Розв'язання задач з теоретичної механіки. Основи механіки для чайників

Теоретична механіка– це розділ механіки, у якому викладаються основні закони механічного руху та механічної взаємодії матеріальних тіл.

Теоретична механіка є наукою, у якій вивчаються переміщення тіл із часом (механічні руху). Вона є базою інших розділів механіки (теорія пружності, опір матеріалів, теорія пластичності, теорія механізмів і машин, гідроаеродинаміка) та багатьох технічних дисциплін.

Механічне рух— це зміна з часом взаємного становища у просторі матеріальних тел.

Механічна взаємодія– це така взаємодія, внаслідок якої змінюється механічний рух чи змінюється взаємне становище частин тіла.

Статика твердого тіла

Статика— це розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються завдання на рівновагу твердих тіл та перетворення однієї системи сил на іншу, їй еквівалентну.

Основні поняття та закони статики

Абсолютно тверде тіло(тверде тіло, тіло) – це матеріальне тіло, відстань між будь-якими точками у якому змінюється.
Матеріальна точка- Це тіло, розмірами якого за умовами завдання можна знехтувати.
Вільне тіло- Це тіло, на переміщення якого не накладено жодних обмежень.
Невільне (пов'язане) тіло- Це тіло, на переміщення якого накладені обмеження.
Зв'язки– це тіла, що перешкоджають переміщенню об'єкта, що розглядається (тіла або системи тіл).
Реакція зв'язку- Це сила, що характеризує дію зв'язку на тверде тіло. Якщо вважати силу, з якою тверде тіло діє зв'язок, дією, то реакція зв'язку є протидією. При цьому сила - дія додається до зв'язку, а реакція зв'язку додається до твердого тіла.
Механічна система– це сукупність взаємозалежних між собою тіл чи матеріальних точок.
Тверде тіломожна розглядати як механічну систему, положення та відстань між точками якої не змінюються.
Сила- Це векторна величина, що характеризує механічну дію одного матеріального тіла на інше.
Сила як вектор характеризується точкою програми, напрямом дії та абсолютним значенням. Одиниця виміру модуля сили – Ньютон.
Лінія дії сили– це пряма, вздовж якої спрямований вектор сили.
Зосереджена сила- Сила, прикладена в одній точці.
Розподілені сили (розподілене навантаження)– це сили, що діють на всі точки об'єму, поверхні чи довжини тіла.
Розподілене навантаження задається силою, що діє на одиницю об'єму (поверхні, довжини).
Розмірність розподіленого навантаження - Н/м3 (Н/м2, Н/м).
Зовнішня сила- це сила, що діє з боку тіла, що не належить механічній системі, що розглядається.
Внутрішня сила- Це сила, що діє на матеріальну точку механічної системи з боку іншої матеріальної точки, що належить аналізованої системі.
Система сил- Це сукупність сил, що діють на механічну систему.
Плоска система сил- Це система сил, лінії дії яких лежать в одній площині.
Просторова система сил- Це система сил, лінії дії яких не лежать в одній площині.
Система схожих сил- Це система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.
Довільна система сил- Це система сил, лінії дії яких не перетинаються в одній точці.
Еквівалентні системи сил- Це такі системи сил, заміна яких одна на іншу не змінює механічного стану тіла.
Прийняте позначення: .
Рівновість- Це стан, при якому тіло при дії сил залишається нерухомим або рухається рівномірно прямолінійно.
Врівноважена система сил– це система сил, яка додана до вільного твердого тіла не змінює його механічного стану (не виводить із рівноваги).
.
Рівнодійна сила- Це сила, дія якої на тіло еквівалентна дії системи сил.
.
Момент сили- Це величина, що характеризує обертову здатність сили.
Пара сил– це система двох паралельних рівних за модулем протилежно спрямованих сил.
Прийняте позначення: .
Під дією пари сил тіло здійснюватиме обертальний рух.
Проекція сили на вісь– це відрізок, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї осі.
Проекція позитивна, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі.
Проекція сили на площину– це вектор на площині, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї площини.
Закон 1 (закон інерції).Ізольована матеріальна точка перебуває у спокої чи рухається поступово і прямолінійно.
Рівномірний та прямолінійний рух матеріальної точки є рухом за інерцією. Під станом рівноваги матеріальної точки і твердого тіла розуміють як стан спокою, а й рух за інерцією. Для твердого тіла існують різні види руху за інерцією, наприклад, рівномірне обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.
Закон 2.Тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією двох сил тільки в тому випадку, якщо ці сили дорівнюють модулю і направлені в протилежні сторони по загальній лінії дії.
Ці дві сили називаються такими, що врівноважуються.
Взагалі сили називаються такими, що врівноважуються, якщо тверде тіло, до якого прикладені ці сили, перебуває в спокої.
Закон 3.Не порушуючи стану (слово «стан» тут означає стан руху або спокою) твердого тіла, можна додавати і відкидати сили, що врівноважуються.
Наслідок. Не порушуючи стану твердого тіла, силу можна переносити по лінії дії в будь-яку точку тіла.
Дві системи сил називаються еквівалентними, якщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи стану твердого тіла.
Закон 4.Равнодіюча двох сил, прикладених в одній точці, прикладена в тій же точці, що дорівнює по модулю діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах, і спрямована вздовж цієї
діагоналі.
По модулю рівнодіюча дорівнює:
Закон 5 (закон рівності дії та протидії). Сили, з якими два тіла діють одне на одного, рівні за модулем і направлені в протилежні сторони по одній прямій.
Слід мати на увазі, що дія- сила, прикладена до тіла Б, і протидія- сила, прикладена до тіла А, не врівноважуються, тому що вони прикладені до різних тіл.
Закон 6 (закон затвердіння). Рівновага нетвердого тіла не порушується при його затвердінні.
Не слід забувати, що умови рівноваги, які є необхідними і достатніми для твердого тіла, є необхідними, але недостатніми для відповідного нетвердого тіла.
Закон 7 (закон звільнення від зв'язків).Невільне тверде тіло можна як вільне, якщо його подумки звільнити від зв'язків, замінивши дію зв'язків відповідними реакціями зв'язків.

Зв'язки та їх реакції

Гладка поверхняобмежує переміщення нормалі до поверхні опори. Реакція спрямована перпендикулярно поверхні.
Шарнірна рухлива опораобмежує переміщення тіла за нормаллю до опорної площини. Реакція спрямована нормалі до поверхні опори.
Шарнірна нерухома опорапротидіє будь-якому переміщенню в площині перпендикулярної осі обертання.
Шарнірний невагомий стриженьпротидіє переміщенню тіла вздовж лінії стрижня. Реакція буде спрямована вздовж лінії стрижня.
Глухий закладпротидіє будь-якому переміщенню та обертанню в площині. Її дію можна замінити силою, представленою у вигляді двох складових та парою сил з моментом.

Кінематика

Кінематика- Розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються загальні геометричні властивості механічного руху, як процесу, що відбувається в просторі і в часі. Об'єкти, що рухаються, розглядають як геометричні точки або геометричні тіла.

Основні поняття кінематики

Закон руху точки (тіла)- Це залежність положення точки (тіла) у просторі від часу.
Траєкторія точки– це геометричне місце положень точки у просторі за її руху.
Швидкість точки (тіла)– це характеристика зміни часу положення точки (тіла) у просторі.
Прискорення точки (тіла)– це характеристика зміни часу швидкості точки (тіла).

Визначення кінематичних характеристик точки

Траєкторія точки
У системі відліку траєкторія описується выражением: .
У координатній системі відліку траєкторія визначається за законом руху точки та описується виразами z = f(x, y)- у просторі, або y = f(x)– у площині.
У природній системі відліку траєкторія задається заздалегідь.
Визначення швидкості точки у векторній системі координат
При заданні руху точки у векторній системі координат відношення переміщення до інтервалу часу називають середнім значенням швидкості цього інтервалі часу: .
Приймаючи інтервал часу нескінченно малою величиною, набувають значення швидкості в даний момент часу (миттєве значення швидкості): .
Вектор середньої швидкості спрямований уздовж вектора у бік руху точки, вектор миттєвої швидкості спрямований по траєкторії в бік руху точки.
Висновок: швидкість точки - векторна величина, що дорівнює похідній від закону руху за часом.
Властивість похідної: похідна від будь-якої величини за часом визначає швидкість зміни цієї величини.
Визначення швидкості точки в координатній системі відліку
Швидкість зміни координат точки:
.
Модуль повної швидкості точки при прямокутній системі координат дорівнює:
.
Напрямок вектора швидкості визначається косинусами напрямних кутів:
,
де – кути між вектором швидкості та осями координат.
Визначення швидкості точки у природній системі відліку
Швидкість точки у природній системі відліку окреслюється похідна від закону руху точки: .
Згідно з попередніми висновками вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху точки і в осях визначається лише однією проекцією.

Кінематика твердого тіла

У кінематиці твердих тіл вирішуються дві основні задачі:
1) завдання руху та визначення кінематичних характеристик тіла в цілому;
2) визначення кінематичних показників точок тіла.
Поступальний рух твердого тіла
Поступальний рух - це рух, при якому пряма, проведена через дві точки тіла, залишається паралельною до її початкового положення.
Теорема: при поступальному русі всі точки тіла рухаються однаковими траєкторіями і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямом швидкості та прискорення.
Висновок: поступальний рух твердого тіла визначається рухом будь-якої його точки, у зв'язку з чим завдання та вивчення його руху зводиться до кінематики точки.
Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі - це рух твердого тіла, при якому дві точки, що належать тілу, залишаються нерухомими протягом усього часу руху.
Положення тіла визначається кутом повороту. Одиниця виміру кута – радіан. (Радіан - центральний кут кола, довжина дуги якого дорівнює радіусу, повний кут кола містить 2πрадіана.)
Закон обертального руху тіла навколо нерухомої осі.
Кутову швидкість та кутове прискорення тіла визначимо методом диференціювання:
- Кутова швидкість, рад / с;
- Кутове прискорення, рад/с².
Якщо розсікти тіло площиною перпендикулярної осі, вибрати на осі обертання точку Зта довільну точку М, то точка Мбуде описувати навколо точки Зколо радіусу R. За час dtвідбувається елементарний поворот на кут, при цьому точка Мздійснить переміщення вздовж траєкторії на відстань .
Модуль лінійної швидкості:
.
Прискорення точки Мпри відомій траєкторії визначається за його складовими:
,
де .
У результаті отримуємо формули
тангенціальне прискорення: ;
нормальне прискорення: .

Динаміка

Динаміка— це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються механічні рухи матеріальних тіл залежно від причин, що їх викликають.

Основні поняття динаміки

Інерційність— це властивість матеріальних тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, доки зовнішні сили не змінять цього стану.
Маса- це кількісна міра інерційності тіла. Одиниця виміру маси - кілограм (кг).
Матеріальна точка- Це тіло, що володіє масою, розмірами якого при вирішенні цього завдання нехтують.
Центр мас механічної системи- геометрична точка, координати якої визначаються формулами:

де m k , x k , y k , z k- Маса та координати kтієї точки механічної системи, m- Маса системи.
У однорідному полі тяжкості становище центру мас збігається із становищем центру тяжкості.
Момент інерції матеріального тіла щодо осі– це кількісна міра інертності при обертальному русі.
Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані точки від осі:
.
Момент інерції системи (тіла) щодо осі дорівнює арифметичній сумі моментів інерції всіх точок:
Сила інерції матеріальної точки— це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси точки на модуль прискорення і спрямована протилежно до вектора прискорення:
Сила інерції матеріального тіла— це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси тіла на модуль прискорення центру мас тіла і спрямована протилежно до вектора прискорення центру мас: ,
де - Прискорення центру мас тіла.
Елементарний імпульс сили— це векторна величина , що дорівнює добутку вектора сили на нескінченно малий проміжок часу dt:
.
Повний імпульс сили за Δt дорівнює інтегралу від елементарних імпульсів:
.
Елементарна робота сили- це скалярна величина dA, рівна скалярному прої

Перелік екзаменаційних питань

Технічна механіка, її визначення. Механічний рух та механічна взаємодія. Матеріальна точка, механічна система, абсолютно тверде тіло.

Технічна механіка – наука про механічний рух та взаємодію матеріальних тіл.

Механіка є однією з найдавніших наук. Термін «Механіка» запроваджено видатним філософом давнини Аристотелем.

Досягнення вчених у галузі механіки дають можливість вирішувати складні практичні проблеми у галузі техніки і сутнісно жодне явище природи може бути зрозуміле без з'ясування його з механічного боку. І жодне творіння техніки не можна створити, не враховуючи ті чи інші механічні закономірності.

Механічне рух – це зміна з часом взаємного становища у просторі матеріальних тіл чи взаємного становища частин даного тіла.

Механічна взаємодія - Це дії матеріальних тіл один на одного, в результаті яких відбувається зміна руху цих тіл або зміна їхньої форми (деформація).

Основні поняття:

Матеріальна точка - Це тіло, розмірами якого в цих умовах можна знехтувати. Вона має масу і здатність взаємодіяти з іншими тілами.

Механічна система - це сукупність матеріальних точок, становище та рух кожної з яких залежать від становища та руху інших точок системи.

Абсолютно тверде тіло (АТТ) – це тіло, відстань між будь-якими двома точками якого завжди залишається незмінною.

Теоретична механіка та її розділи. Завдання теоретичної механіки.

Теоретична механіка - Це розділ механіки, в якому вивчаються закони руху тіл та загальні властивості цих рухів.

Теоретична механіка складається з трьох розділів: статики, кінематики та динаміки.

Статикарозглядає рівновагу тіл та їх систем під дією сил.

Кінематикарозглядає загальні геометричні властивості руху тел.

Динамікавивчає рух тіл під впливом сил.

Завдання статики:

1. Перетворення систем сил, що діють на АТТ системи їм еквівалентні, тобто. приведення даної системи сил до найпростішого виду.

2. Визначення умов рівноваги системи сил, які діють АТТ.

Для вирішення цих завдань використовується два методи графічний та аналітичний.

Рівнява. Сила, система зусиль. Рівночинна сила, зосереджена сила та розподілені сили.

Рівновість - Це стан спокою тіла по відношенню до інших тіл.

Сила - Це основний захід механічної взаємодії матеріальних тіл. Є векторною величиною, тобто. Сила характеризується трьома елементами:

Точкою додатка;

Лінією дії (напрямком);

Модулем (числовим значенням).

Система сил - це сукупність всіх сил, що діють на аналізоване абсолютно тверде тіло (АТТ)

Система сил називається схожій якщо лінії дії всіх сил перетинаються в одній точці.

Система називається плоскою якщо лінії дії всіх сил лежать в одній площині, інакше просторової.

Система сил називається паралельної якщо лінії дії всіх сил паралельні один одному.

Дві системи сил називаються еквівалентними якщо одну систему сил, що діють на абсолютно тверде тіло, можна замінити іншою системою сил, не змінюючи при цьому стану спокою або руху тіла.

Врівноваженою або еквівалентною нулю називається система сил, під дією якої вільне АТТ може перебувати у спокої.

Рівночинної силою називається сила, дія якої на тіло або матеріальну точку еквівалентна дії системи сил на це тіло.

Зовнішніми силами

Сила, прокладена до тіла в якійсь одній його точці називається зосередженої .

Сили, що діють на всі точки деякого об'єму або поверхні, називаються розподіленими .

Тіло, якому жодні інші тіла не перешкоджають переміщенню в будь-якому напрямку, називається вільним.

Зовнішні та внутрішні сили. Вільне та невільне тіло. Принцип звільнення від зв'язків.

Зовнішніми силами називаються сили, із якими частини даного тіла діють одна на одну.

При розв'язанні більшості завдань статики потрібно невільне тіло подати як вільне, що здійснюється за допомогою принципу звільняємо з т і, який формулюється так:

всяке невільне тіло можна як вільне, якщо відкинути зв'язку, замінивши їх реакціями.

В результаті застосування цього принципу виходить тіло, вільне від зв'язків і під дією деякої системи активних і реактивних сил.

Аксіоми статики.

Умови, за яких тіло може бути рівно весії,виводяться з кількох основних положень, що приймаються без доказів, але підтверджених дослідами , і званих аксіомами статики.Основні аксіоми статики сформульовані англійським вченим Ньютоном (1642-1727), тому вони названі його ім'ям.

Аксіома I (Аксіома інерції або перший закон Ньютона).

Будь-яке тіло зберігає свій стан спокою або прямолінійного рівномірного руху, поки якісь Силине виведуть його із цього стану.

Здатність тіла зберігати свій стан спокою або прямолінійного рівномірного руху називається інерцією. На підставі цієї аксіоми станом рівноваги вважаємо такий стан, коли тіло перебуває у спокої або рухається прямолінійно та рівномірно (тобто ПО інерції).

Аксіома II (Аксіома взаємодії або третій закон Ньютона).

Якщо одне тіло діє на друге з деякою силою, то друге тіло одночасно діє на перше з силою, що дорівнює за модулем, до протилежної у напрямку.

Сукупність сил, що додаються до даного тіла (або системи тіл), називається системою сил.Сила дії будь-якого тіла на дане тіло і сила протидії даного тіла не є системою сил, оскільки вони прикладені до різних тіл.

Якщо якась система сил має таку властивість, що після застосування до вільного тіла вона не змінює його стан рівноваги, то така система сил називається врівноваженою.

Аксіома III (Умова рівноваги двох сил).

Для рівноваги вільного твердого тіла, що перебуває під дією двох сил, необхідно й достатньо, щоб ці сили дорівнювали за модулем і діяли по одній прямій у протилежні сторони.

необхіднимдля рівноваги двох сил. Це означає, що якщо система двох сил перебуває в рівновазі, то ці сили мають бути рівними за модулем і діяти по одній прямій у протилежні сторони.

Умова, сформульована в цій аксіомі, є достатнімдля рівноваги двох сил. Це означає, що справедливе зворотне формулювання аксіоми, а саме: якщо дві сили рівні за модулем і діють по одній прямій у протилежні сторони, то така система сил обов'язково знаходиться в рівновазі.

Надалі ми познайомимося з умовою рівноваги, яка буде потрібна, але не достатньо для рівноваги.

Аксіома IV.

Рівновагу твердого тіла не порушиться, якщо до нього прикласти або видалити систему врівноважених сил.

Слідство з аксіом IIIі IV.

Рівнавага твердого тіла не порушиться від перенесення сили вздовж лінії її дії.

Аксіома паралелограма. Ця аксіома формулюється так:

Рівночинна двох сил, докладенихдо тілу в одній точці, що дорівнює за модулем і збігається у напрямку з діагоналлю паралелограма, побудованого на даних силах, і прикладена в тій же точці.

Зв'язки, реакції зв'язків. Приклади зв'язків.

Зв'язкаминазиваються тіла, що обмежують переміщення даного тіла у просторі. Сила, з якою тіло діє зв'язок, називається тиском;сила, з якою зв'язок діє тіло, називається реакцією.Відповідно до аксіоми взаємодії реакція та тиск по модулю рівніта діють по одній прямій у протилежні сторони. Реакція та тиск прикладені до різних тіл. Зовнішні сили, що діють на тіло, поділяються на активніі реактивні.Активні сили прагнуть переміщати тіло, до якого вони прикладені, а реактивні сили за допомогою зв'язків перешкоджають цьому переміщенню. Принципова відмінність активних сил від реактивних у тому, що величина реактивних сил, взагалі, залежить від величини активних сил, але з навпаки. Активні сили часто називають

Напрямок реакцій визначається тим, в якому напрямку цей зв'язок перешкоджає переміщенню тіла. Правило визначення напрями реакцій можна сформулювати так:

напрям реакції зв'язку протилежно напрямку переміщення, що знищується даним зв'язком.

1. Ідеально гладка площина

В цьому випадку реакція Rспрямована перпендикулярно опорній площині у бік тіла.

2. Ідеально гладка поверхня (рис. 16).

У цьому випадку реакція R спрямована перпендикулярно до дотичної площини t - t, тобто по нормалі до опорної поверхні у бік тіла.

3. Закріплена точка або ребро кута (рис. 17, ребро).

В цьому випадку реакція R вспрямована нормалі до поверхні ідеально-гладкого тіла убік тіла.

4. Гнучкий зв'язок (рис. 17).

Реакція Т гнучкого зв'язку спрямована вздовж з в я з і. З рис. 17 видно, що гнучка зв'язок, перекинута через блок, змінює напрямок зусилля, що передається.

5. Ідеально гладкий циліндричний шарнір (мал. 17, шарнір А;Рис. 18, підшипник D).

У цьому випадку заздалегідь відомо, що реакція R проходить через вісь шарніра і перпендикулярна до цієї осі.

6. Ідеально гладкий підп'ятник (рис. 18, підп'ятник А).

Підп'ятник можна розглядати як поєднання циліндричного шарніра та опорної площини. Тому будемо

7. Ідеально гладкий шаровий шарнір (рис. 19).

У цьому випадку заздалегідь відомо, що реакція R проходить через центр шарніра.

8. Стрижень, закріплений двома кінцями в ідеально гладких шарнірах і навантажений лише по кінцях (рис. 18, стрижень ПС).

У цьому випадку реакція стрижня спрямована вздовж стрижня, оскільки, згідно з аксіомою III, реакції шарнірів В і Спри рівновазі стрижня можуть бути спрямовані лише по лінії НД,тобто вздовж стрижня.

Система схожих сил. Складання сил, що прикладаються в одній точці.

Схожиминазивають сили, лінії дії яких перетинаються в одній точці.

У цьому розділі розглядаються системи схожих сил, лінії дії яких у однієї площині (плоські системи).

Уявімо, що на тіло діє плоска система п'яти сил, лінії дії яких перетинаються в точці О (рис. 10 а). У § 2 було встановлено, що сила- ковзаючий вектор. Тому всі сили можна з точок їх застосування перенести точку Про перетин ліній їх дії (рис. 10, б).

Таким чином, будь-яку систему сил, що сходяться, прикладених до різних точок тіла, можна замінити еквівалентною системою сил, прикладених до однієї точки.Таку систему сил часто називають пучком сил.

У курсі розглядаються: кінематика точки і твердого тіла (причому з різних точок зору пропонується розглянути проблему орієнтації твердого тіла), класичні завдання динаміки механічних систем та динаміки твердого тіла, елементи небесної механіки, рух систем змінного складу, теорія удару, диференціальні рівняння.

В курсі представлені всі традиційні розділи теоретичної механіки, проте особлива увага приділена розгляду найбільш змістовних та цінних для теорії та додатків розділів динаміки та методів аналітичної механіки; статика вивчається як розділ динаміки, а розділ кінематики докладно вводяться необхідні розділу динаміки поняття і математичний апарат.

Інформаційні ресурси

Гантмахер Ф.Р. Лекції з аналітичної механіки. - 3-тє вид. - М.: Фізматліт, 2001.
Журавльов В.Ф. Основи теоретичної механіки. - 2-ге вид. - М.: Фізматліт, 2001; 3-тє вид. - М.: Фізматліт, 2008.
Маркєєв А.П. Теоретична механіка. - Москва - Іжевськ: НДЦ «Регулярна та хаотична динаміка», 2007.

Вимоги

Курс розрахований на студентів, які володіють апаратом аналітичної геометрії та лінійної алгебри в обсязі програми першого курсу технічного вузу.

Програма курсу

1. Кінематика точки
1.1. Завдання кінематики. Декартова система координат. Розкладання вектора за ортонормованим базисом. Радіус вектор і координати точки. Швидкість та прискорення точки. Траєкторія руху.
1.2. Природний тригранник. Розкладання швидкості та прискорення в осях природного тригранника (теорема Гюйгенса).
1.3. Криволінійні координати точки, приклади: полярна, циліндрична та сферична системи координат. Складові швидкості та проекції прискорення на осі криволінійної системи координат.

2. Способи завдання орієнтації твердого тіла
2.1. Тверде тіло. Нерухлива та пов'язана з тілом системи координат.
2.2. Ортогональні матриці повороту та їх властивості. Теорема Ейлера про кінцевий поворот.
2.3. Активна та пасивна точки зору на ортогональне перетворення. Складання поворотів.
2.4. Кути кінцевого обертання: кути Ейлера та "літакові" кути. Вираз ортогональної матриці через кути кінцевого обертання.

3. Просторовий рух твердого тіла
3.1. Поступальний та обертальний рух твердого тіла. Кутова швидкість та кутове прискорення.
3.2. Розподіл швидкостей (формула Ейлера) та прискорень (формула Рівальса) точок твердого тіла.
3.3. Кінематичні інваріанти. Кінематичний гвинт. Миттєва гвинтова вісь.

4. Плоскопаралельний рух
4.1. Поняття плоскопаралельного руху тіла. Кутова швидкість та кутове прискорення у разі плоскопаралельного руху. Миттєвий центр швидкостей.

5. Складний рух точки та твердого тіла
5.1. Нерухома і рухома системи координат. Абсолютний, відносний і переносний рухи точки.
5.2. Теорема про складання швидкостей при складному русі точки, відносна та переносна швидкості точки. Теорема Коріоліса про складання прискорень при складному русі точки, відносне, переносне та коріолісове прискорення точки.
5.3. Абсолютні, відносні та переносні кутова швидкість та кутове прискорення тіла.

6. Рух твердого тіла з нерухомою точкою (квартирний виклад)
6.1. Поняття про комплексні та гіперкомплексні числа. Алгебра кватерніонів. Кватерніонний твір. Сполучений та зворотний кватерніон, норма та модуль.
6.2. Тригонометричне уявлення одиничного кватерніону. Кватерніонний спосіб завдання повороту тіла. Теорема Ейлера про кінцевий поворот.
6.3. Зв'язок між компонентами кватерніону у різних базисах. Складання поворотів. Параметри Родріга-Гамільтона.

7. Екзаменаційна робота

8. Основні поняття динаміки.
8.1. Імпульс, момент імпульсу (кінетичний момент), кінетична енергія.
8.2 Потужність сил, робота сил, потенційна та повна енергія.
8.3 Центр мас (центр інерції) системи. Момент інерції системи щодо осі.
8.4 Моменти інерції щодо паралельних осей; теорема Гюйгенса-Штейнера.
8.5 Тензор та еліпсоїд інерції. Основні осі інерції. Властивості осьових моментів інерції.
8.6 Обчислення моменту імпульсу та кінетичної енергії тіла за допомогою тензора інерції.

9. Основні теореми динаміки в інерційних та неінерційних системах відліку.
9.1 Теорема про зміну імпульсу системи в інерційній системі відліку. Теорема про рух центру мас.
9.2 Теорема про зміну моменту імпульсу системи в інерційній системі відліку.
9.3 Теорема про зміну кінетичної енергії системи в інерційній системі відліку.
9.4 Потенційні, гіроскопічні та дисипативні сили.
9.5 Основні теореми динаміки у неінерційних системах відліку.

10. Рух твердого тіла з нерухомою точкою за інерцією.
10.1 Динамічні рівняння Ейлер.
10.2 Випадок Ейлера, перші інтеграли динамічних рівнянь; перманентні обертання.
10.3 Інтерпретації Пуансо та Маккулага.
10.4 Регулярна прецесія у разі динамічної симетрії тіла.

11. Рух важкого твердого тіла із нерухомою точкою.
11.1 Загальна постановка задачі руху важкого твердого тіла навколо.
нерухомої точки. Динамічні рівняння Ейлера та його перші інтеграли.
11.2. Якісний аналіз руху твердого тіла у разі Лагранжа.
11.3 Вимушена регулярна прецесія динамічно симетричного твердого тіла.
11.4. Основна формула гіроскопії.
11.5 Поняття про елементарну теорію гіроскопів.

12. Динаміка точки у центральному полі.
12.1 Рівняння Біне.
12.2. Рівняння орбіти. Закони Кеплера.
12.3 Завдання розсіювання.
12.4 Завдання двох тел. Рівняння руху. Інтеграл площ, інтеграл енергії, інтеграл Лапласа.

13. Динаміка систем змінного складу.
13.1 Основні поняття та теореми про зміну основних динамічних величин у системах змінного складу.
13.2. Рух матеріальної точки змінної маси.
13.3. Рівняння руху тіла змінного складу.

14. Теорія імпульсивних рухів.
14.1 Основні поняття та аксіоми теорії імпульсивних рухів.
14.2 Теореми про зміну основних динамічних величин під час імпульсного руху.
14.3 Імпульсивний рух твердого тіла.
14.4 Зіткнення двох твердих тіл.
14.5 Теореми Карно.

15. Контрольна робота

Результати навчання

В результаті освоєння дисципліни учень повинен:

Знати:
- основні поняття та теореми механіки та витікаючі з них методи вивчення руху механічних систем;
Вміти:
- коректно формулювати завдання у термінах теоретичної механіки;
- розробляти механіко-математичні моделі, що адекватно відображають основні властивості розглянутих явищ;
- застосовувати отримані знання на вирішення відповідних конкретних завдань;
Володіти:
- навичками вирішення класичних завдань теоретичної механіки та математики;
- навичками дослідження завдань механіки та побудови механіко-математичних моделей, що адекватно описують різноманітні механічні явища;
- навичками практичного використання методів та принципів теоретичної механіки при вирішенні завдань: силового розрахунку, визначення кінематичних характеристик тіл за різних способів завдання руху, визначення закону руху матеріальних тіл та механічних систем під дією сил;
- навичками самостійно опановувати нову інформацію в процесі виробничої та наукової діяльності, використовуючи сучасні освітні та інформаційні технології;

20-те вид. – К.: 2010. – 416 с.

У книзі викладено основи механіки матеріальної точки, системи матеріальних точок та твердого тіла в обсязі, що відповідає програмам технічних вузів. Наведено багато прикладів та завдань, розв'язання яких супроводжуються відповідними методичними вказівками. Для студентів очних та заочних технічних вузів.

Формат: pdf

Розмір: 14 Мб

Дивитись, скачати: drive.google

ЗМІСТ
Передмова до тринадцятого видання 3
Вступ 5
РОЗДІЛ ПЕРШИЙ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА
Глава I. Основні поняття вихідних положень статей 9
41. Абсолютно тверде тіло; сила. Завдання статики 9
12. Вихідні положення статики
$ 3. Зв'язки та їх реакції 15
Розділ II. Складання сил. Система схожих сил 18
§4. Геометрично! Спосіб складання сил. Рівнодійна сила, що сходяться, розкладання сил 18
f 5. Проекції сили на вісь та на площину, Аналітичний спосіб завдання та складання сил 20
16. Рівновість системи схожих сил_. . . 23
17. Розв'язання задач статики. 25
Розділ III. Момент сили щодо центру. Пара сил 31
i 8. Момент сили щодо центру (або точки) 31
| 9. Пара сил. Момент пари 33
f 10*. Теореми про еквівалентність та складання пар 35
Розділ IV. Приведення системи сил до центру. Умови рівноваги... 37
f 11. Теорема про паралельне перенесення сили 37
112. Приведення системи сил до центру - . , 38
§ 13. Умови рівноваги системи сил. Теорема про момент, що дорівнює 40
Глава V. Плоска система сил 41
§ 14. Алгебраїчні моменти сили та пари 41
115. Приведення плоскої системи сил до найпростішого вигляду. 44
§ 16. Рівновість плоскої системи сил. Випадок паралельних сил. 46
§ 17. Розв'язання задач 48
118. Рівновість систем тел 63
§ 19 *. Статично визначальні н статично невизначені системи тіл (конструкції) 56"
f 20*. Визначення внутрішніх зусиль. 57
§ 21*. Розподілені сили 58
Е22 *. Розрахунок плоских ферм 61
Розділ VI. Тертя 64
! 23. Закони тертя ковзання 64
: 24. Реакції шорстких зв'язків. Кут тертя 66
: 25. Рівнавага при наявності тертя 66
(26*. Тертя нитки про циліндричну поверхню 69
1 27 *. Тертя кочення 71
Розділ VII. Просторова система сил 72
§28. Момент сили щодо осі. Обчислення головного вектора
та головного моменту системи сил 72
§ 29 *. Приведення просторової системи сил до найпростішого вигляду 77
§30. Рівновість довільної просторової системи сил. Випадок паралельних сил
Розділ VIII. Центр важкості 86
§31. Центр паралельних сил 86
§ 32. Силове поле. Центр важкості твердого тіла 88
§ 33. Координати центрів тяжкості однорідних тіл 89
§ 34. Способи визначення координат центрів тяжкості тел. 90
§ 35. Центри тяжкості деяких однорідних тіл 93
РОЗДІЛ ДРУГИЙ КИНЕМАТИКА ТОЧКИ І ТВЕРДОГО ТІЛА
Розділ IX. Кінематика точки 95
§ 36. Введення у кінематику 95
§ 37. Способи завдання руху точки. . 96
§38. Вектор швидкості точки. 99
§ 39. Вектор "коріння точки 100
§40. Визначення швидкості та прискорення точки при координатному способі завдання руху 102
§41. Розв'язання задач кінематики точки 103
§ 42. Осі природного тригранника. Числове значення швидкості 107
§ 43. Стосовне та нормальне прискорення точки 108
§44. Деякі окремі випадки руху точки ПЗ
§45. Графіки руху, швидкості та прискорення точки 112
§ 46. Розв'язання задач< 114
§47 *. Швидкість та прискорення точки в полярних координатах 116
Глава X. Поступальний та обертальний рух твердого тіла. . 117
§48. Поступальний рух 117
§ 49. Обертальний рух твердого тіла навколо осі. Кутова швидкість та кутове прискорення 119
§50. Рівномірне та рівноперемінне обертання 121
§51. Швидкості та прискорення точок тіла, що обертається 122
Розділ XI. Плоскопаралельний рух твердого тіла 127
§52. Рівняння плоскопаралельного руху (рухи плоскої фігури). Розкладання руху на поступальне та обертальне 127
§53*. Визначення траєкторій точок плоскої фігури 129
§54. Визначення швидкостей точок плоскої фігури 130
§ 55. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла 131
§ 56. Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей. Поняття про центроїди 132
§57. Розв'язання задач 136
§58 *. Визначення прискорень точок плоскої фігури 140
§59 *. Миттєвий центр прискорень "*«*
Розділ XII. Рух твердого тіла навколо нерухомої точки та рух вільного твердого тіла 147
§ 60. Рух твердого тіла, що має одну нерухому точку. 147
§61. Кінематичні рівняння Ейлера 149
§62. Швидкості та прискорення точок тіла 150
§ 63. Загальний випадок руху вільного твердого тіла
Розділ XIII. Складний рух точки 155
§ 64. Відносний, переносний і абсолютний рух 155
§ 65, Теорема про складання швидкостей » 156
§66. Теорема про складання прискорень (теорема Коріолнса) 160
§67. Розв'язання задач 16*
Розділ XIV. Складне рух твердого тіла 169
§68. Складання поступальних рухів 169
§69. Складання обертань навколо двох паралельних осей 169
§70. Циліндричні зубчасті передачі 172
§ 71. Складання обертань навколо осей, що перетинаються 174
§72. Складання поступального та обертального рухів. Гвинтовий рух 176
РОЗДІЛ ТРЕТІЙ ДИНАМІКА ТОЧКИ
Глава XV: Введення у динаміку. Закони динаміки 180
§ 73. Основні поняття та визначення 180
§ 74. Закони динаміки. Завдання динаміки матеріальної точки 181
§ 75. Системи одиниць 183
§76. Основні види сил 184
Розділ XVI. Диференціальні рівняння руху точки. Розв'язання задач динаміки точки 186
§ 77. Диференціальні рівняння, рухи матеріальної точки №6
§ 78. Розв'язання першого завдання динаміки (визначення сил із заданим рухом) 187
§ 79. Розв'язання основного завдання динаміки при прямолінійному русі точки 189
§ 80. Приклади розв'язання задач 191
§81*. Падіння тіла в опірному середовищі (у повітрі) 196
§82. Розв'язання основного завдання динаміки, при криволінійному русі точки 197
Розділ XVII. Загальні теореми динаміки точки 201
§83. Кількість руху точки. Імпульс сили 201
§ S4. Теорема про зміну кількості руху точки 202
§ 85. Теорема про зміну моменту кількості руху точки (теорема моментів) 204
§86*. Рух під впливом центральної сили. Закон площ.. 266
§ 8-7. Робота сил. Потужність 208
§88. Приклади обчислення роботи 210
§89. Теорема про зміну кінетичної енергії точки. ". . . 213J
Розділ XVIII. Невільний і відносний рух точки 219
§90. Невільний рух точки. 219
§91. Відносний рух точки 223
§ 92. Вплив обертання Землі на рівновагу і рух тіл... 227
§ 93 *. Відхилення краплі від вертикалі внаслідок обертання Землі " 230
Розділ XIX. Прямолінійні коливання крапки. . . 232
§ 94. Вільні коливання без урахування сил опору 232
§ 95. Вільні коливання при в'язкому опорі (загасні коливання) 238
§96. Вимушені коливання. Резонаяс 241
Розділ XX. Рух тіла у полі земного тяжіння 250
§ 97. Рух кинутого тіла на полі тяжіння Землі " 250
§98. Штучні супутники Землі. Еліптичні траєкторії. 254
§ 99. Поняття про невагомість. "Місцеві системи відліку 257
РОЗДІЛ ЧЕТВЕРТИЙ ДИНАМІКА СИСТЕМИ І ТВЕРДОГО ТІЛА
Г я а в а XXI. Введення у динаміку системи. Моменти інерції. 263
§ 100. Механічна система. Сили зовнішні внутрішні 263
§ 101. Маса системи. Центр мас 264
§ 102. Момент інерції тіла щодо осі. Радіус інерції. . 265
$ 103. Моменти інерції тіла щодо паралельних осей. Теорема Гюйгенса 268
§ 104*. Відцентрові моменти інерції. Поняття про головні осі інерції тіла 269
$ 105 *. Момент інерції тіла щодо довільної осі. 271
Розділ XXII. Теорема про рух центру мас системи 273
$ 106. Диференціальні рівняння руху системи 273
§ 107. Теорема про рух центру мас 274
$ 108. Закон збереження руху центру мас 276
§ 109. Розв'язання задач 277
Розділ XXIII. Теорема про зміну кількості рухомої системи. . 280
$ АЛЕ. Кількість руху системи 280
§111. Теорема про зміну кількості руху 281
§ 112. Закон збереження кількості руху 282
$ 113 *. Додаток теореми до руху рідини (газу) 284
§ 114 *. Тіло змінної маси. Рух ракети 287
Гдава XXIV. Теорема про зміну моменту кількості руху системи 290
§ 115. Головний момент кількостей руху системи 290
$ 116. Теорема про зміну головного моменту кількостей руху системи (теорема моментів) 292
$117. Закон збереження основного моменту кількостей руху. . 294
$ 118. Розв'язання задач 295
$ 119 *. Додаток теореми моментів до руху рідини (газу) 298
§ 120. Умови рівноваги механічної системи 300
Розділ XXV. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. . 301.
§ 121. Кінетична енергія системи 301
$122. Деякі випадки обчислення роботи 305
$ 123. Теорема про зміну кінетичної енергії системи 307
$ 124. Розв'язання задач 310
$ 125 *. Змішані завдання "314
$ 126. Потенційне силове поле та силова функція 317
$127, Потенційна енергія. Закон збереження механічної енергії 320
Розділ XXVI. "Додаток загальних теорем до динаміки твердого тіла 323
$ 12&. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі ". 323"
$ 129. Фізичний маятник. Експериментальне визначення моментів інерції. 326
$130. Плоскопаралдедіє рух твердого тіла 328
$131*. Елементарна теорія гіроскопа 334
$ 132 *. Рух твердого тіла навколо нерухомої точки та рух вільного твердого тіла 340
Розділ XXVII. Принцип Даламбера 344
$ 133. Принцип Даламбера для точки та механічної системи. . 344
$ 134. Головний вектор і головний момент сил інерції 346
$ 135. Розв'язання задач 348
$136*, Дидемяческне реакції, що діють на вісь тіла, що обертається. Врівновешшвяпне тіл, що обертаються 352
Розділ XXVIII. Принцип можливих переміщень та загальне рівняння динаміки 357
§ 137. Класифікація зв'язків 357
§ 138. Можливі переміщення системи. Число ступенів свободи. . 358
§ 139. Принцип можливих переміщень 360
§ 140. Розв'язання задач 362
§ 141. Загальне рівняння динаміки 367
Розділ XXIX. Умови рівноваги та рівняння руху системи в узагальнених координатах 369
§ 142. Узагальнені координати та узагальнені швидкості. . . 369
§ 143. Узагальнені сили 371
§ 144. Умови рівноваги системи в узагальнених координатах 375
§ 145. Рівняння Лагранжа 376
§ 146. Розв'язання задач 379
Розділ XXX*. Мінімальні коливання системи при становищі стійкого рівноваги 387
§ 147. Поняття про стійкість рівноваги 387
§ 148. Малі вільні коливання системи з одним ступенем свободи 389
§ 149. Малі затухаючі та вимушені коливання системи з одним ступенем свободи 392
§ 150. Малі зведені коливання системи з двома ступенями свободи 394
Розділ XXXI. Елементарна теорія удару 396
§ 151. Основне рівняння теорії удару 396
§ 152. Загальні теореми теорії удару 397
§ 153. Коефіцієнт відновлення при ударі 399
§ 154. Удар тіла про нерухому перешкоду 400
§ 155. Прямий центральний удар двох тіл (удар куль) 401
§ 156. Втрата кінетичної енергії за непружного удару двох тіл. Теорема Карно 403
§ 157 *. Удар по тілу, що обертається. Центр удару 405
Предметний покажчик 409

Зміст

Кінематика

Кінематика матеріальної точки

Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями її руху

Дано: Рівняння руху точки: x = 12 sin(πt/6), см; y = 6 cos 2 (πt/6), Див.

Встановити вид її траєкторії та для моменту часу t = 1 сзнайти положення точки на траєкторії, її швидкість, повне, дотичне та нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії.

Поступальний та обертальний рух твердого тіла

Дано:
t = 2; r 1 = 2 см; R 1 = 4 см; r 2 = 6 см; R 2 = 8 см; r 3 = 12 см, R 3 = 16 см; s 5 = t 3 – 6t (см).

Визначити у час t = 2 швидкості точок A, C; кутове прискорення колеса 3; прискорення точки B та прискорення рейки 4.

Кінематичний аналіз плоского механізму

Дано:
R 1 , R 2 , L, AB, ω 1 .
Знайти: ω 2 .

Плоский механізм складається з стрижнів 1, 2, 3, 4 та повзуна E. Стрижні з'єднані за допомогою циліндричних шарнірів. Точка D розташована у середині стрижня AB.
Дано: ω 1 , ε 1 .
Знайти: швидкості V A , V B , V D та V E ; кутові швидкості 2 , 3 і 4 ; прискорення a B; кутове прискорення ε AB ланки AB; положення миттєвих центрів швидкостей P 2 і P 3 ланок 2 та 3 механізму.

Визначення абсолютної швидкості та абсолютного прискорення точки

Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі згідно із законом φ = 6 t 2 - 3 t 3. Позитивний напрямок відліку кута показано на малюнках дуговою стрілкою. Вісь обертання OO 1 лежить у площині пластини (пластина обертається у просторі).

По пластині вздовж прямої BD рухається точка M. Встановлено закон її відносного руху, тобто залежність s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s – у сантиметрах, t – у секундах). Відстань b = 20 см. На малюнку точка M показана у положенні, у якому s = AM > 0 (при s< 0 точка M знаходиться з іншого боку від точки A).

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки M у момент часу t 1 = 1 с.

Динаміка

Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що під дією змінних сил

Вантаж D масою m, отримавши в точці A початкову швидкість V 0 рухається у вигнутій трубі ABC, розташованої у вертикальній площині. На ділянці AB, довжина якого l, на вантаж діє постійна сила T (її напрямок показано на малюнку) і сила R опору середовища (модуль цієї сили R = μV 2 вектор R направлений протилежно швидкості V вантажу).

Вантаж, закінчивши рух дільниці AB, у точці B труби, не змінюючи значення модуля своєї швидкості, перетворюється на ділянку BC. На ділянці BC на вантаж діє змінна сила F, проекція F x якої вісь x задана.

Вважаючи вантаж матеріальною точкою, визначити закон його руху дільниці BC, тобто. x = f(t) де x = BD. Тертям вантажу об трубу знехтувати.

Завантажити розв'язання задачі

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Механічна система складається з вантажів 1 і 2, циліндричного котка 3, двоступінчастих шківів 4 і 5. Тіла системи з'єднані нитками, намотаними на шківи; ділянки ниток паралельні відповідним площинам. Ковзанка (суцільний однорідний циліндр) котиться по опорній площині без ковзання. Радіуси щаблів шківів 4 і 5 рівні відповідно R 4 = 0,3 м, r 4 = 0,1 м, R 5 = 0,2 м, r 5 = 0,1 м. Масу кожного шківа вважати рівномірно розподіленою за його зовнішнім обідом . Опорні площини вантажів 1 і 2 шорсткі, коефіцієнт тертя ковзання кожного вантажу f = 0.1.

Під дією сили F, модуль якої змінюється за законом F = F(s), де s - переміщення точки її застосування, система починає рухатися зі стану спокою. При русі системи на шків 5 діють сили опору, момент яких щодо осі обертання постійний і дорівнює M 5 .

Визначити значення кутової швидкості шківа 4 у той час, коли переміщення s точки докладання сили F дорівнюватиме s 1 = 1,2 м.

Завантажити розв'язання задачі

Застосування загального рівняння динаміки до дослідження руху механічної системи

Для механічної системи визначити лінійне прискорення a1. Вважати, що з блоків і котків маси розподілені по зовнішньому радіусу. Троси та ремені вважати невагомими та нерозтяжними; проковзування відсутнє. Тертям кочення і тертям ковзання знехтувати.

Завантажити розв'язання задачі

Застосування принципу Даламбера до визначення реакцій опор тіла, що обертається

Вертикальний вал AK, що обертається рівномірно з кутовою швидкістю ω = 10 -1 , закріплений підп'ятником в точці A і циліндричним підшипником в точці D.

До валу жорстко прикріплено невагомий стрижень 1 довжиною l 1 = 0,3 м, на вільному кінці якого розташований вантаж масою m 1 = 4 кг, і однорідний стрижень 2 довжиною l 2 = 0,6 м, що має масу m 2 = 8 кг. Обидва стрижні лежать в одній вертикальній площині. Точки прикріплення стрижнів до валу, а також кути α та β вказані у таблиці. Розміри AB=BD=DE=EK=b де b = 0,4 м. Вантаж прийняти за матеріальну точку.

Нехтуючи масою валу, визначити реакції підп'ятника та підшипника.