Чому дорівнює гіпотенуза, якщо відомі катети. Як знайти гіпотенузу, знаючи катет та кут

Відомо багато видів трикутників: позитивний, рівнобедрений, гострокутний і так далі. Усі вони мають класичними лише їм якостями і в будь-якого свої правила знаходження величин, чи це бік чи кут при підставі. Але з кожного різноманіття цих геометричних фігур в окрему групу можна виділити трикутник з прямим кутом.

Вам знадобиться

• Чистий аркуш, олівець і лінійки для трикутника схематичне зображення.

Інструкція

1. Трикутник називається прямокутним, якщо з його кутів дорівнює 90 градусів. Він складається з 2-х катетів та гіпотенузи. Гіпотенузою називають велику сторону цього трикутника. Вона лежить всупереч прямому куту. Катетами відповідно називають менші його сторони. Вони можуть як рівні між собою, і мати різну величину. Рівність катетів означає, що ви працюєте з рівнобедреним прямокутним трикутником. Принадність його в тому, що він поєднує в собі властивості 2-х фігур: прямокутного та рівнобедреного трикутника. Якщо катети не рівні, то трикутник довільний і підпорядковується основному закону: чим величезний кут, тим величезний котить.

2. Існує кілька методів знаходження гіпотенузи по катету та куту. Але перш ніж скористатися одним із них, слід визначити, який катет і кут знамениті. Якщо дано кут і катет, що прилягає до нього, то гіпотенузу легше все виявити по косинусу кута. Косинусом гострого кута (cos a) у прямокутному трикутнику називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Звідси випливає, що гіпотенуза (с) дорівнюватиме відношення прилеглого катета (b) до косинуса кута a (cos a). Це можна записати так: cos a = b / c => c = b / cos a.

3. Якщо дано кут і протилежний катет, слід працювати з синусом. Синус гострого кута (sin a) у прямокутному трикутнику є відношення протилежного катета (a) до гіпотенузи (c). Тут працює теза, що й у попередньому прикладі, тільки замість функції косинуса береться синус. sin a = a / c => c = a / sin a.

4. Також можна скористатися такою тригонометричною функцією, як тангенс. Але знаходження бажаної величини трохи ускладниться. Тангенсом гострого кута (tg a) у прямокутному трикутнику називають відношення протилежного катета (а) до прилеглого (b). Виявивши обидва катета, застосуйте теорему Піфагора (квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів) і величезну сторону трикутника буде виявлено.

Гіпотенузою називається сторона у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпаки кута 90 градусів. Для того, щоб розрахувати його довжину, достатньо знати довжину одного з катетів і величину одного з гострих кутів трикутника.

Інструкція

1. При вестимом катете і гострому вугіллі прямокутного трикутника, то розмір гіпотенузи може дорівнювати відношенню катета до косинус/синус цього кута, якщо даний кут є йому протилежним/прилеглим: h = C1 (або C2) / sin?; h = С1 (або С2 )/cos?.Приклад: Нехай дано прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою AB і прямим кутом C. Нехай кут B дорівнює 60 градусів, а кут A 30 градусів Довжина катета BC 8 см. Потрібно виявити довжину гіпотенузи AB. Для цього можна скористатися будь-яким із запропонованих вище способів: AB = BC/cos60 = 8 см. AB = BC/sin30 = 8 см.

Слово « катет» походить від грецьких слів «перпендикуляр» чи «прямий» – це пояснює, чому саме так назвали обидві сторони прямокутного трикутника, що становлять його дев'яностоградусний кут. Виявити довжину кожного з катетов нескладно, якщо знаменита величина прилеглого до нього кута і ще якийсь із параметрів, тому що в цьому випадку реально стануть знамениті величини всіх трьох кутів.

Інструкція

1. Якщо, крім величини прилеглого кута (β), вестима довжина другого катета (b), то довжину катета (a) можна визначити як приватне від розподілу довжини знаменитого катетале в тангенс вестимого кута: a=b/tg(β). Це випливає із визначення цієї тригонометричної функції. Можна обійтися без тангенсу, якщо скористатися теоремою синусів. З неї випливає, що відношення довжини бажаної сторони до синуса протилежного кута дорівнює відношенню вестимого довжини катета до синуса знаменитого кута. Протилежний бажаному катету гострий кут можна виразити через знаменитий кут як 180°-90°-β = 90°-β, тому що сума всіх кутів будь-якого трикутника повинна становити 180°, а за визначенням прямокутного трикутника один з його кутів дорівнює 90°. Отже, бажану довжину катета можна обчислити за формулою a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Якщо вестими величина прилеглого кута (β) та довжина гіпотенузи (c), то довжину катета (a) можна обчислити як добуток довжини гіпотенузи на косинус знаменитого кута: a=c∗cos(β). Це випливає з визначення косинуса як тригонометричної функції. Але можна користуватися, як і в попередньому етапі, теоремою синусів і тоді довжина бажаного катета дорівнюватиме добутку синуса різниці між 90° і вестимим кутом на відношення довжини гіпотенузи до синуса прямого кута. А тому що синус 90° дорівнює одиниці, формулу можна записати так: a=sin(90°-β)∗c.

3. Фактичні обчислення можна виготовляти, скажімо, за допомогою наявного у складі ОС Windows програмного калькулятора. Для його запуску можна в основному меню на кнопці «Пуск» віддати перевагу пункту «Виконати», набрати команду calc і натиснути кнопку «OK». У найпростішому варіанті інтерфейсу цієї програми, що відкривається за замовчуванням, тригонометричні функції не передбачені, тому після його запуску потрібно клацнути в меню розділ «Вид» і віддати перевагу рядку «Вчений» або «Інженерний» (залежить від застосовуваної версії операційної системи).

Відео на тему

Слово «катет» прийшло в російську мову з грецької. У точному перекладі воно означає виска, тобто перпендикуляр до землі. У математиці катетами називаються сторони, що утворюють прямий кут прямокутного трикутника. Протилежна цьому кутку сторона називається гіпотенузою. Термін «катет» використовується також в архітектурі та спецтехнології зварювальних робіт.

Накресліть прямокутний трикутник АСВ. Позначте його катети як і b, а гіпотенузу - як. Усі сторони та кути прямокутного трикутника пов'язані між собою певними відносинами. Ставлення катета, протилежного одному з гострих кутів, до гіпотенузи називається синусом цього кута. У цьому трикутнику sinCAB=a/c. Косинус - це ставлення до гіпотенузи катета, що прилягає, тобто cosCAB=b/c. Зворотні відносини називаються секансом і косекансом.Секанс даного кута виходить при розподілі гіпотенузи на катет, тобто secCAB=c/b. Виходить величина, зворотна косинусу, тобто виразити її можна за формулою secCAB=1/cosSAB. Косеканс дорівнює частці від поділу гіпотенузи на протилежний катет і це величина, зворотна синусу. Вона може бути розрахована за формулою cosecCAB=1/sinCAB Обидва катеты пов'язані між собою тангенсом і котангенсом. В даному випадку тангенсом буде відношення сторони a до сторони b, тобто катета, що протилежить до прилеглого. Це відношення може бути виражене формулою tgCAB=a/b. Відповідно, зворотним ставленням буде котангенс: ctgCAB=b/a. Співвідношення між розмірами гіпотенузи та обох катетів визначив ще давньогрецький математик Піфагор. Теоремою, названою його ім'ям, люди користуються досі. Вона свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, тобто с2 = a2 + b2. Відповідно, кожен катет дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета. Цю формулу можна записати як b=?(с2-а2). Довжину катета можна виразити і через відомі вам співвідношення. Згідно з теоремами синусів і косінусів, катет дорівнює добутку гіпотенузи на одну з цих функцій. Можна його висловити і через тангенс чи котангенс. Катет а можна знайти, скажімо, за такою формулою a = b*tan CAB. Так само, залежно від заданих тангенса чи котангенса, визначається і другий катет.В архітектурі також застосовується термін «катет». Він використовується по відношенню до іонічної капітелі і позначає виска через середину її задка. Тобто і в цьому випадку цим терміном позначається перпендикуляр заданої лінії. У технології зварювальних робіт є представлення «катет кутового шва». Як і в інших випадках, це найкоротша відстань. Тут йдеться про інтервал між однією з деталей, що зварюються, до межі шва, що знаходиться на поверхні іншої деталі.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Працюючи з теоремою Піфагора, не забувайте, що ви маєте справу зі ступенем. Виявивши суму квадратів катетів, для отримання остаточного результату слід витягти квадратний корінь.

Інструкція

Відео на тему

Зверніть увагу

При розрахунку сторін прямокутного трикутника може зіграти знання його ознак:
1) Якщо катет прямого кута лежить навпроти кута в 30 градусів, він дорівнює половині гіпотенузи;
2) Гіпотенуза завжди довша за будь-який з катетів;
3) Якщо навколо прямокутного трикутника описано коло, то його центр має лежати в середині гіпотенузи.

Гіпотенузою називається сторона у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпроти кута 90 градусів. Щоб розрахувати його довжину, достатньо знати довжину одного з катетів і величину одного з гострих кутів трикутника.

Інструкція

Нехай нам відомий один із катетів і прилеглий до нього кут. Для певності нехай це катет |AB| та кут α. Тоді ми можемо скористатися формулою для тригонометричної косинус – косинус щодо прилеглого катета до . Тобто. у наших позначеннях cos α = | AB | / | AC |. Звідси отримуємо довжину гіпотенузи | AC | = | AB | / cos α.
Якщо нам відомі катет |BC| та кут α, то скористаємося формулою для обчислення синуса кута – синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: sin α = |BC| / | AC |. Отримуємо, що довжина гіпотенузи як |AC| = | BC | / cos α.

Для наочності розглянемо приклад. Нехай дана довжина катета | AB | = 15. І кут α = 60 °. Отримуємо |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
Розглянемо як можна перевірити свій результат за допомогою теореми Піфагора. І тому необхідно порахувати довжину другого катета |BC|. Скориставшись формулою для тангенсу кута tg = |BC| / | AC |, отримуємо | BC | = | AB | * tg α = 15 * tg 60 ° = 15 * √3. Далі застосовуємо теорему Піфагора, отримуємо 15^2+(15*√3)^2=30^2=>225+675=900. Перевірка виконана.

Корисна порада

Розрахувавши гіпотенузу, виконуйте перевірку – чи задовольняє отримане значення теоремі Піфагора.

Джерела:

• Таблиця простих чисел від 1 до 10 000

Катетаминазивають дві короткі сторони прямокутного трикутника, що становлять ту його вершину, величина якої дорівнює 90°. Третю сторону у такому трикутнику називають гіпотенузою. Всі ці сторони та кути трикутника пов'язані між собою певними співвідношеннями, які дозволяють обчислити довжину катета, якщо відомо кілька інших параметрів.

Інструкція

Використовуйте теорему Піфагора для катета (A), якщо відома довжина двох інших сторін (B і C) прямокутного трикутника. Ця теорема стверджує, що сума зведених у квадрат довжин катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього випливає, що довжина кожного з катетів дорівнює квадратному кореню з довжин гіпотенузи та другого катета: A=√(C²-B²).

Скористайтеся визначенням прямої тригонометричної функції «синус» для гострого кута, якщо відома величина кута (α), що лежить навпроти катета, що обчислюється, і довжина гіпотенузи (C). Це стверджує, що синус цього відомого відношенню довжини шуканого катета до довжини гіпотенузи. Це те, що довжина шуканого катета дорівнює добутку довжини гіпотенузи на синус відомого кута: A=C∗sin(α). Для цих відомих величин можна використовувати і косеканс і розрахувати потрібну довжину, розділивши довжину гіпотенузи на косеканс відомого кута A=C/cosec(α).

Визначте пряму тригонометричну функцію косинус, якщо крім довжини гіпотенузи (C) відома і величина гострого кута (β), прилеглого до шуканого . Косинус цього кута як співвідношення довжин шуканого катета і гіпотенузи, та якщо можна висновок, що довжина катета дорівнює добутку довжини гіпотенузи на косинус відомого кута: A=C∗cos(β). Можна скористатися визначенням функції секанс та обчислити потрібне значення, розділивши довжину гіпотенузи на секанс відомого кута A=C/sec(β).

Виведіть потрібну формулу з аналогічного визначення для похідної тригонометричної функції тангенс, якщо крім величини гострого кута (α), що лежить навпроти шуканого катета (A), відома довжина другого катета (B). Тангенсом протилежного шуканому катету кута відношення довжини цього катета до довжини другого катета. Отже, шукана величина дорівнюватиме добутку довжини відомого катета на тангенс відомого кута: A=B∗tg(α). З цих відомих величин можна вивести й іншу формулу, якщо скористатися визначенням функції котангенс. У цьому випадку для обчислення довжини катета треба буде знайти співвідношення довжини відомого катета до котангенсу відомого кута: A=B/ctg(α).

Відео на тему

Слово «катет» прийшло в російську мову з грецької. У точному перекладі воно означає виска, тобто перпендикуляр до землі. У математиці катетами називаються сторони, що утворюють прямий кут прямокутного трикутника. Протилежна цьому кутку сторона називається гіпотенузою. Термін «катет» застосовується також в архітектурі та технології зварювальних робіт.

Секанс даного кута виходить при розподілі гіпотенузи на катет, тобто secCAB=c/b. Виходить величина, зворотна косинус, тобто виразити її можна за формулою secCAB=1/cosSAB.
Косеканс дорівнює частці від поділу гіпотенузи на протилежний катет і це величина, зворотна синусу. Вона може бути розрахована за формулою cosecCAB=1/sinCAB

Обидва катета пов'язані між собою та котангенсом. В даному випадку тангенсом буде відношення сторони a до сторони b, тобто катета, що протилежить до прилеглого. Це відношення може бути виражене формулою tgCAB=a/b. Відповідно, зворотним ставленням буде котангенс: ctgCAB=b/a.

Співвідношення між розмірами гіпотенузи та обох катетів визначив ще давньогрецький Піфагор. Теорема, його ім'я, люди користуються досі. Вона свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, тобто с2 = a2 + b2. Відповідно, кожен катет дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета. Цю формулу можна записати як b = √ (с2-а2).

Довжину катета можна виразити і через відомі вам співвідношення. Згідно з теоремами синусів і косінусів, катет дорівнює добутку гіпотенузи на одну з цих функцій. Можна його висловити і чи котангенс. Катету можна знайти, наприклад, за формулою a = b*tan CAB. Точно так само, залежно від заданих тангенса або , визначається і другий катет.

В архітектурі також використовується термін "катет". Він застосовується по відношенню до іонічної капітелі та виска через середину її задка. Тобто і в цьому випадку цим терміном є перпендикуляр до заданої лінії.

У технології зварювальних робіт є «катет кутового шва». Як і в інших випадках, це найкоротша відстань. Тут йдеться про проміжок між однією з деталей, що зварюються, до межі шва, що знаходиться на поверхні іншої деталі.

Відео на тему

Джерела:

• що таке катет та гіпотенуза у 2019

На самому початку нагадаємо, що трикутник - це багатогранник, у якого є 3 кути. Як визначити гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відомі інші величини трикутника?

Інструкція

1. Відомі довжини катетів. В даному випадку гіпотенузу можна обчислити, застосовуючи теорему Піфагора. Ця теорема звучить так: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього слід, щоб розрахувати довжину гіпотенузи, необхідно звести у квадрат по черзі величину кожного катета. Після чого отримані цифри скласти, а із загального результату вже витягти квадратний корінь.
2. Як знаходити гіпотенузу в трикутнику KFB, якщо відомий катет (ВК) і кут, що прилягає до нього? Відомий кут позначимо? Одне з властивостей прямокутного трикутника свідчить наступне, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини гіпотенузи дорівнює косинус кута, розташованого між гіпотенузою і цим катетом. Записати це можна так: FB=BK*cos(α).
3. Відомий інший катет (KF) і цей же кут α, Тепер уже він буде протилежним. Гіпотенуза також можна знайти, якщо застосувати ті самі властивості прямокутного трикутника. Тут ми отримаємо, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини його гіпотенузи дорівнює синусу кута, що протилежить катету. Записуємо: FB = KF * sin (α).
4. Як знайти гіпотенузу трикутника, якщо біля нього описано коло, в якому відомий її радіус. З властивостей кола, яка описана навколо прямокутного трикутника, відомо, що в такому колі центр збігається з точкою гіпотенузи, яка розділяє його навпіл. Іншими словами – радіус дорівнює половині гіпотенузи. А це означає, що два радіуси складають гіпотенузу: FB = 2 * R.

Знаючи властивості прямокутного трикутника та теорему Піфагора, дуже просто обчислити довжину гіпотенузи. Якщо вам все ж таки складно запам'ятати всі властивості, тоді просто вивчіть готові формули, в які дуже просто підставити відомі значення, щоб розрахувати довжину гіпотенузи.

Як відомо, геометрія – непроста наука, яка потребує особливої ​​акуратності та точності у вирішенні завдань. Багато виразів і формул, які ми згодом використовуємо у складніших обчисленнях, викладено у підручниках з математики 6-7 класу. Щоб зробити процес вивчення тригонометричних функцій простішим і приємнішим, у цій статті ми розглянемо кілька коротких способів обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника.

Як знайти гіпотенузу щодо катетів?

Згадаймо трохи теорії: прямокутним трикутником називають плоску фігуру, яка має три кути. Один із них має величину 90º, а сторони називають катетами та гіпотенузою. Той бік, який протилежить прямому куту, і є гіпотенуза, а решта – це прилеглі катети. Головна гра сторін проявляється у теоремі Піфагора, за якою гіпотенуза дорівнює сумі квадратів катетів. Однак це лише здається заплутаним, адже насправді все набагато простіше.

Властивості геометричної фігури

Перед тим, як визначити гіпотенузу трикутника, потрібно розібратися, які особливості має ця фігура. Розглянемо основні з них:

1. У прямокутному трикутнику обидва гострі кути в сумі дорівнюватимуть 90º.
2. Катет, що лежить проти кута в 30º, дорівнюватиме ½ від величини гіпотенузи.
3. Якщо катет дорівнює від значення гіпотенузи, тоді другий кут матиме таку ж величину - 30º.

Знайти гіпотенузу у прямокутному трикутнику можна кількома способами. Найпростішим рішенням є обчислення через катети. Допустимо, вам відомі значення катетів сторін А і В. Тоді на виручку приходить теорема Піфагора, яка розповідає нам, що якщо поставити кожну величину катета в квадрат і підсумувати отримані дані, ми дізнаємося, чому дорівнює гіпотенуза. Таким чином, нам необхідно просто отримати значення квадратного кореня:

Наприклад, якщо катет А = 3 см, а катет В = 4 см, тоді обчислення матиме такий вигляд:

Як знайти гіпотенузу через кут?

Ще одним способом, який допоможе дізнатися, чому дорівнює гіпотенуза прямокутному трикутнику, є обчислення через заданий кут. Для цього нам потрібно буде вивести величину через формулу синуса. Припустимо, нам відома величина катета (А) та значення протилежного кута (α). Тоді все рішення полягає в одній формулі С=А/sin(α).

Наприклад, якщо довжина катета 40 см, а кут становить 45°, тоді довжину гіпотенузи можна вивести так:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Визначити потрібну величину можна також через косинус заданого кута. Припустимо, нам відомо значення одного катета (В) і гострого кута, що прилягає (α). Тоді для розв'язання задачі знадобиться одна формула: С=В/cos(α).

Наприклад, якщо довжина катета має значення 50 см, а кут становить 45°, тоді гіпотенузу можна обчислити так:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Таким чином, ми розглянули основні способи, як дізнатися гіпотенузу в трикутнику. У ході рішення завдання важливо сконцентрувати увагу на наявних даних, тоді знайти невідому величину буде досить просто. Необхідно знати всього пару формул і процес розв'язання задач стане простим та приємним.

«А нам кажуть, що катет коротший за гіпотенузу…» Ці рядки з відомої пісні, яка звучала у художньому фільмі «Пригоди електроніка» справді вірні за геометрією Евкліда. Адже катети – це дві сторони, що утворюють кут, градусний захід якого дорівнює 90 градусам. А гіпотенуза - найдовша «натягнута» сторона, яка з'єднує два перпендикулярні один одному катета, і лежить протилежно прямому куту. Саме тому знайти гіпотенузу за катетами можна тільки у прямокутному трикутнику, і якби катет був довшим за гіпотенузу, то такий трикутник би не існував.

Як знайти гіпотенузу за теоремою Піфагора, якщо відомі обидва катеты

Теорема свідчить, що квадрат гіпотенузи – це ні що інше, як сума квадратів катетів: x^2+y^2=z^2, де:

• х – перший катет;
• y – другий катет;
• z – гіпотенуза.

Але потрібно знайти просто гіпотенузу, а не її квадрат. Для цього вийміть корінь.

Алгоритм знаходження гіпотенузи за двома відомими катетами:

• Позначте собі, де катети, а де гіпотенуза.
• Зведіть перший катет у квадрат.
• Зведіть другий катет у квадрат.
• Складіть отримані величини.
• Вийміть корінь із числа, отриманого у пункті 4.

Як знайти гіпотенузу через синус, якщо відомий катет і гострий кут, що лежить проти нього

Відношення відомого катета до гострого кута, що лежить проти нього, дорівнює величині гіпотенузи: a/sin A = c. Це наслідок визначення синуса:

Відношення протилежного катета до гіпотенузи: sin А = а/с де:

• a – перший катет;
• A – гострий кут, протилежний катету;
• c-гіпотенуза.

Алгоритм знаходження гіпотенузи з теореми синусів:

• Позначте собі відомий катет і протилежний йому кут.
• Розділіть катет на протилежний кут.
• Отримайте гіпотенузу.

Як знайти гіпотенузу через косинус, якщо відомий катет і гострий кут, прилеглий йому

Відношення відомого катета до гострого прилеглого кута дорівнює величині гіпотенузи a/cos B = c. Це наслідок визначення косинуса: відношення прилеглого катета до гіпотенузи: cos B= a/с, де:

• a – другий катет;
• B – гострий кут, що належить другому катету;
• с-гіпотенуза.

Алгоритм знаходження гіпотенузи за теоремою косінусів:

• Позначте собі відомий катет і прилеглий йому кут.
• Розділіть катет на кут.
• Отримайте гіпотенузу.

Як знайти гіпотенузу за допомогою «єгипетського трикутника»

"Єгипетський трикутник" - це трійка чисел, знаючи які ви зможете заощадити час для знаходження гіпотенузи або навіть іншого невідомого катета. Трикутник має таку назву, тому що в Єгипті деякі числа символізували Богів і були основою при будові пірамід та інших споруд.

• Перша трійка чисел: 3-4-5. Катети тут дорівнюють 3 і 4. Тоді гіпотенуза обов'язково дорівнюватиме 5. Перевірка: (9+16=25).
• Друга трійка чисел: 5-12-13. Тут також катети дорівнюють 5 і 12. Отже, гіпотенуза дорівнюватиме 13. Перевірка: (25+144=169).

Такі числа допомагають навіть тоді, коли вони розділені чи помножені на якесь одне число. Якщо катети дорівнюють 3 і 4, то гіпотенуза дорівнюватиме 5. Якщо помножити ці числа на 2, то і гіпотенуза помножиться на 2. Наприклад, трійка чисел 6-8-10 також підходитиме під теорему Піфагора і можна не вираховувати гіпотенузу, якщо ви запам'ятайте такі трійки чисел.



Таким чином, знайти гіпотенузу за відомими катетами можна 4 способами. Найоптимальнішим варіантом є теорема Піфагора, але також не завадило б запам'ятати і трійки чисел, які становлять "єгипетський трикутник", адже ви зможете заощадити багато часу, якщо вам трапляться такі значення.