Перехід у 4 вимір. Четвертий вимір

» ми торкнемося широко відомої проблемичисла вимірів у цілому та переходу в них зокрема. Ми постараємося розглянути це питання не з традиційно містичної точки зору, а з практичної точки зору (за допомогою практичних вправта навчальних відео).

Перехід у четвертий вимір цікавив людей дуже давно. Однак досі існує дві групи поглядів, які по-різному належать до четвертого виміру. Одна з груп — це просторовий четвертий вимір, а друга — це час. ое четверте вимір.

Просторовий четвертий вимір дуже добре проілюстрований в одному з випусків журналу Трамвай, де була опублікована стаття про чотиривимірну мишу (якщо що вона називається «Миша ЧЕ-ТИ-РЕХ-МЕР-НАЯ» і прочитати її можна тут http://tramwaj.narod .ru/Archive/LJ_archive_2.htm). Там проводилася така аналогія: для мешканців одного виміру (лінія) будь-які двомірні істоти сприйматимуться лише як компоненти одного виміру. Все, що виходить за рамки цього виміру, не буде помічено (бо нема чим дивитися).

Так само, мешканці двовимірного простору (площини) можуть побачити мешканців тривимірного простору лише як їх двомірні відбитки-проекції. Їм просто нема чим побачити третій вимір. Тобто, якби людина потрапила до цього двомірного простору, то в найкращому випадкумісцеві жителі площини знайомилися з відбитками його підошв. А в гіршому – поперечним зрізом 🙂

Аналогічно жителі третього виміру (тобто ми з вами) можуть побачити чотиривимірних істот лише як їхні тривимірні проекції. Тобто звичайні тіла, що мають довжину, ширину та висоту.

Вищий вимір має по відношенню до нижчого виміру одну важливу перевагу: істоти з високих вимірів можуть порушувати закони фізики нижчих вимірів. Так, якщо у двомірному всесвіті, на площині, посадити жителя у в'язницю, то він не зможе вибратися з нього, оточений з усіх двох сторін (оскільки вимірів лише два) стінами. Але якщо посадити в таку в'язницю тривимірну істоту (вірніше, лише її проекцію), то вона з легкістю виходить з двох вимірів, скажімо, вгору і виявляється поза двомірною в'язницею.

Точно такі ж плюшки доступні чотиривимірним істотам у нашому тривимірному всесвіті. Погодьтеся, все це звучить дуже привабливо, містично, і при оволодінні четвертим виміром обіцяє принести масу бонусів типу підгляду в жіночих роздягальнях.

Але не заглиблюватимемося в містичні нетрі — адже ми обіцяли практику, а не містику. Для цього узагальнимо. Так, один звичайний вимір перпендикулярно іншому та третьому, утворюючи всім знайомі осі координат:

Тоді як за цією логікою четверте просторове вимір має бути перпендикулярно цим трьом.

Перехід у четверте просторове вимір здійснюється з допомогою розвитку особливого органу сприйняття цього виміру. Зазвичай цей орган називається "третє око". Оскільки під цим словосполученням що тільки не розуміється, ми його використовувати не будемо. Тим більше, що четвертий просторовий вимір сприймається аж ніяк не очима. Як поради щодо розвитку органу сприйняття четвертого просторового виміру ми наведемо вправу з книги П.Д. Успенського (учень Гурджієва, якщо що) «TERTIUM ORGANUM» (третій орган, якщо перекласти):

Тренуйтеся бачити (для початку - в уяві) об'ємні фігури(Куби, піраміди, сфери і т.д.) відразу з усіх боків.

Ось такий простий опис до складній вправі. Сподіваємося, все зрозуміло: зазвичай ми можемо бачити максимум три сторони куба. А треба уявити собі куб так, ніби ми його бачили з усіх шести сторін відразу. Головоломка, так? 🙂

Для того, щоб отримати більше маси про четвертий просторовий вимір, ви можете скористатися цими відео:

Перша частина відео про четвертий вимір:

Друга частина відео про четвертий вимір

Розглянувши практичне тренування переходу у просторове четверте вимір, розглянемо ще один момент. Як це не дивно, четверте (а також п'яте, шосте… одинадцяте) просторові виміри — аж ніяк не порожній звук. Принаймні у світлі останніх досягненьтеорії суперструн.

Так, щоб закони фізики однаково працювали і мікро-, і макрорівнях (від рівня, у тисячі разів меншого, ніж розміри молекули, до міжгалактичних відстаней), у формулах необхідна наявність одинадцяти просторових вимірів. Три з цих вимірів розгорнуті, а решта згорнуті, і саме тому ми їх не сприймаємо. Хоча коливання складових субатомних частинок дуже залежать від цих згорнутих вимірів.

На жаль, стародавні маги про ці згорнуті виміри навіть не підозрювали, тому перехід у ці згорнуті виміри залишається поки що зовсім окультним, тобто таємним. Бо якщо хтось і придумав, як це робити, то не сказав як.

Зараз саме час перейти до четвертого виміру з погляду часу. Цей підхід широко розроблений фізиками, тому особливо розповідати тут нічого. Єдина відмінність часів, що здається. ого виміру у цьому, що у ньому не можна рухатися тому, як у трьох просторовим. Лише вперед. Однак, це не зовсім так — і саме цей нюанс дає ключ до переходу в четвертий час. ое вимір.

Мало того, якщо для того, щоб сприйняти четвертий просторовий вимір, потрібно тренувати особливий орган, для роботи з четвертим часом. ым виміром орган уже є. І мало того, за допомогою цього органу люди можуть рухатися цим виміром як назад, у минуле, так і вперед, у майбутнє.

Ви вже здогадалися, що то за штука така, що дозволяє подорожувати в часі?

Цілком вірно, це людський розум.

Отже, перехід у четвертий час ое вимір - це лише образне вираз. Ми всі і так знаходимося в цьому четвертому часі. ом вимірі. Проте чи все однаково. Є люди, які пам'ятають лише вчорашній день і не заглядають далі за завтрашній день. Їх четвертий вимір мізерний, а життя тяжке (хоча збоку може здаватися веселим і безтурботним).

І, навпаки, існують люди, які можуть заглянути далеко-далеко в минуле, порівняти отримані дані зі спостереженнями з сьогодення і зробити практичні висновки як про найближче, так і про віддалене майбутнє. Як бачите, ці люди опанували четвертий вимір у дуже значній мірі. В результаті життя таких людей набагато стабільніше, спокійніше і щасливіше.

Тому стоїть питання не в переході в час ое четверте вимір, а в поглибленні цього виміру. Ну, а для цього потрібно тренувати свій розум. Як це робити? Так, дуже просто. Головне, щоб відпрацьовувалася основна діяльність розуму: порівнювати дані з минулого з даними із сьогодення та робити правильні висновки. Ну а способів існує просто величезна кількість.

Ще один нюанс – це дані, які використовує розум для роботи. Адже якщо дані надходять на обробку помилкові (з минулого чи сьогодення), то й висновки будуть помилковими. І тоді вийде не четвертий вимір, а фігня якась.

Чому бувають помилковими отримані дані з минулого та сьогодення? Все дуже просто: тому що це неправильно оцінені дані через хворобливий досвід. Приклад: людину покусала собака, і тепер завжди, коли вона бачить собак, то отримує дані не про їхні реальні наміри чи вид, а глюк з минулого, пов'язаний з болем. Отже, висновки на майбутнє (наприклад, «усі собаки небезпечні») будуть хибними. А четвертий вимір — із червоточинкою.

Як уникнути таких помилок? Звичайно, правильно оцінивши дані, отримані за наявності болю, зіткненні або втрати. Як це зробити? Цих способів набагато менше, ніж способів удосконалення мислення. Але вони є, і ви зможете за бажання їх знайти 🙂

Таким чином, перехід у четвертий вимір залежить від того, куди ви хочете перейти.

Вдалих переходів!

Якщо що – пишіть у коментарі!

Якщо порівняти плоский аркуш паперу та коробку, то ми побачимо, що аркуш паперу має довжину та ширину, але не має глибини. Коробка має довжину, ширину і глибину.

Звичний для нас світ складається з трьох вимірів, проте давайте уявімо собі існування у двовимірному просторі. У такому разі все матиме вигляд малюнків на аркуші паперу. Об'єкти зможуть рухатися в будь-якому напрямку по поверхні цього паперу, але піднятися або опуститися на поверхню цього паперу буде неможливо.

Уявімо квадрат, намальований у двомірному просторі - ніякий об'єкт не зможе вибратися за межі квадрата, якщо тільки в ньому немає отвору, або дірки. Переміщення під та над квадратом буде неможливим.

Що таке четвертий вимір

Інша справа у світі тривимірному - намалювавши навколо будь-якого об'єкта квадрат, нічого не варто потім цьому самому об'єкту переступити через нього або підлізти. А тепер уявімо, що об'єкт поміщений усередину куба або, наприклад, у кімнату зі стелею, підлогою та чотирма щільними стінами. Жодний об'єкт не зможе вибратися з кімнати, за умови, що в ній немає отворів.

Звичайно, все це досить ясно і зрозуміло. Також зрозуміло і те, що практично всі явища можна пояснити з позиції тривимірного світу. Наприклад, просто і зрозуміло, чому рідина може бути поміщена в глечик або чому собака може жити в будці.

Варто тепер розглянути паранормальні явища – матеріалізацію та дематеріалізацію. Відомий екстрасенсЧарльз Бейлі міг матеріалізувати сотні предметів у залізній клітці у присутності численних, скептично налаштованих свідків. Цілком можливо, предмети проходили між лозинами залізної клітини, і це абсолютно незрозуміло з погляду тривимірного світу.

Щоб пояснити подібні явища, була висунута гіпотеза, що існує четверте вимір простору, недоступне за звичайних обставин. Однак іноді об'єкти отримують можливість входити і виходити з четвертого виміру.

Трансцендентна фізика

Існує особлива робота під назвою “Трансцендентна фізика”, присвячена дослідженню концепції четвертого виміру та написана Йоганном Карлом Фрідріхом Зеллнером. У своїй праці автор взяв як приклад явища, створювані екстрасенсом Генрі Слейдом. Тому вдавалося змушувати деякий об'єкт зовсім зникнути, а потім зробити так, щоб цей об'єкт з'явився десь в іншому місці. До того ж, він міг матеріалізувати два суцільні кільця навколо ніжки столу.

Через деякий час Слейд був ув'язнений за шахрайство, і це завдало непоправної шкоди репутації доктора Зеллнера. Проте сьогодні це видається несуттєвим, оскільки Зеллнер зміг запропонувати світу ретельно оформлену теорію. До того ж, під питанням залишається шахрайство Слейда.

Витяг з “Трансцендентної фізики”:

“Серед доказів немає нічого більш переконливого та суттєвого, ніж перенесення матеріальних тіл із замкнутого простору. Хоча наша тривимірна інтуїція не може допустити, щоб у замкнутому просторі відкрився нематеріальний вихід, чотиривимірний простір надає таку можливість. Таким чином, перенесення тіла в цьому напрямку може бути здійснено без впливу на тривимірні матеріальні стіни. Так як у нас, тривимірних істот, немає так званої інтуїції чотиривимірного простору, ми можемо лише сформувати його концепцію шляхом аналогії з нижчої області простору. Уявіть на поверхні двомірну фігуру: з кожної сторони накреслена лінія, а всередині об'єкт, що міститься. Рухом тільки поверхнею об'єкт зможе вибратися межі цього двовимірного замкнутого простору, якщо у лінії нічого очікувати обриву”.

Запускає проект «Питання вченому», у рамках якого фахівці відповідатимуть на цікаві, наївні чи практичні питання. У цьому випуску кандидат фізико-математичних наук Ілля Щуров розповідає про 4D та про те, чи можна вийти у четвертий вимір.

Що таке чотиривимірний простір (4D)?

Ілля Щуров

Кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математикиНДУ ВШЕ

Почнемо з найпростішого геометричного об'єкта – точки. Крапка – нульмерна. Вона не має ні довжини, ні ширини, ні висоти.

Зрушимо тепер крапку по прямій на деяку відстань. Припустимо, що наша точка - вістря олівця; коли ми її зрушили, вона прокреслила відрізок. У відрізка є довжина, і більше жодних вимірів – він одномірний. Відрізок "живе" на прямий; Пряма є одномірним простором.

Візьмемо тепер відрізок і спробуємо зрушити його, як раніше точку. (Можна уявити, що наш відрізок - це основа широкої і дуже тонкої кисті.) Якщо ми вийдемо за межі прямої і рухатимемося в перпендикулярному напрямку, вийде прямокутник. У прямокутника є два виміри - ширина та висота. Прямокутник лежить у певній площині. Площина - це двовимірний простір (2D), на ній можна ввести двовимірну систему координат - кожній точці буде відповідати пара чисел. (Наприклад, декартова системакоординат на шкільній дошці або широта та довгота на географічній карті.)

Якщо зрушити прямокутник у напрямку, перпендикулярній площині, в якій він лежить, вийде «цеглинка» ( прямокутний паралелепіпед) - тривимірний об'єкт, у якого є довжина, ширина та висота; він розташований у тривимірному просторі – у такому, в якому живемо ми з вами. Тому ми добре уявляємо, як виглядають тривимірні об'єкти. Але якби ми жили в двовимірному просторі - на площині - нам довелося б неабияк напружити уяву, щоб уявити, як можна зрушити прямокутник, щоб він вийшов з тієї площини, в якій ми живемо.

Уявити чотиривимірний простір для нас також досить непросто, хоча дуже легко описати математично. Тривимірний простір - це простір, у якому положення точки задається трьома числами (наприклад, положення літака задається довготою, широтою та висотою над рівнем моря). У чотиривимірному просторі точці відповідає четвірка чисел-координат. «Чотиривимірна цегла» виходить зсувом звичайної цеглини вздовж якогось напрямку, що не лежить у нашому тривимірному просторі; він має чотири виміри.

Насправді ми стикаємося з чотиривимірним простором щодня: наприклад, призначаючи побачення, ми вказуємо не тільки місце зустрічі (його можна задати трійкою чисел), але й час (його можна задавати одним числом – наприклад, кількістю секунд, що пройшли з певної дати). Якщо подивитися на справжню цеглу, у неї є не тільки довжина, ширина та висота, але ще й протяжність у часі – від моменту створення до моменту руйнування.

Фізик скаже, що ми живемо не просто у просторі, а у просторі-часі; математик додасть, що воно чотиривимірне. Отже, четвертий вимір ближче, ніж здається.

Завдання:

Навести якийсь інший приклад реалізації чотиривимірного простору у реальному житті.

Визначити, що таке п'ятивимірне місце (5D). Як має виглядати 5D-фільм?

Відповіді прохання надсилати на e-mail: [email protected]

• Переклад

Напевно, вам відомо, що планети рухаються навколо сонця по еліптичних орбітах. Але чому? Насправді вони рухаються по колам у чотиривимірному просторі. А якщо спроектувати ці кола на тривимірний простір, вони перетворюються на еліпси.

На малюнку площина позначає 2 із 3 вимірів нашого простору. Вертикальний напрямок – це четвертий вимір. Планета рухається по колу в чотиривимірному просторі, а її «тінь» у тривимірному рухається еліпсом.

Що ж це за 4-й вимір? Воно схоже на якийсь час, але це не зовсім час. Це такий особливий час, що тече зі швидкістю, обернено пропорційною відстані між планетою та сонцем. І щодо цього часу планета рухається з постійною швидкістюпо колу у 4 вимірах. А у звичайному часі його тінь у трьох вимірах рухається швидше, коли вона знаходиться ближче до сонця.

Звучить дивно – але це просто незвичайний спосібуявлення звичайної ньютонівської фізики. Цей спосіб відомий принаймні з 1980 завдяки роботі математичного фізикаЮргена Мозера. А я дізнався про це, отримавши на email роботу за авторством Джеспера Горансона під назвою «Симетрії у задачі Кеплера» (8 березня 2015 року).

Найцікавіше у цій роботі – такий підхід пояснює один цікавий факт. Якщо взяти будь-яку еліптичну орбіту, і повернути її в 4-мірному просторі, ми отримаємо іншу допустиму орбіту.

Звичайно, можна обертати еліптичну орбіту навколо сонця та у звичайному просторі, отримуючи допустиму орбіту. Цікаво те, що це можна робити у 4-мірному просторі, наприклад, звужуючи чи розширюючи еліпс.

У загальному випадкубудь-яку еліптичну орбіту можна перетворити на будь-яку іншу. Всі орбіти з однаковою енергією - це кругові орбіти на одній і тій же сфері у 4-мірному просторі.

Завдання Кеплера

Припустимо, у нас є частка, яка рухається згідно із законом зворотних квадратів. Рівнянням її руху буде

Де r- позиція як функція часу, r- Відстань від центру, m – маса, а k визначає силу. Звідси можна вивести закон збереження енергії

Для якоїсь константи E, що залежить від орбіти, але не змінюється з часом. Якщо ця сила буде тяжінням, то k > 0, але в еліптичної орбіті E< 0. Будем звать частицу планетой. Планета двигается вокруг солнца, которое настолько тяжело, что его колебаниями можно пренебречь.

Досліджуватимемо орбіти з однією енергією E. Тому одиниці маси, довжини і часу можна прийняти будь-якими. Покладемо

M = 1, k = 1, E = -1/2

Це позбавить нас від зайвих букв. Тепер рівняння руху виглядає як

А закон збереження каже

Тепер, слідуючи ідеї Мозера, перейдемо від звичайного часу до нового. Назвемо його s і вимагатимемо, щоб

Такий час йде повільніше в міру віддалення від сонця. Тому швидкість планети на відстані від сонця збільшується. Це компенсує тенденцію планет рухатися в міру віддалення від сонця повільніше у звичайному часі.

Тепер перепишемо закон збереження за допомогою нового часу. Оскільки для похідних за звичайним часом я використовував точку, давайте використовувати штрих для похідних за часом s. Тоді наприклад:

Використовуючи таку похідну, Горансон показує, що збереження енергії можна записати як

А це не що інше, як рівняння чотиривимірної сфери. Доказ буде згодом. Зараз поговоримо про те, що це означає. Для цього нам треба поєднати між собою координату традиційного часу t і просторові координати (x, y, z). Крапка

Рухається у чотиривимірному просторі у міру зміни параметра s. Тобто швидкість цієї точки, а саме

Рухається за чотиривимірною сферою. Це сфера радіусу 1 з центром у точці

Додаткові розрахунки показують інші цікаві факти:

T""" = -(t" - 1)

Це звичайні рівняння гармонійного осцилятора, але з додатковою похідною. Доказ буде пізніше, а поки що подумаємо, що це означає. Словами це можна описати так: 4-мірна швидкість vздійснює прості гармонійні коливаннядовкола точки (1,0,0,0).

Але так як vв той же час залишається на сфері з центром у цій точці, то можна зробити висновок, що v рухається з постійною швидкістю по колу на цій сфері. І це передбачає, що середнє значення просторових компонент 4-мірної швидкості дорівнює 0, а середнє t дорівнює 1.

Перша частина зрозуміла: наша планета в середньому не летить від Сонця, тому її середня швидкість дорівнює нулю. Друга частина складніша: звичайний час t рухається вперед зі середньою швидкістю 1 щодо нового часу s, але швидкість його зміни коливається синусоїдально.

Проінтегрувавши обидві частини

Ми отримаємо

a. Рівняння каже, що позиція rгармонійно осциллює навколо точки a. Оскільки aне змінюється з часом, це величина, що зберігається. Це називається вектором Лапласа-Рунге-Ленца.

Часто люди починають із закону зворотних квадратів, показують, що кутовий моменті вектор Лапласа-Рунге-Ленца зберігаються, і використовують ці величини, що зберігаються, і теорему Нетер, щоб показати наявність 6-мірної групи симетрій. Для рішень з негативною енергією це перетворюється на групу поворотів у 4 вимірах, SO(4). Попрацювавши ще трохи, можна побачити, як завдання Кеплера пов'язане з гармонійним осцилятором у 4 вимірах. Це робиться через репараметризацію часу.

Мені більше сподобався підхід Гораснона, бо він починається з репараметризації часу. Це дозволяє ефективно показати, що еліптична орбіта планети – це проекція кругової орбіти у чотиривимірному просторі на тривимірне. Таким чином стає очевидною 4-мірна обертальна симетрія.

Горансон переносить цей підхід на закон зворотних квадратів n-мірному просторі. Виходить, що еліптичні орбіти у n вимірах – це проекції кругових орбіт з n+1 вимірів.

Він також застосовує цей підхід для орбіт з позитивною енергією, які є гіперболами, і для орбіт з нульовою енергією (параболи). У гіпербол виходить симетрія груп Лоренца, а парабол – симетрія груп Евкліда. Це відомий факт, проте примітно, як він виводиться з допомогою нового підходу.

Математичні деталі

Через велику кількість рівнянь я поставлю навколо важливих рівнянь рамки. Основні рівняння – збереження енергії, сила та зміна змінних, які дають:

Починаємо із збереження енергії:

Потім використовуємо

Щоб отримати

Трохи алгебри – і отримуємо

Це показує, що 4-мірна швидкість

Залишається на сфері одиничного радіусу з центром (1,0,0,0).

Наступний крок – взяти рівняння руху

І переписати його, використовуючи штрихи (похідні з s), а не точки (похідні з t). Починаємо з

І диференціюємо, щоб отримати

Тепер використовуємо інше рівняння для

І отримуємо

Тепер добре було б отримати формулу і для r"". Спочатку порахуємо

А потім продиференціюємо

Підключимо формулу для r", дещо скоротиться, і ми отримаємо

Згадаймо, що закон збереження каже

А ми знаємо, що t" = r.

Отримуємо

Оскільки t" = r, то виходить

Як нам і потрібне.

Тепер отримаємо подібну формулу для r""". Почнемо з

І продіффіренціруем

Підключимо формули для r"" та r""Дещо скорочується, і залишається

Проінтегруємо обидві частини та отримуємо

Для якогось постійного вектора a. Це означає що rгармонійно осцилює щодо a. Цікаво, що і вектор rта його норма rосцилюють гармонійно.

Квантова версія планетарної орбіти – атом водню. Все, що ми порахували, можна використати й у квантовій версії. Подробиці див. у Greg Egan,

Опишу математичною мовою.

Розглянемо звичайний тривимірний простір, де ми живемо. Ми чудово розуміємо, що таке точка, пряма та площина у цьому просторі. Перетин двох площин дає нам пряму, перетин двох прямих - точку. Кожну точку цього простору можна описати трьома координатами: (x, y, z). Перша координата зазвичай позначає довжину, друга - ширину, третя - висотуданої точки щодо точки початку координат. Все це легко можна проілюструвати та уявити.

Однак чотиривимірний простір не такий вже й простий. Будь-яку точку цього простору тепер можна описати чотирма координатами: (x, y, z, t), де додається нова координата t, яку у фізиці часто називають часом. Під цим мається на увазі, що крім довжини, ширини і висоти точки вказується і її положення за часом, тобто де вона знаходиться: у минулому, сьогодення чи майбутньому.

Але відійдемо від фізики. Виявляється, що математично в цьому просторі додається новий аксіоматичний об'єкт, що називається гіперплощиною. Її умовно можна як одне ціле " тривимірне простір " . За аналогією в тривимірному просторі, перетин двох гіперплощин дає нам площину. Різні комбінації цієї штуки із чотиривимірними фігурами дають нам несподівані результати. Наприклад, у тривимірному просторі перетин площини з кулею дає нам коло. За цією аналогією у чотиривимірному просторі перетин чотиривимірної кулі з гіперплощиною дає нам тривимірну кулю.Стає очевидно, що практично неможливо подумки уявити і намалювати чотиривимірний простір: біологічно наші органи почуттів пристосовані лише до тривимірному випадкута нижче. Тому чотиривимірний простір чітко можна описати лише математичною мовою, переважно з допомогою дій з координатами точок.

Проте менш точно його абияк можна описати й іншою мовою. Розглянемо концепцію паралельних світів: крім нашого світу "існують" та інші світи, в якому деякі події йшли інакше Позначимо наш світ через букву А, а інший світ - через букву Б. З погляду чотиривимірного простору можна сказати, що світ А і світ Б - різні " тривимірні простори", які виявляються такими, що не перетинаються. Це і є паралельні гіперплощини. І їх дуже багато. Якщо трапляється так, що якщо у визначений момент часу у світі А "дідусь помер", а у світі Б "дідусь все ще живий", то світи А і Б перетинаються по деякій чотиривимірній фігурі, в якій всі події йшли однаково до деякого моменту часу , А потім фігура як би "розділилася" на тривимірні частини, що не перетинаються, в кожній з якої описується стан дідуся, живий він чи ні. Це можна було б описати у двовимірному форматі: була одна пряма, яка потім розділилася на дві лінії, що не перетинаються.