Графічні рівняння. Графічне вирішення змішаних рівнянь

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите у воду, а якщо хочете навчитися вирішувати завдання – вирішуйте їх.

Д. Пойа

Рівняння– це рівність, що містить одне чи кілька невідомих, за умови, що ставиться завдання знаходження тих значень невідомих, котрим воно істинно.

Вирішити рівняння- Це означає знайти всі значення невідомих, при яких воно звертається у вірну числову рівність, або встановити, що таких значень немає.

Область допустимих значеньрівняння (О.Д.З.)- Це безліч всіх тих значень змінної (змінних), при яких визначені всі вирази, що входять до рівняння.

Багато рівнянь, поданих у ЄДІ, вирішуються стандартними методами. Але ніхто не забороняє використовувати щось незвичайне, навіть у найпростіших випадках.

Так, наприклад, розглянемо рівняння 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

Вирішимо його графічно, а потім знайдемо збільшене в шість разів середнє арифметичне його коріння.

Для цього розглянемо функції y = 3 – x 2і y = 6 / (2 - x)та побудуємо їх графіки.

Функція y = 3 – х 2 – квадратична.

Перепишемо цю функціюу вигляді y = -x 2 + 3. Її графіком є ​​парабола, гілки якої спрямовані вниз (бо a = -1< 0).

Вершина параболи буде зміщена по осі ординат на 3 одиниці вгору. Таким чином, координата вершини (0; 3).

Щоб знайти координати точок перетину параболи з віссю абсцис, прирівняємо цю функцію до нуля і вирішимо отримане рівняння:

Таким чином, у точках з координатами (√3; 0) та (-√3; 0) парабола перетинає вісь абсцис (рис. 1).

Графіком функції y = 6/(2 – x) є гіпербола.

Графік цієї функції можна побудувати за допомогою таких перетворень:

1) y = 6/x – зворотна пропорційність. Графік функції – гіпербола. Її можна побудувати за точками, для цього складемо таблицю значень для x та y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) – графік функції, отриманої у пункті 1, симетрично відображаємо щодо осі ординат (рис. 3).

3) y = 6 / (-x + 2) – зрушуємо графік, отриманий у пункті 2, по осі абсцис на дві одиниці вправо (рис. 4).

Тепер зобразимо графіки функцій y = 3 – x 2 та y = 6 / (2 – x) в одній системі координат (рис. 5).

На малюнку видно, що графіки перетинаються у трьох точках.

Важливо розуміти, що графічний спосіб рішення дозволяє знайти точне значення кореня. Отже, числа –1; 0; 3 (абсциси точок перетину графіків функцій) є поки що передбачуваним корінням рівняння.

За допомогою перевірки переконаємось, що числа -1; 0; 3 – справді коріння вихідного рівняння:

Корінь -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Їхнє середнє арифметичне:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

Збільшимо його у шість разів: 6 · 2/3 = 4.

Дане рівняння, звичайно ж, можна вирішити і більш звичним способом - алгебраїчним.

Отже, знайти збільшене у шість разів середнє арифметичне коріннярівняння 3 – x 2 = 6 / (2 - x).

Почнемо рішення рівняння з пошуку О.Д.З. У знаменнику дробу не повинен виходити нуль, тому:

Щоб вирішити рівняння, скористаємося основною властивістю пропорції, це дозволить позбутися дробу.

(3 – x 2) (2 - x) = 6.

Розкриємо дужки і наведемо такі складові:

6 - 3x – 2x2+x3=6;

x 3 – 2x 2 - 3x = 0.

Винесемо загальний множник за дужки:

x(x 2 – 2x - 3) = 0.

Скористаємося тим, що добуток дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, тому маємо:

x = 0 або x 2 – 2x - 3 = 0.

Розв'яжемо друге рівняння.

x 2 – 2x - 3 = 0. Воно квадратне, тому скористаємося дискримінантом.

D = 4 – 4 · (-3) = 16;

x 1 = (2 + 4) / 2 = 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Усі три отриманих кореня задовольняють О.Д.З.

Тому знайдемо їхнє середнє арифметичне і збільшимо його у шість разів:

6 · (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Насправді графічний спосіб розв'язання рівнянь застосовується досить рідко. Це зв'язано з тим що графічне уявленняфункцій дозволяє вирішувати рівняння лише приблизно. В основному цей метод використовують у тих завданнях, де важливий пошук не самого коріння рівняння – їх чисельних значень, а лише їх кількості.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Презентація та урок на тему: "Графічне вирішення квадратних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Ступені та коріння Функції та графіки

Графіки квадратичних функцій

Минулого уроку ми навчилися будувати графік будь-який квадратичні функції. За допомогою таких функцій ми можемо вирішувати так звані квадратні рівняння, які в загальному виглядізаписуються так: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ - будь-які числа, але $a≠0$.
Діти, порівняйте рівняння, записане вище і це: $y=ax^2+bx+c$.
Вони практично ідентичні. Відмінність у цьому, що замість $y$ ми записали $0$, тобто. $ y = 0 $. Як тоді вирішити квадратні рівняння? Перше, що спадає на думку, треба побудувати графік параболи $ax^2+bx+c$ і знайти точки перетину цього графіка з прямою $y=0$. Існують інші способи рішення. Розглянемо їх у конкретному прикладі.

Способи розв'язання квадратичних функцій

приклад.
Розв'язати рівняння: $x^2+2x-8=0$.

Рішення.
Спосіб 1. Побудуємо графік функції $y=x^2+2x-8$ і знайдемо точки перетину з прямою $y=0$. Коефіцієнт при старшому ступені позитивний, отже гілки параболи дивляться нагору. Знайдемо координати вершини:
$x_(в)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(в)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Точку з координатами $(-1;-9)$ приймемо за початок нової системикоординат і побудуємо у ній графік параболи $y=x^2$.

Ми бачимо дві точки перетину. Вони позначені чорними точками на графіку. Ми вирішуємо рівняння щодо х, тому треба вибрати абсцис цих точок. Вони дорівнюють $-4$ і $2$.
Отже, рішенням квадратного рівняння $x^2+2x-8=0$ є два корені:$ x_1=-4$ і $x_2=2$.

Спосіб 2. Перетворимо вихідне рівняння до виду $x^2=8-2x$.
Таким чином, ми можемо вирішити це рівняння звичайним графічним способом, знайшовши абсциси точок перетину двох графіків $y=x^2$ і $y=8-2x$.
Отримали дві точки перетину, абсциси яких збігаються з отриманими в першому способі рішеннями, а саме $x_1=-4$ і $x_2=2$.

Спосіб 3.
Перетворимо вихідне рівняння такого виду: $x^2-8=-2x$.
Побудуємо два графіки $y=x^2-8$ і $y=-2x$ і знайдемо їхні точки перетину.
Графік $y=x^2-8$ є парабола, зміщена на 8 одиниць вниз.
Отримали дві точки перетину, причому абсциси цих точок такі ж, як і у двох попередніх способах, а саме $x_1=-4$ і $x_2=2$.

Спосіб 4.
Виділимо повний квадрат у вихідному рівнянні: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Побудуємо два графіки функцій $y=(x+1)^2$ та $y=9$. Графіком першої функції є парабола, зміщена однією одиницю вліво. Графік другої функції – це пряма, паралельна осі абсцис і проходить через ординату рівну $9$.
В черговий раз отримали дві точки перетину графіків, причому абсциси цих точок збігаються з отриманими попередніми способами $x_1=-4$ і $x_2=2$.

Спосіб 5.
Розділимо вихідне рівняння на х: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
Вирішимо це рівняння графічно, побудуємо два графіки $ y = x + 2 $ і $ y = \ frac (8) (x) $.
Знову отримали дві точки перетину, причому абсциси цих точок збігаються з одержаними вище $x_1=-4$ і $x_2=2$.

Алгоритм графічного розв'язання квадратичних функцій

Діти, ми розглянули п'ять способів графічного рішення квадратних рівнянь. У кожному з цих способів коріння рівнянь вийшло однаковим, що означає рішення отримано правильне.

Основні способи графічного розв'язання квадратних рівнянь $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - будь-які числа, але $a≠0$:
1. Побудувати графік функції $y=ax^2+bx+c$, знайти точки перетину з віссю абсцис, які будуть рішенням рівняння.
2. Побудувати два графіки $y=ax^2$ і $y=-bx-c$, знайти абсциси точок перетину цих графіків.
3. Побудувати два графіки $y=ax^2+c$ і $y=-bx$, знайти абсциси точок перетину цих графіків. Графіком першої функції буде парабола, зміщена або донизу або догори, залежно від знака числа с. Другий графік - пряма, яка проходить через початок координат.
4. Виділити повний квадрат, тобто навести вихідне рівняння до виду: $a(x+l)^2+m=0$.
Побудувати два графіки функції $y=a(x+l)^2$ і $y=-m$, знайти їх точки перетину. Графіком першої функції буде парабола, зміщена вліво або вправо, залежно від знака числа $l$. Графіком другої функції буде пряма, паралельна осі абсцис і вісь ординат, що перетинає, у точці рівної $-m$.
5. Розділити вихідне рівняння на x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Перетворити на вигляд: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Знову побудувати два графіки та знайти точки їх перетину. Перший графік – гіпербола, другий графік – пряма. На жаль, графічний методрішення квадратних рівнянь не завжди є гарним способомрішення. Точки перетину різних графіків не завжди є цілими числами або можуть мати в абсцисі (ординаті) дуже великі числа, які не побудувати на звичайному аркуші паперу.

Наочніше продемонструємо всі ці способи на прикладі.

приклад.
Розв'язати рівняння: $x^2+3x-12=0$,

Рішення.
Побудуємо графік параболи і знайдемо координати вершин: $x_(в)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1,5$.
$y_(в)=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
При побудові такої параболи відразу виникають проблеми, наприклад, щоб правильно відзначити вершину параболи. Щоб точно відзначити ординату вершини потрібно вибрати одну клітинку, рівну 0,25 одиниць масштабу. За такого масштабу потрібно спуститися на 35 одиниць униз, що незручно. Все-таки збудуємо наш графік.
Друга проблема з якою ми стикаємося, це те, що графік нашої функції перетинає вісь абсцис у точці з координатами, які точно визначити неможливо. Можливе приблизне рішення, але математика – це точна наука.
Таким чином, графічний метод виявляється не найзручнішим. Тому для вирішення квадратних рівнянь потрібно більше універсальний метод, який ми вивчимо на наступних уроках.

Завдання для самостійного вирішення

1. Вирішити рівняння графічно (усіма п'ятьма способами): $x^2+4x-12=0$.
2. Розв'язати рівняння будь-яким графічним способом: $-x^2+6x+16=0$.

Графічне рішеннярівнянь

Розквіт, 2009

Вступ

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще в давнину була викликана потребою вирішувати задачі, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянокі з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вавілоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н. Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у Вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасними, проте невідомо, як дійшли вавилоняни до цього правила.

Формули розв'язання квадратних рівнянь у Європі були вперше викладені у «Книзі абака», написаної 1202 року італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, а й Німеччині, Франції та інших країнах Європи.

Але загальне правилорішення квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано у Європі лише 1544 року М. Штифелем.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для розв'язання квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилонімогли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід, Аль-Хорезміі Омар Хайямвирішували рівняння геометричними та графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у =kx, у =kx+ m, у =x 2,у = -x 2, у 8 класі - у = √x, у =|x|, у =ax2 + bx+ c, у =k/ x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у =x 3, у =x 4,у =x 2n, у =x- 2n, у = 3√x, (x– a) 2 + (у –b) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків цих функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає у дослідженні графіків функцій та графічному вирішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Графік функції - це безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати – відповідним значенням функції.

Лінійна функціязадається рівнянням у =kx+ b, де kі b- Деякі числа. Графік цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у =k/ xде k ¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

Функція (x– a) 2 + (у –b) 2 = r2 , де а, bі r- Деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіусу r із центром у т. а ( а, b).

Квадратична функція y= ax2 + bx+ cде а,b, з– деякі числа та а¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

Рівняння у2 (a– x) = x2 (a+ x) . Графіком цього рівняння буде крива, яка називається строфоїдою.

/>Рівняння (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Графік цього рівняння називається лемніскатою Бернуллі.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроідою.

Крива (x2 y2 - 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Ця крива називається кардіоїдою.

Функції: у =x 3 – кубічна парабола, у =x 4, у = 1/x 2.

2. Поняття рівняння, його графічного розв'язання

Рівняння- Вираз, що містить змінну.

Вирішити рівняння- Це означає знайти все його коріння, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння- Це число, при підстановці якого в рівняння виходить вірна числова рівність.

Розв'язання рівнянь графічним способомдозволяє знайти точне чи наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків та розв'язанні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.

Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корінням рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у =f(x) , можна побудувати графіки функцій у =f(x+ m) ,у =f(x)+ lі у =f(x+ m)+ l. Всі ці графіки виходять із графіка функції у =f(x) за допомогою перетворення паралельного перенесення: на │ m│ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l│ одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y.

4. Графічне розв'язання квадратного рівняння

Приклад квадратичної функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції парабола.

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла у 16 ​​столітті.

У давньогрецьких математиків не координатного методу, ні поняття функції був. Проте властивості параболи були вивчені ними докладно. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, адже вони могли використовувати лише креслення та словесні описизалежностей.

Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу та еліпс Аполоній Пергський, який жив у 3 столітті до н. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул не було!).

Існує алгоритм побудови параболи:

Знаходимо координати вершини параболи А (х0; у0): х=- b/2 a;

y0=ахо2+вх0+с;

Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х0);

PAGE_BREAK--

Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом збудуємо параболу y= x2 – 2 x– 3 . Абсциси точок перетину з віссю xі є коріння квадратного рівняння x2 – 2 x– 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного розв'язання цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 і y= 2 x+ 3

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 –3 і y=2 x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

4. Перетворимо рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 за допомогою виділення повного квадратана функції: y= (x–1) 2 і y=4. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 на x, отримаємо x– 2 – 3/ x= 0 , Розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y= x– 2, y= 3/ x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину прямої та гіперболи.

5. Графічне вирішення рівнянь ступеняn

приклад 1.Вирішити рівняння x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Відповідь: x = 1.

приклад 2.Вирішити рівняння 3 √ x= 10 – x.

Корінням даного рівнянняє абсциса точки перетину графіків двох функцій: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Відповідь: x = 8.

Висновок

Розглянувши графіки функцій: у =ax2 + bx+ c, у =k/ x, у = √x, у =|x|, у =x 3, у =x 4,у = 3√x, я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей xі y.

Приклад рішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосовний і для рівнянь ступеня n.

Графічні методирішення рівнянь красиві та зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії розв'язання будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.

У 9 класі і в старших класах я ще знайомитимуся з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підпорядковуються ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

на наступний рікмені хочеться також розглянути питання графічного розв'язання систем рівнянь та нерівностей.

Література

1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. VII-VIII класи. - М.: Просвітництво, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне вирішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВІКІ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

>>Математика: Графічне вирішення рівнянь

Графічне вирішення рівнянь

Підсумуємо наші знання про графікахфункцій. Ми з вами навчилися будувати графіки наступних функцій:

у = b (пряму, паралельну осі х);

y = kx (пряму, яка проходить через початок координат);

y – kx + m (пряму);

у = х 2 (параболу).

Знання цих графіків дозволить нам у разі потреби замінити аналітичну Модельгеометричної (графічної), наприклад, замість моделі у = х 2 (яка являє собою рівність з двома змінними х та у) розглядати параболу в координатній площині. Зокрема це іноді корисно для вирішення рівнянь. Як це робиться, обговоримо на кількох прикладах.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питаннявід учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

Нехай є повне квадратне рівняння: A * x2 + B * x + C = 0, де A, B і C - будь-які числа, причому A не дорівнює нулю. Це загальний випадок квадратного рівняння. Існує також наведений вигляд, у якому A=1. Щоб вирішити графічно будь-яке рівняння, потрібно перенести в іншу частину доданок з найбільшою мірою і прирівняти обидві частини до будь-якої змінної.

Після цього в лівій частині рівняння залишиться A * x2, а в правій - B * x-C (можна припустити, що B - від'ємне числосуті це не змінює). Вийде рівняння A*x2=B*x-C=y. Для наочності у разі обидві частини прирівняні до змінної y.

Побудова графіків та обробка результатів

Тепер можна записати два рівняння: y=A*x2 та y=B*x-C. Далі потрібно побудувати графік кожної з цих функций. Графік y=A*x2 є параболою з вершиною на початку координат, гілки якої спрямовані вгору чи вниз, залежно від знака числа A. Якщо воно негативне, гілки спрямовані вниз, якщо позитивно - вгору.

Графік y=B*x-C є звичайну пряму лінію. Якщо C=0, то пряма проходить через початок координат. У загальному випадкувона відсікає від осі ординат відрізок, що дорівнює С. Кут нахилу цієї прямої щодо осі абсцис визначається коефіцієнтом B. Він дорівнює тангенсунахилу цього кута.

Після того, як графіки побудовані, буде видно, що вони перетнуться у двох точках. Координати цих точок по осі абсцис визначають коріння квадратного рівняння. Для їх точного визначенняпотрібно чітко будувати графіки та правильно вибрати масштаб.

Інший спосіб графічного рішення

Існує ще один спосіб графічного розв'язання квадратного рівняння. Необов'язково переносити B*x+C іншу частину рівняння. Можна одразу побудувати графік функції y=A*x2+B*x+C. Такий графік є параболою з вершиною в довільній точці. Цей спосіб складніший за попередній, зате можна побудувати тільки один графік, щоб .

Спочатку потрібно визначити вершину параболи з координатами x0 та y0. Її абсцис обчислюється за формулою x0=-B/2*a. Для визначення ординати необхідно підставити отримане значення абсциси у вихідну функцію. Математично це твердження записується так: y0=y(x0).

Потім потрібно знайти дві точки, симетричні осі параболи. Вони вихідна функція повинна звертатися в нуль. Після цього можна будувати параболу. Крапки її перетину з віссю Х дадуть два корені квадратного рівняння.