3. Ось так вирішують рівняння білявки!

4. Математика у Задзеркаллі

Цей напис, який я зробив кілька років тому, напевно, найкоротший доказ того, що... 2 = 3. Приставте до неї зверху дзеркало (або подивіться її на просвіт), і ви побачите, як «двоє» перетворяться на «троє» ».

5. Буквомішалка

Ще одна незвичайна формула:

eleven + two = twelve + one.

Виявляється, англійською рівність 11 + 2 = 12 + 1 вірно, навіть якщо його записати словами - «сума» букв ліворуч і праворуч однакова! Це означає, що права частина цієї рівності - анаграма від лівої, тобто виходить із неї перестановкою букв.

Подібні, хоч і менш цікаві буквені рівності можна отримувати і російською мовою:

п'ятнадцять + шість = шістнадцять + п'ять.

6. Пі... чи не Пі?

З 1960 до 1970 року основний національний напій, Який називався «Московська особлива горілка» коштував: півлітра 2,87, а четвертинка 1,49. Ці цифри знало, мабуть, майже все доросле населення СРСР. Радянські математикипомітили, що якщо ціну півлітрівки звести в ступінь, що дорівнює ціні четвертинки, то вийде число «Пі»:

1,49 2,87 ??

(Повідомив Б. С. Горобець).

Вже після виходу першого видання книги доцент хімфака МДУ Леєнзон І. А. надіслав мені такий цікавий коментар до цієї формули: «...багато років тому, коли не було калькуляторів, а ми на фізфаку складали важкий залік з логарифмічної лінійки (!) ( скільки разів треба рухати рухливу лінійку вправо-вліво?), я за допомогою найточніших батькових таблиць (він був геодезистом, іспит з вищої геодезії йому снився все життя) дізнався, що руп-сорок-дев'ять у ступені два-вісімдесят сім рівно 3, 1408. Мене це не задовольнило. Не міг наш радянський Держплан діяти так грубо. Консультації в Міністерстві торгівлі на Кіровській показали, що всі розрахунки цін у державному масштабі робилися з точністю до сотих часток копійки. Але назвати точні цифримені відмовилися, посилаючись на секретність (мене це тоді здивувало - яка може бути секретність у десятих і сотих частках копійки). На початку 1990-х мені вдалося отримати в архівах точні цифри вартості горілки, які на той час були розсекречені спеціальним декретом. І ось що виявилося: четвертинка: 1 карбованець 49,09 коп. У продажу – 1,49 руб. Півлітрівка: 2 рублі 86,63 коп. У продажу – 2,87 руб. Скориставшись калькулятором, я легко з'ясував, що в такому разі четвертинка в ступені півлітра дає (після округлення до 5 значущих цифр) якраз 3,1416! Залишається тільки дивуватися математичним здібностямпрацівників радянського Держплану, які (я цього ні секунди не сумніваюся) спеціально підігнали розрахункову вартість найпопулярнішого напою під заздалегідь відомий результат».

Який відомий зі школи математик зашифрований у цьому ребусі?

8. Теорія та практика

Математику, фізику та інженеру запропонували таке завдання: «Юнак та дівчина стоять біля протилежних стін зали. Якоїсь миті вони починають йти назустріч другу і кожні десять секунд долають половину відстані між ними. Постає питання, через який час вони досягнуть один одного?»

Математик, не роздумуючи, відповів:

Ніколи.

Фізик, трохи подумавши, сказав:

Через нескінченний час.

Інженер після довгих розрахунків видав:

Приблизно через дві хвилини вони будуть досить близькими для будь-яких практичних цілей.

9. Формула краси від Ландау

На наступну пікантну формулу, яку приписує Ландау, великий любитель слабкої статі, звернув мою увагу відомий Ландаувед професор Горобець.

Як нам повідомив доцент МДУІЕ А. І. Зюльков, він чув, що Ландау вивів таку формулу показника жіночої привабливості:

де K- обхват по бюсту; M- по стегнах; N- по талії, T- Зростання, все в см; P- Вага в кг.

Так, якщо прийняти параметри для моделі (1960-х рр.) приблизно: 80-80-60-170-60 (у вказаній послідовності величин), то за формулою отримаємо 5. Якщо ж прийняти параметри «антимоделі», наприклад: 120 -120-120-170-60, то отримаємо 2. Ось у цьому інтервалі шкільних оцінокі працює, грубо кажучи, "формула Ландау".

(Цит. за книгою: Горобець Б. Коло Ландау. Життя генія. М.: Видавництво ЛКІ/URSS, 2008.)

10. Знати б ту відстань...

Ще одна наукоподібна міркування щодо жіночої привабливості, що приписується Дау.

Визначимо привабливість жінки як функцію від відстані до неї. При нескінченному значенні аргументу ця функція перетворюється на нуль. З іншого боку, у точці нуль вона також дорівнює нулю ( мова йдепро зовнішню привабливість, а не про дотичну). Відповідно до теореми Лагранжа, невід'ємна безперервна функція, що приймає на кінцях відрізка нульові значеннямає на цьому відрізку максимум. Отже:

1. Існує відстань, з якої жінка найпривабливіша.

2. Для кожної жінки ця відстань своя.

3. Від жінок треба триматися з відривом.

11. Конський доказ

Теорема: Усі коні одного кольору.

Доведення. Доведемо затвердження теореми щодо індукції.

При n= 1, тобто для множини, що складається з одного коня, твердження, очевидно, виконане.

Нехай затвердження теореми правильне при n = k. Доведемо, що воно вірне і при n = k+ 1. Для цього розглянемо довільну множину з k+ 1 коней. Якщо прибрати з нього одного коня, то їх залишиться k. За припущенням індукції, всі вони одного кольору. Тепер повернемо на місце прибраного коня і заберемо якогось іншого. Знову ж таки за припущенням індукції і ці kконей, що залишилися, одного кольору. Але тоді й усе k+ 1 коней будуть одного кольору.

Звідси, згідно з принципом математичної індукції, всі коні одного кольору. Теорему доведено.

12. Трохи про крокодилів

Ще одна чудова ілюстрація застосування математичних методівдо зоології.

Теорема: Крокодил довший, ніж широкий.

Доведення. Візьмемо довільного крокодила та доведемо дві допоміжні леми.

Лемма 1: Крокодил довший за зелений.

Доведення. Подивимося на крокодила зверху – він довгий та зелений. Подивимося на крокодила знизу – він довгий, але не такий зелений (насправді він темно-сірий).

Отже, лема 1 доведена.

Лемма 2: Крокодил зеленіший, ніж широкий.

Доведення.Подивимося на крокодила ще раз зверху. Він зелений та широкий. Подивимося на крокодила збоку: він зелений, але не широкий. Це доводить лему 2.

Твердження теореми, очевидно, випливає з доведених лем.

Зворотна теорема («Крокодил ширший, ніж довгий») доводиться аналогічно.

На перший погляд, з обох теорем випливає, що крокодил – квадратний. Однак, оскільки нерівності у їх формулюваннях суворі, то справжній математик зробить єдино правильний висновок: КРОКОДИЛІВ НЕ ІСНУЄ!

13. Знову індукція

Теорема: Усі натуральні числа рівні між собою.

Доведення. Необхідно довести, що для будь-яких двох натуральних чисел Aі Bвиконано рівність A = B. Переформулюємо це у такому вигляді: для будь-кого N> 0 та будь-яких Aі B, Що задовольняють рівності max( A, B) = N, має виконуватися і рівність A = B.

Доведемо це щодо індукції. Якщо N= 1, то Aі B, будучи натуральними, обидва рівні 1. Тому A = B.

Припустимо, що твердження доведено для деякого значення k. Візьмемо Aі Bтакими, щоб max( A, B) = k+ 1. Тоді max( A–1, B–1) = k. За припущенням індукції звідси випливає, що ( A–1) = (B-1). Значить, A = B.

14. Усі узагальнення неправильні!

Любителі лінгвістичних та математичних головоломокнапевно знають про рефлексивні, або самоописуються (не подумайте нічого поганого), самовідносні слова, фрази та числа. До останніх, наприклад, відноситься число 2100010006, в якому перша цифра дорівнює кількості одиниць у записі цього числа, друга - кількості двійок, третя - кількості трійок, ..., десята - нулів.

До самоописних слів відноситься, скажімо, слово двадцятиоднолітерне, вигадане мною кілька років тому. У ньому справді 21 буква!

Самоописуються фраз відомо безліч. Один з перших прикладів російською вигадав багато років тому знаменитий карикатурист і словесний дотепник Вагрич Бахчанян: У цій пропозиції тридцять дві літери. Ось кілька інших, вигаданих набагато пізніше: 1. Сімнадцять літер. 2. У цій пропозиції є помилка, розташована в кінці. 3. Ця пропозиція складалася б із семи слів, якщо було б на сім слів коротше. 4. Ви знаходитесь під моїм контролем, оскільки ви читатимете мене, поки не дочитаєте до кінця. 5. ...Цю пропозицію починають і закінчують три точки.

Є й складніші конструкції. Помилуйте, наприклад, на ось цього монстра (див. замітку С. Табачникова «У попа був собака» в журналі «Квант», № 6, 1989): У цій фразі двічі зустрічається слово "в", двічі зустрічається слово "цієї", двічі зустрічається слово "фразе", чотирнадцять разів зустрічається слово "зустрічається", чотирнадцять разів зустрічається слово "слово", шість разів зустрічається слово "раз" , дев'ять разів зустрічається слово "раза", сім разів зустрічається слово "два", три рази зустрічається слово "чотирнадцять", три рази зустрічається слово "три", двічі зустрічається слово "дев'ять", два рази зустрічається слово "сім", два разу зустрічається слово "шість".

Через рік після публікації в «Кванті» І. Акулич придумав фразу, що самоописується, що описує не тільки слова в неї вхідні, а й розділові знаки: Фраза, яку Ви читаєте, містить: два слова "Фраза", два слова "яку", два слова "Ви", два слова "читаєте", два слова "містить", двадцять п'ять слів "слова", два слова "слів" , два слова «двокрапка», два слова «ком», два слова «по», два слова «лівих», два слова «і», два слова «правих», два слова «лапок», два слова «а», два слова "також", два слова "точку", два слова "одно", два слова "одну", двадцять два слова "два", три слова "три", два слова "чотири", три слова "п'ять", чотири слова «двадцять», два слова «тридцять», одна двокрапка, тридцять ком, по двадцять п'ять лівих і правих лапок, а також одну точку.

Нарешті, ще через кілька років все в тому ж «Кванті», з'явилася замітка А. Ханяна, в якій наводилася фраза, яка скрупульозно описує всі свої літери: У цій фразі дванадцять В, дві Е, сімнадцять Т, три О, дві Й, дві Ф, сім Р, чотирнадцять А, дві 3, дванадцять Е, шістнадцять Д, сім Н, сім Ц, тринадцять Ь, вісім С, шість М , п'ять І, дві Ч, дві Ы, три Я, три Ш, дві П.

«Явно відчувається, що не вистачає ще однієї фрази - яка розповідала б і про всі свої літери, і про розділові знаки», написав у приватному листі до мене І. Акулич, який породив одного з наведених раніше монстрів. Можливо, це дуже непросте завдання вирішить будь-хто з наших читачів.

15. «І геній – парадоксів друг...»

Протягом попередньої теми варто згадати про рефлексивні парадокси.

У згадуваній раніше книзі Дж. Літлвуда «Математична суміш» справедливо говориться, що «всі рефлексивні парадокси є, звичайно, чудовими жартами». Там же наводяться два з них, які я дозволю собі процитувати:

1. Повинні існувати (позитивні) цілі числа, які можуть бути задані фразами, що складаються менше, ніж із шістнадцяти слів. Будь-яка безліч позитивних цілих чисел містить найменше число, і тому існує число N, «найменше ціле число, яке може бути задане фразою, що з менш, ніж шістнадцяти слів». Але ця фраза містить 15 слів та визначає N.

2. У журналі Spectatorбуло оголошено конкурс на тему «Що б Ви з найбільшим задоволенням прочитали, розкривши ранкову газету?» Перший приз отримав відповідь:

Наш другий конкурс

Перший приз у другому конкурсі цього року присуджено містеру Артуру Робінсону, дотепна відповідь якого без натяжки має бути визнана найкращою. Його відповідь на запитання: "Що б Ви з найбільшим задоволенням прочитали, розкривши ранкову газету?" був під назвою «Наш другий конкурс», але через лімітування паперу ми не можемо надрукувати його повністю.

16. Паліндроматика

Є такі дивовижні фрази, які читаються однаково та зліва направо та праворуч наліво. Одну напевно знають усі: А троянда впала на Азора лапу. Саме її просила написати в диктанті невче Буратіно примхлива Мальвіна. Називаються такі взаємозворотні фрази паліндромами, що в перекладі з грецької означає «біжить назад, що повертається». Ось кілька прикладів: 1. Ліліпут сома на мосту пиляв. 2. Лізу на санвузол. 3. Ліг на храм, і дивний і невидимий архангел. 4. Натиснув кабан на баклажан. 5. Муза, ранячись шилом досвіду, ти помолишся на розум. (Д. Аваліані). 6. Вже рідко рукою недопалок тримаю...(Б. Гольдштейн) 7. Учуючи молоко, я біля м'яучу. (Г. Лукомніков). 8. Він верба, але вона – колода. (С. Ф.)

А цікаво, чи є паліндроми у математиці? Для відповіді це запитання спробуємо перенести ідею взаємозворотного, симетричного прочитання числа і формули. Виявляється, це не так уже й важко. Познайомимося лише з декількома характерними прикладами цієї поліндромної математики, паліндроматики. Залишаючи осторонь паліндромні числа - наприклад, 1991 , 666 і т.д. - звернемося відразу до симетричних формул.

Спробуємо спочатку вирішити таке завдання: знайти всі пари таких двозначних чисел

(x 1 - перша цифра, y 1 - друга цифра) та

щоб їх складання не змінювався внаслідок прочитання суми справа наліво, тобто.

Наприклад, 42+35=53+24.

Завдання вирішується тривіально: сума перших цифр у всіх таких пар чисел дорівнює сумі їхніх других цифр. Тепер можна легко будувати подібні приклади: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 і так далі.

Розмірковуючи аналогічним чином, можна легко вирішити таке ж завдання для інших арифметичних дій.

Що стосується різниці, тобто.

виходять такі приклади: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - суми цифр у таких чисел дорівнюють ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

У разі множення маємо: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - при цьому добуток перших цифр у чисел N 1 і N 2 дорівнює добутку їхніх інших цифр ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

Нарешті, для поділу отримуємо такі приклади:

У цьому випадку добуток першої цифри числа N 1 на другу цифру числа N 2 дорівнює добутку двох інших цифр, тобто. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

17. Антирадянська теорема

Доказ наступної «теореми», що виникла в епоху «недорозвиненого соціалізму», спирається на популярні тези тих років щодо ролі Комуністичної партії.

Теорема. Роль партії – негативна.

Доведення. Добре відомо, що:

1. Роль партії безперервно зростає.

2. За комунізму, у безкласовому суспільстві, роль партії буде нульовою.

Таким чином, маємо функцію, що безперервно зростає, що прагне до 0. Отже, вона негативна. Теорему доведено.

18. Дітям до шістнадцяти вирішувати забороняється

Незважаючи на абсурдність наступної задачі, у неї, проте, є цілком суворе рішення.

Завдання.Мати старший за синана 21 рік Через шість років вона буде старша за нього в п'ять разів. Постає питання: ДЕ ТАТО?!

Рішення. Нехай X- Вік сина, а Y- Вік мами. Тоді умова задачі записується як системи двох простих рівнянь:

Підставляючи Y = X+ 21 у друге рівняння, отримаємо 5 X + 30 = X+ 21 + 6, звідки X= -3/4. Отже, зараз сину мінус 3/4 року, тобто. мінус 9 місяців. А це означає, що тато в Наразізнаходиться на мамі!

19. Несподіваний висновок

Добре відомий іронічний вислів «Якщо ти такий розумний, то чому ти такий бідний?», застосовний, на жаль, дуже до багатьох. Виявляється, цей сумний феномен має суворе математичне обґрунтування, що спирається на такі ж безперечні істини.

А саме, почнемо з двох усім відомих постулатів:

Постулат 1: Знання = Сила.

Постулат 2: Час = Гроші.

Крім того, будь-який школяр знає, що

Шлях s = Швидкість x Час = Робота: Сила,

Робота: Час = Сила x Швидкість (*)

Підставляючи значення для «часу» і «сили» з обох постулатів (*), отримаємо:

Робота: (Знання x Швидкість) = Гроші (**)

З отриманої рівності (**) видно, що спрямовуючи «знання» чи «швидкість» до нуля, ми можемо отримати за будь-яку «роботу» скільки завгодно великі гроші.

Звідси висновок: чим дурніший і лінивіше людина, тим більше грошейвін зможе заробити.

20. Математична гра Ландау

Кілька років тому в журналі «Наука і життя» (№1, 2000) була опублікована нотатка професора Б. Горобця, що викликала величезний інтерес читачів, присвячена чудовій грі-головоломці, яку вигадав академік Ландау, щоб не нудьгувати під час поїздок у машині. Пограти в цю гру, в якій датчиком випадкових чиселслужили номери машин (тоді ці номери складалися з двох літер і двох пар цифр), він часто пропонував своїм супутникам. Суть гри полягала в тому, щоб за допомогою знаків арифметичних дій та символів елементарних функцій (тобто +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg тощо) привести до одного та тому ж значенню ці два двозначних числаіз номера попутної машини. При цьому допускається використання факторіалу ( n! = 1 x 2 x ... х n), але не допускається використання секансу, косекансу та диференціювання.

Наприклад, для пари 75–33 шукана рівність досягається таким чином:

а для пари 00-38 - так:

Однак не всі номери вирішуються так просто. Деякі з них (наприклад, 75–65) не піддавалися і автору гри, Ландау. Тому виникає питання про якийсь універсальний підхід, якусь єдину формулу, що дозволяє «вирішувати» будь-яку пару номерів. Це питання ставив Ландау та її учень проф. Каганів. Ось що він, зокрема, пише: "Чи завжди можна зробити рівність з автомобільного номера?" - Запитав я у Ландау. - Ні, - відповів він дуже точно. – «Ви довели теорему про неіснування рішення?» – здивувався я. - "Ні", - переконано сказав Лев Давидович, - "але не всі номери у мене виходили".

Однак такі рішення було знайдено, причому одне з них ще за життя самого Ландау.

Харківський математик Ю. Палант запропонував для вирівнювання пар чисел формулу

що дозволяє внаслідок неодноразового застосування висловити будь-яку цифру через будь-яку меншу. "Я навів доказ Ландау", - пише про це рішення Каганов. - «Воно йому дуже сподобалося..., і ми напівжартома, напівсерйозно обговорювали, чи не опублікувати його в якомусь науковому журналі».

Однак у формулі Паланта використовується «заборонений» нині секанс (ось уже понад 20 років він не входить до шкільну програму), а тому її не можна вважати задовільною. Втім, мені вдалося це легко виправити за допомогою модифікованої формули

Отримана формула (знов-таки за необхідності її треба застосовувати кілька разів) дозволяє виразити будь-яку цифру через будь-яку велику цифру, не застосовуючи інших цифр, що, очевидно, вичерпує завдання Ландау.

1. Нехай серед цифр немає нулів. Складемо з них два числа abі cd, (Це, зрозуміло, не твори). Покажемо, що за n ? 6:

sin[( ab)!] ° = sin [( cd)!]° = 0.

Справді, sin( n!) ° = 0, якщо n? 6, оскільки sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Далі будь-який факторіал виходить множенням 6! на наступні цілі числа: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 і т.д., даючи кратне число разів по 360 ° в аргументі синуса, роблячи його (і тангенс теж) рівним нулю.

2. Нехай у якійсь парі цифр є нуль. Помножуємо його на сусідню цифру та прирівнюємо до синуса факторіалу в градусах, взятого від числа в іншій частині номера.

3. Нехай у обох частинах номера є нулі. При множенні сусідні цифри вони дають тривіальне рівність 0 = 0.

Розбиття загального рішення на три пункти з множенням на нуль у пунктах 2 і 3 пов'язано з тим, що sin( n!) °? 0, якщо n < 6».

Зрозуміло, подібні загальні рішенняпозбавляють гру Ландау первісної краси, представляючи лише абстрактний інтерес. Тому спробуйте пограти з окремими складними номерами, не використовуючи універсальних формул. Ось деякі з них: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00-26.

21. Ворожіння за визначниками

22. 9 знаків

Ще про визначники.

Мені розповідали, що у свій час серед першокурсників мехмату була популярна гра в «визначник» на гроші. Двоє гравців креслять на папері визначник 3 x 3 із незаповненими осередками. Потім по черзі вставляють у порожні осередки цифри від 1 до 9. Коли всі клітини заповнені, визначник вважають - відповідь з урахуванням знака і є виграш (або програш) першого гравця, який виражений у рублях. Тобто якщо, наприклад, вийшло число -23, то перший гравець платить другому 23 рубля, а якщо, скажімо, 34, то, навпаки, другий платить першому 34 рубля.

Хоча правила гри прості, як ріпка, вигадати правильну стратегію виграшу дуже нелегко.

23. Як академіки завдання вирішували

Цю замітку мені надіслав математик і письменник А. Жуков, автор чудової книги «Всюдисуще число пі».

Професор Борис Соломонович Горобець, який викладає математику у двох московських вузах, написав книгу про великого фізика Лева Давидовича Ландау (1908–1968) – «Коло Ландау». Ось яку цікаву історію, пов'язану з одним фізтехівським вступним завданням він нам розповів.

Сталося так, що соратник Ландау та його співавтор з десятитомного курсу з теоретичної фізики академік Євген Михайлович Ліфшиць (1915–1985) у 1959 році допомагав випускнику школи Борі Горобцю готуватися до вступу до одного з провідних фізичних вузівМоскви.

На письмовому іспиті з математики в Московському фізико-математичному інституті пропонувалося таке завдання: «В основі піраміди SABC лежить прямокутний рівнобедрений трикутник ABC з кутом C = 90°, стороною AB = l. Бічні граніутворюють з площиною основи двогранні кути?, ?, ?. Знайдіть радіус вписаної в піраміду кулі».

Майбутній професор не впорався тоді із завданням, але запам'ятав її умову і пізніше повідомив Євгена Михайловича. Той, повозившись із завданням у присутності учня, не зміг вирішити її одразу і забрав із собою додому, а ввечері зателефонував і повідомив, що, не здолаючи її протягом години, запропонував це завдання Леву Давидовичу.

Ландау любив вирішувати завдання, що викликали труднощі в інших. Незабаром він передзвонив Ліфшицю і, задоволений, сказав: «Завдання вирішив. Вирішував рівно годину. Подзвонив Зельдовичу, тепер вирішує він. Пояснимо: Яків Борисович Зельдович (1914–1987) – відомий учений, який вважав себе учнем Ландау, був у ті роки головним фізиком-теоретиком у надсекретному Радянському Атомному проекті (про що, звичайно, тоді мало хто знав). Приблизно через годину Є. М. Ліфшиц зателефонував знову і повідомив: щойно йому зателефонував Зельдович і не без гордості сказав: «Вирішив я ваше завдання. За сорок хвилин вирішив!

А за який час упораєтеся з цим завданням ви?

24. Завдання

У дотепній збірці фізтехівського гумору «Занауковий гумор» (М., 2000) є чимало математичних жартів. Ось лише одна з них.

При випробуванні одного виробу відбулася одна відмова. Яка можливість безвідмовної роботи виробу?

Теорема. Усі натуральні числа цікаві.

Доведення. Припустимо неприємне. Тоді має існувати найменше нецікаве натуральне число. Ха, так це страшенно цікаво!

26. Вища арифметика

1 + 1 = 3, коли значення 1 досить велике.

27. Формула Ейнштейна-Піфагора

E = m c 2 = m(a 2 + b 2).

28. Про користь теорвера

Цю кумедну історію з моєї студентського життяцілком можна пропонувати на семінарах з теорії ймовірностей як завдання.

Влітку ми з друзями вирушили у похід у гори. Нас було четверо: Володя, два Олеги та я. У нас був намет і три спальники, з яких один двомісний – для нас із Володею. З цими самими спальниками, точніше з їх розташуванням у наметі, і вийшла заковика. Справа в тому, що йшли дощі, намет був тісний, з боків підтікав, і лежачим з краю було не дуже зручно. Тому я запропонував вирішити цю проблему «чесно» за допомогою жереба.

Дивіться, - сказав я Олегам, - наш із Володею двоспальник може бути або з краю, або в центрі. Тому кидатимемо монетку: якщо випаде «орел» – наш двоспальник буде з краю, якщо «решка» – у центрі.

Олеги погодилися, проте через кілька ночівель з краю (неважко порахувати за формулою повної ймовірності, Що для кожного з нас з Володею ймовірність спати не біля краю намету дорівнює 0,75) Олеги запідозрили недобре і запропонували переглянути договір.

Справді, - сказав я, - шанси були нерівними. Насправді для нашого двоспальника три можливості: з лівого краю, з правого та в центрі. Тому щовечора ми тягтимемо одну з трьох паличок - якщо витягнемо коротку, то наш двоспальник буде в центрі.

Олеги знову погодилися, хоча і цього разу наші шанси ночувати не біля краю (тепер ймовірність дорівнює 0,66, точніше, дві треті) були кращими, ніж у кожного з них. Після двох ночівель із краю (на нашому боці були найкращі шанси плюс везіння) Олеги знову зрозуміли, що їх надули. Але тут, на щастя, скінчилися дощі, і проблема відпала сама собою.

Адже насправді наш двоспальник має бути завжди з краю, а ми з Володею вже за допомогою монетки визначали б щоразу, кому пощастило. Те саме робили б і Олеги. У цьому випадку шанси спати з краю були б у всіх однакові та дорівнюють 0,5.

Примітки:

Іноді аналогічну історію розповідають про Жана Шарля Франсуа Штурма.

На цій сторінці зібрані всі формули, необхідні для здачі контрольних та самостійних робіт, екзаменів з алгебри, геометрії, тригонометрії, стереометрії та інших розділів математики

Тут ви можете завантажити або переглянути онлайн всі основні тригонометричні формули, формулу площі кола, формули скороченого множення, формула довжини кола, формули приведення та багато інших.

Можна також роздрукувати необхідні збірки математичних формул.

Успіхів в навчанні!

Формули Арифметики:

Формули Алгебри:

Геометричні Формули:

Арифметичні формули:

Закони дій над числами

Переміщувальний закон складання: a + b = b + a.

Сполучний закон складання: (a + b) + c = a + (b + c).

Переміщувальний закон множення: ab = ba.

Сполучний закон множення: (ab) з = a (bc).

Розподільний закон множення щодо складання: (a + b) с = aс + bс.

Розподільний закон множення щодо віднімання: (a - b) с = aс - bс.

Деякі математичні позначення та скорочення:

Ознаки подільності

Ознаки подільності на «2»

Число, що ділиться на «2» без залишку називається парним, що не ділиться - непарним. Число ділиться на «2» без залишку, якщо його остання цифра парна (2, 4, 6, 8) або нуль

Ознаки подільності на «4»

Число ділиться на «4» без залишку, якщо дві останні його цифри нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «4»

Ознаки подільності на «8»

Число ділиться на «8» без залишку, якщо три останні його цифри нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «8» (приклад: 1000 - три останні цифри «00», а при розподілі 1000 на 8 виходить 125; 104 - дві останні цифри "12" діляться на 4, а при розподілі 112 на 4 виходить 28; і т.д.)

Ознаки подільності на «3» та на «9»

Без залишку на «3» діляться лише ті числа, які мають суму цифр ділиться без залишку на «3»; на «9» — лише ті, у яких сума цифр ділиться без залишку на «9»

Ознаки подільності на «5»

Без залишку на "5" діляться числа, остання цифра яких "0" або "5"

Ознаки подільності на «25»

Без залишку на «25» діляться числа, дві останні цифри яких нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «25» (тобто числа, що закінчуються на «00», «25», «50», «75») »

Ознаки подільності на «10», «100» та «1 000»

Без залишку на «10» діляться лише ті числа, остання цифра яких нуль, на «100» — лише ті числа, які мають дві останні цифри нулі, на «1000» — лише ті числа, у яких три останні цифри нулі

Ознаки подільності на «11»

Без залишку на «11» діляться лише ті числа, у яких сума цифр, що займають непарні місця, або дорівнює сумі цифр, що займають парні місця, або відрізняється від неї на число, що ділиться на «11»

Абсолютна величина - формули (модуль)

|a| ? 0, причому | a | = 0, тільки якщо a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 | ab | = | a | * | b | |a/b|=|a|/|b|, причому b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Формули Дії з дробами

Формула обігу кінцевого десяткового дробу в раціональний дріб:

Пропорції

Два рівні відносини утворюють пропорцію:

Основна властивість пропорції

Знаходження членів пропорції

Пропорції, рівносильні пропорції : Похідна пропорція- Наслідок даної пропорціїу вигляді

Середні величини

Середнє арифметичне

Двох величин: nвеличин:

Середнє геометричне (середнє пропорційне)

Двох величин: nвеличин:

Середнє квадратичне

Двох величин: nвеличин:

Середнє гармонійне

Двох величин: nвеличин:

Деякі кінцеві числові ряди

Властивості числових нерівностей

1) Якщо a< b , то за будь-якого c: a + с< b + с .

2) Якщо a< b і з > 0, то aс< bс .

3) Якщо a< b і c< 0 , то aс > bс.

4) Якщо a< b , aі bодного знака, то 1/a > 1/b.

5) Якщо a< b і c< d , то a + с< b + d , a - d< b — c .

6) Якщо a< b , c< d , a > 0, b > 0, з > 0, d > 0, то ac< bd .

7) Якщо a< b , a > 0, b > 0, то

8) Якщо , то

• Формули Прогресії:

• 

• Похідна

• Логарифми:
• Координати та вектори

  1. Відстань між точками A1(x1;y1) та A2(x2;y2) знаходиться за формулою:

  2. Координати (x; y) середини відрізка з кінцями A1 (x1; y1) і A2 (x2; y2) знаходиться за формулами:

  

  3. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтомта початковою ординатою має вигляд:

  Кутовий коефіцієнт k являє собою значення тангенса кута, утвореного прямою з позитивним напрямом осі Ox, а початкова ордината q – значення ординати точки перетину прямої з віссю Oy.

  4. Загальне рівнянняпрямий має вигляд: ax + by + c = 0.

  5. Рівняння прямих, паралельних відповідно до осей Oy і Ox, мають вигляд:

  Ax+by+c=0.

  6. Умови паралельності та перпендикулярності прямих y1=kx1+q1 та y2=kx2+q2 відповідно мають вигляд:

  

  7. Рівняння кіл з радіусом R і з центром відповідно в точках O(0;0) і C(xo;yo) мають вигляд:

  8. Рівняння:

  являє собою рівняння параболи з вершиною в точці, абсцис якої

• Прямокутна декартова системакоординат у просторі

  1. Відстань між точками A1(x1;y1;z1) та A2(x2;y2;z2) знаходиться за формулою:

  2. Координати (x;y;z) середини відрізка з кінцями A1(x1;y1;z1) і A2(x2;y2;z2) знаходяться за формулами:

  3. Модуль вектора, заданого своїми координатами, знаходиться за формулою:

  

  4. При складанні векторів їх відповідні координати складаються, а при множенні вектора число всі його координати множаться цього число, тобто. справедливі формули:

  5. Одиничний вектор, спрямований з вектором, знаходиться за формулою:

  6. Скалярним твором векторів називається число:

  

  де - Кут між векторами.

  7. Скалярний твірвекторів

  

  8. Косинус кута між векторами і знаходиться за формулою:

  9. Необхідне та достатня умоваперпендикулярності векторів і має вигляд:

  10. Загальне рівняння площини, перпендикулярний вектормає вигляд:

  Ax+by+cz+d=0.

  11. Рівняння площини, перпендикулярної вектору і проходить через точку (xo; yo; zo), має вигляд:

  A(x - xo) + b (y - yo) + c (z - zo) = 0.

  12. Рівняння сфери із центром O(0;0;0) записується у вигляді.

Освіта - те, що залишається після того, як забуто все, чого навчали у школі.

Ігор Хмелінський, новосибірський вчений, що нині працює в Португалії, доводить, що без прямого запам'ятовування текстів та формул розвиток абстрактної пам'яті у дітей важко. Наведу витяг з його статті "Уроки освітніх реформу Європі та країнах колишнього СРСР"

Заучування напам'ять та довготривала пам'ять

Незнання таблиці множення має більш серйозні наслідки, ніж нездатність виявити помилки у розрахунках на калькуляторі. Наша довготривала пам'ять працює за принципом асоціативної бази даних, тобто одні елементи інформації при запам'ятовуванні виявляються пов'язаними з іншими на основі асоціацій, встановлених в момент знайомства з ними. Тому, щоб у голові утворилася база знань у будь-якій предметної області, наприклад, в арифметиці, потрібно спочатку вивчити хоч щось напам'ять. Далі, інформація, що знову надходить, потрапить з короткочасної пам'ятіу довготривалу, якщо протягом короткого проміжку часу (кілька днів) ми зіткнемося з нею багаторазово, і, бажано, за різних обставин (що сприяє створенню корисних асоціацій). Однак за відсутності в постійній пам'яті знань з арифметики, елементи інформації, що знову надходять, пов'язуються з елементами, які до арифметики жодного відношення не мають – наприклад, особистістю викладача, погодою на вулиці тощо. Очевидно, таке запам'ятовування ніякої реальної користі учню не принесе – оскільки асоціації виводять із даної предметної галузі, то ніяких знань, що стосуються арифметики, учень згадати не зможе, крім невиразних ідей про те, що він начебто щось колись про це мав чути. Для таких учнів роль асоціацій, що бракують, зазвичай виконують різного родупідказки – списати у колеги, скористатися питаннями, що наводять, у самій контрольній, формулами зі списку формул, яким користуватися дозволено, тощо. У реального життя, без підказок, така людина виявляється абсолютно безпорадною і нездатною застосувати знання, що є у неї в голові.

Формування математичного апарату, при якому формули не заучуються, відбувається повільніше, ніж інакше. Чому? По-перше, нові властивості, теореми, взаємозв'язки між математичними об'єктами майже завжди використовують якісь особливості раніше вивчених формул та понять. Концентрувати увагу учня на новому матеріалі буде складніше, якщо ці особливості не зможуть отримувати з пам'яті за короткий проміжок часу. По-друге, незнання формул напам'ять перешкоджає пошуку вирішення змістовних завдань з великою кількістюдрібних операцій, у яких потрібно як провести певні перетворення, а й виявити послідовність цих ходів, аналізуючи застосування кількох формул на два-три кроки вперед.

Практика показує, що інтелектуальне та математичний розвитокдитини, формування її бази знань та навичок, відбувається значно швидше, якщо більша частинавикористовуваної інформації (властивості та формули) бути в голові. І чим міцніше і довше вона там утримується, тим краще.

Одним з найбільш складних видівНабір є набір математичних формул. Формулиявляють собою тексти, що включають шрифти на російській, латинській та грецькій основах, прямого та курсивного, світлого, напівжирного зображення, з більшим числомматематичних та інших знаків, індексів на верхню та нижню лінії шрифту та різних великокегельних знаків. Асортименти шрифтів для набору формул мінімально становить 2 тис. знаків. Таблиця символів WORD-98 включає 1148 символів.

Основна відмінність формульного набору від інших видів набору полягає в тому, що набір формули в її класичному вигляді виробляється не паралельними рядками, а займає певну частину площі смуги.

Формула- Математичний або хімічний вираз, в якому за допомогою цифр, символів та спеціальних знаків в умовній формі виражається співвідношення між певними величинами.

Цифри- знаки, якими позначаються чи виражаються числа (кількості). Цифри бувають арабські та римські.

Арабські цифри: 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Арабські цифри змінюють своє значення в залежності від того місця, яке вони займають у ряді цифрових знаків. Арабські цифри поділяються на два класи – 1-й – одиниці, десятки, сотні; 2-й – тисячі, десятки тисяч, сотні тисяч тощо.

Римські цифри. Основних цифрових знаків сім: I – одиниця, V – п'ять, X – десять, L – п'ятдесят, С – сто, D – п'ятсот, М – тисяча. Римські цифри мають постійне значення, тому числа виходять додаванням або відніманням цифрових знаків. Наприклад: 28 = XXVIII (10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1); 29 = XXIX (10 + 10 -1 + 10); 150 = CL (100 + 50); 200 = СС (100 + 100); 1980 = MDCCCCLXXX (1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10); 2002 = MMII (1000 + 1000 + 1 + 1).

Римськими цифрами зазвичай позначають століття (ХV1в.), Номери томів (том IX), розділів (глава VII), частин (частина II) і т.д.

Символи - буквені вирази, що входять до складу формули (наприклад, математичні символи: l - довжина, λ - частота відмов (усадка), π - відношення довжини кола до діаметра і т.д.; хімічні символи: Аl – алюміній, РЬ – свинець, Н – водень і т.д.).

Коефіцієнти- цифри, що стоять перед символами, наприклад 2Н2О; 4sinx. Символи та цифри часто мають індекси надрядкові (на верхню лінію) та підрядкові (на нижню лінію), які або пояснюють значення індексів, (наприклад, λ с – лінійна усадка, G T – теоретична масавиливки, С ф -фактична маса виливки); або вказують на математичні дії (наприклад, х 2 у 3 z -2 і т.д.); або вказують число атомів у молекулі та число зарядів іонів у хімічних формулах(Наприклад, СН 4). У формулах зустрічаються також індекси до індексів: верхній індекс до верхнього індексу - верхній супраіндекс, нижній індекс до верхнього індексу - верхній субіндекс, верхній індекс до нижнього індексу – нижній супраіндекс та нижній індекс до нижнього індексу – нижній субіндекс.

Знаки математичних процесів і співвідношень - додавання «+», віднімання «-», рівності «=», множення «х»; дія поділ позначається горизонтальною лінійкою, яка буде називатися дробовою або ділильною лінійкою.

(9.12)

Основний рядок- Рядок, в якому розміщені основні знаки математичних дій та співвідношень.

Класифікація формул.

Математичні формулиподіляються за складністю набору, що залежить від складу формули (однорядкові, дворядкові, багаторядкові) та насиченості її різними математичними знаками та символами, індексами, субіндексами, супраіндексами та приставними знаками. За складністю набору всі математичні формули умовно можна поділити на чотири основні групи та одну додаткову:

1 група. Однорядкові формули (9.13-9.16);

2 група. Дворядкові формули (9.17-9.19). Фактично ці ф-ли складаються з 3-х рядків;

3 група. Трирядкові формули (9.20-9.23). Фактично ці ф-ли складаються з п'яти рядків;

4 група. багаторядкові формули (9.24-9.26);

Додаткова група (9:27-9:29).

При виділенні формул групи складності враховувалася трудомісткість набору і час, затрачуване на набір.

ІІ група. Дворядкові формули:

(9.29)

Правила набору тексту математичних формул.

При наборі математичного тексту необхідно дотримуватися таких основних правил.

Набирати цифриу формулах прямим шрифтом, наприклад 2ах; Зу.

Скорочені тригонометричні та математичні терміни, наприклад sin, cos, tg, ctg, arcsin. Ig, limі т.д., набирати шрифтом латинського алфавітупрямого світлого зображення.

Скорочені слова в індексінабирати російським шрифтом прямого зображення на нижню лінію.

Скорочені найменування фізичних, метричних та технічних одиниць виміру, позначені літерами російського алфавіту, набирати в тексті прямим шрифтом без точок, наприклад 127 В, 20 кВт. Ці ж найменування, позначені літерами латинського алфавіту, набирати також прямим шрифтом без крапок, наприклад 120 V, 20 kWякщо немає в оригіналі інших вказівок.

Символи (або цифри та символи), що йдуть один за одним і не розділені будь-якими знаками, набирати без відбивання, наприклад 2ху; 4у.

Розділові знакиу формулах набирати прямим світлим шрифтом. Коми всередині формули відбивати від наступного елемента формули на 3 п.; від попереднього елемента формули кома не відбивається; від попередньої підрядкової літери кома відбивається на 1 п.

Багатокрапкана нижню лінію набирати крапками з розбивкою на напівкегельну. Від попереднього та наступного елементів формули точки відбивати теж напівкегельною, наприклад:

(9.30)

Символи(або цифри та символи), що йдуть один за одним, не розділяти, а набирати без відбивання.

Знаки математичних дій та співвідношень, а також знаки геометричних образів, як наприклад, = ,< ,> , + , - , відбивати від попередніх та наступних елементів формули на 2 п

Скорочені математичні термінивідбивати від попередніх та наступних елементів формули на 2 п.

Показник ступеня, що йде безпосередньо за математичним терміном, набирати впритул до нього, а відбивку робити після показника ступеня.

Літери "d" (у значенні "диференціал"), δ (у значенні «приватна похідна») та ∆ (у значенні «прирощення») відбивати від попереднього елемента формули на 2 п., від наступного символу вказані знакине відбиваються.

Скорочені найменування фізичних та технічних одиниць виміруі метричних заходів у формулах відбивати на 3 п. від цифр та символів, до яких вони відносяться.

Знаки ° , " , " відбивати від наступного символу (або цифри) на 2 п. від попереднього символу зазначені знаки не відбиваються.

Розділові знаки, що йдуть за формулою, Не відбиваються від неї.

Рядок відточеньу формулах набирають крапками, використовуючи напівкегельне відбиття між ними.

Формули, набрані у підбір із текстом, відбивати від попереднього та наступного текстів напівкегельної; ця відбивка при вимкненні рядка не зменшується, а збільшується. Так само вимикають формули, що йдуть одна за одною у підбір з текстом.

Декілька формул, поміщених в одному рядку, вимкненому по центру, відбивати один від одного пробілом не менше кегельної і не більше 1/2 кв.

Дрібні пояснювальні формули, що набираються в один рядок з основною формулою, вимикати в правий край рядка або відбивати на дві кегельні від основного виразу (якщо немає інших вказівок в оригіналі).

Порядкові номериформул набирати цифрами того ж кегля, що і однорядкові формули, і вимикати в правий край, наприклад:

Х+У=2 (9.31)

Якщо формула не вміщується у формат рядка, а переносити її не можна, допускається її набір меншим кеглем.

Перенесення у формулах небажані. Щоб уникнути перенесення, допускається зменшення прогалин між елементами формули. Якщо зменшенням прогалин не вдається довести формулу до потрібного формату рядка, переноси допускаються:

1) на знаках співвідношення між лівою та правою частинамиформули ( = ,>,< );

2) на знаках складання чи віднімання (+, - );

3) на знаках множення (x). При цьому наступний рядок починається зі знака, на якому закінчилася формула попереднього рядка. При перенесенні формул необхідно стежити за тим, щоб частина, що переноситься, не була дуже маленькою, не розривалися вирази, укладені в дужки, вирази, що відносяться до знаків кореня, інтеграла, суми; не допускається поділ індексів, показників ступенів, дробів.

У нумерованих формулах номер формули у разі її перенесення ставлять лише на рівні центрального рядка перенесеної частини формули. Якщо порядкова нумерація вміщується в рядку, її поміщають в наступному і вимикають у правий край. Формули, чисельник чи знаменник яких не вміщується в заданому форматі набору, набирають шрифтом меншого кегля, або шрифтом цього ж кегля, але у два рядки з перенесенням.

Якщо при перенесенні формули розривається ділильна лінійка або лінійка кореня, місце розриву кожної лінійки вказують стрілками.

Стрілки не можна встановлювати біля математичних символів.

Без подальших церемоній, ось вона:

Її зазвичай називають тотожністю Ейлера на честь великого швейцарського математика Леонарда Ейлера (1707 – 1783). Її можна побачити на футболках і кавових кружках, і кілька опитувань серед математиків і фізиків удостоїли її такої назви, як найбільше рівняння (Crease, Robert P., The greatest equations ever).

Відчуття краси та елегантності тотожності походить з того, що воно поєднує у простій формі п'ять самих важливих чиселматематичних констант: - основа натурального логарифму, — квадратний коріньз і . Дивлячись на нього уважно, більшість людей замислюються про показник: що означає звести число на уявний ступінь? Терпіння, терпіння, ми до цього дістанемося.

Щоб пояснити, звідки виникає ця формула, ми повинні спочатку отримати більш загальну формулу, знайдену Ейлером, а потім показати, що наша рівність є лише окремим випадком цієї формули. Загальна формуладивовижна сама по собі і має безліч чудових додатків у математиці, фізиці та техніці.

Перший крок у нашій подорожі — зрозуміти, що більшість функцій у математиці може бути представлена ​​у вигляді нескінченної сумиза ступенями аргументу. Це приклад:

Тут вимірюється у радіанах, а не у градусах. Ми можемо отримати хороше наближення для конкретного значення, використовуючи лише кілька перших членів низки. Це приклад ряду Тейлора і досить легко вивести цю формулу, використовуючи математичний аналіз. Тут я не припускаю знання математичного аналізутому прошу читача прийняти її на віру.

Відповідна формула для косинуса:

Число константа, рівна , і Ейлер був першим, хто визнав його фундаментальне значення в математиці і вивів останню формулу (дві попередні були знайдені Ісааком Ньютоном). Про число написані книги (наприклад, Maor, E. (1994). e, the story of a number. Princeton University Press), можна також прочитати про нього.

Приблизно в 1740 Ейлер подивився на ці три формули, розташовані приблизно так, як ми їх тут бачимо. Відразу видно, що кожен доданок у третій формулі також з'являється у будь-якій попередній. Тим не менш, половина членів у перших рівностях є негативними, у той час як кожен член в останньому позитивний. Більшість людей так і залишили, але Ейлер побачив у всьому цьому закономірність. Він перший склав перші дві формули:

Зверніть увагу на послідовність знаків у цьому ряду: , вона повторюється групами по 4. Ейлер помітив, що ця ж послідовність знаків виходить, коли ми зводимо уявну одиницю цілими ступенями:

Це означало, що можна замінити в останній формулі і отримати:

Тепер знаки відповідають знакам у попередній формулі, і новий ряд збігається з попереднім, за винятком того, що члени розкладання множаться на . Тобто отримуємо точно

Це дивовижний та таємничий результат, він свідчить про існування тісного зв'язку між числом та синусами та косинусами у тригонометрії, хоча було відомо лише із завдань, не пов'язаних із геометрією чи трикутниками. Крім її елегантності та дива, однак, було б важко переоцінити важливість цієї формули в математиці, яка збільшувалася з моменту її відкриття. Вона з'являється скрізь, і нещодавно вийшла книга приблизно 400 сторінок (Nahin P. Dr. Euler's Fabulous Formula, 2006), присвячена опису деяких додатків цієї формули.

Зверніть увагу, що старе питання про уявні показники в даний час вирішено: для зведення в уявний ступінь просто поставте уявне число формулу Ейлера. Якщо основа – число, відмінне від , потрібна лише її незначна модифікація.