Чарівний квадрат дюрера альбрехта. «Меланхолія I» - найтаємничіша гравюра Альбрехта Дюрера, в якій зашифровані таємні листи

Дюрер (Durer) Альбрехт (1471-1528), німецький живописець, рисувальник, гравер, теоретик мистецтва.

навчався у свого батька.
Батько, ювелірних справ майстер, хотів залучити сина до роботи в ювелірній майстерні, але Альбрехт не висловлював жодного бажання. Він любив і тягнувся до живопису.

У нюрнберзького художника Вольгемута Дюрер освоїв не лише живопис, а й гравіруванняпо дереву.
Вологий роботами художника Мартіна Шонгауера, з яким він так і не зустрівся, Альбрехт багато їздив і всюди вчився, вчився, вчився.

Але настав час, коли Альбрехту треба було одружитися. І тоді він вибрав собі із старовинної та шанованої нюрнберзької родини Агнесу Фрей, дочку батьківського друга. Шлюб з Агнессою був бездітним, та й подружжя було різним за характером, що робило сім'ю не дуже й щасливою.

Проте він відкрив свою справу і у своїй майстерні створив значну частину своїх гравюр.
У Венеції курсували чутки про його любов до обох статей ... Можливо, Дюрер практикував одностатеве кохання з сердечним другом, знавцем античної літератури Піркгеймером.

Довгі, завиті гарячим способом, волосся, уроки танців, страх захворіти на сифіліс у Венеції та купівля ліків проти цієї хвороби в Нідерландах, елегантний одяг, дрібне марнославство у всьому, що стосується його краси та зовнішнього вигляду, меланхолія, нарцисизм та ексгібіціонізм, комплекс Христа, бездітний шлюб, підпорядкування дружині, ніжна дружба з розпутником Піркгеймером, якого він сам у жовтневому листі 1506-го жартівливо пропонував каструвати.

все це поєднується в Дюрері з ніжною турботою про матір і братів, з багаторічною наполегливою працею, частими скаргами на бідність, хвороби, нещастя, які нібито його переслідували.

Будьте Богові вірні!
Набудете здоров'я
І вічне життя на небесах
Як пречиста діва Марія.
Говорить вам Альбрехт Дюрер -
Покайтеся у гріхах
До останнього дня посту,
І заткнете дияволу пащу,
Подолаєте нечистого.
Хай допоможе вам Господь Ісус Христос
Утвердитись у добрі!
Найчастіше думайте про смерть,
Про поховання ваших тіл.
Це лякає душу,
Відволікає від зла
І гріховного світу,
Від гніту плоті
І научень диявола...

Коли 1498 Кобергер видав«Апокаліпсис»,

Дюрер створив 15 ксилографій, які принесли йому європейську популярність.
У Венеції художник виконав на замовлення німецьких купців "Свято вінків із троянд"і потім надходили й інші пропозиції, картини які залишили незабутнє враження багатогранністю кольорів та сюжетів.

Сам імператор Максиміліан I

благоговів перед мистецтвом Альбрехта Дюрера.
Дюрер дотримувався поглядів «іконоборців, однак у пізніх роботах А.Дюрера деякі дослідники знаходять співчуття протестантизму.

Наприкінці життя Дюрер багато працював як живописець, у період їм створено найглибші твори, у яких проявляється знайомство з нідерландським мистецтвом.

Одна з найважливіших картин останніх років диптих «Чотири апостоли», який художник підніс міській Раді у 1526 році.

У Нідерландах Дюрер став жертвою невідомої хвороби (можливо малярії), від нападів якої страждав до кінця життя.

Альбрех склав так званий магічний квадрат,зображений на одній з найдосконаліших його гравюр"Меланхолії". Заслуга Дюрераполягає в тому, що він зумів так вписати в розкреслений квадрат числа від 1 до 16, що сума 34 виходила не тільки при додаванні чисел по вертикалі, горизонталі та діагоналі, але і у всіх чотирьох чвертях, у центральному чотирикутнику і навіть при додаванні чотирьох кутових клітин. Також Дюрер зумів укласти в таблицю рік створення гравюри.»(1514).

Є в роботах Альбрехта Дюрера три знамениті гравюри на дереві, із зображенням карт південної та північної півкуль зоряного неба та східної півкулі Землі, яка стала першою в історії надрукованою друкарським способом.

В 1494 публікується книга Себастіана Бранта під символічною назвою"Корабль Дурнів" (Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Під час обов'язкових для цехового підмайстра мандрівок по Рейну, Дюрер виконав кілька станкових гравюр на кшталт пізньої готики, ілюстрації до “Корабля дурнів” С.Бранта,

на якому флот перетинає море. Навколо повно дурнів. Тут сміються з дурнів-моряків і кораблів Імперії.

Вважається, що окрім О.Дюрера, над проектом працювали одночасно кілька рисувальників-різьбярів. Картину "Корабель Дурнів"- написав і відомий художникІєронім Босх.

Малюнок Дюрера "Корабель Дурнів"

Вгорі праворуч дурні на возі, внизу морем пливе корабель оточений човнами, і кораблі й у човнах все дурні.
Багато ілюстрацій до "Корабля Дурнів", як відзначають коментатори, МАЛО ПОВ'ЯЗАНІ З УМІСТ НАЙКНИГИ.
Як з'ясовується, саму книгу Бранта обрали лише як привід, привід для оприлюднення великої кількості гравюр (ста шістнадцяти) на тему "Корабля Дурнів".

Є у Альбрехта Дюрера і така картина як "Свято всіх святих" (Вівтар Ландауер) 1511. Музей історії мистецтв, Відень. Ця картина також принесла величезну славу художнику.

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Магічний квадрат, відтворений німецьким художником Альбрехтом Дюрером на гравюрі Меланхолія, відомий усім дослідникам магічних квадратів.

Тут докладно розповідається про цей квадрат. Спочатку покажу гравюру "Меланхолія" (рис. 1) та магічний квадрат, який зображений на ній (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Тепер покажу цей квадрат у звичному вигляді (рис. 3):

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Рис. 3

Цікаво, що два середні числа в останньому рядку квадрата (вони виділені) становлять рік створення гравюри - 1514.

Вважають, що цей квадрат, який так зачарував Альбрехта Дюрера, прийшов у Західну Європу з Індії на початку XVIстоліття. В Індії цей квадрат був відомий у Iвіці нашої ери. Припускають, що магічні квадрати були придумані китайцями, оскільки рання згадка про них зустрічається в китайському рукописі, написаному за 4000-5000 років до нашої ери. Ось який давній вік у магічних квадратів!

Розглянемо тепер усі властивості цього дивовижного квадрата. Але робити це ми будемо на іншому квадраті, до групи якого входить квадрат Дюрера. Це означає, що квадрат Дюрера виходить із того квадрата, який ми зараз розглядатимемо, одним із семи основних перетворень магічних квадратів, а саме поворотом на 180 градусів. Всі 8 квадратів, що утворюють цю групу, мають властивості, які будуть перераховані, тільки у властивості 8 для деяких квадратів слово "рядок" заміниться на слово "стовпець" і навпаки.

Основний квадрат цієї групи ви бачите на рис. 4.

1	14	15	4
12	7	6	9
8	11	10	5
13	2	3	16

Рис. 4

Тепер перерахуємо всі характеристики цього знаменитого квадрата.

Властивість 1 . Цей квадрат асоціативний, тобто будь-яка пара чисел, симетрично розташованих щодо центру квадрата, дає у сумі 17=1+ n 2 .

Властивість 2. Сума чисел, розташованих у кутових осередках квадрата, дорівнює магічній константі квадрата – 34.

Властивість 3. Сума чисел у кожному кутовому квадраті 2х2, а також у центральному квадраті 2х2 дорівнює магічній константі квадрата.

Властивість 4. Магічній константі квадрата дорівнює сума чисел на протилежних сторонах двох центральних прямокутників 2х4, а саме: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

Властивість 5. Магічній константі квадрата дорівнює сума чисел в осередках, що відзначаються ходом шахового коня, а саме: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 та 4+10+13 +7 = 34.

Властивість 6. Магічній константі квадрата дорівнює сума чисел у відповідних діагоналях кутових квадратів 2х2, що примикають до протилежних вершин квадрата. Наприклад, у кутових квадратах 2х2, виділених на рис. 4, сума чисел у першій парі відповідних діагоналей: 1+7+10+16=34 (це і зрозуміло, оскільки ці числа розташовані на головній діагоналі самого квадрата). Сума чисел в іншій парі відповідних діагоналей: 14+12+5+3=34.

Властивість 7. Магічній константі квадрата дорівнює сума чисел у осередках, що відзначаються ходом, подібним до ходу шахового коня, але з подовженою літерою Г. Показую ці числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15 +16 = 34,4 +3 +14 +13 = 34.

Властивість 8. У кожному рядку квадрата є пара поруч чисел, сума яких дорівнює 15, і ще пара теж рядом стоячих чисел, сума яких дорівнює 19. У кожному стовпці квадрата є пара поруч чисел, сума яких дорівнює 13, і ще пара теж рядом стоячих чисел. , сума яких дорівнює 21

Властивість 9. Суми квадратів чисел у двох крайніх рядках дорівнюють між собою. Те саме можна сказати про суми квадратів чисел у двох середніх рядках. Дивіться:

1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438

12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310

Аналогічну властивість мають числа в стовпцях квадрата.

Властивість 10. Якщо в квадрат, що розглядається, вписати квадрат з вершинами в серединах сторін (рис. 5), то:

а) сума чисел, розташованих уздовж однієї пари протилежних сторін вписаного квадрата, дорівнює сумі чисел, розташованих уздовж іншої пари протилежних сторін, і кожна з цих сум дорівнює магічній константі квадрата;

б) рівні між собою суми квадратів та суми кубів зазначених чисел:

12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374

12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624

Рис. 5

Ось такими властивостями має магічний квадрат із рис. 4.

Слід зазначити, що в асоціативному квадраті, яким є квадрат, що розглядається, можна виконувати ще такі перетворення, як перестановка симетричних рядків і/або стовпців. Наприклад, на рис. 6 зображено квадрат, отриманий з квадрата з рис. 4 перестановкою двох середніх стовпців.

1. Неоднозначність прочитання старих дат. "Магічний квадрат" Альбрехта Дюрера

Найважливішим формальним результатом НХ, отриманим шляхом застосування до матеріалу скалігерівської версії історії давнини та середньовіччя незалежних математико-статистичних методів датування, є виявлення системи хронологічних зрушень, що лежить у її фундаменті. Внаслідок одного з таких зрушень, яскраво вираженого в європейській та російській середньовічній історії, багато подій, документів і творів мистецтва епохи XII-XVII століть були штучно відкинуті приблизно на сторіччя в минуле. На додаток до цього, в показано, що зручна (і звична сучасній людині) позиційна десяткова система запису чисел була винайдена вперше аж ніяк не в глибокій (чи не в III тисячолітті до н.е.) давнини, як це стверджує скалігерівська хронологія, а лише десь у середині XVI ст. І практично відразу ж, - на основі російського скоропису, який використовувався в тодішній більш примітивній напівпозиційній (що не мала нуля) слов'яно-грецькій системі числення, - виникли знайомі всім цифри від 0 до 9, які називаються сьогодні «арабськими» або «індійськими». Причому - і зараз для нас це найважливіший момент - Спочатку символи, якими пізніше стали записуватися цифри 5 і 6, мали інше значення: цифра 5 спочатку позначала шістку, а цифра 6 - навпаки, п'ятірку.

У сукупності з цього випливає таке: «записи, використовують " індо-арабські " цифри у тому сучасному вигляді, не можна датувати епохою раніше кінця XVI століття. Якщо нам сьогодні кажуть, що на якомусь документі сучасником поставлена дата у прийнятій сьогодні формі: 1250, або 1460, або навіть 1520, то це підробка. Або підроблено документ, або підроблено дата, тобто проставлена заднім числом. А у разі дат нібито шістнадцятого століття... ймовірно, деякі з них належать насправді до сімнадцятого століття.

Яскраве свідчення останнього, яке щасливо збереглося на знаменитій гравюрі Альбрехта Дюрера «Меланхолія», рис. 1.

Рис. 1. Гравюра Альбрехта Дюрера "Меланхолія I"

На цій гравюрі зображений так званий магічний квадрат, тобто квадратна таблиця, заповнена різними числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці і на обох діагоналях однакова (і, в даному випадку, дорівнює тридцяти чотирьом). Але, придивившись до цих чисел, легко побачити, що цифра п'ять (яка і повинна тут стояти, щоб квадрат вийшов «магічним»), що стоїть у першому стовпці другого ряду, була намальована (точніше, вирізана на гравюрній дошці) поверх шістки, що спочатку знаходилася тут, рис . 2.

Рис. 2. "Магічний квадрат" на гравюрі Дюрера (ліворуч) і п'ятірка, перероблена з шістки (праворуч). Збільшені фрагменти Мал. 1

2. Написаний Дюрером портрет Йоганна Клебергера та зображений на ньому зодіак

Однак, «магічний квадрат» Дюрера, як з'ясовується, зовсім не єдиний у своєму роді відлуння, що доносить до нас справжнє первинне значення цифр 5 і 6. Такий самий ефект їх невірного прочитання, - причому, цього разу, що відноситься до запису саме дати ! - виявляється, при уважному розгляді, ще одній роботі цього ж художника. Йдеться про порівняно невеликий (37 на 37 см) портрет нюрнберзького купця і банкіра Йоганна Клебергера, який нібито жив у 1485/86-1546 роках, рис. 3.

Рис. 3. Портрет Йоганна Клебергера. Картина Альбрехта Дюрера, яка датується 1526 роком. Музей історії мистецтв, Відень

Вважається, що цей портрет був написаний на замовлення останнього Альбрехтом Дюрером в 1526, про що начебто прямим текстом свідчать відповідний напис: «1526» і під нею монограма Дюрера. Однак, як випливає зі сказаного вище, напис цей, насправді, може вказувати не на 1526, а на 1625 н.е. Але чи можна перевірити це? Відповідь: так, в даному випадку це виявляється можливим, оскільки, крім помітної кожному цифровому, на цьому ж портреті присутня і, принаймні, ще одна - прихована від погляду - дата, записана астрономічно і поміщена в його лівому верхньому кутку, рис . 4.

Рис. 4. «Астрономічна» (ліворуч) та «цифрова» (праворуч) дати на портреті Йоганна Клебергера. Збільшені фрагменти Мал. 3

Достатньо одного погляду на лівий фрагмент рис. 4 щоб зрозуміти, що перед нами - абсолютно відвертий гороскоп. Насправді ми бачимо тут шість зірок, що позначають шість планет, а також Сонце, представлене у вигляді яскравого жовтого сяйва, рис. 5-12.

Рис. 5. Календар із птолемеївською системою світу. Цікава особливість даної схеми, що відрізняється від інших подібних зображень, у тому, що вона виразно виражений «магічний» характер: кожен із знаків Зодіаку супроводжується якимось символом, що мав, на думку укладача,
магічну природу (про те, що це за символи, буде сказано далі). Ілюстрація із середньовічного астрологічного манускрипта (Баварська державна бібліотека, кодекс BSB Clm 826)

Рис. 6. Сонце, Місяць та п'ять зірок-планет. У центрі зображена комета, що прямує до Сонця. Збільшений рис. 5

Рис. 7. Сім вільних мистецтв і покровительствуючі їм планети. Ліворуч зображені: Сатурн (геометрія) та Юпітер (логіка). У центрі (і збільшеному фрагменті справа) представлені: Марс (арифметика), Сонце (граматика) і Венера (музика). Справа показані: Меркурій (фізика) та Місяць (риторика).
У нижній частині розміщені зображення планет і днів тижня, умовно позначених сімома світильниками. Ілюстрація з Тюбінгенської домашньої книги - медико-астрологічного манускрипту нібито XV століття
(бібліотека Тюбінгенського університету, кодекс Md 2)
Рис. 8. Зодіакальна людина. Схема, що ілюструє середньовічні уявлення про вплив, що надається на органи людини знаками Зодіаку (ліворуч, вгорі та внизу) та планетами (праворуч). Ілюстрація з годинника середини XVI століття

Рис. 9. Сонце та шість зірок-планет на титульному листі алхімічного трактату: Johann Mylius, Anatomia Auri, sive Tyrocinium medico-chymicum, Frankfurt, 1628
Рис. 10. Жан Жерсон (богослов і канцлер Паризького університету, який нібито жив у 1363-1429 роках) в образі пілігриму. Справа показаний збільшений фрагмент зі щитом, на якому зображені Сонце, Місяць та п'ять зірок-планет. Гравюра нібито кінця XV століття, що приписується Альбрехту Дюреру

Рис. 11. Вершник-Сонце. Ілюстрація із фестивальної книги кінця XVI століття (кодекс BSB Cod. icon. 340)
Рис. 12. Сонце на гравюрі Ганса Вайдітца. Нібито середина XVI ст.

Єдина неоднозначність виникає у зв'язку з визначенням значення у центрі всієї композиції символу. На перший погляд, це загальноприйнятий астрономічний знак сузір'я Лева, присутній у такій якості на безлічі зображень, рис. 13-14, у тому числі і на відомій зоряній карті того ж таки Дюрера, рис. 15.

Рис. 13. Сонце та Лев. Над спиною лева зображено його умовний символ. Гравюра Віргіліуса Соліса. Нібито середина XVI ст.
Рис. 14. Сонце з Левом (ліворуч) та збільшений фрагмент із символом останнього (праворуч). Ерхард Шон. Нібито 1536 рік

Рис. 15. Зображення Лева на зірковій карті Дюрера (ліворуч) та його фрагменти із символом даного сузір'я (праворуч). Нібито 1515 рік

Як символ Лева він інтерпретується і практично у всіх описах аналізованої картини. Тим не менш, як стверджується в , - і, як стане зрозуміло далі, практично напевно так воно і є, - в даному окремому випадку цей символ має більш вузьке значення і вказує не на сузір'я Лева цілком, а лише на його головну зірку - Регул .

3. Перший варіант гороскопу – «з Левом». Коли насправді був написаний портрет Клебергера?

Розглянемо спочатку першу – стандартну – можливість.

І тут ми отримуємо, що у рис. 4 представлений гранично короткий гороскоп - всі планети у Львові. Постає питання, в які роки всі сім відомих у середньовічній астрономії планет збиралися на зоряному небі в сузір'ї Лева? Програма HOROS дає на нього наступну вичерпну відповідь: за останню тисячу років це відбувалося лише двічі – 14-16 серпня 1007 року н.е. і 30 серпня – 1 вересня старого стилю 1624 року н.е. Перше рішення з очевидних причин явно відпадає, натомість друге виявляється віддаленим буквально на один рік від дати, записаної художником на картині, рис. 4 за умови, що цифри 5 і 6 мали для нього не сьогоднішнє, а первісне значення.

Наявна чудова відповідність. Виходить, що в кінці серпня - початку вересня 1624 відбувається якась важлива для Йоганна Клебергера подія, на згадку про який він замовляє Дюреру (можливо відразу ж, можливо трохи згодом) аналізований портрет, а останній незабаром виконує це замовлення.

Однак, це лише попередній висновок, що випливає з чисто формального результату, що відноситься зазначену вище дату саме до 1624 року і ніяк не враховує те, що за старих часів початок року не завжди і не скрізь відраховувалося, як це звично нам сьогодні, з першого січня. Зокрема, на Русі в епоху XVI-XVII століть новий рік починався у вересні. І якщо, беручи до уваги цю обставину, припустити, що замовник портрета слідував, - принаймні в даному конкретному випадку, - цій старій (що бере свій початок ще в «Древньому» Єгипті) традиції відліку нового року з вересня, то картина стає набагато цікавішою.

А саме, виникають два можливі варіанти, залежно від того, чи приймав він (знову ж таки, принаймні, у розглянутому випадку) проведену порівняно недавно - сорока роками раніше - григоріанську реформу календаря та запровадження «нового стилю». Якщо так, то до зазначеної дати слід додати десять днів, і вийде, що в зображеному на портреті гороскопі записана дата 9-11 вересня (нового стилю), що потрапляє на перший місяць 1625 вересневого року. Тобто, астрономічний та цифровий записи, рис. 4, виявляться (частково, тому що перша точніша) дублюючими один одного і вказують на той самий 1625 рік.

Якщо ж це було не так, і замовник картини дотримувався старого юліанського рахунку днів, то результат стає зовсім разючим, оскільки в цьому випадку 31 серпня і 1 вересня випадають точно на останній день 1624 і перший день 1625 вересневого року. І тоді виходить, що зодіак на рис. 3 - новорічний, а сам портрет був написаний з нагоди наступу нового 1625, з початком цього року у вересні.

На рис. 16 показаний «знімок» зоряного неба на новорічний ранок 1625 вересневого року, отриманий за допомогою програми-планетарію StarCalc.

Рис. 16. Становище планет уранці (через дві години після сходу Сонця) 1 вересня ст. ст. (11 вересня н. ст.) 1624 н.е. Місце спостереження – Нюрнберг.

Таким чином, ми маємо три варіанти, що відносять записану на картині «зодіакальну» дату, залежно від можливих календарних уявлень її замовника, на кінець восьмого місяця 1624 січневого, кінець першої декади першого місяця або точно на початок 1625 вересневого року.

Виникає природне питання: який із цих варіантів найкраще відповідає зображенню на рис. 3? Як ми зараз переконаємося, останній, оскільки саме з ним ідеально узгоджується низка інших деталей цієї картини.

4. «Рік Сатурну» та символічне значення «левового» гороскопу

Насамперед, поглянемо на дві фігури, зображені в нижньому лівому та правому кутах портрета, рис. 17 і спробуємо зрозуміти, що вони означають.

Рис. 17. Фігури у нижній частині портрета Йоганна Клебергера. Збільшені фрагменти Мал. 3

З лівої з них - трилисник конюшини, що росте на вершині гори, - питань не виникає. Це звичайний гербовий щит із символікою власника. Такий самий символ можна побачити на ще одному зображенні Йоганна Клебергера (від конюшини, до речі, походить і саме його прізвище), рис. 18.

Рис. 18. Йоганн Клебергер на медалі невідомого нюрнберзького майстра, що відноситься, так само як і портрет Дюрера, до 1526 року. На зворотному боці видно шолом, над яким зображена гора з трилистником, що росте на її вершині.

Але що саме означає права? Звичайно, цілком можна сказати, що це «просто красива картинка, парна до щита», і тим самим задовольнитись. Проте, враховуючи викладене вище, у цій картинці нескладно розпізнати злегка завуальований астрономічний сюжет під геральдичну стилістику. Справді, ми бачимо тут довгобородого старця, що тримає в руках два трилистки. Підоплювання цієї композиції напрошується сама собою: шість однакових листочків (так само як шість однакових зірок у протилежному кутку того ж портрета, рис. 4), швидше за все, позначають шість планет, рис. 19-21, а старець – якусь сьому планету.

Рис. 19. Планетне дерево. Титульний лист алхімічного трактату: Basilius Valentinus, Occulta Philosophia, Frankfurt am Mayn, 1613

Рис. 20. Планети (вони ж алхімічні елементи), зображені як листочків на гілках дерева.
Збільшений рис. 19
Рис. 21. Сонце, Місяць та планети на гілках алхімічного дерева. Ілюстрація з трактату: Johann Mylius, Philosophia Reformata, Frankfurt, 1622

Постає питання, яку конкретно? Очевидно, це або Юпітер, або Сатурн, тому що саме ці дві планети найчастіше (а останній – практично завжди) зображувалися у такому вигляді, рис. 22.

Рис. 22. Юпітер (ліворуч) та Сатурн (праворуч) на гравюрах Ханса Бургкмайра. Нібито кінець XV - початок XVI ст.

Строго кажучи, більш-менш схожі зображення зустрічаються іноді і для Марса, Меркурія та Сонця, проте на них завжди є підписи або характерні атрибути (меч Марса, крилатий жезл Меркурія тощо), що дозволяють зрозуміти, яка саме планета мається на увазі , Рис. 13. За відсутності таких атрибутів залишаються саме Юпітер з Сатурном, оскільки єдиною ознакою для ідентифікації, в такому разі, виявляється власне вік, а останні - старші серед «планетних» богів.

Отже, розглянемо перший варіант. У цьому випадку виходить, що шість планет поділені на дві трійки, зображені у вигляді трилисників у руках старця-Юпітера. З астрономічної точки зору це означає, що три планети повинні знаходитися по один бік від Юпітера, а три - по інший бік. Але саме так і була справа в отриманому вище «новорічному» рішенні 1624/25 року: зліва від Юпітера, з боку Діви, знаходилися Меркурій, Сонце і Венера, праворуч - Марс, Луна і Сатурн, рис. 16. Тобто при ототожненні старця на рис. 17 з Юпітером вся композиція набуває значення додаткової астрономічної вказівки до основного гороскопу.

У другому випадку такої прозорої відповідності, зрозуміло, вже не спостерігається, однак і він, як виявляється, анітрохи не суперечить «новорічному» варіанту отриманого вище датування. І навіть більше, як додатково підтверджує її, а й дозволяє глибше зрозуміти логіку і спосіб думки, якими керувалися автор і/або замовник аналізованого портрета.

Зокрема, поставимо питання: що ще, крім поділу планет на дві групи, може означати ту обставину, що всі вони зображені однаковими, маленькими і притому що знаходяться в руках старця, що уособлює (цього разу) Сатурн? Вочевидь, те, що останній тримає їх у якомусь підпорядкуванні (буквально, «в руках»). Постає питання, про яке «підпорядкування» може йтися? Відповідь знову дає мал. 16. Справа в тому, що спостерігач, що дивився на зоряне небо в новорічну ніч 1625 вересневого року, бачив, як приблизно за дві години перед світанком сходив Сатурн, півгодини пізніше Місяць (у вигляді ледь помітного або навіть зовсім невиразного серпика), а ще через година - решта планет. Тобто, кажучи образно, в ці передсвітні години на небі безроздільно «панував» Сатурн, сповіщаючи тим самим, що наступні місяці пройдуть під його «управлінням» (як усіма іншими, так само як «підлеглими» йому, планетами, доля яких, найближчим часом , виявилася «в його руках», так і, звичайно, справами земними).

І, як добре відомо, такого роду співвідношення року з «керуючою» ним планетою справді було в епоху Клебергера-Дюрера поширеною практикою, рис. 23-24.

Рис. 23. Сатурн – владика річного кола. Ілюстрація із середньовічного астрологічного альманаху. Нібито 1491 рік

Медаль, випущена в Нюрнберзі приблизно в 1810 Збереглася ця традиція і до цього дня, рис. 25-29.

Рис. 24. Сатурн. На зворотному боці – вістка біля вівтаря та напис «Удачі в новому році» (SPENDE NEUES GLUCK IM WECHSEL DES JAHRES).
Рис. 25. "Сатурн - правитель року" (JAHRES REGENT SATURN). Медаль із «календарної» серії, що випускається в Австрії з 1933 року до теперішнього часу

Рис. 26. Лицьові сторони ще двох австрійських календарних медалей (за 1937 та 1972 роки), присвячених Сатурну
Рис. 27. Юпітер та Марс на австрійських календарних медалях

Рис. 28. Венера та Меркурій на австрійських календарних медалях
Рис. 29. Сонце та Місяць на австрійських календарних медалях

Отже, ототожнення старця на рис. 17 із Сатурном також чудово відповідає знайденому вище рішенню. Хіба що прочитання композиції виявляється трохи більш хитромудрим, а сенс, що виходить, зміщується з суто астрономічної в алегоричну площину.

На останнє, щоправда, можна заперечити тим, що Сатурн, за середньовічними уявленнями, вважався зловісною, вкрай несприятливою планетою, пов'язаною зі смертю та різного роду поганими впливами. Видання [Саплін] підсумовує ці погляди наступним чином: «Сатурн - п'ята за астрономічним рахунком планета... В індивідуальній астрології Сатурну підпорядковані такі поняття: розставання, перешкоди, труднощі, втрати, протистояння, витримка, терпіння, наполегливість, ґрунтовність, відчуження, , Вік, труднощі, жорстокість, непохитність, сталість, заздрість і жадібність. У світовій астрології… Сатурн відповідає за національні лиха, епідемії, голод тощо. …». А також: «Велике нещастя (лат. Infortuna major) - епітет планети Сатурн, що часто вживався в середньовічній астрології, вважається найбільш несприятливою планетою».

Загалом, на перший погляд, складно уявити причину, яка б спонукала когось замовити свій портрет на подібному фоні. І в більшості випадків цього було б цілком достатньо, щоб відкинути варіант ототожнення старця на рис. 17 саме з Сатурном (залишивши для нього, тим самим, Юпітера як єдину кандидатуру). Однак, у даному конкретному випадку таке сусідство може бути дуже легко пояснене. Справа в тому, що описана вище картина того, як у новорічну ніч 1625 року вересневого року першим сходив «зловісний» Сатурн, була не зовсім повною. Якщо ж бути до кінця точним, то як знову-таки добре видно на рис. 16, «найпершим» - за розрахунковими даними, трьома хвилинами раніше Сатурна - на горизонті з'являлася одна з найяскравіших зірок неба - Регул. А вже слідом за Регулом наступала черга «царюючого» Сатурна (до речі, назва вказаної зірки також пов'язана з царською владою і означає, у перекладі з латині, «маленький цар»).

Щодо Регулу у виданні [Саплін] говориться так: «Регул (Regulus), Серце Лева… – зірка α Льва, … вказує на щастя». Тобто, з погляду тих самих середньовічних уявлень, на момент сходу «Великого нещастя» = Сатурна його злодійна іпостась була нейтралізована «щасливим» Регулом, і, отже, першому плані вийшли позитивні риси - «витримка, терпіння, наполегливість, обгрунтованість, … непохитність, сталість». Посилені також «царської» сутністю Регула. Хто відмовився б від такого набору?

Між іншим, відразу стає зрозумілим і те, чому Сатурн міг бути зображений на рис. 17 у вигляді добродушного старичка, без своїх звичних атрибутів у вигляді коси та пожираного немовля, рис. 22. У цьому випадку вони, очевидно, вже були не потрібні. З іншого боку, хід думки автора міг бути і більш витонченим і полягати в тому, що, зобразивши названого старця без будь-яких характерних атрибутів, які б однозначно вказали на Сатурна або Юпітера, він надав тим самим досить досвідченому в таких тонкощах глядачеві можливість співвіднести його з кожним з них, і в тому і в іншому випадку відкриваючи важливу частину загального закладеного в картину сенсу.

До речі, Сатурн має ще один аспект, який теж міг розглядатися як один із фрагментів багатопланової символіки картини. А саме Сатурн-Кронос асоціювався також і з нестаріючим Хроносом, тобто Часом. І, отже, приміщення його постаті на портреті, при погляді неї під таким кутом, могло обіцяти зображеному довге життя, рис. 30-31.

Рис. 30. Сатурн-Хронос, який бажає удачі в новому році (VERTENTE ANNO – буквально: «протягом усього року»). Медаль, випущена в Аугсбурзі та датована 1635 роком
Рис. 31. Леопольд Габсбург із сином Йосипом біля вівтаря Вічності, навпроти них - Хронос-Сатурн зі зламаною косою і кинутими на землю пісочним годинником і Фортуна з рогом достатку. На зворотному боці зображений Хронос, що сидить у хмарах, тримає в руці змія, що обвив навколо числа XVII, кусає себе
за хвіст (символ циклічності, переродження тощо). Аугсбурзька медаль, випущена в 1700 році, в ознаменування майбутнього наступу нового століття

Таким чином, бачимо, що навіть стандартна інтерпретація символу на рис. 4 як Льва, що позначає сузір'я, приводить нас до дуже цікавого і символічно насиченого результату. Однак, як було сказано вище, є й інший варіант прочитання, згідно з яким цей символ вказує на конкретну зірку неба – Регул. Розглянемо тепер і цю нагоду.

Далі буде...

Дюрер (Durer) Альбрехт (1471-1528), німецький живописець, рисувальник, гравер, теоретик мистецтва.

Будьте Богові вірні!
Набудете здоров'я
І вічне життя на небесах
Як пречиста діва Марія.
Говорить вам Альбрехт Дюрер -
Покайтеся у гріхах
До останнього дня посту,
І заткнете дияволу пащу,
Подолаєте нечистого.
Хай допоможе вам Господь Ісус Христос
Утвердитись у добрі!
Найчастіше думайте про смерть,
Про поховання ваших тіл.
Це лякає душу,
Відволікає від зла
І гріховного світу,
Від гніту плоті
І научень диявола...

Коли 1498 Кобергер видав«Апокаліпсис»,

Сам імператор Максиміліан I

на якому флот перетинає море. Навколо повно дурнів. Тут сміються з дурнів-моряків і кораблів Імперії.

Малюнок Дюрера "Корабель Дурнів"

Морське диво, 1498 Метрополітен - музей, Нью-Йорк

МАГІЧНІ КВАДРАТИ

Батьківщиною магічних квадратів вважають Китай. У Китаї існує вчення Фен-шуй, згідно з яким колір, форма і фізичне розташування кожного елемента в просторі впливає на потік Ці, сповільнюючи його, перенаправляючи його або прискорюючи його, що впливає на рівень енергії жителів. Для пізнання таємниць світу боги надіслали імператору Ю (Yu) найдавніший символ, квадрат Ло Шу (Ло – річка).

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ

Легенда свідчить, що близько чотирьох тисяч років тому з бурхливих вод річки Ло вийшла велика черепаха Шу. Люди, які приносять жертви річці, побачили черепаху і одразу визнали її божеством. Міркування древніх мудреців здалося імператору Ю настільки резонними, що він наказав увічнити зображення черепахи на папері і скріпив його імператорської печаткою. А інакше як би ми про цю подію дізналися?

Ця черепаха насправді була особливою, тому що на її панцирі було завдано дивного візерунка з точок. Крапки були нанесені впорядковано, це призвело стародавніх філософів до думки, що квадрат з числами на панцирі черепахи служить моделлю простору – картою світу, складеною міфічним засновником китайської цивілізації Хуан-ді. Насправді, сума чисел по стовпцях, рядках, обох діагоналях квадрата дорівнює M=15 і дорівнює кількості днів у кожному з 24-х циклів китайського сонячного року.

Парні та непарні номери чергуються: причому 4 парні числа (пишуться знизу вгору за спаданням) знаходяться в чотирьох кутах, а 5 непарних чисел (пишуться знизу вгору за зростанням) утворюють хрест у центрі площі. П'ять елементів хреста відображають землю, вогонь, метал, воду та ліс. Сума будь-яких розділених центром двох чисел дорівнює числу Хо Ті, тобто. десяти.

Чітні числа (символи Землі) Ло Шу були нанесені на тілі черепахи у вигляді чорних точок, або Інь символів, а непарні числа (символи Неба) – у вигляді білих точок, або Ян символів. Земля 1 (або вода) знаходиться знизу, вогонь 9 (або небо) зверху. Ймовірно, що сучасне зображення цифри 5, що у центрі композиції, зобов'язане китайському символу двоєдиності Ян і Інь.

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ ІЗ КХАДЖУРАХО

Східна кімната

Магія Джозефа Редьярда Кіплінга, який створив образи Мауглі, Багіри, Балу, Шер-Хана і, звичайно, Табаки, почалася напередодні ХХ століття. За півстоліття до цього, у лютому 1838 року молодий британський офіцер бенгальських інженерних військ Т.С. Берт, зацікавлений розмовою слуг, що несли його паланкін, відхилився від маршруту і натрапив на стародавні храми в джунглях Індії.

На сходах храму Вішванатха офіцер знайшов напис, що свідчить про старовину споруд. Через короткий час енергійний генерал-майор А. Каннінгем накреслив докладні плани Кхаджурахо. Було розпочато розкопки, що увінчалися сенсаційним відкриттям 22 храмів. Звели храми махараджі їхньої династії Чанделов. Після розпаду їхнього царства джунглі поглинули будівлі на тисячу років. Знайдений серед зображень оголених богів і богинь квадрат четвертого порядку вражав.

Мало того, що у цього квадрата суми за рядками, стовпцями та діагоналями збігалися і дорівнювали 34. Вони збігалися також за ламаними діагоналями, що утворюються при згортанні квадрата в тор, причому в обох напрямках. За подібне чаклунство цифр такі квадрати називають «диявольськими» (або «пандіагональними», або «насиком»).

Безумовно, це свідчило про незвичайні математичні здібності їхніх творців, що перевершують колонізаторів. Що неминуче відчули люди в білих коркових шоломах.

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Знаменитий німецький художник початку XVI століття Альбрехт Дюрер становив перший у європейському мистецтві магічний квадрат 4х4. Сума чисел у будь-якому рядку, стовпці, діагоналі, а також, що дивно, у кожній чверті (навіть у центральному квадраті) і навіть сума кутових чисел дорівнює 34. Два середні числа у нижньому ряду вказують дату створення картини (1514). У середніх квадратах першого стовпчика внесено виправлення – цифри деформовані.

У картині з окультною крилатою мишею Сатурном магічний квадрат складений крилатим розумом Юпітером, які протистоять один одному. Квадрат симетричний, тому що сума будь-яких двох чисел, що входять до нього, розташованих симетрично щодо його центру, дорівнює 17. Якщо скласти чотири числа, отримані ходом шахового коня – буде 34. Воістину цей квадрат своєю бездоганною впорядкованістю відображає меланхолію, що охопила художника.

Ранковий сон.

Європейців із дивовижними числовими квадратами познайомив візантійський письменник та мовознавець Мосхопулос. Його робота була спеціальним твором на цю тему та містила приклади магічних квадратів автора.

СИСТЕМАТИЗАЦІЯ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ

У середині XVI ст. у Європі з'явилися твори, у яких як об'єкти математичного дослідження постали магічні квадрати. Потім було безліч інших робіт, зокрема таких відомих математиків, основоположників сучасної науки, як Штіфель, Баше, Паскаль, Ферма, Бессі, Ейлер, Гаус.

Магічний, або чарівний квадрат – це квадратна таблиця, заповнена n 2 числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та обох діагоналях однакова. Визначення умовне, оскільки стародавні надавали значення, наприклад, кольору.

Нормальнимназивається магічний квадрат, заповнений цілими числами від 1 до n2. Нормальні магічні квадрати існують всім порядків, крім n = 2 , хоча випадок n = 1 тривіальний – квадрат складається з однієї числа.

Сума чисел у кожному рядку, стовпці та на діагоналях називається магічною константою M. Магічна константа нормального чарівного квадрата залежить від n і визначається формулою

M = n (n 2 + 1) / 2

Перші значення магічних констант наведено у таблиці

Якщо у квадраті рівні суми чисел лише у рядках і стовпцях, він називається напівмагічним. Магічний квадрат називається асоціативнимабо симетричнимякщо сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює n 2 + 1 .

Існує лише один нормальний квадрат третього порядку. Його знали багато народів. Розташування чисел у квадраті Ло Шу схоже із символічними позначеннями духів у кабалі та знаками індіанської астрології.

Відомий також як квадрат Сатурна. Деякі таємні товариства в Середньовіччі бачили в ньому "каббалу дев'яти палат". Безсумнівно, відтінок забороненого чаклунства багато важив для збереження його зображень.

Він був важливим у середньовічній нумерології, часто використовувався як амулет або засіб для ворожіння. Кожен осередок його відповідає містичній літері чи іншому символу. Прочитані разом уздовж певної лінії ці знаки передавали окультні повідомлення. Цифри, що становлять дату народження, розставлялися в осередках квадрата і потім розшифровувалися залежно від значення та розташування цифр.

Серед пандіагональних, як їх називають ще, диявольських магічних квадратів виділяють симетричні - ідеальні. Диявольський квадрат залишається диявольським, якщо робити його поворот, відображення, перестановку рядка зверху вниз і навпаки, закреслення стовпця праворуч або ліворуч із приписуванням його з протилежного боку. Усього виділяють п'ять перетворень, схема останнього наведена на малюнку

Існує 48 диявольських квадратів 4×4 з точністю до поворотів та відбитків. Якщо взяти до уваги ще й симетрію щодо торичних паралельних переносів, то залишається лише три істотно різних диявольських квадрата 4×4:

Клод Ф. Брегдон, відомий американський архітектор, виявив, що, поєднавши одну за одною клітини тільки з парними або лише з непарними числами магічних квадратів ламаної, ми здебільшого отримаємо витончений візерунок. Придуманий ним візерунок для вентиляційних ґрат у стелі Торгової палати в Рочестері (штат Нью-Йорк), де він жив, побудований з магічної ламаної талісмана Ло-Шу. Брегдон використав «магічні лінії» як зразки малюнків для тканин, книжкових обкладинок, архітектурних прикрас та декоративних заставок.

Якщо з однакових диявольських квадратів викласти мозаїку (кожний квадрат повинен впритул до своїх сусідів), то вийде щось на зразок паркету, в якому числа, що стоять у будь-якій групі клітин 4х4, утворюватимуть диявольський квадрат. Числа в чотирьох клітинах, що йдуть послідовно одна за одною, як би вони не були розташовані - по вертикалі, по горизонталі або по діагоналі, - у сумі завжди дають постійну квадрата. Сучасні математики називають подібні квадрати «досконалими».

ЛАТИНСЬКИЙ КВАДРАТ

Латинський квадрат – різновид неправильних математичних квадратів, заповнений n різними символами таким чином, щоб у кожному рядку та в кожному стовпці зустрічалися всі n символів (кожен по одному разу).

Латинські квадрати є для будь-якого n. Будь-який латинський квадрат є таблицею множення (таблицею Келі) квазігрупи. Назва «латинський квадрат» бере початок від Леонарда Ейлера, який використовував латинські літери замість цифр у таблиці.

Два латинські квадрати називаються ортогональними, якщо всі упорядковані пари символів (a,b), де a – символ у певній клітці першого латинського квадрата, а b – символ у тій клітині другого латинського квадрата.

Ортогональні латинські квадрати існують для будь-якого порядку, крім 2 і 6. Для n є ступенем простого числа є набір n-1 ортогональних попарно латинських квадратів. Якщо у кожній діагоналі латинського квадрата всі елементи різні, такий латинський квадрат називається діагональним. Пари ортогональних діагональних латинських квадратів існують для всіх порядків, крім 2, 3 та 6. Латинський квадрат часто зустрічається у завданнях складання розкладу, оскільки в рядках та стовпцях числа не повторюються.

Квадрат з пар елементів двох ортогональних латинських квадратів називається греко-латинський квадрат. Подібні квадрати часто використовуються для побудови магічних квадратів та у ускладнених завданнях про складання розкладу.

Займаючись греко-латинськими квадратами Ейлер довів, що квадратів другого порядку не існує, зате знайшли квадрати 3, 4, і 5 порядків. Жодного квадрата 6 порядку не знайшов. Їм була висловлена гіпотеза, що немає квадратів парних порядків, не поділяється на 4 (тобто 6, 10, 14 тощо. буд.). У 1901 році Гастон Террі перебором підтвердив гіпотезу для 6 порядку. Але в 1959 гіпотеза була спростована Е. Т. Паркером, Р. К. Боусом і С. С. Шрікхердом, що виявили греко-латинський квадрат порядку 10.

ПОЛІМІНО АРТУРА КЛАРКУ

Поліміно - за складністю його, безумовно, відноситься до категорії найважчих математичних квадратів. Ось як про нього пише письменник-фантаст А. Кларк – нижче розміщено уривок із книги "Земна Імперія". Очевидно, що Кларк, проживаючи на своєму острові, він жив на Цейлоні - і його філософія відриву від соціуму цікава сама по собі, захопившись розвагою, якій вчить бабуся хлопчика, і передав його нам. Вважаємо за краще це живе опис наявним систематизаціям, які передають, можливо, суть, але не дух гри.

- Ти вже досить великий хлопчик, Дункан, і зумієш зрозуміти цю гру... втім, вона набагато більша, ніж гра. Попри слова бабусі, гра не вразила Дункана. Що можна зробити з п'яти білих пластмасових квадратиків?

– Насамперед, – продовжувала бабуся, – тобі треба перевірити, скільки різних візерунків ти зумієш скласти із квадратиків.

– А вони при цьому мають лежати на столі? – спитав Дункан.

- Так, вони повинні лежати, стикаючись. Перекривати один квадратик іншим не можна.

Дункан почав розкладати квадратики.

— Ну, я можу викласти їх у пряму лінію, — почав він.

Хлопчик швидко склав півдюжини поєднань, потім ще й раптом виявив, що вони повторюють вже існуючі.

- Може, я тупий, але це все.

Дункан упустив найпростішу з фігур – хрест, для створення якої достатньо було викласти чотири квадратики на п'ятий, центральний.

— Більшість людей починають саме з хреста,— усміхнулася бабуся.— На мою думку, ти поквапився оголосити себе тупим. Краще подумай: чи можуть бути ще якісь постаті?

Зосереджено рухаючи квадратики, Дункан знайшов ще три постаті, після чого припинив пошуки.

- Тепер уже точно все, - впевнено заявив він.

- А що ти скажеш про таку постать?

Злегка пересунувши квадратики, бабуся склала їх подібність горбатої літери F.

– І ось ще одна.

Дункан відчував себе останнім ідіотом, і бабусині слова лягли бальзамом на його збентежену душу.

- Ти просто молодець. Подумаєш, упустив лише дві постаті. А загальна кількість фігур дорівнює дванадцяти. Не більше та не менше. Тепер ти знаєш їх усі. Шукай хоч цілу вічність – більше не знайдеш жодної.

Бабуся сміла в кут п'ять білих квадратиків і виклала на стіл дюжину яскравих різнокольорових пластикових шматочків. Це були ті самі дванадцять фігур, але вже в готовому вигляді, і кожна складалася з п'яти квадратиків. Дункан вже був готовий погодитись, що жодних інших фігур справді не існує.

Але коли бабуся виклала ці різнокольорові смужки, то гра триває, і Дункана чекав ще один сюрприз.

- А тепер, Дункан, слухай уважно. Ці постаті називаються «пентаміно». Назва походить від грецького слова «Пента», що означає «п'ять». Усі фігури рівні площі, оскільки кожна складається з п'яти однакових квадратиків. Фігур дванадцять, квадратиків – п'ять, отже, загальна площа дорівнюватиме шістдесяти квадратикам. Правильно?

- Мм ... так.

- Слухай далі. Шістдесят - чудове кругле число, яке можна скласти кількома способами. Найлегший – помножити десять на шість. Таку площу має ця коробочка: по горизонталі в ній міститься десять квадратиків, а по вертикалі – шість. Отже, в ній мають уміститися всі дванадцять фігур. Просто, як складова картинка-загадка.

Дункан чекав каверзи. Бабуся любила словесні і математичні феномени, і далеко не всі вони були понятті її десятирічній жертві. Але цього разу обійшлося без парадоксів. Дно коробки було розкреслено на шістдесят квадратиків, отже… Стоп! Площа площею, але фігури мають різні обриси. Спробуй зажени їх у коробку!

– Залишаю тобі це завдання для самостійного вирішення, – оголосила бабуся, бачачи, як він сумно рухає пентаміно дном коробки. – Повір мені, їх можна зібрати.

Незабаром Дункан почав міцно сумніватися в словах бабуси. Йому з легкістю вдавалося вкласти в коробку десять фігур, а одного разу він умудрився втиснути й одинадцяту. Але обриси незаповненого простору не співпадали з контурами дванадцятої постаті, яку хлопчик крутив у руках. Там був хрест, а фігура, що залишилася, нагадувала букву Z...

Ще через півгодини Дункан вже був на межі розпачу. Бабуся поринула в діалог зі своїм комп'ютером, але час від часу зацікавлено поглядала на нього, наче кажучи: «Це не так легко, як ти думав».

У свої десять років Дункан вирізнявся помітною впертістю. Більшість його однолітків давним-давно залишили б усілякі спроби. (Тільки за кілька років він зрозумів, що бабуся витончено проводила з ним психологічний тест.) Дункан протримався без сторонньої допомоги майже сорок хвилин.

Тоді бабуся встала від комп'ютера та схилилася над головоломкою. Її пальці пересунули фігури U, X та L…

Дно коробки виявилося повністю заповненим! Усі шматки головоломки зайняли потрібні місця.

- Звичайно, ти знала відповідь! – скривджено простяг Дункан.

– Відповідь? - перепитала бабуся. - А як ти думаєш, скільки можна вкласти пентаміно в цю коробку?

Ось вона, пастка. Дункан провозився майже годину, так і не знайшовши рішення, хоча за цей час він перепробував щонайменше сотню варіантів. Він думав, що існує лише один спосіб. А їх може бути... дванадцять? Або більше?

- То скільки, на твою думку, може бути способів? – знову спитала бабуся.

— Двадцять, — випалив Дункан, думаючи, що бабуся вже не заперечуватиме.

- Спробуй знову.

Дункан відчув небезпеку. Забава виявилася куди хитрішою, ніж він думав, і хлопчик розсудливо вирішив не ризикувати.

— Я не знаю, — сказав він, хитаючи головою.

– А ти сприйнятливий хлопчик, – знову усміхнулася бабуся. – Інтуїція – небезпечний провідник, але часом іншого в нас немає. Можу тебе порадувати: вгадати правильну відповідь тут неможливо. Існує понад дві тисячі різних способів укладання пентаміно в цю коробку. Точніше, дві тисячі триста тридцять дев'ять. І що ти скажеш?

Навряд чи бабуся його дурила. Але Дункан був настільки роздавлений своєю нездатністю знайти рішення, що не втримався і випалив:

- Не вірю!

Елен рідко виявляла роздратування. Коли Дункан чимось кривдив її, вона просто ставала холодною та відчуженою. Проте зараз бабуся лише посміхнулася і щось стукала на клавіатурі комп'ютера.

- Поглянь сюди, - запропонувала вона.

На екрані з'явився набір із дванадцяти різнокольорових пентаміно, що заповнюють прямокутник розміром десять на шість. Через кілька секунд його змінило інше зображення, де постаті, швидше за все, розташовувалися вже по-іншому (ніби Дункан не міг, оскільки не запам'ятав першу комбінацію). Незабаром зображення знову змінилося, потім ще й ще… Так тривало, доки бабуся не зупинила програму.

- Навіть за великої швидкості комп'ютеру знадобиться п'ять годин, щоб перебрати всі способи, - пояснила бабуся. - Можеш повірити мені на слово: всі вони різні. Якби не комп'ютери, маю сумніви, що люди знайшли б усі способи звичайним перебором варіантів.

Дункан довго дивився на дванадцять оманливих постатей. Він повільно переварював бабусині слова. Це було перше у житті математичне одкровення. Те, що він так необачно порахував звичайною дитячою грою, раптом стало розгортати перед ним нескінченні стежки і горизонти, хоча навіть найобдарованіша десятирічна дитина навряд чи зуміла б відчути безмежність цього всесвіту.

Але тоді захоплення та благоговіння Дункана були пасивними. Реальний вибух інтелектуального задоволення стався пізніше, що він самостійно знайшов свій перший спосіб укладання пентаміно. Декілька тижнів Дункан скрізь тягав із собою пластмасову коробочку. Весь вільний час він витрачав лише на пентаміно. Фігури перетвориться на особистих друзів Дункана. Він називав їх за буквами, які ті нагадували, хоча в ряді випадків подібність була більш ніж віддалена. П'ять фігур - F, I, L, Р, N йшли вроздріб, зате інші сім повторювали послідовність латинського алфавіту: Т, U, V, W, X, Y, Z.

Одного разу, в стані чи то геометричного трансу, чи геометричного екстазу, який більше не повторювався, Дункан менш ніж за годину знайшов п'ять варіантів укладання. Можливо, навіть Ньютон, Ейнштейн або Чень-цзи у свої моменти істини не відчували більшої спорідненості з богами математики, ніж Дункан Макензі.

Незабаром він зрозумів, причому сам, без підказок бабуси, що пентаміно можна укласти в прямокутник з іншими розмірами сторін. Дункан знайшов кілька варіантів для прямокутників 5 на 12 і 4 на 15. Потім він цілий тиждень мучився, намагаючись загнати дванадцять фігур у довший і вузький прямокутник 3 на 20. Знову і знову він починав заповнювати підступний простір і... отримають дірки в прямокутнику та «зайві» фігури.

Скрушений, Дункан навідався до бабусі, де на нього чекав новий сюрприз.

- Я рада твоїм дослідам, - сказала Елен. - Ти досліджував усі можливості, намагаючись вивести загальну закономірність. Так завжди роблять математики. Але ти помиляєшся: рішення для прямокутника три на двадцять таки існують. Їх лише два, і якщо ти знайдеш одне, то зможеш знайти й друге.

Окрилений бабусиною похвалою, Дункан з новими силами продовжив «полювання на пентаміно». Ще через тиждень він почав розуміти, який непосильний тягар звалив на свої плечі. Кількість способів, яким можна розташувати дванадцять постатей, просто приголомшувала Дункана. Більше того, кожна фігура мала чотири положення!

І знову він з'явився до бабусі, виклавши їй усі свої труднощі. Якщо для прямокутника 3 на 20 існувало лише два варіанти, скільки часу знадобиться, щоб їх знайти?

- Будь ласка, я тобі відповім, - сказала бабуся. - Якби ти діяв як безмозкий комп'ютер, займаючись простим перебором комбінацій і витрачаючи на кожну по одній секунді, тобі знадобилося б... - Тут вона навмисно зробила паузу. - Тобі знадобилося б понад шість мільйонів. … так, понад шість мільйонів років.

Земних чи титанських? Це питання миттєво виникло у мозку Дункана. Втім, яка різниця?

- Але ти відрізняєшся від безмозглого комп'ютера, - продовжувала бабуся. Спробуй ще раз.

Дункан корився вже без ентузіазму і віри в успіх. А потім йому на думку спала блискуча ідея.

Карл відразу ж зацікавився пентаміно та прийняв виклик. Він узяв у Дункана коробочку з фігурами і зник на кілька годин.

Коли Карл подзвонив йому, вигляд у друга був трохи засмучений.

– А ти впевнений, що це завдання справді має рішення? – спитав він.

- Абсолютно впевнений. Їх цілих два. Невже ти так і не знайшов хоч одного? Я думав, ти здорово розумієш у математиці.

- Уяви собі, розумію, тому і знаю, яких праць стоїть твоє завдання. Потрібно перевірити… мільйон мільярдів можливих комбінацій.

- А де ти дізнався, що їх стільки? - запитав Дункан, задоволений тим, що хоч чимось зумів змусити друга розгублено чухати потилицю.

Карл скосив очі на аркуш паперу, заповнений якимись схемами та цифрами.

– Якщо виключити неприпустимі комбінації та врахувати симетрію та можливість повороту… виходить факторіал… сумарна кількість перестановок… ти все одно не зрозумієш. Я тобі краще покажу саме число.

Він підніс до камери інший аркуш, на якому була зображена велика низка цифр:

1 004 539 160 000 000.

Дункан нічого не тямив у факторіалах, проте точно підрахунків Карла не сумнівався. Довжина йому дуже сподобалося.

- То ти зібрався кинути це завдання? – обережно спитав Дункан.

- Ще чого! Я просто хотів тобі показати, наскільки вона важка.

Обличчя Карла виражало похмуру рішучість. Вимовивши ці слова, він відключився.

Наступного дня Дункана очікувало одне з найбільших потрясінь у його хлоп'ячому житті. З екрану на нього дивилося змарніле, із запаленими очима, обличчя Карла. Відчувалося, він провів безсонну ніч.

- Ну ось і все, - стомленим, але тріумфуючим голосом промовив він.

Дункан ледве вірив своїм очам. Йому здавалося, що шанси на успіх дуже малі. Він навіть переконав себе у цьому. І раптом... Перед ним лежав прямокутник три на двадцять, заповнений усіма дванадцятьма фігурами пентаміно.

Потім Карл поміняв місцями і перевернув фігури на кінцях, залишивши центральну частину незайманої. Від утоми в нього трохи тремтіли пальці.

- Це друге рішення, - пояснив він. - А тепер я вирушаю спати. Так що добраніч або доброго ранку - це вже як тобі завгодно.

Посоромлений Дункан ще довго дивився в погаслий екран. Він не знав, якими шляхами рухався Карл, намацуючи рішення головоломки. Але він знав, що його друг вийшов переможцем. Всупереч усьому.

Він не заздрив перемозі друга. Дункан дуже любив Карла і завжди радів його успіхам, хоча нерідко сам виявлявся переможеною стороною. Але у сьогоднішньому тріумфі друга було щось інше, щось майже магічне.

Дункан уперше побачив, якою силою має інтуїція. Він зіткнувся із загадковою здатністю розуму вириватися за межі фактів і відкидати убік логіку, що заважає. За лічені години Карл виконав колосальну роботу, перевершивши найшвидший комп'ютер.

Згодом Дункан дізнався, що подібні здібності мають усі люди, але використовують вони їх дуже рідко – можливо, один раз у житті. У Карла цей дар отримав винятковий розвиток ... З того моменту Дункан став серйозно ставитися до міркувань друга, навіть безглуздим і обурливим з точки зору здорового глузду.

Це було двадцять років тому. Дункан не пам'ятав, куди поділися пластмасові фігури пентаміно. Можливо, так і лишилися у Карла.

Бабусин подарунок став їх новим втіленням, тепер уже у вигляді шматочків різнокольорового каменю. Дивовижний, ніжно-рожевого відтінку граніт був із пагорбів Галілея, обсидіан – із плато Гюйгенса, а псевдомрамор – із гряди Гершеля. І серед них спочатку Дункан подумав, що помилився. Ні, так воно і є: то був рідкісний і загадковий мінерал Титана. Хрест кам'яного пентаміно бабуся зробила із титаніту. Цей синяво-чорний, із золотистими вкрапленнями мінерал не сплутаєш ні з чим. Таких великих шматків Дункан ще не бачив і міг тільки здогадуватися, якою є його вартість.

- Не знаю, що й сказати, - пробурмотів він. - Яка краса. Таке я бачу вперше.

Він обійняв худенькі бабусині плечі і раптом відчув, що вони тремтять і їй ніяк не вгамувати це тремтіння. Дункан дбайливо тримав її у своїх обіймах, поки плечі не перестали тремтіти. У такі миті слова не потрібні. Виразніше, ніж раніше, Дункан розумів: він останнє кохання в спустошеному житті Елен Макензі. І тепер він відлітає, залишаючи її віч-на-віч із спогадами.

ВЕЛИКІ МАГІЧНІ КВАДРАТИ

Китайський математик XIII століття Ян Хуей був знайомий із трикутником Паскаля (арифметичним трикутником). Він залишив виклад методів розв'язання рівнянь 4-го та вищих ступенів, зустрічаються правила розв'язання повного квадратного рівняння, підсумовування прогресій, прийоми побудови магічних квадратів. Він зумів побудувати магічний квадрат шостого порядку, причому останній виявився майже асоціативним (у ньому лише дві пари чисел, що центрально протилежать, не дають суму 37).

Бенджамін Франклін склав квадрат 16×16, який крім наявності постійної суми 2056 у всіх рядках, стовпцях та діагоналях мав ще одну додаткову властивість. Якщо вирізати з аркуша паперу квадрат 4×4 і укласти цей лист на великий квадрат так, щоб 16 клітин більшого квадрата потрапили в цей проріз, то сума чисел, що з'явилися в цьому прорізі, куди б ми її не поклали, буде одна і та ж 2056.

Найціннішим у цьому квадраті є те, що його досить просто перетворити на ідеальний магічний квадрат, тоді як побудова ідеальних магічних квадратів – нелегке завдання. Франклін називав цей квадрат "найчарівнішим чарівництвом з усіх магічних квадратів, коли-небудь створених чарівниками".