Визначення відстані від точки до прямого загального стану. Визначення відстані від точки до прямої

До таких завдань відносяться: завдання визначення відстаней від точки до прямої, до площини, до поверхні; між паралельними і схрещуються прямими; між паралельними площинами тощо.

Всі ці завдання поєднують три обставини:

по перше, оскільки найкоротшою відстаннюміж такими фігурами є перпендикуляр, то всі вони зводяться до побудови взаємно перпендикулярних до прямої і площини.

по-друге, у кожному із цих завдань необхідно визначати натуральну довжину відрізка, тобто вирішувати друге основне метричне завдання.

по-третє, Це складні за складом завдання, вони вирішуються в кілька етапів, і на кожному етапі вирішується окрема, невелика конкретна задача.

Розглянемо рішення однієї з таких завдань.

Завдання:Визначити відстань від точки Мдо прямої загального становища а(Рис. 4-26).

Алгоритм:

1 етап: Відстань від точки до прямої є перпендикуляр. Оскільки пряма а- загального положення, то для побудови перпендикуляра до неї необхідно вирішувати завдання, аналогічне наведеному на стор. М4-4 даного модуля, тобто спочатку через точку Мпровести площину S, перпендикулярну а. Задаємо цю площину, як завжди, hÇ f, при цьому h 1^ a 1, a f 2^ a 2

2 етап: Для побудови перпендикуляра необхідно знайти для нього другу точку. Це буде точка До, що належить прямий а. Для її знаходження потрібно вирішити позиційне завдання, тобто знайти точку перетину прямої аз площиною S. Вирішуємо 1ГПЗ за третім алгоритмом (рис. 4-28):

Вводимо площину – посередник Г, Г^^ П 1, ГÉ аÞ Г 1 = а 1;

- ГÇ S = b, Г^^ П 1? b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S 2.

- b 2Ç a 2 = K 2Þ K 1.

3 етап: Знаходимо натуральну величину МКметодом прямокутного трикутника

Повне розв'язання задачі показано на рис. 4-30.

Алгоритмічний запис рішення:

1. S^ а,S = hÇ f = M, h 1^ a 1 , f 2^ a 2 .

2. Вводимо площину – посередник Г,

- Г^^ П 1, ГÉ аГ 1 = а 1;

- ГÇ S = b, Г^^ П 1? b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S 2 .

- b 2Ç a 2 = K 2K 1 .

3. Знаходимо натуральну величину МК.

Висновки:

1. Розв'язання всіх метричних завдань зводиться до вирішення першої основної метричної задачі – на взаємну перпендикулярність прямої та площини.

2. При визначенні відстаней між геометричними фігурамизавжди використовується друге основне метричне завдання - визначення натуральної величини відрізка.

3. Площину, дотичну до поверхні в одній точці, можна задати двома прямими, що перетинаються, кожна з яких є дотичною до даної поверхні.

Контрольні питання

1. Які завдання називаються метричними?

2. Які дві основні метричні задачі Ви знаєте?

3. Чим вигідніше задати площину, перпендикулярну до прямої загального положення?

4. Як називається площина, перпендикулярна до однієї з ліній рівня?

5. Як називається площина, перпендикулярна до однієї з проектуючих прямих?

6. Що називається площиною, що стосується поверхні?

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. У нарисної геометріївона визначається графічним шляхомза наведеним нижче алгоритмом.

Алгоритм

1. Пряму переводять у положення, в якому вона буде паралельна будь-якій площині проекції. Для цього застосовують методи перетворення ортогональних проекцій.
2. З точки проводять перпендикуляр до прямої. В основі даної побудовилежить теорема про проектування прямого кута.
3. Довжина перпендикуляра визначається шляхом перетворення його проекцій або за допомогою способу прямокутного трикутника.

На наступному малюнку представлений комплексний креслення точки M та прямий b, заданої відрізком CD. Потрібно знайти відстань між ними.

Згідно з нашим алгоритмом, перше, що необхідно зробити, це перевести пряму в положення, паралельне площині проекції. При цьому важливо розуміти, що після проведених перетворень фактична відстань між точкою та прямою не повинна змінитися. Саме тому тут зручно використовувати метод заміни площин, який передбачає переміщення фігур у просторі.

Результати першого етапу побудов показані нижче. На малюнку видно, як паралельно введена додаткова фронтальна площина П 4 . У новій системі(П 1 , П 4) точки C"" 1 , D" " 1 , M"" 1 знаходяться на тому ж віддаленні від осі X 1 , що і C"", D"", M"" від осі X.

Виконуючи другу частину алгоритму, з M"" 1 опускаємо перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на пряму b"" 1 оскільки прямий кут MND між b і MN проектується на площину П 4 в натуральну величину. По лінії зв'язку визначаємо положення точки N" та проводимо проекцію M"N" відрізка MN.

на заключному етапіпотрібно визначити величину відрізка MN за його проекціями M"N" і M"" 1 N"" 1 . Для цього будуємо прямокутний трикутник M"" 1 N"" 1 N 0 , у якого катет N"" 1 N 0 дорівнює різниці (Y M 1 - Y N 1) видалення точок M" і N" від осі X 1 . Довжина гіпотенузи M"" 1 N 0 трикутника M"" 1 N"" 1 N 0 відповідає шуканій відстані від M до b.

Другий спосіб вирішення

• Паралельно CD вводимо нову передню площину П 4 . Вона перетинає П 1 по осі X 1 , причому X 1 C "D". Відповідно до методу заміни площин визначаємо проекції точок C""1, D""1 і M""1, як це зображено на малюнку.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 будуємо додаткову горизонтальну площину П 5 на яку пряма b проектується в точку C" 2 = b" 2 .
• Розмір відстані між точкою M і прямою b визначається довжиною відрізка M" 2 C" 2 , позначеного червоним кольором.

Схожі завдання:

Потрібно визначити відстань від точки до прямої. Загальний планрозв'язання задачі:

- через задану точку проводимо площину, перпендикулярну до заданої прямої;

- знаходимо точку зустрічі прямий

з площиною;

- визначаємо натуральну величину відстані.

Через задану точку проводимо площину, перпендикулярну до прямої АВ . Площину задаємо горизонталлю і фронталлю, що перетинаються, проекції яких будуємо згідно з алгоритмом перпендикулярності (зворотне завдання).

Знаходимо точку зустрічі прямої АВ із площиною. Це типове завданняпро перетин прямий з площиною (див. Розд. «Перетин прямий з площиною»).

Перпендикулярність площин

Площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них містить пряму, перпендикулярну до іншої площини. Тому для проведення площини, перпендикулярної до іншої площини, необхідно спочатку провести перпендикуляр до площини, а потім через нього провести потрібну площину. На епюрі площина задана двома прямими, що перетинаються, одна з яких перпендикулярна площині ABC .

Якщо площині задані слідами, то можливі такі випадки:

- якщо дві перпендикулярні площиніє проецирующими, їх збиральні сліди взаємно перпендикулярні;

- площина загального становища і проецірующая площину перпендикулярні, якщо збірний слід проецірующей площини перпендикулярний однойменному сліду площині загального положення;

- якщо однойменні сліди двох площин загального становища перпендикулярні, площини не перпендикулярні одне одному.

Метод заміни площин проекцій

	заміни площин проекцій
полягає в тому, що площини про-
екцій замінюються іншими плоскос-
	так щоб	геометричний
об'єкт у новій системі площин
проекцій став займати приватне -
ложение, що дозволяє спростити ре-
шення завдань. На просторовому ма-
кеті показана заміна площини V на
нову V 1 . Показано також проеціро-
вання точки А на вихідні площини
проекцій та нову площину проекцій
V 1 . При заміні площин проекцій
ортогональність системи зберігається.

Перетворимо просторовий макет у площинний шляхом повороту площин за стрілками. Отримаємо три площини проекцій, поєднані в одну площину.

Потім видалимо площини проекцій та
		проекції
З епюра точки випливає правило: при
заміні V на V 1 для того, щоб по-
		фронтальну
цію точки, необхідно від нової осі
відкласти аплікату точки, взяту з
попередньої системи площин про-
екцій. Аналогічно можна довести,
	заміні Н наН 1 необхідно
відкласти ординату точки.

Перше типове завдання методу заміни площин проекцій

Перша типова задача методу заміни площин проекцій - це перетворення прямого загального становища спочатку в лінію рівня, а потім в проецирующую пряму. Це завдання є одним з основних, тому що застосовується при вирішенні інших завдань, наприклад, при визначенні відстані між паралельними і прямими, що схрещуються, при визначенні двогранного кутаі т.д.

Проводимо заміну V → V 1 .
вісь проводимо паралельно горизон-
		проекції.
фронтальну проекцію прямий, для
				відкладаємо
аплікати точок. Нова фронтальна
Проекція прямої є НВ прямою.
Сама пряма стає фронталлю.
Визначається кут α°.

Проводимо заміну Н → Н 1 . Нову вісь проводимо перпендикулярно фронтальної проекціїпрямий. Будуємо нову горизонтальну проекціюпрямий, навіщо від нової осі відкладаємо ординати прямий, взяті з попередньої системи площин проекцій. Пряма стає горизонтально-проекційною прямою і «вироджується» в крапку.

Визначення відстаней

Відстань від точки до точки і від точки до прямої

Відстань від точки до точкивизначається довжиною відрізка прямої, що з'єднує ці точки. Як було показано вище, це завдання можна вирішити або методом прямокутного трикутника, або способом заміни площин проекцій, переводячи відрізок у положення лінії рівня.

Відстань від точки до прямоївимірюється відрізком перпендикуляра, проведеного з точки до прямої. Відрізок цього перпендикуляра зображується в натуральну величину на площині проекцій у тому випадку, якщо він проведений до прямої, що проеціює. Таким чином, спочатку пряму необхідно перевести в проецірующее положення, а потім з заданої точкиопустити на неї перпендикуляр. На рис. 1 показано вирішення цього завдання. Для переведення прямого загального положення АВ у положення прямого рівня проводять x14 IIА1 В1. Потім АВ переводять у проецірующее положення введенням додаткової площини проекцій П5, для чого проводять нову вісь проекцій х45 А4 В4.

Малюнок 1

Аналогічно точкам А та В, на площину проекцій П5 проектують точку М.

Проекція К5 основи перпендикуляра, опущеного з точки М на пряму АВ, на площині проекцій П5 збігається з відповідними проекціями точок

А і В. Проекція М5 К5 перпендикуляра МК є натуральною величиною відстані від точки М до прямої АВ.

У системі площин проекцій П4/П5 перпендикуляр МК буде лінією рівня, оскільки лежить у площині, паралельній площині проекцій П5. Тому його проекція М4 К4 площину П4 паралельна x45 , тобто. перпендикулярна до проекції А4 В4 . Ці умови визначають положення проекції К4 основи перпендикуляра, яке знаходять, проводячи з М4 пряму паралельно х45 до перетину з проекцією А4 В4 . Інші проекції перпендикуляра знаходять шляхом проектування точки К на площині проекцій П1 і П2.

Відстань від точки до площини

Розв'язання цього завдання показано на рис. 2. Відстань від точки М до площини (АВС) вимірюється відрізком перпендикуляра, опущеного з точки на площину.

Малюнок 2

Так як перпендикуляр до проецірующей площині є лінія рівня, то переведемо в це положення задану площину, Внаслідок чого на новій введеній площині проекцій П4 отримаємо вироджену проекцію С4 В4 площині ABC. Далі на П4 проектуємо точку М. Натуральна величина відстані від точки М до площини визначається відрізком перпендикуляра

[МК] = [М4 К4]. Інші проекції перпендикуляра будуються як і, як і попередньої задачі, тобто. з урахуванням того, що відрізок МК у системі площин проекцій П1/П4 є лінією рівня та його проекція М1 К1 паралельна осі

х14.

Відстань між двома прямими

Найкоротша відстань між прямими схрещуються вимірюється величиною відрізка загального перпендикуляра до них, що відсікається цими прямими. Завдання вирішується вибором (в результаті двох послідовних замін) площини проекцій, перпендикулярної однієї з прямих, що схрещуються. У цьому випадку відрізок перпендикуляра, що шукається, буде паралельний обраній площині проекцій і зобразиться на ній без спотворення. На рис. 3 показані дві прямі, що схрещуються, задані відрізками АВ і CD.

Малюнок 3

Прямі на початку спроектовані на площину проекцій П4 паралельну одній (будь-якої) з них, наприклад АВ, і перпендикулярну П1.

На поверхні проекцій П4 відрізок АВ зобразиться без спотворення. Потім відрізки проектують на нову площину П5 перпендикулярну до тієї ж прямої АВ і площині П4 . На площині проекцій П5 проекція перпендикулярного їй відрізка АВ вироджується в точку A5 = B5 а шукана величина N5 M5 відрізка NM перпендикулярна C5 D5 і зображується в натуральну величину. За допомогою відповідних ліній зв'язку будують проекції відрізка MN на початковому

креслення. Як було показано раніше, проекція N4 M4 шуканого відрізка на площину П4 паралельна осі проекцій x45 так як він в системі площин проекцій П4 /П5 є лінією рівня.

Завдання визначення відстані D між двома паралельними прямими АВ до CD - окремий випадокпопередньої (рис. 4).

Малюнок 4

Подвійний заміною площин проекцій паралельні прямі переводять у проецірующее положення, у результаті чого на площині проекцій П5 матимемо дві вироджені проекції А5 = В5 і С5 = D5 прямих АВ і CD. Відстань між ними D дорівнюватиме його натуральній величині.

Відстань від прямої до паралельної площині їй вимірюється відрізком перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки прямої на площину. Тому досить площину загального положення перетворити на положення проецирующей площині, взяти напряму точку, і завдання буде зведено до визначення відстані від точки до площині.

Щоб визначити відстань між паралельними площинами, треба перевести їх у проецірующее положення і побудувати перпендикуляр до вироджених проекцій площин, відрізок якого між ними буде шуканою величиною відстані.

155*. Визначити натуральну величину відрізка АВ прямого загального стану (рис. 153 а).

Рішення. Як відомо, проекція відрізка прямої на будь-якій площині дорівнює самому відрізку (з урахуванням масштабу креслення), якщо він паралельний цій площині

(Рис. 153, б). З цього випливає, що шляхом перетворення креслення треба досягти паралельності даного відрізка пл. V чи пл. Н або доповнити систему V, Н ще однією площиною, перпендикулярною до пл. V або пл. H і в той же час паралельний даному відрізку.

На рис. 153, показано введення додаткової площини S, перпендикулярної до пл. H та паралельної заданому відрізкуАВ.

Проекція asbs дорівнює натуральній величині відрізка AB.

На рис. 153 г показаний інший прийом: відрізок АВ повернутий навколо прямої, що проходить через точку В і перпендикулярної до пл. Н, до положення, паралельного

пл. V. При цьому точка залишається на місці, а точка А займає нове положення А 1 . У новому положенні обрій. проекція а 1 b | осі х. Проекція a"1b" дорівнює натуральній величині відрізка АВ.

156. Дано піраміду SABCD (рис. 154). Визначити натуральну величину ребер піраміди AS та CS, використовуючи спосіб зміни площин проекцій, і ребер BS та DS, використовуючи спосіб обертання, причому взяти вісь обертання перпендикулярно пл. H.

157*. Визначити відстань від точки А до прямої ПС (рис. 155, а).

Рішення. Відстань від точки до прямої вимірюється відрізком перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Якщо пряма перпендикулярна до будь-якої площини (рис. 155,6), то відстань від точки до прямої вимірюється відстанню між проекцією точки і точкою-проекцієюпрямий на цій площині. Якщо пряма займає в системі V, H загальне положення, то щоб визначити відстань від точки до прямої способом зміни площин проекцій, треба ввести в систему V, H ще дві додаткові площини.

Спочатку (рис. 155, в) вводимо пл. S, паралельну відрізкуНД (нова вісь S/H паралельна проекції bс), і будуємо проекції b s c s і a s . Потім (рис. 155 г) вводимо ще пл. Т, перпендикулярну до прямої ВС (нова вісь T/S перпендикулярна b s s). Будуємо проекції прямої та точки - з t (b t) та a t. Відстань між точками a t і t (b t) дорівнює відстані l від точки А до прямої ВС.

На рис. 155, ця ж задача виконана за допомогою способу обертання в тій його формі, яку називають способом паралельного переміщення. Спочатку пряму ВС і точку А, зберігаючи незмінним їхнє взаємне положення, повертаємо навколо деякої (не позначеної на кресленні) прямої, перпендикулярної до пл. H, так, щоб пряма НД розташувалася паралельно пл. V. Це рівносильно переміщенню точок А, В, С у площинах, паралельних пл. H. При цьому обрій. проекція заданої системи(BC + A) не змінюється ні за величиною, ні за конфігурацією, лише змінюється її положення щодо осі х. Маємо горизонт. проекцію прямої ВС паралельно осі х (положення b 1 c 1) і визначаємо проекцію a 1 відкладаючи c 1 1 1 = с-1 і а 1 1 1 = а-1, причому a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1 . Провівши прямі b"b" 1 , a"a" 1 , з "с" 1 паралельно осі х, знаходимо на них фронт. проекції b" 1 ,а" 1 , с" 1 . Далі, переміщуємо точки В 1 , С 1 і A 1 у площинах, паралельних пл. V (також не змінюючи їх взаємного розташування), так, щоб отримати В 2 С 2 ⊥ пл.H. При цьому фронту проекція прямої розташується перпендикулярно до осі x,b 2 c" 2 = b" 1 с" 1 , а для побудов проекції а" 2 треба взяти b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 провести 2"a" 2 ⊥ b" 2 с" 2 і відкласти а" 2 2" 2 = а "1 2" 1 . Тепер, провівши з 1 з 2 та а 1 а 2 || х 1 отримаємо проекції b 2 з 2 і а 2 і відстань l від точки А до прямої ВС. Визначити відстань від А до НД можна, повернувши площину, що визначається точкою А і прямою НД, навколо горизонталі цієї площини до положення Т || пл. H (рис. 155, е).

У площині, що задається точкою А і прямою ПС, проводимо горизонталь А-1 (рис. 155, ж) і повертаємо навколо неї точку В. Точка переміщається в пл. R (заданої на кресленні слідом R h), перпендикулярної А-1; у точці Про знаходиться центр обертання точки В. Визначаємо тепер натуральну величину радіуса обертання ВО (рис. 155, в). У необхідному положенні, тобто коли пл. Т, що визначається точкою А та прямою ВС, стане || пл. H, точка В вийде на R h на відстані Оb 1 від точки О (можливо й інше положення на тому ж сліді R h але по іншу сторону від О). Крапка b 1 – це горизонт. проекція точки після переміщення її в положення В 1 в просторі, коли площина, яка визначається точкою А і прямою ВС, зайняла положення Т.

Провівши (рис. 155 і) пряму b 1 1, отримуємо горизонт. проекцію прямої ЗС, вже розташованої || пл. H в одній площині з А. У цьому положенні відстань а до b 1 1 дорівнює шуканій відстані l. Площина Р, у якій лежать задані елементи, можна поєднати з пл. H (рис. 155, к), повернувши пл. Р навколо неї обрій. сліду. Перейшовши від завдання площини точкою А та прямою ВС до завдання прямими ВС та А-1 (рис. 155, л), знаходимо сліди цих прямих і проводимо через них сліди Р і P h . Будуємо (рис. 155, м) поєднане з пл. H становище фронт. сліду - P ϑ0.

Через точку проводимо горизонт. проекцію фронталі; суміщена фронталь проходить через точку 2 на сліді Р h паралельно Р ϑ0 . Точка А 0 - суміщена з пл. H положення точки А. Аналогічно знаходимо точку 0 . Пряма НД у поєднаному з пл. H положенні проходить через точку 0 і точку m (горизонт. слід прямий).

Відстань від точки A 0 до прямої 0 С 0 дорівнює шуканій відстані l.

Можна виконати вказану будову, знайшовши лише один слід Р h (рис. 155, н і о). Вся побудова аналогічна повороту навколо горизонталі (див. рис. 155 ж, в, і): слід Р h - це одна з горизонталів пл. Р.

З наведених на вирішення цього завдання способів перетворення креслення кращим є спосіб обертання навколо горизонталі чи фронталі.

158. Дано піраміду SABC (рис. 156). Визначити відстані:

а) від вершини підстави до його боку АС способом паралельного переміщення;

б) від вершини S піраміди до сторін ВС та АВ основи способом обертання навколо горизонталі;

в) від вершини S до сторони АС підстави способом зміни площин проекцій.

159. Дана призма (рис. 157). Визначити відстані:

а) між ребрами AD та CF способом зміни площин проекцій;

б) між ребрами BE та CF обертанням навколо фронталі;

в) між ребрами AD та BE способом паралельного переміщення.

160. Визначити натуральну величину чотирикутника ABCD (рис. 158) суміщенням із пл. М. Користуватися лише горизонтальним слідом площини.

161*. Визначити відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, (рис. 159, а) і побудувати проекції спільного до них перпендикуляра.

Рішення. Відстань між схрещувальними прямими вимірюється відрізком (MN) перпендикуляра до обох прямих (рис. 159, б). Очевидно, якщо одну з прямих розташувати перпендикулярно до будь-якої пл. Т, то

відрізок MN перпендикуляра до обох прямих виявиться паралельним пл. Т нього проекція на цій площині відобразить відстань, яку шукає. Проекція прямого кута менаду MN н АВ на пл. Т виявляється також прямим кутом між m t n t і а t b t так як одна зі сторін прямого кута AMN, а саме MN. паралельна пл. Т.

На рис. 159, і г шукана відстань l визначено способом зміни площин проекцій. Спочатку вводимо додаткову пл. проекцій S, перпендикулярну до пл. H та паралельну прямий CD (рис. 159, в). Потім вводимо ще одну додаткову пл. Т, перпендикулярну до пл. S і перпендикулярну до тієї ж прямої CD (рис. 159 г). Тепер можна побудувати проекцію загального перпендикуляра, провівши m t n t з точки c t (d t) перпендикулярно до проекції a t b t . Точки m t і nt - проекції точок перетину цього перпендикуляра з прямими АВ і CD. По точці m t (рис. 159, д) знаходимо m s на a s b s: проекція m s ns має бути паралельна осі Т/S. Далі, по ms і ns знаходимо m і n на ab і cd, а по них m" і n" на а"b" і c"d".

На рис. 159, показано рішення цієї задачі за способом паралельного переміщень. Спочатку ставимо пряму CD паралельно до пл. V: проекція з 1 d 1 || х. Далі переміщуємо прямі CD і АВ з положень C 1 D 1 і А 1 В 1 положення С 2 B 2 і А 2 В 2 так, щоб С 2 D 2 розташувалася перпендикулярно Н: проекція з "2 d" 2 ⊥ х. Відрізок шуканого перпендикуляра розташовується | пл. H, і, отже, m 2 n 2 виражає відстань l між АВ і CD. Знаходимо положення проекцій m" 2 і n" 2 на а" 2 b" 2 і c" 2 d" 2 потім проекцій і m 1 і m" 1 , n 1 і n" 1 , нарешті, проекцій m" і n ", m та n.

162. Дано піраміду SABC (рис. 160). Визначити відстань між ребром SB та стороною АС основи піраміди та побудувати проекції загального перпендикуляра до SB та АС, застосувавши спосіб зміни площин проекцій.

163. Дано піраміду SABC (рис. 161). Визначити відстань між ребром SH та стороною ВС основи піраміди та побудувати проекції загального перпендикуляра до SX та ВС, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

164*. Визначити відстань від точки А до площини у випадках, коли задана площина: а) трикутником BCD (рис. 162, а); б) слідами (рис. 162, б).

Рішення. Як відомо, відстань від точки до площини вимірюється величиною перпендикуляра, проведеного з точки на площину. Ця відстань проектується на якусь пл. проекцій у натуральну величину, якщо дана площина перпендикулярна до пл. проекцій (рис. 162, в). Досягти такого положення можна, перетворюючи креслення, наприклад, способом зміни пл. проекцій. Введемо пл. S (рис. 16ц, г), перпендикулярну до пл. трикутник BCD. Для цього проводимо у пл. трикутника горизонталь В-1 і маємо вісь проекцій S перпендикулярно до проекції b-1 горизонталі. Будуємо проекції точки та площини - а s та відрізок c s d s . Відстань від a s до c s d s дорівнює пошуковій відстані l точки до площини.

На Ріо. 162, д застосований спосіб паралельного переміщення. Переміщуємо всю систему до тих пір, поки горизонталь В-1 площини не стане перпендикулярна до площини V: проекція b 1 1 має бути перпендикулярна до осі x. У цьому положенні площина трикутника стане фронтально-проецірующей, і відстань l від точки А до неї вийде пл. V без спотворення.

На рис. 162 б площина задана слідами. Вводимо (рис. 162, е) додаткову пл. S, перпендикулярну до пл. P: вісь S/Н перпендикулярна Р h . Подальше зрозуміло з креслення. На рис. 162 ж завдання вирішена за допомогою одного переміщення: пл. Р перетворюється на становище Р 1 , т. е. стає фронтально-проецирующей. Слід. Р 1h перпендикулярний до осі х. Будуємо у цьому положенні площині фронт. слід горизонталі - точку n" 1 ,n 1 . Слід P 1ϑ пройде через Р 1x і n 1 . Відстань від a" 1 до Р 1ϑ дорівнює шуканій відстані l.

165. Дано піраміду SABC (див. рис. 160). Визначити відстань від точки до грані SBC піраміди, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

166. Дано піраміду SABC (див. рис. 161). Визначити висоту піраміди, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

167*. Визначити відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, (див. рис. 159,а) як відстань між паралельними площинами, проведеними через ці прямі.

Рішення. На рис. 163 а показані паралельні між собою площини Р і Q, з яких пл. Q проведена через CD паралельно АВ, пл. Р - через АВ паралельно пл. Q. Відстань між такими площинами і вважається відстанню між прямими АВ і CD, що схрещуються. Однак можна обмежитися побудовою тільки однієї площини, наприклад, Q, паралельно АВ, а потім визначити відстань хоча б від точки А до цієї площини.

На рис. 163 показана площина Q, проведена через CD паралельно АВ; у проекціях проведено "е" || а"b" і се || аb. Застосовуючи спосіб зміни пл. проекцій (рис. 163, в), введемо додаткову пл. S, перпендикулярну до пл. V і в той же час

перпендикулярну до пл. Q. Щоб провести вісь S/V, беремо у цій площині фронталь D-1. Тепер проводимо S/V перпендикулярно до "1" (рис. 163, в). Пл. Q зобразиться на пл. S у вигляді прямої з s d s . Решта ясно з креслення.

168. Дано піраміду SABC (див. рис, 160). Визначити відстань між ребрами SC та AB. Застосувати: 1) спосіб зміни пл. проекцій; 2) спосіб паралельного переміщення.

169*. Визначити відстань між паралельними площинами, з яких одна задана прямими АВ та АС, а інша – прямими DE та DF (рис. 164, а). Виконати також побудову випадку, коли площині задані слідами (рис. 164, б).

Рішення. Відстань (рис. 164, в) між паралельними площинами можна визначити, провівши перпендикуляр із будь-якої точки однієї площини на іншу площину. На рис. 164 г введена додаткова пл. S перпендикулярно пл. Н і до обох даних площин. Вісь S.H перпендикулярна до горизонту. проекції горизонталі, проведеної в одній із площин. Будуємо проекцію цієї площини та точки В іншій площині на пл. 5. Відстань точки d s до прямої l s a s дорівнює пошуку відстані між паралельними площинами.

На рис. 164, д дана інша побудова (за способом паралельного переміщення). Для того щоб площина, виражена прямими АВ і АС, що перетинаються, виявилася перпендикулярна до пл. V, горизонт. проекцію горизонталі цієї площини ставимо перпендикулярно до осі х: 1 1 2 1 ⊥ х. Відстань між фронтом. проекцією d" 1 точки D і прямий а" 1 2" 1 (фронт. проекцією площини) дорівнює шуканій відстані між площинами.

На рис. 164, е показано введення додаткової пл. S, перпендикулярної до пл.H і даних площин Р і Q (вісь S/H перпендикулярна до слідів Р h , і Q h). Будуємо сліди Р s і Q s . Відстань між ними (див. рис. 164, в) дорівнює шуканій відстані l між площинами Р і Q.

На рис. 164 ж показано переміщення площин Р 1 н Q 1 в положення P 1 і Q 1 коли горизонт. сліди виявляються перпендикулярними до осі x. Відстань між новим фронтом. слідами P 1 і Q 1 дорівнює шуканій відстані l.

170. Даний паралелепіпед ABCDEFGH (рис. 165). Визначити відстані: а) між основами паралелепіпеда - l 1 ; б) між гранями ABFE та DCGH - l 2 ; в) між гранями ADHE та BCGF-l 3 .