kans p = 0,7 . Vind het meest waarschijnlijke aantal m 0 van de mensen die naar de vergadering zullen komen en de bijbehorende kans P n (m 0).

Beslissing. Aangezien P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0.7)m 0 (0.3)50 m 0 , is het probleem een ​​niet-negatief geheel getal m 0 ≤ 50 te vinden dat de functie P 50 (m 0 ) maximaliseert. We zagen hierboven dat zo'n getal wordt gegeven door formule (6.4). BIJ

P50 (35)= C50 35 (0,7)35 (0,3)15 0,123.

6.4. Poisson-formule:

Formules (6.1) en (6.3) geven de exacte kansen die horen bij het schema van onafhankelijke Bernoulli-proeven. Berekeningen met deze formules, vooral voor grote waarden van n en m, zijn echter erg moeilijk. Het is van groot praktisch belang om vrij eenvoudige benaderende formules te verkrijgen voor het berekenen van de overeenkomstige kansen. Voor het eerst werd een dergelijke formule in 1837 afgeleid door de Franse wiskundige en natuurkundige Simon Poisson (1781-1840). Hieronder staat de formulering van het resultaat van Poisson.

Beschouw een Bernoulli-schema van onafhankelijke proeven waarin het aantal proeven n "relatief groot" is, de kans op "succes" p "relatief klein" is en het product λ= np "niet klein noch groot" is41. Onder deze omstandigheden is de formule

Dit is de beroemde Poisson-benadering voor de binominale verdeling . Het bewijs van formule (6.6) zal worden gegeven in de bijlage bij deze sectie.

41 De exacte betekenis van de geciteerde termen wordt hieronder toegelicht, met name in § 6e.

De functie aan de rechterkant van formule (6.6) heet

Poisson-verdeling:

Met deze notatie zal p(k, λ) een benaderende uitdrukking zijn voor de kans b(k;n, λn) wanneer n "groot genoeg" is.

Laten we, voordat we formule (6.6) bespreken, zeer illustratieve voorbeelden geven van het gebruik ervan.

De waarden van de binominale verdeling en de waarden van de Poisson-verdeling bij n = 100, p = 0,01, λ = 1 worden weergegeven in de tabel. 6.2. Zoals we kunnen zien, is de nauwkeurigheid van de geschatte formule vrij hoog.

Hoe groter n, hoe hoger de nauwkeurigheid van de formule van Poisson. Dit wordt geïllustreerd door het volgende voorbeeld. Laten we de kans p k berekenen dat in een samenleving van 500 mensen precies k mensen op dezelfde specifieke dag van het jaar zijn geboren. Als deze 500 mensen willekeurig worden gekozen, kan het schema van Bernoulli worden toegepast vanaf n = 500 proeven met een kans op "succes" p = 1365. Berekeningen met exacte formule (6.1) en geschatte formule (6.6) bij λ= 500365≈ 1.3699 worden weergegeven in de tabel. 6.3. Zoals we kunnen zien, staat de fout alleen op de vierde decimaal, wat voor de praktijk heel acceptabel is.

			Tabel 6.2
	b(k; 100, 1.100)		p(k; 1)

Tabel 6.3.

		b(k; 500,1/365)	p(k, )
Overweeg het volgende typische voorbeeld van het toepassen van de formule:
Vergif.

Laat het bekend zijn dat de kans op een "storing" in de werking van de telefooncentrale voor elke oproep 0,002 is. 1000 telefoontjes ontvangen. Bepaal de kans dat er in dit geval 7 "storingen" optreden.

Beslissing. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat onder normale omstandigheden de oproepen die bij de telefooncentrale binnenkomen onafhankelijk van elkaar zijn. We zullen rekening houden met "succes" in de test - de oproep - het falen van de telefooncentrale. De faalkans (p = 0,002) kan worden beschouwd als een "voldoende kleine" waarde en het aantal oproepen (n = 1000) is "voldoende groot". We bevinden ons dus in de voorwaarden van de stelling van Poisson. Voor de parameter λ verkrijgen we de waarde

Laten we nu de grenzen van de toepasbaarheid van de Poisson-formule bespreken. Bij

Bij het gebruik van een benaderende formule rijst natuurlijk de vraag naar de grenzen van de toepasbaarheid. Daarbij stuiten we op twee aspecten van het probleem. Ten eerste is het natuurlijk om te vragen onder welke reële omstandigheden de wet van Poisson van toepassing is? De ervaring leert dat de eenvoudige Poisson-verdeling relatief universeel toepasbaar is. Over het algemeen zijn wiskundige stellingen vanuit het oogpunt van toepassingen goed en slecht in de volgende zin: goede stellingen blijven werken, zelfs als hun voorwaarden worden geschonden, en slechte stellingen houden onmiddellijk op waar te zijn als de voorwaarden voor hun afleiding worden geschonden . De stelling van Poisson (6.6) is in die zin goed en zelfs uitstekend. De wet van Poisson blijft namelijk werken, zelfs wanneer de voorwaarden van het Bernoulli-schema worden geschonden (d.w.z. men kan uitgaan van een variabele kans op succes en zelfs een niet al te sterke afhankelijkheid van de resultaten van individuele proeven)42. Je zou zelfs kunnen stellen dat de Poisson-verdeling relatief universeel toepasbaar is. Dit moet in die zin worden begrepen dat als de experimentele gegevens aantonen dat de wet van Poisson niet van toepassing is, terwijl het volgens gezond verstand zou moeten werken, het natuurlijker is om de statistische stabiliteit van onze gegevens in twijfel te trekken dan om naar een andere uitkeringen. Met andere woorden, De Poisson-verdeling is een zeer succesvolle wiskundige formulering van een van de universele (binnen de toepasbaarheid van de kanstheorie) natuurwetten.

Ten tweede rijst de vraag naar de ordes van grootte van die parameters die zijn opgenomen in de Poisson-formule, en waarvoor we hierboven de vage termen "relatief groot", "relatief klein", "niet klein en groot" gebruikten. praktijk van het toepassen van formule (6.6) geeft verhelderende antwoorden. Het blijkt dat de formule van Poisson nauwkeurig genoeg is voor praktisch gebruik als het aantal proeven n van de orde is

42 Uiteraard mogen deze kenmerken van de Poisson-verdeling niet worden misbruikt. De wet van Poisson wordt bijvoorbeeld duidelijk geschonden in situaties waarin de resultaten van individuele tests sterk afhankelijk zijn.

enkele tientallen (bij voorkeur honderden), en de waarde van de parameter λ = np ligt in het bereik van 0 tot 10.

Beschouw een ander voorbeeld om de toepassing van de formule van Poisson te illustreren.

Laat het bekend zijn dat 10.000 rozijnen afhankelijk zijn van het bakken van 1000 zoete rozijnenbroodjes. Het is nodig om de verdeling van het aantal rozijnen in een willekeurig gekozen broodje te vinden.

Beslissing. We vormen de volgorde van onafhankelijke tests als volgt. Er zullen in totaal n = 10.000 proeven zijn (volgens het aantal rozijnen), namelijk: proef nummer k zal zijn dat we bepalen of we rozijnen nummer k in ons willekeurig gekozen broodje hebben 43. Aangezien er in totaal 1000 broodjes zijn, is de kans dat de k -de rozijn in ons broodje terecht is gekomen p = 1/1000 (ervan uitgaande dat het deeg goed gemengd is bij het bereiden van de broodjes). We passen nu de Poisson-verdeling toe met de parameter λ= np = 10000 11000= 10. We krijgen:

P 10000 (k )≈ p (k ,10)= 10 k e 10 .

In het bijzonder is de kans dat we een broodje zonder rozijnen krijgen (k = 0) gelijk aan e − 10 ≈ 0,5 10 − 4 . Het meest waarschijnlijke aantal rozijnen is, volgens formule (6.4), gelijk aan 10. De overeenkomstige kans

P 10000(10) ≈ 10 10 e − 10 ≈ 0,125 . tien!

Het voorbeeld van broodjes en rozijnen is, ondanks de alledaagse bewoordingen, erg algemeen. Dus in plaats van rozijnen in broodjes, kun je het bijvoorbeeld hebben over het aantal bacteriën in een druppel water uit een goed gemengde emmer. Een ander voorbeeld. Laten we aannemen dat de atomen van een radioactieve stof onafhankelijk van elkaar vervallen, en dat gedurende een bepaald tijdsinterval het verval van een bepaald atoom plaatsvindt met

43 Merk op dat de aankoop van een broodje in een winkel kan worden gezien als een willekeurige keuze.

Laat herhaalde tests worden uitgevoerd in het experiment volgens het Bernoulli-schema en het aantal tests is groot, de kans op het optreden van de waargenomen gebeurtenis in één test is klein en de parameter is een constante waarde. Dan voor de kans - de kans dat de gebeurtenis in de tests één keer voorkomt, is de relatie waar

. (3.1)

Bij het berekenen van de kans in zo'n willekeurig experiment, kun je de formule bij benadering gebruiken

, (3.2)

Wat genoemd wordt als Poisson-formule, en het nummer is de Poisson-parameter.

Taak 3.1. De kans op een huwelijk bij de vervaardiging van een bepaald product is 0,008. Bereken de kans dat er tijdens de inspectie niet meer dan twee defecte items zijn onder 500 items.

Oplossing: aangezien de kans klein is en het aantal pogingen groot, kunnen we de Poisson-formule toepassen met de parameter . De gewenste kans is de kans op de som van drie gebeurtenissen: er waren twee defecte producten, één of geen. Dus

Definitie 3.1

De stroom van gebeurtenissen is een opeenvolging van gebeurtenissen die op willekeurige tijdstippen plaatsvinden.

bijvoorbeeld, de stroom van gebeurtenissen zijn oproepen die binnenkomen op de PBX, signalen tijdens een radiosessie, berichten die aankomen op de server, enz.

Definitie 3.2

De stroom van gebeurtenissen heet vergif(eenvoudigst) als het de volgende eigenschappen heeft:

1. Stationariteitseigenschap, d.w.z. stroomsnelheid:- constant.

2. eigenschap van alledaagsheid, die. het optreden van twee of meer gebeurtenissen in een klein interval is bijna onmogelijk.

3. De eigenschap van geen nawerking, die. de waarschijnlijkheid van het optreden van gebeurtenissen in een bepaalde periode is niet afhankelijk van het aantal gebeurtenissen in een ander segment.

Als we aangeven - de waarschijnlijkheid van optreden van Poisson-stroomgebeurtenissen met intensiteit in de tijd , dan is de formule geldig:

. (3.3)

Taak 3.2. Een verzekeringsmaatschappij bedient 10.000 klanten. De kans dat een klant binnen een dag contact opneemt met het bedrijf is 0,0003. Wat is de kans dat 4 klanten binnen twee dagen contact opnemen?

Beslissing: De intensiteit van de klantenstroom gedurende één dag is gelijk aan

Vandaar, .

Oplossen van problemen 3.1 en 3.2 in de omgeving Mathcad getoond in afb. 3.

Taak 3.3. De faalkans van de metrotourniquetlezer binnen een uur is klein. Bereken deze kans als de kans dat er binnen 8 uur ten minste één storing optreedt 0,98 is, en als bekend is dat er gemiddeld 1000 mensen per uur door het draaihek gaan?

Beslissing: Volgens formules (1.3) en (3.3) met is de kans dat er binnen 8 uur ten minste één storing optreedt gelijk aan:

Met behulp van symbolische commando's wordt de gewenste kans bepaald.

Overweeg de vergelijking

Waar de functie is gedefinieerd op .

Deze vergelijking definieert de voortplanting van een lopende golf in een n-dimensionaal homogeen medium met een snelheid a op tijdstippen t > 0 .

Om de oplossing eenduidig ​​te maken, is het noodzakelijk om de beginvoorwaarden te bepalen. Beginvoorwaarden bepalen de toestand van de ruimte (of, zoals ze zeggen, "initiële verstoring") op een moment in de tijd t = 0 :

Dan geeft de gegeneraliseerde Kirchhoff-formule een oplossing voor dit probleem.

Kirchhoff zelf beschouwde alleen het driedimensionale geval.

Het idee om een ​​oplossing te krijgen

Een eenvoudige afleiding van de oplossing van het hoofdprobleem maakt gebruik van de Fouriertransformatie. De gegeneraliseerde Kirchhoff-formule heeft de volgende vorm:

.

Als de golfvergelijking een rechterkant heeft f, verschijnt de term aan de rechterkant van de formule:

Fysieke gevolgen

De voorste en achterste golffronten van een in de ruimte gelokaliseerde verstoring werken gedurende een beperkte tijdsperiode op de waarnemer

Laat op de eerste tijd t= 0 op een compact M er is een lokale verstoring ( en/of ). Als we op een gegeven moment zijn, zullen we, zoals blijkt uit de formule (integratiegebied), na verloop van tijd de verstoring voelen .

Buiten het tijdsinterval waar , functie jij(x 0 , t) is gelijk aan nul.

Zo veroorzaakt de initiële verstoring, gelokaliseerd in de ruimte, op elk punt in de ruimte een in de tijd gelokaliseerde actie, dat wil zeggen dat de verstoring zich voortplant in de vorm van een golf met voor- en achterliggende fronten, wat het Huygens-principe uitdrukt). In het vliegtuig wordt dit principe geschonden. De rechtvaardiging hiervoor is het feit dat de verstoringsdrager, die compact is op , niet langer compact zal zijn op , maar een oneindige cilinder zal vormen, en bijgevolg zal de verstoring onbeperkt zijn in de tijd (cilindrische golven hebben geen achterrand) .

Poisson-Parseval-formule

Oplossing van de membraanoscillatievergelijking:

(functie f(x,t)

met beginvoorwaarden

gegeven door de formule:

tex" alt="(!LANG: +\frac(\partial)(\partial t)\frac(1)(2\pi a)\iint\limits_(r .

Formule D "Alamber

Oplossing van de eendimensionale golfvergelijking

(functie f(x,t) komt overeen met de drijvende kracht)

met beginvoorwaarden

heeft de vorm

Naar gebied II kenmerken komen uit slechts één familie

Bij het gebruik van de d "Alembert-formule moet er rekening mee worden gehouden dat de oplossing soms niet uniek is in het hele beschouwde gebied. De oplossing van de golfvergelijking wordt weergegeven als de som van twee functies: jij(x,t) = f(x + at) + g(x − at) , dat wil zeggen, het wordt bepaald door twee families van kenmerken: . Het voorbeeld in de afbeelding rechts illustreert de golfvergelijking voor een semi-oneindige reeks, en de beginvoorwaarden daarin worden alleen op de groene lijn gegeven x≥0. Dat is te zien in de omgeving l zowel ξ-kenmerken als η-kenmerken komen, terwijl in de regio II er zijn alleen ξ-kenmerken. Dat wil zeggen, in de omgeving II De formule van D'Alembert werkt niet.

Toepassing van formules

Over het algemeen is de Kirchhoff-formule nogal omslachtig en daarom is het meestal moeilijk om problemen van de wiskundige fysica op te lossen met zijn hulp. Men kan echter de lineariteit van de golfvergelijking gebruiken met beginvoorwaarden en zoek een oplossing in de vorm van een som van drie functies: jij(x,t) = EEN(x,t) + B(x,t) + C(x,t) , die aan de volgende voorwaarden voldoen:

Op zichzelf vereenvoudigt zo'n operatie het gebruik van de Kirchhoff-formule niet, maar voor sommige problemen is het mogelijk om een ​​oplossing te kiezen, of een multidimensionaal probleem te reduceren tot een eendimensionaal probleem door variabelen te veranderen. Laat bijvoorbeeld . Dan, het maken van de vervanging ξ = x + 3ja − 2z , zal de vergelijking voor probleem "C" de vorm aannemen:

Zo kwamen we tot een eendimensionale vergelijking, wat betekent dat we de d "Alembert-formule kunnen gebruiken:

Door de pariteit van de beginvoorwaarde behoudt de oplossing zijn vorm in de hele regio t > 0 .

Literatuur

Mikhailov V.P., Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Verzameling van typische opdrachten voor het vak Vergelijkingen van de wiskundige fysica. - M.: MIPT, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Links

Wikimedia Stichting. 2010 .

Zie wat de "Poisson-formule" is in andere woordenboeken:

De Kirchhoff-formule is een analytische uitdrukking voor het oplossen van een hyperbolische partiële differentiaalvergelijking (de zogenaamde "golfvergelijking") in de gehele driedimensionale ruimte. Door de afdalingsmethode (dat wil zeggen, door de dimensie te verkleinen) ervan kun je ... ... Wikipedia

De Kirchhoff-formule is een analytische uitdrukking voor het oplossen van een hyperbolische partiële differentiaalvergelijking (de zogenaamde "golfvergelijking") in de gehele ruimte. Door de afdalingsmethode (dat wil zeggen, door de dimensie te verkleinen), kan men er tweedimensionale oplossingen uit halen ... ... Wikipedia

De formule die eenheid voorstelt. klassiek oplossing u(x, t) van het Koshi-probleem voor de golfvergelijking in driedimensionale ruimte-tijd, (waarbij c de signaalvoortplantingssnelheid is) als de initiële gegevens f(x), p(x) respectievelijk drie zijn keer en twee keer ... ... Fysieke Encyclopedie

De formule voor het berekenen van de som van een reeks van de vorm Als de Fourier-transformatie (iets anders dan normaal, genormaliseerd) van de functie F (x), dan (m en n zijn gehele getallen). Dit is P.f. met.; zij is misschien… … Grote Sovjet Encyclopedie

Formule P.f. met. geldt als bijvoorbeeld de functie g(x) absoluut integreerbaar is op een interval, begrensde variatie heeft, en een P.f. met. wordt ook geschreven in de vorm waarin ai en b twee willekeurige positieve getallen zijn die voldoen aan de voorwaarde ab = 2p, en c (u). is ... ... Wiskundige Encyclopedie

1) Hetzelfde als de Poisson-integraal 2) De formule die de integrale representatie geeft van de oplossing van het Cauchy-probleem voor de golfvergelijking in de ruimte: en met de vorm (1) waar is de gemiddelde waarde van de functie j op de bol Zat in de ruimte (x, y, z) van straal op met… … Wiskundige Encyclopedie

Een oneindig deelbare verdeling in de kansrekening is een verdeling van een willekeurige variabele zodat deze kan worden weergegeven als een willekeurig aantal onafhankelijke, gelijk verdeelde termen. Inhoud 1 Definitie 2 ... ... Wikipedia

Waarbij λ gelijk is aan het gemiddelde aantal gebeurtenissen in dezelfde onafhankelijke onderzoeken, d.w.z. λ = n × p, waarbij p de kans is op een gebeurtenis in één proef, e = 2,71828 .

De distributiereeks van de wet van Poisson heeft de vorm:

Dienstopdracht. De online calculator wordt gebruikt om de Poisson-verdeling te bouwen en alle kenmerken van de reeks te berekenen: wiskundige verwachting, variantie en standaarddeviatie. Het rapport met de beschikking wordt opgemaakt in Word-formaat.

Aantal proeven: n= , Waarschijnlijkheid p =
Bereken de kans op: m =
zal komen eenmaal
minder eenmaal
tenminste eenmaal
meer eenmaal
niet meer eenmaal
tenminste en niet meer eenmaal
kom minstens één keer

In het geval dat n groot is, en λ = p n > 10, geeft de Poisson-formule een zeer ruwe benadering en om P n (m) te berekenen, gebruikt u de lokale en integrale stellingen van Moivre-Laplace.

Numerieke kenmerken van een willekeurige variabele X

De wiskundige verwachting van de Poisson-verdeling
M[X] =

Poisson-verdelingsvariantie
D[X] =

Voorbeeld 1. De zaden bevatten 0,1% onkruid. Wat is de kans om 5 wietzaden te vinden in een willekeurige selectie van 2000 zaden?
Beslissing.
De kans p is klein en het getal n groot. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Verwachte waarde: M[X] = λ = 2
Spreiding: D[X] = λ = 2

Voorbeeld #2. Er zijn 0,4% wietzaden onder roggezaden. Stel de verdelingswet van het aantal onkruiden op met een willekeurige selectie van 5000 zaden. Vind de wiskundige verwachting en variantie van deze willekeurige variabele.
Beslissing. Verwachting: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Variantie: D[X] = λ = 20
Distributierecht:

X	0	1	2	…	m	…
P	e-20	20e-20	200e-20	…	20 meter -20 / meter!	…

Voorbeeld #3. Bij de telefooncentrale treedt een foutieve aansluiting op met een kans van 1/200. Bereken de kans dat er onder 200 verbindingen zal zijn:
a) precies één verkeerde aansluiting;
b) minder dan drie foutieve aansluitingen;
c) meer dan twee foutieve aansluitingen.
Beslissing. Afhankelijk van de toestand van het probleem is de kans op een gebeurtenis klein, dus gebruiken we de Poisson-formule (15).
a) Gegeven: n = 200, p = 1/200, k = 1. Vind P 200 (1).
We krijgen: . Dan P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Gegeven: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
We hebben: a = 1.

c) Gegeven: n = 200, p = 1/200, k > 2. Vind P 200 (k > 2).
Dit probleem kan eenvoudiger worden opgelost: om de kans op de tegenovergestelde gebeurtenis te vinden, omdat u in dit geval minder termen hoeft te berekenen. Rekening houdend met het vorige geval, hebben we:

Beschouw het geval waarin n groot genoeg is en p klein genoeg; we zetten np = a, waarbij a een getal is. In dit geval wordt de gewenste kans bepaald door de Poisson-formule:

De kans op optreden van k gebeurtenissen in een tijdsduur t kan ook worden gevonden met behulp van de Poisson-formule:
waarbij λ de intensiteit van de stroom van gebeurtenissen is, dat wil zeggen, het gemiddelde aantal gebeurtenissen dat per tijdseenheid verschijnt.

Voorbeeld #4. De kans dat een onderdeel defect is is 0,005. 400 onderdelen worden gecontroleerd. Specificeer de formule voor het berekenen van de kans dat meer dan 3 onderdelen defect zijn.

Voorbeeld nummer 5. De kans op het verschijnen van defecte onderdelen in hun massaproductie is gelijk aan p. bepaal de kans dat een batch van N delen a) precies drie delen bevat; b) maximaal drie defecte onderdelen.
p=0,001; N=4500
Beslissing.
De kans p is klein en het getal n groot. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
De willekeurige variabele X heeft het bereik (0,1,2,...,m). De kansen van deze waarden zijn te vinden door de formule:

Laten we de distributiereeks X zoeken.
Hier λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Dan is de kans dat een batch van N delen precies drie delen bevat gelijk aan:

Dan is de kans dat een partij N onderdelen niet meer dan drie defecte onderdelen bevat:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Voorbeeld nummer 6. Een automatische telefooncentrale ontvangt gemiddeld N oproepen per uur. Bepaal de kans dat ze in een bepaalde minuut: a) precies twee oproepen ontvangt; b) meer dan twee oproepen.
N = 18
Beslissing.
In één minuut ontvangt de ATS gemiddeld λ = 18/60 min. = 0.3
Ervan uitgaande dat een willekeurig aantal X oproepen ontvangen op de PBX in één minuut,
gehoorzaamt aan de wet van Poisson, door de formule vinden we de vereiste kans

Laten we de distributiereeks X zoeken.
Hier λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

De kans dat ze precies twee oproepen ontvangt in een bepaalde minuut is:
P(2) = 0,03334
De kans dat ze meer dan twee oproepen in een bepaalde minuut zal ontvangen, is:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366

Voorbeeld nummer 7. We beschouwen twee elementen die onafhankelijk van elkaar werken. De duur van uptime heeft een exponentiële verdeling met de parameter λ1 = 0,02 voor het eerste element en λ2 = 0,05 voor het tweede element. Bereken de kans dat in 10 uur: a) beide elementen foutloos zullen werken; b) alleen Waarschijnlijkheid dat element #1 niet binnen 10 uur faalt:
Oplossing.
P 1 (0) \u003d e -λ1 * t \u003d e -0.02 * 10 \u003d 0.8187

De kans dat element #2 niet binnen 10 uur faalt is:
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0.05 * 10 \u003d 0.6065

a) beide elementen zullen feilloos werken;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) slechts één element zal falen.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Voorbeeld nummer 7. De productie geeft 1% van het huwelijk. Wat is de kans dat van de 1100 producten die voor onderzoek worden aangenomen, er niet meer dan 17 worden afgewezen?
Opmerking: aangezien hier n*p =1100*0.01=11 > 10, is het noodzakelijk om

Bij veel praktische problemen heeft men te maken met willekeurige variabelen die zijn verdeeld volgens een bijzondere wet, de wet van Poisson.

Overweeg een discontinue willekeurige variabele , die alleen gehele, niet-negatieve waarden kan aannemen:

en de volgorde van deze waarden is theoretisch onbeperkt.

Een willekeurige variabele wordt volgens de wet van Poisson verdeeld als de kans dat deze een bepaalde waarde aanneemt wordt uitgedrukt door de formule

waarbij a een positieve waarde is, de parameter van de Poissonwet.

De distributiereeks van een willekeurige variabele, verdeeld volgens de wet van Poisson, heeft de vorm:

Laten we er allereerst voor zorgen dat de reeks van kansen gegeven door formule (5.9.1) een verdelingsreeks kan zijn, d.w.z. dat de som van alle kansen gelijk is aan één. We hebben:

.

Op afb. 5.9.1 toont de verdelingsveelhoeken van een willekeurige variabele verdeeld volgens de wet van Poisson, overeenkomend met verschillende waarden van de parameter . Tabel 8 van de bijlage vermeldt de waarden voor verschillende .

Laten we de belangrijkste kenmerken definiëren - wiskundige verwachting en variantie - van een willekeurige variabele die wordt verdeeld volgens de wet van Poisson. Per definitie van wiskundige verwachting

.

De eerste term van de som (overeenkomend met ) is gelijk aan nul, daarom kan de optelling worden gestart vanaf :

Laten we aanduiden; dan

. (5.9.2)

De parameter is dus niets meer dan de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele.

Om de spreiding te bepalen, vinden we eerst het tweede beginmoment van de grootheid:

Volgens de eerder bewezen

daarnaast,

De spreiding van een willekeurige variabele die wordt verdeeld volgens de wet van Poisson is dus gelijk aan zijn wiskundige verwachting.

Deze eigenschap van de Poisson-verdeling wordt in de praktijk vaak gebruikt om te bepalen of de hypothese dat een willekeurige variabele volgens de wet van Poisson wordt verdeeld, aannemelijk is. Bepaal hiervoor uit ervaring de statistische kenmerken - de wiskundige verwachting en variantie - van een willekeurige variabele. Als hun waarden dicht bij elkaar liggen, kan dit als argument dienen voor de Poisson-verdelingshypothese; een scherp verschil in deze kenmerken getuigt integendeel tegen de hypothese.

Laten we voor een willekeurige variabele die is verdeeld volgens de wet van Poisson, de kans bepalen dat deze een waarde zal aannemen die niet kleiner is dan een bepaalde. Laten we deze kans aanduiden:

Het is duidelijk dat de kans kan worden berekend als de som

Het is echter veel gemakkelijker om het te bepalen uit de waarschijnlijkheid van de tegenovergestelde gebeurtenis:

(5.9.4)

In het bijzonder wordt de kans dat de waarde een positieve waarde zal aannemen uitgedrukt door de formule

(5.9.5)

We hebben al vermeld dat veel praktische taken leiden tot een Poisson-verdeling. Overweeg een van de typische problemen van dit soort.

Laat punten willekeurig worden verdeeld over de x-as Ox (Fig. 5.9.2). Neem aan dat de willekeurige verdeling van punten aan de volgende voorwaarden voldoet:

1. De kans om een ​​bepaald aantal punten op een segment te raken, hangt alleen af ​​van de lengte van dit segment, maar niet van zijn positie op de x-as. Met andere woorden, de punten zijn verdeeld over de x-as met dezelfde gemiddelde dichtheid. Laten we deze dichtheid (d.w.z. de wiskundige verwachting van het aantal punten per lengte-eenheid) aanduiden als .

2. De punten zijn onafhankelijk van elkaar op de x-as verdeeld, d.w.z. de kans om een ​​of ander aantal punten op een bepaald segment te raken, hangt niet af van hoeveel van hen op een ander segment vielen dat het niet overlapt.

3. De kans om een ​​klein gebied van twee of meer punten te raken is verwaarloosbaar in vergelijking met de kans om één punt te raken (deze voorwaarde betekent de praktische onmogelijkheid van samenvallen van twee of meer punten).

Laten we een bepaald lengtesegment op de as van de abscis selecteren en een discrete willekeurige variabele beschouwen - het aantal punten dat op dit segment valt. Mogelijke waarden van de hoeveelheid zijn:

Aangezien de punten onafhankelijk van elkaar op het segment vallen, is het theoretisch mogelijk dat er een willekeurig groot aantal zal zijn, d.w.z. serie (5.9.6) gaat voor onbepaalde tijd door.

Laten we bewijzen dat de willekeurige variabele de Poisson-verdelingswet heeft. Om dit te doen, berekenen we de kans dat er precies punten op het segment vallen.

Laten we eerst een eenvoudiger probleem oplossen. Beschouw een kleine sectie op de Ox-as en bereken de kans dat ten minste één punt op deze sectie zal vallen. We zullen als volgt redeneren. De wiskundige verwachting van het aantal punten dat op deze sectie valt, is duidelijk gelijk (omdat er gemiddeld punten zijn per lengte-eenheid). Volgens voorwaarde 3 kan voor een klein segment de mogelijkheid dat er twee of meer punten op vallen, worden verwaarloosd. Daarom zal de wiskundige verwachting van het aantal punten dat op de site valt ongeveer gelijk zijn aan de kans dat één punt erop valt (of, wat in onze omstandigheden equivalent is, ten minste één).

Dus, tot oneindig kleine getallen van een hogere orde, bij , kunnen we aannemen dat de kans dat één (ten minste één) punt op de site zal vallen gelijk is aan , en de kans dat er geen zal vallen gelijk is aan .

Laten we dit gebruiken om de kans te berekenen dat we precies punten op het segment raken. Verdeel het segment in gelijke lengtes. Laten we afspreken om een ​​elementair segment "leeg" te noemen als het geen enkel punt bevat, en "bezet" als er tenminste één in is gevallen. Volgens het bovenstaande is de kans dat het segment "bezet" zal zijn ongeveer gelijk aan; de kans dat het "leeg" zal zijn is . Aangezien, volgens voorwaarde 2, de treffers van punten in niet-overlappende segmenten onafhankelijk zijn, kunnen onze n segmenten worden beschouwd als onafhankelijke "experimenten", waarbij elk segment kan worden "bezet" met waarschijnlijkheid . Bereken de kans dat er tussen de segmenten precies "bezet" zal zijn. Volgens de herhalingsstelling is deze kans gelijk aan

of, ter aanduiding van

(5.9.7)

Voor een voldoende grote waarde is deze kans ongeveer gelijk aan de kans om precies punten op het segment te raken, aangezien het raken van twee of meer punten op het segment een verwaarloosbare kans heeft. Om de exacte waarde van te vinden, is het in expressie (5.9.7) noodzakelijk om naar de limiet te gaan op:

(5.9.8)

Laten we de uitdrukking onder het limietteken transformeren:

(5.9.9)

De eerste breuk en de noemer van de laatste breuk in uitdrukking (5.9.9) neigen uiteraard naar eenheid. De uitdrukking is niet afhankelijk van. De teller van de laatste breuk kan als volgt worden omgerekend:

(5.9.10)

Wanneer en expressie (5.9.10) heeft de neiging om . Het is dus bewezen dat de kans dat precies punten in een segment vallen, wordt uitgedrukt door de formule

waar, d.w.z. de grootheid X wordt verdeeld volgens de wet van Poisson met de parameter .

Merk op dat de betekenis van de waarde het gemiddelde aantal punten per segment is.

De waarde (de kans dat de waarde van X een positieve waarde zal aannemen) drukt in dit geval de kans uit dat ten minste één punt op het segment valt:

We hebben dus gezien dat de Poisson-verdeling optreedt waar sommige punten (of andere elementen) onafhankelijk van elkaar een willekeurige positie innemen, en het aantal van deze punten dat in een bepaald gebied valt, wordt geteld. In ons geval was zo'n "gebied" een segment op de x-as. Onze conclusie kan echter gemakkelijk worden uitgebreid tot het geval van verdeling van punten in het vlak (willekeurig vlak veld van punten) en in de ruimte (willekeurig ruimtelijk veld van punten). Het is gemakkelijk te bewijzen dat als aan de volgende voorwaarden is voldaan:

1) de punten zijn statistisch uniform verdeeld over het veld met een gemiddelde dichtheid;

2) punten vallen onafhankelijk in niet-overlappende regio's;

3) punten afzonderlijk verschijnen, en niet in paren, triples, enz., dan wordt het aantal punten dat in een gebied valt (plat of ruimtelijk) verdeeld volgens de wet van Poisson:

waar is het gemiddelde aantal punten dat in het gebied valt.

Voor de platte koffer:

waar is het gebied van de regio; voor ruimtelijk

waar is het volume van de regio.

Merk op dat voor de Poisson-verdeling van het aantal punten dat in een segment of gebied valt, de voorwaarde van constante dichtheid () niet essentieel is. Als aan de andere twee voorwaarden is voldaan, dan vindt de wet van Poisson nog steeds plaats, alleen de parameter a daarin krijgt een andere uitdrukking: het wordt niet verkregen door de dichtheid eenvoudigweg te vermenigvuldigen met de lengte, oppervlakte of volume van het gebied, maar door integratie de variabele dichtheid over een segment, gebied of volume. (Voor meer hierover, zie nr. 19.4)

De aanwezigheid van willekeurige punten verspreid over een lijn, op een vlak of op een volume is niet de enige voorwaarde waaronder de Poisson-verdeling optreedt. Men kan bijvoorbeeld bewijzen dat de wet van Poisson beperkend is voor de binominale verdeling:

, (5.9.12)

als we tegelijkertijd het aantal experimenten op oneindig richten en de kans op nul, en hun product blijft constant:

Inderdaad, deze beperkende eigenschap van de binominale verdeling kan worden geschreven als:

. (5.9.14)

Maar uit voorwaarde (5.9.13) volgt dat:

Als we (5.9.15) in (5.9.14) plaatsen, krijgen we de gelijkheid

, (5.9.16)

wat zojuist door ons is bewezen bij een andere gelegenheid.

Deze beperkende eigenschap van de binominale wet wordt in de praktijk vaak gebruikt. Laten we aannemen dat er een groot aantal onafhankelijke experimenten wordt gedaan, waarbij elk een gebeurtenis een zeer kleine kans heeft. Om vervolgens de kans te berekenen dat een gebeurtenis precies één keer voorkomt, kunt u de formule bij benadering gebruiken:

, (5.9.17)

waar is de parameter van de wet van Poisson, die ongeveer de binominale verdeling vervangt.

Van deze eigenschap van de wet van Poisson - om de binominale verdeling uit te drukken met een groot aantal experimenten en een kleine kans op een gebeurtenis - komt zijn naam, vaak gebruikt in leerboeken voor statistieken: de wet van zeldzame verschijnselen.

Laten we eens kijken naar een paar voorbeelden met betrekking tot de Poisson-verdeling uit verschillende praktijkgebieden.

Voorbeeld 1: Een automatische telefooncentrale ontvangt oproepen met een gemiddelde beldichtheid per uur. Ervan uitgaande dat het aantal oproepen in een tijdsperiode is verdeeld volgens de wet van Poisson, bereken dan de kans dat precies drie oproepen binnen twee minuten op het station aankomen.

Beslissing. Het gemiddelde aantal gesprekken per twee minuten is:

m² Om het doel te raken, is ten minste één fragment voldoende om het te raken. Bereken de kans om het doel te raken voor een bepaalde positie van het discontinuïteitspunt.

Beslissing. . Met behulp van formule (5.9.4) vinden we de kans om ten minste één fragment te raken:

(Om de waarde van de exponentiële functie te berekenen, gebruiken we tabel 2 van de bijlage).

Voorbeeld 7. De gemiddelde dichtheid van pathogene microben in één kubieke meter lucht is 100. Voor een monster wordt 2 kubieke meter genomen. dm lucht. Bereken de kans dat er ten minste één microbe in wordt gevonden.

Beslissing. Als we de hypothese van de Poisson-verdeling van het aantal microben in een volume accepteren, vinden we:

Voorbeeld 8. 50 onafhankelijke schoten worden afgevuurd op een doel. De kans om het doel met één schot te raken is 0,04. Gebruik de beperkende eigenschap van de binominale verdeling (formule (5.9.17)) en vind ongeveer de kans dat het doelwit zal raken: geen projectiel, één projectiel, twee projectielen.

Beslissing. We hebben . Volgens tabel 8 van de toepassing vinden we de kansen.