Пракікум "вирішення задач з комбінаторики". Методи вирішення комбінаторних завдань

Комбінаторика - це розділ математики, у якому вивчаються питання, скільки різних комбінацій, підпорядкованих тим чи іншим умовам, можна скласти із заданих об'єктів. Основи комбінаторики дуже важливі оцінки ймовірностей випадкових подій, т.к. саме вони дозволяють підрахувати принципово можливу кількість різних варіантів розвитку подій.

Основна формула комбінаторики

Нехай є k груп елементів, причому i група складається з n i елементів. Виберемо по одному елементу з кожної групи. Тоді загальна кількість N способів, якими можна зробити такий вибір, визначається співвідношенням N = n 1 * n 2 * n 3 * ... * n k .

приклад 1.Пояснимо це правило на простому прикладі. Нехай є дві групи елементів, причому перша група складається з n 1 елементів, а друга - n 2 елементів. Скільки різних пар елементів можна скласти із цих двох груп, таким чином, щоб у парі було по одному елементу від кожної групи? Допустимо, ми взяли перший елемент із першої групи і, не змінюючи його, перебрали всі можливі пари, змінюючи лише елементи з другої групи. Таких пар цього елемента можна скласти n 2 . Потім ми беремо другий елемент з першої групи і складаємо для нього всі можливі пари. Таких пар теж буде n2. Так як у першій групі всього n 1 елемент, всього можливих варіантів буде n 1 * n 2 .

приклад 2.Скільки трицифрових парних чисел можна скласти із цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватися?
Рішення: n 1 =6 (т.к. як перша цифра можна взяти будь-яку цифру з 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. як другу цифру можна взяти будь-яку цифру з 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. як третя цифра можна взяти будь-яку цифру з 0, 2, 4, 6).
Отже, N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

У разі, коли всі групи складаються з однакового числа елементів, тобто. n 1 =n 2 =...n k =n вважатимуться, кожен вибір виробляється з однієї й тієї групи, причому елемент після вибору знову повертається у групу. Тоді число всіх способів вибору дорівнює n k. Такий спосіб вибору комбінаторики носить назву вибірки із поверненням.

Приклад 3.Скільки всіх чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Рішення.До кожного розряду чотиризначного числа є п'ять можливостей, отже N=5*5*5*5=5 4 =625.

Розглянемо безліч, що з n елементів. Це безліч у комбінаториці називається генеральною сукупністю.

Число розміщень з n елементів m

Визначення 1.Розміщенням з nелементів по mу комбінаториці називається будь-який впорядкований набірз mрізних елементів, вибраних з генеральної сукупності nелементів.

Приклад 4.Різними розміщеннями з трьох елементів (1, 2, 3) по два будуть набори (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2) ). Розміщення можуть відрізнятися друг від друга як елементами, і їх порядком.

Число розміщень у комбінаториці позначається A n m і обчислюється за такою формулою:

Зауваження: n!=1*2*3*...*n (читається: "ен факторіал"), крім того вважають, що 0!=1.

Приклад 5. Скільки існує двозначних чисел, у яких цифра десятків та цифра одиниць різні та непарні?
Рішення:т.к. непарних цифр п'ять, саме 1, 3, 5, 7, 9, це завдання зводиться до вибору і розміщення дві різні позиції двох із п'яти різних цифр, тобто. вказаних чисел буде:

Визначення 2. Поєднаннямз nелементів по mу комбінаториці називається будь-який невпорядкований набірз mрізних елементів, вибраних з генеральної сукупності nелементів.

Приклад 6. Для множини (1, 2, 3) поєднаннями є (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Число поєднань з n елементів m

Число поєднань позначається C n m і обчислюється за такою формулою:

Приклад 7.Скільки способами читач може вибрати дві книжки із шести наявних?

Рішення:Число методів дорівнює числу поєднань із шести книжок по дві, тобто. одно:

Перестановки з n елементів

Визначення 3. Перестановкоюз nелементів називається будь-який впорядкований набірцих елементів.

Приклад 7а.Різними перестановками множини, що складається з трьох елементів (1, 2, 3) є: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число різних перестановок з елементів n позначається P n і обчислюється за формулою P n =n!.

Приклад 8.Скільки способами сім книг різних авторів можна розставити на полиці в один ряд?

Рішення:це завдання про кількість перестановок семи різних книг. Є P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способів здійснити розміщення книг.

Обговорення.Ми, що можливих комбінацій можна порахувати за різними правилами (перестановки, поєднання, розміщення) причому результат вийде різний, т.к. Принцип підрахунку і самі формули відрізняються. Уважно подивившись визначення, можна побачити, що результат залежить від кількох чинників одночасно.

По-перше, від того, з якої кількості елементів ми можемо комбінувати їх набори (як велика генеральна сукупність елементів).

По-друге, результат залежить від того, який розмір набори елементів нам потрібні.

І останнє, важливо знати, чи є нам істотним порядок елементів у наборі. Пояснимо останній фактор на наступному прикладі.

Приклад 9.На батьківських зборах присутні 20 осіб. Скільки існує різних варіантів складу батьківського комітету, якщо до нього має увійти 5 осіб?
Рішення:У цьому прикладі нас не цікавить порядок прізвищ у списку Комітету. Якщо в результаті в його складі виявляться одні й ті самі люди, то за змістом для нас це один і той самий варіант. Тому ми можемо скористатися формулою для підрахунку числа поєднаньз 20 елементів 5.

Інакше будуть справи, якщо кожен член комітету спочатку відповідає за певний напрямок роботи. Тоді при тому самому списковому складі комітету, всередині нього можливо 5! варіантів перестановок, Що мають значення. Кількість різних (і за складом, і за сферою відповідальності) варіантів визначається в цьому випадку числом розміщеньз 20 елементів 5.

Завдання для самоперевірки
1. Скільки трицифрових парних чисел можна становити із цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватися?

2. Скільки існує п'ятизначних чисел, які однаково читаються зліва направо та праворуч наліво?

3. У класі десять предметів та п'ять уроків на день. Скільки способами можна скласти розклад на один день?

4. Скільки можна вибрати 4 делегати на конференцію, якщо в групі 20 осіб?

5. Скільки способами можна розкласти вісім різних листів по восьми різних конвертах, якщо в кожний конверт кладеться лише один лист?

6. З трьох математиків та десяти економістів треба скласти комісію, що складається з двох математиків та шести економістів. Скільки способами це можна зробити?

Завдання 1.Вісім студентів обмінялися рукостисканнями. Скільки було рукостискань?

Рішення.У рукостисканні бере участь «підмножина», що складається з двох студентів (m=2), тоді як усе безліч студентів становить 8 осіб (n=8). Оскільки в процесі рукостискання порядок не важливий, вибираємо формулу для числа поєднань:

Завдання.Скількими способами можна скласти триколірний смугастий прапор із п'яти різних за кольором відрізків матерії?

Рішення. Порядок важливий, оскільки перестановка матерії всередині триколірного флга позначає різні країни. Тому вибираємо формулу числа розміщень без повторень, де безліч відрізків матерії n = 5, а підмножина кольорів m=3:

Завдання 2.Скільки словників треба видати, щоб можна було виконувати переклади з будь-якої з шести мов будь-якою з них?

Рішення. Багато включає 6 мов n=6. Оскільки переклад є відношення між двома мовами, то m=2, причому порядок важливий, тому що, наприклад, словники російсько-англійська та англо-російська мають різне застосування. Тому вибираємо розміщення без повторень:

Завдання 3.Скільки є варіантів складання розкладу на понеділок, якщо у студентів 9, а в понеділок 4 пари занять, і предмети не повторюються?

Рішення. а) Для студентів порядок не важливий, тому вибираємо формулу числа поєднань:

б) Для викладачів порядок важливий, тому вибираємо формулу розміщень без повторень:

Завдання 4.Скільки способами можна розставити на книжковій полиці дев'ять книг, серед яких є тритомник О.С. Пушкіна?

Рішення.

Так як три томи, що входять до тритомника, повинні стояти поруч, причому за зростанням номера славі праворуч, то розглядаємо їх як один елемент даної множини, в якому є ще 6 елементів. Тому вибираємо перестановки без повторень у безлічі, що містить сім елементів:

Р7 = 7! = 5040

Завдання 5.Скільки способами можна призначити у групі з 30 осіб трьох чергових?

Рішення.

а) Якщо їхня роль у процесі чергування однакова, то порядок не важливий, тому вибираємо поєднання без повторень:

З 330 = 30! /3!27! = 4060

б) Якщо порядок важливий, тобто. під час чергування їх функціональні обов'язки є різними, то за формулою розміщення без повторень маємо:

А 330 = 30! / 27! = 24360

Завдання 6.Скільки є шестизначних телефонних номерів, у яких: а) можливі будь-які цифри; б) усі цифри різні?

Рішення.

а) 1. Так як у шестизначному наборі телефонного номера можливі будь-які цифри, то на кожному з шести місць може зустрітися будь-яка з 10-ти цифр від 0 до 9. Необхідно з усіх можливих десяти цифр вибрати лише ті шість, які будуть використані для шестизначних телефонних номерів. Оскільки в записі телефонних номерів порядок розташування цифр важливий, за формулою розміщень із повтореннями маємо:

А 106 = 106 = 1000000

2. Як відомо, не буває шестизначних номерів, що починаються з нуля, тому треба підрахувати їх кількість та відняти його від загальної кількості комбінацій. Число номерів, перша цифра яких 0, знайдемо за формулою розміщень із повтореннями, «зафіксувавши» нуль тобто. на кожному з п'яти інших можливих місць може зустрітися будь-яка з десяти цифр від
0 до 9. Тоді кількість таких комбінацій:

А 105 = 105 = 100000

3. Загальна кількість шестизначних телефонних номерів, у яких можуть бути будь-які, у тому числі й повторювані, цифри, так само різниці:

А 10 6 - А 10 5 = 10 6 - 10 5 = 1000000 - 100000 = 900000

б) 1. Нехай тепер у шестизначному наборі всі різні цифри. Необхідно з усіх можливих десяти цифр вибрати ті шість, які використовуються для шестизначних телефонних номерів, причому жодна цифра не повторюється. Тоді за формулою розміщень без повторень маємо:

А 106 = 10! / (10 - 6)! = 5х6х7х8х9х10 = 151200

2. Оскільки шестизначних номерів, що починаються з нуля, не буває, треба порахувати їхню кількість і відняти його від загальної кількості комбінацій. Число номерів, перша цифра яких 0, знайдемо за формулою розміщень без повторень, «зафіксувавши нуль», тобто. на кожному з п'яти можливих місць, що залишилися, можуть зустрітися цифри від 0 до 9. Тоді число таких комбінацій знайдемо за формулою розміщень без повторень. Маємо:

А 105 = 10! /(10-5)! = 6х7х8х9х10 = 30240

3. Загальна кількість шестизначних телефонних номерів, у яких не може бути цифр, що повторюються, дорівнює різниці:

А 10 6 - А 10 5 = 10 6 - 10 5 = 151200 - 30240 = 120960

Завдання 7.Скільки способами можна виділити делегацію у складі трьох осіб, вибираючи їх серед чотирьох подружніх пар, якщо:

а) до складу делегації входять будь-які троє з цих восьми осіб;

б) делегація повинна складатися із двох жінок та одного чоловіка;

до делегації не входять члени однієї сім'ї?

Рішення.

а) Порядок не важливий:

З 83 = 8! /3! 5! = 56

б) Виберемо двох жінок з наявних 4-х З 4 2 способами та одного чоловіка з 4-х З 4 1 способами. За правилом твору ( ічоловік, ідві жінки) маємо З 4 2 х З 4 1 = 24.

в) З чотирьох сімей вибираємо 3-х членів делегації чотирма способами (бо С 4 3 = 4! / 3! 1! = 4). Але в кожній сім'ї є два способи вибору члена делегації. За правилом твору З 4 3х2х2х2 = 4х8 = 32.

Завдання 8.У коледжі навчається 2000 студентів. Чи можна стверджувати, що хоча б двоє мають однакові ініціали і імені, і прізвища?

Рішення.

У російському алфавіті 33 літери, їх ъ, ь, ы, й можуть бути використані, тому n = 33-4 = 29. Кожна з 29 букв може бути ініціалом іімені, іпрізвища. За правилом твору 29х29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 различных вариантов, и среди 2000 студентов обязательно будут совпадения.

В останні роки все більше уваги приділяється проблемам навчання. Небувале зростання обсягу інформації вимагає від сучасної людини таких якостей, як ініціативність, винахідливість, підприємливість, здатність швидко та безпомилково приймати рішення. А це неможливо без уміння працювати творчо, самостійно. Якщо у недавньому минулому основним завданням, що стоїть перед учителем, була передача учням певної суми знань, то нині першому плані висувається завдання розвиткуучнів у процесі навчання. Навчання математики має бути орієнтоване не так на власне математичну освіту, у вузькому значенні цього слова, як на освіту за допомогою математики.

Розвиток математичного мислення та творчих здібностей здійснюється під час роздумів учнів над завданнями. Самостійна діяльність учнів у вирішенні завдань займає чільне місце у навчанні математики. Уміння вирішувати завдання – критерій успішності у навчанні. Дуже важливо показати, як звичайну життєву ситуацію можна описати математичною моделлю.

Матеріали розробки можна використовувати як у межах уроку (5 – 7 клас), і на заняттях математичного гуртка чи факультативу.

Метою розробки є підвищення математичної культури учнів, пробудження та розвиток сталого інтересу до математики, розширення та поглиблення знань.

Основні завдання, що вирішуються впровадженням розробки – це знайомство на популярному рівні з комбінаторикою – розділом дискретної математики, який набув сьогодні серйозного значення у зв'язку з розвитком теорії ймовірностей, математичної логіки, інформаційних технологій. Учні повинні отримати уявлення про те, що таке комбінаторне завдання, познайомитися з методами та правилами її вирішення.

На цьому багатому матеріалі підвищується рівень математичного та логічного мислення учнів, розвиваються навички дослідницької діяльності.

Пояснювальна записка

Заняття за програмою «Розвивальне навчання під час уроків математики» проводяться мною систематично у межах навчального часу. Такі уроки я проводжу на початку та наприкінці чверті, щоб активізувати діяльність учнів, пробудити та розвинути інтерес до математики. Окрім цього, одне – два нестандартні завдання намагаюся розглянути на кожному уроці, поряд із програмним матеріалом, розвиваючи тим самим у учнях «смак» до пізнання. Під час підготовки до подібних занять використовую матеріали посібника «Математика: додаткові розділи – 5 клас», а також завдання з УМК та.

План уроку

· Організаційний момент

· Актуалізація знань учнів

· Історичний екскурс (повідомлення учня)

· Теоретичний матеріал

· Розв'язання задач (з елементами самоперевірки)

· Постановка домашнього завдання, повторення теорії

· Самостійна робота (взаємоперевірка)

· Підведення підсумків уроку

(роздатковий матеріал) ДОДАТОК 1

Карт а у р о к

«Вважай нещасним той день або ту годину, коли ти не засвоїв нічого нового і нічого не додав до своєї освіти»,

"Вчитися нелегко, але цікаво". Ян Амос Коменський (),

чеський педагог, письменник

Тема урока ________________________________

Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування заданих елементів за заданими правилами.

Правило суми

(Вибір одного елемента)

А – m способів

В – n способів

АВ – (m+n) способів

Наприклад: 5 яблук, 4 груші.

Вибір яблука чи груші:

5 + 4 = 9 способів

https://pandia.ru/text/78/021/images/image003_105.jpg" width="153" height="177 src=">

Правило твору

(Вибір пари,

кількох елементів)

А – m способів

В – n способів

АВ – (m·n) способів

Наприклад: 2 конверти, 3 листівки.

Вибір конверта з листівкою:

2 · 3 = 6 способів

https://pandia.ru/text/78/021/images/image006_71.jpg" width="143" height="90 src=">

0 " style="margin-left:40.85pt;border-collapse:collapse;border:none">

__________________

__________________________________

№ 5. 1, 2, 3, 4, 5

__________________

__________________________________

№ 6. 0, 1, 2, 3

__________________

__________________________________

__________________

___________________________________

№ 7. 1, 3, 5, 7, 9; менше 400

__________________

__________________________________

№ 8. _______________________________________________________________________________________________________________

______________________________________

№ 9. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

(роздатковий матеріал)

Завдання до уроку "Знайомтеся, комбінаторика!"

1.

2. У одного знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи, 4 чудові плащі і 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма можна скласти?

3.

4.

5.

6. Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри: а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися?

7.

ДОДАТОК 2

9. Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів?

10.

11.

12. Скільки різних чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр 8 і 9?

«Зміна»

Знайдіть закономірність побудови

послідовності 111, 213, 141,

516, 171, 819, 202, 122…

Домашнє завдання

1) У 5 "б" класі 26 учнів. Скільки способами можна вибрати старосту класу та його заступника? старосту, заступника та відповідального за чергування?

2) У магазині купили 9 червоних, 10 зелених та 7 жовтих повітряних куль. Скільки способами можна взяти одну будь-яку кулю? зелена і жовта куля? червоний чи жовтий?

3 кулі різного кольору?

2 кулі різного кольору? (розглянути

всі можливі варіанти)

Актуалізація знань.

Повторення пройденого (вирішення завдань шляхом перебору).

«Рахунок та увага – основи порядку в голові»

· Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5 і 0

(Без повтору)? 1 число (50)

· Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти з цифр 3 та 5

(Повтор допускається)? 4 числа (33, 55, 53, 35)

· Скільки різних тризначних чисел можна скласти з цифр 3 та 5

(Повтор допускається)? 8 чисел (333, 555, 355, 533, 335, 553, 353, 535)

· Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 3, 8, 7

(Без повтору)? 6 чисел (387, 378, 837, 873, 738, 783)

Використовуючи кількість отриманих у кожному завданні чисел, скласти назву теми сьогоднішнього уроку та вписати її до карти уроку: «Знайомтеся, ___________________ !»

1 число - "комбі"

2 числа – «вічі»

3 числа - "рум"

4 числа - «нато»

5 чисел – «тема»

6 чисел – «ка»

7 чисел – «аза»

8 чисел – «рі»

9 чисел – «німо»

10 чисел – «хор»

Відповідь: «комбінаторика»

У математиці існує чимало завдань, у яких потрібно з наявних елементів скласти різні набори, підрахувати кількість різноманітних комбінацій елементів, утворених за певним правилом. Вирішуючи такі завдання, доводиться перебирати різні варіанти, переставляти задані елементи, комбінувати їх. Такі завдання називаються комбінаторними, а розділ математики, що займається розв'язанням цих завдань, називається комбінаторикою.

Історичний екскурс (повідомлення учня)

З комбінаторними завданнями люди мали справу ще в давнину, коли, наприклад, обирали найкраще розташування воїнів під час полювання, вигадували візерунки на одязі чи посуді. Надалі з'явилися ігри, які вимагали вміння планувати, розраховувати свої дії, продумувати можливі комбінації. Пристосування для таких ігор археологи знаходили у стародавніх похованнях, наприклад, у піраміді єгипетського фараона Тутанхамона (ІІ століття до н.е.). А потім з'явилися нарди, шашки, шахи.

Довгі століття комбінаторика розвивалася всередині арифметики, алгебри та геометрії. Так, давньогрецькі вчені приділяли велику увагу і комбінаториці чисел – складання та вивчення магічних квадратів, і геометричній комбінаториці – розрізанню фігур.

Як галузь математики комбінаторика виникла лише XVII столітті. Громадянин Франції Шевальє Де Маре любив винаходити різні ігри, граючи в які отримував дуже цікаві результати. Наприклад, одного разу він вигадав таку гру: кидає 4 кістки, виграє той, у кого на одній є шістка. Але з ним дуже швидко перестали грати, тому що він дуже часто вигравав. Іншим разом Шевальє придумав таку гру: кидає дві кістки кілька разів, виграє, якщо хоча б раз випало дві шістки. Однак незабаром він сам кинув грати, бо став часто програвати. Такий результат справи дуже здивував Шевальє де Маре, і він звернувся до двох найбільших математиків Франції того часу – Блеза Паскаля та П'єра Ферма з питанням, як можна пояснити ці удачі та програші у грі, а також, як правильно робити ставки у таких та в аналогічних. іграх.

Вирішуючи це завдання, Блез Паскаль та П'єр Ферма розробили початок двох гілок математики: комбінаторики та теорії ймовірності. Згодом цими науками займалися багато великих математиків тих часів: , Якоб Бернуллі, Леонард Ейлер та ін.

Використання комбінаторики нині дуже різноманітне. Одне з них – кодування та розшифровка текстів (шифр з'явився ще в середні віки). У біології комбінаторика служить підрахунку клітинних структур ДНК і РНК, у фізиці – для опису властивостей кристалів. Також комбінаторика широко використовується у хімії.

Теоретичний матеріал.

Комбінаторика– це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування заданих елементів за заданими правилами (див. карту уроку).

Звичайне питання у комбінаторних завданнях – це « Скількими способами…?» або

« Скільки варіантів…?»

Комбінаторні завдання можна вирішувати декількома способами: методом перебору, перестановок (з ним ми вже знайомі), використання певних правил комбінаторики (з ними ми познайомимося сьогодні на уроці) та за допомогою побудови так званого «дерева варіантів» (про нього ми поговоримо пізніше).

Отже, почнемо ознайомлюватися з правилами комбінаторики – це правила суми та твору.

Правило суми:

якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а елемент можна вибрати n способами, то вибір «або А, або В» можна зробити (m + n) способами. Наприклад, якщо вам пропонують 5 яблук та 4 груші, то вибрати один плід можна 5 + 4 = 9 способами (див. карту уроку).

а) У вазі 6 яблук, 5 груш та 4 сливи. Скільки варіантів вибору плода?

(15 варіантів)

б) У магазині продаються 3 червоні, 2 білі та 4 жовті троянди. Скільки способами можна купити одну квітку? (9 способів)

Ще раз звертаємо увагу на те, що ми вибираємо лише один із запропонованих елементів.

Правило твору:

якщо деякий елемент А можна вибрати m способами, а елемент можна вибрати n способами, то вибір «А і В» можна зробити (m · n) способами. Наприклад, якщо вам пропонують 2 конверти та 3 листівки, то скласти пару (конверт та листівка) можна 3 · 2 = 6 способами (див. карту уроку).

Усно вирішіть такі завдання:

а) Скільки танцювальних пар можна становити з 8 юнаків та 6 дівчат? (48 пар)

б) У їдальні є у продажу 4 перші страви та 7 других. Скільки різних варіантів обіду із двох страв можна замовити? (28 варіантів)

Звертаємо увагу на те, що ми вибираємо пару елементів із запропонованих множин.

Розв'язання задач

Учні працюють на бланках карти уроку у відповідному розділі, тексти завдань на окремих аркушах кожного учня. Список завдань можна змінювати, додаючи або забираючи деякі питання залежно від рівня підготовки класу. Можна розбити завдання за рівнем складності, деякі залишити для самостійного вирішення. У деяких завданнях корисно підкреслити, що вони раніше вирішувалися методом перебору, а сьогодні – другий спосіб їх вирішення. Здійснити цьому етапі диференційований підхід. Ввести елементи самостійної роботи з самоперевіркою.

1. Скільки способами можна вибрати голосну та приголосну літери в слові «хустку»? (Згідних літер у слові – 4, гласних літер – 2, отже, за правилом множення, варіантів вибору пари – 4 · 2 = 8.)

2. В одного досить знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи,

4 чудові плащі та 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма йому можна з -

ставити? (Вибираємо по одному елементу з трьох множин, тобто складаємо

«Трійку», значить, за правилом множення отримуємо 3 · 4 · 2 = 24 варіанти костюма.)

3. У футбольній команді 11 людей. Необхідно вибрати капітана та його заступника. Скільки можна це зробити? (Всього 11 чоловік, значить, капітана можна вибрати 11-ма способами, залишилося 10 футболістів, з яких можна вибрати заступника капітана. Отже, пару, капітана та його заступника, можна вибрати 11 · 10 = 110 способами.)

4. Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4, 7, якщо допустити повторення цифр? (Повинно вийти двозначне число – всього дві позиції. На першу позицію можна поставити будь-яку із запропонованих цифр – 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням можливості повтору цифри, також 3 варіанти вибору. Значить, пару цифр ми складаємо 3 · 3 = 9 способами, тобто вийде 9 чисел.

Запис рішення:

3 ∙ 3 = 9 чисел.

Такий запис рішення використовується у всіх подібних завданнях під час роботи на бланках картки уроку.)

5. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра не повторюється? (Тризначне число: перша позиція – 5 варіантів цифр, друга позиція, з урахуванням виключення повторів цифр, - 4 варіанти, третя позиція – 3 варіанти. Отримуємо 5 · 4 · 3 = 60 чисел.)

6. Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри:

а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися? (а) Двозначне число, як і будь-яке багато-

гозначне, не може починатися з 0, тому на першу позицію можна поставити

лише 3 з наявних 4-х цифр, 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням по-

Друга, можна поставити будь-яку з цифр - 4 варіанти вибору. Тому виходить

3 · 4 = 12 чисел; б) Перша позиція – 3 варіанти, друга позиція – 3 варіанти, т.к.

повтор виключається. Отримуємо 3 · 3 = 9 чисел.

7. Скільки різних трицифрових чисел, менших за 400, можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, 9, якщо будь-яка цифра може бути використана лише один раз? (Тризначне число< 400, значит, на первую позицию можно поставить лишь 1 или 3 – 2 варианта выбора, на вторую, исключая повтор, – 4 варианта цифр из 5-ти, на третью позицию – 3 варианта. Получается 2 · 4 · 3 = 24 числа.)

8. Шифр для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру? (5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 варіантів.)

9. Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено

6 приладів? (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способів.)

10. У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків і всі уроки різні? (8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 варіантів.)

11. Скільки варіантів семизначних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з 0 і 9? (Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всього 10 цифр, крім умов 0 і 9 на початку номера, з урахуванням можливості повтору, отримуємо 8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 номерів.)

12. Скільки різних чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр

8 та 9? (однозначних чисел – 2, двозначних чисел – 2 · 2 = 4, тризначних чисел –

2 · 2 · 2 = 8, чотиризначних чисел – 16, п'ятизначних чисел – 32, шестизначних

чисел - 64. А всього - 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126 чисел.

«Зміна»

Знайдіть закономірність побудови послідовності 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122… (У даній послідовності треба інакше розставити коми, і отримаємо 11, 12, 13, 14, 15 ...)

Постановка домашнього завдання (Див. додаток 2), повторення теоретичного матеріалу (правила додавання та множення, умови вибору елементів).

Самостійна робота (З наступною взаємоперевіркою в парах)

· Вибір одного будь-якого елемента із запропонованих множин виконується за правилом ______________________. Вибір пари та більше елементів із множин відбувається за правилом ______________________.

· У вазі стоять 5 червоних, 3 білих і 3 жовті тюльпани. Одну квітку з вази можна вибрати _______ способами, три квітки різного кольору ________ способами.

· Скільки різних трицифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 3 та 5, якщо їх повтор допускається? ____________________________________________________________

· У четвер у першому класі має бути 4 уроки: лист, читання, математика, фізкультура. Скільки різних варіантів розкладу на цей день можна запропонувати?

_________________________________________________________________________________

Відповіді: додавання, множення, 11, 45, 2 · 2 · 2 = 8, 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Взаємоперевірка, виставлення оцінок, обговорення результатів.

Підбиття підсумків уроку

На цьому етапі уроку, окрім традиційної розмови про те, які завдання ставилися, наскільки успішно з ними впоралися, слід повернутися до епіграфу уроку (див. бланк карти уроку) та поміркувати про слова.

Крім того, учням пропонується відповісти на 3 бліц - питання:

· На сьогоднішньому уроці мені було … (легко, зазвичай, важко)

· Новий матеріал я … (засвоїв і можу застосувати, засвоїв і важко застосувати, не засвоїв)

· Моя самооцінка за урок …

Відповіді на наведені питання можна не підписувати, тому що їхня основна функція допомогти вчителю проаналізувати урок та його результати.

П о л е с л о в і

На наступному уроці передбачається відпрацювання пройденого матеріалу на етапі усної роботи, введення поняття «дерево можливих варіантів» як ще одного способу розв'язання комбінаторних завдань, систематизація вивчених методів розв'язання задач, практикум у вирішенні задач різними способами, розв'язання задач підвищеного рівня, контроль знань.

Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування елементів деякої множини відповідно до заданих правил. Комбінаторика вивчає комбінації та перестановки предметів, розташування елементів, що має задані властивості. Звичайне питання у комбінаторних завданнях: скількома способами.

До комбінаторних завдань відносяться також завдання побудови магічних квадратів, задачі розшифровки та кодування.

Народження комбінаторики як розділу математики пов'язане з працями великих французьких математиків 17 століття Блеза Паскаля (1623-1662) та П'єра Ферма (1601-1665) з теорії азартних ігор. Ці праці містили принципи визначення кількості комбінацій елементів кінцевої множини. З 50-х років 20 століття інтерес до комбінаторики відроджується у зв'язку з бурхливим розвитком кібернетики.

Основні правила комбінаторики – це правило сумиі правило твори.

• Правило суми

Якщо певний елемент А можна вибрати nспособами, а елемент можна вибрати mметодами, то вибір «або А, або В» можна зробити n+ mметодами.

Наприклад, Якщо на тарілці лежать 5 яблук та 6 груш, то один плід можна вибрати 5 + 6 = 11 способами.

• Правило твору

Якщо елемент А можна вибрати nспособами, а елемент можна вибрати mспособами, то пару А та В можна вибрати n mметодами.

Наприклад, якщо є 2 різні конверти та 3 різні марки, то вибрати конверт і марку можна 6 способами (2 3 = 6).

Правило твору вірно й у тому випадку, коли розглядають елементи кількох множин.

Наприклад, якщо є 2 різні конверти, 3 різні марки та 4 різні листівки, то вибрати конверт, марку та листівку можна 24 способами (2 3 4 = 24).

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно називається n – факторіалом та позначається символом n!

n! = 1 2 3 4 … n.

Наприклад, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Наприклад, якщо є 3 кульки – червона, синя та зелена, то викласти їх у ряд можна 6 способами (3 2 1 = 3! = 6).

Іноді комбінаторне завдання вирішується за допомогою побудови дерева можливих варіантів.

Наприклад, вирішимо попередню задачу про три кулі побудовою дерева.

Практикум щодо вирішення задач з комбінаторики.

ЗАДАЧІ та рішення

1. У вазі 6 яблук, 5 груш та 4 сливи. Скільки варіантів вибору плода?

Відповідь: 15 варіантів.

2. Скільки існує варіантів купівлі однієї троянди, якщо продають 3 Червоні, 2 Червоні та 4 жовті троянди?

Відповідь: 9 варіантів.

3. Із міста А до міста В ведуть п'ять доріг, а з міста В до міста С ведуть три дороги. Скільки шляхів, що проходять В, ведуть з А в С?

Відповідь: 15 шляхів.

4. Скількими способами можна скласти пару з однієї голосної та однієї згодної букв слова «хустка»?

голосні: а, про - 2 шт.
приголосні: п, л, т, до - 4 шт.

Відповідь: 8 способами.

5. Скільки танцювальних пар можна становити з 8 юнаків та 6 дівчат?

Відповідь: 48 пар.

6. У їдальні є 4 перші страви та 7 других. Скільки різних варіантів обіду із двох страв можна замовити?

Відповідь: 28 варіантів.

7. Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4 і 7, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 3 способи
2 цифри – 3 способи
3 цифра – 3 способи

Відповідь: 9 різних двоцифрових чисел.

8. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 3 і 5, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 2 способи
2 цифри – 2 способи
3 цифри – 2 способи

Відповідь: 8 різних чисел.

9. Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри можуть повторюватися?

1 цифра – 3 способи
2 цифри – 4 способи

Відповідь: 12 різних чисел.

10. Скільки існує трицифрових чисел, у яких усі цифри парні?

парні цифри – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способи
2 цифри – 5 способів
3 цифра – 5 способів

Відповідь: існує 100 чисел.

11. Скільки є парних трицифрових чисел?

1 цифра - 9 способів (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифри – 10 способів (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифри – 5 способів (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Відповідь: існує 450 чисел.

12. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з трьох різних цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способи
2 цифри – 2 способи
3 цифра – 1 спосіб

Відповідь: 6 різних чисел.

13. Скільки способів можна позначити вершини трикутника, використовуючи літери А, В, С, D?

1 вершина – 4 способи
2 вершина – 3 способи
3 вершина – 2 способи

Відповідь: 24 способи.

14. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, за умови, що жодна цифра не повторюється?

1 цифра – 5 способів
2 цифри – 4 способи
3 цифра – 3 способи

Відповідь: 60 різних чисел.

15. Скільки різних трицифрових чисел, менших за 400, можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, 9, якщо будь-яка з цих цифр може бути використана лише один раз?

1 цифра – 2 способи
2 цифри – 4 способи
3 цифра – 3 способи

Відповідь: 24 різних числа.

16. Скільки способів можна скласти прапор, що складається з трьох горизонтальних смуг різних кольорів, якщо є матеріал шести кольорів?

1 смуга – 6 способів
2 смуга - 5 способів
3 смуга – 4 способи

Відповідь: 120 способів.

17. З класу вибирають 8 осіб, які мають найкращі результати з бігу. Скільки способами можна скласти з них команду з трьох осіб для участі в естафеті?

1 людина – 8 способів
2 людей – 7 способів
3 людей – 6 способів

Відповідь: 336 способів.

18. У четвер у першому класі має бути чотири уроки: лист, читання, математика та фізкультура. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на цей день?

1 урок – 4 способи
2 урок – 3 способи
3 урок – 2 способи
4 урок – 1 спосіб

4 3 2 1 = 24

Відповідь: 24 варіанти.

19. У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків та всі уроки різні?

1 урок – 8 варіантів
2 урок – 7 варіантів
3 урок – 6 варіантів
4 урок – 5 варіантів
5 урок – 4 варіанти

8 7 6 5 4 = 6720

Відповідь: 6720 варіантів.

20. Шифр ​​для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру?

1 цифра – 5 способів
2 цифри – 4 способи
3 цифра – 3 способи
4 цифри – 2 способи
5 цифра – 1 спосіб

5 4 3 2 1 = 120

Відповідь: 120 варіантів.

21. Скільки способів можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів?

6 5 4 3 2 1 = 720

Відповідь: 720 способів.

22. Скільки варіантів семизначних телефонних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з нуля та 9?

1 цифра – 8 способів
2 цифри – 10 способів
3 цифра – 10 способів
4 цифра – 10 способів
5 цифра – 10 способів
6 цифра – 10 способів
7 цифра – 10 способів

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Відповідь: 8.000.000 варіантів.

23. Телефонна станція обслуговує абонентів, у яких номери телефонів складаються з 7 цифр та починаються з 394. На скільки абонентів розрахована ця станція?

№ телефону 394

10 10 10 10 = 10.000

Відповідь: 10000 абонентів.

24. Є 6 пар рукавичок різних розмірів. Скільки способами можна вибрати з них одну рукавичку на ліву руку і одну рукавичку на праву руку так, щоб ці рукавички були різними розмірами?

Ліві рукавички – 6 способів
Праві рукавички - 5 способів (6 рукавички того ж розміру, що й ліва)

Відповідь: 30 способів.

25 . З цифр 1, 2, 3, 4, 5 становлять п'ятизначні числа, де всі цифри різні. Скільки таких парних чисел?

5 цифра – 2 способи (дві парні цифри)
4 цифри – 4 способи
3 цифра – 3 способи
2 цифри – 2 способи
1 цифра – 1 спосіб

2 4 3 2 1 = 48

Відповідь: 48 парних чисел.

26. Скільки існує чотиризначних чисел, що складаються з непарних цифр і поділяються на 5?

Непарні цифр - 1, 3, 5, 7, 9.
У тому числі діляться на 5 – 5.

4 цифра – 1 спосіб (цифра 5)
3 цифри – 4 способи
2 цифри – 3 способи
1 цифра – 2 способи

1 4 3 2 = 24

Відповідь: 24 числа.

27. Скільки існує п'ятицифрових чисел, у яких третя цифра – 7, остання цифра – парна?

1 цифра – 9 способів (усі, крім 0)
2 цифри – 10 способів
3 цифри – 1 спосіб (цифра 7)
4 цифра – 10 способів
5 цифра – 5 способів (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Відповідь: 4500 чисел.

28. Скільки існує шестизначних чисел, у яких друга цифра – 2, четверта – 4, шоста – 6, а решта – непарні?

1 цифра - 5 варіантів (з 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифри – 1 варіант (цифра 2)
3 цифри – 5 варіантів
4 цифри – 1 варіант (цифра 4)
5 цифра – 5 варіантів
6 цифра – 1 варіант (цифра 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Відповідь: 125 чисел.

29. Скільки різних чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр 8 і 9?

Однозначних – 2
Двозначні – 2 2 = 4
Тризначні – 2 2 2 = 8
Чотиризначні – 2 2 2 2 =16
П'ятизначні – 2 2 2 2 2 = 32
Шестизначні – 2 2 2 2 2 2 = 64

Усього: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Відповідь: 126 чисел.

30. У футбольній команді 11 людей. Потрібно вибрати капітана та його заступника. Скільки способами це можна зробити?

Капітан – 11 способів
Заступник – 10 способів

Відповідь: 110 способів.

31. У класі навчаються 30 осіб. Скільки способами з них можна вибрати старосту та відповідального за проїзні квитки?

Староста – 30 способів
Відповідь. за квитки – 29 способів

Відповідь: 870 способів.

32. У поході беруть участь 12 хлопчиків, 10 дівчаток та 2 вчителі. Скільки варіантів груп чергових із трьох осіб (1 хлопчик, 1 дівчинка, 1 вчитель) можна скласти?

12 10 2 = 240

Відповідь: 240 способів.

33. Скільки комбінацій із чотирьох літер російського алфавіту (в алфавіті всього 33 літери) можна скласти за умови, що дві сусідні літери будуть різними?

При вирішенні багатьох практичних завдань доводиться використовувати комбінації елементів, вибирати з цієї сукупності ті, які мають певні властивості, та розміщувати їх у певному порядку. Такі завдання називаються комбінаторними. Розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування елементів відповідно до цих умов, називається комбінаторикою. Термін «комбінаторика» походить від латинського слова "combina", що у перекладі російською мовою означає – «поєднувати», «з'єднувати».

Вибрані групи елементів називають з'єднаннями. Якщо всі елементи з'єднання різні, то отримуємо з'єднання без повторень, які розглянемо нижче.

Більшість комбінаторних завдань вирішується за допомогою двох основних правил. правила суми та правила твору.

Завдання 1.

У магазині «Все для чаю» є 6 різних чашок та 4 різних блюдця. Скільки варіантів чашки та блюдця можна купити?

Рішення.

Чашку ми можемо вибрати 6-ма способами, а блюдце 4-ма способами. Оскільки нам треба купити пару чашку і блюдце, це можна зробити 6 · 4 = 24 способами (за правилом твору).

Відповідь: 24.

Для успішного вирішення комбінаторних завдань треба ще й правильно вибрати формулу, за якою шукати кількість потрібних з'єднань. У цьому вся допоможе наступна схема.

Розглянемо розв'язання кількох завдань різні види з'єднань без повторень.

Завдання 2.

Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, якщо цифри в числі повторюватися не можуть.

Рішення.

Для вибору формули з'ясовуємо, що з чисел, які ми складатимемо, порядок враховується і всі елементи одночасно вибираються. Отже, це з'єднання – розміщення із 7 елементів по 3. Скористаємося формулою для числа розміщень: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Відповідь: 210.

Завдання 3.

Скільки існує семизначні телефонні номери, в яких всі цифри різні, а номер не може починатися з нуля?

Рішення.

На перший погляд це завдання таке саме, як і попереднє, але складність у тому, що треба не враховувати ті сполуки, які починаються з нуля. Значить необхідно з існуючих 10 цифр скласти всі семизначні номери телефонів, а потім від отриманого числа відібрати кількість номерів, що починаються з нуля. Формула матиме вигляд:

A 10 7 - A 9 6 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 - 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Відповідь: 544 320.

Завдання 4.

Скільки способами можна розставити на полиці 12 книг, з яких 5 книг – це збірки віршів, так щоб збірки стояли поруч?

Рішення.

Спочатку приймемо 5 збірок умовно за одну книгу, бо вони мають стояти поряд. Так як у поєднанні суттєвим є порядок, і всі елементи використовуються, це перестановки з 8 елементів (7 книг + умовна 1 книга). Їхня кількість Р 8 . Далі переставлятимемо між собою лише збірки віршів. Це можна зробити Р 5 способами. Оскільки нам потрібно розставити і збірки, та інші книги, то скористаємося правилом твору. Отже, Р8 · Р5 = 8! · 5!. Число способів буде великим, тому відповідь можна залишити у вигляді добутку факторіалів.

Відповідь: 8! · 5!

Завдання 5.

У класі 16 хлопчиків та 12 дівчаток. Для прибирання території біля школи потрібно 4 хлопчики та 3 дівчинки. Скільки можна їх вибрати з усіх учнів класу?

Рішення.

Спочатку окремо виберемо 4 хлопчики з 16 та 3 дівчинки з 12. Оскільки порядок розміщення не враховується, то відповідні з'єднання – поєднання без повторень. Враховуючи необхідність одночасного вибору і хлопчиків і дівчаток, використовуємо правило твору. В результаті число способів буде обчислюватися таким чином:

З 16 4 · З 12 3 = (16! / (4! · 12!)) · (12! / (3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) · ((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Відповідь: 400 400.

Таким чином, успішне вирішення комбінаторної задачі залежить від правильного аналізу її умови, визначення типу сполук, які будуть складатися, та вибору відповідної формули для обчислення їх кількості.

Залишились питання? Не знаєте як вирішувати комбінаторні завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.