Як креслити трикутник за допомогою циркуля. Як побудувати трикутник за допомогою циркуля як

Геометрична побудова фігур відноситься до основних знань шкільного курсу геометрії. Крім утилітарного використання, тут має значення становлення просторової логіки. Саме тому побудова трикутника, як примітивний багатокутної фігури, допомогоюциркулю розглядається детально. Циркуль - інструмент не тільки для побудови кола. Він дозволяє також відкласти рівні відрізки заданої довжини. Це і допоможе нам з його допомогоюзвести трикутник.

Вам знадобиться

Аркуш паперу, циркуль

Інструкція

1. Візьміть будь-який аркуш паперу. У центрі листа поставте крапку. Це буде перша вершина A створюваного трикутника .

2. Розкрийте циркуль на відстань, що вірно відповідає потрібній стороні створюваного трикутника. Жорстко зафіксуйте ніжки циркуля у цьому розташуванні.

3. Поставте голку циркуля у помічену точку. Намалюйте ніжкою з грифелем дугу кола відміряного радіусу.

4. У будь-якому місці по колу намальованої дуги поставте крапку. Це буде друга вершина B створюваного трикутника .

5. Аналогічним способом поставте ніжку на другу вершину. Проведіть ще одне коло так, щоб вона припинялася з першою.

6. У точці перетину обох проведених дуг знаходиться третя вершина C створюваного трикутника. Позначте її на малюнку.

7. Отримавши всі три вершини, об'єднайте їх прямими лініями допомогоюкожен рівній поверхні (краще лінійки). Трикутник ABC побудований.

Як побудувати трикутник за допомогою циркуля Циркуль – інструмент не тільки для побудови кола. Він дозволяє також відкласти рівні відрізки заданої довжини. Це допоможе нам з його допомогою побудувати трикутник.

Вам знадобиться лист паперу, циркуль, лінійка. Інструкції. 1. Візьміть будь-який аркуш паперу. У центрі листа поставте крапку. Це буде перша вершина A створюваного трикутника. A

Інструкція 2. Розкрийте циркуль на відстань, що відповідає потрібній стороні трикутника, що створюється. Жорстко зафіксуйте ніжки циркуля у цьому положенні.

Інструкція 3. Поставте голку циркуля у зазначену точку. Намалюйте ніжкою з грифелем дугу кола відміряного радіусу.

Інструкція 4. У будь-якому місці по колу намальованої дуги поставте крапку. Це буде друга вершина B трикутника, що створюється.

Інструкція 5. Аналогічно поставте ніжку на другу вершину. Проведіть ще одне коло так, щоб воно припинялося з першим.

Інструкція 6. У точці перетину обох проведених дуг знаходиться третя вершина C створюваного трикутника. Позначте її малюнку.

Допоможіть! Внучці задали. За допомогою циркуля збудувати правильний трикутник. і отримав найкращу відповідь

Відповідь від КИНОголик[гуру]
Спочатку побудуйте відрізок довжиною, що дорівнює довжині майбутнього трикутника.
Потім розчиніть циркуль на довжину цього відрізка і, поставивши кінець циркуля на початок відрізка, проведіть коло.
Поставте циркуль в інший кінець відрізка та проведіть ще одне коло.
Кола перетнуться у двох точках - над і під відрізком. З'єднавши кінці відрізка з однією з цих точок, ви отримаєте правильний (рівносторонній трикутник).

Відповідь від Гриша Колосов[Новичок]
спс

Відповідь від Олександр Жидайкін[Новичок]
Коло розділити на 4 рівні частини. У саму нижню точку поставити ніжку циркуля і провести друге коло цього ж радіуса. Отримали дві точки перетину-це дві точки трикутника. Третя точка знаходиться у верхній точці першого кола. З'єднуємо, отримуємо)
малюнок 61 на допомогу

Відповідь від Дід07[гуру]
Накресліть коло. На колі позначте точку (нехай А). Від цієї точки по колу в обидві сторони відміряйте по 2 радіуси. З'єднайте отримані 3 точки

Відповідь від *АпЕЛІСИНКУ*[гуру]
ru.wikibooks.org/wiki/.../Побудова_правильного_трикутника

Відповідь від Олена яковлєва[гуру]
Накресліть коло і тим самим радіусом розділіть його на 6 частин (поставте 6 точок), потім з'єднайте три точки (через одну) прямими.

Відповідь від Антип[гуру]
1) На прямий циркулем відзначити відрізок довільної довжини
2) з одного кінця відрізка циркулем, відкритим на довжину зазначеного відрізка, намалювати дугу (досить довгу)
3) з іншого кінця відрізка зробити те саме
4) дуги перетнуться
5) точку перетину з'єднати з кінцями відрізка
6) ось і вийшов рівносторонній трикутник – правильний

Відповідь від Вега[гуру]
накреслили коло, потім ставите голку на коло і робите дві засічки на лініях, потім переставляєте циркуль так, щоб на засічці поставити олівець, а голку перенести далі і зробити наступну засічку ... ось і з'єднайте всі три засічки ... вийде правильний трикутник. .

Відповідь від Атьяна Єгорова[гуру]
На прямій відкладаєте відрізок певним розчином циркуля і тим самим розчином з обох кінців проводите дуги. Ці дуги перетнуться. Це третя вершина вашого трикутника.

Відповідь від 3 відповіді[гуру]

Вітаю! Ось добірка тем із відповідями на Ваше запитання: Допоможіть! Внучці задали. За допомогою циркуля збудувати правильний трикутник.

У завданнях на побудову циркуль і лінійка вважаються ідеальними інструментами, зокрема лінійка не має поділів і має тільки одну сторону нескінченної довжини, а циркуль може мати як завгодно великий або як завгодно малий розчин.

Допустимі побудови.У завдання на побудову допускаються такі операції:

1. Відзначити точку:

довільну точку площини;

довільну точку на заданій прямій;

довільну точку на заданому колі;

точку перетину двох заданих прямих;

точки перетину/торкання заданого прямого та заданого кола;

точки перетину/торкання двох заданих кіл.

2. За допомогою лінійки можна побудувати пряму:

довільну пряму на площині;

довільну пряму, яка проходить через задану точку;

пряму, що проходить через дві задані точки.

3. За допомогою циркуля можна побудувати коло:

довільне коло на площині;

довільне коло з центром у заданій точці;

довільне коло з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками;

коло з центром у заданій точці та радіусом, рівним відстані між двома заданими точками.

Розв'язання задач на побудову.Розв'язання задачі на побудову містить у собі три суттєві частини:

Опис способу побудови об'єкта, що шукається.

Доказ того, що об'єкт, збудований описаним способом, дійсно є шуканим.

Аналіз описаного способу побудови на предмет його застосовності до різних варіантів початкових умов, а також щодо єдиності або неєдиності рішення, одержуваного описаним способом.

Побудова відрізка, що дорівнює цьому.Нехай даний промінь з початком у точці $O$ і відрізок $AB$. Для побудови на промені відрізка $OP = AB$ потрібно побудувати коло із центром у точці $O$ радіусу $AB$. Точка перетину променя з колом буде точкою $P$.

Побудова кута, що дорівнює цьому.Нехай даний промінь з початком у точці $O$ і кут $ABC$. З центром у точці $В$ будуємо коло з довільним радіусом $r$. Позначимо точки перетину кола з променями $BA$ і $BC$ відповідно $A"$ і $C"$.

Побудуємо коло з центром у точці $O$ радіусу $r$. Точку перетину кола з променем позначимо $P$. Побудуємо коло з центром у точці $P$ радіусу $A"B"$. Точку перетину кіл позначимо $Q$. Проведемо промінь $OQ$.

Отримаємо кут $POQ$, що дорівнює куту $ABC$, тому що трикутники $POQ$ і $ABC$ рівні по трьох сторонах.

Побудова середнього перпендикуляра до відрізка.Побудуємо два кола, що перетинаються, довільного радіусу з центрами в кінцях відрізка. Поєднавши дві точки їх перетину, отримаємо серединний перпендикуляр.

Побудова бісектриси кута.Намалюємо коло довільного радіусу з центром у вершині кута. Побудуємо два кола, що перетинаються, довільного радіусу з центрами в точках перетину першого кола зі сторонами кута. З'єднавши вершину кута з будь-якою з точок перетину цих двох кіл, отримуємо бісектрису кута.

Побудова суми двох відрізків.Для побудови цьому промені відрізка, рівного сумі двох даних відрізків, необхідно двічі застосувати спосіб побудови відрізка, рівного даному.

Побудова суми двох кутів.Для того щоб відкласти від даного променя кут, що дорівнює сумі двох даних кутів, потрібно двічі застосувати метод побудови кута, що дорівнює даному.

Знаходження середини відрізка.Щоб відзначити середину даного відрізка, потрібно побудувати серединний перпендикуляр до відрізка і відзначити точку перетину перпендикуляра із самим відрізком.

Побудова перпендикулярної прямої через цю точку.Нехай потрібно побудувати пряму, перпендикулярну даній і проходить через цю точку. Проводимо коло довільного радіусу з центром у цій точці (незалежно від того, лежить вона на прямій чи ні), що перетинає пряму у двох точках. Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка з кінцями в точках перетину кола з прямою. Це і буде шукана перпендикулярна пряма.

Побудова паралельної прямої через цю точку.Нехай потрібно побудувати пряму, паралельну даній і проходить через цю точку поза прямою. Будуємо пряму, що проходить через цю точку, перпендикулярну даній прямій. Потім будуємо пряму, що проходить через дану точку, перпендикулярну побудованому перпендикуляру. Отримана у своїй пряма і буде шуканої.

На цьому уроці ми розглянемо завдання на побудову геометричних об'єктів за допомогою циркуля та лінійки.

Для вирішення різних практичних завдань люди вигадали безліч інструментів.

Щоб виміряти довжину відрізка або намалювати відрізок заданої довжини, ми використовуємо лінійку. Для вирішення аналогічного завдання для кутів є транспортир.

Доводячи теореми і вирішуючи завдання, ми досі не звертали уваги такі речі, як: «проведемо (побудуємо) медіану трикутника…».

Медіана - відрізок, що сполучає вершину із серединою протилежної сторони. Де вершина, зрозуміло. А де середина протилежної сторони? Якщо у нас є під рукою лінійка, то вирішити це завдання точно не складно: виміряли довжину сторони, розділили на 2, знайшли середину. З транспортиром у такий же спосіб нескладно побудувати бісектрису кута.
Але що, коли інструментів під рукою немає? Скажімо, є лише мотузка. Що ми можемо зробити з її допомогою? Провести лінію (якщо натягнути, то пряму) і відміряти за її допомогою відрізок, рівний цьому, можемо навіть намалювати коло (див. рис. 1). Ці операції замість мотузки ми могли б робити за допомогою лінійки (без поділів) та циркуля.

Рис. 1. За допомогою мотузки можна намалювати коло

У геометрії говорять про завдання на побудову за допомогою циркуля та лінійки. Є завдання, які можна вирішити із цими двома інструментами, а є ті, які не можна. Про це ми поговоримо на сьогоднішньому уроці.

Але насамперед спробуємо відповісти на запитання: чому саме циркуль та лінійка без поділів? Чому не можна було вибрати лінійку з розподілами, транспортир чи якісь інші інструменти? І навіщо взагалі треба вміти вирішувати такі завдання (можемо відкрити страшну таємницю: навіть студенти математичних факультетів та професійні математики не вивчають та не вирішують такі завдання після закінчення школи).

Одне міркування ми вже озвучили: все, що можна зробити з циркулем і лінійкою (за умовчанням у цьому уроці ми розумітимемо, що мають на увазі лінійка без поділів), можна зробити і за допомогою звичайної мотузки. І в якихось ситуаціях (наприклад, розмітити ділянку) ці вміння можуть стати в нагоді.

Але найважливіший аргумент - це приклад завдань, які вирішуються з використанням мінімального можливого ресурсу. У житті ми часто стикаємося з такими завданнями: побудувати двигун, щоб за 100 літрів бензину проїхати максимальну відстань, або витратити найменший можливий час на виконання домашнього завдання, але отримати при цьому за нього не менше 4, і т.д. ми часто вирішуємо завдання оптимізацію в умовах обмеженого ресурсу. У завдання на побудову обмежені інструменти, якими ми можемо користуватися.

Навіщо вчитися вирішувати завдання на шикування?

Декому можуть здатися непереконливими наведені аргументи. У необхідності вивчення цієї теми справді є великі сумніви. Але все ж таки наведемо ще деякі міркування, які можуть допомогти відповісти на сформульовані питання.

Математика працює з абсолютно точними моделями (ідеального кола в житті не існує, але математика займається вивченням властивостей саме такого кола, щоб можна було застосувати їх для опису реально існуючих кіл, близьких до ідеального).

Будь-який вимір (за допомогою лінійки, транспортира та іншого приладу) міститиме неточність (ми округляємо з точністю, що визначається метою виміру). Тому з погляду математики розв'язання задачі – розділити відрізок на дві частини, вимірявши його лінійкою, не є коректним.

У математиці відрізок довжиною 1 повинен ділитися на два відрізки довжиною 0,5. Але якщо ми почнемо вимірювати довжину цього відрізка за допомогою лінійки, вона не може точно дорівнює 1. А довжини половин відрізнятимуться від 0,5. Тому для того, щоб працювати з ідеальними абстрактними об'єктами, потрібно використовувати абстрактні ідеальні інструменти, якими є лінійка без поділів та циркуль.

Але це пояснення того, чому завдання на шикування вивчаються в математиці. А ось навіщо вони потрібні школярам? Здається, що найчесніша відповідь – для тренування. За великим рахунком, усі такі завдання мають еквівалентне формулювання: є дві операції; як з їх допомогою із заданого об'єкта отримати необхідний об'єкт?

Для деяких людей вирішення таких завдань є захоплюючим (Гаусс так пишався тим, що зміг побудувати правильний 17-кутник за допомогою циркуля та лінійки, що заповідав вигравірувати його на своєму пам'ятнику, хоча, мабуть, це найменш корисне його математичне відкриття з практичної точки зору) . Але це вже не зовсім математика, а швидше інтелектуальна гра. Така сама, як складання слів з наборів букв, рішення кросвордів тощо.

Тому цей урок буде корисним для тих, хто отримує задоволення від розв'язання математичних завдань, а іншим варто просто ознайомитися з ідеєю та принципом розв'язання задач на побудову, щоб мати загальне уявлення про такий математичний інструмент.

Отже, у геометрії класичними інструментами для побудови вважаються циркуль та лінійка. Лінійка має нескінченну довжину. Це означає, що якщо для вирішення деякого завдання нам не вистачає довжини лінійки, у нас є лінійка довша, якої буде достатньо. Т. е. Довжина лінійки ніколи не виявиться для нас проблемою.

Так само проблемою не буде відстань між ніжками циркуля – їх ми можемо розсунути на будь-яку відстань (забракло – беремо циркуль побільше). Те саме - папір. Самі можете пояснити, що означає нескінченний аркуш паперу, нескінченна площина.

Функції циркуля

Ми можемо виміряти їм будь-який даний відрізок і відкласти такий самий від точки на прямій у будь-який бік, отриманий відрізок буде рівним першому (див. рис. 2).
Ми можемо провести коло з центром у будь-якій даній точці та радіусом, рівним будь-якому даному відрізку (див. рис. 3).

Рис. 2. За допомогою циркуля можна виміряти будь-який даний відрізок і відкласти такий самий від точки на прямий у будь-який бік

Рис. 3. За допомогою циркуля можна провести коло з центром у будь-якій даній точці та радіусом, рівним будь-якому даному відрізку

Функція лінійки: ми прикладаємо лінійку до двох даних точок та проводимо пряму, яка через них проходить. Також ми можемо провести відрізок чи промінь. Нагадаємо, що в цьому випадку йдеться про лінійку без позначок (див. рис. 4).

Рис. 4. За допомогою лінійки можна провести пряму, що проходить через дві дані точки

Базові побудови, які викликають труднощів, але потрібні постійно:

Провести пряму через дві точки.
Провести коло даного радіусу з центром у цій точці.
Відкласти на прямий від цієї точки відрізок, що дорівнює даному.

Переходимо до цікавіших побудов. Вже згадане сьогодні завдання – знаходження середини відрізка. Або, що те саме, розподіл відрізка навпіл.

Отже, нехай дано відрізок. Нам потрібно отримати точку, яка є її серединою (див. рис. 5). Точку в завданнях на побудову ми зазвичай отримуватимемо як перетин прямих, кіл або прямий з колом.

Рис. 5. Крапка, яка є серединою відрізка

Завдання 1.Побудувати медіану (знайти середину відрізка).

Рішення

Припустимо, що хочемо знайти точку (середину ) як перетин двох прямих і (див. рис. 6).

Рис. 6. Ілюстрація до задачі 1

Ми знаємо, що при перетині двох прямих утворюються дві пари кутів. Але у нас немає жодних додаткових умов – лише відрізок, у якого ми шукаємо середину. Тому дивно очікуватиме, що пряма буде нахилена вліво або вправо (див. рис. 7).

Рис. 7. Ілюстрація до задачі 1

Розглянемо граничний випадок, коли пряма перпендикулярна до відрізка (див. рис. 8).

Рис. 8. Ілюстрація до задачі 1

Тоді ми знаємо, що це серединний перпендикулярдо відрізка. І він має важливу властивість: всі його точки рівновіддалені від кінців відрізка(Див. мал. 9). Цей факт ми і будемо використовувати при побудові.

Рис. 9. Ілюстрація до завдання 1

Щоб побудувати пряму, потрібно знайти дві її точки (можна більше, менше – не можна). А будь-яка точка серединного перпендикуляра, як ми щойно з'ясували, рівновіддалена від і. Побудуємо дві такі рівновіддалені точки (див. рис. 10).

Рис. 10. Ілюстрація до задачі 1

Проведемо два кола одного радіусу з центрами в точках та . Радіуси треба взяти досить великі, щоб кола перетнулися (див. рис. 11) (нескладно отримати, що радіус повинен бути більше половини довжини відрізка; щоб ця умова була точно виконана, можна малювати кола з радіусом, що дорівнює довжині відрізка).

Рис. 11. Ілюстрація до задачі 1

Точки перетину належить обом колам, тобто віддалені від і на відстані, рівні радіусам кіл. Але їхні радіуси рівні.

Значить, точки і рівновіддалені від (див. рис. 12). Отже, вони належать до серединного перпендикуляра. Залишилося їх з'єднати та знайти точку перетину та . Це точка – шукана (див. рис. 13).

Рис. 12. Ілюстрація до завдання 1

Рис. 13. Ілюстрація до завдання 1

Завдання вирішено.

Завдання 2.Провести перпендикуляр до прямої в цій точці

Рішення

Нехай на прямій відзначено крапку (див. мал. 14). Потрібно провести перпендикуляр у цій точці до цієї прямої. Або, як то кажуть, «відновити» перпендикуляр до прямої в цій точці.

Рис. 14. Ілюстрація до завдання 2

Зведемо завдання до попереднього – ми вже вміємо будувати перпендикуляр до середини відрізка. Значить, потрібно побудувати на цій прямий відрізок, для якого точка буде серединою.

Проводимо коло довільного радіусу з центром . Отримаємо дві точки перетину кола та прямої - і (див. рис. 15).

Рис. 15. Ілюстрація до завдання 2

Тепер завдання звелося до еквівалентної – побудувати серединний перпендикуляр до відрізка. Це завдання ми вже вміємо вирішувати, отже, вихідне завдання вирішено.

Завдання вирішено.

Отже, ми вміємо будувати медіану (знаходити середину відрізка) і відновлювати перпендикуляр до прямої у цій точці. А як побудувати висоту або, що те саме, опустити перпендикуляр на пряму з точки, яка їй не належить?

Завдання 3.Побудувати висоту (опустити перпендикуляр на пряму з точки, яка їй не належить).

Рішення

Знову скористаємося відомим нам інструментом – побудовою серединного перпендикуляра. Отже, нехай є пряма і точка, що не лежить на ній (див. мал. 16). Треба з точки провести перпендикуляр до прямої.

Рис. 16. Ілюстрація до задачі 3

Проведемо коло з центром у точці та радіусом, достатнім, щоб це коло перетнуло пряме . Цілком коло зазвичай у разі не креслять, лише її частина, дугу, щоб отримати точки перетину. Отримали крапки і на прямій (див. мал. 17).

Рис. 17. Ілюстрація до задачі 3

Навіщо нам вони? Очевидно, рівновіддалена від обох цих точок (відстань дорівнює радіусу кола) (див. рис. 18).

Рис. 18. Ілюстрація до задачі 3

Але, отже, лежить на серединному перпендикулярі відрізка . І знову отримали еквівалентне формулювання завдання: побудувати серединний перпендикуляр до відрізка (він пройде через точку , а тому що з точки можна провести лише один перпендикуляр до прямої, то він і буде шуканий). А будувати його ми вміємо.

Можна використовувати те, що точка лежить на серединному перпендикулярі, і будувати кола з тим самим радіусом (див. рис. 19). А можна будувати два кола іншого радіусу, не важливо. Головне, що ми можемо побудувати цей серединний перпендикуляр, він буде шуканим (див. рис. 20).

Рис. 19. Ілюстрація до задачі 3

Рис. 20. Ілюстрація до задачі 3

Завдання вирішено.

Ці три завдання були дуже схожі. У першій ми будували серединний перпендикуляр до вже наявного відрізка. У двох інших ми будували відрізок так, щоб ця точка лежала на серединному перпендикулярі, а потім знову будували сам перпендикуляр. Зверніть увагу, що ми навчилися будувати серединний перпендикуляр, висоту та медіану. Про побудову четвертої чудової лінії в трикутнику, бісектрисі, поговоримо пізніше.

Ми навчилися будувати пряму, перпендикулярну до цієї. А чи можна за допомогою циркуля та лінійки побудувати пряму, паралельну даній?

Завдання 4.Побудувати пряму, паралельну даній.

Рішення

Нехай є пряма і не лежача на ній точка (див. мал. 21). Необхідно через точку провести пряму, паралельну до прямої . Знову зведемо завдання до попередніх, скориставшись ознакою паралельності прямих: якщо дві прямі перпендикулярні до третьої, то вони паралельні.

Рис. 21. Ілюстрація до завдання 4

Опустимо перпендикуляр із точки на пряму (ми вміємо це робити) (див. рис. 22), а потім через точку проведемо ще один перпендикуляр до щойно побудованої прямої (теж вміємо) (див. рис. 23). В результаті отримаємо пряму (проходить через і паралельна).

Рис. 22. Ілюстрація до завдання 4

Рис. 23. Ілюстрація до завдання 4

Те, що така пряма може бути лише одна, гарантує нам п'ятий постулат Евкліда: через точку, що не лежить на прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.

Завдання вирішено.

Тепер ми можемо повернутися до завдання із розподілом відрізка. Ми вже вміємо ділити відрізок на рівні частини. А на більшу кількість частин? Зрозуміло, що на чотири частини – це навпіл, а потім кожну частину ще навпіл. А якщо на 3 чи 7?

Ми вже розглядали це завдання, коли вивчали теорему Фалеса. Нагадаємо її формулювання: якщо паралельні прямі відсікають рівні відрізки з одного боку кута, всі вони відтинають рівні відрізки і з іншого боку. Цю теорему можна використовувати для розподілу відрізка на будь-яку кількість рівних частин.

Завдання 5.Розділити відрізок на 7 рівних частин.

Рішення

Нехай потрібно поділити відрізок на 7 рівних частин. Для цього проведемо з точки промінь, що не збігається з (див. рис. 24).

Рис. 24. Ілюстрація до завдання 5

Зазначимо на ньому на рівних відстанях точки (див. рис. 25).

Рис. 25. Ілюстрація до завдання 5

З'єднаємо і (див. мал. 26).

Рис. 26. Ілюстрація до завдання 5

Через 6 точок, що залишилися, проведемо прямі, які паралельні (ми це щойно навчилися робити). Оскільки на одній стороні кута відрізки рівні, то, за теоремою Фалеса, вони рівні і на іншій стороні (див. рис. 27).

Рис. 27. Ілюстрація до завдання 5

Завдання вирішено.

Отже, ми вже вміємо:

будувати серединний перпендикуляр до відрізка;
ділити відрізок навпіл за допомогою серединного перпендикуляра;
ділити відрізок довільну кількість рівних частин, використовуючи теорему Фалеса;
будувати перпендикуляр до прямої, що проходить через цю точку (причому точка може лежати як на прямій, так і поза нею);
будувати паралельну пряму через точку, що не лежить на даній прямій.

Основні елементи багатокутників - відрізки та кути. З відрізками ми вже багато чого навчилися. Поговоримо про кути.

Перше завдання, яке у нас виникає, - побудова кута, що дорівнює даному. Для відрізків аналогічне завдання вирішувалося безпосередньо з допомогою циркуля. З кутами трохи складніше.

Завдання 6.Відкласти від променя кут, що дорівнює цьому.

Рішення

Зазвичай рівний кут нам потрібен над довільному місці, а конкретному, т. е. вже відома одна з його сторін. В цьому випадку задачу формулюють так: відкласти від променя кут, що дорівнює даному.

Отже, ось кут із вершиною (див. мал. 28). Промені є його сторонами.

Рис. 28. Ілюстрація до задачі 6

Є промінь із вершиною (див. мал. 29). Потрібно від цього променя відкласти кут, що дорівнює першому куту.

Рис. 29. Ілюстрація до задачі 6

Рівні кути зазвичай зустрічали при доказі рівності трикутників. Скористаємося цією ідеєю «навпаки» - побудуємо рівні трикутники з кутами у вершинах і з їхньої рівності доведемо рівність кутів.

З точки проведемо коло довільного радіусу. Отримаємо точки на сторонах кута та трикутник (див. рис. 30).

Рис. 30. Ілюстрація до задачі 6

Побудуємо трикутник, що дорівнює . Тим самим радіусом проведемо коло з . Отримаємо крапку (див. мал. 31).

Рис. 31. Ілюстрація до задачі 6

У першому трикутнику «виміряємо» циркулем відрізок і цим радіусом проведемо коло з точки. Отримаємо точку перетину двох кіл - (див. рис. 32).

Рис. 32. Ілюстрація до задачі 6

Порівняємо два отримані трикутники (див. рис. 33).

Рис. 33. Ілюстрація до задачі 6

(це всі рівні радіуси двох кіл)

(точка лежить на колі з радіусом рівним)

Виходить, трикутники рівні по трьох сторонах (третя ознака рівності трикутників). Значить, рівні й потрібні нам кути.

Завдання вирішено.

Чому вийшло дві точки?

Якщо два кола перетинаються, то у двох точках (див. рис. 34). Ми ж вибрали для побудови кута лише одну. Чим нам не сподобалася друга?

Рис. 34. Два кола перетинаються в точках і

Справа в тому, що в умові не було сказано, в який бік від променя потрібно відкладати рівний кут (це можна зробити за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки). Відповідно, можна побудувати два кути, які задовольняють цій умові (див. рис. 35). Ми довільно вибрали один із них. Але другий нічим не гірший, можна було вибрати його (це залежить від додаткових умов).

Рис. 35. Два рівні кути, відкладені за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки від даного променя

Щоб визначити, скільки рішень має завдання побудова, зазвичай проводять етап дослідження. Докладніше про нього ми поговоримо наприкінці уроку.

Завдання побудови медіани звелося до поділу відрізка навпіл. Щоб побудувати бісектрису, потрібно навчитися ділити кут навпіл.

Завдання 7.Побудувати бісектрису (розділити кут навпіл).

Рішення

Розглянемо кут із вершиною у точці (див. рис. 36). Побудуємо знову два рівні трикутники, щоб отримати і рівні кути.

Рис. 36. Ілюстрація до завдання 7

Довільним радіусом проведемо коло з центром у точці. Отримаємо на сторонах кута точки та , де (див. рис. 37).

Рис. 37. Ілюстрація до задачі 7

З точок і проведемо ще по колу рівного радіусу (можна того самого, можна іншого). Перетин кіл дасть точку (див. рис. 38). Крапок вийде дві, але можна вибрати будь-яку; якщо ви проводили кола того ж радіусу, що і на першому кроці, то друга точка збігається з – вибору не буде.

Рис. 38. Ілюстрація до завдання 7

Отримаємо, що . З'єднаємо точки та (див. рис. 39).

Рис. 39. Ілюстрація до завдання 7

Два трикутники, що вийшли, рівні. Чому, дайте відповідь самі. Ну а якщо вони рівні, то рівні і кути , - бісектриса.

Завдання вирішено.

За аналогією з розподілом відрізка хочеться відразу перейти до поділу кута на довільну рівну кількість елементів. Знову ж таки ясно, як розділити кут на , і т. д. частин. А чи можна розділити кут на три рівні частини за допомогою циркуля та лінійки? Докладніше про це – нижче.

Поділ кута на три частини

Виявляється, вже розподіл кута в загальному випадку на три рівні частини не можна виконати за допомогою лише циркуля та лінійки. Що означає «загалом»? Для деяких окремих випадків, наприклад для прямого кута, завдання вирішується: можна просто побудувати кут, рівний (використовуючи властивість прямокутного трикутника - катет, який лежить проти кута в 2 рази менше гіпотенузи).

Але йдеться про довільне вугілля (градусна міра якого нам заздалегідь не відома). І тут завдання не вирішується. Це завдання називається завданням трисекції кута. І вона не єдина із завдань на побудову, які не можна вирішити за допомогою циркуля та лінійки (зверніть увагу: розділити кут на три частини взагалі і в принципі нескладно – достатньо взяти транспортир).

Прикладом ще одного такого відомого завдання, що не вирішується, є задача про квадратуру кола. У ній потрібно побудувати квадрат, площа якого дорівнювала площі даного кола. Якщо ми візьмемо коло радіуса 1, то завдання зводиться до побудови квадрата зі стороною, що дорівнює . Виявляється, що її теж не можна вирішити за допомогою циркуля та лінійки.

Зверніть увагу, що йдеться не про те, що зараз не вигадали, як це зробити, а довели, що цього зробити не можна. Т. е. довели, що, хоч би як намагалися використовувати циркуль і лінійку, вирішити зазначені завдання не вдасться.

Зараз потренуйтеся самостійно. Побудуйте трикутник з трьох сторін. Вам дано три відрізки (див. рис. 40).

Рис. 40. Дані відрізки

Побудуйте трикутник, сторони якого дорівнюють цим трьом відрізкам. З рішенням можна ознайомитись нижче.

Побудова трикутника з трьох сторін

Завдання.Побудувати трикутник з трьох сторін (див. рис. 41).

Рис. 41. Ілюстрація до завдання

Рішення

Щоб з чогось почати, проведемо довільну пряму і відкладемо на ній першу сторону трикутника (див. рис. 42). Яку сторону брати першу, не має значення, нехай це буде сторона.

Рис. 42. Ілюстрація до завдання

З кінців відкладеного відрізка проведемо два кола з радіусами і . Перетин кіл дасть нам третю точку (див. рис. 43).

Рис. 43. Ілюстрація до завдання

Крапок перетину дві - можна вибрати будь-яку; побудуйте обидва варіанти трикутників і переконайтеся, що це однакові трикутники, симетричні один одному щодо прямої (див. рис. 44).

Рис. 44. Ілюстрація до завдання

Вершину навпроти сторони астандартно позначають. З'єднаємо з кінцями відрізка на прямій. Очевидно, що сторони отриманого трикутника дорівнюють заданим трьом відрізкам. Залишилося позначити дві вершини, що залишилися. Напроти боку вершина, напроти сторони вершина (див. рис. 45).