Таблиця інтегралів для студентів складних.

У школі багато хто не вдається вирішити інтеграли або виникають якісь труднощі з ними. Ця стаття допоможе вам у цьому розібратися, тому що у ній ви знайдете все таблиці інтегралів.

Інтегралє одним із головних обчислень та поняттям у математичному аналізі. Його поява вийшла від двох цілей:
Перша мета- Відновити функцію за допомогою її похідної.
Друга мета- обчислення площі, що знаходиться на відстані від графіка до функції f(x) на прямий де, а більше або дорівнює х більше або дорівнює b і вісь абсцис.

Ці цілі підводять нас до певних і невизначених інтегралів. Зв'язок між даними інтегралами лежить у пошуку властивостей та обчисленні. Але все тече і змінюється з часом, перебували нові шляхи вирішення, виявлялися доповнення цим приводячи певні і невизначені інтеграли інших форм інтегрування.

Що таке невизначений інтеграл Запитайте Ви. Це первісна функція F(x) однієї змінної x в інтервалі а більше x більше b. називається будь-якою функцією F(x), у даному інтервалі для будь-якого позначення х, похідна дорівнює F(x). Відомо що F(x) первісна для f(x) у проміжку а більше x більше b. Значить F1(x) = F(x) + C. З є будь-яким постійним і першорядним для f(x) в даному інтервалі. Дане твердження оборотне, для функції f(x) - 2 первісні відрізняються лише постійною. Спираючись на теорему інтегрального обчислення, виходить, що кожна безперервна в інтервалі a

Визначений інтеграл розуміється як межа в інтегральних сумах, або в ситуації заданої функції f(x) визначеної на деякій прямий (а, b) маючи на ньому первісну F, що означає різницю її виразів у кінцях даної прямої F(b) - F(a).

Для наочності вивчення цієї теми, пропоную подивитися відео. У ньому докладно розповідається і показується, як знаходити інтеграли.

Кожна таблиця інтегралів як така дуже корисна, оскільки допомагає у вирішенні конкретного виду інтегралів.

Усі можливі види канцтоварів і не лише. Ви маєте можливість придбати через інтернет-магазин v-kant.ru. Або просто перейдіть за посиланням Канцтовари Самара (http://v-kant.ru) якість та ціни Вас приємно здивують.

Первісна функція та невизначений інтеграл

Факт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціюванню, саме, відновлення функції за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​таким чином функція F(x) називається первісноїдля функції f(x).

Визначення 1. Функція F(x f(x) на деякому проміжку Xякщо для всіх значень xз цього проміжку виконується рівність F "(x)=f(x), тобто дана функція f(x) є похідною від первісної функції F(x). .

Наприклад, функція F(x) = sin x є первинною для функції f(x) = cos x на всій числовій прямій, тому що при будь-якому значенні ікса (sin x)" = (cos x) .

Визначення 2. Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

f(x)dx

,

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція f(x) - підінтегральною функцією, а f(x)dx - Підінтегральний вираз.

Таким чином, якщо F(x) – якась первісна для f(x) , то

∫

f(x)dx = F(x) +C

де C - довільна стала (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функцій як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційні дерев'яні двері). Її функція – "бути дверима". А з чого зроблено двері? З дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральних функцій "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може позначати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблені з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів та відповідних їм первісних ("бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" та ін.) аналогічна таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде наведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, у тому числі " зроблені " ці функції. У частині завдань перебування невизначеного інтеграла дані такі подынтегральные функції, які без особливих умов можуть бути проінтегровані безпосередньо, тобто за таблицею невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральну функцію потрібно попередньо перетворити те щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первинну, ми маємо враховувати довільну постійну (константу) C, а щоб не писати список первісної з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою Cнаприклад, так: 5 x³+С . Отже, довільна постійна (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 x³+4 або 5 x³+3 і при диференціюванні 4 або 3 або будь-яка інша константа звертаються в нуль.

Поставимо завдання інтегрування: для цієї функції f(x) знайти таку функцію F(x), похідна якоїдорівнює f(x).

приклад 1.Знайти безліч первинних функцій

Рішення. Для цієї функції першорядною є функція

Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо похідна F(x) дорівнює f(x), або, що те саме, диференціал F(x) дорівнює f(x) dx, тобто.

(2)

Отже, функція - перша для функції . Однак вона не є єдиною первісною для . Ними служать також функції

де З- Довільна постійна. У цьому вся можна переконатися диференціюванням.

Таким чином, якщо для функції існує одна первісна, то для неї існує безліч первісних, що відрізняються на постійне доданок. Усі первісні функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає із наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на деякому проміжку Х, то будь-яка інша первісна для f(x) на тому ж проміжку може бути представлена ​​у вигляді F(x) + C, де З- Довільна постійна.

У наступному прикладі вже звертаємось до таблиці інтегралів, яка буде дана у параграфі 3, після властивостей невизначеного інтеграла. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб було зрозуміло суть вищевикладеного. А після таблиці та властивостей користуватимемося ними при інтегруванні у всій повноті.

приклад 2.Знайти безлічі первинних функцій:

Рішення. Знаходимо безліч первісних функцій, у тому числі " зроблені " дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки що просто прийміть, що є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n= 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n= 1/3, маємо

3) Оскільки

то за формулою (7) при n= -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію f, а її твір на диференціал dx. Це робиться насамперед для того, щоб вказати, за якою змінною шукається первісна. Наприклад,

, ;

тут обох випадках підінтегральна функція дорівнює , та її невизначені інтеграли у розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція сприймається як функція від змінної x, а у другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегрування цієї функції.

Геометричний сенс невизначеного інтегралу

Нехай потрібно знайти криву y=F(x)і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній точці є задана функція f(x)абсциси цієї точки.

Відповідно до геометричного сенсу похідної, тангенс кута нахилу дотичної в даній точці кривої y=F(x)дорівнює значенню похідної F"(x). Отже, потрібно знайти таку функцію F(x), для котрої F"(x)=f(x). Потрібна в задачі функція F(x)є первісною від f(x). Умовою завдання задовольняє жодна крива, а сімейство кривих. y=F(x)- одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесенням вздовж осі Ой.

Назвемо графік первинної функції від f(x)інтегральної кривої. Якщо F"(x)=f(x), то графік функції y=F(x)є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений насінням усіх інтегральних кривих як на малюнку нижче. Віддаленість кожної кривої від початку координат визначається довільною постійною (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтеграла

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, яке диференціал – підинтегральному вираженню.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціалу функції f(x) дорівнює функції f(x) з точністю до постійного доданку , тобто.

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник у підінтегральному вираженні можна виносити за знак невизначеного інтегралу , тобто.

Перелічимо інтеграли від елементарних функцій, які іноді називають табличними:

Будь-яку з наведених вище формул можна довести, взявши похідну від правої частини (в результаті буде отримано підінтегральну функцію).

Методи інтегрування

Розглянемо деякі основні способи інтегрування. До них відносяться:

1. Метод розкладання(безпосереднього інтегрування).

Цей метод заснований на безпосередньому застосуванні табличних інтегралів, а також на застосуванні властивостей 4 і 5 невизначеного інтеграла (тобто на виносі за дужку постійного співмножника та/або уявлення підінтегральної функції у вигляді суми функцій – розкладання підінтегральної функції на доданки).

приклад 1.Наприклад, для знаходження(dx/x 4) можна безпосередньо скористатися табличним інтегралом дляx n dx. Справді,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Розглянемо ще кілька прикладів.

приклад 2.Для перебування скористаємося тим самим інтегралом:

Приклад 3.Для знаходження треба взяти

Приклад 4.Щоб знайти, представимо підінтегральну функцію у вигляді та використовуємо табличний інтеграл для показової функції:

Розглянемо використання виносу за дужку постійного співмножника.

Приклад 5.Знайдемо, наприклад . Враховуючи, що отримаємо

Приклад 6.Знайдемо. Оскільки скористаємося табличним інтегралом Отримаємо

У наступних двох прикладах також можна використовувати винос за дужки та табличні інтеграли:

Приклад 7.

(використовуємо та );

Приклад 8.

(використовуємо і ).

Розглянемо складніші приклади, у яких використовується інтеграл суми.

Приклад 9.Наприклад, знайдемо
. Для застосування методу розкладання в чисельнику використовуємо формулу куба суми, а потім отриманий багаточлен почленно розділимо на знаменник.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Слід зазначити, що наприкінці рішення записано одну загальну постійну С (а не окремі при інтегруванні кожного доданка). Надалі також пропонується опускати у процесі рішення постійні від інтегрування окремих доданків до того часу, поки вираз містить хоча б один невизначений інтеграл (записуватимемо одну постійну наприкінці рішення).

Приклад 10Знайдемо . Для вирішення цього завдання розкладемо на множники чисельник (після цього вдасться скоротити знаменник).

Приклад 11.Знайдемо. Тут можна використовувати тригонометричні тотожності.

Іноді, щоб розкласти вираз на доданки, доводиться застосовувати складніші прийоми.

Приклад 12Знайдемо . У підінтегральній функції виділимо цілу частину дробу . Тоді

Приклад 13Знайдемо

2. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод заснований на наступній формулі: f(x)dx=f((t))`(t)dt, де x =(t) - функція, що диференціюється на аналізованому проміжку.

Доведення. Знайдемо похідні за змінною t від лівої та правої частин формули.

Зазначимо, що у лівій частині перебуває складна функція, проміжним аргументом якої є x = (t). Тому, щоб диференціювати її поt, спочатку диференціюємо інтеграл по x, а потім можемо похідну від проміжного аргументу поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Похідна від правої частини:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так як ці похідні рівні, по наслідок з теореми Лагранжа ліва і права частини формули, що доводиться, відрізняються на деяку постійну. Оскільки самі невизначені інтеграли визначені з точністю до невизначеного постійного доданку, то зазначену постійну в остаточному записі можна опустити. Доведено.

Вдала заміна змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл, а найпростіших випадках звести його до табличного. У застосуванні цього методу розрізняють методи лінійної та нелінійної підстановки.

а) Метод лінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = 1 - 2x, тоді

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Слід зазначити, що нову змінну можна виписувати явно. У разі говорять про перетворення функції під знаком диференціала чи запровадження постійних і змінних під знак диференціала, - тобто. про неявної заміни змінної.

приклад 2.Наприклад, знайдемо cos(3x + 2)dx. За властивостями диференціала dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), тоді cos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обох розглянутих прикладах для знаходження інтегралів було використано лінійну підстановку t=kx+b(k0).

У випадку справедлива наступна теорема.

Теорема про лінійну підстановку. Нехай F(х) - деяка первісна для функції f(х). Тодіf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, де k та b - деякі постійні,k0.

Доведення.

За визначенням інтеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Винесемо постійний множникkза знак інтеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Тепер можна розділити ліву та праву частини рівності наkи отримати доказне твердження з точністю до позначення постійного доданку.

Ця теорема стверджує, що якщо визначення інтеграла f(x)dx= F(x) + C замість аргументу х підставити вираз (kx+b), то це призведе до появи додаткового множника 1/kперед первісної.

З використанням доведеної теореми вирішимо такі приклади.

Приклад 3.

Знайдемо . Тут kx + b = 3 -x, тобто. k = -1, b = 3. Тоді

Приклад 4.

Знайдемо. Тут kx + b = 4x + 3, тобто k = 4, b = 3. Тоді

Приклад 5.

Знайдемо . Тут kx + b = -2 x + 7, тобто. k = -2, b = 7. Тоді

.

Приклад 6.Знайдемо
. Тут kx + b = 2x + 0, тобто k = 2, b = 0.

.

Порівняємо отриманий результат прикладом 8, який був вирішений методом розкладання. Вирішуючи це завдання іншим методом, ми отримали відповідь
. Порівняємо отримані результати. Таким чином, ці вирази відрізняються один від одного на постійне доданок , тобто. отримані відповіді не суперечать одна одній.

Приклад 7.Знайдемо
. Виділимо у знаменнику повний квадрат.

У деяких випадках заміна змінної не зводить інтеграл безпосередньо до табличного, але може спростити рішення, уможлививши застосування на наступному кроці методу розкладання.

Приклад 8.Наприклад, знайдемо . Замінимо t = x + 2 тоді dt = d (x + 2) = dx. Тоді

,

де С = С 1 - 6 (при підстановці замість tвиразу (x + 2) замість перших двох доданків отримаємо ½x 2 -2x - 6).

Приклад 9.Знайдемо
. Нехай t = 2x + 1, тоді dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t-1) / 2.

Підставимо замість tвираз (2x+ 1), розкриємо дужки і наведемо подібні.

Зазначимо, що у перетворень ми перейшли до іншого постійному доданку, т.к. групу постійних доданків у процесі перетворень можна було опустити.

б) Метод нелінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = -x2. Далі можна було б висловити х через t, потім знайти вираз для dxі реалізувати заміну змінної в шуканому інтегралі. Але в цьому випадку простіше вчинити по-іншому. Знайдемо dt=d(-x 2) = -2xdx. Зазначимо, що вираз xdx є помножувачем підінтегрального виразу шуканого інтеграла. Виразимо його з отриманої рівності xdx = - ½ dt. Тоді