Завдання 1(Про обчислення площі криволінійної трапеції).

У декартовій прямокутній системі координат xOy дана фігура (див. малюнок), обмежена віссю х, прямими х = a, х = b (a криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу криволінійної трапеції.
Рішення.Геометрія дає нам рецепти для обчислення площ багатокутників та деяких частин кола (сектора, сегмента). Використовуючи геометричні міркування, ми зможемо визначити лише наближене значення шуканої площі, розмірковуючи так.

Розіб'ємо відрізок [а; b] (підстава криволінійної трапеції) на n рівних частин; це розбиття здійснимо за допомогою точок x 1 x 2 ... x k ... x n-1 . Проведемо через ці точки прямі, паралельні осі у. Тоді задана криволінійна трапеція розіб'ється на n елементів, на n вузьких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.

Розглянемо окремо k-ий стовпчик, тобто. криволінійну трапецію, основою якої є відрізок . Замінимо його прямокутником з тією самою основою і висотою, що дорівнює f(x k) (див. рисунок). Площа прямокутника дорівнює \(f(x_k) \cdot \Delta x_k\), де \(\Delta x_k\) - Довжина відрізка; Звичайно вважати складене твір наближеним значенням площі k-го стовпчика.

Якщо тепер зробити те саме з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до наступного результату: площа S заданої криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі S n ступінчастої фігури, складеної з n прямокутників (див. рисунок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Тут заради одноманітності позначень ми вважаємо, що a = х 0 b = x n ; \(\Delta x_0 \) - Довжина відрізка , \(\Delta x_1 \) - Довжина відрізка, і т.д; при цьому, як ми домовилися вище, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Отже, \(S \approx S_n \), причому ця наближена рівність тим точніша, чим більше n.
За визначенням вважають, що шукана площа криволінійної трапеції дорівнює межі послідовності (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Завдання 2(Про переміщення точки)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості від часу виражається формулою v = v(t). Знайти переміщення крапки за проміжок часу [а; b].
Рішення.Якби рух був рівномірним, то завдання вирішувалося дуже просто: s = vt, тобто. s = v(b-а). Для нерівномірного руху доводиться використовувати самі ідеї, у яких було засновано рішення попередньої задачи.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на n рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу і вважатимемо, що у цей проміжок часу швидкість була постійною, такою, як у момент часу t k . Отже, ми вважаємо, що v = v (t k).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжок часу, це наближене значення позначимо s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Знайдемо наближене значення переміщення s:
\(s \approx S_n\) де
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Переміщення, що шукається, дорівнює межі послідовності (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Підведемо підсумки. Вирішення різних завдань звелися до однієї і тієї ж математичної моделі. Багато завдань з різних галузей науки і техніки приводять у процесі вирішення такої ж моделі. Отже, цю математичну модель треба спеціально вивчити.

Поняття певного інтегралу

Дамо математичний опис тієї моделі, яка була побудована у трьох розглянутих задачах для функції y = f(x), безперервної (але необов'язково невід'ємної, як це передбачалося у розглянутих задачах) на відрізку [а; b]:
1) розбиваємо відрізок [а; b] на n рівних частин;
2) складаємо суму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) обчислюємо $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

У курсі математичного аналізу доведено, що ця межа у разі безперервної (або шматково-безперервної) функції існує. Його називають певним інтегралом від функції y = f(x) за відрізком [а; b]і позначають так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a та b називають межами інтегрування (відповідно нижнім та верхнім).

Повернемося до розглянутих вище завдань. Визначення площі, дане в задачі 1, тепер можна переписати так:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тут S - площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку вище. У цьому полягає геометричний сенс певного інтегралу.

Визначення переміщення точки, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = a до t = b, дане в задачі 2, можна переписати так:

Формула Ньютона - Лейбніца

Спочатку відповімо питанням: який зв'язок між певним інтегралом і первообразной?

Відповідь можна знайти в задачі 2. З одного боку, переміщення точки s, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = а до t = b і обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

З іншого боку, координата точки, що рухається, є первісна для швидкості - позначимо її s(t); отже, переміщення s виражається формулою s = s(b) - s(a). У результаті отримуємо:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
де s(t) - первісна для v(t).

У курсі математичного аналізу підтверджено наступну теорему.
Теорема. Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
де F(x) - первісна для f(x).

Наведену формулу зазвичай називають формулою Ньютона - Лейбніцана честь англійського фізика Ісаака Ньютона (1643-1727) та німецького філософа Готфріда Лейбніца (1646-1716), які отримали її незалежно один від одного і практично одночасно.

Насправді замість запису F(b) - F(a) використовують запис \(\left. F(x)\right|_a^b \) (її називають іноді подвійною підстановкою) і, відповідно, переписують формулу Ньютона - Лейбніца у такому вигляді:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Обчислюючи певний інтеграл, спочатку знаходять первісну, а потім здійснюють подвійну підстановку.

Спираючись на формулу Ньютона – Лейбніца, можна отримати дві властивості певного інтегралу.

Властивість 1.Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Властивість 2.Постійний множник можна винести за знак інтеграла:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу

З допомогою інтеграла можна обчислювати площі як криволінійних трапецій, а й плоских постатей складнішого виду, наприклад такого, який представлений малюнку. Фігура Р обмежена прямими х = а, х = b та графіками безперервних функцій y = f(x), y = g(x), причому на відрізку [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \). Щоб обчислити площу S такої фігури, будемо діяти так:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Отже, площа фігури S, обмеженої прямими х = а, х = b і графіками функцій y = f(x), y = g(x), безперервних на відрізку і таких, що для будь-якого x з відрізка [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \), обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$

Тема: Обчислення площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу

Завдання: вивчити визначення та формули знаходження площі криволінійної трапеції;

розглянути різні випадки знаходження площі криволінійної трапеції;

Вміти обчислювати площу криволінійної трапеції.

План:

Криволінійна трапеція.

Формули обчислення площі криволінійної трапеції.

Криволінійною трапецієюназивається фігура, обмежена графіком безперервної, неотрицательной функції f(x) на проміжку , відрізками прямих x=a і x=b, і навіть відрізком осі абсцис між точками a і b.

Зображення криволінійних трапецій:

Тепер перейдемо до можливих варіантів розташування фігур, площу яких треба вирахувати на координатній площині.

Першим буде найпростіший варіант (перший малюнок), звичайна криволінійна трапеція, як у визначенні. Тут нічого не треба вигадувати просто беремо інтеграл від aдо bвід функції f(x). Знайдемо інтеграл - знатимемо і площу даної трапеції.


Во другому варіанті наша фігура буде обмежена не віссю абсцис, а іншою функцією g(x). Тому, щоб знайти площу CEFD, нам треба спочатку знайти площу AEFB(за допомогою інтеграла від f(x)), потім знайти площу ACDB(за допомогою інтеграла від g(x)). І шукана площа фігури CEFD, буде різниця між першою та другою площами криволінійної трапеції. Оскільки межі інтегрування тут однакові, це все можна записати під одним інтегралом (дивіться формули під малюнком) все залежить від складності функцій, у якому разі простіше буде знайти інтеграл.



Третій дуже схожий на перший, але тільки наша трапеція розміщена, не над віссю абсцис, а під нею. Тому тут треба брати такий самий інтеграл, тільки зі знаком мінус, бо значення інтеграла буде негативним, а значення площі має бути позитивним. Якщо замість функції f(x)взяти функцію –f(x), то її графік буде такий самий просто симетрично відображений щодо осі абсцис.


І четвертийВаріант, коли частина нашої фігури знаходиться над віссю абсцис, а частина під нею. Тому нам треба спочатку знайти площу фігури AEFB, як у першому варіанті, а потім площа фігури ABCD, як у третьому варіанті і потім скласти їх. В результаті ми отримаємо площу фігури DEFC. Оскільки межі інтегрування тут однакові, це все можна записати під одним інтегралом (дивіться формули під малюнком) все залежить від складності функцій, у якому разі простіше буде знайти інтеграл.

Питання для самоперевірки:

Яка постать називається криволінійною трапецією?

Як знайти площу криволінійної трапеції?

Визначений інтеграл. Як вирахувати площу фігури

Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання – як за допомогою певного інтеграла обчислити площу плоскої фігури. Нарешті ті, хто шукає значення у вищій математиці - і знайдуть його. Мало чи. Доведеться ось у житті наближати дачну ділянку елементарними функціями та знаходити її площу за допомогою певного інтеграла.

Для успішного освоєння матеріалу необхідно:

1) Розбиратися у невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись із уроком Не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки із певними інтегралами можна на сторінці Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтеграла» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У цьому корисно освіжити у пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, параболу і гіперболу. Зробити це можна (багатьом – потрібно) за допомогою методичного матеріалу та статті про геометричні перетворення графіків.

Власне, із завданням знаходження площі за допомогою певного інтеграла всі знайомі ще зі школи, і ми мало втечемо вперед від шкільної програми. Цієї статті взагалі могло б і не бути, але справа в тому, що завдання зустрічається в 99 випадків зі 100, коли студент страждає від ненависної вежі із захопленням освоює курс вищої математики.

Матеріали даного практикуму викладені легко, докладно і з мінімумом теорії.

Почнемо з криволінійної трапеції.

Криволінійною трапецієюназивається плоска фігура, обмежена віссю , прямими і графіком безперервної на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний сенс. На уроці Визначений інтеграл. Приклади рішенья говорив, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент вирішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково, з технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі Графіки та властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

Штрихувати криволінійну трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтеграла та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца , зверніться до лекції Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Після того, як завдання виконано, завжди корисно подивитись на креслення та прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, зрозуміло, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок вочевидь не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , та віссю

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищецієї осі), то її площа можна знайти за формулою:
В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення в завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямої. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Техніка поточкового побудови для різних графіків докладно розглянуто у довідці Графіки та властивості елементарних функцій. Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторюся, що при поточковому побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються "автоматом".

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

У розглянутому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Шукана фігура обмежена параболою зверху та прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній півплощині (див. простенький приклад №3) – окремий випадок формули . Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований Не вищеосі , то

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .

У результаті вирішення завдань на обчислення площі з допомогою певного інтеграла іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але за неуважністю… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів лажався ваш покірний слуга. Ось реальний випадок із життя:

Приклад 7

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

…Ех, креслення хрінонький вийшов, але ніби все розбірливо.

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів. Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямої;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Переходимо ще до одного змістовного завдання.

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями ,
Уявімо рівняння в «шкільному» вигляді, і виконаємо поточковий креслення:

З креслення видно, що верхня межа в нас «хороша»: .
Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке? Може бути ? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися . Або коріння. А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину прямої та параболи.
Для цього розв'язуємо рівняння:


,

Справді, .

Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися у підстановках та знаках, обчислення тут не найпростіші.

На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , ,

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні

Блін, забув графік підписати, а переробляти картинку, вибачте, не хотця. Не креслярський, коротше сьогодні день =)

Для поточкового побудови необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), а також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають з умови: – «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції розташований над віссю, тому:

Нехай функція невід'ємна та безперервна на відрізку. Тоді, згідно з геометричним змістом певного інтеграла, площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком цієї функції, знизу – віссю, ліворуч та праворуч – прямими і (див. рис. 2) обчислюється за формулою

Приклад 9.Знайти площу фігури, обмеженою лінією та віссю.

Рішення. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Збудуємо її (рис. 3). Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо точки перетину лінії (параболи) з віссю (прямий). Для цього вирішуємо систему рівнянь

Отримуємо: , звідки ; отже, , .

Рис. 3

Площа фігури знаходимо за формулою (5):

Якщо функція непозитивна і безперервна на відрізку , то площа криволінійної трапеції, обмеженої знизу графіком даної функції, зверху - віссю , ліворуч і праворуч - прямими і обчислюється за формулою

. (6)

У випадку, якщо функція безперервна на відрізку і змінює знак у кінцевому числі точок, то площа заштрихованої фігури дорівнює алгебраїчній сумі відповідних певних інтегралів:

Рис. 4

Приклад 10Обчислити площу фігури, обмеженою віссю та графіком функції при .

Рис. 5

Рішення. Зробимо креслення (рис. 5). Шукана площа являє собою суму площ та . Знайдемо кожну з цих площ. Спочатку визначимо межі інтегрування, вирішивши систему Отримаємо, . Отже:

;

.

Таким чином, площа заштрихованої фігури дорівнює

(кв. од.).

Рис. 6

Нехай, нарешті, криволінійна трапеція обмежена зверху і знизу безперервними графіками на відрізку функцій і ,
а ліворуч і праворуч - прямими і (рис. 6). Тоді її площа обчислюється за формулою

. (8)

Приклад 11.Знайти площу фігури, обмеженою лініями та .

Рішення.Ця фігура зображена на рис. 7. Площу її обчислимо за формулою (8). Вирішуючи систему рівнянь знаходимо, ; отже, , . На відрізку маємо: . Отже, у формулі (8) як візьмемо x, а як – . Отримаємо:

(кв. од.).

Більш складні завдання на обчислення площ вирішують шляхом розбиття фігури на частини, що не перетинаються, і обчислення площі всієї фігури як суми площ цих частин.

Рис. 7

Приклад 12Знайти площу фігури, обмеженою лініями , , .

Рішення. Зробимо креслення (рис. 8). Дану фігуру можна розглядати як криволінійну трапецію, обмежену знизу віссю, ліворуч і праворуч – прямими та , зверху – графіками функцій та . Так як фігура обмежена зверху графіками двох функцій, то для обчислення її площі розіб'ємо цю фігуру прямою на дві частини (1 – це абсцис точки перетину ліній і ). Площа кожної з цих частин знаходимо за формулою (4):

(кв. од.); (кв. од.). Отже:

(кв. од.).

Рис. 8

х= j ( у)

Рис. 9

На закінчення відзначимо, що якщо криволінійна трапеція обмежена прямими та , віссю та безперервною на кривій (рис. 9), то її площа знаходиться за формулою

Об'єм тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком безперервної на відрізку функції , віссю , прямими і обертається навколо осі (рис. 10). Тоді обсяг отриманого тіла обертання обчислюється за формулою

. (9)

Приклад 13Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженою гіперболою, прямими і віссю.

Рішення. Зробимо креслення (рис. 11).

З умови завдання випливає, що , . За формулою (9) отримуємо

.

Рис. 10

Рис. 11

Об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженої прямими у = сі у = d, віссю Оута графіком безперервної на відрізку функції (рис. 12), визначається за формулою

. (10)

х= j ( у)

Рис. 12

Приклад 14. Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженої лініями х 2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Рішення. Відповідно до умови завдання знаходимо межі інтегрування: , . За формулою (10) отримуємо:

Рис. 13

Довжина дуги плоскої кривої.

Нехай крива , задана рівнянням , де лежить у площині (рис. 14).

Рис. 14

Визначення. Під довжиною дуги розуміється межа, якого прагне довжина ламаною лінії, вписаної у цю дугу, коли число ланок ламаної прагне нескінченності, а довжина найбільшої ланки прагне нулю.

Якщо функція та її похідна безперервні на відрізку, то довжина дуги кривої обчислюється за формулою

. (11)

Приклад 15. Обчислити довжину дуги кривої , укладеної між точками, для яких .

Рішення. З умови завдання маємо . За формулою (11) отримуємо:

4. Невласні інтеграли
з нескінченними межами інтегрування

При введенні поняття певного інтеграла передбачалося, що виконуються такі дві умови:

а) межі інтегрування аі є кінцевими;

б) підінтегральна функція обмежена на відрізку.

Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то інтеграл називається невласним.

Розглянемо спочатку невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування.

Визначення. Нехай функція визначена і безперервна на проміжкута необмеженою праворуч (рис. 15).

Якщо невласний інтеграл сходиться, ця площа є кінцевою; якщо невласний інтеграл розходиться, ця площа нескінченна.

Рис. 15

Аналогічно визначається невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею інтегрування:

. (13)

Цей інтеграл сходиться, якщо межа правої частини рівності (13) існує і кінцевий; інакше інтеграл називається розбіжним.

Невласний інтеграл із двома нескінченними межами інтегрування визначається наступним чином:

, (14)

де с – будь-яка точка інтервалу. Інтеграл сходиться лише у тому випадку, коли сходяться обидва інтеграли у правій частині рівності (14).

;

г) = [Виділимо у знаменнику повний квадрат: ] = [заміна:

] =

Отже, невласний інтеграл сходиться та її значення одно .