Як визначити д від ф. Зворотні тригонометричні функції

Багато завдань приводять нас до пошуку безлічі значень функції на деякому відрізку або по всій області визначення. До таких завдань можна віднести різні оцінки виразів, розв'язання нерівностей.

У цій статті дамо визначення області значень функції, розглянемо методи її знаходження та докладно розберемо рішення прикладів від простих до складніших. Весь матеріал забезпечимо графічними ілюстраціями для наочності. Так що ця стаття є розгорнутою відповіддю на питання як знаходити область значень функції.

Визначення.

Безліч значень функції y = f(x) на інтервалі Xназивають безліч всіх значень функції, які вона набуває при переборі всіх .

Визначення.

Область значень функції y = f(x)називається безліч всіх значень функції, які вона приймає при переборі всіх x з області визначення .

Область значень функції позначають як E(f).

Область значень функції та безліч значень функції - це не те саме. Ці поняття вважатимемо еквівалентними, якщо інтервал X при знаходженні безлічі значень функції y = f(x) збігається з областю визначення функції.

Не плутайте область значень функції зі змінною x для виразу, що знаходиться в правій частині рівності y=f(x) . Область допустимих значень змінної x виразу f(x) – це область визначення функції y=f(x) .

На малюнку наведено кілька прикладів.

Графіки функцій показані жирними синіми лініями, тонкі червоні лінії – це асимптоти, рудими точками та лініями на осі Оy зображено область значень відповідної функції.

Як бачите, область значень функції виходить, якщо спроектувати графік функції на вісь ординат. Вона може бути одним одниною(перший випадок), безліччю чисел (другий випадок), відрізком (третій випадок), інтервалом (четвертий випадок), відкритим променем (п'ятий випадок), об'єднанням (шостий випадок) тощо.

Так що ж потрібно робити для знаходження області значень функції.

Почнемо з самого простого випадку: покажемо як визначати безліч значень безперервної функції y = f(x) на відрізку.

Відомо, що безперервна на відрізку функція досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значень. Таким чином, безліччю значень вихідної функції на відрізку буде відрізок . Отже, наше завдання зводиться до знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку .

Наприклад знайдемо область значень функції арксинусу.

приклад.

Вкажіть область значень функції y = arc sinx.

Рішення.

Області визначення арксинусу є відрізок [-1; 1]. Знайдемо найбільше та найменше значенняфункції у цьому відрізку.

Похідна позитивна всім x з інтервалу (-1; 1) , тобто, функція арксинусу зростає по всій області визначення. Отже, найменше значення вона набуває при x = -1 , а найбільше при x = 1 .

Ми отримали область значень функції арксинусу .

приклад.

Знайдіть безліч значень функції на відрізку.

Рішення.

Знайдемо найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Визначимо точки екстремуму, що належать відрізку:

Обчислюємо значення вихідної функції на кінцях відрізка та у точках :

Отже, безліччю значень функції на відрізку є відрізок .

Тепер покажемо, як знаходити безліч значень безперервної функції y = f(x) проміжках (a; b) , .

Спочатку визначаємо точки екстремуму, екстремуми функції, проміжки зростання та зменшення функції на даному інтервалі. Далі обчислюємо на кінцях інтервалу та (або) межі на нескінченності (тобто досліджуємо поведінку функції на межах інтервалу або на нескінченності). Цієї інформації достатньо, щоб знайти безліч значень функції на таких проміжках.

приклад.

Визначте безліч значень функції на інтервалі (-2; 2).

Рішення.

Знайдемо точки екстремуму функції, що потрапляють на проміжок (-2; 2):

Крапка x = 0 є точкою максимуму, так як похідна змінює знак з плюсу на мінус при переході через неї, а графік функції від зростання переходить до спадання.

є відповідний максимум функції.

З'ясуємо поведінку функції при x, що прагне до -2 праворуч і при x, що прагне до 2 зліва, тобто, знайдемо односторонні межі:

Що ми отримали: при зміні аргументу від -2 на нуль значення функції зростають від мінус нескінченності до мінус однієї четвертої (максимуму функції при x = 0 ), при зміні аргументу від нуля до 2 значення функції зменшуються до мінус нескінченності. Таким чином, безліч значень функції на інтервалі (-2; 2) є .

приклад.

Вкажіть множину значень функції тангенсу y = tgx на інтервалі.

Рішення.

Похідна функції тангенсу на інтервалі позитивна що вказує на зростання функції. Досліджуємо поведінку функції на межах інтервалу:

Таким чином, при зміні аргументу від значення функції зростають від мінус нескінченності до плюс нескінченності, тобто, безліч значень тангенса на цьому інтервалі є безліч всіх дійсних чисел.

приклад.

Знайдіть область значень функції натурального логарифму y = lnx.

Рішення.

Функція натурального логарифму визначена для позитивних значеньаргументу . На цьому інтервалі похідна позитивна Це говорить про зростання функції на ньому. Знайдемо односторонню межу функції при прагненні аргументу до нуля праворуч, і межа при x, що прагне до плюс нескінченності:

Ми бачимо, що за зміни x від нуля до плюс нескінченності значення функції зростають від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Отже, областю значень функції натурального логарифму є безліч дійсних чисел.

приклад.

Рішення.

Ця функція визначена всім дійсних значень x . Визначимо точки екстремуму, а також проміжки зростання та зменшення функції.

Отже, функція зменшується при , зростає при , x = 0 - точка максимуму, відповідний максимум функції.

Подивимося на поведінку функції на нескінченності:

Таким чином, на нескінченності значення функції асимптотично наближаються до нуля.

Ми з'ясували, що при зміні аргументу від мінус нескінченності до нуля (точки максимуму) значення функції зростають від нуля до дев'яти (до максимуму функції), а при зміні x від нуля до плюс нескінченності значення функції зменшуються від дев'яти до нуля.

Подивіться схематичний малюнок.

Тепер добре видно, що область значень функції .

Знаходження множини значень функції y = f(x) на проміжках вимагає аналогічних досліджень. Не будемо зараз докладно зупинятись на цих випадках. У прикладах нижче вони ще зустрінуться.

Нехай область визначення функції y = f(x) є об'єднанням кількох проміжків. При знаходженні області значень такої функції визначаються безлічі значень кожному проміжку і їх об'єднання.

приклад.

Знайдіть область значень функції.

Рішення.

Знаменник нашої функції не повинен звертатися в нуль, тобто .

Спочатку знайдемо безліч значень функції на відкритому промені.

Похідна функції негативна у цьому проміжку, тобто, функція зменшується у ньому.

Отримали, що при прагненні аргументу мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до одиниці. При зміні x від мінус нескінченності до двох значення функції спадають від одного до мінус нескінченності, тобто, на проміжку, що розглядається, функція приймає безліч значень . Одиницю не включаємо, оскільки значення функції не досягають її, а лише асимптотично прагнуть до неї на мінус нескінченності.

Діємо аналогічно для відкритого променя.

На цьому проміжку функція теж зменшується.

Безліч значень функції на цьому проміжку є безліч.

Таким чином, потрібна область значень функції є об'єднання множин і .

Графічні ілюстрації.

Окремо слід зупинитись на періодичних функціях. Область значень періодичних функційзбігається з безліччю значень на проміжку, що відповідає періоду цієї функції.

приклад.

Знайдіть область значень функції синуса y = sinx.

Рішення.

Ця функція періодична з періодом два пі. Візьмемо відрізок та визначимо безліч значень на ньому.

Відрізку належать дві точки екстремуму та .

Обчислюємо значення функції у цих точках та на межах відрізка, вибираємо найменше та найбільше значення:

Отже, .

приклад.

Знайдіть область значення функції .

Рішення.

Ми знаємо, що областю значень арккосинусу є відрізок від нуля до пі, тобто, або в іншому записі. Функція може бути отримана з arccosx зсувом і розтягуванням вздовж осі абсцис. Такі перетворення на область значень не впливають, тому, . Функція виходить з розтягуванням втричі вздовж осі Оy , тобто, . І остання стадія перетворень - це зрушення на чотири одиниці вниз по осі ординат. Це нас призводить до подвійну нерівність

Таким чином, потрібна область значень є .

Наведемо рішення ще одного прикладу, але без пояснень (вони не потрібні, тому що повністю аналогічні).

приклад.

Визначте область значень функції .

Рішення.

Запишемо вихідну функцію у вигляді . Областью значень статечної функції є проміжок. Тобто, . Тоді

Отже, .

Для повноти картини слід поговорити про знаходження області значень функції, яка є безперервної області визначення. У цьому випадку область визначення розбиваємо точками розриву на проміжки, і знаходимо безліч значень на кожному з них. Об'єднавши отримані множини значень, отримаємо область значень вихідної функції. Рекомендуємо згадати

Ми дізналися, що існує X- множина, на якій формула, якій задана функція, має сенс. У математичний аналізце безліч часто позначають як D (область визначення функції ). У свою чергу безліч Yпозначають як E (область значень функції ) і при цьому Dі Eназивають підмножинами R(Більшості дійсних чисел).

Якщо функція задана формулою, то за відсутності особливих застережень областю її визначення вважається найбільше безліч, у якому ця формула має сенс, тобто найбільше значень аргументу, що призводить до дійсним значенням функції . Інакше висловлюючись, безліч значень аргументу, у якому " функція працює " .

Для загального розумінняприклад поки що без формули. Функція задана як пар відносин:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Знайти область визначення цієї функції.

Відповідь. Перший елемент пар – це змінна x. Так як у завданні функції дано і другі елементи пар - значення змінної y, то функції має сенс лише тих значень ікса, яким відповідає певне значенняігрека. Тобто беремо всі ікси даних пар у порядку зростання та отримуємо з них область визначення функції:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Та ж логіка працює, якщо функція задана формулою. Тільки другі елементи парах (тобто значення грека) отримуємо, підставляючи у формулу ті чи інші значення икса. Однак, щоб знайти область визначення функції, нам не потрібно перебирати всі пари іксів та ігреків.

приклад 0.Як знайти область визначення функції ігор дорівнює квадратному кореню з ікса мінус п'ять (підкорене вираз ікс мінус п'ять) ()? Потрібно лише вирішити нерівність

x - 5 ≥ 0 ,

оскільки для того, щоб ми отримали дійсне значення грека, підкорене вираз має бути більшим або рівним нулю. Отримуємо рішення: область визначення функції - всі значення ікса більше або дорівнює п'яти (або ікс належить проміжку від п'яти включно до плюс нескінченності).

На кресленні зверху – фрагмент числової осі. На ній область визначення розглянутої функції заштрихована, при цьому в "плюсовому" напрямку штрихування триває нескінченно разом з самою віссю.

Якщо ви користуєтеся комп'ютерними програмами, які на підставі введених даних видають якусь відповідь, можете помітити, що при деяких значеннях введених даних програма видає повідомлення про помилку, тобто про те, що при таких даних відповідь не може бути обчислена. Таке повідомлення передбачено авторами програми, якщо вираз для обчислення відповіді досить складний або стосується якоїсь вузької предметної області, або передбачено авторами мови програмування, якщо справа стосується загальноприйнятих норм, наприклад, що не можна ділити на нуль.

Але і в тому і в іншому випадку відповідь (значення деякого виразу) не може бути обчислена з тієї причини, що вираз при деяких значеннях даних немає сенсу.

Приклад (поки не зовсім математичний): якщо програма видає назву місяця за номером місяця на рік, то, ввівши "15", ви отримаєте повідомлення про помилку.

Найчастіше обчислюване вираз якраз і є функцією. Тому такі не допустимі значенняданих не входять до область визначення функції . І в обчисленнях від руки так само важливо представляти область визначення функції. Наприклад, ви обчислюєте деякий параметр деякого виробу за формулою, що є функцією. За певних значень аргументу на вході ви на виході не отримаєте нічого.

Область визначення постійної

Постійна (константа) визначена за будь-яких дійсних значень x R дійсних чисел. Це можна записати і так: областю визначення цієї функції є вся числова пряма ]- ∞; + ∞[.

Приклад 1. Знайти область визначення функції y = 2 .

Рішення. Область визначення функції не зазначена, отже, з вище наведеного визначення мають на увазі природна область визначення. Вираз f(x) = 2 визначено за будь-яких дійсних значень x, отже, дана функціявизначена на всій множині R дійсних чисел.

Тому на кресленні зверху числова пряма заштрихована протягом усього від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

Область визначення кореня n-го ступеня

У разі коли функція задана формулою і n- натуральне число:

Приклад 2. Знайти область визначення функції .

Рішення. Як випливає з визначення, корінь парного ступеня має сенс, якщо підкорене вираз невід'ємний, тобто, якщо - 1 ≤ x≤ 1 . Отже, область визначення цієї функції - [- 1; 1].

Заштрихована область числової прямої на кресленні зверху - це область визначення цієї функції.

Область визначення статечної функції

Область визначення статечної функції з цілим показником ступеня

якщо a- Позитивне, то областю визначення функції є безліч усіх дійсних чисел, тобто ] - ∞; + ∞[;

якщо a- негативне, то областю визначення функції є множина ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тобто вся числова пряма за винятком нуля.

На відповідному кресленні зверху вся числова пряма заштрихована, а точка, що відповідає нулю, виколота (вона не входить у область визначення функції).

Приклад 3. Знайти область визначення функції .

Рішення. Перший доданок цілим ступенемікса, що дорівнює 3, а ступінь ікса у другому доданку можна у вигляді одиниці - як і цілого числа. Отже, область визначення цієї функції - вся числова пряма, тобто ]-∞; + ∞[.

Область визначення статечної функції з дробовим показником ступеня

У разі коли функція задана формулою :

якщо - позитивне, то областю визначення функції є множина 0; + ∞[.

Приклад 4. Знайти область визначення функції .

Рішення. Обидва доданки у виразі функції - статечні функціїіз позитивними дробовими показниками ступенів. Отже, область визначення цієї функції - множина - ∞; + ∞[.

Область визначення показової та логарифмічної функції

Область визначення показової функції

У разі коли функція задана формулою , областю визначення функції є вся числова пряма, тобто ]- ∞; + ∞[.

Область визначення логарифмічної функції

Логарифмічна функція визначена за умови, якщо її аргумент позитивний, тобто областю її визначення є безліч ]0; + ∞[.

Знайти область визначення функції самостійно, а потім переглянути рішення

Область визначення тригонометричних функцій

Область визначення функції y= cos( x) - так само безліч R дійсних чисел.

Область визначення функції y= tg ( x) - безліч R дійсних чисел, крім чисел .

Область визначення функції y= ctg ( x) - безліч R дійсних чисел, крім .

Приклад 8. Знайти область визначення функції .

Рішення. Зовнішня функція - десятковий логарифмі на область її визначення поширюються умови області визначення логарифмічної функціївзагалі. Тобто її аргумент має бути позитивним. Аргумент тут – синус "ікса". Повертаючи уявний циркуль по колу, бачимо, що умова sin x> 0 порушується при "іксі" рівним нулю, "пі", два, помноженому на "пі" і взагалі рівним добуткучисла "пі" та будь-якого парного або непарного цілого числа.

Таким чином, область визначення даної функції задається виразом

,

де k- ціле число.

Область визначення зворотних тригонометричних функцій

Область визначення функції y= arcsin( x) - безліч [-1; 1].

Область визначення функції y= arccos( x) - так само безліч [-1; 1].

Область визначення функції y= arctg( x) - безліч R дійсних чисел.

Область визначення функції y= arcctg( x) - так само безліч R дійсних чисел.

Приклад 9. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішимо нерівність:

Отже, отримуємо область визначення цієї функції - відрізок [- 4; 4].

Приклад 10. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішимо дві нерівності:

Розв'язання першої нерівності:

Розв'язання другої нерівності:

Таким чином, отримуємо область визначення цієї функції - відрізок.

Область визначення дробу

Якщо функція задана дробовим виразом, в якому змінна знаходиться в знаменнику дробу, то областю визначення функції є безліч R дійсних чисел, крім таких x, при яких знаменник дробу перетворюється на нуль.

Приклад 11. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішуючи рівність нулю знаменника дробу, знаходимо область визначення цієї функції - безліч ]- ∞; - 2 [∪] - 2; + ∞ [.

Функція y=f(x) — це така залежність змінної y від змінної x коли кожному припустимому значенню змінної x відповідає єдине значення змінної y .

Областю визначення функції D(f) називають множину всіх допустимих значень змінної x .

Область значень функції E(f) - безліч всіх допустимих значень змінної y.

Графік функції y=f(x) — множина точок площини, координати яких задовольняють даної функціональної залежності, тобто точок, виду M(x; f(x)) . Графік функції є деякою лінією на площині.

Якщо b=0 , то функція набуде вигляду y=kx і буде називатися прямою пропорційністю.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

Графік лінійної функції – пряма.

Кутовий коефіцієнт k прямий y=kx+b обчислюється за такою формулою:

k = tg \alpha , де \alpha - Кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі Ox .

1) Функція монотонно зростає при k>0.

Наприклад: y=x+1

2) Функція монотонно зменшується при k< 0 .

Наприклад: y=-x+1

3) Якщо k = 0, то надаючи b довільні значення, отримаємо сімейство прямих паралельних осі Ox.

Наприклад: y=-1

Зворотня пропорційність

Зворотною пропорційністюназивається функція виду y=\frac(k)(x), де k - відмінне від нуля, дійсне число

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

Графіком функції y=\frac(k)(x)є гіпербола.

1) Якщо k > 0 , то графік функції розташовуватиметься у першій та третій чверті координатної площини.

Наприклад: y=\frac(1)(x)

2) Якщо k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Наприклад: y=-\frac(1)(x)

Ступінна функція

Ступінна функція— це функція виду y=x^n , де n — відмінне від нуля, дійсне число

1) Якщо n=2, то y=x^2. D(f) : x \ in R; \: E(f) : y \in; основний період функції T = 2 \ pi

У кожній функції є дві змінні – незалежна змінна та залежна змінна, значення якої залежить від значень незалежної змінної. Наприклад, у функції y = f(x) = 2x + yнезалежною змінною є "х", а залежною - "у" (іншими словами, "у" - це функція від "х"). Допустимі значення незалежної змінної «х» називаються областю визначення функції, а допустимі значення залежної змінної «у» називаються областю значень функції.

Кроки

Частина 1

Знаходження області визначення функції

Визначте тип цієї функції.Областю значень функції є всі допустимі значення «х» (відкладаються горизонтальною осі), яким відповідають допустимі значення «у». Функція може бути квадратичною чи містити дроби чи коріння. Для знаходження області визначення функції спочатку необхідно визначити тип функції.

1. Виберіть відповідний запис для визначення функції.Область визначення записується у квадратних та/або круглих дужках. Квадратна скобказастосовується у тому випадку, коли значення входить у область визначення функції; якщо значення не входить у область визначення, використовується кругла дужка. Якщо функція має кілька несуміжних областей визначення, між ними ставиться символ «U».

   • Наприклад, область визначення [-2,10) U (10,2] включає значення -2 та 2, але не включає значення 10.

2. Побудуйте графік квадратичні функції. Графік такої функції є параболою, гілки якої спрямовані або вгору, або вниз. Так як парабола зростає або зменшується по всій осі Х, то областю визначення квадратичної функції є всі дійсні числа. Іншими словами, областю визначення такої функції є множина R (R позначає всі дійсні числа).

   • Для кращого з'ясування поняття функції виберіть будь-яке значення "х", підставте його у функцію та знайдіть значення "у". Пара значень «х» і «у» є крапкою з координатами (х,у), яка лежить на графіку функції.
   • Нанесіть цю точку на площину координат і виконайте описаний процес з іншим значенням «х».
   • Завдавши на площину координат кілька точок, ви отримаєте загальне уявленняпро форму графіка функції.

3. Якщо функція містить дріб, прирівняйте його знаменник до нуля.Пам'ятайте, що ділити на нуль не можна. Тому, прирівнявши знаменник до нуля, ви знайдете значення «х», які входять у область визначення функції.

   • Наприклад, знайдіть область визначення функції f(x) = (x + 1) / (x - 1).
   • Тут знаменник: (х – 1).
   • Прирівняйте знаменник до нуля і знайдіть "х": х - 1 = 0; х = 1.
   • Запишіть область визначення функції. Область визначення не включає 1, тобто включає всі дійсні числа за винятком 1. Таким чином область визначення функції: (-∞,1) U (1,∞).
   • Запис (-∞,1) U (1,∞) читається так: множина всіх дійсних чисел за винятком 1. Символ нескінченності ∞ означає всі дійсні числа. У нашому прикладі всі дійсні числа, які більше 1 і менше 1 включені в область визначення.

4. Якщо функція містить квадратний корінь, то підкорене вираз має бути більшим або дорівнює нулю.Пам'ятайте, що квадратний корінь із негативних чисел не витягується. Тому будь-яке значення «х», у якому підкорене вираз стає негативним, потрібно виключити з області визначення функції.

   • Наприклад, знайдіть область визначення функції f(x) = √(x + 3).
   • Підкорене вираз: (х + 3).
   • Підкорене вираз має бути більшим або рівним нулю: (х + 3) ≥ 0.
   • Знайдіть "х": х ≥ -3.
   • Область визначення цієї функції включає множину всіх дійсних чисел, які більші або рівні -3. Таким чином область визначення: [-3,∞).

   Частина 2

   Знаходження області значень квадратичної функції

   1. Переконайтеся, що вам дано квадратичну функцію.Квадратична функція має вигляд: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. Графік такої функції є параболою, гілки якої спрямовані або вгору, або вниз. Існують різні методизнаходження області значень квадратичної функції.

      • Найпростіший спосіб знайти область значень функції, що містить корінь або дріб, це побудувати графік такої функції за допомогою графічного калькулятора.

   2. Знайдіть координату "х" вершини графіка функції.У разі квадратичної функції знайдіть координату «х» вершини параболи. Пам'ятайте, що квадратична функція має вигляд: ax 2 + bx + c. Для обчислення координати "х" скористайтеся наступним рівнянням: х = -b/2a. Це рівняння є похідною від основної квадратичної функції та описує дотичну, кутовий коефіцієнтякої дорівнює нулю (дотична до вершини параболи паралельна осі Х).

      • Наприклад, знайдіть область значень функції 3x2+6x-2.
      • Обчисліть координату "х" вершини параболи: х = -b/2a = -6/(2 * 3) = -1

   3. Знайдіть координату "у" вершини графіка функції.Для цього в функцію підставте знайдену координату "х". Шукана координата«у» є граничним значенням області значень функції.

      • Обчисліть координату "у": y = 3x 2 + 6x - 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • Координати вершини параболи цієї функції: (-1,-5).

   4. Визначте напрямок параболи, підставивши у функцію принаймні одне значення «х».Виберіть будь-яке інше значення "х" і підставте його у функцію, щоб обчислити відповідне значення "у". Якщо знайдене значення «у» більше за координату «у» вершини параболи, то парабола спрямована вгору. Якщо знайдене значення «у» менше координати «у» вершини параболи, то парабола спрямована вниз.

      • Підставте у функцію х = -2: y = 3x 2 + 6x - 2 = y = 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • Координати точки, що лежить на параболі: (-2,-2).
      • Знайдені координати свідчать, що гілки параболи спрямовані вгору. Таким чином, область значень функції включає всі значення у, які більше або рівні -5.
      • Область значень цієї функції: [-5, ∞)

   5. Область значень функції записується аналогічно області визначення функції.Квадратна дужка застосовується у тому випадку, коли значення входить у область значень функції; якщо значення не входить у область значень, використовується кругла дужка. Якщо функція має кілька несуміжних областей значень, між ними ставиться символ «U».

      • Наприклад, область значень [-2,10) U (10,2] включає значення -2 та 2, але не включає значення 10.
      • З символом нескінченності ∞ завжди використовуються круглі дужки.

У математиці є досить невелика кількість елементарних функційобласть визначення яких обмежена. Всі інші "складні" функції - це лише їх поєднання та комбінації.

1. Дробова функція – обмеження на знаменник.

2. Корінь парного ступеня – обмеження на підкорене вираз.

3. Логарифми - обмеження на підставу логарифму та підлогарифмічний вираз.

3. Тригонометричні tg(x) та ctg(x) - обмеження на аргумент.

Для тангенсу:

4. Зворотні тригонометричні функції.

Арксинус	Арккосінус	Арктангенс, Арккотангенс

Далі вирішуються такі приклади на тему "Область визначення функцій".

Приклад 1

Приклад 2

Приклад 3

Приклад 4

Приклад 5

Приклад 6

Приклад 7

Приклад 8

Приклад 9

Приклад 10

Приклад 11

Приклад 12

Приклад 13

Приклад 14

Приклад 15

Приклад 16

Приклад знаходження області визначення функції №1

Знаходження області визначення будь-якої лінійної функції, тобто. функції першого ступеня:

y = 2x + 3 - рівняння задає пряму на площині.

Подивимося уважно на функцію і подумаємо, які числові значення ми зможемо підставити в рівняння замість змінної х?

Спробуємо підставити значення x = 0

Так як y = 2 · 0 + 3 = 3 - отримали числове значення, отже функція існує при взятому значенні змінноїх = 0.

Спробуємо підставити значення x = 10

так як y = 2 · 10 + 3 = 23 - функція існує при взятому значенні змінної х = 10.

Спробуємо підставити значення x=-10

оскільки y = 2 · (-10) + 3 = -17 - функція існує при взятому значенні змінної х = -10.

Рівняння задає пряму лінію на плоcкости, а пряма немає ні початку ні кінця, отже вона є будь-яких значень х.

Зауважимо, що які б числові значення ми не підставляли задану функцію замість х, завжди отримаємо числове значення змінної y.

Отже, функція існує для будь-якого значення x ∈ R або запишемо так: D(f) = R

Форми запису відповіді: D(f)=R або D(f)=(-∞:+∞)або x∈R або x∈(-∞:+∞)

Зробимо висновок:

Для будь-якої функції виду y = ax + b областю визначення є множина дійсних чисел.

Приклад знаходження області визначення функції №2

Задано функцію виду:

y = 10/(x + 5) - рівняння гіперболи

Маючи справу з дробовою функцією, пригадаємо, що на нуль ділити не можна. Отже функція буде існувати для всіх значень х, які не

звертають знаменник у нуль. Спробуємо підставити будь-які довільні значення x.

При х = 0 маємо y = 10/(0 + 5) = 2 – функція існує.

При х = 10 маємо y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- Функція існує.

При x = -5 маємо y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функція у цій точці немає.

Тобто. якщо задана функціядробова, необхідно знаменник прирівняти нулю і знайти таку точку, в якій функція не існує.

У нашому випадку:

x + 5 = 0 → x = -5 - у цій точці задана функція немає.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Для наочності зобразимо графічно:

На графіці також бачимо, що гіпербола максимально близько наближається до прямої х = -5 але самого значення -5 не досягає.

Бачимо, що задана функція існує у всіх точках дійсної осі, крім точки x = -5

Форми запису відповіді: D(f)=R(-5)або D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) або x ∈ R\(-5)або x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Якщо задана функція дробова, наявність знаменника накладає умова нерівності нулю знаменника.

Приклад знаходження області визначення функції №3

Розглянемо приклад знаходження області визначення функції з коренем парного ступеня:

Так як квадратний корінь ми можемо витягти лише з невід'ємного числа, отже, функція під коренем - невід'ємна.

2х - 8 ≥ 0

Вирішимо просту нерівність:

2х - 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4

Ця функція існує тільки при знайдених значеннях х ≥ 4 або D(f)=)