Інтерполяція. Вступ. Загальна постановка задачі

При вирішенні різних практичних завдань результати досліджень оформляються у вигляді таблиць, що відображають залежність однієї або кількох вимірюваних величин від визначального параметра (аргументу). Такі таблиці представлені зазвичай у вигляді двох або більше рядків (стовпців) і використовуються для формування математичних моделей.

Таблично задані в математичні моделіфункції зазвичай записуються в таблиці виду:

Y1 (X)	Y(Х0)	Y(Х1)		Y(Хn)
Ym (X)	Y(Х0)	Y(Х1)		Y(Хn)

Обмеженість інформації, представленої такими таблицями, часом вимагає отримати значення функцій Y j (X) (j=1,2,…,m) в точкахХ , які збігаються з вузловими точками таблиціХ i (i=0,1,2,…). , N). У таких випадках необхідно визначити деякий аналітичний вираз φ j (Х) для обчислення наближених значень досліджуваної функції Y j (X) в довільно точках, що задаються. Функція φ j (Х) використовується для визначення наближених значень функції Y j (X) називається апроксимуючою функцією (від латинського approximo - наближаюся). Близькість апроксимуючої функції j (Х) до апроксимованої функції Y j (X) забезпечується вибором відповідного алгоритму апроксимації.

всі подальші розглядиі висновки ми робитимемо для таблиць, що містять вихідні дані однієї досліджуваної функції (тобто для таблиць з m=1).

1. Методи інтерполяції

1.1 Постановка задачі інтерполяції

Найчастіше визначення функції φ(Х) використовується постановка, звана постановкою завдання інтерполяції.

У цій класичній постановці завдання інтерполяції потрібно визначити наближену аналітичну функцію φ(Х), значення якої у вузлових точках збігаються зі значеннями Y(Х i ) вихідної таблиці, тобто. умов

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n )

Побудована таким чином апроксимуюча функція φ(Х) дозволяє отримати досить близьке наближення до функції, що інтерполюєтьсяY(X) в межах інтервалу значень аргументу [Х 0 ; Х n], що визначається таблицею. При заданні значень аргументу Х , не належатьцьому інтервалу, завдання інтерполяції перетворюється на задачу екстраполяції. У цих випадках точність

значень, одержуваних при обчисленні значень функції φ(Х), залежить від відстані значення аргументу Х від Х 0 якщо Х<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Х n.

При математичне моделюванняінтерполююча функція може бути використана для обчислення наближених значень досліджуваної функції у проміжних точках підінтервалів [Х i ; Х i +1]. Така процедура називається ущільненням таблиці.

Алгоритм інтерполяції визначається способом обчислення значень функції (Х). Найбільш простим і очевидним варіантом реалізації інтерполюючої функції є заміна досліджуваної функції Y(Х) на інтервалі [Х i; Х i+1 ] відрізком прямої, що з'єднує точки Y i , Y i +1 . Цей метод називається методом лінійної інтерполяції.

1.2 Лінійна інтерполяція

При лінійній інтерполяції значення функції в точці Х , що знаходиться між вузлами Х i і Х i + 1 визначається за формулою прямої, що з'єднує дві сусідні точки таблиці

Y(X) = Y(Xi)+	Y(Xi + 1 )− Y(Xi )	(X - Xi) (i = 0,1,2, ..., n),
	X i+ 1− X i

На рис. 1 наведено приклад таблиці, отриманої в результаті вимірювання деякої величини Y(X) . Рядки вихідної таблиці виділені заливкою. Праворуч від таблиці побудовано точкову діаграму, що відповідає цій таблиці. Ущільнення таблиці виконано завдяки обчисленню за формулою

(3) значень апроксимованої функції в точках Х , відповідних серединам підінтервалів (i = 0, 1, 2, ..., n).

Рис.1. Ущільнена таблиця функції Y(X) та відповідна їй діаграма

Під час розгляду графіка на рис. 1 видно, що точки, отримані в результаті ущільнення таблиці методом лінійної інтерполяції, лежать на відрізках прямих, що з'єднують точки вихідної таблиці. Точність лінійної

інтерполяції, істотно залежить від характеру інтерполюваної функції і від відстані між вузлами таблиці X i, X i +1 .

Очевидно, що якщо функція плавна, то навіть при порівняно великій відстані між вузлами графік, побудований шляхом з'єднання точок відрізками прямих, дозволяє досить точно оцінити характер функції Y(Х). Якщо функція змінюється досить швидко, а відстані між вузлами великі, то лінійна інтерполююча функція не дозволяє отримати досить точне наближення до реальної функції.

Лінійна інтерполююча функція може бути використана для загального попереднього аналізу та оцінки коректності результатів інтерполяції, одержуваних потім іншими точними методами. Особливо актуальною така оцінка стає у випадках, коли обчислення виконуються вручну.

1.3 Інтерполяція канонічним поліномом

Метод інтерполяції функції канонічним поліномом ґрунтується на побудові інтерполюючої функції як полінома у вигляді [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

Коефіцієнти з i полінома (4) є вільними параметрами інтерполяції, що визначаються з умов Лагранжа:

Pn (xi) = Yi, (i = 0, 1, ..., n)

Використовуючи (4) та (5) запишемо систему рівнянь

	C x+ c x2				C xn = Y
	C x+ c x2				C xn
			C x2			C xn = Y

Вектор рішення з i (i = 0, 1, 2, …, n) системи лінійних алгебраїчних рівнянь(6) існує і може бути знайдений, якщо серед вузлів i немає збігаються. Визначник системи (6) називається визначником Вандермонда1 і має аналітичний вираз [2].

1 Визначником Вандермонда називається визначник

Він дорівнює нулю і тоді, коли xi = xj для деяких. (Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії)

Для визначення значень коефіцієнтів з i (i = 0, 1, 2, …, n)

рівнянь (5) можна записати у векторно-матричній формі

A * C = Y,

де А, матриця коефіцієнтів, що визначаються таблицею ступенів вектора аргументівX=

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

С - вектор-стовпець коефіцієнтів i (i = 0, 1, 2, …, n), а Y - вектор-стовпець значень Y i (i = 0, 1, 2, …, n) інтерполюваної функції у вузлах інтерполяції.

Рішення цієї системи лінійних рівнянь алгебри може бути отримано одним з методів, описаних в [ 3 ]. Наприклад, за формулою

С = A−1 Y,

де А -1 - матриця зворотна матриціА. Для отримання зворотної матриціА -1 можна скористатися функцією МОБР() , що входить до набору стандартних функційпрограми Microsoft Excel.

Після того, як будуть визначені значення коефіцієнтів з i , використовуючи функцію (4), можуть бути обчислені значення інтерполюваної функції для будь-якого значення аргументів .

Запишемо матрицю для таблиці, наведеної на рис.1, без урахування рядків ущільнюючих таблицю.

Рис.2 Матриця системи рівнянь для обчислення коефіцієнтів канонічного полінома

Використовуючи функцію МОБР(), отримаємо матрицю А -1 зворотну матрицю (рис. 3). Після чого, за формулою (9) отримаємо вектор коефіцієнтів С = (c0, c1, c2, …, cn) T, наведений на рис. 4.

Для обчислення значень канонічного полінома в комірку стовпця Y канонич , що відповідає значенням 0 , введемо перетворену до наступного видуформулу, що відповідає нульовому рядку системи (6)

=((((c 5	* х 0 + c 4) * х 0 + c 3) * х 0 + c 2) * х 0 + c 1) * х 0 + c 0

C0 + x * (c1 + x * (c2 + x * (c3 + x * (c4 + x * c5))))

Замість запису "c i " у формулі, що вводиться в комірку таблиці Excel, має стояти абсолютне посилання на відповідну комірку, що містить цей коефіцієнт (див. рис. 4). Замість "х 0" - відносне посилання на комірку стовпця Х (див. рис. 5).

Y канонич (0) значення, що збігається зі значенням в комірці Y лін (0) . При протягуванні формули, записаної в комірку Y каноніч (0), повинні також збігтися і значення Y каноніч (i) , відповідні вузловим точкам вихідної

таблиці (див. рис.5).

Рис. 5. Діаграми, побудовані за таблицями лінійної та канонічної інтерполяції

Порівняння графіків функцій, побудованих за таблицями, обчисленими за формулами лінійної та канонічної інтерполяції, бачимо у низці проміжних вузлів істотне відхилення значень, отриманих за формулами лінійної та канонічної інтерполяції. Більш обґрунтовано судити про точність інтерполяції можна на підставі отримання додаткової інформаціїпро характер модельованого процесу.

Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через точки даних.

Існує також близьке до інтерполяції завдання, яке полягає в апроксимації будь-якої складної функціїіншою, більш простою функцією. Якщо деяка функція надто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в кількох точках, а по них побудувати, тобто інтерполювати, більше просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє отримати такі ж точні результати, які давала б початкова функція. Але в деяких класах завдань досягнутий виграш у простоті та швидкості обчислень може переважити отримувану похибку в результатах.

Слід також згадати і зовсім інший різновид математичної інтерполяції, відомий під назвою «інтерполяція операторів». До класичних робіт з інтерполяції операторів відносяться теорема Рісса-Торіна (Riesz-Thorin theorem) та теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), що є основою для багатьох інших робіт.

Визначення

Розглянемо систему неспівпадаючих точок () з деякої області. Нехай значення функції відомі лише у цих точках:

Завдання інтерполяції полягає у пошуку такої функції із заданого класу функцій, що

приклад

1. Нехай ми маємо табличну функцію, на кшталт описаної нижче, яка для кількох значень визначає відповідні значення :

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Інтерполяція допомагає нам дізнатися яке значення може мати така функція в точці, яка відрізняється від зазначених (наприклад, при x = 2,5).

На сьогодні існує безліч різних способівінтерполяції. Вибір найбільш відповідного алгоритму залежить від відповіді питання: як точний вибирається метод, які витрати з його використання, наскільки гладкою є інтерполяційна функція, якої кількості точок даних вона і т.п.

2. Знайти проміжне значення (методом лінійної інтерполяції).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Способи інтерполяції

Інтерполяція методом найближчого сусіда

Найпростішим способом інтерполяції є інтерполяція методом найближчого сусіда.

Інтерполяція багаточленами

Насправді найчастіше застосовують інтерполяцію многочленами . Це пов'язано насамперед з тим, що багаточлени легко обчислювати, легко аналітично знаходити їх похідні та багато багаточленів щільно у просторі безперервних функцій(Теорема Вейєрштрасса).

• ІМН-1 та ІМН-2
• Багаточлен Лагранжа (інтерполяційний багаточлен)
• За схемою Ейткена

Зворотне інтерполювання (обчислення x за заданого y)

• Зворотне інтерполювання за формулою Ньютона

Інтерполяція функції кількох змінних

Інші способи інтерполяції

• Тригонометрична інтерполяція

суміжні концепції

• Екстраполяція – методи знаходження точок за межами заданого інтервалу(продовження кривої)
• Апроксимація - методи побудови наближених кривих

Див. також

• Згладжування даних експерименту

Wikimedia Foundation. 2010 .

Синоніми:

Дивитись що таке "Інтерполяція" в інших словниках:

1) спосіб визначати за низкою даних величин будь-якого математичного виразу проміжні його величини; так напр., за дальністю польоту ядра при куті піднесення осі гарматного каналу в 1 °, 2 °, 3 °, 4 ° і т. д. можна визначити допомогою ... Словник іноземних слівросійської мови

Вставка, інтерполювання, включення, пошук Словник російських синонімів. інтерполяція див. вставка Словник синонімів російської мови. Практичний довідник М: Російська мова. З. Є. Александрова. 2 … Словник синонімів

інтерполяція- Обчислення проміжних значень між двома відомими точками. Наприклад: linear лінійна інтерполяція exponential експоненційнаінтерполяція Процес виведення кольорового зображення, коли пікселі, що стосуються області між двома кольоровими… Довідник технічного перекладача

- (interpolation) Оцінка значення невідомої величини між двома точками ряду відомих величин. Наприклад, знаючи показники населення країни, отримані під час проведення перепису населення, що проводився з інтервалом у 10 років, можна… Словник бізнес-термінів

З латинського власне «підробка». Так називаються помилкові поправки або пізніші вставки в рукописах, зроблені переписувачами чи читачами. Особливо часто цей термін вживається у критиці рукописів античних письменників. У цих рукописах… … Літературна енциклопедія

Знаходження проміжних значень певної закономірності (функції) з низки відомих її значень. Англійською мовою: Interpolation Див. також: Перетворення даних Фінансовий словник Фінам … Фінансовий словник

інтерполяція- І, ж. interpolation f. лат. interpolatio зміна; переробка, спотворення. 1. Вставка пізнішого походження у якому л. текст, що не належить оригіналу. БАС 1. У стародавніх рукописах багато інтерполяцій, внесених переписувачами. Вуш. 1934. 2 … Історичний словникгалицизмів російської мови

ІНТЕРПОЛЯЦІЯ- (Interpolatio), поповнення емпірич. ряду значень будь-якої величини відсутні проміжними значеннями її. Інтерполювання може бути здійснено трьома способами: математич., графіч. та логічним. У їх основі лежить загальна їм гіпотеза у тому… Велика медична енциклопедія

- (Від латинського interpolatio зміна, переробка), відшукання проміжних значень величини за деякими відомими її значеннями. Наприклад, відшукання значень функції y = f(x) у точках x, що лежать між точками x0 та xn, x0 … Сучасна енциклопедія

- (Від лат. Interpolatio зміна переробка), в математиці та статистиці відшукання проміжних значень величини за деякими відомими її значенням. Напр., відшукання значень функції f(x) у точках x, що лежать між точками xo x1 ... xn, … Великий Енциклопедичний словник

Цей термін має й інші значення, див. Інтерполяція. Про функцію див.: Інтерполянт.

Інтерполяція, інтерпретування (відлат. inter-polis - « розгладжений, підновлений, оновлений; перетворений») - у обчислювальній математиці спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретним набором відомих значень. Термін "інтерполяція" вперше вжив Джон Валліс у своєму трактаті "Арифметика нескінченних" (1656).

У функціональному аналізі інтерполяція лінійних операторів є розділом, що розглядає банахові простори як елементи деякої категорії.

Багатьом із тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками, часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих дослідним шляхом чи методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, на яку могли б високою точністюпотрапляти інші значення, що отримуються. Таке завдання називається апроксимацією. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через точки даних.

Існує також близька до інтерполяції завдання, яке полягає в апроксимації будь-якої складної функції іншою, більш простою функцією. Якщо деяка функція надто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в кількох точках, а за ними побудувати, тобто інтерполювати більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє отримати такі самі точні результатиякі давала б початкова функція. Але в деяких класах завдань досягнутий виграш у простоті та швидкості обчислень може переважити отримувану похибку в результатах.

Слід також згадати і зовсім інший різновид математичної інтерполяції, відомий під назвою «інтерполяція операторів». До класичних робіт з інтерполяції операторів відносяться теорема Рісса - Торіна (Riesz-Thorin theorem) та теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), що є основою для багатьох інших робіт.

Визначення

Розглянемо систему неспівпадаючих точок x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) з деякої області D (\displaystyle D) . Нехай значення функції f (\displaystyle f) відомі лише у цих точках:

Y i = f (x i), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Завдання інтерполяції полягає у пошуку такої функції F (\displaystyle F) із заданого класу функцій, що

F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Точки x i (\displaystyle x_(i)) називають вузлами інтерполяції, А їх сукупність - інтерполяційною сіткою.
• Пари (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) називають точками данихабо базовими точками.
• Різниця між «сусідними» значеннями Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - кроком інтерполяційної сітки. Він може бути як змінним, і постійним.
• Функцію F(x) (\displaystyle F(x)) - інтерполюючою функцієюабо інтерполянтом.

приклад

1. Нехай ми маємо табличну функцію на кшталт описаної нижче, яка для кількох значень x (\displaystyle x) визначає відповідні значення f (\displaystyle f) :

X (\displaystyle x) f(x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Інтерполяція допомагає нам дізнатися, яке значення може мати така функція в точці, яка відрізняється від зазначених точок (наприклад, при x = 2,5).

На цей час існує безліч різних способів інтерполяції. Вибір найбільш відповідного алгоритму залежить від відповіді питання: як точний вибирається метод, які витрати з його використання, наскільки гладкою є інтерполяційна функція, якої кількості точок даних вона і т.п.

2. Знайти проміжне значення (методом лінійної інтерполяції).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000-60) 15.5)) (1)) = 16.1993)

У мовах програмування

Приклад лінійної інтерполяції функції y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Користувач може ввести число від 1 до 10.

Fortran

program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimension x(10) dimension y(10) call prisv(x, i) call func(x, y, i) write(*,*) "enter number: read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) then yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end end do end subbroutine

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Інтерполяція X1 - X2 "); system("echo Ввести число: "); cin >> ob; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko);

Способи інтерполяції

Інтерполяція методом найближчого сусіда

Найпростішим способом інтерполяції є інтерполяція методом найближчого сусіда.

Інтерполяція багаточленами

Насправді найчастіше застосовують інтерполяцію многочленами. Це пов'язано насамперед з тим, що багаточлени легко обчислювати, легко аналітично знаходити їх похідні та багато многочленів щільно у просторі безперервних функцій (теорема Вейєрштраса).

• Лінійна інтерполяція
• Інтерполяційна формула Ньютона
• Метод кінцевих різниць
• ІМН-1 та ІМН-2
• Багаточлен Лагранжа (інтерполяційний багаточлен)
• Схема Ейткена
• Сплайн-функція
• Кубічний сплайн

Зворотне інтерполювання (обчислення x за заданої y)

• Поліном Лагранжа
• Зворотне інтерполювання за формулою Ньютона
• Зворотне інтерполювання за формулою Гауса

Інтерполяція функції кількох змінних

• Білінійна інтерполяція
• Бікубічна інтерполяція

Інші способи інтерполяції

• Раціональна інтерполяція
• Тригонометрична інтерполяція

суміжні концепції

• Екстраполяція – методи знаходження точок за межами заданого інтервалу (продовження кривої)
• Апроксимація - методи побудови наближених кривих

Зворотня інтерполяція

на класі функцій із простору C2 , графіки яких проходять через точки масиву (xi, yi), i = 0, 1, . . . m.

Рішення. Серед усіх функцій, що проходять через опорні точки (xi, f(xi)) і належать згаданому простору, саме кубічний сплайн S(x), що відповідає крайовим умовам S00(a) = S00(b) = 0, надає екстремум (мінімум) функціоналу I(f).

Часто на практиці виникає завдання пошуку за заданим значенням функції значення аргументу. Це завдання вирішується методами зворотної інтерполяції. Якщо задана функціямонотонна, то зворотну інтерполяцію найпростіше здійснити шляхом заміни функції аргументом і навпаки і подальшого інтерполювання. Якщо ця функція не монотонна, то цим прийомом скористатися не можна. Тоді, не змінюючи ролями функцію та аргумент, записуємо ту чи іншу інтерполяційну формулу; використовуючи відомі значення аргументу та, вважаючи функцію відомої, вирішуємо отримане рівняння щодо аргументу.

Оцінка залишкового члена при використанні першого прийому буде така сама, як і при прямій інтерполяції, тільки похідні від прямої функції потрібно замінити похідними від зворотної функції. Оцінимо помилку другого методу. Якщо нам задана функція f(x) та Ln(x) - інтерполяційний багаточлен Лагранжа, побудований для цієї функції за вузлами x0, x1, x2, . . . , xn, то

f (x) - Ln (x) = (n + 1)! (x−x0). . . (x−xn) .

Припустимо, що нам треба знайти значення x, при якому f (x) = y (y задано). Розв'язуватимемо рівняння Ln (x) = y . Отримаємо деяке значення x. Підставляючи у попереднє рівняння, отримаємо:

Mn+1

f (x) - Ln (x) = f (x) - y = f (x) - f (x) =
Застосовуючи формулу Лангранжа, отримаємо
(x − x) f0 (η) =
де η знаходиться між x і x. Якщо - інтервал, який містить x і x і min

з останнього виразу випливає:

|x¯ − x¯| 6m1 (n+1)! |$n (x¯)| .

При цьому, звичайно, передбачається, що рівняння Ln (x) = y? ми вирішили точно.

Застосування інтерполяції для складання таблиць

Теорія інтерполяції має застосування при складанні таблиць функцій. Отримавши таке завдання, математик повинен вирішити перед початком обчислень низку питань. Повинна бути обрана формула, за якою проводитимуться обчислення. Ця формула може змінюватися від ділянки до ділянки. Зазвичай формули для обчислення значень функції бувають громіздкими і тому використовують для отримання деяких опорних значень і потім, шляхом субтабулювання, згущують таблицю. Формула, яка дає опорні значення функції, має забезпечувати потрібну точність таблиць з урахуванням наступного субтабулювання. Якщо потрібно скласти таблиці з постійним кроком, спочатку треба визначити її крок.

Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик

Найчастіше таблиці функцій складаються так, щоб була можлива лінійна інтерполяція (тобто інтерполяція з використанням перших двох членів формули Тейлора). У цьому випадку залишковий член матиме вигляд

R1(x) = f00 (ξ)h2t(t − 1).

Тут ξ належить інтервалу між двома сусідніми табличними значеннями аргументу, в якому знаходиться x, а t укладено між 0 і 1. Твір t(t − 1) приймає найбільший за модулем

значення при t = 12. Це значення дорівнює14. Отже,

Потрібно пам'ятати, що поруч із цією помилкою - помилкою методу, при практичному обчисленні проміжних значень виникатимуть ще непереборна похибка та похибка заокруглень. Як ми бачили раніше, непереборна похибка при лінійній інтерполяції буде рівною похибки табульованих значень функції. Похибка округлення залежатиме від обчислювальних засобів та від програми обчислень.

Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик

Предметний покажчик

розділені різниці другого порядку, 8 першого порядку, 8

сплайн, 15

вузли інтерполяції, 4

Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Як виконати інтерполяцію

Формула для інтерполяції табличних даних

Використовується у 2-ій дії, коли кількість НХР (Q, т) за умови має проміжне значення між 100 т та 300 т.

(Виняток:якщо Q за умовою дорівнює 100 або 300 – інтерполяція не потрібна).

y o- Ваша вихідна кількість НХР із умови, в тоннах

(відповідає букві Q)

y 1 – менше

(З табл.11-16, як правило одно 100).

y 2 – більше найближче до Вашого значення кількості НХР у тоннах

(З табл.11-16, як правило дорівнює 300).

x 1 y 1 (x 1 розташоване навпроти y 1 ), км.

x 2 - Табличне значення глибини поширення хмари зараженого повітря (Г т), відповідно y 2 (x 2 розташоване навпроти y 2 ), км.

x 0 - Шукане значення Г твідповідне y o(за формулою).

приклад.

НХР – хлор; Q = 120 т;

Вид СВСП (ступінь вертикальної стійкості повітря) – інверсія.

Знайти Г т- Табличне значення глибини поширення хмари зараженого повітря.

Переглядаємо таблиці 11-16 і знаходимо дані, що відповідають вашій умові (хлор, інверсія).

Підходить таблиця 11.

Вибираємо значення y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Важливо – швидкість вітру беремо 1 м/с., температуру беремо – 20 оС.

Підставляємо вибрані значення у формулу та знаходимо x 0 .

Важливо - Розрахунок правильний, якщо x 0 матиме значення десь між x 1 , x 2 .

1.4. Інтерполяційна формула Лагранжа

Запропонований Лагранжем алгоритм побудови інтерполюючих

функцій за таблицями (1) передбачає побудову інтерполяційного многочлена Ln(x) як

Очевидно, що виконання (10) умов (11) визначає виконання умов (2) постановки завдання інтерполяції.

Багаточлени li(x) записуються наступним чином

Зазначимо, що жоден множник у знаменнику формули (14) не дорівнює нулю. Обчисливши значення констант сi, можна використовувати їх для обчислення значень функції, що інтерполується в заданих точках.

Формула інтерполяційного багаточлена Лагранжа (11) з урахуванням формул (13) та (14) може бути записана у вигляді

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1. Організація ручних обчислень за формулою Лагранжа

Безпосереднє застосування формули Лагранжа призводить до великої кількості однотипних обчислень. Для таблиць невеликої розмірності ці обчислення можуть бути виконані як вручну, так і серед програм

У першому етапі розглянемо алгоритм обчислень, виконуваних вручну. Надалі ці ж обчислення слід повторити у середовищі

Microsoft Excel чи OpenOffice.org Calc.

На рис. 6 наведено приклад вихідної таблиці інтерполюваної функції, що визначається чотирма вузлами.

Рис.6. Таблиця, що містить вихідні дані для чотирьох вузлів інтерполюваної функції

У третій стовпець таблиці запишемо значення коефіцієнтів qi, що обчислюються за формулами (14). Нижче наведено запис цих формул для n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Наступним кроком реалізації ручних обчислення є обчислення значень li(x) (j=0,1,2,3), виконувані за формулами (13).

Запишемо ці формули для розглянутого нами варіанта таблиці з чотирма вузлами:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

Обчислимо значення многочленів li(xj) (j=0,1,2,3) і запишемо їх у комірки таблиці. Значення функціїYрасч(x) згідно з формулою (11) будуть отримані в результаті підсумовування значеньli(xj) по рядках.

Формат таблиці, що включає стовпці обчислених значень li(xj) і стовпець значеньYрасч(x), показано на рис.8.

Рис. 8. Таблиця з результатами ручних обчислень, виконаних за формулами (16), (17) та (11) для всіх значень аргументу xi

Виконавши формування таблиці, наведеної на рис. 8 за формулами (17) і (11) можна обчислити значення інтерполюваної функції для будь-якого значення аргументу Х. Наприклад, для Х=1 обчислюємо значення li(1) (i=0,1,2,3):

l0 (1) = 0,7763; l1 (1) = 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Підсумовуючи значення li (1), отримаємо значення Y інтерп (1) = 3,1463.

1.4.2. Реалізація алгоритму інтерполяції за формулами Лагранжа серед програми Microsoft Excel

Реалізація алгоритму інтерполяції починається, як і за ручних обчисленнях із запису формул для обчислення коефіцієнтів qi На рис. 9 наведено стовпці таблиці з заданими значеннямиаргументу, інтерполюваної функції та коефіцієнтів qi. Праворуч від цієї таблиці наведені формули, що записуються в комірки стовпця для обчислення значень коефіцієнтів qi.

вС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))"Æ q0

вС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))"Æ q1

вС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))"Æ q2

вС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3

Рис. 9 Таблиця коефіцієнтів qi та обчислювальні формули

Після введення формули q0 у комірку С2 вона простягається по комірках від С3 до С5. Після чого формули у цих осередках коригуються відповідно до (16) до виду, наведеному на рис. 9.

Yрасч(xi),

Реалізуючи формули (17), запишемо формули для обчислення значень li(x) (i=0,1,2,3) у комірки стовпців D, E, F і G. У комірку D2 для обчислення значення l0(x0) запишемо формулу:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

отримаємо значення l0 (xi) (i = 0,1,2,3).

Формат посилання $A2 дозволяє простягнути формулу по стовпцях E, F, G для формування обчислювальних формул для обчислення li (x0) (i = 1,2,3). При протягуванні формули по рядку індекс стовпця аргументів не змінюється. Для обчисленняli(x0) (i=1,2,3) після протягування формулиl0(x0) необхідно виконати їхнє коригування за формулами (17).

Стовпці Н помістимо формули Excelдля підсумовування li(x) за формулою

(11) алгоритму.

На рис. 10 показано таблицю, реалізовану в середовищі програми Microsoft Excel. Ознакою правильності записаних у комірки таблиці формул та виконаних обчислювальних операцій є отримана діагональна матриця li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2,3), що повторює результати, наведені на рис. 8, і стовпець значень збігаються зі значеннями інтерполюваної функції у вузлах вихідної таблиці.

Рис. 10. Таблиця значень li(xj) (j=0,1,2,3) іYрасч(xj)

Для обчислення значень у деяких проміжних точках достатньо

вічка стовпця А, починаючи з осередку А6, ввести значення аргументу Х, для яких потрібно визначити значення інтерполюваної функції. Виділити

в останньому (5-му) рядку таблиці осередку отl0(xn) до Yрасч(xn) і протягнути формули, записані у виділених осередках до рядка, що містить останнє

задане значення аргументу x.

На рис. 11 наведена таблиця, в якій виконані обчислення значення функції трьох точках: х=1, х=2 та х=3. У таблицю введено додатковий стовпець із номерами рядків таблиці вихідних даних.

Рис. 11. Обчислення значень інтерполюваних функцій за формулами Лагранжа

Для більшої наочності відображення результатів інтерполяції побудуємо таблицю, що включає стовпець упорядкованих за зростанням значень аргументу Х, стовпець вихідних значень функції Y(X) та стовпець

Підкажіть як використовувати формулу інтерполяції та яку у вирішенні задач з термодинаміки (теплотехніки)

Іван шестакович

Найпростіше, але й часто малоточна інтерполяція - це лінійна. Коли у тебе є вже дві відомі точки (Х1 У1) і (X2 Y2), а треба знайти значення У дня деякого Х який знаходиться між Х1 і Х2. Тоді формула проста.
У = (У2-У1) * (Х-Х1) / (Х2-Х1) + У1
До речі ця формула працює і при значеннях Х поза межами проміжку Х1..Х2, але це вже називається екстрополяцією і за значної відстані від цього проміжку дає дуже велику похибку.
Є багато інших матюків. методів інтерполяції – раджу почитати підручник чи поритися та інеті.
Не виключено так само метод графічної інтерполяції - вручну наріювати графік через відомі точки і для потрібного Х знаходити з графіка У.;)

Роман

У тебе є два значення. І приблизно залежність (лінійна, квадратична, ..)
Графік цієї функції проходить через дві точки. Тобі потрібне значення десь між. Ну, і висловлюєш!
Наприклад. У таблиці при температурі 22 градуси тиск насиченої пари 120000 Па, а при 26 124000 Па. Тоді при температурі 23 градуси 121 000 Па.

Інтерполяція (координат)

Є сітка координат на карті (зображенні).
На ній є деякі відомі опорні точки (n>3), що мають два значення x,y- координати у пікселах, та координати у метрах.
Необхідно знайти проміжні значення координат у метрах, знаючи координати пікселів.
Лінійна інтерполяція не підходить – надто велика похибка за межами лінії.
Ось так: (Xc – коорд. в метрах по ох, Xp – коорд. у пікселах по ох, Xc3 – шукане значення по ох)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Як знайти таку ж формулу для знаходження Xc та Yc, враховуючи не дві (як тут), а N відомих опорних точок?

Joka fern lowd

Судячи з виписаних формул, осі систем координат у пікселах та в метрах збігаються?
Тобто незалежно інтерполюється Xp->Xc і незалежно Yp->Yc. Якщо ні, треба використовувати двовимірну інтерполяцію Xp,Yp->Xc і Xp,Yp->Yc, що дещо ускладнює завдання.
Далі мається на увазі, що координати Xp і Xc пов'язані певною залежністю.
Якщо характер залежності відомий (або передбачається, наприклад, припускаємо, що Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), можна отримати параметри цієї залежності (для наведеної залежності a, b, c) за допомогою регресійного аналізу(Метод найменших квадратів). У цьому методі, якщо поставити певною залежністю Xc(Xp) можна отримати формулу параметрів залежність від опорних даних. Цей метод дозволяє, зокрема, знайти та лінійну залежність, найкращим чиномщо задовольняє даному набору даних.
Недолік: У цьому методі координати Xc, отримані за даними опорних точок Xp можуть відрізнятися від заданих. Як наприклад, апроксимаційна пряма проведена за експериментальними точками, не проходить точно через самі ці точки.
Якщо ж потрібна точна відповідність і характеру залежності невідомий, потрібно використовувати інтерполяційні методи. Найпростішим математично є інтерполяційний поліном Лагранжа, який точно проходить через опорні точки. Однак через високого ступеняцього полінома при великому числіопорних точок та поганої якостіінтерполяції, краще не використовувати. Перевагою є порівняно проста формула.
Найкраще використовувати інтерполяцію сплайнами. Суть цього у тому, що у кожному ділянці між двома сусідніми точками, досліджувана залежність інтерполується поліномом, а точках зшивки двох інтервалів записуються умови гладкості. Перевагою цього є якість інтерполяція. Недоліками - практично неможливо вивести загальну формулу, Доводиться знаходити коефіцієнти полінома на кожній ділянці алгоритмічно. Іншим недоліком є ​​складність узагальнення двомірну інтерполяцію.

Буває ситуація, коли в масиві відомих значень потрібно знайти проміжні результати. У математиці це називається інтерполяцією. В Excel даний методможна застосовувати як табличних даних, так побудови графіків. Розберемо кожен із цих способів.

Головна умова, за якої можна застосовувати інтерполяцію – це те, що потрібне значення має бути всередині масиву даних, а не виходити за його межу. Наприклад, якщо ми маємо набір аргументів 15, 21 та 29, то при знаходженні функції аргументу 25 ми можемо використовувати інтерполяцію. А для пошуку відповідного значення для аргументу 30 вже немає. У цьому є головна відмінність цієї процедури від екстраполяції.

Спосіб 1: інтерполяція для табличних даних

Насамперед, розглянемо застосування інтерполяції для даних, які у таблиці. Наприклад візьмемо масив аргументів та відповідних їм значень функції, співвідношення яких можна описати лінійним рівнянням. Ці дані розміщені у таблиці нижче. Нам потрібно знайти відповідну функцію для аргументу 28 . Зробити це найпростіше за допомогою оператора ПЕРЕДСКАЗ.

Спосіб 2: інтерполяція графіка за допомогою його налаштувань

Процедуру інтерполяції можна використовувати і при побудові графіків функції. Актуальна вона у тому випадку, якщо в таблиці, на основі якої побудовано графік, до одного з аргументів не зазначено відповідне значення функції, як на зображенні нижче.

Як бачимо, графік скоригований, а розрив за допомогою інтерполяції вилучено.

Спосіб 3: інтерполяція графіка за допомогою функції

Здійснити інтерполяцію графіка можна також за допомогою спеціальної функції НД. Вона повертає невизначені значення у вказану комірку.

Можна зробити навіть простіше, не запускаючи Майстер функцій, а просто з клавіатури вбити в порожню комірку значення «#Н/Д»без лапок. Але це вже залежить від того, як користувачеві зручніше.

Як бачимо, у програмі Ексель можна виконати інтерполяцію як табличних даних, використовуючи функцію ПЕРЕДСКАЗ, і графіка. У останньому випадкуце можна здійснити за допомогою налаштувань графіка або застосування функції НД, що викликає помилку «#Н/Д». Вибір того, який метод використовувати, залежить від постановки завдання, а також від особистих переваг користувача.

Це розділ із книги Білла Джелена.

Завдання: деякі інженерні проблеми проектування вимагають використання таблиць для обчислення параметрів. Оскільки таблиці дискретні, дизайнер використовує лінійну інтерполяцію для отримання проміжного значення параметра. Таблиця (рис. 1) включає висоту над землею (керуючий параметр) і швидкість вітру (параметр, що розраховується). Наприклад, якщо треба знайти швидкість вітру, що відповідає висоті 47 метрів, слід застосувати формулу: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 м/сек.

Завантажити нотатку у форматі або , приклади у форматі

Як бути, якщо існує два параметри, що управляють? Чи можна виконати обчислення за допомогою однієї формули? У таблиці (рис. 2) показані значення тиску вітру для різних висотта величин прольоту конструкцій. Потрібно обчислити тиск вітру на висоті 25 метрів та величині прольоту 300 метрів.

Рішення: проблему вирішуємо шляхом розширення методу, що використовується для випадку з одним параметром, що управляє. Виконайте наступні дії.

Почніть із таблиці, зображеної на рис. 2. Додайте вихідні осередки для висоти та прольоту в J1 та J2 відповідно (рис. 3).

Рис. 3. Формули в осередках J3: J17 пояснюють роботу мегаформули

Для зручності використання формул визначте імена (рис. 4).

Прослідкуйте за роботою формули послідовно переходячи від комірки J3 до комірки J17.

Шляхом зворотного послідовного встановлення зберіть мегаформулу. Скопіюйте текст формули з комірки J17 до J19. Замініть у формулі посилання на J15 значення в осередку J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. І так далі. Вийде формула, що складається з 984 символів, яку неможливо сприйняти в такому вигляді. Ви можете подивитися на неї у доданому Excel-файлі. Не впевнений, що такі мегаформули корисні у використанні.

Резюме: лінійна інтерполяція використовується для отримання проміжного значення параметра, якщо табличні значеннязадані лише меж діапазонів; запропоновано метод розрахунку за двома керуючими параметрами.