Đồ thị của hàm số y ax b. Hàm tuyến tính, tính chất và đồ thị của nó

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Những thông tin cá nhân nào chúng tôi thu thập:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Được thu thập bởi chúng tôi thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác cũng như các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn các thông báo và tin nhắn quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến các dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Nếu cần thiết - theo quy định của pháp luật, lệnh tư pháp, trong thủ tục pháp lý, và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các lý do lợi ích công cộng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi mất mát, trộm cắp và lạm dụng, cũng như khỏi truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được an toàn, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các thông lệ về quyền riêng tư.

Khái niệm hàm số. Các cách để thiết lập một chức năng. Thuộc tính chức năng.

hàm số- một chức năng hoạt động từ một không gian số (bộ) sang một không gian số khác (bộ).

Có ba cách chính để xác định một chức năng: phân tích, dạng bảng và đồ họa.

1. Phân tích.

Phương pháp chỉ định một chức năng bằng cách sử dụng một công thức được gọi là phân tích. Phương pháp này là phương pháp chính trong mat. phân tích, nhưng trong thực tế nó không thuận tiện.

2. Cách thiết lập chức năng dạng bảng.

Một hàm có thể được định nghĩa bằng cách sử dụng một bảng chứa các giá trị đối số và các giá trị hàm tương ứng của chúng.

3. cách đồ họa nhiệm vụ chức năng.

Hàm y \u003d f (x) được gọi là đồ thị đã cho nếu đồ thị của nó được dựng. Phương pháp thiết lập hàm này giúp chỉ có thể xác định gần đúng các giá trị của hàm, vì việc xây dựng biểu đồ và tìm các giá trị của hàm trên đó có liên quan đến lỗi.

Các thuộc tính của một hàm phải được tính đến khi vẽ đồ thị của nó:

1) Vùng định nghĩa chức năng.

phạm vi chức năng, tức là những giá trị mà đối số x của hàm F =y (x) có thể nhận.

2) Khoảng tăng và giảm của hàm số.

Chức năng được gọi là tăng trên khoảng được xem xét, nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm y(x). Điều này có nghĩa là nếu hai đối số tùy ý x 1 và x 2 được lấy từ khoảng đang xét và x 1 > x 2 thì y (x 1) > y (x 2).

Chức năng được gọi là giảm trên khoảng đang xét, nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm y(x). Điều này có nghĩa là nếu hai đối số tùy ý x 1 và x 2 được lấy từ khoảng được xem xét và x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Chức năng số không.

Các điểm mà tại đó hàm F \u003d y (x) cắt trục hoành (chúng có được bằng cách giải phương trình y (x) \u003d 0) và được gọi là các điểm không của hàm.

4) Hàm chẵn, lẻ.

Hàm được gọi là chẵn, nếu cho tất cả các giá trị của đối số từ phạm vi

y(-x) = y(x).

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục y.

Chức năng được gọi là lẻ, nếu cho tất cả các giá trị của đối số từ phạm vi

y(-x) = -y(x).

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua gốc tọa độ.

Nhiều hàm không chẵn cũng không lẻ.

5) Tính tuần hoàn của hàm số.

Chức năng được gọi là định kỳ, nếu tồn tại một số P sao cho với mọi giá trị của đối số từ miền xác định

y(x + P) = y(x).

Hàm tuyến tính, tính chất và đồ thị của nó.

Một hàm tuyến tính là một hàm có dạng y = kx + b, được xác định trên tập hợp tất cả số thực.

k – dốc(số thực)

b– thời hạn miễn phí (số thực)

x là một biến độc lập.

· Trường hợp riêng nếu k = 0 ta được hàm hằng y = b có đồ thị là đường thẳng song song với trục Ox đi qua điểm có tọa độ (0; b).

· Nếu b = 0 thì ta được hàm y = kx tỷ lệ thuận.

o Ý nghĩa hình học của hệ số b là độ dài đoạn mà đường thẳng cắt đi dọc theo trục Oy, tính từ gốc tọa độ.

o Ý nghĩa hình học của hệ số k là góc nghiêng của đường thẳng so với chiều dương của trục Ox, nó được coi là ngược chiều kim đồng hồ.

Tính chất hàm tuyến tính:

1) Miền xác định của hàm tuyến tính là toàn bộ trục thực;

2) Nếu k ≠ 0 thì phạm vi của hàm tuyến tính là toàn bộ trục thực.

Nếu k = 0 thì khoảng xác định của hàm số gồm các số b;

3) Tính chẵn, lẻ của một hàm tuyến tính phụ thuộc vào giá trị của các hệ số k và b.

a) b ≠ 0, k = 0 nên y = b chẵn;

b) b = 0, k ≠ 0 nên y = kx là số lẻ;

c) b ≠ 0, k ≠ 0 nên y = kx + b là hàm số nhìn chung;

d) b = 0, k = 0 nên y = 0 vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.

4) Hàm tuyến tính không có tính chất tuần hoàn;

5) Giao điểm với các trục tọa độ:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, do đó (-b / k; 0) là giao điểm với trục hoành.

Oy: y = 0k + b = b nên (0; b) là giao điểm với trục y.

Bình luận. Nếu b = 0 và k = 0 thì hàm y = 0 triệt tiêu với mọi giá trị của x. Nếu b ≠ 0 và k = 0 thì hàm số y = b không triệt tiêu với mọi giá trị của biến x.

6) Khoảng cách của hằng số dấu phụ thuộc vào hệ số k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b dương đối với x từ (-b/k; +∞),

y = kx + b âm đối với x từ (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b dương đối với x từ (-∞; -b/k),

y = kx + b âm đối với x từ (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b dương trên toàn miền,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Khoảng tính đơn điệu của một hàm tuyến tính phụ thuộc vào hệ số k.

k > 0, do đó y = kx + b tăng trên toàn miền,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Hàm y \u003d ax 2 + bx + c, tính chất và đồ thị của nó.

Hàm y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c - hằng số, a ≠ 0) được gọi là bậc hai. Trong trường hợp đơn giản nhất, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), đồ thị là một đường cong đi qua gốc tọa độ. Đường cong đóng vai trò là đồ thị của hàm y \u003d ax 2 là một hình parabol. Mỗi parabol có một trục đối xứng gọi là trục của parabol. Giao điểm của parabol với trục của nó gọi là O đỉnh của parabol.

Có thể xây dựng đồ thị theo sơ đồ sau: 1) Tìm tọa độ đỉnh của parabol x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Ta dựng thêm một số điểm thuộc parabol, khi dựng có thể dùng phép đối xứng của parabol đối với đường thẳng x = -b/2a. 3) Chúng tôi kết nối các điểm được chỉ định bằng một đường thẳng. Thí dụ. Dựng đồ thị của hàm số \u003d x 2 + 2x - 3. Các giải pháp. Đồ thị hàm số là parabol có các nhánh hướng lên trên. Trục hoành của đỉnh parabola x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, tọa độ của nó y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Vậy, đỉnh của parabol là điểm (-1; -4). Hãy lập bảng giá trị của một số điểm nằm bên phải trục đối xứng của parabol - đường thẳng x \u003d -1. Thuộc tính chức năng.

Đại số và sự khởi đầu của giải tích.
1. Hàm số tuyến tính y = ax + b, tính chất và đồ thị của nó.
2. Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, tính chất và vẽ đồ thị.
3. Hàm số y = k/x, tính chất và vẽ đồ thị, đồ thị hàm phân số tuyến tính(trên một ví dụ cụ thể).
4. hàm số mũ y = ax, tính chất và đồ thị của nó.
5. hàm logarit y = loga x, tính chất và đồ thị của nó.
6. Hàm số y = sin(x), tính chất và đồ thị của nó.
7. Hàm số y = cos(x), tính chất và đồ thị của hàm số.
8. Hàm số y = tg(x), tính chất và đồ thị của nó.
9. Hàm số y = ctg(x), tính chất và đồ thị của nó.
10. Cấp số cộng, tổng n số hạng đầu cấp số cộng.
11. Cấp số nhân, tổng của n phần tử đầu tiên của một cấp số nhân. Tổng của một cấp số nhân giảm dần.
12. Nghiệm phương trình sin(x) = a, bất phương trình sin(x) > a, sin(x)< a.
13. Nghiệm phương trình cos(x) = a, bất phương trình cos(x) > a, cos(x)< a.
14. Nghiệm phương trình tg(x) = a, bất phương trình tg(x) > a, tg(x)< a.
15. Công thức rút gọn (có đạo hàm).
16. Công thức tính sin và cosin của tổng và hiệu của hai đối số (có chứng minh).
17. Hàm lượng giác đối kép.
18. Các hàm lượng giác nửa đối số.
19. Công thức tính tổng và hiệu sin, cosin (có chứng minh).
20. Dẫn xuất của căn thức phương trình bậc hai, định lý Vieta.
21. Lôgarit của tích, bậc, thương.
22. Khái niệm đạo hàm, tính chất của nó ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý.
23. Quy tắc tính đạo hàm.

1. Hàm số được cho bởi công thức y = kx + b, trong đó k và b là một số, được gọi là tuyến tính.
2. Miền xác định của một hàm tuyến tính là tập hợp r mọi số thực vì biểu thức kx + b có nghĩa với mọi giá trị của x.
3. Đồ thị của hàm tuyến tính y = kx + b là một đường thẳng. Rõ ràng, hai điểm là đủ để vẽ đồ thị nếu k 0.
4. Hệ số k đặc trưng cho góc tạo bởi đường thẳng y = kx với chiều dương của trục Ox nên k gọi là hệ số góc. Nếu k > 0 thì góc này nhọn; nếu k< 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
5. Đồ thị của hàm y = kx + b có thể được mã hóa sau bằng cách di chuyển song song đồ thị của hàm y = kx.

Câu trả lời số 2. vốn viện trợ. Hàm bậc hai là một hàm có thể được chỉ định bởi công thức có dạng y \u003d ax2 + bx + c, trong đó x là một biến độc lập, a, b và c là một số và a 0.

lịch trình hàm bậc hai là một parabol.

Tính chất của hàm số y = ax2 (trường hợp đặc biệt) khi a > 0.

2. Nếu x 0 thì y > 0. Đồ thị của hàm số nằm trong nửa mặt phẳng trên.

4. Hàm số giảm trong khoảng (- ; 0] và tăng trên khoảng .
5. Giá trị thấp nhất hàm số nhận tại x = 0. Khoảng xác định của hàm số là (- ; 0].

Và, do đó, đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c là một parabol có đỉnh là điểm (m; n), trong đó m = , n= . Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = m, song song với trục y. Với a > 0, các nhánh của parabol hướng lên trên, đối với a< 0 - вниз.

Nếu biến y tỉ lệ nghịch với biến x thì sự phụ thuộc này được biểu thị bằng công thức, trong đó hệ số là tỉ lệ nghịch.

1. Miền của hàm là tập hợp tất cả các số khác 0, tức là .
2. Đồ thị tỉ lệ nghịch y=k/x là một đường cong gồm hai nhánh đối xứng qua gốc tọa độ. Một đường cong như vậy được gọi là một hyperbola. Nếu k>0 thì các nhánh của hypebol nằm trong các phần tư tọa độ I và III; nếu k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
3. Lưu ý rằng hypebol không có điểm chung với các trục toạ độ mà chỉ có các tiệm cận với chúng một cách tùy ý.

Số 4. Chắc chắn. Hàm được cho bởi công thức y = ax, trong đó a là một số số dương, không bằng một, được gọi là cấp số nhân.

1. Hàm số y = ax với a>1


c) hàm số tăng;

e) nếu x > 0 thì ax > 1;
e) nếu x< 0, то 0< ax <1;

2. Hàm số y = ax tại 0< а <1
một)
b) tập hợp các giá trị - tập hợp tất cả các số dương;
c) hàm số giảm dần;
d) tại x = 0, giá trị của hàm số bằng 1;
e) nếu x > 0 thì 0< ax <1;
e) nếu x< 0, то ax > 1.

№5.Def. Hàm được cho bởi công thức y = loga x được gọi là hàm logarit với cơ số a.
Tính chất của hàm y = loga x với a>1:
a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) hàm số tăng;

đ) nếu 0 f) nếu x > 1 thì loga x > 0.
Tính chất hàm y = loga x tại 0 a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) hàm số giảm dần;
d) nếu x = 1 thì loga x = 0;
đ) nếu 0< x < 1, то loga x > 0;
f) nếu x > 1 thì loga x< 0.

Số 6. vốn viện trợ. tỷ lệ chân tam giác vuông một góc nhọn đối với cạnh huyền gọi là sin của góc đó (ký hiệu là tội).

1. miền xác định - tập hợp tất cả các số thực;
2. bộ giá trị - [-1; một];
3. hàm lẻ: sin(-x) = -sin(x) với mọi;
4. sin(x) = 0 với x = ;
5. sin(x) > 0 với mọi;
6. tội lỗi(x)< 0 для всех;
7. hàm tăng theo;
8. hàm số giảm dần.

Số 7.Opr. Tỉ số giữa cạnh góc vuông và cạnh góc nhọn của một tam giác vuông kề với cạnh huyền được gọi là cosin của góc này (ký hiệu là cos)

1. miền xác định - tập hợp tất cả các số thực;
2. bộ giá trị - [-1; một];
3. hàm chẵn: cos(-x) = cos(x) với mọi;
4. hàm tuần hoàn với giá trị nhỏ nhất giai đoạn tích cực;
5. cos(x) = 0 tại;
6. cos(x) > 0 với mọi;
7. cos(x) > 0 với mọi;
8. hàm tăng theo;
9. chức năng giảm bởi

№8.Opr. Tỉ số giữa cạnh đối diện với góc nhọn của một tam giác vuông với cạnh kề với góc này gọi là tiếp tuyến (ký hiệu là tg).

1. hàm lẻ: tg(-x) = -tg(x) với mọi x thuộc miền xác định;
2. hàm tuần hoàn với chu kỳ dương nhỏ nhất;
3. tg(x) = 0 tại x = ;
4. tg(x) > 0 cho tất cả;
5. tg(x)< 0 для всех;
6. hàm tăng theo.

№9.Opr. Tỉ số giữa cạnh kề với góc nhọn của một tam giác vuông với cạnh đối diện với góc này gọi là cotang (kí hiệu là ctg)

1. miền xác định - tập hợp tất cả các số thực, ngoại trừ các số có dạng;
2. bộ giá trị là toàn bộ dãy số;
3. hàm lẻ: ctg(-x) = -ctg(x) cho mọi x từ miền;
4. hàm tuần hoàn với chu kỳ dương nhỏ nhất;
5. ctg(x) = 0 cho x = ;
6. ctg(x) > 0 cho tất cả;
7. ctg(x)< 0 для всех;
8. hàm số giảm dần.

Đáp án số 10

1. dãy số, mỗi số hạng bắt đầu từ số hạng thứ hai bằng số hạng trước đó cộng với cùng một số được gọi là một cấp số cộng.
2. Theo định nghĩa của một cấp số cộng, hiệu giữa bất kỳ thành phần nào của nó và cấp số nhân trước nó bằng cùng một số, tức là a2 - a1 = a3 - a2 =… = ak - ak-1 =…. Số này được gọi là hiệu của một cấp số cộng và thường được ký hiệu bằng chữ đ.
3. Để lập một cấp số cộng (аn), chỉ cần biết số hạng đầu tiên của nó là a1 và hiệu đ.
4. Nếu công của một cấp số cộng là một số dương thì cấp số đó tăng; nếu một số âm, sau đó giảm dần. Nếu công của một cấp số cộng bằng 0 thì tất cả các số hạng của cấp số cộng đó đều bằng nhau và cấp số cộng là một cấp số không đổi.
5. tài sản đặc trưng cấp số cộng. Dãy (an) là một cấp số cộng khi và chỉ khi bất kỳ phần tử nào của nó, bắt đầu từ phần thứ hai, là trung bình cộng của các phần tử trước đó và tiếp theo, tức là (1)
6. Công thức cho thành viên thứ n của một cấp số cộng là: an = a1 + d(n-1). (2)
7. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là: (3)
8. Nếu trong công thức (3) thay biểu thức của nó vào công thức (2) thay an thì ta được hệ thức
9. Từ định nghĩa về công thức của một cấp số cộng, suy ra a1 + an = a2 + an-1 = ..., tức là tổng các số hạng cách đều hai đầu của cấp số cộng là một giá trị không đổi.

Đáp án số 11

1. Một dãy số có số hạng đầu tiên khác 0 và mỗi số hạng bắt đầu từ số thứ hai bằng số hạng trước đó nhân với cùng một số khác 0, được gọi là một cấp số nhân.
2. Từ định nghĩa của một cấp số hình học, có thể suy ra rằng tỷ lệ của bất kỳ phần tử nào của nó so với phần tử trước đó bằng cùng một số, tức là b2 :b1 = b3 :b2 =… = tỷ :tỷ-1 = tỷ+1 :tỷ=…. Số này được gọi là mẫu số của một cấp số nhân và thường được ký hiệu bằng chữ cái q .
3. Để thiết lập một tiến trình hình học ( tỷ), chỉ cần biết số hạng đầu tiên của nó là đủ b1 và mẫu số q .
4. Nếu một q> 0 ( ) thì cấp số là trình tự đơn điệu. Hãy để, ví dụ, b1 = -2, q= 3 thì cấp số nhân -2, -6, -18,… là một dãy đơn điệu giảm. Nếu một q= 1 thì tất cả các phần tử của cấp số đều bằng nhau. Trong trường hợp này, tiến trình là một chuỗi liên tục.
5. Tính chất đặc trưng của một cấp số nhân. dãy con ( tỷ) là một cấp số nhân khi và chỉ khi mỗi số hạng của nó, bắt đầu từ số hạng thứ hai, là trung bình hình học của các số hạng liền kề với nó, nghĩa là (1)
6. Công thức cho phần tử thứ n của một cấp số nhân là: (2)
7. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân là: , (3)
8. Nếu trong công thức (3) ta thay biểu thức của nó vào công thức (2) thay bn thì ta được một quan hệ. , (bốn)
9. Suy ra từ định nghĩa mẫu số của một cấp số nhân là b1 bn = b2 bn-1 = …, tức là tích của các số hạng cách đều hai đầu của cấp số là một hằng số.

Tổng của một cấp số nhân vô hạn tại

1. Cho (xn) là một cấp số nhân có mẫu số q, nơi mà tôi. Tổng của một cấp số nhân vô hạn có mẫu số thỏa mãn điều kiện được gọi là giới hạn của tổng N thành viên đầu tiên của nó tại.
2. Biểu thị tổng của một cấp số nhân vô hạn bằng S. Sau đó, công thức là chính xác.

Giải phương trình lượng giác dạng sin(x) = a

1. công thức nghiệm của phương trình sin(x) = a, trong đó, có dạng:
   Trường hợp đặc biệt:
2. sin(x) = 0, x =
3. sin(x) = 1, x =
4. sin(x) = -1, x =
5. công thức nghiệm của phương trình sin2(x) = a, trong đó, có dạng: x=

Dung dịch bất đẳng thức lượng giác có dạng sin(x) > a, sin(x)< a

1. Các bất phương trình chỉ chứa một biến dưới dấu của một hàm lượng giác được gọi là lượng giác.
2. Khi giải các bất đẳng thức lượng giác, tính chất đơn điệu của các hàm lượng giác, cũng như các khoảng có dấu hằng số của chúng được sử dụng.
3. Để giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất dạng sin(x) > a (sin(x)< а) используют vòng tròn đơn vị hoặc đồ thị của hàm y = sin(x).
   sin(x) = 0 nếu x = ;
   sin(x) = -1 nếu x =>;
   sin(x) > 0 nếu;
   tội lỗi(x)< 0, если.

Đáp án số 13

Dung dịch phương trình lượng giác cos(x) = a

1. Công thức nghiệm của phương trình cos(x) = a, trong đó, có dạng: .
2. Trường hợp đặc biệt:
   cos(x) = 1, x = ;
   cos(x) = 0, ;
   cos(x) = -1, x =
3. Công thức nghiệm của phương trình cos2 (x) = a, trong đó, có dạng: .

Giải bất phương trình lượng giác dạng cos(x) > a, cos(x)< a

1. Để giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất dạng cos(x) > a, cos(x)< a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
2. Một điểm quan trọng là kiến ​​thức rằng:
   cos(x) = 0 nếu;
   cos(x) = -1 nếu x = ;
   cos(x) = 1 nếu x = ;
   cos(x) > 0 nếu;
   cos(x) > 0 nếu.

Giải phương trình lượng giác tg(x) = a

1. Công thức cho nghiệm của phương trình tg(x) = a là: .
2. Trường hợp đặc biệt:
   tan(x) = 0, x = ;
   tan(x) = 1, ;
   tan(x) = -1, .
3. Công thức nghiệm của phương trình tg2 (x) = a, trong đó, có dạng:

Giải bất phương trình lượng giác dạng tg(x) > a, tg(x)< a

1. Để giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất dạng tg(x) > a, tg(x)< a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
2. Điều quan trọng là phải biết rằng:
   tg(x) > 0 nếu;
   tg(x)< 0, если;
   Tiếp tuyến không tồn tại nếu .

1. Các công thức rút gọn được gọi là các quan hệ, với sự trợ giúp của các giá trị hàm lượng giác lập luận được thể hiện thông qua giá trị tội lỗi, cos , tg và ctg .
2. Tất cả các công thức giảm có thể được tóm tắt trong bảng sau:

	Tranh luận

1. Để tạo điều kiện ghi nhớ các công thức trên, nên sử dụng các quy tắc sau:
   a) khi chuyển từ hàm góc sang hàm góc, tên của hàm được thay đổi: sin thành cosin, tiếp tuyến thành cotang và ngược lại;
   khi chuyển từ các hàm góc sang các hàm góc, tên của hàm được giữ lại;
   b) xét một góc nhọn (tức là), trước hàm góc người ta đặt một dấu như hàm rút gọn của các góc có, .

Tất cả các công thức trên có thể thu được bằng cách sử dụng quy tắc sau:
Mọi hàm lượng giác của góc 90°n + by giá trị tuyệt đối bằng cùng một hàm của góc nếu số n chẵn và chức năng bổ sung nếu số n là số lẻ. Hơn nữa, nếu hàm của góc là 90°n + . dương khi góc nhọn, thì dấu của cả hai hàm là như nhau, nếu âm thì chúng khác nhau.

1. Công thức tính cosin của tổng và hiệu của hai đối số:

   Hình 1 Hình 2
   Hãy quay vật OA bán kính bằng R lại gần điểm O một góc và bằng một góc (Hình 1). Ta được bán kính của OB và HĐH. Chúng ta hãy tìm tích vô hướng của các vectơ và . Gọi tọa độ của điểm B là x1 và y1, tọa độ của điểm C là x2 và y2. Các vectơ và có cùng tọa độ tương ứng. Theo định nghĩa tích vô hướng của vectơ:
   = x1 x2 + y1 y2. (một)
   Ta biểu diễn tích vô hướng theo các hàm lượng giác của các góc u. Từ định nghĩa của cosin và sin suy ra
   x1 = R cos, y1 = R sin, x2 = R cos, y2 = R sin.
   Thay các giá trị x1, x2, y1, y2 vào bên phảiđẳng thức (1), ta được:
   \u003d R2 coscos + R2 sinin \u003d R2 (coscos + sinsin).
   Mặt khác, theo định lý về sản phẩm chấm véc tơ ta có:
   = cos BOC = R2 cos BOC.
   Góc VOC giữa các vectơ và có thể bằng - (Hình 1), - (-) (Hình 2) hoặc có thể khác với các giá trị này bằng một số nguyên số vòng quay. Trong mọi trường hợp, cos BOC = cos (-). đó là lý do tại sao
   = R2cos(-).
   Tại vì cũng bằng R2 (coscos + sinsin), khi đó
   cos(-) = coscos + sinsin.

   Cos(+) = cos(- (-)) = coscos(-) + sinin(-) = coscos - sinin.
   Có nghĩa,
   cos(+) = coscos - tội lỗi.

2. Công thức cho sin của tổng và hiệu của hai đối số:

   Sin(+) = cos(/2 - (+)) = cos((/2 -) -) = cos(/2 -) cos+ sin(/2 -) sin= sincos+ cossin.
   Có nghĩa,
   sin(+) = sincos + cosin.

   Sin(-) = sin(+ (-)) = sincos(-) + cossin(-) = sincos - cossin.
   Có nghĩa,
   sin(-) = sincos - cosin.

công thức góc đôi

Các công thức cộng cho phép bạn biểu thị sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 thông qua các hàm lượng giác của góc.
Chúng tôi đưa vào các công thức
sin(+) = sincos + cosin
cos(+) = coscos - tội lỗi,
,
.
bình đẳng. Chúng tôi nhận được danh tính:

tội lỗi 2= 2 sin cos ;
cos2= cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .

Công thức nửa đối số

1. Bày tỏ mặt phải công thức cos 2= ​​cos2 - sin2 qua một hàm lượng giác (sin hoặc cosin) ta đi đến hệ thức
   cos 2= 1 - sin2 , cos 2= 2 cos2 - 1.
   Nếu chúng ta đặt = /2 trong các mối quan hệ này, thì chúng ta sẽ nhận được:
   cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2= 2 cos2 /2 - 1. (1)
2. Từ công thức (1) suy ra
   (2), (3).
3. Chia số hạng cho đẳng thức (2) cho đẳng thức (3), ta được
   (4).
4. Trong các công thức (2), (3) và (4), dấu trước căn phụ thuộc vào tọa độ quý có một góc /2.
5. Thật hữu ích khi biết công thức sau:
   .

Công thức tính tổng và hiệu của sin, cosin

Tổng và hiệu của sin hoặc cosin có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các hàm lượng giác. Các công thức dựa trên phép biến đổi như vậy có thể được rút ra từ các công thức cộng.
Để giới thiệu như một sản phẩm tổng tội lỗi+ sin, đặt = x + y và = x - y và sử dụng các công thức cho sin tổng và sin hiệu. Chúng tôi nhận được:
sin + sin \u003d sin (x + y) + sin (x - y) \u003d sinx ấm cúng + cosx siny + sinx ấm cúng - cosx siny \u003d 2sinx ấm cúng.
Bây giờ giải hệ phương trình = x + y, = x - y đối với x và y, ta được x = , y = .
Do đó,
sin + sin = 2 sincos.
Các công thức được dẫn xuất theo cách tương tự:
sin-sin = 2 cosin;
cos + cos = 2 cocos;
cos + cos = -2 tộisin .

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn x2 + P x + q= 0, trong đó, chỉ cần chuyển số hạng tự do sang vế phải và cộng vào cả hai vế của đẳng thức là đủ. Sau đó, phía bên trái trở thành hình vuông đầy đủ, và chúng tôi nhận được phương trình tương đương = - q.
Nó khác với phương trình đơn giản nhất x2 = m chỉ ở hình thức: thay vì x và - q- thay vì tôi. Tìm = . Otsyuba x = - . Công thức này chỉ ra rằng mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm. Nhưng những gốc này có thể là tưởng tượng nếu< q. Nó cũng có thể chỉ ra rằng cả hai nghiệm của phương trình bậc hai đều bằng nhau nếu = q. Chúng tôi trở lại hình thức thông thường.
1. Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn x2 + P x + q= 0 bằng với hệ số thứ hai lấy từ dấu hiệu ngược lại, và tích của các nghiệm bằng với số hạng tự do, tức là x1 + x2 = - r, và x1 x2 = q .
2. Định lý, định lý đảo ngược Việta. Nếu một r, q, x1, x2 sao cho x1 + x2 = - r và x1 x2 = q, thì x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 + P x + q = 0.

vốn viện trợ. Lôgarit của số b với cơ số a là số mũ mà cơ số a phải nâng lên để được số b.
Công thức (trong đó b > 0, a > 0 và a 1) được gọi là đẳng thức logarit cơ bản.
Các tính chất của logarit:

1. Logarit của sản phẩm bằng tổng logarit của các yếu tố:
   .
   Để chứng minh điều này, chúng ta sử dụng đẳng thức logarit cơ bản:
   x = , y = .
   Chúng tôi nhân các đẳng thức này theo số hạng, chúng tôi nhận được:
   xy == .
   Do đó, theo định nghĩa của logarit (mục 3) được chứng minh.
2. Logarit của thương bằng logarit cổ tức không có logarit chia:
   .
   Quá trình chứng minh tương tự như chứng minh mục 3
3. độ logarit bằng với sản phẩm số mũ trên logarit của cơ số của nó:
   .
   Trong chứng minh cũng cần sử dụng căn thức logarit cơ bản.

1. Đạo hàm của hàm f(x) tại điểm x0 là giới hạn của tỷ số giữa số gia của hàm tại điểm x0 với số gia của đối số khi đối số có xu hướng bằng không. Điều này có thể được viết như thế này: .
2. Từ định nghĩa của đạo hàm, một hàm chỉ có thể có đạo hàm tại điểm x0 nếu nó được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0, bao gồm cả điểm này.
3. Điều kiện cần thiết sự tồn tại đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước là tính liên tục của hàm số tại điểm đó.
4. Sự tồn tại đạo hàm của hàm f tại điểm x0 tương đương với sự tồn tại của một tiếp tuyến (không thẳng đứng) tại điểm (x0; f(x0)) của đồ thị, trong khi độ dốc tiếp tuyến bình đẳng. Đây là cái gì ý nghĩa hình học của đạo hàm.
5. cảm giác cơ họcđạo hàm f "(x) của hàm y \u003d f (x) là tốc độ biến thiên của hàm tại điểm x. Do đó, khi giải các bài toán ứng dụng, cần nhớ rằng bất kể quá trình nào được nghiên cứu mô tả hàm y \u003d f (x), đạo hàm từ quan điểm vật lý có thể được coi là tốc độ mà quá trình tiến hành.

1. Đạo hàm của tổng bằng tổng của các đạo hàm, nếu chúng tồn tại:
   .
2. Nếu chức năng bạn và v khả vi tại điểm x0to, đạo hàm của chúng khả vi tại điểm này, và
   .
3. Nếu chức năng bạn và v khả vi tại điểm x0 và TỪ là hằng số thì hàm số cu là khả vi tại thời điểm này và
   .
4. Nếu chức năng bạn và v khả vi tại điểm x0 và hàm số v không bằng 0 tại điểm này thì thương của hai hàm số cũng khả vi tại điểm x0u
   .

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét hàm tuyến tính, đồ thị của một hàm tuyến tính và các tính chất của nó. Và, như thường lệ, chúng tôi sẽ giải quyết một số vấn đề về chủ đề này.

Hàm tuyến tínhđược gọi là một chức năng của hình thức

Trong phương trình hàm, số chúng ta nhân với được gọi là hệ số góc.

Ví dụ, trong phương trình hàm ;

trong phương trình hàm;

trong phương trình hàm;

trong phương trình hàm.

Đồ thị của một hàm tuyến tính là một đường thẳng.

một . Để vẽ một chức năng, ta cần tọa độ hai điểm thuộc đồ thị hàm số. Để tìm chúng, bạn cần lấy hai giá trị x, thay thế chúng vào phương trình của hàm và tính các giá trị y tương ứng từ chúng.

Ví dụ, để vẽ đồ thị của hàm , thuận tiện là lấy và , khi đó tọa độ của các điểm này sẽ bằng và .

Ta được các điểm A(0;2) và B(3;3). Hãy kết nối chúng và lấy đồ thị của hàm:

2 . Trong phương trình hàm số, hệ số gây nên hệ số góc của đồ thị hàm số là:

Tiêu đề="(!LANG:k>0">!}

Hệ số chịu trách nhiệm dịch chuyển đồ thị dọc theo trục:

Tiêu đề="(!LANG:b>0">!}

Hình dưới đây cho thấy các đồ thị của chức năng; ;

Lưu ý rằng trong tất cả các hàm này, hệ số Trên không bên phải. Hơn nữa, so với nhiều giá trị hơn, dốc hơn đi thẳng.

Trong tất cả các hàm - và chúng ta thấy rằng tất cả các đồ thị cắt trục OY tại điểm (0;3)

Bây giờ hãy xem xét các đồ thị chức năng; ;

Lần này trong tất cả các chức năng hệ số nhỏ hơn 0, và tất cả đồ thị hàm số đều bị lệch Qua bên trái.

Lưu ý rằng |k| càng lớn, đường càng dốc. Hệ số b giống nhau, b=3, và các đồ thị, như trong trường hợp trước, cắt trục OY tại điểm (0;3)

Hãy xem xét các đồ thị của chức năng; ;

Bây giờ trong tất cả các phương trình của các hàm, các hệ số đều bằng nhau. Và chúng ta có ba đường thẳng song song.

Nhưng các hệ số b khác nhau và các đồ thị này cắt trục OY tại các điểm khác nhau:

Đồ thị hàm số (b=3) cắt trục OY tại điểm (0;3)

Đồ thị hàm số (b=0) cắt trục OY tại điểm (0;0) - gốc tọa độ.

Đồ thị hàm số (b=-2) cắt trục OY tại điểm (0;-2)

Vì vậy, nếu chúng ta biết dấu của các hệ số k và b, thì chúng ta có thể hình dung ngay đồ thị của hàm như thế nào.

Nếu một k<0 и b>0 , thì đồ thị của hàm số có dạng:

Nếu một k>0 và b>0 , thì đồ thị của hàm số có dạng:

Nếu một k>0 và b<0 , thì đồ thị của hàm số có dạng:

Nếu một k<0 и b<0 , thì đồ thị của hàm số có dạng:

Nếu một k=0 , sau đó hàm biến thành hàm và đồ thị của nó có dạng:

Tọa độ của tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số thì bằng nhau

Nếu một b=0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ:

nó biểu đồ tỷ lệ trực tiếp.

3 . Một cách riêng biệt, tôi lưu ý đồ thị của phương trình. Đồ thị của phương trình này là một đường thẳng song song với trục, tất cả các điểm đều có trục hoành.

Ví dụ, biểu đồ phương trình trông như thế này:

Chú ý! Phương trình không phải là một hàm, vì các giá trị khác nhau của đối số tương ứng với cùng một giá trị hàm, không tương ứng với .

4 . Điều kiện để hai đường thẳng song song:

đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số, nếu

5. Điều kiện hai đường thẳng vuông góc:

đồ thị hàm số vuông góc với đồ thị hàm số tôi cho

6. Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.

với trục OY. Trục hoành của bất kỳ điểm nào thuộc trục OY đều bằng không. Do đó, để tìm giao điểm với trục OY, bạn cần thay số 0 thay cho x vào phương trình của hàm số. Ta được y=b. Tức là giao điểm với trục OY có tọa độ (0;b).

Với trục OX: Tọa độ của mọi điểm thuộc trục OX đều bằng không. Do đó, để tìm giao điểm với trục OX, bạn cần thay số 0 thay cho y vào phương trình của hàm số. Ta được 0=kx+b. Từ đây. Tức là giao điểm với trục OX có tọa độ (;0):

Xem xét giải quyết vấn đề.

một . Dựng đồ thị của hàm số nếu biết nó đi qua điểm A(-3; 2) và song song với đường thẳng y \u003d -4x.

Có hai tham số chưa biết trong phương trình hàm: k và b. Do đó, trong văn bản của vấn đề cần có hai điều kiện đặc trưng cho đồ thị của hàm số.

a) Từ việc đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=-4x suy ra k=-4. Tức là phương trình của hàm số có dạng

b) Chúng ta vẫn phải tìm b. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-3;2). Nếu điểm thuộc đồ thị hàm số thì khi thay tọa độ của nó vào phương trình hàm số ta được đẳng thức đúng:

do đó b=-10

Vì vậy, chúng ta cần vẽ đồ thị hàm

Ta đã biết điểm A(-3;2) lấy điểm B(0;-10)

Hãy đặt các điểm này trong mặt phẳng tọa độ và nối chúng bằng một đường thẳng:

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1;1); B(2;4).

Nếu đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ cho trước thì tọa độ của các điểm thỏa mãn phương trình của đường thẳng. Tức là nếu thay tọa độ của các điểm vào phương trình của một đường thẳng ta sẽ được đẳng thức đúng.

Thay tọa độ của từng điểm trong phương trình và nhận được một hệ phương trình tuyến tính.

Chúng tôi trừ phương trình đầu tiên khỏi phương trình thứ hai của hệ thống và chúng tôi nhận được . Thay thế giá trị của k trong phương trình đầu tiên của hệ thống và nhận được b=-2.

Vậy phương trình đường thẳng.

3 . Vẽ phương trình

Để tìm giá trị nào của ẩn số mà tích của một số thừa số bằng 0, bạn cần đánh đồng từng thừa số bằng 0 và tính đến mỗi số nhân.

Phương trình này không có hạn chế đối với ODZ. Hãy để chúng tôi phân tích dấu ngoặc thứ hai và đánh đồng mỗi thừa số bằng 0. Chúng tôi nhận được một tập hợp các phương trình:

Chúng tôi xây dựng đồ thị của tất cả các phương trình của tập hợp trong một mặt phẳng tọa độ. Đây là đồ thị của phương trình :

bốn . Dựng đồ thị của hàm số nếu nó vuông góc với đường thẳng và đi qua điểm M(-1;2)

Chúng tôi sẽ không xây dựng một đồ thị, chúng tôi sẽ chỉ tìm phương trình của một đường thẳng.

a) Do đồ thị hàm số nếu vuông góc với đường thẳng nên từ đây . Tức là phương trình của hàm số có dạng

b) Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;2). Thay tọa độ của nó vào phương trình của hàm. Chúng tôi nhận được:

Từ đây.

Do đó, chức năng của chúng tôi trông giống như: .

5 . Vẽ đồ thị hàm

Hãy rút gọn biểu thức vế phải của phương trình hàm.

Quan trọng! Trước khi đơn giản hóa biểu thức, hãy tìm ODZ của nó.

Mẫu số của một phân số không thể bằng 0, vì vậy title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

Sau đó, chức năng của chúng tôi trở thành:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(ma trận(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Đó là, chúng ta cần xây dựng một đồ thị hàm số và vạch ra hai điểm trên đó: với các hoành độ x=1 và x=-1:

Các nhiệm vụ về tính chất và đồ thị của hàm bậc hai, như thực tế cho thấy, gây ra những khó khăn nghiêm trọng. Điều này khá lạ, bởi vì hàm bậc hai được truyền vào năm lớp 8, và sau đó toàn bộ quý đầu tiên của lớp 9 bị "tra tấn" bởi các tính chất của parabol và đồ thị của nó được xây dựng cho các tham số khác nhau.

Điều này là do việc buộc học sinh xây dựng parabol, thực tế các em không dành thời gian để "đọc" đồ thị, tức là không thực hành lĩnh hội thông tin nhận được từ hình. Rõ ràng, người ta cho rằng, sau khi xây dựng hai chục biểu đồ, một học sinh thông minh sẽ tự mình khám phá và hình thành mối quan hệ giữa các hệ số trong công thức và vẻ bề ngoài nghệ thuật đồ họa. Trong thực tế, điều này không làm việc. Để khái quát hóa như vậy, kinh nghiệm nghiêm túc nghiên cứu nhỏ về toán học, điều mà hầu hết học sinh lớp 9, tất nhiên, không có. Trong khi đó, ở GIA, họ đề xuất xác định chính xác dấu của các hệ số theo lịch trình.

Chúng tôi sẽ không yêu cầu học sinh làm điều không thể và chỉ đưa ra một trong những thuật toán để giải những bài toán như vậy.

Vì vậy, một chức năng của hình thức y=ax2+bx+cđược gọi là phương trình bậc hai, đồ thị của nó là một parabol. Như tên cho thấy, thành phần chính là rìu 2. Đó là một không được bằng 0, các hệ số còn lại ( b và Với) có thể bằng không.

Hãy xem các dấu hiệu của các hệ số của nó ảnh hưởng đến sự xuất hiện của parabola như thế nào.

Sự phụ thuộc đơn giản nhất cho hệ số một. Hầu hết các em học sinh đều tự tin trả lời: “nếu một> 0 thì các nhánh của parabol hướng lên trên, và nếu một < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой một > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

TẠI trường hợp này một = 0,5

Và bây giờ cho một < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Trong trường hợp này một = - 0,5

Ảnh hưởng của hệ số Với cũng đủ dễ dàng để làm theo. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta muốn tìm giá trị của một hàm tại một điểm X= 0. Thay số 0 vào công thức:

y = một 0 2 + b 0 + c = c. Nó chỉ ra rằng y = c. Đó là Với là tọa độ giao điểm của parabol với trục y. Theo quy định, điểm này rất dễ tìm thấy trên biểu đồ. Và xác định xem nó nằm trên 0 hay thấp hơn. Đó là Với> 0 hoặc Với < 0.

Với > 0:

y=x2+4x+3

Với < 0

y = x 2 + 4x - 3

Theo đó, nếu Với= 0 thì parabol nhất thiết phải đi qua gốc tọa độ:

y=x2+4x

Khó hơn với tham số b. Điểm mà chúng ta sẽ tìm thấy nó không chỉ phụ thuộc vào b nhưng cũng từ một. Đây là đỉnh của parabola. trục hoành của nó (tọa độ trục X) được tìm thấy bởi công thức x trong \u003d - b / (2a). Bằng cách này, b = - 2ax trong. Đó là, chúng tôi hành động như sau: trên biểu đồ, chúng tôi tìm thấy đỉnh của parabola, xác định dấu hiệu của trục hoành của nó, nghĩa là chúng tôi nhìn sang bên phải của số 0 ( x trong> 0) hoặc sang trái ( x trong < 0) она лежит.

Tuy nhiên, đây không phải là tất cả. Ta cũng phải chú ý đến dấu của hệ số một. Đó là, để xem các nhánh của parabola hướng đến đâu. Và chỉ sau đó, theo công thức b = - 2ax trong xác định dấu b.

Hãy xem xét một ví dụ:

Cành hướng lên trên một> 0 thì parabol cắt trục tại dưới 0 có nghĩa là Với < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x trong> 0. Vậy b = - 2ax trong = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: một > 0, b < 0, Với < 0.