Знайти максимальну висоту трикутника. Висота трикутника

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Трикутника) або проходити поза трикутником у тупокутного трикутника.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ ВИСОТА МЕДІАНА БІСЕКТРИСУ трикутника 7 клас

✪ бісектриса, медіана, висота трикутника. Геометрія 7 клас

✪ 7 клас, 17 урок, Медіани, бісектриси та висоти трикутника

✪ Медіана, бісектриса, висота трикутника | Геометрія

✪ Як знайти довжину бісектриси, медіани та висоти? | Ботай зі мною #031 | Борис Трушін

Субтитри

Властивості точки перетину трьох висот трикутника (ортоцентру)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(Для доказу тотожності слід скористатися формулами

→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EC)))

В якості точки E слід взяти перетин двох висот трикутника.)

• Ортоцентрізогонально, пов'язаний центру описаного коло .
• Ортоцентрлежить на одній прямій з центроїдом, центром описаного колаі центром кола дев'яти точок (див. пряма Ейлера).
• Ортоцентргострокутного трикутника є центром кола, вписаного в його ортотрикутник .
• Центр описаної ортоцентр трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника. Останній трикутник називають додатковим трикутником по відношенню до першого трикутника.
• Остання властивість можна сформулювати так: Центр описаного біля трикутника кола служить ортоцентромдодаткового трикутника .
• Крапки, симетричні ортоцентрутрикутника щодо його сторін, лежать на описаному колі.
• Крапки, симетричні ортоцентрутрикутника щодо середин сторін, також лежать на описаному колі та збігаються з точками, діаметрально протилежними відповідним вершинам.
• Якщо О - центр описаного кола ΔABC, то O H → = O A → + O B → + O C → ,
• Відстань від вершини трикутника до ортоцентру вдвічі більша, ніж відстань від центру описаного кола до протилежної сторони.
• Будь-який відрізок, проведений з ортоцентрадо перетину з описаним колом завжди ділиться колом Ейлера навпіл. Ортоцентрє центр гомотетії цих двох кіл.
• Теорема-Гамільтона. Три відрізки прямих, що з'єднують ортоцентр з вершинами гострокутного трикутника, розбивають його на три трикутники, що мають те ж саме коло Ейлера (коло 9 дев'яток), що і вихідний гострокутний трикутник.
• Наслідки теореми Гамільтона:
  • Три відрізки прямих, що з'єднують ортоцентр із вершинами гострокутного трикутника, розбивають його на три трикутника Гамільтона, що мають рівні радіуси описаних кіл.
  • Радіуси описаних кіл трьох трикутників Гамільтонарівні радіусу кола, описаного біля вихідного гострокутного трикутника.
• У гострокутному трикутнику ортоцентр лежить усередині трикутника; у тупокутному - поза трикутником; у прямокутному – у вершині прямого кута.

Властивості висот рівнобедреного трикутника

• Якщо в трикутнику дві висоти рівні, то трикутник - рівнобедрений (теорема Штейнера-Лемуса), і третя висота одночасно є медіаною і бісектрисою того кута, з якого вона виходить.
• Вірне і зворотне: у рівнобедреному трикутнику дві висоти рівні, а третя висота одночасно є медіаною та бісектрисою.
• У рівностороннього трикутника усі три висоти рівні.

Властивості основ висот трикутника

• Основивисот утворюють так званий ортотрикутник, що володіє власними властивостями.
• Описана біля ортотрикутника коло - коло Ейлера. На цьому колі також лежать три середини сторін трикутника і три середини трьох відрізків, що з'єднують ортоцентр із вершинами трикутника.
• Інше формулювання останньої властивості:
  • Теорема Ейлера для кола дев'яти точок. Основитрьох висотдовільного трикутника, середини трьох його сторін ( підстави його внутрішніхмедіан) і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, всі лежать на одному колі (на кола дев'яти точок).
• Теорема. У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основидвох висоттрикутника, відсікає трикутник подібний до цього.
• Теорема. У трикутнику відрізок, що сполучає основидвох висоттрикутника, що лежать на двох сторонах, антипаралелентретій стороні, з якою він не має спільних точок. Через два його кінці, а також через дві вершини третьої згаданої сторони завжди можна провести коло.

Інші властивості висот трикутника

• Якщо трикутник різнобічний (нерівносторонній), то його внутрішнябісектриса , проведена з будь-якої вершини, лежить між внутрішнімимедіаною та висотою, проведеними з тієї ж вершини.
• Висота трикутника ізогонально поєднана діаметру (радіусу) описаного коло, проведеного з тієї ж вершини.
• У гострокутному трикутнику дві його висотивідсікають від нього такі трикутники.
• У прямокутному трикутнику висота, Проведена з вершини прямого кута , розбиває його на два трикутники, подібних вихідному.

Властивості мінімальної з висот трикутника

Мінімальна з висот трикутника має багато екстремальних властивостей. Наприклад:

• Мінімальна ортогональна проекція трикутника на прямі, що лежать у площині трикутника, має довжину, що дорівнює найменшій з його висот.
• Мінімальний прямолінійний розріз у площині, через який можна протягнути незламну трикутну пластину, повинен мати довжину, що дорівнює найменшій з висот цієї пластини.
• При безперервному русі двох точок по периметру трикутника друг назустріч другу, максимальна відстань між ними за час руху від першої зустрічі до другої, не може бути меншою за довжину найменшої з висот трикутника.
• Мінімальна висота у трикутнику завжди проходить усередині цього трикутника.

Основні співвідношення

• h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
• h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),)де S (\displaystyle S)- площа трикутника, a (\displaystyle a)- Довжина сторони трикутника, на яку опущена висота .
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),)де b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- добуток бічних сторін, R − (\displaystyle R-)радіус описаного кола
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
• 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), де r (\displaystyle r)- Радіус, вписаного кола.
• S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), де S (\displaystyle S)- площа трикутника.
• a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a)))))))))), a (\displaystyle a)- Сторона трикутника до якої опускається висота h a (\displaystyle h_(a)).
• Висота рівнобедреного трикутника , опущена на основу: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ),)

де c (\displaystyle c)- підставу, a (\displaystyle a)- бічна сторона.

Теорема про висоту прямокутного трикутника

Якщо висота у прямокутному трикутнику ABC завдовжки h (\displaystyle h), проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу завдовжки c (\displaystyle c)на відрізки m (\displaystyle m)і n (\displaystyle n), що відповідають катетам b (\displaystyle b)і a (\displaystyle a), то вірні наступні рівності.

Висота трикутника це перпендикуляр, опущений з будь-якої вершини трикутника на протилежну сторону, або її продовження (сторона, яку опускається перпендикуляр, у разі називається основою трикутника).

У тупокутному трикутнику дві висоти падають на продовження сторін і лежать поза трикутником. Третя всередині трикутника.

У гострокутному трикутнику всі три висоти лежать усередині трикутника.

У прямокутному трикутнику катети є висотами.

Як знайти висоту з основи та площі

Нагадаємо формулу для обчислення площі трикутника. Площа трикутника обчислюється за такою формулою: A = 1/2bh.

• А - площа трикутника
• b — сторона трикутника, яку опущена висота.
• h - висота трикутника

Подивіться на трикутник та подумайте, які величини вам вже відомі. Якщо вам дана площа, позначте її літерою "А" або "S". Вам також має бути дано значення сторони, позначте її літерою "b". Якщо вам не дана площа та не дана сторона, скористайтесь іншим способом.

Майте на увазі, що основою трикутника може бути будь-яка сторона, на яку опущена висота (незалежно від того, як розташований трикутник). Щоб краще зрозуміти це, уявіть, що ви можете повернути цей трикутник. Поверніть його так, щоб відома сторона була звернена вниз.

Наприклад, площа трикутника дорівнює 20, а одна з його сторін дорівнює 4. У цьому випадку "А = 20", "b = 4".

Підставте дані значення в формулу для обчислення площі (А = 1/2bh) і знайдіть висоту. Спочатку помножте сторону (b) на 1/2, а потім розділіть площу (А) на отримане значення. Таким чином, ви знайдете висоту трикутника.

У прикладі: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Згадайте властивості рівнобічного трикутника. У рівносторонньому трикутнику всі сторони та всі кути рівні (кожний кут дорівнює 60˚). Якщо в такому трикутнику провести висоту, ви отримаєте два рівні прямокутні трикутники.
Наприклад, розглянемо рівносторонній трикутник із стороною 8.

Згадайте теорему Піфагора. Теорема Піфагора говорить, що у будь-якому прямокутному трикутнику з катетами «а» і «b» гіпотенуза «с» дорівнює: a2+b2=c2. Цю теорему можна використати, щоб знайти висоту рівнобічного трикутника!

Розділіть рівносторонній трикутник на два прямокутні трикутники (для цього проведіть висоту). Потім позначте сторони одного із прямокутних трикутників. Бічна сторона рівностороннього трикутника – це гіпотенуза прямокутного трикутника. Катет "а" дорівнює 1/2 стороні рівностороннього трикутника, а катет "b" - це шукана висота рівностороннього трикутника.

Отже, у нашому прикладі з рівностороннім трикутником з відомою стороною, що дорівнює 8: c = 8 та a = 4.

Підставте ці значення теорему Піфагора і обчисліть b2. Спочатку зведіть у квадрат "с" і "а" (помножте кожне значення саме на себе). Потім відніміть a2 із c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Вийміть квадратний корінь із b2, щоб знайти висоту трикутника. Для цього скористайтесь калькулятором. Отримане значення буде висотою вашого рівностороннього трикутника!

b = √48 = 6,93

Як знайти висоту за допомогою кутів та сторін

Подумайте які значення вам відомі. Ви можете знайти висоту трикутника, якщо вам відомі значення сторін та кутів. Наприклад, якщо відомий кут між основою та бічною стороною. Або якщо відомі значення всіх трьох сторін. Отже, позначимо сторони трикутника: "a", "b", "c", кути трикутника: "А", "В", "С", а площа - літерою "S".

Якщо вам відомі всі три сторони, вам знадобиться значення площі трикутника та формула Герона.

Якщо вам відомі дві сторони та кут між ними, можете використати таку формулу для знаходження площі: S=1/2ab(sinC).

Якщо вам дано значення всіх трьох сторін, використовуйте формулу Герона. За цією формулою доведеться виконати кілька дій. Спочатку потрібно знайти змінну "s" (ми позначимо цією літерою половину периметра трикутника). Для цього підставте відомі значення цієї формули: s = (a+b+c)/2.

Для трикутника зі сторонами а=4, b=3, c=5, s=(4+3+5)/2. В результаті виходить: s = 12/2, де s = 6.

Потім другою дією ми знаходимо площу (друга частина формули Герона). Площа = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Замість слова "площа" вставте еквівалентну формулу для пошуку площі: 1/2bh (або 1/2ah, або 1/2ch).

Тепер знайдіть еквівалентний вираз висоти (h). Для нашого трикутника буде справедливим наступне рівняння: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Де 3/2h=√(6(2(3(1))). Виходить, 3/2h = √(36). За допомогою калькулятора обчисліть квадратний корінь. У нашому прикладі: 3/2h = 6. Виходить, що висота (h) дорівнює 4, сторона b – основа.

Якщо за умовою завдання відомі дві сторони та кут, ви можете використати іншу формулу. Замініть площу у формулі еквівалентним виразом: 1/2bh. Таким чином, у вас буде наступна формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Її можна спростити до наступного виду: h = a (sin C), щоб забрати одну невідому змінну.

Тепер залишилося вирішити отримане рівняння. Наприклад, нехай "а" = 3, "С" = 40 градусів. Тоді рівняння буде так: «h» = 3(sin 40). За допомогою калькулятора та таблиці синусів підрахуйте значення "h". У прикладі h = 1,928.

Для вирішення багатьох геометричних завдань потрібно знайти висоту заданої фігури. Ці завдання мають прикладне значення. При проведенні будівельних робіт визначення висоти допомагає обчислити необхідну кількість матеріалів, а також визначити, наскільки точно зроблено укоси та отвори. Часто для побудови викрійок потрібно мати уявлення про властивості

У багатьох людей, незважаючи на хороші оцінки в школі, при побудові звичайних геометричних фігур виникає питання про те, як знайти висоту трикутника або паралелограма. Причому є найскладнішим. Це тому, що трикутник може бути гострим, тупим, рівнобедреним або прямокутним. Для кожного з існують свої правила побудови та розрахунку.

Як знайти висоту трикутника, в якому всі кути гострі, графічним способом

Якщо всі кути трикутника гострі (кожний кут у трикутнику менше 90 градусів), то для знаходження висоти необхідно зробити наступне.

1. За заданими параметрами виконуємо побудову трикутника.
2. Введемо позначення. А, В та С будуть вершинами фігури. Кути, що відповідають кожній вершині - α, β, γ. Протилежні цим кутам сторони - a, b, c.
3. Висотою називається перпендикуляр, опущений із вершини кута до протилежної сторони трикутника. Для знаходження висот трикутника проводимо побудову перпендикулярів: з вершини кута до сторони a, з вершини кута до сторони b і так далі.
4. Точку перетину висоти та сторони a позначимо H1, а саму висоту h1. Точка перетину висоти та сторони b буде H2, висота відповідно h2. Для сторони c висота буде h3, а точка перетину H3.

Висота у трикутнику з тупим кутом

Тепер розглянемо, як знайти висоту трикутника, якщо один (більше 90 градусів). І тут висота, проведена з тупого кута, буде всередині трикутника. Інші дві висоти будуть перебувати за межами трикутника.

Нехай у нашому трикутнику кути α та β будуть гострими, а кут γ – тупим. Тоді для побудови висот, що виходять з кутів α і β, треба продовжити протилежні сторони трикутника, щоб провести перпендикуляри.

Як знайти висоту рівнобедреного трикутника

Така фігура має дві рівні сторони і основу, при цьому кути, що знаходяться при підставі, також є рівними між собою. Ця рівність сторін і кутів полегшує побудову висот та його обчислення.

Спочатку намалюємо трикутник. Нехай сторони b та c, а також кути β, γ будуть відповідно рівними.

Тепер проведемо висоту з вершини кута, позначимо її h1. Для ця висота буде одночасно бісектрисою та медіаною.

Для основи можна зробити лише одну побудову. Наприклад, провести медіану - відрізок, що з'єднує вершину рівнобедреного трикутника та протилежну сторону, основу, для знаходження висоти та бісектриси. А для обчислення довжини висоти для двох інших сторін можна побудувати лише одну висоту. Таким чином, щоб графічно визначити, як вирахувати висоту рівнобедреного трикутника, достатньо знайти дві висоти з трьох.

Як знайти висоту прямокутного трикутника

У прямокутного трикутника визначити висоти набагато простіше, ніж інші. Це тому, що самі катети становлять прямий кут, отже, є висотами.

Для побудови третьої висоти, як завжди, проводиться перпендикуляр, що сполучає вершину прямого кута та протилежну сторону. У результаті для того, щоб трикутника в даному випадку, потрібна лише одна побудова.

Трикутники.

Основні поняття.

Трикутник- це фігура, що складається з трьох відрізків та трьох точок, що не лежать на одній прямій.

Відрізки називаються сторонами, А точки - вершинами.

Сума кутівтрикутника дорівнює 180 º.

Висота трикутника.

Висота трикутника- це перпендикуляр, проведений з вершини до протилежної сторони.

У гострокутному трикутнику висота міститься усередині трикутника (рис.1).

У прямокутному трикутнику катети є висотами трикутника (рис.2).

У тупокутному трикутнику висота проходить поза трикутником (рис.3).

Властивості висоти трикутника:

Бісектриса трикутника.

Бісектриса трикутника- це відрізок, який поділяє кут вершини навпіл і з'єднує вершину з точкою на протилежному боці (рис.5).

Властивості бісектриси:

Медіана трикутник.

Медіана трикутника- це відрізок, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони (рис.9а).

Довжину медіани можна вирахувати за такою формулою: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 де m a- медіана, проведена до сторони а. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи: c m c = — 2 де m c- медіана, проведена до гіпотенузи c(Рис.9в) Медіани трикутника перетинаються в одній точці (в центрі мас трикутника) та діляться цією точкою у співвідношенні 2:1, відраховуючи від вершини. Тобто відрізок від вершини до центру вдвічі більше відрізка від центру до сторони трикутника (рис.9с). Три медіани трикутника поділяють його на шість рівновеликих трикутників.

Середня лінія трикутника.

Середня лінія трикутника- це відрізок, що з'єднує середини двох сторін (рис.10).

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині

Зовнішній кут трикутника.

Зовнішній куттрикутника дорівнює сумі двох несуміжних внутрішніх кутів (рис.11).

Зовнішній кут трикутника більший за будь-який несуміжний кут.

Прямокутний трикутник.

Прямокутний трикутник- це трикутник, який має прямий кут (рис.12).

Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою.

Дві інші сторони називаються катетами.

Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

1) У прямокутному трикутнику висота, проведена з прямого кута, утворює три подібні трикутники: ABC, ACH та HCB (рис.14а). Відповідно, кути, що утворюються висотою, дорівнюють кутам А і В.

Рис.14а

Рівнобедрений трикутник.

Рівнобедрений трикутник- Це трикутник, у якого дві сторони рівні (рис.13).

Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя - основоютрикутник.

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. (У нашому трикутнику кут А дорівнює куту C).

В рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є одночасно і бісектриса, і висотою трикутника.

Рівносторонній трикутник.

Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні (рис.14).

Властивості рівностороннього трикутника:

Чудові властивості трикутників.

Трикутники мають оригінальні властивості, які допоможуть вам успішно вирішувати завдання, пов'язані з цими фігурами. Деякі з цих властивостей викладені вище. Але повторюємо їх ще раз, додавши до них кілька інших чудових рис:

1) У прямокутному трикутнику з кутами 90º, 30º та 60º катет b, що лежить навпроти кута в 30 º, дорівнює половині гіпотенузи. А катетa більше катетаbу √3 разів (рис.15 а). Наприклад, якщо катет b дорівнює 5, то гіпотенуза cобов'язково дорівнює 10, а катет адорівнює 5√3. 2) У прямокутному рівнобедреному трикутнику з кутами 90º, 45º та 45º гіпотенуза у √2 разів більша за катет (рис.15). b). Наприклад, якщо катети дорівнюють 5, то гіпотенуза дорівнює 5√2. 3) Середня лінія трикутника дорівнює половині паралельної сторони (рис.15) з). Наприклад, якщо сторона трикутника дорівнює 10, паралельна їй середня лінія дорівнює 5. 4) У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи (рис.9в): m c= с/2. 5) Медіани трикутника, перетинаючи в одній точці, діляться цією точкою у співвідношенні 2:1. Тобто відрізок від вершини до точки перетину медіан вдвічі більше відрізка від точки перетину медіан до сторони трикутника (рис.9c) 6) У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи є центром описаного кола (рис.15). d).

Ознаки рівності трикутників.

Перша ознака рівностіЯкщо дві сторони і кут між ними одного трикутника рівні двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності: якщо сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника рівні стороні та прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності: якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Нерівність трикутника.

У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін.

Теорема Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площа трикутника.

1) Площа трикутника дорівнює половині твору його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

ah
S = ——
2

2) Площа трикутника дорівнює половині твору двох будь-яких його сторін на синус кута між ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Трикутник, описаний біля кола.

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх його сторін (мал.16 а).

Трикутник, вписаний у коло.

Трикутник називається вписаним у коло, якщо він стосується її всіма вершинами (мал.17 a).

Синус, косинус, тангенс, котангенс гострого кута прямокутного трикутника (рис.18).

Сінусгострого кута x протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sinx.

Косинусгострого кута xпрямокутного трикутника - це відношення прилеглогокатета до гіпотенузи.
Позначається так: cos x.

Тангенсгострого кута x- це відношення протилежного катета до катета.
Позначається так: tgx.

Котангенсгострого кута x- Це відношення прилеглого катета до протилежного.
Позначається так: ctgx.

Правила:

Катет, що протилежить куту x, дорівнює добутку гіпотенузи на sin x:

b = c· sin x

Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку гіпотенузи на cos x:

a = c· cos x

Катет, протилежний куту x, дорівнює добутку другого катета на tg x:

b = a· tg x

Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку другого катета на ctg x:

a = b· ctg x.

Для будь-якого гострого кута x:

sin (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = sin x