Дроби

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Дроби у старших класах не сильно докучають. До пори до часу. Поки не зіткнетеся зі ступенями з раціональними показникамиі логарифмами. А ось там. Дусиш, давиш калькулятор, а він все повне табло якихось циферок каже. Доводиться головою думати, як у третьому класі.

Давайте вже розберемося з дробами, нарешті! Ну скільки можна в них плутатися! Тим більше це все просто і логічно. Отже, які бувають дроби?

Види дробів. Перетворення.

Дроби бувають трьох видів.

1. Звичайні дроби , наприклад:

Іноді замість горизонтальної рисочки ставлять похилу межу: 1/2, 3/4, 19/5, ну, і так далі. Тут ми часто будемо таким написанням користуватися. Верхнє число називається чисельником, нижнє - знаменником.Якщо ви постійно плутаєте ці назви (буває ...), скажіть собі фразу: " Зззззпригадай! Зззззнамінник - вниз зззззу!" Дивишся, все і ззапам'ятається.)

Чортка, що горизонтальна, що похила означає поділверхнього числа (числителя) на нижнє (знаменник). І все! Замість рисочки цілком можна поставити знак розподілу – дві точки.

Коли поділ можливо націло, це треба робити. Так, замість дробу "32/8" набагато приємніше написати число "4". Тобто. 32 просто поділити на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я вже й не говорю про дріб "4/1". Яка також просто "4". А якщо вже не ділиться націло, так і залишаємо у вигляді дробу. Іноді доводиться зворотну операцію робити. Робити із цілого числа дріб. Але про це далі.

2. Десяткові дроби , наприклад:

Саме у такому вигляді потрібно буде записувати відповіді на завдання "В".

3. Змішані числа , наприклад:

Змішані числа практично не використовуються у старших класах. Для того, щоб з ними працювати, їх треба переводити у звичайні дроби. Але це точно треба вміти робити! А то трапиться таке число в завданню і зависніть ... На порожньому місці. Але ми згадаємо цю процедуру! Трохи нижче.

Найбільш універсальні звичайні дроби. З них і почнемо. До речі, якщо в дробі стоять всякі логарифми, синуси та інші літери, це нічого не змінює. У тому сенсі, що все дії з дробовими виразами нічим не відрізняються від дій з звичайними дробамиі!

Основна властивість дробу.

Тож поїхали! Спочатку я вас здивую. Все різноманіття перетворень дробів забезпечується одним-єдиним властивістю! Воно так і називається, основна властивість дробу. Запам'ятовуйте: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, дріб не зміниться.Тобто:

Зрозуміло, що писати можна далі, до посиніння. Синуси та логарифми нехай вас не бентежать, з ними далі розберемося. Головне зрозуміти, що всі ці різноманітні висловлювання є один і той же дріб . 2/3.

А воно нам потрібне, всі ці перетворення? Ще й як! Нині самі побачите. Для початку вживаємо основну властивість дробу для скорочення дробів. Здається, річ елементарна. Ділимо чисельник і знаменник на те саме число і всі справи! Помилитись неможливо! Але... людина - творча істота. Помилитись скрізь може! Особливо, якщо доводиться скорочувати не дріб типу 5/10, а дробовий вираз із будь-якими літерами.

Як правильно і швидко скорочувати дроби, не роблячи зайвої роботи, можна прочитати в розділі 555 .

Нормальний учень не морочиться розподілом чисельника і знаменника на одне і те ж число (або вираз)! Він просто закреслює все однакове зверху та знизу! Отут і таїться типова помилка, ляп, якщо хочете.

Наприклад, треба спростити вираз:

Тут і думати нічого, закреслюємо букву "а" зверху та двійку знизу! Отримуємо:

Все правильно. Але реально ви поділили весь чисельник та весь знаменник на "а". Якщо ви звикли просто закреслювати, то, похапцем, можете закреслити "а" у виразі

і отримати знову

Що буде категорично невірно. Тому що тут весьчисельник на "а" вже не ділиться! Цей дріб скоротити не можна. До речі, таке скорочення – це, гм… серйозний виклик викладачеві. Такого не вибачають! Запам'ятали? При скороченні ділити треба весь чисельник та весь знаменник!

Скорочення дробів дуже полегшує життя. Вийде десь у вас дріб, наприклад 375/1000. І як тепер із нею далі працювати? Без калькулятора? Помножувати, скажімо, складати, у квадрат зводити!? А якщо не полінуватися, та акуратно скоротити на п'ять, та ще на п'ять, та ще... поки скорочується, коротше. Отримаємо 3/8! Куди приємніше, правда?

Основна властивість дробу дозволяє переводити звичайні дроби в десяткові та навпаки без калькулятора! Це важливо на ЄДІ, правда?

Як переводити дроби з одного виду до іншого.

Із десятковими дробами все просто. Як чується, так і пишеться! Скажімо, 0,25. Це нуль цілих, двадцять п'ять сотих. Так і пишемо: 25/100. Скорочуємо (ділимо чисельник та знаменник на 25), отримуємо звичайний дріб: 1/4. Всі. Буває, і нічого не скорочується. Типу 0,3. Це три десятих, тобто. 3/10.

А якщо цілих – не нуль? Нічого страшного. Записуємо весь дріб без жодних ком.у чисельник, а знаменник - те, що чується. Наприклад: 3,17. Це три цілих, сімнадцять сотих. Пишемо до чисельника 317, а до знаменника 100. Отримуємо 317/100. Нічого не скорочується, отже, все. Це відповідь. Елементарно, Ватсон! З усього сказаного корисний висновок: будь-який десятковий дріб можна перетворити на звичайний .

А от зворотне перетворення, Як правило, в десяткову, деякі без калькулятора не можуть зробити. А треба! Як ви відповідь записуватимете на ЄДІ!? Уважно читаємо та освоюємо цей процес.

Десятковий дріб чим характерний? У неї у знаменнику завждикоштує 10, чи 100, чи 1000, чи 10000 тощо. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, 4/10 = 0,4. Або 7/100 = 0,07. Або 12/10 = 1,2. А якщо у відповіді на завдання розділу "В" вийшло 1/2? Що у відповідь будемо писати? Там десяткові потрібні...

Згадуємо основна властивість дробу ! Математика прихильно дозволяє множити чисельник і знаменник на те саме число. На будь-яке, між іншим! Крім нуля, зрозуміло. Ось і застосуємо цю властивість собі на користь! На що можна примножити знаменник, тобто. 2 щоб він став 10, або 100, або 1000 (менше краще, звичайно...)? На 5, очевидно. Сміливо множимо знаменник (це намтреба) на 5. Але, тоді і чисельник треба помножити теж на 5. Це вже математикавимагає! Отримаємо 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. От і все.

Однак знаменники всякі трапляються. Потрапиться, наприклад, дріб 3/16. Спробуй, зміркуй тут, на що 16 помножити, щоб 100 вийшло, або 1000 ... Не виходить? Тоді можна просто розділити 3 на 16. За відсутністю калькулятора ділити доведеться куточком, на папірці, як у молодших класахвчили. Отримаємо 0,1875.

А бувають і зовсім погані знаменники. Наприклад, дріб 1/3 ну ніяк не перетвориш на хорошу десяткову. І на калькуляторі, і на папірці, ми отримаємо 0,3333333... Це означає, що 1/3 у точний десятковий дріб НЕ перекладається. Так само, як і 1/7, 5/6 і таке інше. Багато їх, неперекладних. Звідси ще один корисний висновок. Не кожен звичайний дріб переводиться в десятковий !

До речі, це корисна інформаціядля самоперевірки. У розділі "В" у відповідь треба десятковий дріб записувати. А у вас вийшло, наприклад, 4/3. Цей дріб не переводиться в десятковий. Це означає, що десь ви помилилися дорогою! Поверніться, перевірте рішення.

Отже, зі звичайними та десятковими дробами розібралися. Залишилося розібратися із змішаними числами. Для роботи з ними їх потрібно перевести в прості дроби. Як це зробити? Можна спіймати шестикласника та запитати у нього. Але не завжди шестикласник опиниться під руками... Доведеться самим. Це не складно. Потрібно знаменник дробової частини помножити на цілу частину і додати чисельник дробової частини. Це буде чисельник звичайного дробу. А знаменник? Знаменник залишиться тим самим. Звучить складно, але насправді все просто. Дивимося приклад.

Нехай у завданні ви з жахом побачили число:

Спокійно, без паніки розуміємо. Ціла частина – це 1. Одиниця. Дробова частина – 3/7. Отже, знаменник дробової частини - 7. Цей знаменник і буде знаменником звичайного дробу. Вважаємо чисельник. 7 множимо на 1 ( ціла частина) і додаємо 3 (числитель дробової частини). Отримаємо 10. Це буде чисельник звичайного дробу. От і все. Ще простіше це виглядає в математичному записі:

Ясно? Тоді закріпіть успіх! Переведіть у звичайні дроби. У вас має вийде 10/7, 7/2, 23/10 та 21/4.

Зворотна операція - переведення неправильного дробу до змішаного числа - у старших класах рідко потрібно. Ну якщо вже ... І якщо Ви - не в старших класах - можете заглянути в особливий Розділ 555 . Там же, до речі, і про неправильні дроби дізнаєтесь.

Ну ось, практично і все. Ви згадали види дробів і зрозуміли, як переводити їх із одного виду до іншого. Залишається питання: навіщо це робити? Де і коли застосовувати ці глибокі знання?

Відповідаю. Будь-який приклад сам нагадує необхідні дії. Якщо в прикладі змішалися в купу прості дроби, десяткові, та ще й змішані числа, переводимо все в прості дроби. Це завжди можна зробити. Ну а якщо написано, щось типу 0,8 + 0,3, то так і вважаємо, без жодного перекладу. Навіщо нам зайва робота? Ми обираємо той шлях рішення, який зручний нам !

Якщо в завданні суцільно десяткові дроби, але гм... злі якісь, перейдіть до звичайних, спробуйте! Дивишся, все й налагодиться. Наприклад, доведеться у квадрат зводити число 0,125. Не так просто, якщо від калькулятора не відвикли! Мало того, що числа перемножувати стовпчиком треба, так ще думай, куди кому вставити! В умі точно не вийде! А якщо перейти до звичайного дробу?

0,125 = 125/1000. Скорочуємо на 5 (це для початку). Отримуємо 25/200. Ще раз на 5. Отримуємо 5/40. О, ще скорочується! Знову на 5! Отримуємо 1/8. Легко зводимо у квадрат (в умі!) і отримуємо 1/64. Всі!

Підіб'ємо підсумки цього уроку.

1. Дроби бувають трьох видів. Звичайні, десяткові та змішані числа.

2. Десяткові дроби та змішані числа завждиможна перевести у прості дроби. Зворотній переклад не завждиможливий.

3. Вибір виду дробів для роботи із завданням залежить від цього завдання. За наявності різних видів дробів в одному завданні найнадійніше - перейти до звичайних дробів.

Тепер можна потренуватись. Для початку переведіть ці десяткові дроби у прості:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Повинні вийти ось такі відповіді (безладно!):

На цьому й завершимо. У цьому уроці ми освіжили у пам'яті ключові моменти по дробах. Буває, правда, що освіжати особливо нічого...) Якщо вже хтось зовсім міцно забув, або ще не освоїв... Тим можна пройти в особливий Розділ 555 . Там всі основи детально розписані. Багато хто раптом все розумітипочинають. І вирішують дроби з льоту).

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Події з дробами. У цій статті розберемо приклади, докладно з поясненнями. Розглядатимемо прості дроби. Надалі розберемо й десяткові. Рекомендую подивитися весь та вивчати послідовно.

1. Сума дробів, різниця дробів.

Правило: при складанні дробів з рівними знаменниками, в результаті отримуємо дріб – знаменник якого залишається той самий, а чисельник його буде дорівнює сумічисельників дробів.

Правило: при обчисленні різниці дробів з однаковими знаменникамиотримуємо дріб – знаменник залишається той самий, та якщо з чисельника першого дробу віднімається чисельник другий.

Формальний запис суми та різниці дробів з рівними знаменниками:

Приклади (1):

Зрозуміло, що коли дано прості дроби, то все просто, а якщо змішані? Нічого складного…

Варіант 1- Можна перевести їх у прості і далі обчислювати.

Варіант 2– можна окремо «працювати» з цілою та дробовою частиною.

Приклади (2):

Ще:

А якщо буде дана різниця двох змішаних дробів і чисельник першого дробу буде меншим від чисельника другого? Теж можна діяти двома способами.

Приклади (3):

*Перевели у звичайні дроби, вирахували різницю, переклали отриману неправильний дрібу змішану.

*Розбили на цілі та дробові частини, отримали трійку, далі представили 3 як суму 2 і 1, причому одиницю представили як 11/11, далі знайшли різницю 11/11 і 7/11 і обчислили результат. Сенс викладених перетворень у тому, щоб узяти (виділити) одиницю і уявити її як дробу з потрібним нам знаменником, далі від цього дробу ми можемо відняти іншу.

Ще приклад:

Висновок: є універсальний підхід - для того, щоб обчислити суму (різницю) змішаних дробів з рівними знаменниками їх можна перевести в неправильні, далі виконати необхідну дію. Після цього якщо в результаті отримуємо неправильний дріб переводимо його в змішаний.

Вище ми розглянули приклади з дробами, які мають рівні знаменники. А якщо знаменники відрізнятимуться? У цьому випадку дроби наводяться до одного знаменника та виконується зазначена дія. Для зміни (перетворення) дробу використовується основна властивість дробу.

Розглянемо прості приклади:

У цих прикладах ми відразу бачимо як можна перетворити один із дробів, щоб отримати рівні знаменники.

Якщо позначити способи приведення дробів до одного знаменника, цей назвемо СПОСІБ ПЕРШИЙ.

Тобто відразу при «оцінці» дробу потрібно прикинути чи спрацює такий підхід – перевіряємо чи ділиться більший знаменник на менший. І якщо ділиться, то виконуємо перетворення - домножуємо чисельник і знаменник так, щоб у обох дробів знаменники стали рівними.

Тепер подивіться на ці приклади:

До них зазначений підхід не застосовується. Існують ще способи приведення дробів до спільному знаменнику, Розглянемо їх.

Спосіб ДРУГИЙ.

Помножуємо чисельник і знаменник першого дробу на знаменник другого, а чисельник і знаменник другого дробу на знаменник першого:

*Фактично ми наводимо дроби до виду, коли знаменники стають рівними. Далі використовуємо правило складання бояр з рівними знаменниками.

Приклад:

*Цей спосіб можна назвати універсальним, і він працює завжди. Єдиний мінус у тому, що після обчислень може вийде дріб, який необхідно буде ще скоротити.

Розглянемо приклад:

Видно, що чисельник і знаменник ділиться на 5:

Спосіб третій.

Необхідно знайти найменше загальне кратне (НОК) знаменників. Це буде спільний знаменник. Що за число таке? Це найменше натуральне число, яке поділяється на кожне із чисел.

Подивіться, ось два числа: 3 і 4, є безліч чисел, які діляться на них – це 12, 24, 36, … Найменше з них 12. Або 6 та 15, на них діляться 30, 60, 90…. Найменше 30. Питання – а як визначити це найменше загальне кратне?

Є чіткий алгоритм, але це можна зробити і відразу без обчислень. Наприклад, за наведеними вище прикладами (3 і 4, 6 і 15) ніякого алгоритму не треба, ми взяли великі числа (4 і 15) збільшили їх у два рази і побачили, що вони діляться на друге число, але пари чисел можуть бути і іншими, наприклад 51 та 119.

Алгоритм. Для того, щоб визначити найменше загальне кратне кількох чисел, необхідно:

- Розкласти кожне з чисел на Прості множники

— виписати розкладання ВЕЛИКОГО з них

— помножити його на множники інших чисел, що НЕ ДОСТАВЛЯЮТЬ

Розглянемо приклади:

50 та 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

у розкладанні більшого числане вистачає однієї п'ятірки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 та 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

у розкладанні більшого числа не вистачає двійки та трійки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Найменше загальне кратне двох простих чиселодно їх твору

Запитання! А чим корисне знаходження найменшого загального кратного, адже можна користуватися другим способом і отриманий дріб просто скоротити? Так, можна, але це не завжди зручно. Подивіться, який вийде знаменник для чисел 48 і 72, якщо їх просто перемножити 48 72 = 3456. Погодьтеся, що приємніше працювати з меншими числами.

Розглянемо приклади:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

у розкладанні більшого числа не вистачає трійки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А тепер застосуємо перший спосіб:

*Погляньте яка різниця в обчисленнях, у першому випадку їх мінімум, а в другому потрібно попрацювати окремо на листочку, та ще й дріб, який отримали скоротити необхідно. Знаходження НОК значно спрощує роботу.

Ще приклади:

*У другому прикладі і так видно, що найменше число, Що ділиться на 40 і 60 дорівнює 120.

ПІДСУМОК! ЗАГАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ ВИЧИСЛЕНЬ!

- Наводимо дроби до звичайних, якщо є ціла частина.

- Наводимо дроби до спільного знаменника (спочатку дивимося чи ділиться один знаменник на інший, якщо ділиться то множимо чисельник і знаменник цього іншого дробу; якщо не ділиться діє через інших зазначених вище способів).

- отримавши дроби з рівними знаменниками, виконуємо дії (додавання, віднімання).

- Якщо необхідно, то результат скорочуємо.

- Якщо необхідно, то виділяємо цілу частину.

2. Добуток дробів.

Правило просте. При множенні дробів множаться їх чисельники та знаменники:

Приклади:

Завдання. На базу привезли 13 тонн овочів. Картопля становить ¾ від усіх завезених овочів. Скільки кілограмів картоплі завезли на базу?

З твором закінчимо.

*Раніше обіцяв вам навести формальне пояснення основної властивості дробу через твір, будь ласка:

3. Розподіл дробів.

Розподіл дробів зводиться до їх множення. Тут важливо запам'ятати, що дріб є дільником (та, на яку ділять) перевертається і дія змінюється на множення:

Ця дія може бути записана у вигляді так званого чотириповерхового дробу, адже саме розподіл «:» теж можна записати як дріб:

Приклади:

На цьому все! Успіху вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

Події з дробами.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Отже, що являють собою дроби, види дробів, перетворення - ми згадали. Займемося основним питанням.

Що можна робити із дробами?Та все те, що і зі звичайними числами. Складати, віднімати, множити, ділити.

Всі ці дії з десятковимидробами нічим не відрізняються від дій із цілими числами. Власне, цим вони й добрі, десяткові. Єдино, кому правильно поставити треба.

Змішані числаЯк я вже казав, малопридатні для більшості дій. Їх все одно треба переводити у звичайні дроби.

А ось дії з звичайними дробамихитрішими будуть. І набагато важливіше! Нагадаю: всі дії з дробовими виразами з літерами, синусами, невідомими та інші та інші нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами! Дії зі звичайними дробами – це основа для всієї алгебри. Саме тому ми дуже докладно розберемо тут всю цю арифметику.

Складання та віднімання дробів.

Скласти (відібрати) дроби з однаковими знаменниками кожен зможе (дуже сподіваюся!). Ну вже зовсім забудькуватим нагадаю: при складанні (відніманні) знаменник не змінюється. Чисельники складаються (віднімаються) і дають чисельник результату. Типу:

Коротше, в загальному вигляді:

А якщо знаменники різні? Тоді, використовуючи основну властивість дробу (ось воно і знову знадобилося!), робимо знаменники однаковими! Наприклад:

Тут нам із дробу 2/5 довелося зробити дріб 4/10. Винятково з метою зробити знаменники однаковими. Зауважу, про всяк випадок, що 2/5 та 4/10 це один і той же дріб! Тільки 2/5 нам незручно, а 4/10 дуже нічого.

До речі, у цьому є суть рішень будь-яких завдань з математики. Коли ми з незручноговирази робимо те саме, але вже зручне для вирішення.

Ще приклад:

Ситуація є аналогічною. Тут ми із 16 робимо 48. Простим множеннямна 3. Це зрозуміло. Але ось нам трапилося щось типу:

Як бути?! З сімки дев'ятку важко зробити! Але ми розумні, ми знаємо правила! Перетворюємо кожнудріб так, щоб знаменники стали однаковими. Це називається «приведемо до спільного знаменника»:

Ось як! Звідки я дізнався про 63? Дуже просто! 63 це число, яке ціле ділиться на 7 і 9 одночасно. Таке число можна отримати перемноженням знаменників. Якщо ми якесь число помножили на 7, наприклад, то результат точно на 7 ділитися буде!

Якщо треба скласти (відняти) кілька дробів, немає потреби робити це попарно, по кроках. Просто треба знайти знаменник, загальний для всіх дробів, і привести кожен дріб до цього знаменника. Наприклад:

І який спільний знаменник буде? Можна, звичайно, перемножити 2, 4, 8 і 16. Отримаємо 1024. Кошмар. Простіше прикинути, що число 16 відмінно ділиться і на 2, і на 4, і на 8. Отже, з цих чисел легко отримати 16. Це число буде спільним знаменником. 1/2 перетворимо на 8/16, 3/4 на 12/16, ну і так далі.

До речі, якщо за загальний знаменник взяти 1024, теж все вийде, наприкінці все скорочується. Тільки до цього кінця не всі дістануться, через обчислення...

Дорішайте приклад самостійно. Чи не логарифм який... Повинно вийти 29/16.

Отже, зі складанням (відніманням) дробів ясно, сподіваюся? Звичайно, простіше працювати в скороченому варіанті з додатковими множниками. Але це задоволення є тим, хто чесно працював у молодших класах... І нічого не забув.

А зараз ми поробимо ті самі дії, але не з дробами, а з дробовими виразами. Тут виявляться нові граблі, та...

Отже, нам треба скласти два дробових виразів:

Потрібно зробити знаменники однаковими. Причому лише за допомогою множення! Така основна властивість дробу велить. Тому я не можу в першому дробі у знаменнику до ікса додати одиницю. (А ось би добре було!). А от якщо перемножити знаменники, дивишся, все й зростеться! Так і записуємо, межу дробу, зверху порожнє місце залишимо, потім допишемо, а знизу пишемо твір знаменників, щоб не забути:

І, звичайно, нічого у правій частині не перемножуємо, дужки не відкриваємо! А тепер, дивлячись на загальний знаменник правої частини, розуміємо: щоб у першому дробі вийшов знаменник х(х+1), треба чисельник та знаменник цього дробу помножити на (х+1). А у другому дробі – на х. Вийде ось що:

Зверніть увагу! Тут з'явилися дужки! Це і є ті граблі, на які багато хто наступає. Не дужки, звісно, ​​а їхня відсутність. Дужки з'являються тому, що ми множимо весьчисельник та весьзнаменник! А не їхні окремі шматочки...

У чисельнику правої частини записуємо суму чисельників, все як у числових дробах, потім розкриваємо дужки у чисельнику правої частини, тобто. перемножуємо все та наводимо подібні. Розкривати дужки у знаменниках, перемножувати щось не потрібно! Взагалі, у знаменниках (будь-яких) завжди приємніший твір! Отримаємо:

Ось і отримали відповідь. Процес здається довгим та важким, але це від практики залежить. Розв'язуєте приклади, звикніть, все стане просто. Ті, хто освоїв дроби в належний час, всі ці операції однією лівою роблять на автоматі!

І ще одне зауваження. Багато хто хвацько розправляються з дробами, але зависають на прикладах з цілимичислами. Типу: 2+1/2+3/4=? Куди пристебнути двійку? Нікуди не треба пристібати, треба з двійки дріб зробити. Це не просто, а дуже просто! 2 = 2/1. Ось так. Будь-яке ціле число можна записати як дробу. У чисельнику - саме число, у знаменнику - одиниця. 7 це 7/1, 3 це 3/1 тощо. З літерами – те саме. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 тощо. А далі працюємо з цими дробами за всіма правилами.

Ну, за додаванням - віднімання дробів знання освіжили. Перетворення дробів з одного виду на інший - повторили. Можна й перевіритись. Вирішуємо трохи?)

Обчислити:

Відповіді (безладно):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Множення/розподіл дробів - у наступному уроці. Там же завдання на всі дії з дробами.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Інструкція

Приведення до спільного знаменника.

Нехай дані дроби a/b і c/d.

Чисельник та знаменник першого дробу множиться на НОК/b

Чисельник та знаменник другого дробу множиться на НОК/d

Приклад наведено малюнку.

Для порівняння дробів їх необхідно до спільного знаменника, потім порівняти чисельники. Наприклад, 3/4< 4/5, см. .

Складання та віднімання дробів.

Для знаходження суми двох звичайних дробів їх необхідно привести до спільного знаменника, після чого скласти чисельники, знаменник без змін. Приклад додавання дробів 1/2 і 1/3 наведено на малюнку.

Різниця дробів знаходиться аналогічним чином, після знаходження загального знаменника, чисельники дробів віднімаються, див. на малюнку.

При множенні звичайних дробів чисельники і знаменники перемножуються між собою.

Щоб розділити два дроби, необхідно дріб другого дробу, тобто. змінити його чисельник і знаменник, після чого зробити множення отриманих дробів.

Відео на тему

Джерела:

• дроби 5 клас на прикладі
• Основні завдання на дроби

Модульє абсолютною величиною виразу. Для позначення модуля застосовують прямі дужки. В'язні в них значення вважаються взятими за модулем. Рішення модуля полягає в розкритті дужок за певними правилами і знаходження безлічі значень виразу. У більшості випадків модуль розкривається таким чином, що підмодульний вираз отримує ряд позитивних і негативних значеньв тому числі і нульове значення. Виходячи з даних властивостей модуля, складаються і вирішуються далі рівняння та нерівності вихідного виразу.

Інструкція

Запишіть вихідне рівняння з . Для нього розкрийте модуль. Розгляньте кожен підмодульний вираз. Визначте, при якому значенні невідомих величин, що входять до нього, вираз у модульних дужках звертається в нуль.

Для цього прирівняйте підмодульний вираз до нуля і знайдіть рівняння, що вийшло. Напишіть знайдені значення. Так само визначте значення невідомої змінної для кожного модуля в заданому рівнянні.

Намалюйте числову пряму і відкладіть отримані значення. Значення змінної в нульовому модулі будуть обмеженнями при розв'язанні модульного рівняння.

У вихідному рівнянні потрібно розкрити модульні , змінюючи знак так, щоб значення змінної відповідали відображеним на числовій прямій. Розв'яжіть отримане рівняння. Знайдене значення змінної перевірте на обмеження модуля. Якщо рішення задовольняє умову, воно є істинним. Коріння, що не задовольняє обмежень, повинні відкидатися.

Аналогічним чином розкривайте модулі вихідного виразу з урахуванням знака і обчислюйте коріння рівняння, що отримується. Запишіть усі отримані корені, що задовольняють нерівності обмеження.

Дробові числа дозволяють виражати в різному виглядіточне значення величини. З дробами можна виконувати самі математичні операції, як і з цілими числами: віднімання, додавання, множення і розподіл. Щоб навчитися вирішувати дроби, треба пам'ятати про деякі їх особливості. Вони залежать від виду дроби, наявності цілої частини загального знаменника. Деякі арифметичні дії після виконання вимагають скорочення дрібної частини результату.

Вам знадобиться

• - Калькулятор

Інструкція

Уважно подивіться на числа. Якщо серед дробів є десяткові та неправильні, іноді зручніше спочатку виконати дії з десятковими, а потім перевести їх у неправильний вигляд. Можете перекласти дробиу такий вид спочатку, записавши значення після коми в чисельник і поставивши 10 знаменник. При необхідності скоротите дріб, розділивши числа вище та нижче на один дільник. Дроби, у яких виділяється ціла частина, приведіть до неправильного вигляду, помноживши її на знаменник і додавши до результату чисельник. Це значеннястане новим чисельником дроби. Щоб виділити цілу частину спочатку неправильної дроби, Треба поділити чисельник на знаменник. Цілий результат записати від дроби. А залишок від поділу стане новим чисельником, знаменник дробиу своїй не змінюється. Для дробів з цілою частиноюможливе виконання дій окремо спочатку для цілої, а потім для дрібної частин. Наприклад, сума 1 2/3 і 2 ¾ може бути обчислена:
- Переведення дробів у неправильний вигляд:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Підсумовування окремо цілих та дробових частин доданків:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Для значень під рисою знайдіть спільний знаменник. Наприклад, для 5/9 та 7/12 загальним знаменником буде 36. Для цього чисельник та знаменник першої дробитреба помножити на 4 (вийде 28/36), а другий – на 3 (вийде 15/36). Тепер можете здійснити розрахунки.

Якщо ви збираєтеся обчислювати суму або різницю дробів, спочатку запишіть знайдений спільний знаменник під межу. Виконайте необхідні дії між чисельниками, а результат запишіть над рисою новою дроби. Таким чином, новим чисельником стане різниця чи сума чисельників початкових дробів.

Для розрахунку добутку дробів перемножте чисельники дробів та запишіть результат на місце чисельника підсумкової дроби. Те саме проробіть для знаменників. При розподілі однієї дробина інший запишіть один дріб, а потім помножте його чисельник на знаменник другого. У цьому знаменник першої дробимножиться відповідно на чисельник другий. У цьому відбувається своєрідний переворот другий дроби(Дільника). Підсумковий дріб буде з результатів множення чисельників та знаменників обох дробів. Нескладно навчитися дроби, записані за умови у вигляді «чотириповерхової» дроби. Якщо поділяє дві дроби, перепишіть їх через роздільник: і продовжіть звичайний поділ.

Для отримання кінцевого результату отриманий дріб скоротите, розділивши чисельник і знаменник на одне ціле число, найбільше можливе даному випадку. При цьому вище та нижче риси мають бути цілі числа.

Зверніть увагу

Не виконуйте арифметичні дії з дробами, знаменники яких відрізняються. Підберіть таке число, щоб при множенні на нього чисельника та знаменника кожного дробу в результаті знаменники обох дробів дорівнювали.

Корисна порада

При записі дробових чиселділене пишеться над межею. Ця величина позначається як чисельник дробу. Під рисою записується дільник, чи знаменник, дроби. Наприклад, півтора кілограма рису у вигляді дробу запишеться так: 1 ½ кг рису. Якщо знаменник дробу дорівнює 10, такий дріб називають десятковим. При цьому чисельник (ділене) пишеться праворуч від цілої частини через кому: 1,5 кг рису. Для зручності обчислень такий дріб завжди можна записати в неправильному вигляді: 1 2/10 кг картоплі. Для спрощення можна скоротити значення чисельника та знаменника, поділивши їх на одне ціле число. У даному прикладіможливий поділ на 2. В результаті вийде 1 1/5 кг картоплі. Переконайтеся, що числа, з якими ви збираєтесь виконувати арифметичні дії, представлені в одному вигляді.

Інструкція

Клацніть один раз за пунктом меню «Вставка», а потім виберіть «Символ». Це один із самих простих способіввставки дробитексту. Полягає він у наступному. У наборі готових символів є дроби. Їхня кількість, як правило, невелика, але якщо вам у тексті потрібно написати ½, а не 1/2, то для вас подібний варіантбуде найоптимальнішим. Крім того, кількість символів дробів може залежати від шрифту. Наприклад, для шрифту Times New Roman дробів трохи менше, ніж для того ж Arial. Варіювати шрифтами, щоб знайти самий оптимальний варіант, якщо справа стосується простих виразів.

Клацніть по меню «Вставка» та виберіть підпункт «Об'єкт». Перед вами з'явиться вікно із переліком можливих об'єктів для вставки. Виберіть серед них Microsoft Equation 3.0. Ця програма допоможе вам друкувати дроби. Причому не лише дроби, але й складні математичні вирази, що містять різні тригонометричні функціїта інші елементи. Двічі клацніть по цьому об'єкту лівою кнопкою мишки. Перед вами з'явиться вікно з багатьма символами.

Щоб надрукувати дріб, виберіть символ, який зображує дріб з порожнім чисельником і знаменником. Клацніть по ньому один раз лівою кнопкою миші. З'явиться додаткове меню, яке уточнює схему самої дроби. Можливо кілька її варіантів. Виберіть найбільш підходящий для вас і клікніть по ньому один раз лівою кнопкою миші.

У даному розділірозглядаються події зі звичайними дробами. Якщо необхідно провести математичну операціюзі змішаними числами, достатньо перекласти змішаний дрібу особливу, провести необхідні операції і, у разі потреби, кінцевий результат знову подати у вигляді змішаного числа. Ця операція буде описана нижче.

Скорочення дробу

Математична операція. Скорочення дробу

Щоб скоротити дріб \frac(m)(n) потрібно знайти найбільший спільний дільникїї чисельника та знаменника: НОД(m,n), після чого поділити чисельник та знаменник дробу на це число. Якщо НОД(m,n)=1, то дріб скоротити не можна. Приклад: frac(20)(80)=frac(20:20)(80:20)=frac(1)(4)

Зазвичай відразу знайти найбільший спільний дільник. складним завданнямі на практиці дріб скорочують у кілька етапів, покроково виділяючи у чисельника та знаменника очевидні загальні множники. frac(140)(315)=frac(28cdot5)(63cdot5)=frac(4cdot7cdot5)(9cdo7cdot5)=frac(4)(9)

Приведення дробів до спільного знаменника

Математична операція. Приведення дробів до спільного знаменника

Щоб привести два дроби \frac(a)(b) і \frac(c)(d) до спільного знаменника потрібно:

• визначити найменше загальне кратне знаменників: M = НОК (b, d);
• помножити чисельник і знаменник першого дробу на M/b (після чого знаменник дробу стає рівним числу M);
• помножити чисельник і знаменник другого дробу на M/d (після чого знаменник дробу стає рівним числу M).

Тим самим ми перетворимо вихідні дроби до дробів з однаковими знаменниками (які дорівнюватимуть числу M).

Наприклад, дроби \frac(5)(6) і \frac(4)(9) мають НОК(6,9) = 18. Тоді: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3)(6 \ cdot3) = frac (15) (18); quad frac (4) (9) = frac (4 cdot2) (9 cdot2) = frac (8) (18) . Тим самим отримані дроби мають спільний знаменник.

Насправді знаходження найменшого загального кратного (НОК) знаменників не завжди простим завданням. Тому як спільний знаменник вибирається число, рівне творузнаменників вихідних дробів. Наприклад, дроби \frac(5)(6) і \frac(4)(9) приводяться до спільного знаменника N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9cdot6)=frac(24)(54)

Порівняння дробів

Математична операція. Порівняння дробів

Для порівняння двох звичайних дробів необхідно:

• порівняти чисельники дробів, що вийшли; дріб із великим чисельником буде більшим.

Наприклад, \frac(9)(14)

При порівнянні дробів є кілька окремих випадків:

1. Із двох дробів з однаковими знаменникамибільший той дріб, чисельник якого більший. Наприклад, \frac(3)(15)
2. Із двох дробів з однаковими чисельникамибільший той дріб, знаменник якого менший. Наприклад, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Той дріб, у якого одночасно більший чисельник та менший знаменникбільше. Наприклад, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Увага!Правило 1 діє для будь-яких дробів, якщо їх спільний знаменник є позитивним числом. Правила 2 та 3 діють для позитивних дробів(у яких і чисельник і знаменник більший за нуль).

Додавання та віднімання дробів

Математична операція. Додавання та віднімання дробів

Щоб скласти два дроби, потрібно:

• привести їх до спільного знаменника;
• скласти їх чисельники, а знаменник залишити без змін.

Приклад: frac(7)(9)+frac(4)(7)=frac(7cdot7)(9cdot7)+frac(4cdot9)(7cdot9)=frac(49) )(63)+frac(36)(63)=frac(49+36)(63)=frac(85)(63)

Щоб від одного дробу відняти інший, потрібно:

• привести дроби до спільного знаменника;
• від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без змін.

Приклад: frac(4)(15)-frac(3)(5)=frac(4)(15)-frac(3cdot3)(5cdo3)=frac(4)(15) -frac(9)(15)=frac(4-9)(15)=frac(-5)(15)=-frac(5)(3cdot5)=-frac(1)( 3)

Якщо вихідні дроби спочатку мають спільний знаменник, то пункт 1 (приведення до спільного знаменника) пропускається.

Перетворення змішаного числа на неправильний дріб і назад

Математична операція. Перетворення змішаного числа на неправильний дріб і назад

Щоб перетворити змішаний дріб на неправильний, достатньо підсумувати цілу частину змішаного дробу з дробовою частиною. Результатом такої суми стане неправильний дріб, чисельник якого дорівнює сумі добутку цілої частини на знаменник дробу з чисельником змішаного дробу, а знаменник залишиться тим самим. Наприклад, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Щоб перетворити неправильний дріб на змішане число необхідно:

• поділити чисельник дробу на його знаменник;
• залишок від поділу записати в чисельник, а знаменник залишити тим самим;
• результат від розподілу записати як цілу частину.

Наприклад, дріб \frac(23)(4) . При розподілі 23:4 = 5,75, тобто ціла частина 5, залишок від розподілу дорівнює 23-5 * 4 = 3. Тоді змішане число запишеться: 5 frac (3) (4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Перетворення десяткового дробу на звичайний

Математична операція. Перетворення десяткового дробу на звичайний

Для того, щоб звернути десятковий дріб у звичайний, треба:

1. як знаменник взяти n-ий ступінь десяти (тут n - кількість десяткових знаків);
2. як чисельник взяти число, що стоїть після десяткової точки (якщо ціла частина вихідного числа не дорівнює нулю, то брати в тому числі і всі нулі, що стоять попереду);
3. відмінна від нуля ціла частина записується в чисельнику на самому початку; нульова ціла частина опускається.

Приклад 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (десяткових знаків 4, тому в знаменнику 10 4 =10000, оскільки ціла частина дорівнює 0, то в чисельнику записано число після десяткової точки без початкових нулів)

Приклад 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (у чисельник записуємо число після десяткової точки з усіма нулями: "0109", а потім перед ним дописуємо цілу частину вихідного числа "31")

Якщо ціла частина десяткового дробу відмінна від нуля, то його можна перевести в змішаний дріб. Для цього переводимо число у звичайний дріб як би ціла частина дорівнювала нулю (пункти 1 і 2), а цілу частину просто переписуємо перед дробом - це буде ціла частина змішаного числа. Приклад:

3.014=3\frac(14)(100)

Щоб перевести звичайний дріб у десятковий, досить просто зробити розподіл чисельника на знаменник. Іноді вийде нескінченна десятковий дріб. І тут необхідно зробити округлення до потрібного десяткового знака. Приклади:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

Множення та поділ дробів

Математична операція. Множення та поділ дробів

Щоб перемножити два звичайні дроби, треба перемножити чисельники та знаменники дробів.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Щоб розділити один звичайний дріб на інший, треба помножити перший дріб на дріб, зворотний другий ( зворотний дріб- дріб, у якому поміняні місцями чисельник і знаменник).

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

У випадку, якщо один із дробів є натуральним числом, то вказані вище правила множення та поділу залишаються чинними. Просто потрібно враховувати, що ціле число це той самий дріб, знаменник якого дорівнює одиниці. Наприклад: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3)= \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7