiëren. Dergelijke krommen zijn een soort "monsters" onder de normale Euclidische lijnen. De eerste die een continue functie construeerde die op geen enkel punt een raaklijn heeft, was Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Zijn werk werd op 18 juli 1872 aangeboden aan de Koninklijke Pruisische Academie en gepubliceerd in 1875. De functies beschreven door Weierstrass zien eruit als ruis (Fig. 19).

Kijk naar een voorraadbulletingrafiek, een samenvatting van temperatuurschommelingen of luchtdrukschommelingen, en u zult regelmatig onregelmatigheden vinden. Bovendien blijft bij schaalvergroting de aard van de onregelmatigheid behouden. En dit verwijst naar fractale geometrie.

Brownse beweging is een van de bekendste voorbeelden van een stochastisch proces. In 1926 ontving Jean Perrin de Nobelprijs voor zijn onderzoek naar de aard van de Brownse beweging. Hij was het die de aandacht vestigde op de zelfgelijkenis en niet-differentiatie van het Brownse traject.

Een fractal is dus een wiskundige verzameling die bestaat uit objecten die vergelijkbaar zijn met deze verzameling. Met andere woorden, als we een klein fragment van een fractale figuur onder vergroting bekijken, dan zal het eruitzien als een groter deel van deze figuur, of zelfs de figuur als geheel. Bovendien betekent schaalvergroting voor een fractal geen vereenvoudiging van de structuur. Daarom zullen we op alle niveaus een even complex beeld zien.

Fractale eigenschappen

Op basis van de bovenstaande definitie wordt een fractal meestal weergegeven als een geometrische figuur die aan een of meer van de volgende eigenschappen voldoet:

Heeft een complexe structuur bij elke vergroting;

Ongeveer op zichzelf gelijkend (delen zijn vergelijkbaar met het geheel);

Het heeft een fractionele dimensie, die groter is dan de topologische;

Kan recursief worden gebouwd.

Fractals in de wereld

Ondanks het feit dat het concept van "fractal" extreem abstract lijkt, kan men in het leven veel real-life en zelfs praktische voorbeelden van dit fenomeen tegenkomen. Bovendien moeten ze van de buitenwereld zeker worden overwogen, omdat ze een beter begrip zullen geven van de fractal en zijn kenmerken.

Antennes voor verschillende apparaten, waarvan de ontwerpen zijn gemaakt door de fractal-methode, laten bijvoorbeeld de efficiëntie van hun werk zien met 20% meer dan traditionele antennes. Bovendien kan de fractal-antenne tegelijkertijd met uitstekende prestaties werken op een breed scala aan frequenties. Dat is de reden waarom moderne mobiele telefoons praktisch geen externe antennes van een klassiek apparaat in hun ontwerp hebben - de laatste zijn vervangen door interne fractale, die direct op de printplaat van de telefoon zijn gemonteerd.

Fractals hebben veel aandacht gekregen bij de ontwikkeling van informatietechnologie. Op dit moment zijn er algoritmen ontwikkeld voor het comprimeren van verschillende afbeeldingen met behulp van fractals, er zijn methoden om computergrafische objecten (bomen, bergen en zeeoppervlakken) op een fractale manier te construeren, evenals een fractaal systeem voor het toewijzen van IP-adressen in sommige netwerken.

In de economie is er een manier om fractals te gebruiken bij het analyseren van aandelenkoersen en valuta's. Misschien heeft de lezer die handelt op de Forex-markt fractal-analyse in actie gezien in een handelsterminal of zelfs in de praktijk toegepast.

Naast objecten die door de mens kunstmatig zijn gemaakt met fractale eigenschappen, zijn er ook veel vergelijkbare objecten in de natuur te vinden. Goede voorbeelden van een fractal zijn koralen, zeeschelpen, sommige bloemen en planten (broccoli, bloemkool), de bloedsomloop en bronchiën van mensen en dieren, patronen gevormd op glas, natuurlijke kristallen. Deze en vele andere objecten hebben een uitgesproken fractale vorm.

Vaak kunnen briljante ontdekkingen in de wetenschap ons leven radicaal veranderen. Zo kan bijvoorbeeld de uitvinding van een vaccin veel mensen redden en leidt de creatie van een nieuw wapen tot moord. Letterlijk gisteren (op de schaal van de geschiedenis) heeft een persoon elektriciteit "getemd", en vandaag kan hij zijn leven niet meer zonder voorstellen. Er zijn echter ook zulke ontdekkingen die, zoals ze zeggen, in de schaduw blijven, en ondanks dat ze ook enige invloed hebben op ons leven. Een van deze ontdekkingen was de fractal. De meeste mensen hebben nog nooit van een dergelijk concept gehoord en zullen de betekenis ervan niet kunnen uitleggen. In dit artikel zullen we proberen om te gaan met de vraag wat een fractal is, en de betekenis van deze term bekijken vanuit het oogpunt van wetenschap en natuur.

Orde in chaos

Om te begrijpen wat een fractal is, moeten we de debriefing beginnen vanuit de positie van de wiskunde, maar voordat we ons erin verdiepen, filosoferen we een beetje. Elke persoon heeft een natuurlijke nieuwsgierigheid, waardoor hij de wereld om hem heen leert kennen. In zijn verlangen naar kennis probeert hij vaak met logica te werken in zijn oordelen. Dus, door de processen die rondom plaatsvinden te analyseren, probeert hij de relaties te berekenen en bepaalde patronen af te leiden. De grootste geesten op aarde zijn bezig deze problemen op te lossen. Onze wetenschappers zoeken grofweg naar patronen waar ze niet zijn en ook niet zouden moeten zijn. Toch is er ook in chaos een verband tussen bepaalde gebeurtenissen. Deze verbinding is de fractal. Denk bijvoorbeeld aan een afgebroken tak die op de weg ligt. Als we er goed naar kijken, zullen we zien dat het, met al zijn takken en knopen, zelf op een boom lijkt. Deze overeenkomst van een afzonderlijk deel met een enkel geheel getuigt van het zogenaamde principe van recursieve zelfgelijkenis. Fractals in de natuur zijn altijd te vinden, omdat veel anorganische en organische vormen op een vergelijkbare manier worden gevormd. Dit zijn wolken, en zeeschelpen, en slakkenhuizen, en boomkronen, en zelfs de bloedsomloop. Deze lijst kan onbeperkt worden voortgezet. Al deze willekeurige vormen kunnen gemakkelijk worden beschreven door het fractal-algoritme. Hier gaan we nadenken over wat een fractal is vanuit het standpunt van de exacte wetenschappen.

Enkele droge feiten

Het woord "fractal" zelf is vanuit het Latijn vertaald als "gedeeltelijk", "verdeeld", "gefragmenteerd", en wat de inhoud van deze term betreft, is er geen bewoording als zodanig. Meestal wordt het behandeld als een op zichzelf gelijkende set, een deel van het geheel, dat wordt herhaald door zijn structuur op microniveau. Deze term werd in de jaren zeventig van de twintigste eeuw bedacht door Benoit Mandelbrot, die wordt erkend als de vader.Tegenwoordig betekent het concept van een fractal een grafische weergave van een bepaalde structuur, die, wanneer deze wordt vergroot, op zichzelf lijkt. De wiskundige basis voor de creatie van deze theorie werd echter al vóór de geboorte van Mandelbrot zelf gelegd, maar deze kon zich pas ontwikkelen als elektronische computers verschenen.

Historische referentie, of hoe het allemaal begon

Aan het begin van de 19e en 20e eeuw was de studie van de aard van fractals episodisch. Dit komt doordat wiskundigen de voorkeur gaven aan het bestuderen van objecten die onderzocht kunnen worden op basis van algemene theorieën en methoden. In 1872 construeerde de Duitse wiskundige K. Weierstrass een voorbeeld van een continue functie die nergens differentieerbaar is. Deze constructie bleek echter volledig abstract en moeilijk te begrijpen. Vervolgens kwam de Zweed Helge von Koch, die in 1904 een ononderbroken curve bouwde die nergens een raaklijn heeft. Het is vrij eenvoudig te tekenen en, zoals later bleek, wordt het gekenmerkt door fractale eigenschappen. Een van de varianten van deze curve is vernoemd naar de auteur - "Koch's sneeuwvlok". Verder werd het idee van zelfgelijkenis van figuren ontwikkeld door de toekomstige mentor van B. Mandelbrot, de Fransman Paul Levy. In 1938 publiceerde hij het artikel "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole". Daarin beschreef hij een nieuwe soort - de Levy C-curve. Alle bovenstaande figuren verwijzen voorwaardelijk naar een dergelijke vorm als geometrische fractals.

Dynamische of algebraïsche fractals

De Mandelbrot-set behoort tot deze klasse. De Franse wiskundigen Pierre Fatou en Gaston Julia werden de eerste onderzoekers in deze richting. In 1918 publiceerde Julia een paper gebaseerd op de studie van iteraties van rationale complexe functies. Hier beschreef hij een familie van fractals die nauw verwant zijn aan de Mandelbrot-verzameling. Ondanks het feit dat dit werk de auteur onder wiskundigen verheerlijkte, werd het snel vergeten. En pas een halve eeuw later kreeg Julia's werk dankzij computers een tweede leven. Computers maakten het mogelijk om voor iedereen de schoonheid en rijkdom van de wereld van fractals zichtbaar te maken die wiskundigen konden 'zien' door ze via functies weer te geven. Mandelbrot was de eerste die een computer gebruikte om berekeningen uit te voeren (het is onmogelijk om zo'n volume handmatig uit te voeren) die het mogelijk maakten om een afbeelding van deze figuren op te bouwen.

Man met ruimtelijke verbeeldingskracht

Mandelbrot begon zijn wetenschappelijke carrière bij het IBM Research Center. Bij het bestuderen van de mogelijkheden van datatransmissie over lange afstanden, werden wetenschappers geconfronteerd met het feit van grote verliezen die ontstonden door ruisinterferentie. Benoit zocht naar manieren om dit probleem op te lossen. Bij het doorbladeren van de meetresultaten vestigde hij de aandacht op een vreemd patroon, namelijk: de ruisgrafieken zagen er op verschillende tijdschalen hetzelfde uit.

Een soortgelijk beeld werd waargenomen zowel voor een periode van één dag, als voor zeven dagen, of voor een uur. Benoit Mandelbrot herhaalde zelf vaak dat hij niet met formules werkt, maar met plaatjes speelt. Deze wetenschapper onderscheidde zich door fantasierijk denken, hij vertaalde elk algebraïsch probleem naar een meetkundig gebied, waar het juiste antwoord voor de hand ligt. Het is dus niet verwonderlijk, onderscheiden door de rijken en de vader van fractale geometrie. Het besef van deze figuur kan immers alleen komen als je de tekeningen bestudeert en nadenkt over de betekenis van deze vreemde wervelingen die het patroon vormen. Fractal tekeningen hebben geen identieke elementen, maar ze zijn vergelijkbaar op elke schaal.

Julia - Mandelbrot

Een van de eerste tekeningen van deze figuur was een grafische interpretatie van de set, die werd geboren dankzij het werk van Gaston Julia en werd voltooid door Mandelbrot. Gaston probeerde zich voor te stellen hoe een set eruitziet als deze is opgebouwd uit een eenvoudige formule die wordt herhaald door een feedbacklus. Laten we proberen uit te leggen wat er in menselijke taal is gezegd, om zo te zeggen, op de vingers. Voor een specifieke numerieke waarde vinden we met behulp van de formule een nieuwe waarde. We vervangen het in de formule en vinden het volgende. Het resultaat is groot. Om zo'n verzameling weer te geven, moet je deze bewerking een enorm aantal keren uitvoeren: honderden, duizenden, miljoenen. Dit is wat Benoit deed. Hij verwerkte de reeks en bracht de resultaten over naar grafische vorm. Vervolgens kleurde hij de resulterende figuur in (elke kleur komt overeen met een bepaald aantal iteraties). Deze grafische afbeelding wordt de Mandelbrot-fractal genoemd.

L. Carpenter: kunst gecreëerd door de natuur

De theorie van fractals vond al snel praktische toepassing. Omdat het zeer nauw verwant is aan de visualisatie van afbeeldingen die op zichzelf lijken, waren kunstenaars de eersten die de principes en algoritmen voor het construeren van deze ongebruikelijke vormen overnamen. De eerste hiervan was de toekomstige oprichter van Pixar-studio Lauren Carpenter. Tijdens het werken aan de presentatie van vliegtuigprototypes kwam hij op het idee om de afbeelding van bergen als achtergrond te gebruiken. Tegenwoordig kan bijna elke computergebruiker een dergelijke taak aan, en in de jaren zeventig van de vorige eeuw waren computers niet in staat om dergelijke processen uit te voeren, omdat er op dat moment geen grafische editors en toepassingen voor driedimensionale afbeeldingen waren. Loren kwam Mandelbrots Fractals tegen: vorm, willekeur en dimensie. Daarin gaf Benois veel voorbeelden, waaruit bleek dat er fractals in de natuur zijn (fiva), hij beschreef hun verschillende vormen en bewees dat ze gemakkelijk kunnen worden beschreven door wiskundige uitdrukkingen. De wiskundige noemde deze analogie als argument voor het nut van de theorie die hij ontwikkelde als reactie op een golf van kritiek van zijn collega's. Ze voerden aan dat een fractal gewoon een mooie afbeelding is zonder waarde, een bijproduct van elektronische machines. Carpenter besloot deze methode in de praktijk uit te proberen. Na het boek zorgvuldig te hebben bestudeerd, ging de toekomstige animator op zoek naar een manier om fractale geometrie in computergraphics te implementeren. Het kostte hem slechts drie dagen om een volledig realistisch beeld van het berglandschap op zijn computer te krijgen. En tegenwoordig wordt dit principe veel gebruikt. Het bleek dat het maken van fractals niet veel tijd en moeite kost.

Timmermans oplossing

Het principe dat Lauren hanteerde bleek eenvoudig. Het bestaat uit het verdelen van grotere in kleinere elementen, en die in soortgelijke kleinere, enzovoort. Timmerman, met behulp van grote driehoeken, verpletterde ze in 4 kleine, enzovoort, totdat hij een realistisch berglandschap kreeg. Zo werd hij de eerste kunstenaar die het fractal-algoritme in computergraphics toepast om de vereiste afbeelding te construeren. Tegenwoordig wordt dit principe gebruikt om verschillende realistische natuurlijke vormen te simuleren.

De eerste 3D-visualisatie op basis van het fractal-algoritme

Een paar jaar later paste Lauren zijn werk toe in een grootschalig project - een animatievideo Vol Libre, vertoond op Siggraph in 1980. Deze video schokte velen en de maker werd uitgenodigd om bij Lucasfilm te werken. Hier kon de animator zichzelf volledig realiseren, hij creëerde driedimensionale landschappen (de hele planeet) voor de speelfilm "Star Trek". Elk modern programma ("Fractals") of toepassing voor het maken van driedimensionale afbeeldingen (Terragen, Vue, Bryce) gebruikt hetzelfde algoritme voor het modelleren van texturen en oppervlakken.

Tom Beddard

Als voormalig laserfysicus en nu digitaal kunstenaar en kunstenaar, creëerde Beddard een reeks zeer intrigerende geometrische vormen die hij Faberge's fractals noemde. Uiterlijk lijken ze op de decoratieve eieren van een Russische juwelier, ze hebben hetzelfde briljante ingewikkelde patroon. Beddard gebruikte een sjabloonmethode om zijn digitale weergaven van de modellen te maken. De resulterende producten vallen op door hun schoonheid. Hoewel velen weigeren een handgemaakt product te vergelijken met een computerprogramma, moet worden toegegeven dat de resulterende vormen ongewoon mooi zijn. Het hoogtepunt is dat iedereen zo'n fractal kan bouwen met behulp van de WebGL-softwarebibliotheek. Hiermee kunt u verschillende fractale structuren in realtime verkennen.

fractals in de natuur

Weinig mensen letten op, maar deze verbazingwekkende cijfers zijn overal. De natuur bestaat uit figuren die op elkaar lijken, we merken het alleen niet op. Het is voldoende om door een vergrootglas naar onze huid of een blad van een boom te kijken, en we zullen fractals zien. Of neem bijvoorbeeld een ananas of zelfs een pauwstaart - ze bestaan uit vergelijkbare figuren. En het ras Romanescu broccoli valt over het algemeen op door zijn uiterlijk, want het mag met recht een natuurwonder genoemd worden.

Muzikale pauze

Het blijkt dat fractals niet alleen geometrische vormen zijn, het kunnen ook geluiden zijn. Dus de muzikant Jonathan Colton schrijft muziek met behulp van fractal-algoritmen. Hij beweert te corresponderen met natuurlijke harmonie. De componist publiceert al zijn werken onder de CreativeCommons Naamsvermelding-Niet-commercieel licentie, die voorziet in gratis distributie, kopiëren en overdracht van werken door andere personen.

Fractale indicator

Deze techniek heeft een zeer onverwachte toepassing gevonden. Op basis hiervan werd een hulpmiddel voor het analyseren van de beursmarkt gecreëerd en als gevolg daarvan begon het te worden gebruikt op de Forex-markt. Nu is de fractal-indicator te vinden op alle handelsplatforms en wordt deze gebruikt in een handelstechniek die prijsuitbraak wordt genoemd. Bill Williams ontwikkelde deze techniek. Zoals de auteur opmerkt over zijn uitvinding, is dit algoritme een combinatie van verschillende "kaarsen", waarbij de centrale het maximale of, omgekeerd, het minimale uiterste punt weerspiegelt.

Tenslotte

Dus we hebben overwogen wat een fractal is. Het blijkt dat er in de chaos die ons omringt in feite ideale vormen zijn. De natuur is de beste architect, de ideale bouwer en ingenieur. Het is heel logisch gerangschikt, en als we geen patroon kunnen vinden, betekent dit niet dat het niet bestaat. Misschien moet je op een andere schaal kijken. We kunnen met vertrouwen zeggen dat fractals nog veel geheimen hebben die we nog moeten ontdekken.