Wiskundige modellen van veel signalen die veel worden gebruikt in radiotechniek voldoen niet aan de absolute integreerbaarheidsvoorwaarde, dus de Fourier-transformatiemethode in zijn gebruikelijke vorm is niet op hen van toepassing. Zoals echter werd opgemerkt, kan men spreken over de spectrale dichtheden van dergelijke signalen, als we aannemen dat deze dichtheden worden beschreven door gegeneraliseerde functies.

Gegeneraliseerde Rayleigh-formule. Laten we een belangrijke aanvullende verklaring bewijzen met betrekking tot de spectrale eigenschappen van signalen.

Laat twee signalen in het algemeen complexe waarde hebben, gedefinieerd door hun inverse Fourier-transformaties:

Laten we het scalaire product van deze signalen vinden, een ervan uitdrukkend, bijvoorbeeld door zijn spectrale dichtheid:

Hier is de binnenste integraal duidelijk de spectrale dichtheid van het signaal. Dat is waarom

De resulterende relatie is een gegeneraliseerde Rayleigh-formule. Een gemakkelijk te onthouden interpretatie van deze formule is als volgt: het scalaire product van twee signalen, tot aan een coëfficiënt, is evenredig met het scalaire product van hun spectrale dichtheden.

Generalisatie van het concept van spectrale dichtheid.

We nemen aan dat het signaal een absoluut integreerbare functie is. Dan is de Fourier-transformatie de gebruikelijke klassieke frequentiefunctie. Laat het signaal bovendien niet voldoen aan de absolute integreerbaarheidsvoorwaarde en de Fourier-transformatie bestaat niet in de gebruikelijke klassieke zin. Men kan het concept van spectrale dichtheid echter uitbreiden door aan te nemen dat het een algemene functie is in de zin van § 1.2. Om dit te doen, in overeenstemming met de gegeneraliseerde Rayleigh-formule, is het voldoende om aan te nemen dat het een functie is die, werkend op een bekende functie, het volgende resultaat geeft:

Het is raadzaam om methoden te overwegen voor het berekenen van de spectra van niet-integreerbare signalen met behulp van specifieke voorbeelden.

Spectrale dichtheid van een tijdconstant signaal. Het eenvoudigste niet-integreerbare signaal is een constante waarde en . Stel dat dit een willekeurig reëel absoluut integreerbaar signaal is met een bekende spectrale dichtheid

Uitbreidende formule (2.43), we hebben

Maar, zoals gemakkelijk te zien is,

Daarom concluderen we op basis van de filtereigenschap van de deltafunctie dat gelijkheid (2.43) alleen mogelijk is onder de voorwaarde dat:

De fysieke betekenis van het verkregen resultaat is duidelijk - een tijdinvariant signaal heeft alleen een spectrale component bij een frequentie nul.

Spectrale dichtheid van een complex exponentieel signaal.

Laat een complex exponentieel signaal zijn met een gegeven reële frequentie.Dit signaal is niet absoluut integreerbaar, aangezien de functie s(t) niet naar een limiet neigt bij . De Fourier-transformatie van dit signaal, in algemene zin beschouwd, moet voldoen aan de relatie

Vandaar dat de gewenste spectrale dichtheid S(co) als volgt wordt uitgedrukt:

Let op het volgende:

1. De spectrale dichtheid van een complex exponentieel signaal is overal gelijk aan nul, behalve op het punt waar het een delta-singulariteit heeft.

2. Het spectrum van dit signaal is asymmetrisch rond het punt en is geconcentreerd in het gebied van positieve of negatieve frequenties.

Spectrale dichtheid van harmonische oscillaties. Laat volgens de Euler-formule

Het spectrum van het hierboven gevonden complexe exponentiële signaal, evenals de lineariteitseigenschap van de Fourier-transformatie, stellen ons in staat om onmiddellijk de uitdrukking voor de spectrale dichtheid van het cosinussignaal te schrijven:

De lezer kan gemakkelijk zelf controleren dat voor een sinusvormig signaal de relatie

Opgemerkt moet worden dat uitdrukking (2.46) een even is en uitdrukking (2.47) een oneven functie van frequentie.

Spectrale dichtheid van een willekeurig periodiek signaal.

Voorheen werden periodieke signalen bestudeerd door methoden van de theorie van Fourierreeksen. Nu kunt u uw begrip van hun spectrale eigenschappen uitbreiden door periodieke signalen te beschrijven met behulp van de Fourier-transformatie.

Een periodiek signaal gegeven door zijn Fourierreeks in complexe vorm. Op basis van formule (2.45), rekening houdend met de lineariteitseigenschap van de Fourier-transformatie, verkrijgen we onmiddellijk de uitdrukking voor de spectrale dichtheid van een dergelijk signaal:

De overeenkomstige spectrale dichtheidsgrafiek in zijn configuratie herhaalt het gebruikelijke spectrale diagram van een periodiek signaal. De grafiek wordt gevormd door delta-pulsen in het frequentiedomein, die zich bevinden op punten met coördinaten

Spectrale dichtheid van de schakelfunctie.

Laten we de spectrale dichtheid van de inclusiefunctie berekenen, die we voor de eenvoud op alle punten definiëren, behalve het punt t = 0 [vgl. met (1.2)]:

Allereerst merken we op dat de inschakelfunctie wordt verkregen door naar de limiet van de exponentiële videopuls te gaan:

Daarom kan men proberen de spectrale dichtheid van de inclusiefunctie te verkrijgen door naar de limiet te gaan als a - 0 in de formule voor de spectrale dichtheid van een exponentiële oscillatie:

Een directe overgang naar de limiet, volgens welke geldig is voor alle frequenties, behalve voor de waarde van , wanneer meer zorgvuldige overweging nodig is.

Allereerst scheiden we de reële en imaginaire delen in de spectrale dichtheid van het exponentiële signaal:

Het kan worden geverifieerd dat

Inderdaad, de grenswaarde van deze breuk verdwijnt voor iedereen, en tegelijkertijd

ongeacht de waarde van a, waaruit de bewering volgt.

We hebben dus een één-op-één overeenkomst verkregen tussen de inclusiefunctie en zijn spectrale dichtheid:

De delta-singulariteit bij geeft aan dat de inschakelfunctie een constante component gelijk aan 1/2 heeft.

Spectrale dichtheid van een radiopuls.

Zoals bekend wordt een radiopuls gegeven als een product van een videopuls, die de rol van een omhullende speelt, en een niet-integreerbare harmonische oscillatie: .

Om de spectrale dichtheid van een radiopuls te vinden, nemen we aan dat een bekende functie het spectrum van zijn omhullende is. Het spectrum van een cosinussignaal met een willekeurige beginfase wordt verkregen door een elementaire generalisatie van formule (2.46):

Het spectrum van een radiopuls is een convolutie

Rekening houdend met de filtereigenschap van de deltafunctie, verkrijgen we een belangrijk resultaat:

Rijst. 2.8 illustreert de transformatie van het spectrum van een videopuls wanneer deze wordt vermenigvuldigd met een hoogfrequent harmonisch signaal.

Rijst. 2.8. Frequentie-afhankelijkheid van de modulus van spectrale dichtheid: a - videopuls; b - radiopuls

Het is te zien dat de overgang van een videopuls naar een radiopuls in de spectrale benadering de overdracht van het videopulsspectrum naar het hoogfrequente gebied betekent - in plaats van een enkel spectrale dichtheidsmaximum bij , worden twee maxima waargenomen bij bij , de absolute waarden van de maxima worden gehalveerd.

Merk op dat de grafieken in Fig. 2.8 komen overeen met situaties waarin de frequentie aanzienlijk groter is dan de effectieve breedte van het videopulsspectrum (dit is het geval dat in de praktijk meestal wordt geïmplementeerd). In dit geval is er geen merkbare "overlap" van de spectra die overeenkomen met positieve en negatieve frequenties. Het kan echter blijken dat de bandbreedte van het videopulsspectrum zo groot is (voor een korte puls) dat de geselecteerde frequentiewaarde het "overlappende" effect niet elimineert. Als gevolg hiervan zijn de profielen van de spectra van de videopuls en de radiopuls niet meer vergelijkbaar.

Voorbeeld 2.3. Spectrale dichtheid van een rechthoekige radiopuls.

Voor de eenvoud stellen we de beginfase in op nul en schrijven we het wiskundige model van de radiopuls in de vorm

Het spectrum van de bijbehorende videopuls kennen [zie formule (2.20)], op basis van (2.50) vinden we het benodigde spectrum:

Op afb. 2.9 toont de resultaten van het berekenen van de spectrale dichtheid met formule (2.51) voor twee karakteristieke gevallen,

In het eerste geval (Fig. 2.9, a) bevat de omhullende impuls 10 perioden van hoogfrequente vulling, de frequentie is hier hoog genoeg om "overlapping" te voorkomen. In het tweede geval (Fig. 2.9, b) bestaat de radiopuls uit slechts één vulperiode. De superpositie van de componenten die overeenkomen met de gebieden met positieve en negatieve frequenties leidt tot een karakteristieke asymmetrie van de bloembladstructuur van de grafiek van de spectrale dichtheid van de radiopuls.

Rijst. 2.9. Grafieken van de spectrale dichtheden van een radiopuls met een rechthoekige omhullende: a - at ; b - at

In statistische radiotechniek en natuurkunde, bij het bestuderen van deterministische signalen en willekeurige processen, wordt hun spectrale representatie in de vorm van spectrale dichtheid, die is gebaseerd op de Fourier-transformatie, veel gebruikt.

Als het proces een eindige energie heeft en kwadratisch integreerbaar is (en dit is een niet-stationair proces), dan kan voor één implementatie van het proces de Fourier-transformatie worden gedefinieerd als een willekeurige complexe functie van frequentie:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e ik 2 π f t d t . (\displaystyle X(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty) x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

(1)

Het blijkt echter bijna nutteloos te zijn om het ensemble te beschrijven. De uitweg uit deze situatie is om enkele parameters van het spectrum, namelijk het spectrum van fasen, te verwerpen en een functie te construeren die de verdeling van de energie van het proces langs de frequentie-as kenmerkt. Dan, volgens de stelling van Parseval, is de energie

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X(f) | 2d f. (\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty)^(\infty ) |X(f)|^(2)df.)

(2)

Functie S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2)) karakteriseert dus de verdeling van realisatie-energie langs de frequentie-as en wordt de spectrale dichtheid van realisatie genoemd. Door deze functie over alle realisaties te middelen, kan men de spectrale dichtheid van het proces verkrijgen.

Laten we ons nu wenden tot een grotendeels stationair gecentreerd stochastisch proces x (t) (\displaystyle x(t)), waarvan de realisaties oneindige energie hebben met kans 1 en daarom geen Fourier-transformatie hebben. De spectrale vermogensdichtheid van een dergelijk proces kan worden gevonden op basis van de stelling van Wiener-Khinchin als de Fourier-transformatie van de correlatiefunctie:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − ik 2 π f τ d τ . (\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty)^(\infty) k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau)d\tau.)

(3)

Als er een directe transformatie is, dan is er ook een inverse Fourier-transformatie, die bepaalt uit de bekende k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e ik 2 π f τ d f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty)^(\infty) S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau)df.)

(4)

Als we aannemen in respectievelijk formules (3) en (4), f = 0 (\displaystyle f=0) en τ = 0 (\displaystyle \tau =0), wij hebben

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty)^(\infty) k_(x)(\tau )d\tau ,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . (\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.)

(6)

Formule (6), rekening houdend met (2), laat zien dat de variantie de totale energie bepaalt van een stationair willekeurig proces, dat gelijk is aan het gebied onder de spectrale dichtheidskromme. dimensionale waarde: S x (f) d f (\ Displaystyle S_ (x) (f) df) kan worden geïnterpreteerd als de fractie van energie geconcentreerd in een klein frequentiebereik van f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2) voordat f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Indien begrepen door x (t) (\displaystyle x(t)) willekeurige (fluctuatie) stroom of spanning, dan is de waarde S x (f) (\ Displaystyle S_ (x) (f)) zal de dimensie energie hebben [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Dat is waarom S x (f) (\ Displaystyle S_ (x) (f)) soms genoemd energie spectrum. In de literatuur vind je vaak een andere interpretatie: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))- wordt beschouwd als het gemiddelde vermogen dat vrijkomt door de stroom of spanning bij een weerstand van 1 ohm. Tegelijkertijd is de waarde S x (f) (\ Displaystyle S_ (x) (f)) genaamd vermogensspectrum willekeurig proces.

Spectrale dichtheidseigenschappen

• Het energiespectrum van een stationair proces (reëel of complex) is een niet-negatieve waarde:

S x (f) ≥ 0 (\ Displaystyle S_ (x) (f) \ geq 0).

(7)

• Het energiespectrum van een echte stationaire in de brede zin van een willekeurig proces is een reële en gelijkmatige functie van frequentie:

S x (− f) = S x (f) (\displaystyle S_(x)(-f)=S_(x)(f)).

(8)

1. Signalen en spectra. Theoretische grondslagen van digitale communicatie

1. Signalen en spectra

1.1. Signaalverwerking in digitale communicatie

1.1.1. Waarom "digitaal"

Waarom worden "nummers" gebruikt in militaire en commerciële communicatiesystemen? Er zijn veel redenen. Het belangrijkste voordeel van deze benadering is het gemak van de reconstructie van digitale signalen in vergelijking met analoge. Beschouw afb. 1.1, die een ideale binaire digitale puls laat zien die zich door een datakanaal voortplant. De golfvorm wordt beïnvloed door twee hoofdmechanismen: (1) aangezien alle kanalen en transmissielijnen een niet-ideale frequentierespons hebben, wordt de ideale puls vervormd; en (2) ongewenste elektrische ruis of andere interferentie van buitenaf vervormt de golfvorm verder. Hoe langer het kanaal, hoe significanter deze mechanismen de impuls verstoren (Fig. 1.1). Hoewel de uitgezonden puls nog steeds betrouwbaar kan worden gedetecteerd (voordat deze degradeert tot een dubbelzinnige toestand), wordt de puls versterkt door een digitale versterker, waardoor de oorspronkelijke ideale vorm wordt hersteld. Het momentum is "herboren" of hersteld. Regeneratieve repeaters die zich op een bepaalde afstand van elkaar in het communicatiekanaal bevinden, zijn verantwoordelijk voor signaalherstel.

Digitale kanalen zijn minder gevoelig voor vervorming en interferentie dan analoge kanalen. Omdat binaire digitale kanalen alleen een zinvol signaal geven wanneer ze in een van de twee toestanden werken - aan of uit - moet de storing groot genoeg zijn om het werkpunt van het kanaal van de ene toestand naar de andere te verplaatsen. Het hebben van slechts twee toestanden vergemakkelijkt signaalherstel en voorkomt daardoor de ophoping van ruis of andere storingen tijdens de transmissie. Analoge signalen daarentegen zijn geen tweetoestandssignalen; ze kunnen een oneindig aantal aannemen vormen. Bij analoge kanalen kan zelfs een kleine storing het signaal onherkenbaar vervormen. Als een analoog signaal eenmaal is vervormd, kan de storing niet door versterking worden verwijderd. Omdat ruisaccumulatie onlosmakelijk verbonden is met analoge signalen, kunnen ze daardoor niet perfect worden gereproduceerd. Met digitale technologie maken het zeer lage foutenpercentage plus de toepassing van foutdetectie- en -correctieprocedures een hoge signaalgetrouwheid mogelijk. Het blijft alleen om op te merken dat dergelijke procedures niet beschikbaar zijn met analoge technologieën.

Afb.1.1. Herstel van vervorming en momentum

Er zijn nog andere belangrijke voordelen van digitale communicatie. Digitale kanalen zijn betrouwbaarder en kunnen tegen lagere prijzen worden geproduceerd dan analoge kanalen. Bovendien maakt digitale software meer mogelijk flexibele implementatie dan analoog (bijvoorbeeld microprocessors, digitaal schakelen en grootschalige geïntegreerde schakelingen (LSI)). Het gebruik van digitale signalen en time-division multiplexing (TDM) is eenvoudiger dan analoge signalen en frequency-division multiplexing (FDM). Bij transmissie en schakelen kunnen verschillende soorten digitale signalen (data, telegraaf, telefoon, televisie) als identiek worden beschouwd: een bit is tenslotte een bit. Om het schakelen en verwerken te vergemakkelijken, kunnen digitale berichten bovendien worden gegroepeerd in autonome eenheden die pakketten worden genoemd. Digitale technologieën bevatten natuurlijk functies die bescherming bieden tegen interferentie en signaalonderdrukking, of codering of privacy bieden. (Dergelijke technologieën worden besproken in de hoofdstukken 12 en 14.) Bovendien vindt communicatie voornamelijk plaats tussen twee computers, of tussen een computer en digitale apparaten of een terminal. Dergelijke digitale terminals worden beter (en natuurlijker!) bediend door digitale communicatiekanalen.

Wat betalen we voor de voordelen van digitale communicatiesystemen? Digitale systemen vereisen meer verwerking dan analoge systemen. Bovendien vereisen digitale systemen een aanzienlijke hoeveelheid middelen die moeten worden toegewezen voor synchronisatie op verschillende niveaus (zie hoofdstuk 10). Analoge systemen daarentegen zijn gemakkelijker te synchroniseren. Een ander nadeel van digitale communicatiesystemen is dat de achteruitgang in kwaliteit een drempelwaarde heeft. Als de signaal-ruisverhouding onder een bepaalde drempel komt, kan de kwaliteit van de dienstverlening plotseling veranderen van zeer goed naar zeer slecht. In analoge systemen verloopt degradatie echter soepeler.

1.1.2. Typisch doosdiagram en basistransformaties

Het functionele blokschema getoond in Fig. 1.2 illustreert signaalvoortplanting en verwerkingsstappen in een typisch digitaal communicatiesysteem (DCS). De bovenste blokken - formattering, broncodering, codering, kanaalcodering, multiplexing, pulsmodulatie, bandpassmodulatie, gespreid spectrum en meervoudige toegang - weerspiegelen signaaltransformaties op de weg van bron naar zender. De onderste blokken van het diagram zijn signaaltransformaties op de weg van de ontvanger naar de ontvanger van informatie, en in feite zijn ze tegengesteld aan de bovenste blokken. De modulatie- en demodulatie-/detectie-eenheden worden gezamenlijk een modem genoemd. De term "modem" combineert vaak verschillende signaalverwerkingsstappen, getoond in Fig. 1,2; in dit geval kan de modem worden gezien als het "brein" van het systeem. De zender en ontvanger kunnen worden gezien als de "spieren" van het systeem. Voor draadloze toepassingen bestaat een zender uit een radiofrequentie (RF) opschalingsschakeling, een eindversterker en een antenne, en een ontvanger uit een antenne en een ruisarme versterker (LNA). Omgekeerde frequentiereductie wordt uitgevoerd aan de uitgang van de ontvanger en/of demodulator.

Op afb. 1.2 illustreert de overeenkomst tussen de blokken van de bovenste (zendende) en onderste (ontvangende) delen van het systeem. De signaalverwerkingsstappen die in de zender plaatsvinden, zijn overwegend het tegenovergestelde van de ontvangerstappen. Op afb. 1.2 de broninformatie wordt omgezet in binaire cijfers (bits); de bits worden vervolgens gegroepeerd in digitale berichten of berichttekens. Elk van deze tekens (waar ) kan worden beschouwd als een element van een eindig alfabet dat . bevat M elementen. daarom, voor M=2 het berichtsymbool is binair (d.w.z. het bestaat uit één bit). Hoewel binaire tekens kunnen worden geclassificeerd als M-ary (met M=2), meestal de naam " M-ary" wordt gebruikt voor gevallen M>2; daarom bestaan ​​dergelijke symbolen uit een reeks van twee of meer bits. (Vergelijk het vergelijkbare eindige alfabet van DCS-systemen met wat we hebben in analoge systemen, waar het berichtsignaal een element is van een oneindige reeks mogelijke signalen.) Voor systemen die kanaalcodering gebruiken (foutcorrectiecodes), is de volgorde van berichtsymbolen omgezet in een reeks kanaalsymbolen), en elk kanaalteken wordt aangegeven met . Omdat berichtsymbolen of kanaalsymbolen kunnen bestaan ​​uit een enkele bit of een groep bits, wordt een reeks van dergelijke symbolen een bitstroom genoemd (Figuur 1.2).

Overweeg de belangrijkste blokken van signaalverwerking getoond in Fig. 1,2; alleen de formatterings-, modulatie-, demodulatie/detectie- en synchronisatiestappen zijn nodig voor DCS-systemen.

Formatteren zet de originele informatie om in bits, waardoor de informatie- en signaalverwerkingsfuncties compatibel zijn met het DCS-systeem. Vanaf dit punt in de figuur tot aan het pulsmodulatieblok blijft de informatie in de vorm van een bitstroom.

Rijst. 1.2. Blokschema van een typisch digitaal communicatiesysteem

Modulatie is het proces waarbij berichtsymbolen of kanaalsymbolen (indien kanaalcodering wordt gebruikt) worden omgezet in signalen die compatibel zijn met de eisen die door het datakanaal worden gesteld. Pulsmodulatie is een andere noodzakelijke stap omdat elk te verzenden symbool eerst moet worden geconverteerd van een binaire weergave (spanningsniveaus vertegenwoordigen binaire nullen en enen) naar smalbandige signaalvorm. De term "smalband" (basisband) definieert een signaal waarvan het spectrum begint bij (of nabij) de constante component en eindigt met een eindwaarde (meestal niet meer dan een paar megahertz). Het PCM-blok omvat typisch filtering om de transmissiebandbreedte te minimaliseren. Wanneer pulsmodulatie wordt toegepast op binaire symbolen, wordt het resulterende binaire signaal een PCM (pulscodemodulatie) gecodeerd signaal genoemd. Er zijn verschillende soorten PCM-signalen (beschreven in hoofdstuk 2); in telefonietoepassingen worden deze signalen vaak kanaalcodes genoemd. Wanneer pulsmodulatie wordt toegepast op niet-binaire symbolen, wordt het resulterende signaal aangeduid als: M-air pulsgemoduleerd. Er zijn verschillende soorten van dergelijke signalen, die ook worden beschreven in hoofdstuk 2, dat zich richt op puls-amplitudemodulatie (PAM). Na pulsmodulatie heeft elk berichtsymbool of kanaalsymbool de vorm van een banddoorlaatsignaal, waarbij . In elke elektronische implementatie wordt de bitstroom die voorafgaat aan de pulsmodulatie weergegeven door spanningsniveaus. De vraag kan opkomen waarom er een apart blok is voor pulsmodulatie, terwijl in feite de spanningsniveaus voor binaire nullen en enen al kunnen worden beschouwd als ideale rechthoekige pulsen, waarvan de duur gelijk is aan de transmissietijd van één bit? Er zijn twee belangrijke verschillen tussen deze spanningsniveaus en de banddoorlaatsignalen die voor modulatie worden gebruikt. Ten eerste maakt het pulsmodulatieblok het gebruik van binaire en M-arische signalen. Paragraaf 2.8.2 beschrijft de verschillende bruikbare parameters van deze signaaltypes. Ten tweede genereert de filtering die wordt uitgevoerd in het pulsmodulatieblok pulsen waarvan de duur langer is dan de transmissietijd van één bit. Door te filteren kunt u langere pulsen gebruiken; de pulsen worden dus verspreid over aangrenzende bittijdsleuven. Dit proces wordt soms pulsvorming genoemd; het wordt gebruikt om de transmissiebandbreedte binnen een bepaald gewenst gebied van het spectrum te houden.

Voor toepassingen met radiofrequentietransmissie is de volgende belangrijke stap bandpassmodulatie; het is nodig wanneer het transmissiemedium de voortplanting van gepulseerde signalen niet ondersteunt. In dergelijke gevallen vereist de omgeving een banddoorlaatsignaal, waarbij . De term "banddoorlaat" wordt gebruikt om aan te geven dat een smalbandsignaal wordt verschoven door een draaggolf met een frequentie die veel groter is dan de spectrale componenten. Terwijl het signaal zich door het kanaal voortplant, wordt het beïnvloed door de karakteristieken van het kanaal, die kunnen worden uitgedrukt in termen van de impulsrespons (zie paragraaf 1.6.1). Ook vervormt op verschillende punten langs het signaalpad extra willekeurige ruis het ontvangen signaal, dus ontvangst moet worden uitgedrukt in termen van een beschadigde versie van het signaal van de zender. Het ontvangen signaal kan als volgt worden uitgedrukt:

waarbij het "*"-teken de convolutiebewerking voorstelt (zie aanhangsel A) en het ruisproces is (zie punt 1.5.5).

In de omgekeerde richting zorgen het front-end van de ontvanger en/of de demodulator voor een frequentiereductie voor elk banddoorlaatsignaal. Ter voorbereiding op detectie reconstrueert de demodulator het smalbandsignaal als een optimale omhullende. Meestal zijn er meerdere filters gekoppeld aan de ontvanger en demodulator - er wordt gefilterd om ongewenste hoogfrequente componenten te verwijderen (tijdens de conversie van een banddoorlaatsignaal naar smalband) en pulsvorming. Egalisatie kan worden beschreven als een type filtering dat in de demodulator (of na de demodulator) wordt gebruikt om eventuele signaaldegradatie-effecten die door het kanaal kunnen worden veroorzaakt, te verwijderen. Egalisatie is nodig als de impulsrespons van het kanaal zo slecht is dat het ontvangen signaal ernstig wordt vervormd. Een equalizer (equalizer) is geïmplementeerd om eventuele signaalvervorming veroorzaakt door de niet-ideale respons te compenseren (d.w.z. te verwijderen of te verzwakken). Ten slotte zet de bemonsteringsstap de gevormde puls om in een monster om het (ongeveer) kanaalsymbool of berichtsymbool te herstellen (als er geen kanaalcodering wordt gebruikt). Sommige auteurs gebruiken de termen "demodulatie" en "detectie" door elkaar. In dit boek verwijst demodulatie naar het herstel van een signaal (bandbreedtepuls), en detectie verwijst naar het nemen van een beslissing over de digitale waarde van dat signaal.

De overige fasen van signaalverwerking in de modem zijn optioneel en zijn bedoeld om aan specifieke systeembehoeften te voldoen. Broncodering is het omzetten van een analoog signaal naar digitaal (voor analoge bronnen) en het verwijderen van overtollige (onnodige) informatie. Merk op dat een typisch DCS-systeem ofwel broncodering kan gebruiken (om de originele informatie te digitaliseren en comprimeren) of een eenvoudigere formatteringstransformatie (alleen om te digitaliseren). Het systeem kan niet tegelijkertijd broncodering en opmaak toepassen, aangezien de eerste al de noodzakelijke stap omvat voor het digitaliseren van de informatie. Versleuteling, die wordt gebruikt om de geheimhouding van communicatie te waarborgen, voorkomt dat een onbevoegde gebruiker het bericht begrijpt en valse berichten in het systeem introduceert. Kanaalcodering met een bepaalde datasnelheid kan de PE-foutkans verminderen of de signaal-ruisverhouding die nodig is om de gewenste PE-waarschijnlijkheid te verkrijgen, verminderen door de transmissiebandbreedte te vergroten of de decoder ingewikkelder te maken. De multiplexing- en meervoudige toegangsprocedures combineren signalen die verschillende kenmerken kunnen hebben of afkomstig kunnen zijn van verschillende bronnen, zodat ze een deel van de communicatiebronnen (bijv. spectrum, tijd) kunnen delen. Frequentiespreiding kan een signaal leveren dat relatief immuun is voor interferentie (zowel natuurlijk als opzettelijk) en kan worden gebruikt om de privacy van de communicerende partijen te verbeteren. Het is ook een waardevolle technologie die wordt gebruikt voor meervoudige toegang.

Signaalverwerkingsblokken getoond in Fig. 1.2 vertegenwoordigen een typisch diagram van een digitaal communicatiesysteem; deze blokken worden echter soms in een iets andere volgorde geïmplementeerd. Multiplexing kan bijvoorbeeld plaatsvinden voorafgaand aan kanaalcodering of modulatie, of, in een tweetraps modulatieproces (subdraaggolf en draaggolf), kan het plaatsvinden tussen twee modulatiestadia. Evenzo kan het frequentie-uitbreidingsblok op verschillende plaatsen in de bovenste rij van Fig. 1,2; de exacte locatie hangt af van de specifieke technologie die wordt gebruikt. Synchronisatie en het belangrijkste element, het synchronisatiesignaal, zijn betrokken bij alle stadia van signaalverwerking in het DCS-systeem. Voor de eenvoud is het synchronisatieblok in Fig. 1.2 wordt zonder enige aandacht getoond, hoewel hij in feite deelneemt aan de regulering van operaties in bijna elk blok dat in de figuur wordt getoond.

Op afb. Figuur 1.3 toont de belangrijkste signaalverwerkingsfuncties (die kunnen worden gezien als signaaltransformaties) verdeeld in de volgende negen groepen.

Afb.1.3. Grote digitale communicatietransformaties

1. De bron formatteren en coderen

2. Smalband signalering

3. Bandbreedtesignalering

4. Nivellering

5. Kanaalcodering

6. Afdichting en meervoudige toegang

7. Verspreid spectrum

8. Encryptie

9. Synchronisatie

Op afb. 1.3 Smalband signaleringsblok bevat een lijst met binaire alternatieven bij gebruik van PCM-modulatie of lijncodes. Dit blok specificeert ook een niet-binaire categorie signalen genaamd M-aire pulsmodulatie. Een andere transformatie in Fig. 1.3, met het label Bandbreedtesignalering, is verdeeld in twee hoofdblokken, coherent en niet-coherent. Demodulatie wordt meestal uitgevoerd met behulp van referentiesignalen. Door bekende signalen te gebruiken als maat voor alle signaalparameters (vooral fase), wordt gezegd dat het demodulatieproces coherent is; wanneer fase-informatie niet wordt gebruikt, wordt gezegd dat het proces onsamenhangend is.

Kanaalcodering houdt zich bezig met technieken die worden gebruikt om digitale signalen te verbeteren, die daardoor minder kwetsbaar worden voor degradatiefactoren zoals ruis, vervaging en signaalonderdrukking. Op afb. 1.3, kanaalcodering is verdeeld in twee blokken, een golfvormcoderingsblok en een gestructureerd sequentieblok. Golfvormcodering omvat het gebruik van nieuwe signalen die een verbeterde detectiekwaliteit bieden ten opzichte van het oorspronkelijke signaal. Gestructureerde sequenties omvatten het gebruik van extra bits om te bepalen of er een fout is veroorzaakt door ruis in het kanaal. Eén zo'n technologie, automatisch herhaalverzoek (ARQ), herkent eenvoudigweg het optreden van een fout en vraagt ​​de afzender om het bericht opnieuw te verzenden; een andere techniek, bekend als voorwaartse foutcorrectie (FEC), maakt automatische foutcorrectie mogelijk (met bepaalde beperkingen). Als we kijken naar gestructureerde sequenties, zullen we drie veelgebruikte methoden bespreken: blok-, convolutionele en turbocodering.

In digitale communicatie omvat timing de berekening van zowel tijd als frequentie. Zoals getoond in afb. 1.3 wordt synchronisatie uitgevoerd op vijf niveaus. De referentiefrequenties van coherente systemen moeten worden gesynchroniseerd met de draaggolf (en mogelijk subdraaggolf) in frequentie en fase. Voor niet-coherente systemen is fasesynchronisatie niet nodig. Het basisproces voor tijdsynchronisatie is symboolsynchronisatie (of bitsynchronisatie voor binaire symbolen). De demodulator en detector moeten weten wanneer ze het symbool- en bitdetectieproces moeten starten en beëindigen; synchronisatiefout leidt tot een afname van de detectie-efficiëntie. Het volgende niveau van tijdsynchronisatie, framesynchronisatie, maakt het mogelijk om berichten te herschikken. En het laatste niveau, netwerksynchronisatie, stelt u in staat om met andere gebruikers te coördineren om bronnen efficiënt te gebruiken.

1.1.3. Basisterminologie voor digitale communicatie

Hieronder volgen enkele van de belangrijkste termen die vaak worden gebruikt op het gebied van digitale communicatie.

De bron van informatie(informatiebron). Een apparaat dat informatie doorgeeft via het DCS-systeem. De informatiebron kan analoog of discreet zijn. De uitvoer van een analoge bron kan elke waarde aannemen uit een continu bereik van amplitudes, terwijl de uitvoer van een discrete informatiebron waarden kan aannemen uit een eindige reeks amplitudes. Analoge informatiebronnen worden omgezet naar digitaal door middel van bemonstering of kwantisering. Bemonsterings- en kwantiseringsmethoden die bronopmaak en -codering worden genoemd (Figuur 1.3).

Tekst bericht(tekst bericht). De volgorde van karakters (Fig. 1.4, a). Bij digitale gegevensoverdracht is een bericht een reeks cijfers of tekens die tot een eindige tekenset of alfabet behoren.

Teken(Karakter). Een element van het alfabet of de tekenset (Fig. 1.4, b). De karakters kunnen worden toegewezen aan een reeks binaire cijfers. Er zijn verschillende gestandaardiseerde codes die worden gebruikt voor het coderen van tekens, waaronder ASCII (American Standard Code for Information Interchange), EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code), Hollerith-code (Hollerith-code), Baudot-code, Murray-code en Morse-code.

Afb.1.4. Termen illustratie: a) tekstberichten; b) symbolen;

c) bitstroom (7-bit ASCII-code); d) symbolen, ;

e) digitaal banddoorlaatsignaal

Binair getal(binair cijfer) (bit) (bit). De fundamentele eenheid van informatie voor alle digitale systemen. De term "bit" wordt ook gebruikt als een informatie-eenheid, die wordt beschreven in hoofdstuk 9.

bitstroom(bitstream). Een reeks binaire cijfers (nullen en enen). Een bitstream wordt vaak een basisbandsignaal genoemd; dit houdt in dat de spectrale componenten variëren van (of rond) DC tot een eindige waarde, meestal niet meer dan een paar megahertz. Op afb. 1.4 wordt het "HOE"-bericht weergegeven met behulp van een zeven-bits ASCII-code, en de bitstroom wordt weergegeven in de vorm van bilevel-pulsen. De reeks pulsen wordt weergegeven door zeer gestileerde (perfect rechthoekige) golfvormen met openingen tussen aangrenzende pulsen. In een echt systeem zullen pulsen er nooit zo uitzien, omdat dergelijke gaten absoluut nutteloos zijn. Bij een gegeven datasnelheid zullen hiaten de bandbreedte die nodig is voor verzending vergroten; of, gezien de bandbreedte, zullen ze de tijdsvertraging vergroten die nodig is om het bericht te ontvangen.

Symbool(symbool) (digitaal bericht) (digitaal bericht). Een symbool is een groep van k bits als een geheel beschouwd. Verder zullen we dit blok een berichtsymbool () noemen uit een eindige reeks symbolen of alfabet (Fig. 1.4, d.) Grootte van het alfabet M is gelijk aan , waar k is het aantal bits in een teken. Bij smalbandtransmissie wordt elk van de symbolen weergegeven door een van een reeks smalbandpulssignalen . Soms wordt bij het verzenden van een reeks van dergelijke pulsen de baud-eenheid (baud) gebruikt om de pulssnelheid (symboolsnelheid) uit te drukken. Voor een typische bandpass-transmissie wordt elke puls weergegeven door een van een reeks bandpass-pulssignalen . Voor draadloze systemen wordt dus een symbool verzonden door een digitaal signaal uit te zenden voor T seconden. Het volgende teken wordt verzonden tijdens het volgende tijdslot, T. Het feit dat de door het DCS-systeem verzonden tekenset eindig is, is het belangrijkste verschil tussen deze systemen en analoge communicatiesystemen. De DCS-ontvanger hoeft alleen te bepalen welke M mogelijke signalen zijn verzonden; terwijl een analoge ontvanger nauwkeurig de waarde moet bepalen die bij een continu bereik van signalen hoort.

digitaal signaal(digitale golfvorm). Beschreven door een spannings- of stroomniveau, een signaal (een puls voor smalbandtransmissie of een sinusgolf voor bandpasstransmissie) dat een digitaal teken vertegenwoordigt. De kenmerken van het signaal (voor pulsen - amplitude, duur en locatie, of voor een sinusoïde - amplitude, frequentie en fase) maken het mogelijk om het te identificeren als een van de symbolen van het eindige alfabet. Op afb. 1.4 d een voorbeeld van een bandpass digitaal signaal wordt getoond. Hoewel het signaal sinusvormig is en daarom een ​​analoge vorm heeft, wordt het toch digitaal genoemd omdat het digitale informatie codeert. In deze afbeelding wordt de digitale waarde aangegeven door verzending tijdens elk tijdsinterval T signaal van een bepaalde frequentie.

Overdrachtssnelheid(datasnelheid). Deze waarde in bits per seconde (bps) wordt gegeven door (bps) waarbij k bits definiëren een karakter uit het - karakter alfabet, en T is de duur? tot-bit karakter.

1.1.4. Digitale en analoge prestatiebenchmarks

Het fundamentele verschil tussen analoge en digitale communicatiesystemen houdt verband met de methode om hun prestaties te evalueren. Analoge systeemsignalen bevinden zich op een continuüm, dus de ontvanger moet werken met een oneindig aantal mogelijke signalen. De prestatiemaatstaf van analoge communicatiesystemen is nauwkeurigheid, zoals signaal-ruisverhouding, procentuele vervorming of verwachte RMS-fout tussen verzonden en ontvangen signalen.

In tegenstelling tot analoge, zenden digitale communicatiesystemen signalen uit die getallen vertegenwoordigen. Deze cijfers vormen een eindige verzameling of alfabet, en deze verzameling is a priori bekend bij de ontvanger. Het criterium voor de kwaliteit van digitale communicatiesystemen is de kans op foutieve detectie van een cijfer of de kans op een fout ().

1.2. Signaalclassificatie

1.2.1. Deterministische en willekeurige signalen

Een signaal kan worden geclassificeerd als deterministisch (wanneer er op enig moment geen onzekerheid bestaat over de waarde ervan) of anderszins willekeurig. Deterministische signalen worden gemodelleerd door een wiskundige uitdrukking. Het is onmogelijk om zo'n uitdrukking voor een willekeurig signaal te schrijven. Bij het observeren van een willekeurig signaal (ook wel een willekeurig proces genoemd) gedurende een voldoende lange periode, kunnen echter enkele patronen worden waargenomen die kunnen worden beschreven in termen van waarschijnlijkheden en het statistisch gemiddelde. Een dergelijk model, in de vorm van een probabilistische beschrijving van een willekeurig proces, is vooral nuttig voor het beschrijven van de kenmerken van signalen en ruis in communicatiesystemen.

1.2.2. Periodieke en niet-periodieke signalen

Een signaal wordt periodiek in de tijd genoemd als er een constante bestaat, zodanig dat:

voor (1.2)

waar door t tijd is gemarkeerd. De kleinste waarde die aan deze voorwaarde voldoet, wordt de periode van het signaal genoemd. De periode bepaalt de duur van een volledige cyclus van de functie. Een signaal waarvoor geen waarde is die voldoet aan vergelijking (1.2) wordt niet-periodiek genoemd.

1.2.3. Analoge en discrete signalen

Het analoge signaal is een continue functie van de tijd, d.w.z. uniek gedefinieerd voor iedereen t. Een elektrisch analoog signaal treedt op wanneer een fysiek signaal (zoals spraak) door een apparaat wordt omgezet in een elektrisch signaal. Ter vergelijking: een discreet signaal is een signaal dat met discrete tijdsintervallen bestaat; het wordt gekenmerkt door een reeks getallen gedefinieerd voor elk tijdstip, kT, waar k is een geheel getal, en T- een vaste periode.

1.2.4. Signalen uitgedrukt in energie of vermogen

Een elektrisch signaal kan worden gezien als een verandering in spanning of stroom met onmiddellijke stroomtoevoer naar een weerstand R:

In communicatiesystemen wordt stroom vaak genormaliseerd (aangenomen wordt dat de weerstand R is gelijk aan 1 Ohm, hoewel het in een echt kanaal van alles kan zijn). Als het nodig is om de werkelijke vermogenswaarde te bepalen, wordt deze verkregen door de genormaliseerde waarde te "denormaliseren". In het genormaliseerde geval hebben vergelijkingen (1.3.a) en (1.3.6) dezelfde vorm. Daarom, ongeacht of het signaal wordt weergegeven door spanning of stroom, stelt de genormaliseerde vorm ons in staat om het momentane vermogen uit te drukken als

waar is spanning of stroom. De dissipatie van energie gedurende het tijdsinterval () van een reëel signaal met momentaan vermogen verkregen met behulp van vergelijking (1.4) kan als volgt worden geschreven.

(1.5)

Het gemiddelde vermogen dat tijdens dit interval door het signaal wordt gedissipeerd, is als volgt.

(1.6)

De prestatie van een communicatiesysteem hangt af van de energie van het ontvangen signaal; signalen met hogere energie worden betrouwbaarder gedetecteerd (met minder fouten) - het detectiewerk wordt uitgevoerd door de ontvangen energie. Aan de andere kant is vermogen de snelheid van de energie-invoer. Dit punt is om verschillende redenen belangrijk. Vermogen bepaalt de spanning die op de zender moet worden toegepast en de sterkte van de elektromagnetische velden waarmee rekening moet worden gehouden in radiosystemen (d.w.z. de velden in de golfgeleiders die de zender met de antenne verbinden en de velden rond de stralingselementen van de antenne).

Bij het analyseren van communicatiesignalen is het vaak wenselijk om met signaalenergie te werken. We zullen het een energiesignaal noemen als en slechts dan als het op enig moment een niet-nul eindige energie heeft (), waarbij

(1.7)

In een echte situatie zenden we altijd signalen uit met eindige energie (). Om echter periodieke signalen te beschrijven, die per definitie (vergelijking (1.2)) altijd bestaan ​​en daarom oneindige energie hebben, en om te werken met willekeurige signalen die ook onbeperkte energie hebben, is het handig om een ​​klasse van signalen te definiëren uitgedrukt in termen van kracht. Het is dus handig om een ​​signaal met vermogen weer te geven als het periodiek is en op elk moment een eindvermogen heeft dat niet nul is (), waarbij

(1.8)

Een bepaald signaal kan worden toegeschreven aan energie of periodiek. Een energiesignaal heeft eindige energie maar nul gemiddeld vermogen, terwijl een periodiek signaal nul gemiddeld vermogen maar oneindige energie heeft. Het signaal in het systeem kan worden uitgedrukt in termen van energie of periodieke waarden. Als algemene regel worden periodieke en willekeurige signalen uitgedrukt in termen van vermogen, en signalen die deterministisch en niet-periodiek zijn, worden uitgedrukt in energie.

Signaalenergie en vermogen zijn twee belangrijke parameters bij het beschrijven van een communicatiesysteem. Het classificeren van een signaal als een energiesignaal of een periodiek signaal is een handig model dat de wiskundige behandeling van verschillende signalen en geluiden vergemakkelijkt. Paragraaf 3.1.5 werkt deze ideeën uit in de context van digitale communicatiesystemen.

1.2.5. Eenheid impulsfunctie:

Een nuttige functie in de communicatietheorie is de eenheidsimpuls of Dirac-deltafunctie. De impulsfunctie is een abstractie, een impuls met een oneindige amplitude, nulbreedte en eenheidsgewicht (gebied onder de impuls), geconcentreerd op het punt waar de waarde van zijn argument nul is. De eenheidsimpuls wordt gegeven door de volgende relaties.

Onbeperkt op een punt (1.11)

(1.12)

Een eenheidsimpuls is geen functie in de gebruikelijke zin van het woord. Als het in een operatie komt, is het handig om het te beschouwen als een puls van eindige amplitude, eenheidsgebied en niet-nulduur, waarna het noodzakelijk is om de limiet in overweging te nemen aangezien de pulsduur naar nul neigt. Grafisch kan het worden weergegeven als een piek die zich op een punt bevindt waarvan de hoogte gelijk is aan de integraal ervan of het gebied ervan. Dus met een constante MAAR vertegenwoordigt een impulsfunctie waarvan de oppervlakte (of het gewicht) is MAAR, en de waarde is overal nul behalve het punt .

Vergelijking (1.12) staat bekend als de zeef- (of kwantiserings)eigenschap van de eenheidsimpulsfunctie; de integraal van een eenheidsimpuls en een willekeurige functie geeft een voorbeeld van de functie op het punt .

1.3. Spectrale dichtheid

De spectrale dichtheid van de kenmerken van een signaal is de verdeling van de energie of het vermogen van een signaal over een reeks frequenties. Dit concept is van bijzonder belang bij het overwegen van filtering in communicatiesystemen. We moeten het signaal en de ruis aan de uitgang van het filter kunnen evalueren. Bij het uitvoeren van een dergelijke beoordeling wordt de spectrale energiedichtheid (ESD) of spectrale vermogensdichtheid (spectrale vermogensdichtheid - PSD) gebruikt.

1.3.1. Spectrale energiedichtheid

De totale energie van een echt energiesignaal gedefinieerd in het interval wordt beschreven door vergelijking (1.7). Met behulp van de stelling van Parseval kunnen we de energie van zo'n signaal uitgedrukt in het tijdsdomein relateren aan de energie uitgedrukt in het frequentiedomein:

, (1.13)

waar is de Fourier-transformatie van het niet-periodieke signaal. (Een samenvatting van Fourier-analyse is te vinden in appendix A.) Duid aan met het rechthoekige amplitudespectrum gedefinieerd als:

(1.14)

De hoeveelheid is de spectrale energiedichtheid (ESD) van het signaal. Daarom kan men uit vergelijking (1.13) de totale energie uitdrukken door de spectrale dichtheid te integreren met betrekking tot frequentie.

(1.15)

Deze vergelijking laat zien dat de energie van het signaal gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek in het frequentiedomein. Spectrale energiedichtheid beschrijft de signaalenergie per bandbreedte-eenheid en wordt gemeten in J/Hz. De positieve en negatieve frequentiecomponenten geven gelijke energiebijdragen, dus voor een echt signaal is de waarde een even functie van de frequentie. Daarom is de spectrale energiedichtheid frequentiesymmetrisch rond de oorsprong en kan de totale signaalenergie als volgt worden uitgedrukt.

(1.16)

1.3.2. Spectrale vermogensdichtheid

Het gemiddelde vermogen van een reëel signaal in de periodieke weergave wordt bepaald door vergelijking (1.8). Als het een periodiek signaal met een periode is, wordt het geclassificeerd als een signaal in de periodieke weergave. De uitdrukking voor het gemiddelde vermogen van een periodiek signaal wordt gegeven door formule (1.6), waarbij het tijdsgemiddelde wordt genomen over één periode.

(1.17a)

De stelling van Parseval voor een reëel periodiek signaal heeft de vorm

, (1.17,b)

waarbij de termen de complexe coëfficiënten zijn van de Fourierreeks voor een periodiek signaal (zie Bijlage A).

Om vergelijking (1.17.6) te gebruiken, is het alleen nodig om de waarde van de coëfficiënten te kennen. De spectrale vermogensdichtheid (PSD) van een periodiek signaal, dat een reële, even en niet-negatieve functie van frequentie is en de signaalvermogensverdeling over een frequentiebereik geeft, wordt als volgt gedefinieerd.

(1.18)

Vergelijking (1.18) definieert de spectrale vermogensdichtheid van een periodiek signaal als een reeks gewogen deltafuncties. Daarom is de PSD van een periodiek signaal een discrete functie van de frequentie. Met behulp van de PSD gedefinieerd in vergelijking (1.18), kan men het gemiddelde genormaliseerde vermogen van het echte signaal schrijven.

(1.19)

Vergelijking (1.18) beschrijft alleen de PSD van periodieke signalen. Als het een niet-periodiek signaal is, kan het niet worden uitgedrukt in termen van een Fourierreeks; als het een niet-periodiek signaal is in de periodieke representatie (met oneindige energie), mag het geen Fourier-transformatie hebben. We kunnen de spectrale vermogensdichtheid van dergelijke signalen echter nog steeds in de limiet uitdrukken. Als we een afgeknotte versie van een niet-periodiek signaal vormen in de periodieke weergave, waarbij we alleen de waarden uit het interval () nemen, dan heeft het een eindige energie en de bijbehorende Fourier-transformatie . Er kan worden aangetoond dat de spectrale vermogensdichtheid van een niet-periodiek signaal wordt gedefinieerd als een limiet.

(1.20)

Voorbeeld 1.1. Gemiddeld nominaal vermogen

a) Vind de gemiddelde genormaliseerde signaalsterkte tijdmiddeling gebruiken.

b) Voer item a uit door de spectrale coëfficiënten op te tellen.

Oplossing

a) Met behulp van vergelijking (1.17, a), hebben we het volgende.

b) Met behulp van vergelijkingen (1.18) en (1.19) verkrijgen we het volgende.

(zie bijlage A)

1.4. autocorrelatie

1.4.1. Autocorrelatie energiesignaal

Correlatie is het proces van matching; autocorrelatie is het matchen van een signaal met zijn eigen vertraagde versie. De autocorrelatiefunctie van een reëel energiesignaal wordt als volgt gedefinieerd.

voor (1.21)

De autocorrelatiefunctie geeft een maat voor de gelijkenis van een signaal met zijn eigen kopie, verschoven per tijdseenheid. De variabele speelt de rol van een scan- of zoekparameter. is geen functie van tijd; het is gewoon een functie van het tijdsverschil tussen het signaal en de verschoven kopie.

De autocorrelatiefunctie van een reëel energiesignaal heeft de volgende eigenschappen.

1.

3. autocorrelatie en ESD zijn Fourier-transformaties van elkaar, wat wordt aangegeven door een tweekoppige pijl

4. de waarde bij nul is gelijk aan de signaalenergie

Bij voldoening van paragrafen. 1-3 is een autocorrelatiefunctie. Conditie 4 is een gevolg van conditie 3, dus het is niet nodig om deze in de hoofdset op te nemen om de autocorrelatiefunctie te testen.

1.4.2. Autocorrelatie van een periodiek signaal

De autocorrelatie van een reëel periodiek signaal wordt als volgt gedefinieerd.

voor (1.22)

Als het signaal periodiek is met een periode , kan het tijdsgemiddelde in vergelijking (1.22) over één periode worden genomen en kan de autocorrelatie als volgt worden uitgedrukt.

voor (1.23)

De autocorrelatie van een periodiek signaal dat reële waarden aanneemt, heeft eigenschappen die vergelijkbaar zijn met die van een energiesignaal.

1. symmetrie ten opzichte van nul

2. voor iedereen is de maximale waarde nul

3. autocorrelatie en ESD zijn Fourier-transformaties van elkaar

4.

1.5. willekeurige signalen

De belangrijkste taak van een communicatiesysteem is het verzenden van informatie via een communicatiekanaal. Alle nuttige berichtsignalen verschijnen willekeurig, d.w.z. de ontvanger weet niet van tevoren welke van de mogelijke berichttekens zal worden verzonden. Daarnaast treedt er door verschillende elektrische processen ruis op die informatiesignalen begeleidt. Daarom hebben we een efficiënte manier nodig om willekeurige signalen te beschrijven.

1.5.1. willekeurige variabelen

Laat de willekeurige variabele HA) staat voor een functionele relatie tussen een willekeurige gebeurtenis MAAR en een reëel getal. Voor het gemak van de notatie duiden we de willekeurige variabele aan met X en de functionele afhankelijkheid ervan MAAR expliciet zal worden beschouwd. Een willekeurige variabele kan discreet of continu zijn. Verdeling van een willekeurige variabele X wordt gevonden door de uitdrukking:

, (1.24)

waar is de kans dat de waarde wordt geaccepteerd; willekeurige variabele X minder dan een reëel getal X of daaraan gelijk. De verdelingsfunctie heeft de volgende eigenschappen.

2. als

Een andere handige functie gerelateerd aan de willekeurige variabele X, is de kansdichtheid, die als volgt wordt geschreven.

(1.25,a)

Net als bij de verdelingsfunctie is de kansdichtheid een functie van een reëel getal X. De naam "dichtheidsfunctie" kwam van het feit dat de kans op een gebeurtenis gelijk is aan het volgende.

Met behulp van vergelijking (1.25.6) kunnen we bij benadering de kans opschrijven dat een willekeurige variabele X heeft een waarde die behoort tot een zeer klein interval tussen en .

Dus, in de limiet als neigt naar nul, kunnen we het volgende schrijven.

De kansdichtheid heeft de volgende eigenschappen.

2. .

De kansdichtheid is dus altijd niet-negatief en heeft een oppervlakte-eenheid. In de tekst van het boek zullen we de notatie gebruiken om de kansdichtheid voor een continue willekeurige variabele aan te duiden. Voor het gemak van de notatie zullen we de index vaak weglaten X en schrijf eenvoudig. Als een willekeurige variabele X alleen discrete waarden kan aannemen, gebruiken we de notatie .

1.5.1.1. Ensemble betekent

Gemiddelde waarde, of verwachte waarde, van een willekeurige variabele X wordt gedefinieerd door de uitdrukking

, (1.26)

waarbij de verwachtingswaarde-operator wordt genoemd. moment n-de orde kansverdeling van een willekeurige variabele X de volgende waarde genoemd.

(1.27)

Voor de analyse van communicatiesystemen zijn de eerste twee momenten van de variabele belangrijk X. Ja, bij n=1 vergelijking (1.27) geeft het hierboven beschouwde moment, en wanneer n= 1 - kwadratische gemiddelde waarde X.

(1.28)

Men kan ook centrale momenten definiëren, die de momenten van het verschil zijn X en . Het centrale moment van de tweede orde (ook wel dispersie genoemd) is als volgt.

Spreiding X ook geschreven als , en de vierkantswortel van deze waarde, , wordt de standaarddeviatie genoemd X. Dispersie is een maat voor de "spreiding" van een willekeurige variabele X. Het specificeren van de variantie van een willekeurige variabele beperkt de breedte van de kansdichtheidsfunctie. Dispersie en RMS zijn gerelateerd aan de volgende relatie.

De variantie is dus gelijk aan het verschil tussen het wortelgemiddelde kwadraat en het kwadraat van het gemiddelde.

1.5.2. willekeurige processen

Een willekeurig proces kan worden gezien als een functie van twee variabelen: gebeurtenissen MAAR en tijd. Op afb. 1.5 toont een voorbeeld van een willekeurig proces. Tonen N voorbeeldfuncties van tijd. Elk van de voorbeeldfuncties kan worden gezien als de uitvoer van een afzonderlijke ruisgenerator. Voor elk evenement hebben we een enkele tijdfunctie (d.w.z. voorbeeldfunctie). De verzameling van alle voorbeeldfuncties wordt een ensemble genoemd. Op elk willekeurig moment is , een willekeurige variabele waarvan de waarde afhangt van de gebeurtenis. En de laatste, voor een specifieke gebeurtenis en voor een bepaald tijdstip, is een regulier nummer. Voor het gemak van de notatie zullen we het willekeurige proces aanduiden als X(t), en de functionele afhankelijkheid van MAAR expliciet zal worden beschouwd.

Afb.1.5. Willekeurig ruisproces

1.5.2.1. Statistisch gemiddelde van een willekeurig proces

Aangezien de waarde van een willekeurig proces op elk volgend tijdstip onbekend is, kan een willekeurig proces waarvan de distributiefuncties continu zijn, statistisch worden beschreven in termen van een kansdichtheid. In het algemeen zal deze functie voor een willekeurig proces op verschillende tijdstippen een andere vorm hebben. In de meeste gevallen is het onrealistisch om de kansverdeling van een willekeurig proces empirisch te bepalen. Tegelijkertijd is voor de behoeften van communicatiesystemen vaak een gedeeltelijke beschrijving voldoende, inclusief het gemiddelde en de autocorrelatiefunctie. Laten we dus het gemiddelde van het willekeurige proces definiëren X(t) hoe

, (1.30)

waarbij een willekeurige variabele is verkregen door een willekeurig proces op tijd te beschouwen, a is de kansdichtheid (dichtheid over het geheel van gebeurtenissen op tijd).

Laten we de autocorrelatiefunctie van het willekeurige proces definiëren X(t) als functie van twee variabelen en

waar en zijn willekeurige variabelen verkregen door te overwegen X(t) soms en respectievelijk. Een autocorrelatiefunctie is een maat voor de relatie tussen twee tijdsteekproeven van een enkel willekeurig proces.

1.5.2.2. stationariteit

willekeurig proces X(t) wordt stationair genoemd in strikte zin als geen van zijn statistieken wordt beïnvloed door de overdracht van de oorsprong van tijd. Een willekeurig proces wordt in brede zin stationair genoemd als twee van zijn statistieken, het gemiddelde en de autocorrelatiefunctie, niet veranderen wanneer de oorsprong van tijd wordt verplaatst. Een proces is dus in grote lijnen stationair als

Stationariteit in strikte zin impliceert stationariteit in brede zin, maar niet omgekeerd. De meeste bruikbare resultaten van de communicatietheorie zijn gebaseerd op de aanname dat willekeurige informatiesignalen en ruis in brede zin stationair zijn. Vanuit praktisch oogpunt hoeft een willekeurig proces niet altijd stationair te zijn, het is voldoende om stationair te zijn in een waarneembaar tijdsinterval van praktisch belang.

Voor stationaire processen is de autocorrelatiefunctie in vergelijking (1.33) niet afhankelijk van de tijd, maar alleen van het verschil. Met andere woorden, alle waardeparen X(t) soms gescheiden door het interval , hebben dezelfde correlatiewaarde. Daarom kan voor stationaire systemen de functie eenvoudig worden geschreven als .

1.5.2.3. Autocorrelatie van willekeurige processen, stationair in brede zin

Net zoals variantie een maatstaf voor willekeur biedt voor willekeurige variabelen, biedt de autocorrelatiefunctie een vergelijkbare maatstaf voor willekeurige processen. Voor processen die in brede zin stationair zijn, hangt de autocorrelatiefunctie alleen af ​​van het tijdsverschil.

Voor een grotendeels stationair proces met een nulgemiddelde, laat de functie zien hoe statistisch gecorreleerd zijn de willekeurige variabelen van het proces, gescheiden door seconden. Met andere woorden, het geeft informatie over de frequentierespons die is gekoppeld aan het willekeurige proces. Als het langzaam verandert terwijl het van nul naar een bepaalde waarde stijgt, toont dit aan dat de steekproefwaarden gemiddeld genomen zijn X(t), soms genomen en , zijn bijna gelijk. Daarom hebben we het recht om te verwachten dat in de frequentieweergave X(t) lage frequenties zullen domineren. Aan de andere kant, als het snel afneemt met toenemende , zou je verwachten dat: X(t) zal snel veranderen met de tijd en zal daarom overwegend hoge frequenties bevatten.

De autocorrelatiefunctie van een proces dat in brede zin stationair is en reële waarden aanneemt, heeft de volgende eigenschappen.

1. symmetrie ten opzichte van nul

2. want de maximale waarde is nul

3. autocorrelatie en spectrale vermogensdichtheid zijn Fourier-transformaties van elkaar

4. de waarde bij nul is gelijk aan de gemiddelde signaalsterkte

1.5.3. Tijdgemiddelde en ergodicity

Om het ensemble te berekenen en te middelen, moeten we ze gemiddeld over alle voorbeeldfuncties van het proces, en daarom hebben we volledige informatie nodig over de onderlinge verdeling van kansdichtheidsfuncties in de eerste en tweede benaderingen. In het algemene geval is dergelijke informatie in de regel niet beschikbaar.

Als een willekeurig proces tot een speciale klasse behoort die de klasse van ergodische processen wordt genoemd, is het tijdsgemiddelde gelijk aan het ensemblegemiddelde en kunnen de statistische eigenschappen van het proces worden bepaald door over de tijd een steekproeffunctie van het proces te middelen. Om een ​​willekeurig proces ergodisch te laten zijn, moet het in strikte zin stationair zijn (het omgekeerde is niet nodig). Voor communicatiesystemen, waar stationariteit in brede zin voor ons voldoende is, zijn we echter alleen geïnteresseerd in het gemiddelde en de autocorrelatiefunctie.

Er wordt gezegd dat een willekeurig proces ergodisch is met betrekking tot het gemiddelde als

(1.35)

en ergodisch met betrekking tot de autocorrelatiefunctie als

(1.36)

Het testen van een willekeurig proces op ergodiciteit is meestal vrij moeilijk. In de praktijk wordt in de regel een intuïtieve veronderstelling gehanteerd over de doelmatigheid van het vervangen van ensemblegemiddelden door tijdgemiddelden. Bij het analyseren van de meeste signalen in communicatiekanalen (bij afwezigheid van impulseffecten), is het redelijk om aan te nemen dat willekeurige signalen ergodisch zijn met betrekking tot de autocorrelatiefunctie. Aangezien voor ergodische processen de tijdgemiddelden gelijk zijn aan de ensemblegemiddelden, kunnen fundamentele elektrische parameters, zoals de amplitude van de DC-component, de kwadratische waarde en het gemiddelde vermogen, worden geassocieerd met de momenten van het ergodische toevalsproces.

1. De waarde is gelijk aan de DC-component van het signaal.

2. De waarde is gelijk aan het genormaliseerde vermogen van de DC-component.

3. Moment van de tweede bestelling X(t), , is gelijk aan het totale gemiddelde genormaliseerde vermogen.

4. De waarde is gelijk aan de effectieve waarde van het signaal uitgedrukt in stroom of spanning.

5. De spreiding is gelijk aan het gemiddelde genormaliseerde vermogen van het wisselsignaal.

6. Als het procesgemiddelde nul is (d.w.z. ), dan , en de variantie is gelijk aan de rms-waarde of (een andere bewoording) vertegenwoordigt de variantie het totale vermogen in de genormaliseerde belasting.

7. De standaarddeviatie is de standaardwaarde van het variabele signaal.

8. Indien , dan is dit de RMS-waarde van het signaal.

1.5.4. Spectrale vermogensdichtheid en autocorrelatie van een stochastisch proces

willekeurig proces X(t) kan worden toegeschreven aan een periodiek signaal met een dergelijke spectrale vermogensdichtheid zoals aangegeven in vergelijking (1.20). De functie is vooral handig in communicatiesystemen omdat het de verdeling van signaalvermogen over een frequentiebereik beschrijft. Met de spectrale vermogensdichtheid kunt u het vermogen schatten van het signaal dat wordt verzonden via een netwerk met bekende frequentiekarakteristieken. De belangrijkste eigenschappen van de spectrale vermogensdichtheidsfuncties kunnen als volgt worden geformuleerd.

1. neemt altijd echte waarden aan

2. voor X(t) echte waarden aannemen

3. autocorrelatie en spectrale vermogensdichtheid zijn Fourier-transformaties van elkaar

4. relatie tussen gemiddeld genormaliseerd vermogen en spectrale vermogensdichtheid

Op afb. 1.6 toont een visuele weergave van de autocorrelatiefunctie en de spectrale vermogensdichtheidsfunctie. Wat betekent de term "correlatie"? Als we geïnteresseerd zijn in de correlatie van twee verschijnselen, vragen we hoe nauw ze verwant zijn in gedrag of uiterlijk en in hoeverre ze samenvallen. In de wiskunde beschrijft de autocorrelatiefunctie van een signaal (in het tijdsdomein) de correspondentie van een signaal met zichzelf, verplaatst door een bepaalde hoeveelheid tijd. Een exacte kopie wordt geacht te zijn gemaakt en gelokaliseerd op min oneindig. Vervolgens verplaatsen we de kopie achtereenvolgens in de positieve richting van de tijdas en vragen we hoe ze (de originele versie en de kopie) met elkaar overeenkomen. Dan verplaatsen we de kopie nog een stap in de positieve richting en vragen hoeveel ze nu overeenkomen, enzovoort. De correlatie tussen twee signalen wordt weergegeven als een functie van de tijd, aangeduid met ; in dit geval kan tijd worden beschouwd als een scanparameter.

Op afb. 1.6 advertentie de hierboven beschreven situatie is op sommige momenten in beeld gebracht. Rijst. 1.6 a illustreert een enkel signaal van een grotendeels stationair willekeurig proces X(t). Het signaal is een willekeurige binaire reeks met positieve en negatieve (bipolaire) pulsen van eenheidsamplitude. Positieve en negatieve impulsen verschijnen met gelijke waarschijnlijkheid. De duur van elke puls (binair cijfer) is T seconden, en het gemiddelde, of de waarde van de constante component van de willekeurige reeks, is nul. Op afb. 1.6 b dezelfde volgorde wordt weergegeven, verschoven in de tijd met seconden. Volgens de geaccepteerde notatie wordt deze reeks aangegeven met . Laten we uitgaan van het proces X(t) is ergodisch met betrekking tot de autocorrelatiefunctie, dus we kunnen tijdmiddeling gebruiken in plaats van ensemblemiddeling om te vinden. De waarde wordt verkregen door twee reeksen te vermenigvuldigen X(t) en met de daaropvolgende bevinding van het gemiddelde met behulp van vergelijking (1.36), die alleen geldig is voor ergodische processen in de limiet. Integratie over een geheel aantal perioden kan ons echter een schatting geven van . Let op wat kan worden verkregen door te verschuiven X(t) zowel in positieve als negatieve richting. Een soortgelijk geval wordt geïllustreerd in Fig. 1.6 in, waarop de originele bemonsteringsvolgorde wordt gebruikt (Fig. 1.6, a) en zijn verschoven kopie (Fig. 1.6, b). De gearceerde gebieden onder de productcurve dragen positief bij aan het product, terwijl de grijze gebieden negatief bijdragen. Integratie over de transmissietijd geeft een punt op de curve. De reeks kan verder worden verschoven met en elke dergelijke verschuiving geeft een punt op de algemene autocorrelatiefunctie, weergegeven in Fig. 1.6 G. Met andere woorden, elke willekeurige reeks bipolaire pulsen komt overeen met een autocorrelatiepunt op de algemene curve getoond in Fig. 1.6 G. Het maximum van de functie is op een punt (de beste pasvorm is wanneer , gelijk aan nul, aangezien voor alle ), en de functie valt weg als . Op afb. 1.6 G de punten die overeenkomen met en worden weergegeven.

De analytische uitdrukking voor de autocorrelatiefunctie, getoond in Fig. 1.6 G, heeft de volgende vorm.

(1.37)

Merk op dat de autocorrelatiefunctie ons informatie geeft over de frequentie; het vertelt ons iets over de bandbreedte van het signaal. Tegelijkertijd is autocorrelatie een tijdelijke functie; in formule (1.37) zijn er geen termen afhankelijk van de frequentie. Dus hoe geeft het ons bandbreedte-informatie?

Afb.1.6. Autocorrelatie en spectrale vermogensdichtheid

Afb.1.6. Autocorrelatie en spectrale vermogensdichtheid (einde)

Neem aan dat het signaal erg langzaam beweegt (het signaal heeft een lage bandbreedte). Als we de kopie van het signaal langs de as verschuiven en in elke fase van de verschuiving de vraag stellen in hoeverre de kopie en het origineel met elkaar overeenkomen, zal de overeenkomst lange tijd behoorlijk sterk zijn. Met andere woorden, de driehoekige autocorrelatiefunctie (Fig. 1.6, G en formule 1.37) zal langzaam afnemen met toenemende . Laten we nu aannemen dat het signaal snel genoeg verandert (d.w.z. we hebben een grote band). In dit geval zal zelfs een kleine verandering ervoor zorgen dat de correlatie nul is en de autocorrelatiefunctie een zeer smalle vorm heeft. Daarom geeft het vergelijken van de autocorrelatiefuncties op vorm ons wat informatie over de bandbreedte van het signaal. Neemt de functie geleidelijk af? In dit geval hebben we een signaal met een smalle band. Lijkt de vorm van de functie op een smalle piek? Dan heeft het signaal een brede band.

Met de autocorrelatiefunctie kunt u de spectrale vermogensdichtheid van een willekeurig signaal expliciet uitdrukken. Aangezien de spectrale vermogensdichtheid en de autocorrelatiefunctie Fourier-transformaties van elkaar zijn, kan de spectrale vermogensdichtheid, , van een willekeurige reeks bipolaire pulsen worden gevonden als de Fourier-transformatie van de functie , waarvan de analytische uitdrukking wordt gegeven in vergelijking (1.37) . Hiervoor kunt u de tabel gebruiken. A.1. Let erop dat

(1.38)

Het algemene beeld van de functie wordt getoond in Fig. 1.6 d.

Merk op dat het gebied onder de curve van de spectrale vermogensdichtheid het gemiddelde signaalvermogen vertegenwoordigt. Een handige maatstaf voor bandbreedte is de breedte van de spectrale hoofdlob (zie paragraaf 1.7.2). Op afb. 1.6 d er wordt aangetoond dat de bandbreedte van het signaal gerelateerd is aan het omgekeerde van de symboolduur of pulsbreedte. Rijst. 1.6 f-k formeel herhalen Fig. 1.6 hel, behalve dat in de volgende figuren de pulsduur korter is. Merk op dat voor kortere pulsen de functie smaller is (Fig. 1.6, en) dan voor langere (Fig. 1.6, G). Op afb. 1.6 en; met andere woorden, in het geval van een kortere pulsduur is een verschuiving van , voldoende om een ​​nulovereenkomst te creëren of voor een volledig verlies van correlatie tussen de verschoven reeksen. Aangezien in afb. 1.6 e duur van de polsslag T minder (hogere pulsoverdrachtssnelheid) dan in Fig. 1.6 a, de bandbezetting in Fig. 1.6 tot meer bandbezetting voor de lagere pulsfrequentie getoond in Fig. 1.6 d.

1.5.5. Ruis in communicatiesystemen

De term "ruis" verwijst naar ongewenste elektrische signalen die altijd aanwezig zijn in elektrische systemen. De aanwezigheid van ruis bovenop het signaal "verduistert" of maskeert het signaal; dit beperkt het vermogen van de ontvanger om nauwkeurige beslissingen te nemen over de betekenis van de symbolen, en dus ook de informatiesnelheid. De aard van geluid is gevarieerd en omvat zowel natuurlijke als kunstmatige bronnen. Door de mens veroorzaakte geluiden zijn vonkontstekingsgeluid, schakelimpulsgeluid en geluid van andere verwante bronnen van elektromagnetische straling. Natuurlijke geluiden komen van de atmosfeer, de zon en andere galactische bronnen.

Een goed technisch ontwerp kan de meeste ruis of de ongewenste effecten ervan elimineren door middel van filtering, screening, modulatieselectie en optimale ontvangerlocatie. Gevoelige radioastronomische metingen worden bijvoorbeeld meestal uitgevoerd in afgelegen woestijngebieden, ver van natuurlijke bronnen van ruis. Er is echter één natuurlijke ruis, thermische ruis genaamd, die niet kan worden geëlimineerd. Thermische ruis wordt veroorzaakt door de thermische beweging van elektronen in alle dissipatieve componenten - weerstanden, geleiders, enz. Dezelfde elektronen die verantwoordelijk zijn voor elektrische geleidbaarheid zijn ook verantwoordelijk voor thermische ruis.

Thermische ruis kan worden beschreven als een Gaussiaans willekeurig proces met een nulgemiddelde. Gaussiaans proces geen(t) is een willekeurige functie, waarvan de waarde en op een willekeurig tijdstip t wordt statistisch gekenmerkt door een Gauss-kansdichtheidsfunctie:

, (1.40)

waar is de afwijking? n. De genormaliseerde Gauss-procesdichtheidsfunctie met nulgemiddelde wordt verkregen onder de aanname dat . De schematisch genormaliseerde kansdichtheidsfunctie wordt getoond in Fig. 1.7.

Hier is een willekeurig signaal, a- een signaal in het communicatiekanaal, en n is een willekeurige variabele die Gaussische ruis uitdrukt. Dan wordt de kansdichtheidsfunctie uitgedrukt als

, (1.41)

waar, zoals hierboven, de variantie is n.

Afb.1.7. Genormaliseerde () Gauss-kansdichtheidsfunctie

De Gauss-verdeling wordt vaak gebruikt als model voor de ruis in een systeem, omdat er een centrale grensstelling is, die stelt dat, onder zeer algemene omstandigheden, de kansverdeling van de som j statistisch onafhankelijke willekeurige variabelen gehoorzamen aan de Gauss-verdeling, en de vorm van individuele verdelingsfuncties doet er niet toe. Dus zelfs als individuele ruismechanismen een niet-Gauss-verdeling hebben, zal de verzameling van veel van dergelijke mechanismen neigen naar een Gauss-verdeling.

1.5.5.1. witte ruis

Het belangrijkste spectrale kenmerk van thermische ruis is dat de spectrale vermogensdichtheid hetzelfde is voor alle frequenties die van belang zijn in de meeste communicatiesystemen; met andere woorden, een thermische ruisbron straalt op alle frequenties uit met hetzelfde vermogen per bandbreedte-eenheid - van gelijkstroom tot een frequentie in de orde van Hz. Daarom gaat een eenvoudig thermisch ruismodel ervan uit dat de spectrale vermogensdichtheid uniform is voor alle frequenties, zoals weergegeven in Fig. 1.8 a, en is in de volgende vorm geschreven.

(1.42)

Hier is een factor 2 opgenomen om aan te tonen dat dit de tweezijdige spectrale vermogensdichtheid is. Wanneer het ruisvermogen zo'n uniforme spectrale dichtheid heeft, noemen we dit ruiswit. Het adjectief "wit" wordt in dezelfde betekenis gebruikt als voor wit licht, dat gelijke delen van alle frequenties in het zichtbare elektromagnetische spectrum bevat.

Afb.1.8. Witte ruis: a) spectrale vermogensdichtheid;

b) autocorrelatiefunctie

De autocorrelatiefunctie voor witte ruis wordt gegeven door de inverse Fourier-transformatie van de spectrale dichtheid van het ruisvermogen (zie tabel A.1) en wordt als volgt geschreven.

(1.43)

De autocorrelatie van witte ruis is dus een deltafunctie, gewogen met een factor en gelokaliseerd op het punt , zoals weergegeven in Fig. 1.8 b. Merk op dat gelijk is aan nul voor , d.w.z. twee verschillende witte ruis-samples zijn niet gecorreleerd, hoe dicht ze ook bij elkaar liggen.

Het gemiddelde witte-ruisvermogen is oneindig omdat de witte-ruisbandbreedte oneindig is. Dit kan worden gezien door de volgende uitdrukking te verkrijgen uit vergelijkingen (1.19) en (1.42).

(1.44)

Hoewel witte ruis een zeer bruikbare abstractie is, kan geen enkel ruisproces echt wit zijn; de ruis die in veel echte systemen verschijnt, kan echter vermoedelijk als wit worden beschouwd. We kunnen dergelijke ruis pas waarnemen nadat deze door een echt systeem met een eindige bandbreedte is gegaan. Daarom, zolang de bandbreedte van de ruis aanzienlijk groter is dan de bandbreedte die door het systeem wordt gebruikt, kan worden aangenomen dat de ruis een oneindige bandbreedte heeft.

De delta-functie in vergelijking (1.43) betekent dat het ruissignaal geen(t) is absoluut niet gecorreleerd met zijn eigen bevooroordeelde versie voor elk . Vergelijking (1.43) laat zien dat twee willekeurige monsters van het witte-ruisproces niet gecorreleerd zijn. Aangezien thermische ruis een Gaussiaans proces is en de monsters niet gecorreleerd zijn, zijn de ruismonsters ook onafhankelijk. Het effect van een additief wit Gaussiaans ruiskanaal op het detectieproces is dus dat de ruis elk verzonden symbool onafhankelijk beïnvloedt. Zo'n kanaal wordt een geheugenloos kanaal genoemd. De term "additief" betekent dat de ruis eenvoudig op het signaal wordt gesuperponeerd of aan het signaal wordt toegevoegd - er bestaan ​​geen multiplicatieve mechanismen.

Omdat thermische ruis aanwezig is in alle communicatiesystemen en voor de meeste systemen een belangrijke bron van ruis is, worden thermische ruiskarakteristieken (additief, wit en Gaussiaans) vaak gebruikt om ruis in communicatiesystemen te modelleren. Omdat nulgemiddelde Gauss-ruis volledig wordt gekenmerkt door zijn variantie, is dit model bijzonder gemakkelijk te gebruiken bij signaaldetectie en optimaal ontvangerontwerp. In dit boek gaan we ervan uit (tenzij anders vermeld) dat het systeem is beschadigd door additieve witte Gauss-ruis zonder gemiddelde, hoewel deze vereenvoudiging soms overdreven sterk zal zijn.

1.6. Signaaloverdracht via lijnsystemen

Nu we een reeks signaal- en ruismodellen hebben ontwikkeld, gaan we eens kijken naar de kenmerken van de systemen en hun effect op signalen en ruis. Omdat een systeem zowel in het frequentie- als in het tijddomein met evenveel succes kan worden gekarakteriseerd, zijn er in beide gevallen methoden ontwikkeld om de respons van een lineair systeem op een willekeurig ingangssignaal te analyseren. Het signaal dat wordt toegepast op de ingang van het systeem (Fig. 1.9) kan worden beschreven als een tijdsignaal, of via de Fourier-transformatie ervan. Het gebruik van tijdanalyse levert een tijdoutput op en in het proces zal de functie, impulsrespons of impulsrespons van het netwerk worden bepaald. Wanneer we input in het frequentiedomein beschouwen, moeten we de frequentierespons van het systeem, of overdrachtsfunctie, bepalen, die de frequentie-output zal bepalen. Aangenomen wordt dat het systeem lineair en invariant is met betrekking tot de tijd. Ook wordt aangenomen dat het systeem geen latente energie heeft op het moment dat het ingangssignaal wordt gegeven.

Afb.1.9. Lineair systeem en zijn belangrijkste parameters

1.6.1. impuls reactie

Het lineaire, tijdinvariante systeem of netwerk getoond in Fig. 1.9 wordt beschreven (in het tijdsdomein) door de impulsresponsie , de respons van het systeem wanneer een enkele puls op zijn ingang wordt toegepast.

Denk aan de term "impulsrespons", die uitermate geschikt is voor deze gebeurtenis. De beschrijving van de kenmerken van een systeem door zijn impulsrespons heeft een directe fysieke interpretatie. Aan de ingang van het systeem passen we een enkele puls toe (een onwerkelijk signaal met oneindige amplitude, nulbreedte en eenheidsoppervlak), zoals weergegeven in Fig. 1.10, a. De toevoer van een dergelijke impuls aan het systeem kan worden beschouwd als een "instant impact". Hoe zal het systeem reageren (“reageren”) op een dergelijke toepassing van kracht (impuls)? Het uitgangssignaal is de impulsrespons van het systeem. (Een mogelijke vorm van deze reactie wordt getoond in Fig. 1.10, b.)

De reactie van het netwerk op een willekeurig signaal is een convolutie met , die als volgt wordt geschreven.

(1.46)

Afb.1.10. Illustratie van het concept "impulsrespons": a) het ingangssignaal is een eenheidsimpulsfunctie; b) het uitgangssignaal is de impulsrespons van het systeem;

Hier geeft het teken "*" een convolutiebewerking aan (zie paragraaf A.5). Het systeem wordt verondersteld causaal te zijn, wat betekent dat er geen signaal aan de uitgang is tot het moment dat het signaal aan de ingang wordt aangeboden. Daarom kan de ondergrens van integratie gelijk aan nul worden genomen en kan de output op een iets andere manier worden uitgedrukt.

(1.47,a)

of in de vorm

(1.47b)

De uitdrukkingen in vergelijkingen (1,46) en (1,47) worden convolutie-integralen genoemd. Convolutie is een fundamenteel wiskundig hulpmiddel dat een belangrijke rol speelt bij het begrijpen van alle communicatiesystemen. Als de lezer niet bekend is met deze bewerking, dient hij paragraaf A.5 te raadplegen voor het afleiden van vergelijkingen (1.46) en (1.47).

1.6.2. Frequentie overdracht functie:

De frequentie-uitgang wordt verkregen door de Fourier-transformatie toe te passen op beide zijden van vergelijking (1.46). Aangezien convolutie in het tijdsdomein vermenigvuldiging wordt in het frequentiedomein (en vice versa), krijgen we uit vergelijking (1.46) het volgende.

(Natuurlijk wordt aangenomen dat dit voor iedereen geldt.) Hier , de Fourier-transformatie van de impulsrespons, de frequentieoverdrachtsfunctie, frequentierespons of frequentierespons van het netwerk genoemd. Over het algemeen is de functie complex en kan worden geschreven als

, (1.50)

waar is de responsmodulus. De responsfase is als volgt gedefinieerd.

(1.51)

(en geef de echte en denkbeeldige delen van het argument aan.)

De frequentieoverdrachtsfunctie van een lineair, tijdinvariant netwerk kan eenvoudig worden gemeten in het laboratorium - in een netwerk met een harmonische generator aan de ingang en een oscilloscoop aan de uitgang. Als het ingangssignaal wordt uitgedrukt als

,

dan kan de uitvoer als volgt worden geschreven.

De invoerfrequentie wordt verschoven met de waarde waarin we geïnteresseerd zijn; dus metingen aan de input en output maken het mogelijk om de soort te bepalen.

1.6.2.1. Stochastische processen en lineaire systemen

Als een willekeurig proces de input vormt van een lineair, tijdinvariant systeem, dan krijgen we aan de output van dit systeem ook een willekeurig proces. Met andere woorden, elke voorbeeldfunctie van het invoerproces geeft een voorbeeldfunctie van het uitvoerproces. De spectrale dichtheid van het ingangsvermogen en de spectrale dichtheid van het uitgangsvermogen zijn gerelateerd aan de volgende relatie.

(1.53)

Vergelijking (1.53) biedt een eenvoudige manier om de spectrale vermogensdichtheid aan de uitgang van een lineair, tijdinvariant systeem te vinden wanneer een willekeurig proces als invoer wordt toegepast.

In Hoofdstukken 3 en 4 zullen we kijken naar signaaldetectie in Gaussische ruis. De belangrijkste eigenschap van Gauss-processen zal worden toegepast op een lineair systeem. Het zal worden aangetoond dat als een Gaussiaans proces wordt toegevoerd aan een tijdinvariant lineair filter, het willekeurige proces dat wordt uitgevoerd, ook Gaussisch is.

1.6.3. Overdracht zonder vervorming

Wat is er nodig om een ​​netwerk te laten gedragen als een ideaal transmissiekanaal? Het signaal aan de uitgang van een ideaal communicatiekanaal kan vertraagd zijn ten opzichte van het signaal aan de ingang; bovendien kunnen deze signalen verschillende amplitudes hebben (eenvoudige herschaling), maar zoals voor al het andere - het signaal mag niet worden vervormd, d.w.z. het moet dezelfde vorm hebben als het ingangssignaal. Daarom kunnen we voor een ideale onvervormde transmissie het uitgangssignaal beschrijven als:

, (1.54)

waar en zijn constanten. Als we de Fourier-transformatie toepassen op beide delen (zie paragraaf A.3.1), krijgen we het volgende.

(1.55)

Als we uitdrukking (1.55) in vergelijking (1.49) substitueren, zien we dat de noodzakelijke overdrachtsfunctie van het systeem voor transmissie zonder vervorming de volgende vorm heeft.

(1.56)

Om een ​​ideale transmissie zonder vervorming te verkrijgen, moet de algehele respons van het systeem daarom een ​​constante modulus hebben en moet de faseverschuiving lineair in frequentie zijn. Het is niet voldoende dat het systeem alle frequentiecomponenten gelijkelijk verhoogt of dempt. Alle harmonischen van het signaal moeten met dezelfde vertraging bij de uitgang aankomen, zodat ze kunnen worden opgeteld. Omdat de vertraging wordt geassocieerd met faseverschuiving en cyclische frequentie door de relatie:

, (1.57,a)

het is duidelijk dat, om ervoor te zorgen dat de vertraging van alle componenten hetzelfde is, de faseverschuiving evenredig moet zijn met de frequentie. Om signaalvervorming te meten die wordt veroorzaakt door vertraging, wordt vaak een kenmerk gebruikt dat groepsvertraging wordt genoemd; het is als volgt gedefinieerd.

(1.57b)

Voor transmissie zonder vervorming hebben we dus twee equivalente vereisten: de fase moet lineair in frequentie zijn of de groepsvertraging moet gelijk zijn aan een constante. In de praktijk zal het signaal vervormd worden als het door sommige delen van het systeem gaat. Om deze vervorming te elimineren, kunnen fase- of amplitudecorrectiecircuits (egalisatie) in het systeem worden geïntroduceerd. Over het algemeen is vervorming een algemeen I/O-kenmerk van een systeem dat de prestaties bepaalt.

1.6.3.1. Ideaal filter

Het is onrealistisch om een ​​ideaal netwerk te construeren dat wordt beschreven door vergelijking (1.56). Het probleem is dat vergelijking (1.56) uitgaat van oneindige bandbreedte, waarbij de systeembandbreedte wordt bepaald door het bereik van positieve frequenties waarin de modulus een bepaalde waarde heeft. (Over het algemeen zijn er verschillende maten van bandbreedte; de ​​meest voorkomende zijn opgesomd in paragraaf 1.7.) Als benadering van een ideaal netwerk met oneindige bandbreedte, kiezen we een afgeknot netwerk dat zonder vervorming alle harmonischen doorlaat met frequenties tussen en waar is de onderste afsnijfrequentie, en is de bovenste, zoals getoond in Fig. 1.11. Al dergelijke netwerken worden ideale filters genoemd. Aangenomen wordt dat buiten het bereik, dat de doorlaatband (doorlaatband) wordt genoemd, de responsamplitude van een ideaal filter nul is. De effectieve bandbreedte wordt bepaald door de filterbandbreedte en is Hz.

Als en , wordt het filter doorlatend genoemd (Fig. 1.11, a). Als en een eindige waarde heeft, wordt dit een laagdoorlaatfilter genoemd (Fig. 1.11, b). Als het een waarde heeft die niet nul is en , wordt het een hoogdoorlaatfilter genoemd (Fig. 1.11, in).

Afb.1.11. Overdrachtsfunctie van ideale filters: a) ideaal transmissiefilter; b) een ideaal laagdoorlaatfilter; c) ideaal laagdoorlaatfilter

Met behulp van vergelijking (1.59) en uitgaande van een ideaal laagdoorlaatfilter met de Hz-bandbreedte getoond in Fig. 1.11 b, kan de overdrachtsfunctie als volgt worden geschreven.

(1.58)

De impulsrespons van een ideaal laagdoorlaatfilter, getoond in Fig. 1.12 wordt uitgedrukt door de volgende formule.

Afb.1.12. Impulsrespons van een ideaal laagdoorlaatfilter

waarbij de functie is gedefinieerd in vergelijking (1.39). De impulsrespons getoond in Fig. 1.12 is niet-causaal; dit betekent dat op het moment dat het signaal wordt aangeboden aan de ingang (), er een responsie niet nul is aan de uitgang van het filter. Het zou dus duidelijk moeten zijn dat het ideale filter beschreven door vergelijking (1.58) niet echt voorkomt.

Voorbeeld 1.2. Witte ruis door een ideaal filter laten gaan

Witte ruis met spectrale vermogensdichtheid weergegeven in figuur 1.8, a, wordt toegepast op de invoer van het ideale laagdoorlaatfilter getoond in Fig. 1.11 b. Bepaal de spectrale vermogensdichtheid en autocorrelatiefunctie van het uitgangssignaal.

Oplossing

De autocorrelatiefunctie is het resultaat van het toepassen van de inverse Fourier-transformatie op de spectrale vermogensdichtheid. De autocorrelatiefunctie wordt bepaald door de volgende uitdrukking (zie tabel A.1).

Als we het resultaat vergelijken dat is verkregen met formule (1.62), zien we dat het dezelfde vorm heeft als de impulsrespons van een ideaal laagdoorlaatfilter getoond in Fig. 1.12. In dit voorbeeld converteert een ideaal laagdoorlaatfilter de autocorrelatiefunctie van witte ruis (gedefinieerd in termen van de deltafunctie) naar een functie . Na het filteren heeft het systeem geen witte ruis meer. Het uitgangsruissignaal heeft alleen een correlatie van nul met zijn verschoven kopieën wanneer het wordt verschoven met , waarbij een geheel getal dat niet nul is, is.

1.6.3.2. Geïmplementeerde filters

Het eenvoudigste laagdoorlaatfilter dat kan worden geïmplementeerd, bestaat uit een weerstand (R) en een capaciteit (C), zoals weergegeven in Fig. 1.13 a; dit filter wordt een RC-filter genoemd en de overdrachtsfunctie ervan kan als volgt worden uitgedrukt.

, (1.63)

waar . De amplitudekarakteristiek en de fasekarakteristiek worden getoond in Fig. 1.13 b, in. De bandbreedte van het laagdoorlaatfilter wordt bepaald op het halfvermogenspunt; dit punt vertegenwoordigt de frequentie waarbij het uitgangssignaalvermogen de helft van de maximale waarde is, of de frequentie waarbij de uitgangsspanningsamplitude gelijk is aan de maximale waarde.

Over het algemeen wordt het halfvermogenspunt uitgedrukt in decibel (dB) als het -3 dB-punt, of het punt 3 dB onder de maximale waarde. De waarde in decibel wordt per definitie bepaald door de machtsverhoudingen, en .

(1,64, a)

Hier en zijn spanningen, a en zijn weerstanden. In communicatiesystemen wordt gewoonlijk genormaliseerd vermogen gebruikt voor analyse; in dit geval worden de weerstanden en beschouwd als gelijk aan 1 ohm, dan

Afb.1.13. RC-filter en zijn overdrachtsfunctie: a) RC-filter; b) amplitudekarakteristiek van het RC-filter; c) faserespons van het RC-filter

(1,64, b)

De amplituderespons kan worden uitgedrukt in decibel als

, (1,64, inch)

waar en zijn de ingangs- en uitgangsspanningen, en de ingangs- en uitgangsweerstanden worden verondersteld gelijk te zijn.

Uit vergelijking (1.63) is het gemakkelijk om te controleren of het halfvermogenspunt van het RC-laagdoorlaatfilter overeenkomt met rad/s of Hz. De bandbreedte in hertz is dus . De filtervormfactor is een maatstaf voor hoe goed een echt filter een ideaal filter benadert. Het wordt meestal gedefinieerd als de verhouding tussen de -60 dB en -6 dB filterbandbreedtes. Een voldoende kleine vormfactor (ongeveer 2) kan worden verkregen in een transmissiefilter met een zeer scherpe afsnijding. Ter vergelijking: de vormfactor van een eenvoudig RC-laagdoorlaatfilter is ongeveer 600.

Er zijn verschillende bruikbare benaderingen van de karakteristiek van een ideaal laagdoorlaatfilter. Een daarvan wordt geleverd door het Butterworth-filter, dat het ideale laagdoorlaatfilter benadert met de functie

, (1.65)

waar is de bovenste afsnijfrequentie (-3 dB) en is de volgorde van het filter. Hoe hoger de volgorde, hoe hoger de complexiteit en kosten van filterimplementatie. Op afb. 1.14 toont amplitudegrafieken voor verschillende waarden. Merk op dat naarmate en groeien de amplitudekarakteristieken de karakteristieken van een ideaal filter benaderen. Butterworth-filters zijn populair omdat ze de beste benadering zijn van het ideale geval in termen van maximale vlakheid van de filterbandbreedte.

Periodieke voortzetting van een impuls. Het concept van de spectrale dichtheid van het signaal Inverse Fourier-transformatie. De voorwaarde voor het bestaan ​​van de spectrale dichtheid van het signaal Relatie tussen de pulsduur en de breedte van het spectrum De algemene Rayleigh-formule Wederzijdse spectrale dichtheid van signalen. Energiespectrum Correlatieanalyse van signalen Vergelijking van signalen verschoven in de tijd.

Doel van de lezing:

Spectrale kenmerken van niet-periodieke (impuls)signalen verkrijgen door Fourier-reeksen te generaliseren. Bepaal de vereisten voor de bandbreedte van het radioapparaat. Vertegenwoordigen signalen in termen van hun spectrale dichtheden. Gebruik het energiespectrum om verschillende technische schattingen te verkrijgen. Begrijp hoe de behoefte ontstaat aan signalen met speciaal geselecteerde eigenschappen.

Laat s (t) een enkelvoudig pulssignaal van eindige duur zijn. Door het mentaal aan te vullen met dezelfde signalen die periodiek een bepaald tijdsinterval T volgen, verkrijgen we de eerder bestudeerde periodieke reeks S per (t), die kan worden weergegeven als een complexe Fourierreeks

(12.1) met coëfficiënten . (12.2)

Laten we, om terug te keren naar een enkel pulssignaal, de herhalingsperiode instellen op oneindig T. In dit geval is het duidelijk:

a) de frequenties van aangrenzende harmonischen nω 1 en (n+ l)ω 1 zullen willekeurig dicht bij elkaar liggen, zodat in formules (12.1) en (12.2) de discrete variabele nω 1 kan worden vervangen door een continue variabele ω - de huidige frequentie;

b) de amplitudecoëfficiënten C n zullen oneindig klein worden door de aanwezigheid van T in de noemer van formule (12.2).

Het is nu onze taak om de beperkende vorm van formule (12.1) te vinden als T→∞.

Laten we een klein frequentie-interval Δω beschouwen, dat een buurt vormt van een geselecteerde frequentiewaarde ω 0 . Binnen dit interval zullen N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) individuele paren spectrale componenten bevatten, waarvan de frequenties zo weinig als gewenst verschillen. Daarom kunnen de componenten worden toegevoegd als: alsof ze allemaal dezelfde frequentie hebben en worden gekenmerkt door dezelfde complexe amplitudes

Als resultaat vinden we de complexe amplitude van het equivalente harmonische signaal, dat de bijdrage weerspiegelt van alle spectrale componenten binnen het interval Δω

. (12.3)

Functie (12.4)

wordt genoemd spectrale dichtheid signaal s (t). Formule (12.4) implementeert Fourier-transformatie dit signaal.

Laten we het inverse probleem van de spectrale theorie van signalen oplossen: vind het signaal aan de hand van zijn spectrale dichtheid, die we als gegeven beschouwen.

Aangezien in de limiet de frequentie-intervallen tussen aangrenzende harmonischen oneindig afnemen, moet de laatste som worden vervangen door de integraal

. (12.5)

Deze belangrijke formule heet inverse Fourier-transformatie voor het signaal s(t).

Laten we tot slot het fundamentele resultaat formuleren: het signaal s(t) en zijn spectrale dichtheid S(ω) zijn één-op-één gerelateerd door directe en inverse Fourier-transformaties

, (12.6)

.

De spectrale weergave van signalen opent een directe weg naar de analyse van de doorgang van signalen door een brede klasse van radiocircuits, apparaten en systemen.

Het signaal s(t) kan worden geassocieerd met zijn spectrale dichtheid s(ω) als dit signaal absoluut integreerbaar, d.w.z. er is een integraal

Een dergelijke voorwaarde vernauwt de klasse van toelaatbare signalen aanzienlijk. In de aangegeven klassieke zin is het dus onmogelijk om te spreken van de spectrale dichtheid van een harmonisch signaal en(t) = U m cosω 0 t , bestaand over de oneindige as van de tijd.

Belangrijke afhaalmaaltijd: hoe korter de pulsduur, hoe breder het spectrum.

De spectrumbreedte wordt opgevat als het frequentie-interval waarbinnen de modulus van de spectrale dichtheid niet minder is dan een vooraf bepaald niveau, bijvoorbeeld varieert van |S| max , tot 0.1|S| maximaal

Het product van de breedte van het pulsspectrum en de duur ervan is een constant getal dat alleen afhangt van de vorm van de puls en heeft in de regel de orde van één: hoe korter de pulsduur, hoe groter de bandbreedte van de overeenkomstige versterker moet zijn. Korte-impulsruis heeft een breed spectrum en kan daarom de radio-ontvangstcondities in een grote frequentieband verslechteren.

Wiskundige modellen van veel signalen die veel worden gebruikt in radiotechniek voldoen niet aan de absolute integreerbaarheidsvoorwaarde, dus de Fourier-transformatiemethode in zijn gebruikelijke vorm is niet op hen van toepassing. We kunnen echter praten over de spectrale dichtheden van dergelijke signalen, als we aannemen dat deze dichtheden worden beschreven door gegeneraliseerde functies.

Laat twee signalen jij(t) en v(t), algemeen complexe waarde, gedefinieerd door hun inverse Fourier-transformaties.

Laten we het scalaire product van deze signalen vinden door er bijvoorbeeld een uit te drukken v(t), door zijn spectrale dichtheid

De resulterende relatie is een gegeneraliseerde Rayleigh-formule. Een gemakkelijk te onthouden interpretatie van deze formule is als volgt: het scalaire product van twee signalen, tot aan een coëfficiënt, is evenredig met het scalaire product van hun spectrale dichtheden. Als de signalen identiek samenvallen, wordt het scalaire product gelijk aan de energie

. (12.7)

Laten we bellen wederzijds energiespectrum echte signalen jij(t) en v(t) functie

, (12.8)

zoals dat

. (4.9)

Het is gemakkelijk in te zien dat Re W UV(ω)-even, en ik ben W UV(ω)-oneven frequentiefunctie. De integraal (12.9) draagt ​​alleen bij aan het reële deel, dus

. (12.10)

De laatste formule maakt het mogelijk om de "fijne structuur" van de onderlinge verbinding van signalen te analyseren.

Bovendien geeft de algemene Rayleigh-formule, gepresenteerd in de vorm (12.10), een fundamentele manier aan om de mate van verbinding tussen twee signalen te verminderen, waarbij hun orthogonaliteit in de limiet wordt bereikt. Om dit te doen, moet een van de signalen worden verwerkt in een speciaal fysiek systeem genaamd frequentie filter. Dit filter is nodig om de spectrale componenten die binnen het frequentie-interval liggen, waar het reële deel van het wederzijdse energiespectrum groot is, niet aan de uitgang door te geven. De frequentie-afhankelijkheid van de transmissiecoëfficiënt van dergelijke orthogonaliserend filter zal een uitgesproken minimum hebben binnen het aangegeven frequentiebereik.

De spectrale representatie van de signaalenergie kan eenvoudig worden verkregen uit de algemene Rayleigh-formule als de signalen erin jij(t) en v(t) hetzelfde beschouwen. Formule (12.8), die de spectrale energiedichtheid uitdrukt, heeft de vorm

De waarde W u (ω) heet spectrale energiedichtheid signaal jij(t), of, kortom, zijn energie spectrum. Formule (3.2) wordt dan geschreven als

. (12.12)

Relatie (4.12) staat bekend als Rayleigh-formule(in enge zin), waarin het volgende staat: de energie van elk signaal is het resultaat van de som van bijdragen van verschillende intervallen van de frequentie-as.

Wanneer we een signaal bestuderen met behulp van zijn energiespectrum, verliezen we onvermijdelijk informatie in het fasespectrum van het signaal, aangezien, volgens formule (4.11) het energiespectrum het kwadraat is van de modulus van de spectrale dichtheid en niet afhankelijk is van zijn fase.

Laten we ons wenden tot een vereenvoudigd idee van de werking van een pulsradar die is ontworpen om het bereik tot een doel te meten. Hier is informatie over het meetobject ingebed in de waarde τ - de tijdvertraging tussen de sonde en de ontvangen signalen. indringende formulieren en(t) en geaccepteerd en(t-τ) signalen zijn hetzelfde voor elke vertraging. Een blokschema van een radarsignaalverwerkingsapparaat dat is ontworpen voor afstandsmetingen, kan er uitzien als in figuur 12.1.

Figuur 12.1 - Apparaat voor het meten van signaalvertragingstijd

Beschouw de zogenaamde energievorm van de Fourierintegraal. In Hoofdstuk 5 werden formules (7.15) en (7.16) gepresenteerd, die de overgang geven van de tijdfunctie naar het Fourier-beeld en vice versa. Als een willekeurige functie van tijd x (s) wordt overwogen, dan kunnen deze formules daarvoor worden geschreven in de vorm

en over alles integreren

vervangen door uitdrukking (11.54):

De waarde tussen vierkante haken (11.57), zoals het gemakkelijk te zien is, is de oorspronkelijke functie van tijd (11.55). Daarom is het resultaat de zogenaamde Rayleigh-formule (stelling van Parseval), die overeenkomt met de energievorm van de Fourier-integraal:

De rechterkant van (11.58) en (11.39) is een hoeveelheid die evenredig is met de energie van het betreffende proces. Dus als we bijvoorbeeld kijken naar de stroom die door een bepaalde weerstand met weerstand K vloeit, dan zal de energie die in deze weerstand vrijkomt in de loop van de tijd

Formules (11.58) en (11.59) en drukken de energievorm van de Fourierintegraal uit.

Deze formules zijn echter onhandig omdat voor de meeste processen de energie ook neigt naar oneindig over een oneindig tijdsinterval. Daarom is het handiger om niet met energie om te gaan, maar met het gemiddelde vermogen van het proces, dat wordt verkregen als de energie wordt gedeeld door het observatie-interval. Dan kan formule (11.58) worden weergegeven als

Introductie van de notatie

wordt de spectrale dichtheid genoemd. belangrijk

Volgens zijn fysieke betekenis is de spectrale dichtheid een grootheid die evenredig is met het gemiddelde vermogen van het proces in het frequentiebereik van co tot co + d?co.

In sommige gevallen wordt de spectrale dichtheid alleen in aanmerking genomen voor positieve frequenties, waarbij deze tegelijkertijd wordt verdubbeld, wat kan worden gedaan, omdat de spectrale dichtheid een even functie van de frequentie is. Dan moet formule (11.62) bijvoorbeeld worden geschreven als

- spectrale dichtheid voor positieve frequenties.

omdat in dit geval de formules meer symmetrisch worden.

Een zeer belangrijke omstandigheid is dat de spectrale dichtheid en de correlatiefunctie van willekeurige processen onderlinge Fourier-transformaties zijn, d.w.z. ze zijn verbonden door integrale afhankelijkheden van het type (11.54) en (11.55). Deze eigenschap wordt gegeven zonder bewijs.

Zo kunnen de volgende formules worden geschreven:

Omdat de spectrale dichtheid en de correlatiefunctie zelfs reële functies zijn, worden formules (11.65) en (11.66) soms in een eenvoudiger vorm gepresenteerd;

)

Dit volgt uit het feit dat de gelijkheden plaatsvinden:

en de imaginaire delen kunnen worden weggegooid na vervanging in (11.65) en (11.66), aangezien de echte functies aan de linkerkant staan.

ligt in het feit dat hoe smaller de grafiek van de spectrale dichtheid (Fig. 11.16, a), d.w.z. hoe lager de frequenties die in de spectrale dichtheid worden weergegeven, hoe langzamer de x-waarde in de loop van de tijd verandert. Integendeel, hoe breder de grafiek van de spectrale dichtheid (Fig. 11.16, b), d.w.z. hoe groter de frequenties die in de spectrale dichtheid worden weergegeven, hoe fijner de structuur van de functie x (r) en hoe sneller de veranderingen in de tijd .

Zoals uit deze overweging blijkt, wordt de relatie tussen het type spectrale dichtheid en het type tijdfunctie omgekeerd verkregen in vergelijking met de relatie tussen de correlatiefunctie en het proces zelf (Fig. 11.14). Hieruit volgt dat een smallere grafiek van de correlatiefunctie zou moeten corresponderen met een bredere grafiek van de spectrale dichtheid en vice versa.

En 8 (mede). Deze functies zijn, in tegenstelling tot de impulsfuncties die in hoofdstuk 4 zijn besproken, even. Dit betekent dat de functie 8(m) symmetrisch ligt ten opzichte van de oorsprong en als volgt kan worden gedefinieerd;

Een soortgelijke definitie geldt voor functie 8(co). Soms wordt de genormaliseerde spectrale dichtheid in overweging genomen, wat het Fourier-beeld is van de genormaliseerde correlatiefunctie (11.52):

en daarom

waarbij O de spreiding is.

Onderlinge spectrale dichtheden zijn ook een maat voor de relatie tussen twee willekeurige variabelen. Bij gebrek aan communicatie zijn de onderlinge spectrale dichtheden gelijk aan nul.

Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden.

Deze functie wordt getoond in Fig. 11.17 u. Het Fourier-beeld dat ermee overeenkomt op basis van de tabel. 11.3 wil

Het spectrum van het proces bestaat uit een enkele piek van het type impulsfunctie die zich aan de oorsprong van de coördinaten bevindt (Fig. 11.17, b).

Dit betekent dat alle kracht van het beschouwde proces geconcentreerd is op de te verwachten kogelfrequentie.

Deze functie wordt getoond in Fig. 11.18, a, In overeenstemming met de tabel. 11.3 de spectrale dichtheid zal zijn

3. Voor een periodieke functie uitgebreid in een Fourierreeks

naast het periodieke deel zal een niet-periodieke component bevatten, dan zal het spectrum van deze functie, samen met individuele lijnen van het type impulsfunctie, ook een doorlopend deel bevatten (Fig. 11.20). Individuele pieken op de spectrale dichtheidsgrafiek duiden op de aanwezigheid van verborgen onregelmatigheden in de onderzochte functie.

bevat geen periodiek deel, dan heeft het een continu spectrum zonder uitgesproken pieken.

Laten we eens kijken naar enkele stationaire willekeurige processen die belangrijk zijn bij de studie van controlesystemen. We beschouwen alleen gecentreerd

In dit geval is het gemiddelde kwadraat van de willekeurige variabele gelijk aan de variantie:

rekening houden met de constante verplaatsing in het besturingssysteem is elementair.

(Fig. 11.21, a):

Een voorbeeld van een dergelijk proces is de thermische ruis van een weerstand, die het niveau van de spectrale dichtheid van de chaotische spanning over deze weerstand geeft

absolute temperatuur.

Op basis van (11,68) komt de spectrale dichtheid (11,71) overeen met de correlatiefunctie

er is geen correlatie tussen volgende en vorige waarden van de willekeurige variabele x.

en dus oneindige macht.

Om een ​​fysiek echt proces te krijgen, is het handig om het concept van witte ruis met een beperkte spectrale dichtheid te introduceren (Fig. 11.21, b):

Bandbreedte voor spectrale dichtheid.

Dit proces komt overeen met de correlatiefunctie

De RMS-waarde van een willekeurige variabele is evenredig met de vierkantswortel van de frequentieband:

Het is vaak handiger om afhankelijkheid (11,73) te benaderen met een vloeiende curve. U kunt hiervoor bijvoorbeeld de uitdrukking . gebruiken

Een factor die de bandbreedte bepaalt.

Het proces benadert witte ruis, dus

wat betreft deze frequenties

Integratie (11.77) over alle frequenties maakt het mogelijk om de spreiding te bepalen:

Daarom kan de spectrale dichtheid (11,77) in een andere vorm worden geschreven:

Correlatiefunctie voor dit proces

De correlatiefunctie wordt ook getoond in Fig. 11.21, ca.

De overgang van de ene waarde naar de andere is onmiddellijk. De tijdsintervallen voldoen aan de Poisson-verdelingswet (11.4).

Een dergelijke grafiek wordt bijvoorbeeld verkregen bij de eerste benadering bij het volgen van een bewegend doel met een radar. Een constante snelheidswaarde komt overeen met de beweging van het doel in een rechte lijn. Een verandering in het teken of de grootte van de snelheid komt overeen met de manoeuvre van het doelwit.

Zal de gemiddelde waarde zijn van het tijdsinterval waarin de hoeksnelheid constant blijft. Voor radar is deze waarde de gemiddelde tijd dat het doel in een rechte lijn beweegt.

Om de correlatiefunctie te bepalen, is het noodzakelijk om de gemiddelde waarde van het product te vinden

Bij het vinden van dit werk kunnen er twee gevallen zijn.

behoren tot hetzelfde interval. Dan is de gemiddelde waarde van het product van hoeksnelheden gelijk aan het gemiddelde kwadraat van de hoeksnelheid of spreiding:

behoren tot verschillende intervallen. Dan is de gemiddelde waarde van het product van snelheden gelijk aan de kogel:

aangezien producten met positieve en negatieve tekens even waarschijnlijk zijn. De correlatiefunctie is gelijk aan

De kans om ze in verschillende intervallen te vinden.

Afwezigheidskans

Voor tijdsinterval

aangezien deze gebeurtenissen onafhankelijk zijn.

Als resultaat krijgen we voor een eindig interval Am

Het teken van de module op m wordt gezet omdat de uitdrukking (11.80) moet corresponderen met een even functie. De uitdrukking voor de correlatiefunctie valt samen met (11.79). Daarom moet de spectrale dichtheid van het beschouwde proces samenvallen met (11,78):

Merk op dat, in tegenstelling tot (11.78), de spectrale dichtheidsformule (11.81) is geschreven voor de hoeksnelheid van het proces (Fig. 11.22). Als we van hoeksnelheid naar hoek gaan, krijgen we een niet-stationair willekeurig proces met een variantie die neigt naar oneindig. In de meeste gevallen heeft het servosysteem, aan de ingang waarvan dit proces werkt, astaticisme van de eerste en hogere orde. Daarom is de eerste foutcoëfficiënt c0 van het servosysteem gelijk aan nul, en de fout ervan zal alleen worden bepaald door de invoersnelheid en afgeleiden van hogere orde, ten opzichte waarvan het proces stationair is. Dit maakt het mogelijk om de spectrale dichtheid (11.81) te gebruiken bij het berekenen van de dynamische fout van het volgsysteem.

3. Onregelmatige pitching. Sommige objecten, zoals schepen, vliegtuigen en andere, die onder invloed zijn van onregelmatige verstoringen (onregelmatige golven, atmosferische storingen, enz.), bewegen volgens een willekeurige wet verstoringsfrequenties die dicht bij hun natuurlijke oscillatiefrequentie liggen. De resulterende willekeurige beweging van het object wordt onregelmatig rollen genoemd, in tegenstelling tot regelmatig rollen, wat een periodieke beweging is.

Een typische grafiek van onregelmatige pitching wordt getoond in Fig. 11.23. Uit de beschouwing van deze grafiek blijkt dat, ondanks het willekeurige karakter, dit:

beweging is vrij dicht bij periodiek.

In de praktijk wordt de correlatiefunctie van onregelmatig rollen vaak benaderd door de uitdrukking

Spreiding.

worden meestal gevonden door experimentele gegevens te verwerken (veldtesten).

De correlatiefunctie (11.82) komt overeen met de spectrale dichtheid (zie tabel 11.3)

Het ongemak van benadering (11.82) is dat deze formule het gedrag kan beschrijven van elke hoeveelheid onregelmatig rollen (hoek, hoeksnelheid of hoekversnelling). In dit geval komt de waarde van O overeen met de spreiding van de hoek, snelheid of versnelling.

Als bijvoorbeeld formule (11.82) voor een hoek is geschreven, dan komt dit proces overeen met een onregelmatig damast met een spreiding voor hoeksnelheden die naar oneindig neigen, d.w.z. het zal een fysiek onrealistisch proces zijn.

Een handigere formule voor het benaderen van de hellingshoek

Deze benadering komt echter ook overeen met een fysiek onrealistisch proces, aangezien de spreiding van de hoekversnelling naar oneindig blijkt te neigen.

Om de uiteindelijke spreiding van de hoekversnelling te verkrijgen, zijn nog complexere benaderingsformules nodig, die hier niet worden gepresenteerd.

Typische krommen voor de correlatiefunctie en de spectrale dichtheid van onregelmatig rollen worden getoond in Fig. 11.24.