Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показової функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На цьому уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо складніші похідні, а також познайомимося з новими прийомами та хитрощами знаходження похідної, зокрема з логарифмічною похідною.

Тим читачам, у кого низький рівеньпідготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? Приклади рішеньяка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, зрозуміти та вирішувати всінаведені приклади. Цей уроклогічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви впевнено диференціюватимете досить складні функції. Небажано дотримуватись позиції «Куди ще? Та й так вистачить!», оскільки всі приклади та прийоми рішення взято з реальних контрольних робітта часто зустрічаються на практиці.

Почнемо із повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули низку прикладів із докладними коментарями. Під час вивчення диференціального обчислення та інших розділів математичного аналізу- диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й не завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Найкращими «кандидатами» для цього є похідні найпростіших із складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем матану в майбутньому такий докладний запис найчастіше не потрібний, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Припустимо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голосспитав: «Чому дорівнює похідна тангенсу двох ікс?». На це має бути майже миттєва і ввічлива відповідь: .

Перший приклад буде відразу призначений для самостійного рішення.

Приклад 1

Знайти такі похідні усно, на одну дію, наприклад: . Для виконання завдання потрібно використовувати лише таблицю похідних елементарних функцій(Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді наприкінці уроку

Складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, наступні два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і мучиться), то майже все інше диференційному обчисленніздаватиметься дитячим жартом.

Приклад 2

Знайти похідну функції

Як зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, передусім, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідне значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити дане значенняу «страшне вираження».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, отже, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести до куба:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, зовнішня функція – це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосовується в зворотному порядку, Від самої зовнішньої функції, до самої внутрішньої. Вирішуємо:

Начебто без помилок.

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифму.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися дуже важко, але це ще не найбільш звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірку Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідної. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, чи розуміє студент, як знаходити похідну складної функції, чи не розуміє.

Наступний приклад самостійного рішення.

Приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності та правило диференціювання твору

Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Настав час перейти до чогось більш компактного та симпатичного.
Не рідкісна ситуація, як у прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твори трьохмножників?

Приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на твір двох функцій? Наприклад, якби у нас у творі було два багаточлени, то можна було б розкрити дужки. Але в прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твору два рази

Фокус у тому, що з «у» ми позначимо твір двох функцій: , а й за «ве» – логарифм: . Чому можна так зробити? А хіба - Це не твір двох множників і правило не працює? Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще зневіритися і винести щось за дужки, але в даному випадкувідповідь краще залишити саме у такому вигляді – легше перевірятиме.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

Приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення, у зразку він вирішений першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади із дробами.

Приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна йти кількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться компактніше, якщо в першу чергу використовувати правило диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

У принципі приклад вирішено, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але за наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна спростити відповідь? Наведемо вираз чисельника до спільному знаменникуі позбавимося триповерховості дробу:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання та просять «довести до пуття» похідну.

Простіший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропоновано «страшний» логарифм

Приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший крок одразу кидає у зневіру - належить взяти неприємну похідну від дробового ступеняа потім ще й від дробу.

Тому перед тимяк брати похідну від «накрученого» логарифму, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит із практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошита немає, перемалюйте їх на листочок, оскільки приклади уроку, що залишилися, буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворимо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропоновано подібний логарифм, його завжди доцільно «розвалити».

А зараз кілька нескладних прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 9

Знайти похідну функції

Приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення та відповіді в кінці уроку.

Логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів – це така солодка музика, виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть треба.

Приклад 11

Знайти похідну функції

Подібні приклади ми нещодавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, та був правило диференціювання твори. Недолік способу полягає в тому, що вийде величезний триповерховий дріб, з яким зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії та практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Примітка : т.к. функція може набувати негативних значень, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: , які зникнуть внаслідок диференціювання Однак допустиме і поточне оформлення, де за умовчанням беруться до уваги комплекснізначення. Але якщо з усією суворістю, то і в тому, і в іншому випадку слід зробити застереження, що.

Тепер потрібно максимально розвалити логарифм правої частини (формули перед очима?). Я розпишу цей процес докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правої частини досить проста, її я не коментуватиму, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено з нею впоратися.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю питання: «Чому, там же одна буква «ігрок» під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна літерка ігорок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(якщо не зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм – це зовнішня функція, а «гравець» – внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрок» із знаменника лівої частини нагору правої частини:

А тепер згадуємо, про який такий «гравець»-функцію ми міркували під час диференціювання? Дивимося на умову:

Остаточна відповідь:

Приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу даного типунаприкінці уроку.

За допомогою логарифмічної похідної можна було вирішити будь-який з прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіші, і, можливо, використання логарифмічної похідної не надто й виправдане.

Похідна статечно-показової функції

Цю функціюми ще розглядали. Ступінно-показова функція – це функція, у якої і ступінь та основа залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам приведуть у будь-якому підручнику або на будь-якій лекції:

Як знайти похідну від статечно-показової функції?

Необхідно використовувати щойно розглянутий прийом – логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, у правій частині з-під логарифму виноситься ступінь:

У результаті в правій частині у нас вийшов добуток двох функцій, який диференціюватиметься по стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього укладаємо обидві частини під штрихи:

Подальші діїнескладні:

Остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміле, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прикладу №11.

У практичних завданняхстатечно-показова функція завжди буде складнішою, ніж розглянутий лекційний приклад.

Приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа та твір двох множників – «ікса» та «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладено ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще одразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

Коли нам потрібно виконати диференціювання показово статечної функції виду y = (f (x)) g (x) або перетворити громіздкий вираз із дробами, можна використовувати логарифмічну похідну. У цьому матеріалі ми наведемо кілька прикладів застосування цієї формули.

Щоб зрозуміти цю тему, необхідно знати, як користуватися таблицею похідних, бути знайомим з основними правилами диференціювання та уявляти, що таке похідна складної функції.

Як вивести формулу логарифмічної похідної

Для отримання цієї формули потрібно спочатку зробити логарифмування на підставі e, а потім спростити функцію, застосувавши основні властивостілогарифму. Після цього треба обчислити похідну неявно заданої функції:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y · y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y · (ln (f (x)))"

Приклади використання формули

Покажемо з прикладу, як це робиться.

Приклад 1

Обчислити похідну показово статечної функції змінної x ступенем x .

Рішення

Проводимо логарифмування за вказаною основою та одержуємо ln y = ln x x . З урахуванням властивостей логарифму це можна виразити як ln y = x · ln x. Тепер диференційуємо ліву та праву частини рівності та отримуємо результат:

ln y = x · ln x ln y " = x · ln x " 1 y · y " = x " · ln x + · ln x " ⇒ y " = y · 1 · ln x + x · 1 x = y · (ln x + 1) = x x · (ln x + 1)

Відповідь: x x " = x x · (ln x + 1)

Таке завдання можна вирішити і в інший спосіб, без логарифмічної похідної. Спочатку нам треба перетворити вихідний вираз так, щоб перейти від диференціювання показово статечної функції до обчислення похідної складної функції, наприклад:

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

Розглянемо ще одне завдання.

Приклад 2

Обчисліть похідну функції y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x.

Рішення

Вихідна функція представлена ​​як дробу, отже, ми можемо вирішити завдання з допомогою диференціювання. Однак ця функція досить складна, отже, перетворень буде потрібно багато. Отже, краще використовувати тут логарифмічну похідну y " = y · ln (f (x)) " . Пояснимо, чому таке обчислення зручніше.

Почнемо з знаходження ln(f(x)). Для подальшого перетворення нам знадобляться такі властивостілогарифма:

• логарифм дробу можна подати у вигляді різниці логарифмів;
• логарифм твору можна у вигляді суми;
• якщо вираз під логарифмом є ступінь, ми можемо винести її як коефіцієнт.

Перетворимо вираз:

ln(f(x)) = ln(x 2 + 1) 1 3 x 3 · sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 · sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

У результаті вийшло досить простий вираз, похідну якого обчислити нескладно:

(ln(f(x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 · 1 x 2 + 1 · x 2 + 1 "- 3 2 · 1 x - 1 2 · 1 sin x · (sin x)" = = 1 3 · 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Тепер те, що в нас вийшло, потрібно підставити у формулу логарифмічної похідної.

Відповідь: y " = y · ln (f (x)) " = x 2 + 1 3 x 3 · sin x · 1 3 · 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Щоб закріпити матеріал, вивчіть ще кілька прикладів. Тут буде наведено лише обчислення з мінімумом коментарів.

Приклад 3

Дано показово статечна функція y = (x2+x+1) x3. Обчисліть її похідну.

Рішення:

y " = y · (ln (f (x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 · x 3 · (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 · x 3 " · ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) "= = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + x 3 · 1 x 2 + x + 1 · x 2 + x + 1" = = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Відповідь: y " = y · (ln (f (x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Приклад 4

Обчисліть похідну виразу y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 .

Рішення

Застосовуємо формулу логарифмічної похідної.

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2" = = y · 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) "3 (x 2 + 1) + x + 1 "2 (x + 1) + (x 3 + 1)" 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 · 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

Відповідь:

y " = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 · 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Вам здається, що до іспиту ще багато часу? Це місяць? Два? Рік? Практика показує, що учень найкраще справляється з іспитом у разі, коли почав готуватися щодо нього заздалегідь. У ЄДІ чимало складних завдань, який стоять на шляху школяра та майбутнього абітурієнта до вищих балів. Ці перепони потрібно навчитися долати, до того ж робити це нескладно. Вам необхідно зрозуміти принцип роботи з різними завданнями з квитків. Тоді й із новими не виникне проблем.

Логарифми на перший погляд здаються неймовірно складними, але при детальному розборі ситуація значно спрощується. Якщо ви хочете здати ЄДІ на вищий бал, вам варто розібратися в поняття, що ми розглядаємо, і ми пропонуємо зробити в цій статті.

Спочатку розділимо ці визначення. Що таке логарифм (log)? Це показник ступеня, в який треба звести основу, щоб отримати вказане число. Якщо незрозуміло, то розберемо елементарний приклад.

У цьому випадку основу, що стоїть внизу, необхідно звести на другий ступінь, щоб отримати число 4.

Тепер розберемося з другим поняттям. Похідна функції у вигляді називається поняття, що характеризує зміна функції у наведеній точці. Втім, це шкільна програма, і якщо ви маєте проблеми з цими поняттями окремо, варто повторити тему.

Похідна логарифма

У завдання ЄДІз цієї теми можна навести кілька завдань як приклад. Для початку найпростіша логарифмічна похідна. Необхідно знайти похідну наступної функції.

Нам потрібно знайти наступну похідну

Існує спеціальна формула.

І тут x=u, log3x=v. Підставляємо значення нашої функції у формулу.

Похідна x дорівнюватиме одиниці. З логарифмом трохи складніше. Але принцип ви зрозумієте, якщо просто підставите значення. Нагадаємо, що похідною lg x називається похідна десяткового логарифму, а похідна ln х - це похідна від натурального логорифму (на підставі e).

Тепер просто підставте отримані значення формулу. Спробуйте самі, далі звіримо відповідь.

У чому може бути проблема для деяких? Ми запровадили поняття натурального логарифму. Розкажемо про нього, а заразом розберемося, як вирішувати завдання з ним. Нічого складного ви не побачите, особливо коли зрозумієте принцип його роботи. До нього вам варто звикнути, тому що він часто використовується в математиці (у вищих навчальних закладахтим більше).

Похідна натурального логарифму

За своєю суттю, це похідна логарифма на основі e (це ірраціональне число, Що дорівнює приблизно 2,7). Насправді ln дуже простий, тому часто використовується в математиці загалом. Власне, вирішення завдання з ним також не стане проблемою. Варто запам'ятати, що похідна від натурального логарифму з основи е дорівнює одиниці поділеної на x. Найпоказовішим буде рішення наступного прикладу.

Уявімо її як складну функцію, що складається з двох простих.

Достатньо перетворити

Шукаємо похідну від u до x

Нехай
(1)
є функція, що диференціюється від змінної x . На початку ми розглянемо її на множині значень x , для яких y приймає позитивні значення: . Надалі ми покажемо, що всі отримані результати застосовні і для негативних значень.

У деяких випадках, щоб знайти похідну функції (1), її зручно попередньо прологарифмувати
,
а потім обчислити похідну. Тоді за правилом диференціювання складної функції
.
Звідси
(2) .

Похідна від логарифму функції називається логарифмічною похідною:
.

Логарифмічна похідна функції y = f(x) - це похідна натурального логарифму цієї функції: (ln f(x))′.

Випадок негативних значень y

Тепер розглянемо випадок, коли змінна може набувати як позитивних, так і негативних значень. В цьому випадку візьмемо логарифм від модуля та знайдемо його похідну:
.
Звідси
(3) .
Тобто, в загальному випадкупотрібно знайти похідну від логарифму модуля функції.

Порівнюючи (2) та (3) ми маємо:
.
Тобто формальний результат обчислення логарифмічної похідної не залежить від того, взяли ми за модулем чи ні. Тому, при обчисленні логарифмічної похідної ми можемо не турбуватися про те, який знак має функція .

Прояснити таку ситуацію можна за допомогою комплексних чисел. Нехай, при деяких значеннях x негативна: . Якщо ми розглядаємо тільки дійсні числа, то функція не визначена. Однак якщо ввести в розгляд комплексні числа, то отримаємо наступне:
.
Тобто функції і відрізняються на комплексну постійну:
.
Оскільки похідна від постійної дорівнює нулю, то
.

Властивість логарифмічної похідної

З такого розгляду випливає, що логарифмічна похідна не зміниться, якщо помножити функцію на довільну постійну :
.
Дійсно, застосовуючи властивості логарифму, формули похідної сумиі похідної постійної, маємо:

.

Застосування логарифмічної похідної

Застосовувати логарифмічну похідну зручно в тих випадках, коли вихідна функція складається з твору статечних або показових функцій. І тут операція логарифмування перетворює добуток функцій їх суму. Це полегшує обчислення похідної.

Приклад 1

Знайти похідну функції:
.

Рішення

Логарифмуємо вихідну функцію:
.

Диференціюємо по змінній x.
У таблиці похідних знаходимо:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
;
;
;
;
(П1.1) .
Помножимо на:

.

Отже, ми знайшли логарифмічну похідну:
.
Звідси знаходимо похідну вихідної функції:
.

Примітка

Якщо ми хочемо використовувати тільки дійсні числа, слід брати логарифм від модуля вихідної функції:
.
Тоді
;
.
І ми одержали формулу (П1.1). Тож результат не змінився.

Відповідь

Приклад 2

За допомогою логарифмічної похідної знайдіть похідну функції
.

Рішення

Логарифмуємо:
(П2.1) .
Диференціюємо по змінній x:
;
;

;
;
;
.

Помножимо на:
.
Звідси ми отримуємо логарифмічну похідну:
.

Похідна вихідної функції:
.

Примітка

Тут вихідна функція невід'ємна: . Вона визначена за . Якщо не припускати, що логарифм може бути визначений для негативних значень аргументу, формулу (П2.1) слід записати так:
.
Оскільки

і
,
то це не вплине на остаточний результат.

Відповідь

Приклад 3

Знайдіть похідну
.

Рішення

Диференціювання виконуємо за допомогою логарифмічної похідної. Логарифмуємо, враховуючи що :
(П3.1) .

Диференціюючи, отримуємо логарифмічну похідну.
;
;
;
(П3.2) .

Оскільки , то

.

Примітка

Виконаємо обчислення без припущення, що логарифм може бути визначений для негативних значень аргументу. Для цього візьмемо логарифм від модуля вихідної функції:
.
Тоді замість (П3.1) маємо:
;

.
Порівнюючи з (П3.2) бачимо, що результат змінився.