Випадкова величина задана функцією розподілу. Знайти функцію розподілу F(x)

На відміну від дискретної випадкової величини безперервні випадкові величини неможливо задати у вигляді таблиці її закону розподілу, оскільки неможливо перерахувати і виписати в певній послідовності всі її значення. Одним із можливих способів завдання безперервної випадкової величини є використання функції розподілу.

ВИЗНАЧЕННЯ. Функцією розподілу називають функцію, визначальну ймовірність те, що випадкова величина прийме значення, що зображується на числовій осі точкою, що лежить лівіше точки х, тобто.

Іноді замість терміну "Функція розподілу" використовують термін "Інтегральна функція".

Властивості функції розподілу:

1. Значення функції розподілу належить відрізку: 0F(x)1
2. F(x) - незнищувальна функція, тобто. F(x 2)F(x 1), якщо x 2 >x 1

Наслідок 1. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, укладеного в інтервалі (a,b), дорівнює прирощенню функції розподілу на цьому інтервалі:

P(aX)

Приклад 9. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення, що належить інтервалу (0; 2): P(0

Рішення: Оскільки на інтервалі (0;2) за умовою, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4) = 1/2. Отже, P(0

Наслідок 2. Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х набуде одного певного значення, дорівнює нулю.

Наслідок 3. Якщо можливі значення випадкової величини належать до інтервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb.
Справедливі такі граничні співвідношення:

Графік функції розподілу розташований у смузі, обмеженій прямими у=0, у=1 (перша властивість). При зростанні х в інтервалі (а; b), в якому укладені всі можливі значення випадкової величини, графік піднімається вгору. При xa ординати графіка дорівнюють нулю; при xb ординати графіка дорівнюють одиниці:

Малюнок 1

Приклад 10. Дискретна випадкова величина Х задана таблицею розподілу:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Знайти функцію розподілу та побудувати її графік.
Рішення: Функція розподілу аналітично може бути записана так:

Малюнок-2

ВИЗНАЧЕННЯ: Щільністю розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х називають функцію f(x) - першу похідну від функції розподілу F(x): f(x)=F"(x)

З цього визначення випливає, що функція розподілу є первинною щільності розподілу.

Теорема. Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х прийме значення, що належить інтервалу (а; b) дорівнює певному інтегралу від густини розподілу, взятому в межах від а до b:

(8)

Властивості щільності розподілу ймовірностей:

1. Щільність ймовірностей є негативною функцією: f(x)0.
2. Певний інтеграл від -∞ до +∞ від густини розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини дорівнює 1: f(x)dx=1.
3. Певний інтеграл від -∞ до x від густини розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини дорівнює функції розподілу цієї величини: f(x)dx=F(x)

Приклад 11. Задано щільність розподілу ймовірностей випадкової величини Х

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення, що належить інтервалу (0,5; 1).

Рішення: Шукана ймовірність:

Поширимо визначення числових показників дискретних величин на величини безперервні. Нехай безперервна випадкова величина Х задана густиною розподілу f(x).

ВИЗНАЧЕННЯ. Математичним очікуванням безперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать відрізку, називають певний інтеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Якщо можливі значення належать до всієї осі Ох, то:

M(x)=xf(x)dx (10)

Модою M 0 (X) безперервної випадкової величини X називають її можливе значення, якому відповідає локальний максимум щільності розподілу.

Медіаною M e (X) безперервної випадкової величини X називають те її можливе значення, яке визначається рівністю:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

ВИЗНАЧЕННЯ. Дисперсією безперервної випадкової величини називають математичне очікування квадрата її відхилення. Якщо можливі значення Х належать відрізку, то:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
або
D(x)=x 2 f(x)dx-2 (11*)

Якщо можливі значення належать до всієї осі х, то.

Випадковою величиною називається змінна, яка може приймати ті чи інші значення залежно від різних обставин, та випадкова величина називається безперервною , якщо вона може приймати будь-яке значення будь-якого обмеженого або необмеженого інтервалу. Для безперервної випадкової величини неможливо вказати всі можливі значення, тому позначають інтервали цих значень, пов'язані з певними можливостями.

Прикладами безперервних випадкових величин можуть бути: діаметр деталі, що обточується до заданого розміру, зростання людини, дальність польоту снаряда та ін.

Оскільки для безперервних випадкових величин функція F(x), на відміну від дискретних випадкових величин, ніде немає стрибків, то ймовірність будь-якого окремого значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю.

Це означає, що з безперервної випадкової величини безглуздо говорити про розподілі ймовірностей між її значеннями: кожне їх має нульову ймовірність. Однак у певному сенсі серед значень безперервної випадкової величини є більш і менш ймовірні. Наприклад, навряд чи в когось виникне сумнів, що значення випадкової величини - зростання навмання зустрінутої людини - 170 см - більш ймовірно, ніж 220 см, хоча і одне, й інше значення можуть зустрітися на практиці.

Функція розподілу безперервної випадкової величини та щільність ймовірності

Як закон розподілу, що має сенс тільки для безперервних випадкових величин, вводиться поняття щільності розподілу або щільності ймовірності. Підійдемо до нього шляхом порівняння сенсу функції розподілу для безперервної випадкової величини та дискретної випадкової величини.

Отже, функцією розподілу випадкової величини (як дискретної, так і безперервної) або інтегральною функцієюназивається функція , яка визначає ймовірність, що значення випадкової величини Xменше або дорівнює граничному значенню х.

Для дискретної випадкової величини у точках її значень x1 , x 2 , ..., x i ,...зосереджено маси ймовірностей p1 , p 2 , ..., p i ,..., причому сума всіх мас дорівнює 1. Перенесемо цю інтерпретацію у разі безперервної випадкової величини. Уявімо, що маса, що дорівнює 1, не зосереджена в окремих точках, а безперервно "розмазана" по осі абсцис Оxз якоюсь нерівномірною щільністю. Імовірність влучення випадкової величини на будь-яку ділянку Δ xінтерпретуватиметься як маса, що припадає на цю ділянку, а середня щільність на цій ділянці - як відношення маси до довжини. Щойно ми запровадили важливе поняття теорії ймовірностей: щільність розподілу.

Щільністю ймовірності f(x) безперервної випадкової величини називається похідна її функції розподілу:

.

Знаючи функцію щільності, можна знайти можливість, що значення безперервної випадкової величини належить закритому інтервалу [ a; b]:

ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xнабуде будь-якого значення з інтервалу [ a; b], що дорівнює певному інтегралу від її щільності ймовірності в межах від aдо b:

.

При цьому загальна формула функції F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини, якою можна користуватися, якщо відома функція щільності f(x) :

.

Графік щільності ймовірності безперервної випадкової величини називається її кривою розподілу (мал. нижче).

Площа фігури (на малюнку заштрихована), обмеженою кривою, прямими, проведеними з точок aі bперпендикулярно осі абсцис, і віссю Ох, графічно відображає ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини Хзнаходиться в межах від aдо b.

Властивості функції щільності ймовірності безперервної випадкової величини

1. Імовірність того, що випадкова величина набуде будь-якого значення з інтервалу (і площа фігури, яку обмежують графік функції) f(x) і вісь Ох) дорівнює одиниці:

2. Функція щільності ймовірності не може набувати негативних значень:

а поза існування розподілу її значення дорівнює нулю

Щільність розподілу f(x), як і функція розподілу F(x), є однією з форм закону розподілу, але на відміну від функції розподілу, вона не є універсальною: щільність розподілу існує тільки для безперервних випадкових величин.

Згадаємо про два найважливіші у практиці види розподілу безперервної випадкової величини.

Якщо функція щільності розподілу f(x) безперервної випадкової величини в деякому кінцевому інтервалі [ a; b] набуває постійного значення C, а за межами інтервалу набуває значення, що дорівнює нулю, таке розподіл називається рівномірним .

Якщо графік функції щільності розподілу симетричний щодо центру, середні значення зосереджені поблизу центру, а при віддаленні від центру збираються більш, ніж від середніх (графік функції нагадує розріз дзвона), то таке розподіл називається нормальним .

приклад 1.Відома функція розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини:

Знайти функцію f(x) щільність ймовірності безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 4 до 8: .

Рішення. Функцію щільності ймовірності отримуємо, знаходячи похідну функції розподілу ймовірностей:

Графік функції F(x) - парабола:

Графік функції f(x) - пряма:

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 4 до 8:

приклад 2.Функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини дана у вигляді:

Обчислити коефіцієнт C. Знайти функцію F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 0 до 5: .

Рішення. Коефіцієнт Cзнайдемо, користуючись властивістю 1 функції щільності ймовірності:

Таким чином, функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини:

Інтегруючи, знайдемо функцію F(x) розподілу ймовірностей. Якщо x < 0 , то F(x) = 0. Якщо 0< x < 10 , то

.

x> 10 , то F(x) = 1 .

Таким чином, повний запис функції розподілу ймовірностей:

Графік функції f(x) :

Графік функції F(x) :

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 0 до 5:

Приклад 3.Щільність ймовірності безперервної випадкової величини Xзадана рівністю, у своїй. Знайти коефіцієнт А, ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[, функцію розподілу безперервної випадкової величини X.

Рішення. За умовою приходимо до рівності

Отже, , звідки . Отже,

.

Тепер знаходимо ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[:

Тепер отримаємо функцію розподілу цієї випадкової величини:

Приклад 4.Знайти густину ймовірності безперервної випадкової величини X, яка набуває лише невід'ємних значень, а її функція розподілу .

Глава 1. Дискретна випадкова величина

§ 1. Поняття випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Визначення : Випадковою називається величина, яка в результаті випробування набуває лише одного значення з можливої ​​множини своїх значення, наперед невідоме і залежне від випадкових причин.

Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та безперервні.

Визначення : Випадкова величина Х називається дискретний (перервний), якщо безліч її значень кінцеве чи нескінченне, але лічильне.

Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна перенумерувати.

Описати випадкову величину можна за допомогою закону розподілу.

Визначення : Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може бути заданий у вигляді таблиці, у першому рядку якої вказані в порядку зростання всі можливі значення випадкової величини, а у другому рядку відповідні ймовірності цих значень, тобто.

де р1 + р2 + ... + Рn = 1

Така таблиця називається поруч розподілу дискретної випадкової величини.

Якщо безліч можливих значень випадкової величини нескінченно, ряд р1+ р2+…+ рn+… сходиться та її сума дорівнює 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна зобразити графічно, навіщо в прямокутній системі координат будують ламану, що з'єднує послідовно точки з координатами (xi; pi), i = 1,2, ... n. Отриману лінію називають багатокутником розподілу (Рис.1).

Органічна хімія органічної хімії відповідно дорівнюють 0,7 та 0,8. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа іспитів, які здасть студент.

Рішення. Розглянута випадкова величина X в результаті іспиту може прийняти одне з наступних значень: x1 = 0, x2 = 1, х3 = 2.

Знайдемо ймовірність цих значень.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Отже, закон розподілу випадкової величини Х визначається таблицею:

Контроль: 0,6 +0,38 +0,56 = 1.

§ 2. Функція розподілу

Повний опис випадкової величини також дає функція розподілу.

Визначення: Функцією розподілу дискретної випадкової величини Х називається функція F(x), що визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрично функція розподілу інтерпретується як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, яке зображується на числовій прямій точці, що лежить ліворуч від точки х.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- незнищувальна функція на (-∞;+∞);

3) F(x)- безперервна зліва точках х= xi (i=1,2,…n) і безперервна переважають у всіх інших точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини Х заданий як таблиці:

то функція розподілу F(x) визначається формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 за x2< х≤ х3

1 при х> хn.

Її графік зображений на рис.2:

§ 3. Числові характеристики дискретної випадкової величини.

До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Визначення: Математичним очікуванням М(Х) дискретною випадковою величиною Х називається сума творів всіх її значень на відповідні їм ймовірності:

М(Х) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математичне очікування є характеристикою середнього значення випадкової величини.

Властивості математичного очікування:

1) M(C)=C, де З-постійна величина;

2) М (З Х) = З М (Х),

3) М(Х±Y)=М(Х)±M(Y);

4) M (X Y) = M (X) M (Y), де X, Y - незалежні випадкові величини;

5) M(X±C)=M(X)±C, де З-постійна величина;

Для характеристики ступеня розсіювання можливих значень дискретної випадкової величини навколо середнього значення служить дисперсія.

Визначення: Дисперсією D ( X ) випадкової величини Х називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Властивості дисперсії:

1)D(C)=0, де З-постійна величина;

2) D(X)>0 де Х - випадкова величина;

3)D(C X)=C2 D(X), де З-постійна величина;

4) D (X + Y) = D (X) + D (Y), де X, Y - незалежні випадкові величини;

Для обчислення дисперсії часто буває зручно користуватися формулою:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

де М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Дисперсія D(X) має розмірність квадрата випадкової величини, що завжди зручно. Тому як показник розсіювання можливих значень випадкової величини використовують також величину D(X).

Визначення: Середнім квадратичним відхиленням σ(Х) випадкової величини Х називається квадратний корінь із дисперсії:

Завдання №2.Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти Р2, функцію розподілу F(x) та побудувати її графік, а також M(X),D(X), σ(Х).

Рішення: Оскільки сума ймовірностей можливих значень випадкової величини Х дорівнює 1, то

Р2 = 1 - (0,1 +0,3 +0,2 +0,3) = 0,1

Знайдемо функцію розподілу F(х)=P(X

Геометрично цю рівність можна тлумачити так: F(х) є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що лежить лівіше від точки х.

Якщо х≤-1, то F(х)=0, тому що на (-∞;х) немає жодного значення даної випадкової величини;

Якщо -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Якщо 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) потрапляють два значення x1=-1 та x2=0;

Якщо 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Якщо 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Якщо х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1 +0,1+0,3+0,2+0,3=1, тому що в проміжок (-∞;х) потрапляють чотири значення x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 та х5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Зобразимо функцію F(x)графічно (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Біноміальний закон розподілу

дискретна випадкова величина, закон Пуассона.

Визначення: Біноміальним називається закон розподілу дискретної випадкової величини Х - числа появи події А в n незалежних повторних випробуваннях, у кожному з яких події А може наступити з ймовірністю p або не наступити з ймовірністю q=1-p. Тоді Р(Х=m)-імовірність появи події А рівно m разів у n випробуваннях обчислюється за формулою Бернуллі:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х, розподіленої за бінарним законом, знаходять відповідно за формулами:

ймовірність події А - «випадання п'ятірки» в кожному випробуванні одна і та ж і дорівнює 1/6, тобто Р(А)=р=1/6, тоді Р(А)=1-p=q=5/6, де

- «Випадання не п'ятірки».

Випадкова величина Х може набувати значення: 0;1;2;3.

Імовірність кожного з можливих значень Х знайдемо за формулою Бернуллі:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Т. о. закон розподілу випадкової величини Х має вигляд:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Знайдемо числові характеристики випадкової величини Х:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Завдання №4.Верстат-автомат штампує деталі. Імовірність того, що зроблена деталь виявиться бракованою дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що серед 1000 відібраних деталей виявиться:

а) 5 бракованих;

б) хоч би одна бракована.

Рішення: Число n=1000 велике, ймовірність виготовлення бракованої деталі р=0,002 мала, і події (деталь виявиться бракованою), що розглядаються, незалежні, тому має місце формула Пуассона:

Рn(m)= e- λ λm

Знайдемо λ=np=1000 0,002=2.

а)Знайдемо можливість, що буде 5 бракованих деталей (m=5):

Р1000 (5) = e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б)Знайдемо можливість, що буде хоча б одна бракована деталь.

Подія А - «хоч одна з відібраних деталей бракована» є протилежним події - «все відібрані деталі браковані». Отже, Р(А)=1-Р(). Звідси шукана ймовірність дорівнює: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2 = 1-0,13534 ≈ 0,865.

Завдання для самостійної роботи.

1.1

1.2. Дисперсна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти р4, функцію розподілу F(X) та побудувати її графік, а також M(X),D(X), σ(Х).

1.3. У коробці 9 фломастерів, з яких 2 фломастери вже не пишуть. Наудачу беруть 3 фломастери. Випадкова величина Х - число фломастерів, що пишуть, серед взятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

1.4. На стелажі бібліотеки у випадковому порядку розставлено 6 підручників, причому 4 з них у палітурці. Бібліотекар бере навмання 4 підручники. Випадкова величина Х-число підручників у палітурці серед взятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

1.5. У квитку два завдання. Імовірність правильного розв'язання першого завдання дорівнює 0,9, друге-0,7. Випадкова величина Х-число правильно вирішених завдань у квитку. Скласти закон розподілу, обчислити математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини, а також знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік.

1.6. Три стрілки стріляють по мішені. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,5, для другого-0,8, для третього -0,7. Випадкова величина Х - число попадань у ціль, якщо стрілки роблять по одному пострілу. Знайти закон розподілу, M(X), D(X).

1.7. Баскетболіст кидає м'яч у кошик із ймовірністю влучення при кожному кидку 0,8. За кожне влучення він отримує 10 очок, а у разі промаху окуляри йому не нараховують. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа очок, отриманих баскетболістомза 3 кидки. Знайти M(X),D(X), а також можливість того, що він отримає більше 10 очок.

1.8. На картках написані літери, всього 5 голосних та 3 приголосних. Навмання вибирають 3 картки, причому щоразу взяту картку повертають назад. Випадкова величина Х-число голосних букв серед взятих. Скласти закон розподілу та знайти M(X),D(X),σ(Х).

1.9. У середньому по 60% договорів страхова компанія виплачує страхові суми у зв'язку із настанням страхового випадку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа договорів, за якими було виплачено страхову суму серед навмання відібраних чотирьох договорів. Знайти числові характеристики цієї величини.

1.10. Радіостанція через певні проміжки часу надсилає позивні сигнали (не більше чотирьох) до встановлення двостороннього зв'язку. Можливість отримання відповіді на позивний сигнал дорівнює 0,3. Випадкова величина Х-число надісланих позивних сигналів. Скласти закон розподілу та знайти F(x).

1.11. Є 3 ключі, з яких лише один підходить до замку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа спроб відкриття замку, якщо випробуваний ключ у наступних спробах не бере участі. Знайти M(X), D(X).

1.12. Виробляються послідовні незалежні випробування трьох пристроїв на надійність. Кожен наступний прилад випробовується лише у тому випадку, якщо попередній виявився надійним. Імовірність витримати випробування для кожного приладу дорівнює 0,9. Скласти закон розподілу випадкової величини Х числа випробуваних приладів.

1.13 .Дискретна випадкова величина Х має три можливі значення: х1 = 1, х2, х3, причому х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блок електронного пристрою містить 100 елементів. Імовірність відмови кожного елемента протягом часу Т дорівнює 0,002. Елементи працюють незалежно. Знайти ймовірність те, що за час Т відмовить не більше двох елементів.

1.15. Підручник виданий тиражем 50000 екземплярів. Імовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що тираж містить:

а) чотири браковані книги,

б) менше двох бракованих книг.

1 .16. Число дзвінків, що надходять на АТС кожну хвилину, розподілено за законом Пуассона з параметром =1,5. Знайдіть ймовірність того, що за хвилину надійде:

а) два виклики;

б) хоча б один виклик.

1.17.

Знайти M(Z),D(Z), якщо Z=3X+Y.

1.18. Дано закони розподілу двох незалежних випадкових величин:

Знайти M(Z),D(Z), якщо Z=X+2Y.

Відповіді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. р3 = 0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

1.2. р4 = 0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0,

0,03 за 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

M(Х)=2; D(Х)=0,62

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2 ≈ 0,999

1.15. а) 0,0189; б) 0,00049

1.16. а) 0,0702; б) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Розділ 2. Безперервна випадкова величина

Визначення: Безперервний називають величину, всі можливі значення якої повністю заповнюють кінцевий чи нескінченний проміжок числової осі.

Очевидно, кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

Безперервну випадкову величину можна ставити за допомогою функції розподілу.

Визначення:Ф ункцією розподілу безперервної випадкової величини Х називається функція F(х), що визначає для кожного значення х r.

Функцію розподілу іноді називають інтегральною функцією розподілу.

Властивості функції розподілу:

1)1≤ F(x) ≤1

2) У безперервної випадкової величини функція розподілу безперервна в будь-якій точці та диференційованаскрізь, крім, можливо, окремих точок.

3) Імовірність потрапляння випадкової величини Х до одного з проміжків (а;b), [а;b), [а;b], дорівнює різниці значень функції F(х) у точках а і b, тобто. Р(а)<Х

4) Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х набуде одного окремого значення дорівнює 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Завдання безперервної випадкової величини з допомогою функції розподілу є єдиним. Введемо поняття густини розподілу ймовірностей (щільність розподілу).

Визначення : Щільністю розподілу ймовірностей f ( x ) безперервної випадкової величини Х називається похідна від її функції розподілу, тобто:

Щільність розподілу ймовірностей іноді називають диференціальноїфункцією розподілу чи диференціальним законом розподілу.

Графікщільності розподілу ймовірностей f(x) називається кривою розподілу ймовірностей .

Властивості щільності розподілу ймовірностей:

1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

Знайти: а) значення; б) функцію розподілу F(х) та побудувати її графік; в) Р(3≤х<5)

Рішення:

+ ∞

а) Значення знайдемо з умови нормування: f(x)dx=1.

Отже, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х

якщо 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2,

F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

Графік функції F(х) зображено на рис.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0,

F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

Знайти диференціальну функцію розподілу f(х)

Рішення: Т. к.f(х)= F'(x), то

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, розглянуті раніше дисперсних випадкових величин, справедливі й у безперервних.

Завдання №3.Випадкова величина Х задана диференціальною функцією f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Завдання для самостійного вирішення.

2.1. Безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу:

0 при х≤0,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width = "14"

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 за х> π/3.

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x), а також

Р(2π/9<Х< π /2).

2.3.

0 при х≤2,

f(х)= з х при 2<х≤4,

0 при х>4.

2.4. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу:

0 при х≤0,

f(х)= з √х при 0<х≤1,

0 при х>1.

Знайти: а) число; б) М(Х), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х,

0 при х.

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ(Х); в) ймовірність того, що у чотирьох незалежних випробуваннях величина Х прийме рівно 2 рази значення, що належить інтервалу (1; 4).

2.6. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

f(х)= 2(х-2) при х,

0 при х.

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ(Х); в) ймовірність того, що у трьох незалежних випробуваннях величина Х прийме рівно 2 рази значення, що належить відрізку .

2.7. Функція f(х) задана у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Функція f(x) задана у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4; π/4].

Знайти: а) значення постійної, при якій функція буде щільністю ймовірності деякої випадкової величини Х; б) функцію розподілу F(x).

2.9. Випадкова величина Х, зосереджена інтервалі (3;7), задана функцією розподілу F(х)= . Знайти ймовірність того, що

випадкова величина Х набуде значення: а) менше 5; б) не менше 7.

2.10. Випадкова величина Х, зосереджена на інтервалі (-1; 4),

задана функцією розподілу F(х)=. Знайти ймовірність того, що

випадкова величина Х набуде значення: а) менше 2; б) не менше 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Знайти: а) число; б) М(Х); в) ймовірність Р(Х> М(Х)).

2.12. Випадкова величина задана диференціальною функцією розподілу:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Знайти: а) М(Х); б) ймовірність Р(Х≤М(Х))

2.13. Розподіл Ремя визначається щільністю ймовірності:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0.

Довести, що f(x) є щільністю розподілу ймовірностей.

2.14. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) (Рис.5)

2.16. Випадкова величина Х розподілена згідно із законом «прямокутного трикутника» в інтервалі (0; 4) (рис.5). Знайти аналітичний вираз для щільності ймовірності f(x) по всій числової осі.

Відповіді

0 при х≤0,

f(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width = "14"

F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,

0 за х> π/3. Безперервна випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу на деякому інтервалі (а; b), якому належать всі можливі значення Х, якщо щільність розподілу ймовірностей f (x) постійна на цьому інтервалі і дорівнює 0 поза ним, тобто

0 при х≤а,

f(х)= при a<х

0 при х≥b.

Графік функції f(x) зображено на рис. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,

F(х)=, D(X)=, σ(Х)=.

Завдання №1.Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку. Знайти:

а) щільність розподілу ймовірностей f(x) та побудувати її графік;

б) функцію розподілу F(x) та побудувати її графік;

в) M(X), D(X), σ(Х).

Рішення: Скориставшись формулами, розглянутими вище, а=3, b=7, знаходимо:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 при х>7

Побудуємо її графік (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0,

f(х)= λе-λх при х≥0.

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за показовим законом, задається формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(Х)=

Таким чином, математичне очікування та середнє квадратичне відхилення показового розподілу рівні між собою.

Імовірність попадання Х в інтервал (a; b) обчислюється за такою формулою:

Р(a<Х

Завдання №2.Середній час безвідмовної роботи приладу дорівнює 100 год. Вважаючи, що час безвідмовної роботи приладу має показовий закон розподілу, знайти:

а) густина розподілу ймовірностей;

б) функцію розподілу;

в) ймовірність, що час безвідмовної роботи приладу перевищить 120 год.

Рішення: За умовою математичний розподіл M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при х<0,

а) f(х)= 0,01-0,01х при х≥0.

б) F(x)= 0 за х<0,

1-е -0,01х при х≥0.

в) Шукану ймовірність знайдемо, використовуючи функцію розподілу:

Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2 ≈0,3.

§ 3.Нормальний закон розподілу

Визначення: Безперервна випадкова величина Х має нормальний закон розподілу (закон Гауса), якщо її щільність розподілу має вигляд:

,

де m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Криву нормального закону розподілу називають нормальної або гаусової кривої (Рис.7)

Нормальна крива симетрична щодо прямої х=m, має максимум т. х=а, рівний .

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом, виражається через функцію Лапласа Ф (х) за формулою:

,

де – функція Лапласа.

Зауваження: Функція Ф(х) є непарною (Ф(-х)=-Ф(х)), крім того, при х>5 вважатимуться Ф(х) ≈1/2.

Графік функції розподілу F(x) зображено на рис. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менша за позитивне число δ обчислюється за формулою:

Зокрема, при m=0 справедлива рівність:

«Правило трьох сигм»

Якщо випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами m і σ то практично достовірно, що її значення укладені в інтервалі (a-3σ; a+3σ), т. до.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а)

б) Скористаємося формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

По таблиці значень функції Ф(х) знаходимо Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Отже, шукана ймовірність:

P(28)

Завдання для самостійної роботи

3.1. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-3; 5). Знайдіть:

б) функції розподілу F(x);

в) числові показники;

г) ймовірність Р(4<х<6).

3.2. Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) функції розподілу F(x);

в) числові показники;

г)імовірність Р(3?х?6).

3.3. На шосе встановлено автоматичний світлофор, в якому 2 хвилини для транспорту горить зелене світло, 3 секунди жовте і 30 секунд червоне і т. д. Машина проїжджає шосе у випадковий момент часу. Знайти ймовірність того, що машина проїде повз світлофор, не зупиняючись.

3.4. Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Яка ймовірність того, що чекати на поїзд пасажиру доведеться більше 50 секунд. Знайти математичне очікування випадкової величини Х – час очікування поїзда.

3.5. Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показового розподілу, заданого функцією розподілу:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-8х при х≥0.

3.6. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу ймовірностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,7 е-0,7х при х≥0.

а) Назвіть закон розподілу випадкової величини, що розглядається.

б) Знайдіть функцію розподілу F(X) та числові характеристики випадкової величини Х.

3.7. Випадкова величина Х розподілена за показовим законом, заданим щільністю розподілу ймовірностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,4 е-0,4 х при х≥0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення інтервалу (2,5;5).

3.8. Безперервна випадкова величина Х розподілена за показовим законом, заданим функцією розподілу:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-0,6х при х≥0

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення відрізка .

3.9. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини відповідно дорівнюють 8 та 2. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення інтервалу (10;14).

3.10. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням 3,5 та дисперсією 0,04. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення відрізка .

3.11. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 та D(X)=1. Яка з подій: |Х|≤0,6 або |Х|≥0,6 має велику ймовірність?

3.12. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 і D(X)=1.З якого інтервалу (-0,5;-0,1) або (1;2) при одному випробуванні вона набуде значення з більшою ймовірністю?

3.13. Поточна ціна за одну акцію може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з M(X)=10ден. од. і σ (Х) = 0,3 ден. од. Знайти:

а) ймовірність того, що поточна ціна акції буде від 9,8 грош. од. до 10,4 грош. од.;

б) за допомогою «правила трьох сигм» знайти межі, в яких буде перебувати поточна ціна акції.

3.14. Проводиться зважування речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним ставленням σ=5г. Знайти ймовірність того, що в чотирьох незалежних дослідах помилка при трьох зважування не відбудеться за абсолютною величиною 3г.

3.15. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=12,6. Імовірність влучення випадкової величини в інтервал (11,4; 13,8) дорівнює 0,6826. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ.

3.16. Випадкова величина Х розподілена нормально з M (X) = 12 і D (X) = 36. Знайти інтервал, в який з ймовірністю 0,9973 потрапить в результаті випробовування випадкова величина Х.

3.17. Деталь, виготовлена ​​автоматом, вважається бракованою, якщо відхилення Х контрольованого параметра від номіналу перевищує за модулем 2 одиниці виміру. Передбачається, що випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 та σ(Х)=0,7. Скільки відсотків бракованих деталей видає автомат?

3.18. Параметр Х деталі розподілено нормально з математичним очікуванням 2, рівним номіналу, середнім квадратичним відхиленням 0,014. Знайти ймовірність, що відхилення Х від номіналу по модулю не перевищить 1% номіналу.

Відповіді

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 при х≤-3,

F(х)= left">

3.10. а) f(x) = ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Приклад 2.1.Випадкова величина Xзадана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xприйме значення, укладені у проміжку (2,5; 3,6).

Рішення: Ху проміжок (2,5; 3,6) можна визначити двома способами:

Приклад 2.2.При яких значеннях параметрів Аі Вфункція F(x) = A + Be - xможе бути функцією розподілу для невід'ємних значень випадкової величини Х.

Рішення:Оскільки всі можливі значення випадкової величини Хналежать інтервалу , то для того, щоб функція була функцією розподілу для Х, має виконуватися властивість:

.

Відповідь: .

Приклад 2.3.Випадкова величина X задана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що внаслідок чотирьох незалежних випробувань величина Xрівно 3 рази набуде значення, що належить інтервалу (0,25; 0,75).

Рішення:Імовірність влучення величини Ху проміжок (0,25; 0,75) знайдемо за формулою:

Приклад 2.4.Імовірність влучення м'ячем у кошик при одному кидку дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу кількості влучень при трьох кидках.

Рішення:Випадкова величина Х– кількість попадань у кошик при трьох кидках – може набувати значень: 0, 1, 2, 3. Ймовірності того, що Х

Х:

приклад 2.5.Два стрілки роблять по одному пострілу в ціль. Імовірність потрапляння до неї першим стрільцем дорівнює 0,5, другим – 0,4. Скласти закон розподілу числа влучень у мета.

Рішення:Знайдемо закон розподілу дискретної випадкової величини Х– числа влучень у мета. Нехай подія – попадання на мету першим стрільцем, а – потрапляння другим стрільцем, і - відповідно їх промахи.

Складемо закон розподілу ймовірностей СВ Х:

Приклад 2.6.Випробовуються 3 елементи, що працюють незалежно один від одного. Тривалість часу (у годинах) безвідмовної роботи елементів мають функції щільності розподілу: для першого: F 1 (t) =1-e - 0,1 t, для другого: F 2 (t) = 1-e - 0,2 t, для третього: F 3 (t) =1-e - 0,3 t. Знайти ймовірність, що в інтервалі часу від 0 до 5 годин: відмовить тільки один елемент; відмовить лише два елементи; відмовить усі три елементи.

Рішення:Скористаємося визначенням функції ймовірностей :

Імовірність того, що в незалежних випробуваннях, у першому з яких ймовірність появи події Адорівнює , у другому і т. д., подія Аз'явиться рівно раз, дорівнює коефіцієнту при розкладанні виконує функції за ступенями . Знайдемо ймовірність відмови та невідмови відповідно першого, другого та третього елемента в інтервалі часу від 0 до 5 годин:

Складемо функцію, що виробляє:

Коефіцієнт дорівнює ймовірності того, що подія Аз'явиться рівно тричі, тобто ймовірність відмови всіх трьох елементів; коефіцієнт при дорівнює ймовірності того, що відмовлять рівно два елементи; коефіцієнт при дорівнює ймовірності того, що відмовить лише один елемент.

Приклад 2.7.Дана щільність імовірності f(x)випадкової величини X:

Визначити функцію розподілу F(x).

Рішення:Використовуємо формулу:

.

Таким чином, функція розподілу має вигляд:

Приклад 2.8.Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу кількості елементів, що відмовили, в одному досвіді.

Рішення:Випадкова величина Х- Число елементів, що відмовили в одному досвіді - може приймати значення: 0, 1, 2, 3. Імовірності того, що Хприйме ці значення, знайдемо за формулою Бернуллі:

Таким чином, отримуємо наступний закон розподілу ймовірностей випадкової величини Х:

Приклад 2.9.У партії з 6 деталей є 4 стандартні. Навмання відібрано 3 деталі. Скласти закон розподілу кількості стандартних деталей серед відібраних.

Рішення:Випадкова величина Х– число стандартних деталей серед відібраних – може набувати значень: 1, 2, 3 і має гіпергеометричний розподіл. Імовірність того, що Х

де -- число деталей у партії;

-- число стандартних деталей у партії;

– число відібраних деталей;

-- кількість стандартних деталей серед відібраних.

.

.

.

Приклад 2.10.Випадкова величина має щільність розподілу

причому не відомі, але , а й . Знайдіть та .

Рішення:У разі випадкова величина Xмає трикутний розподіл (розподіл Сімпсона) на відрізку [ a, b]. Числові характеристики X:

Отже, . Вирішуючи цю систему, отримаємо дві пари значень: . Оскільки за умовою завдання , то маємо: .

Відповідь: .

Приклад 2.11.У середньому по 10% договорів страхова компанія виплачує страхові суми у зв'язку із настанням страхового випадку. Обчислити математичне очікування та дисперсію числа таких договорів серед наудачу обраних чотирьох.

Рішення:Математичне очікування та дисперсію можна знайти за формулами:

.

Можливі значення СВ (число договорів (з чотирьох) із настанням страхового випадку): 0, 1, 2, 3, 4.

Використовуємо формулу Бернуллі, щоб обчислити ймовірності різного числа договорів (з чотирьох), за якими було виплачено страхові суми:

.

Ряд розподілу СВ (число договорів із настанням страхового випадку) має вигляд:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Відповідь: , .

Приклад 2.12.З п'яти троянд дві білі. Скласти закон розподілу випадкової величини, що виражає число білих троянд серед двох одночасно взятих.

Рішення:У вибірці з двох троянд може або не бути білої троянди, або може бути одна або дві білі троянди. Отже, випадкова величина Хможе приймати значення: 0, 1, 2. Ймовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

де -- число троянд;

-- число білих троянд;

– число одночасно взятих троянд;

-- число білих троянд серед.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Приклад 2.13.Серед 15 зібраних агрегатів 6 потребують додаткового мастила. Скласти закон розподілу числа агрегатів, що потребують додаткового мастила, серед п'яти навмання вибраних із загального числа.

Рішення:Випадкова величина Х- Число агрегатів, що потребують додаткового змащування серед п'яти обраних - може приймати значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 і має гіпергеометричний розподіл. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

де -- кількість зібраних агрегатів;

-- число агрегатів, що потребують додаткового мастила;

– кількість обраних агрегатів;

-- число агрегатів, що потребують додаткового змащування серед обраних.

.

.

.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Приклад 2.14.З надійшли в ремонт 10 годин 7 потребують загального чищення механізму. Годинник не розсортований за видом ремонту. Майстер, бажаючи знайти годинник, що потребує чищення, розглядає його по черзі і, знайшовши такий годинник, припиняє подальший перегляд. Знайти математичне очікування та дисперсію числа переглянутих годин.

Рішення:Випадкова величина Х– кількість агрегатів, що потребують додаткового змащування серед п'яти обраних – може набувати значень: 1, 2, 3, 4. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

.

.

.

.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Тепер обчислимо числові характеристики величини:

Відповідь: , .

Приклад 2.15.Абонент забув останню цифру потрібного номера телефону, однак пам'ятає, що вона непарна. Знайти математичне очікування та дисперсію числа зроблених ним наборів номера телефону до попадання на потрібний номер, якщо останню цифру він набирає вдачу, а набрану цифру надалі не набирає.

Рішення:Випадкова величина може набувати значення: . Оскільки набрану цифру абонент надалі не набирає, то ймовірність цих значень дорівнює .

Складемо ряд розподілу випадкової величини:

	0,2

Обчислимо математичне очікування та дисперсію числа спроб набору номера:

Відповідь: , .

Приклад 2.16.Імовірність відмови за час випробувань на надійність для кожного приладу серії дорівнює p. Визначити математичне очікування кількості приладів, що дали відмову, якщо випробування зазнали Nприладів.

Рішення:Дискретна випадкова величина X - число приладів, що відмовили Nнезалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи відмови дорівнює p,розподілено за біноміальним законом. Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:

Приклад 2.17.Дискретна випадкова величина Xприймає 3 можливі значення: з ймовірністю; з ймовірністю та з ймовірністю . Знайти і знаючи, що M( X) = 8.

Рішення:Використовуємо визначення математичного очікування та закону розподілу дискретної випадкової величини:

Знаходимо: .

приклад 2.18.Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Кожна партія містить 5 виробів. Знайти математичне очікування випадкової величини X– числа партій, у кожній з яких міститься рівно 4 стандартні вироби, якщо перевірці підлягають 50 партій.

Рішення:В даному випадку всі досліди, що проводяться, незалежні, а ймовірності того, що в кожній партії міститься рівно 4 стандартні вироби, однакові, отже, математичне очікування можна визначити за формулою:

,

де – число партій;

Імовірність того, що в партії міститься рівно 4 стандартні вироби.

Імовірність знайдемо за формулою Бернуллі:

Відповідь: .

Приклад 2.19.Знайти дисперсію випадкової величини X– числа появи події Aу двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірності появи події у цих випробуваннях однакові та відомо, що M(X) = 0,9.

Рішення:Завдання можна вирішити двома способами.

1) Можливі значення СВ X: 0, 1, 2. За формулою Бернуллі визначимо ймовірність цих подій:

, , .

Тоді закон розподілу Xмає вид:

З визначення математичного очікування визначимо ймовірність:

Знайдемо дисперсію СВ X:

.

2) Можна використовувати формулу:

.

Відповідь: .

Приклад 2.20.Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Xвідповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xнабере значення, укладене в інтервалі (15; 25).

Рішення:Імовірність влучення нормальної випадкової величини Хна ділянку від до виражається через функцію Лапласа:

Приклад 2.21.Дана функція:

При якому значенні параметра Cця функція є щільністю розподілу деякої безперервної випадкової величини X? Знайти математичне очікування та дисперсію випадкової величини X.

Рішення:Для того, щоб функція була щільністю розподілу деякої випадкової величини, вона повинна бути невід'ємною, і вона повинна задовольняти властивості:

.

Отже:

Обчислимо математичне очікування за такою формулою:

.

Обчислимо дисперсію за формулою:

T дорівнює p. Необхідно знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.

Рішення:Закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа появи події в незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює, називають біномним. Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події А одному випробуванні:

.

Приклад 2.25.Здійснюється три незалежні постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0.25. Визначити середнє квадратичне відхилення числа влучень за трьох пострілів.

Рішення:Оскільки виробляється три незалежних випробування, і можливість появи події А (попадання) у кожному випробуванні однакова, то вважатимемо, що дискретна випадкова величина X - число влучень у мета – розподілена по биномиальному закону.

Дисперсія біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події в одному випробуванні:

Приклад 2.26.Середня кількість клієнтів, що відвідують страхову компанію за 10 хв, дорівнює трьом. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 5 хвилин прийде хоча б один клієнт.

Середня кількість клієнтів, що прийшли за 5 хвилин: . .

Приклад 2.29.Час очікування заявки у черзі на процесор підпорядковується показовому закону розподілу із середнім значенням 20 секунд. Знайти ймовірність того, що чергова (довільна) заявка чекатиме на процесор більше 35 секунд.

Рішення:У цьому прикладі математичне очікування , а інтенсивність відмов дорівнює.

Тоді шукана ймовірність:

Приклад 2.30.Група студентів у кількості 15 осіб проводить збори у залі, у яких 20 рядів по 10 місць у кожному. Кожен студент займає місце у залі випадковим чином. Якою є ймовірність того, що не більше трьох осіб будуть на сьомому місці ряду?

Рішення:

Приклад 2.31.

Тоді згідно з класичним визначенням ймовірності:

де -- число деталей у партії;

-- число нестандартних деталей у партії;

– число відібраних деталей;

-- кількість нестандартних деталей серед відібраних.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким.