Способи розв'язання матриць. Матричний метод розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри
- обчислюється визначник матриці A;
- через алгебраїчні доповнення знаходиться зворотна матриця A-1;
- здійснюється створення шаблону рішення в Excel;
Інструкція. Для отримання рішення шляхом зворотної матриці необхідно задати розмірність матриці. Далі у новому діалоговому вікні заповнити матрицю A та вектор результатів B .
також Розв'язання матричних рівнянь.Алгоритм рішення
- Обчислюється визначник матриці A. Якщо визначник дорівнює нулю, кінець рішення. Система має нескінченна безлічрішень.
- При визначнику відмінному від нуля, через додатки алгебри знаходиться зворотна матриця A -1 .
- Вектор рішення X = (x 1, x 2, ..., x n) виходить множенням зворотної матриці на вектор результату B.
Алгебраїчні доповнення.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0/-21 = 0
x 3 = -21/-21 = 1
Перевірка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Рівняння взагалі, лінійні рівняння алгебри та їх системи, а також методи їх вирішення займають в математиці, як теоретичної, так і прикладної, особливе місце.
Це з тим обставиною, що переважна більшість фізичних, економічних, технічних і навіть педагогічних завданьможуть бути описані та вирішені за допомогою різноманітних рівнянь та їх систем. У Останнім часомособливу популярність серед дослідників, науковців та практиків набуло математичне моделюванняпрактично у всіх предметних областях, що пояснюється очевидними його перевагами перед іншими відомими та апробованими методами дослідження об'єктів різної природи, зокрема, так званих, складних систем. Існує велика різноманітність різних визначеньматематичної моделі, даних вченими в різні часи, але з погляду, найвдаліше, це таке твердження. Математична модель- Це ідея, виражена рівнянням. Таким чином, уміння складати та вирішувати рівняння та їх системи – невід'ємна характеристика сучасного фахівця.
Для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівняньНайчастіше використовуються методи: Крамера, Жордана-Гаусса та матричний метод.
Матричний метод рішення - метод рішення за допомогою зворотної матриці систем лінійних рівнянь алгебри з ненульовим визначником.
Якщо виписати коефіцієнти при невідомих величинах xi в матрицю A, невідомі величини зібрати у вектор стовпець X, а вільні члени у вектор стовпець B, то систему лінійних рівнянь алгебри можна записати у вигляді наступного матричного рівняння A · X = B, яке має єдине рішення тільки тоді, коли визначник матриці A не дорівнюватиме нулю. При цьому розв'язання системи рівнянь можна знайти наступним способом X = A-1 · B, де A-1 – зворотна матриця.
Матричний метод рішення полягає в наступному.
Нехай дана система лінійних рівняньз nневідомими:
Її можна переписати в матричній формі: AX = B, де A- основна матриця системи, Bі X- стовпці вільних членів та рішень системи відповідно:
Помножимо це матричне рівняннязліва на A-1 - матрицю, зворотну до матриці A: A -1 (AX) = A -1 B
Так як A -1 A = E, отримуємо X= A -1 B. Права частинацього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосування даного методу(як і взагалі існування рішення не однорідної системилінійних рівнянь з числом рівнянь, що дорівнює кількості невідомих) є невиродженість матриці A. Необхідним та достатньою умовоюцього є нерівність нулю визначника матриці A: det A≠ 0.
Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0 , дійсно зворотне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто не нульове) рішення тільки якщо det A= 0. Така зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь зветься альтернативи Фредгольма.
приклад рішення неоднорідної системилінійних рівнянь алгебри.
Переконаємося в тому, що визначник матриці, складений з коефіцієнтів при невідомих системилінійних рівнянь алгебри не дорівнює нулю.
Наступним кроком буде обчислення алгебраїчних доповненьдля елементів матриці, що складається з коефіцієнтів за невідомих. Вони знадобляться для знаходження зворотної матриці.
(Іноді цей спосіб називають ще матричним методом або методом зворотної матриці) вимагає попереднього ознайомлення з таким поняттям як матрична форма запису СЛАУ. Метод зворотної матриці призначений для вирішення тих систем лінійних рівнянь алгебри, у яких визначник матриці системи відмінний від нуля. Звичайно, при цьому мається на увазі, що матриця системи квадратна (поняття визначника існує тільки для квадратних матриць). Суть методу зворотної матриці можна виразити у трьох пунктах:
- Записати три матриці: матрицю системи $A$, матрицю невідомих $X$, матрицю вільних членів $B$.
- Знайти обернену матрицю $A^(-1)$.
- Використовуючи рівність $X=A^(-1)\cdot B$ отримати рішення заданої СЛАУ.
Будь-яку СЛАУ можна записати в матричній формі як $A\cdot X=B$, де $A$ - матриця системи, $B$ - матриця вільних членів, $X$ - матриця невідомих. Нехай матриця $A^(-1)$ існує. Помножимо обидві частини рівності $A\cdot X=B$ на матрицю $A^(-1)$ зліва:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Оскільки $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ - одинична матриця), то записана вище рівність стане такою:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Оскільки $E\cdot X=X$, то:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Приклад №1
Вирішити СЛАУ $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ за допомогою зворотної матриці.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\-11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\x_2 \end(array)\right). $$
Знайдемо зворотний матрицю до матриці системи, тобто. обчислимо $A^(-1)$. У прикладі №2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Тепер підставимо всі три матриці ($X$, $A^(-1)$, $B$) у рівність $X=A^(-1)\cdot B$. Потім виконаємо множення матриць
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\ 2\end(array)\right). $$
Отже, ми здобули рівність $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array ) \ right) $. З цієї рівності маємо: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Відповідь: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Приклад №2
Вирішити СЛАУ $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right . $ методом зворотної матриці.
Запишемо матрицю системи $A$, матрицю вільних членів $B$ та матрицю невідомих $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\x_2 \x_3 \end(array)\right). $$
Тепер настала черга знайти зворотну матрицю до матриці системи, тобто. знайти $A^(-1)$. У прикладі №3 на сторінці, присвяченій знаходження зворотних матриць, зворотну матрицю було вже знайдено. Скористайтеся готовим результатом і запишемо $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right). $$
Тепер підставимо всі три матриці ($X$, $A^(-1)$, $B$) у рівність $X=A^(-1)\cdot B$, після чого виконаємо множення матриць у правій частині даної рівності.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1cdot 6 8cdot (-1)+2cdot 0+(-16)cdot 6 -12cdot (-1)+(-3)cdot 0+37cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\-4\\9\end(array)\right) $$
Отже, ми здобули рівність $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \ 9 \ end (array) \ right) $. З цієї рівності маємо: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Розглянемо систему лінійних рівнянь із багатьма змінними:
де aij-коефіцієнти при невідомих хi; bi-вільні члени;
індекси: i = 1,2,3 ... m-визначають номер рівняння і j = 1,2,3 ... n- номер невідомого.
Визначення: Рішенням системи рівнянь (5) називається сукупність n чисел (х10, х20,….хn0), при підстановці яких у систему всі рівняння звертаються у вірні числові тотожності.
Визначення: Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча одне рішення. Спільна системаназивається певною, якщо має єдине рішення (х10, х20,….хn0), і невизначеної, якщо таких рішень кілька.
Визначення: Система називається несумісною, якщо вона не має рішення.
Визначення: Таблиці, складені з числових коефіцієнтів (aij) та вільних членів (bi) системи рівнянь (5), називаються матрицею системи (А) та розширеною матрицею (А1), які позначаються у вигляді:
Визначення: Матриця системи А, що має нерівне число рядків та стовпців (n?m), називається прямокутною. Якщо число рядків і шпальт збігається (n=m), то матриця називається квадратною.
Якщо в системі число невідомих дорівнює кількості рівнянь (n=m), то система має квадратну матрицю n-го порядку.
Виділимо в матриці А k-довільних рядків та k-довільних стовпців (km, kn).
Визначення: Визначник k-порядку, що складається з елементів матриці А, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-порядку матриці А.
Розглянемо всілякі мінори матриці А. Якщо всі мінори (k+1)-порядку дорівнюють нулю, а хоча б один з мінорів k-порядку не дорівнює нулю, то кажуть, що матриця має ранг рівний k.
Визначення: Ранг матриці А називається найбільший порядокмінора цієї матриці, відмінного від нуля. Ранг матриці позначається через r(A).
Визначення: Будь-який відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює рангуматриці називається базисним.
Визначення: Якщо для двох матриць А і їх ранги збігаються r(A)= r(В), то ці матриці називаються еквівалентними і позначаються АВ.
Ранг матриці не зміниться від елементарних, еквівалентних перетворень, які включають:
- 1. Заміну рядків стовпцями, а стовпців – відповідними рядками;
- 2. Перестановку рядків чи стовпців місцями;
- 3. Викреслення рядків чи стовпців, всі елементи яких дорівнюють нулю;
- 4. Множення або розподіл рядка або стовпця на число, відмінне від нуля;
- 5. Додавання або віднімання елементів одного рядка або стовпця з іншого, помноженого на будь-яке число.
При визначенні рангу матриці використовують еквівалентні перетворення, За допомогою яких вихідну матрицю приводять до ступінчастої (трикутної) матриці.
У ступінчастої матриціпід головною діагоналлю розташовуються нульові елементи, причому перший ненульовий елемент кожного її рядка, починаючи з другого, розташований правіше за перший нерівний нуль елемента попереднього рядка.
Зазначимо, що ранг матриці дорівнює числуненульових рядків ступінчастої матриці.
Наприклад, матриця А = - східчастого виглядута її ранг дорівнює числу ненульових рядків матриці r(A)=3. Дійсно, всі мінори 4-го порядку з нульовими елементами 4-го рядка дорівнюють нулю, а мінори 3-го порядку відмінні від нуля. Для перевірки обчислимо визначник мінору перших 3-х рядків і 3-х стовпців:
Будь-яку матрицю можна призвести до ступінчастої шляхом обнулення елементів матриці під головною діагоналлю за допомогою елементарних дій.
Повернемося до дослідження та вирішення системи лінійних рівнянь (5).
Важливу роль дослідження систем лінійних рівнянь грає Теорема Кронекера-Капели. Сформулюємо цю теорему.
Теорема Кронекера-Капели: Система лінійних рівнянь спільна і тоді, коли ранг матриці системи А дорівнює рангу розширеної матриці А1, тобто. r(A)=r(A1). Що стосується спільності система є певної, якщо ранг матриці системи дорівнює числу невідомих, тобто. r(A)=r(A1)=n та невизначеною, якщо цей ранг менше числаневідомих, тобто. r(A)= r(A1) приклад. Дослідити систему лінійних рівнянь: Визначимо ранги матриці системи А та розширеної матриці А1. Для цього складемо розширену матрицю А1 і наведемо її до ступінчастого вигляду. При наведенні матриці виконаємо такі дії: В результаті виконаних дій отримали ступінчасту матрицю з трьома ненульовими рядками як у матриці системи (до межі), так і в розширеній матриці. Звідки видно, що ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює 3 але менше числа невідомих (n=4). Відповідь: т.к. r(A)=r(A1)=3 У зв'язку з тим, що ранг матриць зручно визначати шляхом приведення їх до ступінчастого вигляду, розглянемо спосіб розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса. метод Гауса Сутність методу Гауса полягає в послідовному виключенні
тних шляхом приведення до ступінчастого виду розширеної матриці А1, яка включає до риси матрицю системи А. При цьому одночасно визначаються ранги матриць А, А1 і проводиться дослідження системи з теореми Кронекера-Капелі. На останньому етапі вирішують систему рівнянь ступінчастого вигляду, роблячи підстановки знизу нагору знайдених значень невідомих. Розглянемо застосування методу Гауса та теореми Кронекера-Капелі на прикладі. приклад. Вирішити систему методом Гауса: Визначимо ранги матриці системи А та розширеної матриці А1. Для цього складемо розширену матрицю А1 і наведемо її до ступінчастого вигляду. При наведенні виконаємо такі дії: Отримали ступінчасту матрицю, у якої число рядків дорівнює 3, причому матриця системи (до риси) також немає нульових стік. Отже, ранги матриці системи та розширеної матриці дорівнюють 3 і дорівнюють числу невідомих, тобто. r(A)=r(A1)=n=3.. Відповідно до теореми Кронекера-Капелі система спільна і визначена, має єдине рішення. В результаті перетворення матриці А1, обнуляючи коефіцієнти при невідомих, послідовно виключили їх із рівнянь та отримали ступінчасту (трикутну) систему рівнянь: Рухаючись послідовно знизу вгору, підставляючи рішення (х3=1) з третього рівняння у друге, а рішення (х2=1, х3=1) з другого та третього рівнянь у перше, отримаємо розв'язання системи рівнянь: х1=1,х2=1, х3=1. Перевірка: - (!) Відповідь: (х1 = 1, х2 = 1, х3 = 1). метод Жордано-Гаусса Цю систему можна вирішити удосконаленим методом Жордано-Гаусса, який полягає в тому, що матрицю системи А в розширеній матриці (до межі) призводять до одиничної матриці: Е =з одиничними діагональними та нульовими недіагональними елементами та одержують відразу рішення системи без додаткових підстановок. Вирішимо розглянуту вище систему методом Жордано-Гаусса. Для цього перетворимо отриману ступінчасту матрицю на одиничну, виконавши наступні дії: Вихідна система рівнянь звелася до системи:, яка визначає рішення. основні дії з матрицями Нехай дані дві матриці: А=
B=. При підсумовуванні (відніманні) матриць складаються (віднімаються) їх однойменні елементи. 3. Добутком числа k на матрицю A називається матриця, що визначається рівністю: При множенні матриці на число множаться на це всі елементи матриці. 4. Добутком матриць АВ називається матриця, яка визначається рівністю: При множенні матриць елементи рядків першої матриці множаться на елементи стовпців другої матриці та підсумовуються, причому елемент матриці-твору, що стоїть у i-му рядку та j-му стовпці, дорівнює сумі творів відповідних елементів i-го рядка першої матриці та j-му стовпця другий матриці. При множенні матриць у випадку переміщувальний закон діє, тобто. АВ?ВА. 5. Транспонування матриці А називається дія, що призводить до заміни рядків стовпцями, а стовпців - відповідними рядками. Матриця АТ=називається транспонованою матрицею для матриці А=. Якщо визначник матриці А дорівнює нулю (Д?0), то таку матрицю називають невиродженою. Для будь-якої невиродженої матриці А існує зворотна матриця А-1, на яку виконується рівність: А-1 А= А А-1=Е, де Е=- одинична матриця. 6. Зверненням матриці А називають такі дії, при яких виходить зворотна матриця А-1 При зверненні матриці виконуються такі дії.
Дядько Ваня сюжет п'єси. "Дядя Ваня. Ставлення до професора оточуючих
Крихітка Цахес по прозвищу Циннобер
Майков, Аполлон Миколайович – коротка біографія