Властивості статистичної ймовірності. Статистична ймовірність

Квитки з теорії ймовірностей.

Теорія імовірності- Розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їх властивості та операції над ними

Теорія імовірностівивчає випадкові явища під випадковими явищами розуміють такі, що мають місце у сукупності більшої кількості рівноправних чи майже рівноправних об'єктів і визначаються масовим характером явища.

Теорія ймовірності- Відбиває закономірності властиві випадковим подіям масового характеру і в основному цієї теорії лежать основні поняття.

Події та їх класифікація.

Можливість визначення події характеризується ймовірністю події.

Де - у цікавих подій, - у спостережуваних подій.

Достовірна подіяякщо ймовірність появи його дорівнює 1.

Недостовірна подіяназивається, якщо ймовірність дорівнює 0.

Несумісні події– події, у яких у цьому досвіді що неспроможні з'явитися 2 їх.

Рівні події– події, за яких у цьому досвіді не одне з них не є об'єктивно можливим.

Протилежні події- Події, що утворюють повну групу з 2-х подій.

Незалежні події- Такі, при яких не залежні кожна з 2-х подій. (Кореляція-не залежність)

Спільні події– такі події, у яких поява однієї з них виключає поява воругово у тому самому досвіді.

Класичне та статистичне визначення ймовірності події

Кожен із рівноможливих результатів випробувань (дослідів) називається елементарним результатом. Їх зазвичай позначають літерами. Наприклад, кидається гральна кістка. Елементарних результатів може бути шість за кількістю очок на гранях.

З елементарних результатів можна скласти складнішу подію. Так, подія випадання парного числа очок визначається трьома наслідками: 2, 4, 6.

Кількісним заходом можливості появи події, що розглядається, є ймовірність.

Найбільш широкого поширення набули два визначення ймовірності події: класичнеі статистичне.

Класичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям сприятливого результату.

Результат називається сприятливимцій події, якщо його поява тягне за собою настання цієї події.

У наведеному прикладі розглянута подія - парна кількість очок на межі, що випала, має три сприятливі результати. В даному випадку відоме і загальне
кількість можливих наслідків. Отже, тут можна використати класичне визначення ймовірності події.

Класичне визначення. Імовірність події дорівнює відношенню числа сприятливих наслідків до загального числа можливих наслідків

де - ймовірність події, - число сприятливих подій результатів, - загальна кількість можливих результатів.

У розглянутому прикладі

Статистичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям відносної частоти появи події досвідах.

Відносна частота появи події визначається за формулою

де - Число появи події в серії з дослідів (випробувань).

Статистичне визначення. Імовірністю події називається число, щодо якого стабілізується (встановлюється) відносна частота при необмеженому збільшенні дослідів.

У практичних завданнях за ймовірність події приймається відносна частота за досить великої кількості випробувань.

З даних визначень ймовірності події видно, що завжди виконується нерівність

Для визначення ймовірності події на основі формули (1.1) часто використовуються формули комбінаторики, за якими є число сприятливих результатів та загальна кількість можливих результатів.

приклад.Відомо, що у партії, що надійшла з 30 швейних машинок 10 мають внутрішній дефект. Визначити ймовірність того, що з партії в 5 навмання взятих машинок 3 виявляться бездефектними.

Рішення.Для вирішення цього завдання введемо позначення. Нехай - загальна кількість машинок, - кількість бездефектних машинок, - кількість відібраних у партію машинок, - кількість бездефектних машинок у відібраній партії.

Загальна кількість комбінацій машинок, тобто. загальна кількість можливих результатів дорівнюватиме кількості поєднань з елементів по , тобто. . Але в кожній відібраній комбінації має бути по три бездефектні машинки. Число таких комбінацій дорівнює числу поєднань з елементів , тобто. .

З кожною такою комбінацією в відібраній партії дефектні елементи, що залишилися, теж утворюють безліч комбінацій, число яких дорівнює числу поєднань з елементів по , тобто. .

Це означає, що загальна кількість сприятливих наслідків визначається твором . Звідки отримуємо

Імовірність - ступінь (захід, кількісна оцінка) можливості настання деякої події. Коли підстави для того, щоб якась можлива подія відбулася насправді, переважують протилежні підстави, то цю подію називають ймовірною, інакше - неймовірною або малоймовірною. Перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, може бути різною мірою, внаслідок чого ймовірність (і неймовірність) буває більшою чи меншою. Тому часто ймовірність оцінюється на якісному рівні, особливо в тих випадках, коли більш-менш точна кількісна оцінка неможлива або вкрай скрутна. Можливі різні градації «рівнів» ймовірності.

Класичне визначення ймовірності засноване на понятті і можливості результатів. Як ймовірність виступає відношення кількості результатів, що сприяють даній події, до загального числа рівноможливих результатів. Наприклад, ймовірність випадання «орла» або «решки» при випадковому підкиданні монетки дорівнює 1/2, якщо передбачається, що ці дві можливості мають місце і є рівноможливими. Дане класичне «визначення» ймовірності можна узагальнити на випадок нескінченної кількості можливих значень - наприклад, якщо деяка подія може статися з рівною ймовірністю в будь-якій точці (кількість точок нескінченно) деякої обмеженої області простору (площини), то ймовірність того, що воно відбудеться деякі частини цієї допустимої області дорівнює відношенню обсягу (площі) цієї частини до обсягу (площі) області всіх можливих точок.

Імовірнісний опис тих чи інших явищ набув широкого поширення в сучасній науці, зокрема в економетриці, статистичній фізиці макроскопічних (термодинамічних) систем, де навіть у разі класичного детермінованого опису руху частинок детермінований опис усієї системи часток не є практично можливим і доцільним. У квантовій фізиці самі описувані процеси мають імовірнісну природу.

Виникнення поняття та теорії ймовірності

Перші роботи про вчення про можливість відноситься до 17 століття. Такі як листування французьких учених Б. Паскаля, П. Ферма (1654 рік) і голландського вченого X. Гюйгенса (1657 рік), що дав раннє з відомих наукових трактувань ймовірності]. Фактично Гюйгенс вже оперував поняттям математичного очікування. Швейцарський математик Я. Бернуллі встановив закон великих чисел для схеми незалежних випробувань з двома результатами (посмертно, 1713). У XVIII ст. - На початку ХIХ ст. теорія ймовірностей отримує розвиток у роботах А. Муавра (Англія) (1718), П. Лаплас (Франція), К. Гаусса (Німеччина) і С. Пуассона (Франція). Теорія ймовірностей починає застосовуватися в теорії помилок спостережень, що розвинулася у зв'язку з потребами геодезії та астрономії, та теорії стрільби. Необхідно відзначити, що закон розподілу помилок по суті запропонував Лаплас спочатку як експоненційну залежність від помилки без урахування знака (1774 рік), потім як експоненційну функцію квадрата помилки (1778 року). Останній закон зазвичай називають розподілом Гауса або нормальним розподілом. Бернуллі (1778) ввів принцип твору ймовірностей одночасних подій. Адрієн Марі Лежандр (1805) розробив метод найменших квадратів.

У другій половині ХІХ ст. розвиток теорії ймовірностей пов'язаний з роботами російських математиків П. Л. Чебишева, А. М. Ляпунова та А. А. Маркова (старшого), а також роботи з математичної статистики А. Кетле (Бельгія) та Ф. Гальтона (Англія) та статистичної фізики Л. Больцмана (в Австрія), які створили основу для суттєвого розширення проблематики теорії ймовірностей. Найбільш поширена в даний час логічна (аксіоматична) схема побудови основ теорії ймовірностей розроблена в 1933 році радянським математиком А. Н. Колмогоровим.

Класичне визначення ймовірності:

По класичному визначенню можливість випадкового події Р(А) дорівнює відношенню числа результатів, сприятливих А, до кількості результатів, складових простір елементарних обставин, тобто.

ймовірність статичний класичний теорія

Обчислення ймовірностей при цьому зводиться до підрахунку елементів тієї чи іншої множини і часто виявляється суто комбінаторним завданням, іноді дуже важким.

Класичне визначення виправдане, коли існує можливість передбачення ймовірності на підставі симетрії умов, за яких відбувається експеримент, і внаслідок цього симетрії результатів випробування, що призводить до поняття "рівно можливості" результатів.

Наприклад. Якщо зроблена з однорідного матеріалу геометрично правильна гральна кістка підкидається так, що вона встигає зробити досить велику кількість обертів перед тим, як впасти, то випадання будь-якої її граней вважається рівноможливим результатом.

З тих же міркувань симетрії вважаються рівноможливими результати такого експерименту, як виймання ретельно перемішаних і невідмінних на дотик білих і чорних куль так, що після реєстрації кольору кожна куля повертається назад в посудину і після ретельного перемішування проводиться вилучення наступної кулі.

Найчастіше така симетрія спостерігається у штучно організованих експериментах, якими є азартні ігри.

Таким чином, класичне визначення ймовірності пов'язане з поняттям і можливості і використовується для експериментів, що зводяться до схеми випадків. Для цього необхідно, щоб події e1, e2, en були несумісними, тобто жодні з них не можуть з'явитися разом; такими, що утворюють повну групу, тобто вони вичерпують всі можливі результати (не може бути так, що в результаті досвіду жодне з них не сталося); рівноможливими за умови, що експеримент забезпечує однакову можливість появи кожного їх.

Не всякий експеримент задовольняє схему випадків. Якщо порушується умова симетрії, немає схеми випадків.

Формула (1.1), "класична формула", застосовувалася для обчислення ймовірностей подій від початку появи науки про випадкові явища.

Ті досліди, які не мали симетрії, "підганялися" під схему випадків. Нині поруч із " класичної формулою " існують способи обчислення ймовірностей, коли експеримент не зводиться до схеми випадків. І тому використовується статистичне визначення ймовірності.

Поняття статистичної ймовірності буде запроваджено пізніше, а тепер повернемося до класичної формули.

Розглянемо такі приклади.

Приклад 1. Досвід полягає у киданні двох монет. Знайти можливість того, що з'явиться хоча б один герб.

Рішення. Випадкова подія А – поява хоча б одного герба.

Простір елементарних подій у даному експерименті визначається наступними результатами: Е = (РР, РР, РР, РР), які відповідно позначаються e1, e2, e3, e4. Таким чином,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Необхідно визначити число наслідків з Е, які сприяють появі А. Це e1, e2, e3; їхнє число m=3.

Використовуючи класичну формулу визначення ймовірності події А, маємо

Приклад 2. У урні 3 білих та 4 чорні кулі. З урни виймається одна куля. Знайти ймовірність того, що ця куля біла.

Рішення. Випадкова подія А – поява білої кулі. Простір елементарних подій Е включає наслідки e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, де ei - поява однієї кулі (білої або чорної);

E=(e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n=7.

Випадковій події А в просторі Е сприяють 3 результати; m=3. Отже,

Приклад 3. У урні 3 білих та 4 чорні кулі. З урни виймається дві кулі. Знайти ймовірність того, що обоє будуть білими.

Рішення. Випадкова подія А – обидві кулі будуть білими.

Приклад 3 відрізняється від прикладу 2 тим, що в прикладі 3 результатами, що становлять простір елементарних результатів Е, будуть не окремі кулі, а комбінації з 7 куль по 2. Тобто, щоб визначити розмірність Е необхідно визначити число комбінацій з 7 по 2. Для цього необхідно використовувати формули комбінаторики, що наводяться у розділі "Комбінаторний метод". В даному випадку для визначення числа комбінацій з 7 по 2 використовується формула для визначення кількості поєднань

Оскільки вибір проводиться без повернення і порядок появи куль неважливий. Таким чином,

Число комбінацій, сприятливих появи події А, визначається як

Отже, .

Статистичне визначення ймовірності

При розгляді результатів окремих випробувань дуже важко знайти будь-які закономірності. Однак у послідовності однакових випробувань можна знайти стійкість деяких середніх характеристик. Частиною будь-якої події у цій серії з n випробувань називається відношення m/n, числа m тих випробувань, у яких подія А настала, до загального числа випробувань n. Майже в кожній досить довгій серії випробувань, частота події А встановлюється близько певного значення, яке приймається за ймовірність події А. Стійкість значення частості підтверджується спеціальними експериментами. Статистичні закономірності такого роду були вперше виявлені на прикладі азартних ігор, тобто на прикладі тих випробувань, які характеризуються і можливістю результатів. Це відкрило шлях для статистичного підходу до чисельного визначення ймовірності, коли порушується умова симетрії експерименту. Частина події А називають статистичною ймовірністю, що позначається

де mA – число експериментів, у яких з'явилася подія А;

n – загальна кількість експериментів.

Формули (1.1) і (1.2) визначення ймовірності мають зовнішнє подібність, але вони різні сутнісно. Формула (1.1) служить для теоретичного обчислення ймовірності події за заданими умовами досвіду. Формула (1.2) служить експериментального визначення частоти події. Щоб скористатися формулою (1.2), потрібний досвідчений статистичний матеріал.

Аксіоматичний підхід до визначення ймовірності

Третім підходом до визначення ймовірності є аксіоматичний підхід, у якому ймовірності задаються перерахуванням їх властивостей.

Прийняте аксіоматичне визначення ймовірності було сформульовано 1933 р. А. Н. Колмогоровим. В цьому випадку ймовірність задається як числова функція Р(А) на безлічі всіх подій, що визначаються даним експериментом, яка задовольняє наступним аксіомам:

P(A)=1, якщо А - достовірна подія.

Якщо А та В несумісні.

Основні властивості ймовірності

Для кожної випадкової події А визначено її ймовірність, причому.

Для достовірної події U має місце рівність P(U)=1.Властивості 1 і 2 випливають із визначення ймовірності.

Якщо події А і В несумісні, то ймовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей. Ця властивість зветься формули складання ймовірностей у окремому випадку (для несумісних подій).

Для довільних подій А та В

Ця властивість зветься формули складання ймовірностей у загальному випадку.

Для протилежних подій А і має місце рівність.

Крім цього, вводиться неможлива подія, позначена, якій не сприяє жоден вихід із простору елементарних подій. Імовірність неможливої ​​події дорівнює 0, P()=0.

приклад. Ймовірність того, що випадково обрана в результаті опитування сім'я має кольоровий, чорно-білий або кольоровий та чорно-білий телевізори, що дорівнює відповідно 0.86; 0.35; 0,29. Яка ймовірність, що сім'я має кольоровий чи чорно-білий телевізор?

Рішення. Нехай подія полягає в тому, що сім'я має кольоровий телевізор.

Подія полягає в тому, що сім'я має чорно-білий телевізор.

Подія З полягає в тому, що сім'я має або кольоровий або чорно-білий телевізор. Подія визначається через А і В у вигляді, А і В спільні, тому

Комбінаторний метод

У багатьох ймовірнісних проблемах необхідно перерахувати всі можливі результати експерименту або елементарні події, які можливі в цій ситуації, або обчислити їхню кількість. Для цього можна використати такі правила.

Правило 1. Якщо операція складається з двох кроків, у яких перший може бути зроблений n1 способами і другий може бути зроблений n2 способами, то вся операція може бути зроблена за n1 n2 способів.

Під словом "операція" мається на увазі будь-яка процедура, процес чи метод вибору.

Щоб підтвердити це правило, розглянемо операцію, що складається з кроків xi та yi, крок x може бути здійснений n1 способами, тобто. , Крок y може бути здійснений n2 способами, тобто. тоді ряд всіх можливих способів може бути представлений наступними n1n2 парами:

приклад. Скільки можливих результатів є в експерименті, який полягає у підкиданні двох гральних кісток.

Рішення. Під x і y у разі розуміється випадання будь-якої грані першої кістки і другої кістки. Випадання грані першої кістки можливе шістьма способами xi, ; випадання грані другої кістки можливо також шістьма способами xj, .

Усього можливих способів 6.6 = 36.

Правило 2. Якщо операція складається з k кроків, у яких перший може бути зроблений n1 способами, другий n2 способами, третій способами і т. д., k-й - способами, то вся операція може бути зроблена за n1 · n2 ... .

приклад. Інспектор якості хоче вибрати частину кожного з чотирьох контейнерів, що містять 4, 3, 5 і 4 частин відповідно. Скільки способами він може це зробити?

Рішення. Загальна кількість способів визначається як 4 · 3 · 5 · 4 = 240.

приклад. Скільки можливими способами може відповісти студент у тесті з 20 питань, якщо на кожне запитання він може відповісти "так" чи "ні"?

Рішення. Усіх можливих способів 2 · 2 ... 2 = 220 = 1048576.

Часто практично виникає ситуація, коли об'єкти мають бути впорядковані.

Наприклад: скільки різними способами 6 персон можуть сісти навколо столу? Різні розташування називаються перестановками.

приклад. Скільки перестановок можливе для літер a, b, c?

Рішення. Можливі розташування abc, acb, bac, bca, cab, cba. Число можливих розташувань дорівнює шести.

Узагальнюючи цей приклад, для n об'єктів всього n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 різних способів або n!, тобто число перестановок n!=1·2·3...· (n-2)(n-1)n, причому 0!=1.

Правило 3. Число перестановок n різних об'єктів дорівнює n!

приклад. Число перестановок із чотирьох літер 4!=24, але яке число перестановок вийде, якщо вибирати по 2 літери із чотирьох?

Рішення. Ми маємо заповнити дві позиції з чотирьох літер. Для першої позиції - 4 способи, для другої позиції - 3 способи. Отже, використовуючи правило 1, маємо 43=12.

Узагальнюючи цей приклад на n різних об'єктів, у тому числі вибирається r об'єктів без повернення r > 0, всього способів n(n-1)...(n-r+1). Це число позначимо, а комбінації, що отримуються, називаються розміщеннями.

Правило 4. Число розміщень з n об'єктів по r визначається як

(Для r = 0,1,...,n).

Перестановки, коли об'єкти розташовуються за колом, називаються круговими перестановками. Дві кругові перестановки є різними (а вважаються лише однієї), якщо відповідні об'єкти у двох розташуваннях мають самі об'єкти зліва і справа.

Наприклад: якщо чотири персони грають у бридж, ми не отримаємо різних прихильностей, якщо всі гравці пересунуть на один стілець праворуч.

приклад. Скільки кругових перестановок можливо із чотирьох персон, що грають у бридж? Рішення. Якщо довільно взяти позицію одного з чотирьох гравців як фіксовану, можна трьох інших гравців розташувати 3! способами, тобто, маємо шість різних кругових перестановок.

Узагальнюючи цей приклад, отримуємо таке правило.

Правило 5. Число перестановок із n різних предметів, розташованих по колу, дорівнює (n-1)!.

До цього часу передбачалося, що n об'єктів, у тому числі ми вибираємо r об'єктів і формуємо перестановки, є різними. Таким чином, згадані раніше формули не можуть бути використані для визначення числа способів розташування букв у слові "book" або числа способів розташування трьох копій однієї новели та однієї копії кожної з чотирьох інших новел на полиці.

приклад. Скільки різних перестановок літер у слові "book"?

Рішення. Якщо важливо розрізняти літери O, то ми їх позначимо O1, O2 і тоді матимемо 4!=24 різних перестановок літер в O1, O2 і K. Однак якщо ми опускаємо індекси, то O1 O2 і O2, O1 вже не розрізняються, тоді загальне число перестановок одно.

приклад. Скільки різних способів розташування трьох копій однієї новели та однієї копії інших чотирьох новел на полиці?

Рішення. Якщо позначити три копії першої новели як a1, a2, a3 та інші чотири новели – b, c, d та e, то в даному випадку маємо 7! різних способів та 3! способу розташувати a1, a2, a3.

Якщо опустити індекси, то різні способи розташування копій.

Узагальнюючи ці міркування, отримаємо таке правило.

Правило 6. Число перестановок n об'єктів, у яких n1 одного сорту, n2 - другого сорту, …, nk - k-го сорту та n1+n2+...+nk=n,

Багато завдань, у яких необхідно визначити кількість способів вибору r об'єктів із n різних об'єктів, не звертаючи уваги на порядок, в якому вони вибираються. Такі комбінації називаються поєднаннями.

приклад. Скільки можна вибрати трьох кандидатів з 20-ти осіб для громадського опитування?

Рішення. Якщо нам важливий порядок при виборі кандидатів, то кількість комбінацій, але кожен ряд із трьох кандидатів може бути обраний 3! способами; якщо порядок вибору не є важливим, то всього способів вибору.

Комбінації без повернення r об'єктів з n різних об'єктів, які відрізняються самими об'єктами, але з їх порядком, називаються поєднаннями.

Правило 7. Число комбінацій по r об'єктів з n різних об'єктів визначається числом, число поєднань може бути позначене як.

приклад. Скільки різними способами можна при шести підкиданнях монети отримати 2 герби та 4 решки?

Рішення. Так як порядок отримання гербів і решіків не важливий, то, застосовуючи правило 7, отримаємо.

приклад. Скільки різних комітетів з двох хіміків та одного фізика може бути сформовано на факультеті невеликого коледжу, що має 4 хіміки та 3 фізики.

Рішення. Число комбінацій із чотирьох хіміків по 2 може бути отримано (шістьма) способами.

Один із трьох фізиків може бути обраний (трьома) способами.

Число комітетів, відповідно до правила 1, визначається як 6 · 3 = 18.

приклад. Скільки способами можна розбити ряд із чотирьох об'єктів на три ряди, що містять відповідно два, один і один об'єкти?

Рішення. Позначимо дані чотири об'єкти літерами a, b, c, d. Число розбиття на два, один і один буде 12:

Розбиття із двох об'єктів можна отримати способами, що дає 6 можливостей. Число способів сформувати друге розбиття. І для третього розбиття число методів дорівнює 1.

Відповідно до правила 2 всього способів розбиття (6 · 2 · 1) = 12.

Узагальнюючи цей приклад, отримуємо таке правило.

Правило 8. Число способів, за допомогою яких ряд n різних об'єктів може бути розбитий на k частин з n1 об'єктами в 1-й частині, n2 у 2-й частині, … і nk в k-й, визначається як

приклад. Скільки способами 7 бізнесменів можуть бути розміщені в одному трикімнатному та двох двокімнатних номерах в готелі?

Рішення. Відповідно до правила 8 це можна зробити (двохсотдесяти) способами.

Доказ правила 8

Так як n1 об'єктів можуть бути вибрані рядом способами, n2 можуть бути обрані

Згідно з правилом 2 всього число способів визначатиметься у вигляді

Завдання для самостійної роботи

1. Десять книг на одній полиці розставляються навмання. Визначити ймовірність того, що три певні книги будуть поруч.

Відповідь: 0.066.

2. З колоди карт (52 карти) навмання витягуються три карти. Знайти ймовірність того, що це будуть трійка, сімка та туз.

Відповідь: 0.0029.

3. Є п'ять квитків вартістю по 1 рублю;

три квитки вартістю по 3 рублі;

два квитки вартістю по 5 рублів.

Навмання вибирається три квитки. Визначити ймовірність того, що:

а) хоча б два з цих квитків мають однакову вартість.

Відповідь: 0.75;

б) усі три квитки коштують 7 рублів.

Відповідь: 0.29.

4. У гаманці лежать три монети номіналом по 20 копійок і сім монет номіналом по 3 копійки. Навпаки береться одна монета, а потім витягується друга монета номіналом 20 копійок.

Визначити ймовірність того, що перша монета має гідність в 20 копійок.

Відповідь: 0.22.

• 5. З десяти квитків лотереї виграшними є два. Визначити ймовірність того, що серед взятих навмання п'яти квитків:
  • а) один виграшний;
  • б) два виграшні;
  • в) хоча б один виграшний.

Відповідь: 0.55, 0.22, 0.78.

6. У кошику є n куль з номерами від 1 до n, кулі отримують наудачу по одному без повернення. Яка ймовірність того, що при k перших вилученнях номери куль збігаються з номерами витягів.

Відповідь: (n – k)!/n!

Використана література

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ua.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

Вище зазначено, що класичне визначення ймовірності застосовується лише тих подій, які можуть виникнути результаті випробувань, які мають симетрією можливих результатів, тобто. що зводяться до схеми випадків. Однак існує великий клас подій, ймовірність яких не може бути обчислена за допомогою класичного визначення.

Насамперед це події, які є рівноможливими результатами випробування. Наприклад, якщо монета сплющена, то, очевидно, події «поява герба» та «поява решки» під час підкидання монети не можна вважати рівноможливими, і формула ( 1. 1) для розрахунку ймовірності кожного з них виявиться непридатною.

Але є й інший підхід щодо оцінки ймовірності подій, заснований на тому, наскільки часто буде з'являтися дана подія у проведених випробуваннях.

Статистичною ймовірністю події А називається відносна частота (Частота) появи цієї події в проведених випробуваннях, тобто.

де Р(Л)- статистична ймовірність події A; w(A)- відносна частота (частина) події Ат- кількість випробувань, у яких з'явилася подія А;п- загальна кількість випробувань.

На відміну від «математичної» ймовірності Р(А),розглядається у класичному визначенні ( 1. 1), статистична ймовірність Р(Л) є характеристикою досвідченої, експериментальній.Якщо Р(А)є частка випадків, сприятливих для події Л, яка визначається безпосередньо, без будь-яких випробувань, то PIA)є частка тих фактично проведених випробувань, у яких подія Аз'явилося.

Згідно зі статистичним визначенням ймовірність події є межа 1 відносної частоти (частини) події при необмеженому збільшенні кількості випробувань, тобто.

Це означає, що при досить великій кількості випробувань пможна вважати, що

Статистичне визначення ймовірності, як і поняття та методи теорії ймовірностей в цілому, застосовні не до будь-яких подій з невизначеним результатом, які в життєвій практиці вважаються випадковими, а тільки до тих з них, які мають певні властивості та .

1. Події, що розглядаються, повинні бути результатами тільки тих випробувань, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів при тому самому комплексі умов.Так, наприклад, безглуздо ставити питання про визначення ймовірностей виникнення воєн, появи геніальних творів мистецтва тощо, оскільки йдеться про неповторні в однакових умовах випробування, унікальні події. Або, наприклад, нс має сенс говорити про те, що даний студент складе семестровий іспит з теорії ймовірностей, оскільки йдеться про одиничне випробування, повторити яке в тих же умовах немає можливості.

І хоча наведені у прикладах події з невизначеним результатом відносяться до категорії «може статися, а може і не відбутися», такими подіями теорія ймовірностей не займається.

2. Події повинні мати так звану статистичною стійкістю, або стійкістю відносних частот. Це означає, що у різних серіях випробувань відносна частота (частина) події змінюється незначно (тим менше, що більше число випробувань), коливаючись біля постійного числа. Виявилося, що цим постійним числом є ймовірність події (про це йдеться у теоремі Бернуллі, наведеній у розділі 6).

Факт наближення відносної частоти, або частоти, події для його ймовірності (1.1) зі збільшенням кількості випробувань, що зводяться до схеми випадків, підтверджується численними масовими експериментами, проведеними різними особами з часів виникнення теорії ймовірностей. Так, наприклад, у дослідах Бюффоїа (XVIII ст.) відносна частота (частина) появи герба при 4040 підкиданнях монети виявилася рівною 0,5069, у дослідах Пірсона (XIX ст.) при 23 000 підкиданнях - 0,5005, практично не відрізняються. ймовірності цієї події, що дорівнює 0,5.

3. Число випробувань, внаслідок яких з'являється подія Л, має бути досить велике, Бо тільки в цьому випадку можна вважати ймовірність події Р(А)приблизно рівної її відносної частоти.

Резюмуючи, можна сказати, що теорія ймовірностей вивчає лише такі події, щодо яких має сенс не тільки твердження про їхню випадковість, а й можлива об'єктивна оцінка відносної частоти їх появи.Тож твердження, що при виконанні певного комплексу умов? ймовірність події дорівнює р, означає не тільки випадковість подіїЛ, але й певнудосить близьку до р, частку появи події А при великій кількості випробувань; отже, висловлює певну об'єктивну(хоча і своєрідну) зв'язок між комплексом умов 5* та подією А(що не залежить від суб'єктивних суджень про наявність цього зв'язку тієї чи іншої особи). І навіть просто існування ймовірності р(коли саме значення рневідомо) зберігає якісно суть цього твердження, виділену курсивом.

Легко перевірити, що властивості ймовірності (див. (1.2)), що випливають із класичного визначення ( 1. 1), зберігаються і за статистичному визначенні ймовірності (1.3").

Поряд із класичним та статистичним визначеннями ймовірності у додатках математики іноді розглядають так звану суб'єктивну ймовірністьяк ступінь впевненості у настанні тієї чи іншої події на основі обробки думок експертів. При такому підході можна говорити про суб'єктивну ймовірність (а точніше, суб'єктивну можливість) появи унікальних подій - результатів (виходів) неповторних в однакових умовах випробувань. Суб'єктивна ймовірність може бути використана, наприклад, при прогнозуванні доходності активів, прибутку від інвестицій тощо.

• Поняття, тобто. теорія ймовірностей суттєво відрізняється від класичного, що розглядається в курсі математичного аналізу (докладніше про це див. параграфи 6.3, 6.4).
• У прикладній літературі виконання наведених нижче властивостей подій з невизначеним результатом досліджуваної реальної дійсності іноді називають умовами дії статистичного ансамблю.

Поняття ймовірності події належить до фундаментальних понять теорії ймовірностей. Імовірність - це кількісна міра можливості появи випадкової події А. Позначається вона Р(А) і має такі властивості.

Імовірність є позитивне число, укладене в інтервалі від нуля до одиниці:

Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю

Імовірність достовірної події дорівнює одиниці

Класичне визначення імовірності. Нехай = (1, 2, ..., n) - простір елементарних подій, які описують всі можливі елементарні результати і утворюють повну групу несумісних та рівноможливих подій. Нехай події А відповідає підмножина m елементарних результатів

ці результати називають сприятливими події А. У класичному визначенні ймовірності вважають, що ймовірність будь-якого елементарного результату

а ймовірність події А, якій сприяють m результатів, дорівнює

Звідси визначення:

Імовірністю події А називають відношення числа сприятливих цієї події результатів до загальної кількості всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу. Імовірність визначається формулою

де m - число елементарних наслідків, сприятливих події А, а _ число всіх можливих елементарних наслідків випробування.

Класичне визначення ймовірності дає можливість у деяких завданнях аналітично обчислити ймовірність події.

Нехай проводиться досвід, у результаті можуть наступити ті чи інші події. Якщо ці події утворюють повну групу попарно несумісних і рівноможливих подій, то кажуть, що досвід має симетрію можливих результатів і зводиться до "схеми випадків". Для дослідів, що зводяться до схеми випадків, застосовується класична формула ймовірності.

приклад 1.13. У лотереї розігрується 1000 білетів, серед яких 5 виграшних. Визначити ймовірність того, що при покупці одного квитка лотереї буде отримано виграш

Елементарною подією цього досвіду є придбання квитка. Кожен квиток лотереї є неповторним, оскільки має свій номер, і куплений квиток не повертається назад. А полягає в тому, що куплений виграшний квиток. При покупці одного з 1000 квитків різноманітних результатів цього досвіду буде = 1000, результати утворюють повну групу несумісних подій. Число результатів, сприятливих події А, дорівнює =5. Тоді можливість отримати виграш, купивши один квиток, дорівнює

Р(А) = = 0.005

Для безпосереднього підрахунку можливостей зручно застосовувати формули комбінаторики. Покажемо це з прикладу завдання вибіркового контролю.

Приклад 1.14 Нехай є партія виробів, серед них є бракованих. Для контролю відбирається частина виробів. Яка ймовірність того, що серед відібраних виробів буде рівно бракованих

Елементарною подією в цьому досвіді є вибір елементної підмножини з вихідної елементної множини. Вибір будь-якої частини виробів із партії виробів можна вважати рівноможливими подіями, тому цей досвід зводиться до схеми випадків. Для обчислення ймовірності події А = (серед виробів бракованих, якщо вони відбиралися з партії виробів з бракованими) можна застосувати класичну формулу ймовірності. Число всіх можливих результатів досвіду - це число способів, якими можна відібрати виробів з партії, воно дорівнює числу поєднань з елементів по: . Подія, сприятлива події А, складається з твору двох елементарних подій: (З бракованих виробів обрані) (З стандартних виробів обрані _). Число таких подій, відповідно до правила множення комбінаторики, буде

Тоді шукана ймовірність

Наприклад, хай =100, =10, =10, =1. Тоді ймовірність того, що серед відібраних 10 виробів буде одно браковане, дорівнює

Статистичне визначення ймовірності. Щоб застосувати в умовах даного досвіду класичне визначення ймовірності, необхідно, щоб досвід відповідав схемі випадків і для більшості реальних завдань ці вимоги практично нездійсненні. Однак ймовірність події - це об'єктивна реальність, яка існує незалежно від того, чи застосовується класичне визначення. Виникає необхідність у іншому визначенні ймовірності, застосовуваному тоді, коли досвід не відповідає схемі випадків.

Нехай експеримент полягає у проведенні серії випробувань, що повторюють той самий досвід, і нехай подія А настала раз у серії з досвідів. Відносною частотою події W(A) називають відношення числа дослідів, в яких настала подія А, до всіх проведених дослідів

Експериментально доведено, що частота має властивість стійкості: якщо число дослідів у серії досить велике, то відносні частоти події А в різних серіях одного і того ж експерименту мало відрізняються один від одного.

Статистичною ймовірністю події називають число, якого прагнуть відносні частоти, якщо кількість дослідів необмежено зростає

На відміну від апріорної (обчисленої до досвіду) класичної ймовірності статистична ймовірність є апостеріорною (отриманою після досвіду).

Приклад 1.15 Метеорологічні спостереження протягом 10 років у деякій місцевості показали, що кількість дощових днів у липні було у різні роки рівне: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Визначити ймовірність того, що певний день липня буде дощовим.

А в тому, що певний день липня, наприклад, 10 липня, піде дощ. Видана статистика не містить інформації про те, в які дні липня йшов дощ, тому можна вважати, що всі дні рівноможливі для цієї події. Нехай один рік – це одна серія випробувань із 31 одного дня. Усього серій 10. Відносні частоти серій рівні:

Частоти різні, але спостерігається їхнє угруповання біля числа 0.1. Це число можна прийняти за ймовірність події А. Якщо за одну серію випробувань прийняти всі дні липня за десять років, то статистична ймовірність події А дорівнюватиме

Геометричне визначення ймовірності. Це визначення ймовірності узагальнює класичне визначення у разі, коли простір елементарних результатів включає незліченну безліч елементарних подій, і появи кожного з подій однаково можливе. Геометричною ймовірністю події А називається відношення заходи (А) області, що сприяє появі події, до міри () усієї області

Якщо області є а) довжини відрізків, б) площі фігур, в) обсяги просторових фігур, то геометричні ймовірності відповідно рівні

приклад 1.16. Рекламні оголошення розвішані з інтервалом 10 метрів уздовж торгового ряду. Широта огляду деякого покупця становить 3 метри. Яка ймовірність того, що він не помітить рекламу, якщо він рухається перпендикулярно до торгового ряду і перетнути ряд може в будь-якій точці?

Ділянку торгового ряду, розташовану між двома оголошеннями, можна як відрізок прямої АВ (рис. 1.6). Тоді щоб покупець помітив оголошення, він має пройти через відрізки прямих АС чи ДВ, рівні 3м. Якщо ж він перетне торговий ряд в одній з точок відрізка ЦД, довжина якого 4м, то він не помітить реклами. Імовірність цієї події буде

Показник рангової кореляції Кендала, перевірка відповідної гіпотези про суттєвість зв'язку.

2.Класичне визначення ймовірності. Властивості ймовірності.
Імовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей. Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення та наведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.

Розглянемо приклад. Нехай в урні міститься 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них – червоні, 3 – сині та 1 – білий. Очевидно, можливість вийняти навмання з урни кольоровий (тобто червоний або синій) куля більша, ніж можливість витягти білу кулю. Чи можна охарактеризувати цю можливість числом? Виявляється, можна. Це число називають ймовірністю події (появи кольорової кулі). Таким чином, ймовірність є числом, що характеризує ступінь можливості появи події.

Поставимо перед собою завдання дати кількісну оцінку можливості того, що взята навмання куля кольорової. Поява кольорової кулі будемо розглядати як події А. Кожен із можливих результатів випробування (випробування полягає у вилученні кулі з урни) назвемо елементарним результатом (елементарною подією). Елементарні результати позначимо через w 1 w 2 w 3 і т.д. У прикладі можливі такі 6 елементарних результатів: w 1 - з'явився білий шар; w 2 , w 3 - з'явилася червона куля; w 4 , w 5 , w 6 - з'явилася синя куля. Легко бачити, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (куля виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Ті елементарні результати, в яких подія, що нас цікавить, настає, назвемо сприятливимицій події. У нашому прикладі сприяють події A (появі кольорової кулі) наступні 5 результатів: w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 .

Таким чином, подія А спостерігається, якщо у випробуванні настає один, байдуже який з елементарних результатів, сприятливих A; в нашому прикладі А спостерігається, якщо настане w 2 або w 3 або w 4 або w 5 або w 6 . У цьому сенсі подія А поділяється на кілька елементарних подій (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); елементарна ж подія не поділяється на інші події. У цьому полягає різниця між подією А та елементарною подією (елементарним результатом).

Ставлення числа сприятливих події А елементарних результатів до загальному числу називають ймовірністю події А і позначають через Р (А). У аналізованому прикладі всього елементарних результатів 6; з них 5 сприяють події А. Отже, ймовірність того, що взята куля виявиться кольоровою, дорівнює Р(A) = 5/6. Це число і дає ту кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорової кулі, яку ми хотіли знайти. Дамо тепер визначення ймовірності.

Імовірністю події Аназивають відношення числа сприятливих цієї події результатів до загальної кількості всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається за формулою

де m – число елементарних результатів, що сприяють A; n – число всіх можливих елементарних результатів випробування.

Тут передбачається, що елементарні наслідки несумісні, рівноможливі і утворюють повну групу. З визначення ймовірності випливають такі властивості:

С в о й с т в о 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку m = n, отже,

Р(A) = m/n = n/n = 1.

С в о й с т в о 2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. У цьому випадку m = 0, отже,

Р(А) = m/n=0/n=0.

С в о й с т в о 3. Імовірність випадкової події є позитивне число, укладене між нулем та одиницею.

Справді, випадковому події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів випробування. У цьому випадку 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійну нерівність

Заміна. Сучасні суворі курси теорії ймовірностей побудовані на теоретико-множинні основі. Обмежимося викладом мовою теорії множини тих понять, які розглянуті вище.

Нехай в результаті випробування настає одна і тільки одна з подій w i (i = 1, 2, ..., n). Події w i , називають елементарними подіями (елементарними наслідками). Звідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Багато всіх елементарних подій, які можуть з'явитися у випробуванні, називають простором елементарних подій W, а самі елементарні події - точками простору W.

Подія А ототожнюють з підмножиною (простору W), елементи якого є елементарними наслідками, що сприяють А; подія є підмножина W, елементи якого є результати, сприятливі, і т.д. Таким чином, безліч всіх подій, які можуть наступити у випробуванні, є безліч всіх підмножин. Саме W настає за будь-якого результату випробування, тому W - достовірне подія; порожнє підмножина простору W - неможлива подія (вона не настає за жодного результату випробування).

Зауважимо, що елементарні події виділяються з-поміж усіх подій тим, що кожна з них містить тільки один елемент W.

Кожному елементарному результату w i ставлять у відповідність позитивне число p i - ймовірність цього результату, причому

За визначенням, ймовірність Р(А) події А дорівнює сумі ймовірностей елементарних результатів, що сприяють А. Звідси легко отримати, що ймовірність події достовірного дорівнює одиниці, неможливого – нулю, довільного – укладена між нулем та одиницею.

Розглянемо важливий окремий випадок, коли всі результати рівноможливі. Число результатів дорівнює n, сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці; отже, ймовірність кожного результату дорівнює 1/n. Нехай події А сприяє m результатів. Імовірність події А дорівнює сумі ймовірностей результатів, що сприяють А:

Р(А) = 1/n+1/n+..+1/n.

Враховуючи, що кількість доданків дорівнює m, маємо

Р(А) = m/n.

Отримано класичне визначення ймовірності.

Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події та її ймовірності. У системі аксіом, запропонованої А. Н. Колмогоровим, невизначеними поняттями є елементарна подія та ймовірність. Наведемо аксіоми, що визначають ймовірність:

1. Кожній події А поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число Р(А). Це число називається ймовірністю події А.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці:

3. Імовірність наступу хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей та залежності між ними виводять як теорем.

3.Статичне визначення ймовірності, відносна частота.

Класичне визначення не потребує проведення досвіду. У той час як реальні прикладні завдання мають нескінченну кількість результатів, і класичне визначення в цьому випадку не може відповісти. Тому в таких завданнях будемо використовувати статичне визначення ймовірностей, яке підраховують після проведення експерименту чи досвіду

Статичною ймовірністю w(A) або відносною частотою називають відношення числа сприятливих даному події результатів до загального числа фактично проведених випробувань.

w(A)=nm

Відносна частота події має властивістю стійкості:

lim n→∞P(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4.Геометричні ймовірності.

При геометричному підходідо визначення ймовірностіяк простір елементарних подій розглядається довільна безліч кінцевої лебігової міри на прямій, площині або просторі.Подіями називаються всілякі вимірніпідмножини множини.

Імовірність події Авизначається формулою

де позначає лебегову міру множини А.При такому визначенні подій та ймовірностей усі Аксіоми А.Н.Колмогорова виконуються.

У конкретних завданнях, що зводяться до зазначеної вище імовірнісної схеми,випробування інтерпретується як випадковий вибір точки в деякій галузі, а подія А– як попадання обраної точки до певної підобласть А області. При цьому потрібно, щоб усі точки області мали однакову можливість бути обраними.Ця вимога зазвичай виражається словами "наудачу", "випадковим чином" і т.д.