قانون الأعداد الكبيرة ونظريات الحد. قانون الأعداد الكبيرة

ليما تشيبيشيف. إذا كان المتغير العشوائي X، والتي لها توقعات رياضية م[x] ، يمكن أن تأخذ قيمًا غير سالبة فقط ، ثم لأي رقم موجب a لدينا المتباينة

عدم المساواة في Chebyshev.اذا كان Xهو متغير عشوائي مع توقع رياضي م[x] والتشتت د[x] ، إذن لأي موجب e لدينا المتباينة

. (2)

نظرية تشيبيشيف.(قانون الأعداد الكبيرة). يترك X 1 , X 2 , …, x ن،… - سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة بنفس التوقعات الرياضية موالفروق محدودة بنفس الثابت مع

. (3)

يعتمد إثبات النظرية على عدم المساواة

, (4)

التالية من عدم المساواة Chebyshev. من نظرية تشيبيشيف ، كنتيجة طبيعية ، يمكن للمرء الحصول عليها

نظرية برنولي.دعها تنتج نتجارب مستقلة ، في كل منها احتمالية صقد يحدث بعض الأحداث لكن، دعها تذهب تهو متغير عشوائي يساوي عدد تكرارات الحدث لكنفي هذه نالتجارب. ثم لأي e> 0 لدينا مساواة محدودة

. (5)

لاحظ أن عدم المساواة (4) كما هو مطبق على شروط نظرية برنولي يعطي:

. (6)

يمكن صياغة نظرية تشيبيشيف بشكل أكثر عمومية إلى حد ما:

نظرية تشيبيشيف المعممة.يترك × 1, × 2, …, x ن،… - تسلسل المتغيرات العشوائية المستقلة مع التوقعات الرياضية م[x 1 ] = م 1 ، م[x2] = م 2 ، ...والتشتت محدود بنفس الثابت مع. ثم بالنسبة لأي رقم موجب e ، لدينا مساواة نهائية

. (7)

لنفترض أن x هو عدد تكرارات 6 نقاط في 3600 رميات من النرد. ثم م [ x] = 3600 = 600. دعونا الآن نستخدم المتباينة (1) من أجل a = 900: .

نستخدم المتباينة (6) من أجل n = 10000 ، p = ، q =. ثم

مثال.

يبلغ احتمال حدوث الحدث "أ" في كل 1000 تجربة مستقلة 0.8. أوجد احتمال أن ينحرف عدد تكرارات الحدث A في هذه التجارب البالغ عددها 1000 عن توقعه الرياضي بالقيمة المطلقة بمقدار أقل من 50.

لنفترض أن x هو عدد تكرارات الحدث A في 1000 تجربة محددة. ثم م [ x] = 1000 × 0.8 = 800 و د [ x] = 1000 × 0.8 × 0.2 = 160. الآن المتباينة (2) تعطي:

مثال.

تباين كل 1000 متغير عشوائي مستقل x k (k = 1، 2، ...، 1000) هو 4. تقدير احتمالية انحراف المتوسط الحسابي لهذه المتغيرات عن المتوسط الحسابي لتوقعاتها الرياضية بالقيمة المطلقة لن يتجاوز 0.1.

وفقًا للمتباينة (4) ، نجد أن c = 4 و e = 0.1 لدينا

يخطط:

1. مفهوم نظرية الحد المركزي (نظرية ليابونوف)

2. قانون الأعداد الكبيرة والاحتمالات والتكرار (نظريات تشيبيشيف وبرنولي)

1. مفهوم نظرية الحد المركزي.

التوزيع الطبيعي للاحتمالات له أهمية كبيرة في نظرية الاحتمالات. يخضع القانون العادي للاحتمال عند إطلاق النار على هدف ، في القياسات ، إلخ. على وجه الخصوص ، اتضح أن قانون التوزيع لمجموع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية المستقلة بقوانين التوزيع التعسفي قريب من التوزيع الطبيعي. تسمى هذه الحقيقة نظرية الحد المركزي أو نظرية ليابونوف.

من المعروف أن المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي تستخدم على نطاق واسع في الممارسة. ما الذي يفسر هذا؟ تم الرد على هذا السؤال

نظرية الحد المركزي.إذا كان المتغير العشوائي X هو مجموع عدد كبير جدًا من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض ، فإن تأثير كل منها على المجموع الكلي لا يكاد يذكر ، فإن X لها توزيع قريب من التوزيع الطبيعي.

مثال.دع بعض الكمية المادية تقاس. أي قياس يعطي فقط قيمة تقريبية للكمية المقاسة ، حيث أن العديد من العوامل العشوائية المستقلة (درجة الحرارة ، تقلبات الأجهزة ، الرطوبة ، إلخ) تؤثر على نتيجة القياس. كل من هذه العوامل يولد "خطأ جزئي" ضئيل. ومع ذلك ، نظرًا لأن عدد هذه العوامل كبير جدًا ، فإن تأثيرها التراكمي يولد "خطأ كليًا" ملحوظًا بالفعل.

بالنظر إلى الخطأ الإجمالي كمجموع لعدد كبير جدًا من الأخطاء الجزئية المستقلة بشكل متبادل ، يمكننا أن نستنتج أن الخطأ الإجمالي له توزيع قريب من التوزيع الطبيعي. الخبرة تؤكد صحة هذا الاستنتاج.

ضع في اعتبارك الشروط التي بموجبها يتم استيفاء "نظرية الحد المركزي"

x1 ،X2 ، ... ، Xنعبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة ،

م(X1) ،م(X2) ، ... ،م(Xن) هي التوقعات الرياضية النهائية لهذه الكميات ، على التوالي م (Xk)= الملقب

د (X1) ،د(X2) ، ... ،د(Xن) - الفروق النهائية ، تساوي على التوالي د(X ك)= bk2

نقدم الترميز: S = X1 + X2 + ... + Xn ؛

أ ك = X1 + X2 + ... + Xn = ؛ B2 = د (X1) +د(X2) + ... +د(Xن) =

نكتب دالة التوزيع للمبلغ الطبيعي:

يقولون للتسلسل x1 ،X2 ، ... ، Xننظرية الحد المركزي قابلة للتطبيق إذا ، لأي xدالة التوزيع للمبلغ الطبيعي حيث أن n ® ¥ تميل إلى دالة التوزيع العادية:

اليمين "style =" border-collapse: collapse؛ border: none؛ margin-left: 6.75pt؛ margin-right: 6.75pt ">

ضع في اعتبارك متغير عشوائي منفصل X, من خلال جدول التوزيع:

دعونا نضع لأنفسنا مهمة تقدير احتمال ألا يتجاوز انحراف متغير عشوائي عن توقعه الرياضي في القيمة المطلقة رقمًا موجبًا ε

اذا كان ε صغيرة بما فيه الكفاية ، وبالتالي فإننا سوف نقدر احتمالية ذلك Xستأخذ قيمًا قريبة بدرجة كافية من توقعاتها الرياضية. أثبتت عدم المساواة التي تسمح لنا بإعطاء تقدير الفائدة لنا.

ليما تشيبيشيف.بالنظر إلى متغير عشوائي X يأخذ فقط قيمًا غير سالبة مع التوقع M (X). لأي رقم α> 0 ، يحدث التعبير:

عدم المساواة في Chebyshev.احتمال أن يكون انحراف متغير عشوائي X عن توقعه الرياضي في القيمة المطلقة أقل من رقم موجب ε ، لا تقل عن 1 - D (X) / ε 2:

ص (| X-M (X) |< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

تعليق.عدم المساواة في تشيبيشيف ذو قيمة عملية محدودة ، لأنه غالبًا ما يعطي تقديرًا تقريبيًا وأحيانًا تافهًا (بدون فائدة).

الأهمية النظرية لعدم المساواة في تشيبيشيف كبيرة جدًا. أدناه سنستخدم عدم المساواة هذه لاشتقاق نظرية تشيبيشيف.

2.2. نظرية تشيبيشيف

إذا كانت X1 ، X2 ، ... ، Xn .. متغيرات عشوائية مستقلة عن الزوج ، وكانت تبايناتها محدودة بشكل موحد (لا تتجاوز الرقم الثابت C) ، إذن ، بغض النظر عن مدى صغر الرقم الموجب ε ، احتمال عدم المساواة

÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - (M (X1) + M (X2) + ... + M (Xn)) / n |< ε

سيكون بشكل تعسفي قريبًا من الوحدة إذا كان عدد المتغيرات العشوائية كبيرًا بدرجة كافية.

ف (÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - (M (X1) + M (X2) + ... + M (Xn)) / n |< ε )=1.

تنص نظرية تشيبيشيف:

1. نحن نعتبر عددًا كبيرًا بدرجة كافية من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات الفروق المحدودة ،

عند صياغة نظرية تشيبيشيف ، افترضنا أن المتغيرات العشوائية لها توقعات رياضية مختلفة. من الناحية العملية ، غالبًا ما يحدث أن المتغيرات العشوائية لها نفس التوقعات الرياضية. من الواضح ، إذا افترضنا مرة أخرى أن تشتت هذه الكميات محدودة ، فإن نظرية تشيبيشيف ستكون قابلة للتطبيق عليها.

دعونا نشير إلى التوقع الرياضي لكل من المتغيرات العشوائية من خلال أ؛

في الحالة قيد النظر ، فإن المتوسط الحسابي للتوقعات الرياضية ، كما يسهل رؤيته ، يساوي أيضًا أ.

يمكن للمرء صياغة نظرية تشيبيشيف للحالة المعينة قيد الدراسة.

"إذا كانت 1 ، Х2 ، ... ، Хn .. متغيرات عشوائية مستقلة زوجًا لها نفس التوقعات الرياضية أ ، وإذا كانت تشتت هذه المتغيرات محدودة بشكل موحد ، فبغض النظر عن صغر الرقم ε > أوه ، احتمال عدم المساواة

÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - أ | < ε

سيكون قريبًا بشكل تعسفي من الوحدة إذا كان عدد المتغيرات العشوائية كبيرًا بما يكفي " .

بمعنى آخر ، في ظل ظروف النظرية

ف (÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - a |< ε ) = 1.

2.3 جوهر نظرية تشيبيشيف

على الرغم من أن المتغيرات العشوائية المستقلة الفردية قد تأخذ قيمًا بعيدة عن توقعاتها الرياضية ، فإن المتوسط الحسابي لعدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية ذات الاحتمالية العالية يأخذ قيمًا قريبة من رقم ثابت معين ، وهو الرقم

(م (Xj) + م (X2)+ ... + م (Xn)) / نأو إلى الرقم و فيحالة خاصة.

بمعنى آخر ، يمكن أن يكون للمتغيرات العشوائية الفردية انتشار كبير ، ومتوسطها الحسابي صغير مبعثر.

وبالتالي ، لا يمكن للمرء أن يتنبأ بثقة بالقيمة المحتملة التي سيأخذها كل من المتغيرات العشوائية ، ولكن يمكن للمرء أن يتنبأ بالقيمة التي سيأخذها المتوسط الحسابي.

لذلك ، فإن المتوسط الحسابي لعدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية المستقلة (تبايناتها محدودة بشكل موحد) يفقد صفة المتغير العشوائي.

ويفسر ذلك حقيقة أن انحرافات كل من الكميات عن توقعاتها الرياضية يمكن أن تكون إيجابية وسلبية ، وفي المتوسط الحسابي تلغي بعضها البعض.

نظرية تشيبيشيف صالحة ليس فقط للمتغيرات المنفصلة ، ولكن أيضًا للمتغيرات العشوائية المستمرة ؛ إنه مثال يؤكد صحة عقيدة الارتباط بين الصدفة والضرورة.

2.4 أهمية نظرية تشيبيشيف للممارسة

دعونا نعطي أمثلة على تطبيق نظرية تشيبيشيف لحل المشاكل العملية.

عادة ، لقياس كمية فيزيائية معينة ، يتم إجراء العديد من القياسات ويتم أخذ متوسطها الحسابي بالحجم المطلوب. تحت أي ظروف يمكن اعتبار طريقة القياس هذه صحيحة؟ الإجابة على هذا السؤال مقدمة من نظرية تشيبيشيف (حالتها الخاصة).

في الواقع ، ضع في اعتبارك نتائج كل قياس كمتغيرات عشوائية

X1، X2، ...، Xn

على هذه الكميات ، يمكن تطبيق نظرية تشيبيشيف إذا:

1) هم مستقلون عن الزوج.

2) لها نفس التوقعات الرياضية ،

3) تشتتهم محدود بشكل موحد.

يتم استيفاء الشرط الأول إذا كانت نتيجة كل قياس لا تعتمد على نتائج الآخرين.

يتم استيفاء المطلب الثاني إذا تم إجراء القياسات بدون أخطاء منهجية (علامة واحدة). في هذه الحالة ، التوقعات الرياضية لجميع المتغيرات العشوائية هي نفسها وتساوي الحجم الحقيقي أ.

يتم استيفاء المطلب الثالث إذا كان الجهاز يوفر دقة قياس معينة. على الرغم من اختلاف نتائج القياسات الفردية ، إلا أن تشتتها محدود.

إذا تم استيفاء جميع هذه المتطلبات ، فيحق لنا تطبيق نظرية تشيبيشيف على نتائج القياس: صاحتمال عدم المساواة

| (X1 + Xa + ... + Xn) / n - a |< ε بشكل تعسفي قريب من الوحدة.

بعبارة أخرى ، مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من القياسات ، فمن شبه المؤكد أن متوسطها الحسابي يختلف قليلاً بشكل تعسفي عن القيمة الحقيقية للكمية المقاسة.

تشير نظرية تشيبيشيف إلى الظروف التي يمكن بموجبها تطبيق طريقة القياس الموصوفة. ومع ذلك ، فمن الخطأ الاعتقاد أنه من خلال زيادة عدد القياسات ، يمكن للمرء أن يحقق دقة عالية بشكل تعسفي. الحقيقة هي أن الجهاز نفسه يعطي قراءات فقط بدقة ± α ، وبالتالي ، فإن كل نتيجة من نتائج القياس ، وبالتالي متوسطها الحسابي ، لن يتم الحصول عليها إلا بدقة لا تتجاوز دقة الجهاز.

تعتمد طريقة أخذ العينات المستخدمة على نطاق واسع في الإحصاء على نظرية Chebyshev ، والتي يتمثل جوهرها في استخدام عينة عشوائية صغيرة نسبيًا للحكم على جميع السكان (عموم السكان) للأشياء قيد الدراسة.

على سبيل المثال ، يتم الحكم على جودة حزمة القطن من خلال حزمة صغيرة تتكون من ألياف منتقاة عشوائيًا من أجزاء مختلفة من البالة. على الرغم من أن عدد الألياف في الحزمة أقل بكثير منه في الحزمة ، إلا أن الحزمة نفسها تحتوي على عدد كبير نسبيًا من الألياف ، يصل عددها إلى المئات.

كمثال آخر ، يمكن للمرء أن يشير إلى تحديد جودة الحبوب من عينة صغيرة. وفي هذه الحالة ، يكون عدد الحبوب المختارة عشوائيًا صغيرًا مقارنة بكامل كتلة الحبوب ، ولكنه في حد ذاته كبير جدًا.

بالفعل من الأمثلة المذكورة ، يمكن للمرء أن يستنتج أن نظرية تشيبيشيف ذات أهمية لا تقدر بثمن بالنسبة للممارسة.

2.5 نظريةبرنولي

أنتجت صاختبارات مستقلة (ليست أحداثًا ، بل اختبارات). في كل منهم ، احتمال وقوع حدث أمساوي ل تم العثور على R.

استخراج أو تكوين السؤال،ماذا سيكون التكرار النسبي لحدوث الحدث؟ تمت الإجابة على هذا السؤال من خلال النظرية التي أثبتها برنولي ، والتي سميت "بقانون الأعداد الكبيرة" وأرست الأساس لنظرية الاحتمال كعلم.

نظرية برنولي.إذا كان في كل من صاحتمال اختبار مستقل صوقوع حدث لكنثابت ، ثم احتمال انحراف التردد النسبي عن الاحتمال صستكون صغيرة بشكل تعسفي من حيث القيمة المطلقة إذا كان عدد المحاكمات كبيرًا بدرجة كافية.

بعبارة أخرى ، إذا كانت> 0 عددًا صغيرًا بشكل تعسفي ، فعندئذٍ في ظل ظروف النظرية ، لدينا المساواة

ص (|م / ن - ص |< ε)= 1

تعليق.سيكون من الخطأ ، على أساس نظرية برنولي ، أن نستنتج أنه مع زيادة عدد التجارب ، فإن التردد النسبي يميل بثبات إلى الاحتمال ص ؛بعبارة أخرى ، لا تعني نظرية برنولي المساواة (ر / ن) = ع ،

فيتتعامل النظرية فقط مع احتمال أنه ، مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب ، سيختلف التردد النسبي بشكل تعسفي قليلاً عن الاحتمال الثابت لحدوث حدث في كل تجربة.

المهمة 7-1.

1. قدر الاحتمال أنه بعد 3600 رميات للنرد ، فإن عدد مرات حدوث 6 سيكون 900 على الأقل.

المحلول.لنفترض أن x هو عدد التكرارات البالغ 6 نقاط في 3600 رمية للعملة المعدنية. احتمال الحصول على 6 نقاط في رمية واحدة هو p = 1/6 ، ثم M (x) = 3600 1/6 = 600. نستخدم عدم المساواة في Chebyshev (lemma) من أجل α = 900

= ص(x 900 ين ياباني) 600 جنيه استرليني / 900 = 2/3

إجابه 2 / 3.

2. تم إجراء 1000 اختبار مستقل ، ع = 0.8. أوجد أن احتمال عدد مرات حدوث الحدث A في هذه الاختبارات ينحرف عن معامل توقعه الرياضي الأقل من 50.

المحلول. x هو عدد تكرارات الحدث A في n - 1000 تجربة.

م (X) = 1000 0.8 = 800. د (س) = 100 0.8 0.2 = 160

نستخدم متباينة Chebyshev من أجل ε = 50

ف (| س م (س) |< ε) ³ 1 - D (x) / ε 2

آر (| x-800 |< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

إجابه. 0,936

3. باستخدام متباينة Chebyshev ، تقدير الاحتمال | س - م (س) |< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

4. معطى: P (| X- م (X) \< ε) 0.9 ؛ د (X)= 0.004. باستخدام متباينة Chebyshev ، أوجد ε . إجابه. 0,2.

أسئلة التحكم والمهام

1. الغرض من نظرية الحد المركزي

2. شروط تطبيق نظرية ليابونوف.

3. الفرق بين نظرية lemma و Chebyshev.

4. شروط تطبيق نظرية تشيبيشيف.

5. شروط تطبيق نظرية برنولي (قانون الأعداد الكبيرة)

متطلبات المعرفة والمهارات

يجب أن يعرف الطالب الصياغة الدلالية العامة لنظرية الحد المركزي. كن قادرًا على صياغة نظريات جزئية لمتغيرات عشوائية موزعة بشكل متماثل. افهم عدم مساواة تشيبيشيف وقانون الأعداد الكبيرة في شكل تشيبيشيف. لديك فكرة عن تكرار الحدث ، والعلاقة بين مفهومي "الاحتمال" و "التكرار". لديك فهم لقانون الأعداد الكبيرة في شكل برنولي.

(1857-1918) عالم رياضيات روسي بارز

في بداية الدورة ، قلنا بالفعل أن القوانين الرياضية لنظرية الاحتمالات يتم الحصول عليها من خلال تجريد الانتظام الإحصائي الحقيقي المتأصل في الظواهر العشوائية الجماعية. يرتبط وجود هذه الانتظامات على وجه التحديد بالطابع الكتلي للظواهر ، أي بعدد كبير من التجارب المتجانسة التي يتم إجراؤها أو بعدد كبير من التأثيرات العشوائية التي تولد في مجملها متغيرًا عشوائيًا يخضع لقانون محدد جيدًا. خاصية الاستقرار للظواهر العشوائية الجماعية معروفة للبشرية منذ العصور القديمة. في أي منطقة قد تظهر ، يتلخص جوهرها في ما يلي: السمات المحددة لكل ظاهرة عشوائية فردية ليس لها أي تأثير تقريبًا على متوسط نتيجة الجماهير ومثل هذه الظواهر ؛ الانحرافات العشوائية عن المتوسط ، الحتمية في كل ظاهرة فردية ، في الكتلة يتم إلغاؤها بشكل متبادل ، وتسويتها ، وتسويتها. إن استقرار المتوسطات هذا هو المحتوى المادي لـ "قانون الأعداد الكبيرة" ، الذي يُفهم بالمعنى الواسع للكلمة: مع وجود عدد كبير جدًا من الظواهر العشوائية ، يتوقف متوسط نتيجتها عمليًا عن أن تكون عشوائية ويمكن توقعها بدرجة عالية من اليقين.

بالمعنى الضيق للكلمة ، يُفهم "قانون الأعداد الكبيرة" في نظرية الاحتمالات على أنه عدد من النظريات الرياضية ، وفي كل منها ، لظروف معينة ، حقيقة تقريب الخصائص المتوسطة لعدد كبير من التجارب لبعض الثوابت المحددة.

في 2.3 قمنا بالفعل بصياغة أبسط هذه النظريات ، نظرية J. Bernoulli. تدعي أنه مع وجود عدد كبير من التجارب ، يقترب تكرار حدث ما (بتعبير أدق ، يتقارب في الاحتمالية) مع احتمال حدوث هذا الحدث. سيتم تقديم أشكال أخرى أكثر عمومية من قانون الأعداد الكبيرة في هذا الفصل. كل منهم يؤسس حقيقة وشروط التقارب في احتمالية متغيرات عشوائية معينة إلى متغيرات ثابتة وغير عشوائية.

يلعب قانون الأعداد الكبيرة دورًا مهمًا في التطبيقات العملية لنظرية الاحتمالات. تتيح لنا خاصية المتغيرات العشوائية في ظل ظروف معينة التصرف عمليًا على أنها غير عشوائية العمل بثقة مع هذه الكميات ، للتنبؤ بنتائج الظواهر العشوائية الجماعية مع اليقين التام تقريبًا.

يتم توسيع إمكانيات مثل هذه التنبؤات في مجال الظواهر العشوائية الجماعية بشكل أكبر من خلال وجود مجموعة أخرى من نظريات الحد ، والتي لم تعد تتعلق بالقيم الحدية للمتغيرات العشوائية ، ولكنها تحد من قوانين التوزيع. هذه مجموعة من النظريات تعرف باسم "نظرية الحد المركزي". لقد قلنا بالفعل أنه عند جمع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية ، فإن قانون توزيع المجموع يقترب من المتغيرات العادية إلى أجل غير مسمى ، بشرط استيفاء شروط معينة. هذه الشروط ، التي يمكن صياغتها رياضيًا بطرق مختلفة - بشكل عام إلى حد ما - تتلخص أساسًا في مطلب أن يكون التأثير على مجموع المصطلحات الفردية صغيرًا بشكل موحد ، أي أن المجموع لا ينبغي أن يتضمن شروطًا بوضوح تسود على المجموعة المتبقية من خلال تأثيرها على تشتت المبلغ. تختلف الأشكال المختلفة لنظرية الحد المركزي عن بعضها البعض في الظروف التي يتم من أجلها إنشاء خاصية الحد هذه لمجموع المتغيرات العشوائية.

تشكل الأشكال المختلفة لقانون الأعداد الكبيرة ، جنبًا إلى جنب مع الأشكال المختلفة لنظرية الحد المركزي ، مجموعة من ما يسمى بنظرية الحدود لنظرية الاحتمالات. تجعل نظريات الحد من الممكن ليس فقط إجراء تنبؤات علمية في مجال الظواهر العشوائية ، ولكن أيضًا لتقييم دقة هذه التنبؤات.

في هذا الفصل ، سنتناول فقط بعضًا من أبسط أشكال نظريات النهايات. أولاً ، سيتم النظر في النظريات المتعلقة بمجموعة "قانون الأعداد الكبيرة" ، ثم - النظريات المتعلقة بمجموعة "نظرية الحد المركزي".

1. /PB-MS-theory/Lectures-1(4с.).doc
2. /PB-MS-theory/Lectures-2(4с.).doc
3. /PB-MS-theory/Lectures-3(4с.).doc
4. /PB-MS-theory/Lectures-4(4s.).doc
5. /PB-MS-theory/Contents.doc

محاضرة 1
محاضرة 19. الاختبار الإحصائي للفرضيات الإحصائية. المبادئ العامة لاختبار الفرضيات. مفاهيم الفرضيات الإحصائية (بسيطة ومعقدة) ، الفرضيات الصفرية والمتنافسة ،
قانون الأعداد الكبيرة. عدم المساواة في Chebyshev. نظريات تشيبيشيف وبرنولي
المحاضرة الخصائص العددية الأساسية للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة: التوقع الرياضي ، التباين والانحراف المعياري. خصائصهم وأمثلة
محاضرة موضوع نظرية الاحتمالات. الأحداث العشوائية. جبر الأحداث. التردد النسبي واحتمال وقوع حدث عشوائي. مجموعة كاملة من الأحداث. التعريف الكلاسيكي للاحتمال. الخصائص الأساسية للاحتمال. الصيغ الأساسية للتوافقيات

المحاضرة 13

قانون الأعداد الكبيرة. عدم المساواة في Chebyshev. نظريات تشيبيشيف وبرنولي.
مكنت دراسة الانتظام الإحصائي من إثبات أنه ، في ظل ظروف معينة ، يفقد السلوك الكلي لعدد كبير من المتغيرات العشوائية طابعه العشوائي ويصبح منتظمًا (بمعنى آخر ، تؤدي الانحرافات العشوائية عن بعض السلوك المتوسط إلى إلغاء بعضها البعض) . على وجه الخصوص ، إذا كان التأثير على مجموع المصطلحات الفردية صغيرًا بشكل موحد ، فإن قانون توزيع المجموع يقترب من الطبيعي. يتم إعطاء الصيغة الرياضية لهذا البيان في مجموعة من النظريات تسمى قانون الأعداد الكبيرة.

عدم المساواة في Chebyshev.
عدم مساواة تشيبيشيف ، التي تُستخدم لإثبات المزيد من النظريات ، صالحة لكل من المتغيرات العشوائية المستمرة والمنفصلة. دعونا نثبت ذلك للمتغيرات العشوائية المنفصلة.
نظرية 13.1 (عدم مساواة تشيبيشيف). ص( | X – م(X) | د( X) / ε². (13.1)

دليل - إثبات. يترك Xمن خلال رقم التوزيع

X	X 1	X 2	…	X ص
ص	ص 1	ص 2	…	ص ص

منذ الأحداث | X – م(X) | X – م(X) | ≥ ε عكس ذلك ، إذن ص (|X – م(X) | ص (| X – م(X) | ≥ ε) = 1 ، لذلك ص (|X – م(X) | ص (| X – م(X) | ≥ ε). لنجد ص (|X – م(X)| ≥ ε).

د(X) = (x 1 – م(X))² ص 1 + (x 2 – م(X))² ص 2 + … + (x ن – م(X))² ص ن . نستبعد من هذا المجموع المصطلحات التي | X – م(X) | ك مصلحات. ثم

د(X) ≥ (x ك + 1 – م(X))² ص ك + 1 + (x ك + 2 – م(X))² ص ك +2 + … + (x ن – م(X))² ص ن ≥ ε² ( ص ك + 1 + ص ك + 2 + … + ص ن).

لاحظ أن ص ك + 1 + ص ك + 2 + … + ص نهناك احتمال أن يكون | X – م(X) | ≥ ε ، لأن هذا هو مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة Xالتي تعتبر هذه التفاوتات صحيحة. بالتالي، د(X) ≥ ε² ص(|X – م(X) | ≥ ε) أو ص (|X – م(X)| ≥ ε) ≤ د(X) / ε². ثم احتمالية وقوع الحدث المعاكس ص( | X – م(X) | د( X) / ² ، الذي كان مقررًا إثباته.
نظريات تشيبيشيف وبرنولي.

نظرية 13.2 (نظرية تشيبيشيف). اذا كان X 1 , X 2 ,…, X صهي متغيرات عشوائية مستقلة الزوجي يتم تقييد تبايناتها بشكل موحد ( د(X أنا) ≤ ج) ، ثم لعدد صغير بشكل تعسفي ε احتمال عدم المساواة

سيكون بشكل تعسفي قريبًا من 1 إذا كان عدد المتغيرات العشوائية كبيرًا بدرجة كافية.

تعليق.بمعنى آخر ، إذا تم استيفاء هذه الشروط

دليل - إثبات. فكر في متغير عشوائي جديد
والعثور على توقعاتها الرياضية. باستخدام خصائص التوقع الرياضي ، نحصل على ذلك. تنطبق على عدم مساواة Chebyshev: نظرًا لأن المتغيرات العشوائية المدروسة مستقلة ، إذن ، مع مراعاة حالة النظرية ، لدينا: باستخدام هذه النتيجة ، نمثل المتباينة السابقة في الشكل:

دعونا ننتقل إلى الحد الأقصى عند
: بما أن الاحتمال لا يمكن أن يكون أكبر من 1 ، فيمكن القول بذلك

لقد تم إثبات النظرية.
عاقبة.

اذا كان X 1 , X 2 , …, X ص- المتغيرات العشوائية المستقلة الزوجية ذات الفروق المحدودة بشكل موحد ، والتي لها نفس التوقعات الرياضية تساوي أ، ثم لأي صغير بشكل تعسفي ε> 0 احتمال عدم المساواة
سيكون بشكل تعسفي قريبًا من 1 إذا كان عدد المتغيرات العشوائية كبيرًا بدرجة كافية. بعبارات أخرى،
.

استنتاج:يأخذ المتوسط الحسابي لعدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية قيمًا قريبة من مجموع توقعاتهم الرياضية ، أي أنه يفقد صفة المتغير العشوائي. على سبيل المثال ، إذا تم إجراء سلسلة من القياسات لأي كمية مادية ، و: أ) نتيجة كل قياس لا تعتمد على نتائج الآخرين ، أي أن جميع النتائج عبارة عن متغيرات عشوائية مستقلة عن الزوج ؛ ب) يتم إجراء القياسات بدون أخطاء منهجية (توقعاتهم الرياضية متساوية مع بعضها البعض وتساوي القيمة الحقيقية أالقيمة المقاسة) ؛ ج) يتم ضمان دقة قياس معينة ، وبالتالي فإن تشتت المتغيرات العشوائية المدروسة محدودة بشكل موحد ؛ ثم بالنسبة لعدد كبير بما فيه الكفاية من القياسات ، سيكون متوسطها الحسابي قريبًا بشكل تعسفي من القيمة الحقيقية للكمية المقاسة.
نظرية برنولي.
نظرية 13.3 (نظرية برنولي). إذا كان في كل من صاحتمالية الخبرات المستقلة صوقوع حدث لكنثابت ، ثم مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من الاختبارات ، فإن احتمال أن معامل الانحراف للتردد النسبي للوقائع لكنفي صالخبرات من صسيكون صغيرًا بشكل تعسفي ، قريبًا بشكل تعسفي من 1:

(13.2)

دليل - إثبات. نقدم متغيرات عشوائية X 1 , X 2 , …, X ص، أين X أنا – عدد المظاهر لكنفي أنا-م الخبرة. حيث X أنا يمكن أن تأخذ قيمتين فقط: 1 (مع احتمال ص) و 0 (مع احتمال ف = 1 – ص). بالإضافة إلى ذلك ، فإن المتغيرات العشوائية المدروسة مستقلة عن الزوجين وتكون تبايناتها محدودة بشكل موحد (منذ ذلك الحين د(X أنا) = ص, ص + ف = 1 من أين ص ≤ ¼). لذلك ، يمكن تطبيق نظرية تشيبيشيف عليهم م أنا = ص:

ولكن
، لان X أنا يأخذ على قيمة 1 عندما لكنفي هذه التجربة ، وقيمة تساوي 0 إذا لكنلم يحدث. في هذا الطريق،

Q.E.D.
تعليق.من نظرية برنولي لا يتبع، ماذا او ما
انها فقط حول الاحتمالاتأن الفرق بين التردد النسبي ونموذج الاحتمال يمكن أن يصبح صغيرًا بشكل تعسفي. الفرق هو على النحو التالي: مع التقارب المعتاد في الاعتبار في التحليل الرياضي ، للجميع ص، بدءا من بعض القيمة ، عدم المساواة
يتم تنفيذه دائمًا ؛ في حالتنا ، قد تكون هناك مثل هذه القيم صالتي تعتبر هذه التفاوتات خاطئة. يسمى هذا النوع من التقارب تقارب في الاحتمالات.

المحاضرة 14

نظرية الحد المركزية ليابونوف. نظرية Moivre-Laplace المحدودة.
لا يبحث قانون الأعداد الكبيرة في شكل قانون التوزيع المحدود لمجموع المتغيرات العشوائية. يعتبر هذا السؤال في مجموعة من النظريات تسمى نظرية الحد المركزي.وهم يجادلون بأن قانون توزيع مجموع المتغيرات العشوائية ، التي قد يكون لكل منها توزيعات مختلفة ، يقترب من الوضع الطبيعي مع عدد كبير من المصطلحات. هذا يوضح أهمية القانون العادي للتطبيقات العملية.
وظائف مميزة.

يتم استخدام طريقة الوظائف المميزة لإثبات نظرية الحد المركزي.
التعريف 14.1.وظيفة مميزة متغير عشوائي Xتسمى وظيفة

ز(ر) = م (ه س ) (14.1)

في هذا الطريق، ز (ر) هو التوقع الرياضي لبعض المتغيرات العشوائية المعقدة يو = ه سالمرتبطة بالقيمة X. على وجه الخصوص ، إذا Xهو متغير عشوائي منفصل تعطى من خلال سلسلة توزيع ، إذن

. (14.2)

لمتغير عشوائي مستمر بكثافة التوزيع F(x)

(14.3)

مثال 1. اسمحوا X- عدد النقاط 6 نقاط برمية واحدة من النرد. ثم بالصيغة (14.2) ز(ر) =

مثال 2. أوجد الوظيفة المميزة لمتغير عشوائي مستمر معياري موزع وفقًا للقانون العادي
. وفقًا للصيغة (14.3) (استخدمنا الصيغة
و ماذا أنا² = -1).

خصائص الوظائف المميزة.
1. الوظيفة F(x) من الوظيفة المعروفة ز(ر) حسب الصيغة

(14.4)

(التحول (14.3) يسمى تحويل فورييه، والتحول (14.4) هو معكوس تحويل فورييه).

2. إذا كانت المتغيرات عشوائية Xو صالمرتبطة بالنسبه ص = فأس، ثم ترتبط وظائفها المميزة بالعلاقة

ز ذ (ر) = ز x (في). (14.5)

3. الوظيفة المميزة لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة تساوي ناتج الدوال المميزة للمصطلحات:

(14.6)
نظرية 14.1 (نظرية الحد المركزي للمصطلحات الموزعة بشكل متماثل). اذا كان X 1 , X 2 ,…, X ص،… - المتغيرات العشوائية المستقلة بنفس قانون التوزيع ، التوقع الرياضي روالتشتت σ 2 ، ثم مع زيادة غير محدودة صقانون توزيع المبلغ
يقترب من الوضع الطبيعي إلى أجل غير مسمى.

دليل - إثبات.

دعونا نثبت نظرية المتغيرات العشوائية المستمرة X 1 , X 2 ,…, X ص(الدليل على الكميات المنفصلة مشابه). وفقًا لشرط النظرية ، فإن الوظائف المميزة للمصطلحات هي نفسها:
ثم ، من خلال الخاصية 3 ، الوظيفة المميزة للمجموع ص نسوف يكون
قم بتوسيع الوظيفة ز x (ر) في سلسلة Maclaurin:

، أين
في
.

إذا افترضنا ذلك ر= 0 (أي انقل الأصل إلى النقطة ر)، ومن بعد
.

(لان ر= 0). باستبدال النتائج التي تم الحصول عليها في صيغة Maclaurin ، نجد ذلك

فكر في متغير عشوائي جديد
، مختلف عن ص ن حقيقة تشتتها لأي صيساوي 0. منذ ص نو ض نذات الصلة الخطية ، يكفي إثبات ذلك ض ن موزعة وفقًا للقانون العادي ، أو ما هو نفسه ، أن وظيفته المميزة تقترب من الوظيفة المميزة للقانون العادي (انظر المثال 2). من خلال خاصية الوظائف المميزة

نأخذ لوغاريتم التعبير الناتج:

أين

دعونا نتحلل
على التوالي في ص→ ∞ ، نقيد أنفسنا بشرطين للتوسع ، ثم ln (1 - ك) ≈ - ك. من هنا

حيث يكون الحد الأخير هو 0 ، لأنه عند. بالتالي،
، هذا هو
هي الوظيفة المميزة للتوزيع الطبيعي. لذلك ، مع زيادة غير محدودة في عدد المصطلحات ، فإن الوظيفة المميزة للكمية ض نيقترب من الوظيفة المميزة للقانون العادي إلى أجل غير مسمى ؛ لذلك ، قانون التوزيع ض ن (و ص ن) يقترب من القيمة العادية إلى أجل غير مسمى. لقد تم إثبات النظرية.

أثبت A.M. Lyapunov نظرية الحد المركزي لمزيد من الشروط العامة:
نظرية 14.2 (نظرية ليابونوف). إذا كان المتغير العشوائي Xهو مجموع عدد كبير جدًا من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل والتي تحقق الشرط التالي:

, (14.7)

أين ب ك هي اللحظة المركزية الثالثة للكمية X إلى، أ د كهو تباينها ، إذن Xله توزيع قريب من الطبيعي (تعني حالة Lyapunov أن تأثير كل مصطلح على المجموع لا يكاد يذكر).
في الممارسة العملية ، من الممكن استخدام نظرية الحد المركزي مع عدد صغير بما فيه الكفاية من المصطلحات ، لأن الحسابات الاحتمالية تتطلب دقة منخفضة نسبيًا. تُظهر التجربة أنه بالنسبة لمجموع يصل إلى عشرة أو أقل ، يمكن استبدال قانون توزيعها بقانون عادي.

حالة خاصة لنظرية الحد المركزي للمتغيرات العشوائية المنفصلة هي نظرية دي Moivre-Laplace.

نظرية 14.3 (نظرية Moivre-Laplace). إذا أنتجت صتجارب مستقلة ، في كل منها حدث لكنيظهر مع احتمال صفالعلاقة صحيحة:

(14.8)

أين ص - عدد تكرارات الحدث لكنفي صالتجارب ف = 1 – ص.

دليل - إثبات.

سوف نفترض ذلك
، أين X أنا- عدد تكرارات الحدث لكنفي أنا-م الخبرة. ثم المتغير العشوائي
(انظر النظرية 14.1) يمكن افتراض توزيعها وفقًا للقانون الطبيعي وتطبيعها ، وبالتالي ، يمكن العثور على احتمال سقوطها في الفترة الزمنية (α ، β) بواسطة الصيغة

بسبب ال صله توزيع ذي حدين ،. ثم
. استبدال هذا التعبير في الصيغة السابقة ، نحصل على المساواة (14.8).

عاقبة.

تحت شروط نظرية Moivre-Laplace ، الاحتمال
هذا الحدث لكنسوف تظهر في صالتجارب بالضبط كمرات ، مع عدد كبير من التجارب يمكن العثور عليها بالصيغة:

(14.9)

أين
، أ
(يتم إعطاء قيم هذه الوظيفة في جداول خاصة).

مثال 3. أوجد احتمال أنه بعد 100 رمية لعملة ما ، فإن عدد طبقات الأسلحة سوف يقع في النطاق من 40 إلى 60.

نطبق الصيغة (14.8) مع مراعاة ذلك ص= 0.5. ثم إلخ= 100 0.5 = 50 ، ثم إذا
بالتالي،

مثال 4. في ظل ظروف المثال السابق ، أوجد احتمال سقوط 45 طبقة من النبالة.

لنجد
، ومن بعد

المحاضرة 15

المفاهيم الأساسية للإحصاء الرياضي. عامة السكان والعينة. سلسلة التباين ، سلسلة إحصائية. اختيار مجمع. سلسلة إحصائية مجمعة. تردد المضلع. دالة توزيع العينة والمدرج التكراري.
تتعامل الإحصائيات الرياضية مع إنشاء النظم المنتظمة التي تخضع لها الظواهر العشوائية الجماعية ، بناءً على معالجة البيانات الإحصائية التي تم الحصول عليها نتيجة للملاحظات. المهمتان الرئيسيتان للإحصاء الرياضي هما:

تحديد كيفية جمع هذه الإحصائيات وتجميعها ؛

تطوير طرق تحليل البيانات التي تم الحصول عليها حسب أهداف الدراسة والتي تشمل:

أ) تقدير الاحتمال غير المعروف لحدث ما ؛ تقدير دالة التوزيع غير المعروفة ؛ تقدير معلمات التوزيع ، التي يُعرف شكلها ؛ تقييم الاعتماد على المتغيرات العشوائية الأخرى ، وما إلى ذلك ؛

ب) اختبار الفرضيات الإحصائية حول شكل التوزيع المجهول أو حول قيم معاملات التوزيع المعروف.

لحل هذه المشكلات ، من الضروري تحديد عدد محدود من الكائنات من مجموعة كبيرة من الكائنات المتجانسة ، بناءً على نتائج الدراسة التي يمكن التنبؤ بها بشأن الميزة المدروسة لهذه الكائنات.

دعونا نحدد المفاهيم الأساسية للإحصاء الرياضي.

سكان - كل مجموعة العناصر المتاحة.

عينة- مجموعة من الكائنات يتم اختيارها عشوائيًا من عامة السكان.

حجم عامة السكانن وحجم العينةن - عدد العناصر في المجموعة المعتبرة.

أنواع العينات:

معاد- يتم إرجاع كل عنصر محدد إلى عامة السكان قبل اختيار العنصر التالي ؛

غير مكرر- لا يتم إرجاع الكائن المحدد إلى عامة السكان.
تعليق.لكي تتمكن دراسة العينة من استخلاص استنتاجات حول سلوك سمة عامة السكان التي تهمنا ، من الضروري أن تمثل العينة بشكل صحيح نسب عامة السكان ، أي ، وكيل(وكيل). مع الأخذ في الاعتبار قانون الأعداد الكبيرة ، يمكن القول بأن هذا الشرط مستوفى إذا تم اختيار كل كائن بشكل عشوائي ، وبالنسبة لأي كائن ، فإن احتمال تضمينه في العينة هو نفسه.
المعالجة الأولية للنتائج.

دع المتغير العشوائي الذي نهتم به Xيأخذ القيمة في العينة X 1 ص 1 مرة، X 2 – ص 2 مرات، …، X إلى - ص إلىمرات و
أين صهو حجم العينة. ثم القيم المرصودة للمتغير العشوائي X 1 , X 2 ,…, X إلى اتصل والخيارات، أ ص 1 , ص 2 ,…, ص إلى – الترددات. إذا قسمنا كل تردد على حجم العينة ، نحصل على الترددات النسبية
يسمى تسلسل الخيارات المكتوبة بترتيب تصاعدي متغيرجنبًا إلى جنب ، وقائمة الخيارات والترددات المقابلة لها أو الترددات النسبية - سلسلة إحصائية:

x أنا	x 1	x 2	…	x ك
ن أنا	ن 1	ن 2	…	ن ك
ث أنا	ث 1	ث 2	…	ث ك

عند إجراء 20 سلسلة من 10 لفات نرد ، كان عدد النقاط الست التي تم إسقاطها هو 1،1،4،0،1،2،1،2،2،0،5،3،3،1،0،2،2 ، 3 ، 4،1. لنقم بعمل سلسلة متباينة: 0،1،2،3،4،5. السلسلة الإحصائية للترددات المطلقة والنسبية لها الشكل:

x أنا	0	1	2	3	4	5
ن أنا	3	6	5	3	2	1
ث أنا	0,15	0,3	0,25	0,15	0,1	0,05

إذا تم التحقيق في بعض السمات المستمرة ، فقد تتكون السلسلة المتغيرة من عدد كبير جدًا من الأرقام. في هذه الحالة يكون أكثر ملاءمة للاستخدام عينة مجمعة. للحصول عليه ، يتم تقسيم الفاصل الزمني ، الذي يحتوي على جميع القيم المرصودة للميزة ، إلى عدة فترات متساوية جزئية من الطول ح، ثم ابحث عن كل فترة جزئية ن أناهو مجموع ترددات المتغير الذي وقع فيه أناالفاصل الزمني. يتم استدعاء الجدول المترجم من هذه النتائج سلسلة إحصائية مجمعة:

تردد المضلع. دالة توزيع العينة والمدرج التكراري.
للحصول على تمثيل مرئي لسلوك المتغير العشوائي قيد الدراسة في العينة ، يمكن بناء رسوم بيانية مختلفة. واحد منهم - تردد المضلع: متعدد الخطوط التي تربط أجزاءها النقاط بالإحداثيات ( x 1 , ن 1), (x 2 , ن 2),…, (x ك , ن ك)، أين x أنا يتم رسمها على المحور السيني ، و ن أنا - على المحور ص. إذا قمنا برسم غير مطلق على المحور y ( ن أنا) والقريب ( ث أنا) التردد ، ثم نحصل عليه مضلع التردد النسبي(رسم بياني 1) . أرز. واحد.

عن طريق القياس مع دالة التوزيع لمتغير عشوائي ، يمكنك تعيين وظيفة معينة ، التردد النسبي للحدث X x.

التعريف 15.1.عينة دالة توزيع (تجريبية)استدعاء الوظيفة F* (x) ، والذي يحدد لكل قيمة Xالتكرار النسبي للحدث X x. في هذا الطريق،

, (15.1)

أين ص X- عدد الخيارات أصغر X, صهو حجم العينة.
تعليق.على عكس دالة التوزيع التجريبية ، وجدت دالة التوزيع تجريبياً F(x) من عامة السكان دالة التوزيع النظري. F(x) يحدد احتمال وقوع حدث X x، أ F* (x) هو تردده النسبي. لحجم كبير بما فيه الكفاية ص، على النحو التالي من نظرية برنولي ، F* (x) يميل على الأرجح إلى F(x).

من تعريف دالة التوزيع التجريبية ، يمكن ملاحظة أن خصائصها تتطابق مع الخصائص F(x)، يسمى:

0 ≤F* (x) ≤ 1.
F* (x) هي دالة غير متناقصة.
اذا كان X 1 هو الخيار الأصغر إذن F* (x) = 0 من أجل X≤ Xواحد ؛ إذا X إلى هو الخيار الأكبر إذن F* (x) = 1 من أجل X> X إلى .

بالنسبة للميزة المستمرة ، يكون الرسم التوضيحي هو شريط الرسم البياني، أي ، شكل متدرج يتكون من مستطيلات تشكل قواعدها فترات جزئية من الطول حوالمرتفعات – مقاطع الطول ن أنا / ح(الرسم البياني للتردد) أو ث أنا / ح (الرسم البياني للترددات النسبية). في الحالة الأولى ، مساحة الرسم البياني تساوي حجم العينة ، في الحالة الثانية تساوي واحدًا (الشكل 2).

الصورة 2.

المحاضرة 16

الخصائص العددية للتوزيع الإحصائي: متوسط العينة ، تقديرات التباين ، تقديرات الأسلوب والمتوسط ، تقديرات العزم الأولية والمركزية. الوصف الإحصائي وحساب التقديرات لمعلمات متجه عشوائي ثنائي الأبعاد.
تتمثل إحدى مهام الإحصاء الرياضي في تقدير قيم الخصائص العددية للمتغير العشوائي قيد الدراسة بناءً على العينة الموجودة.

التعريف 16.1.متوسط العينةيسمى المتوسط الحسابي لقيم المتغير العشوائي المأخوذ في العينة:

, (16.1)

أين x أنا- والخيارات، ن أنا- الترددات.

تعليق.يستخدم متوسط العينة لتقدير التوقع الرياضي للمتغير العشوائي قيد الدراسة. ستتم مناقشة مسألة مدى دقة مثل هذا التقدير لاحقًا.

التعريف 16.2.تباين العينةاتصل

, (16.2)

أ الانحراف المعياري للعينة–

(16.3)

تمامًا كما هو الحال في نظرية المتغيرات العشوائية ، يمكن للمرء أن يثبت أن الصيغة التالية صالحة لحساب تباين العينة:

. (16.4)

مثال 1. لنجد الخصائص العددية للعينة التي قدمتها المتسلسلة الإحصائية

x أنا	2	5	7	8
ن أنا	3	8	7	2

الخصائص الأخرى لسلسلة التباين هي:

- موضهم 0 - المتغير بأعلى تردد (في المثال السابق م 0 = 5).

- الوسيطر ه - متغير يقسم سلسلة التباينات إلى جزأين متساويين في العدد مع المتغير. إذا كان خيار الرقم فرديًا ( ن = 2ك+ 1) إذن م ه = x ك + 1 ، وحتى ن = 2ك
. على وجه الخصوص ، في المثال 1

يتم تعريف تقديرات اللحظات الأولية والمركزية (ما يسمى باللحظات التجريبية) بشكل مشابه للحظات النظرية المقابلة:

- لحظة النظام التجريبية الأوليةك اتصل

. (16.5)

خاصه،
، أي أن اللحظة التجريبية الأولية من الدرجة الأولى تساوي متوسط العينة.

- لحظة النظام التجريبية المركزيةك اتصل

. (16.6)

خاصه،
، أي أن اللحظة التجريبية المركزية من الدرجة الثانية تساوي تباين العينة.
الوصف الإحصائي وحساب الخصائص

ثنائي الأبعاد متجه عشوائي.
في دراسة إحصائية للمتغيرات العشوائية ثنائية الأبعاد ، تكون المهمة الرئيسية عادةً هي تحديد العلاقة بين المكونات.

العينة ثنائية الأبعاد عبارة عن مجموعة من القيم المتجهية العشوائية: ( X 1 , في 1), (X 2 , في 2), …, (X ص ، ذ ص). لذلك ، يمكنك تحديد متوسطات العينة للمكونات:

وتباينات العينة المقابلة والانحرافات المعيارية. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن للمرء أن يحسب المتوسطات الشرطية: - المتوسط الحسابي للقيم المرصودة صالمقابلة س = س، و - متوسط قيمة القيم المرصودة Xالمقابلة ص = ذ.

إذا كان هناك اعتماد بين مكونات متغير عشوائي ثنائي الأبعاد ، فيمكن أن يكون له شكل مختلف: الاعتماد الوظيفي ، إذا كانت كل قيمة ممكنة Xيطابق قيمة واحدة ص، وإحصائية ، حيث يؤدي التغيير في كمية ما إلى تغيير في توزيع كمية أخرى. إذا تغير متوسط قيمة التغييرات الأخرى في نفس الوقت ، نتيجة لتغيير في قيمة واحدة ، فإن الاعتماد الإحصائي بينهما يسمى الارتباط.

المحاضرة 17

الخصائص الرئيسية للخصائص الإحصائية لمعلمات التوزيع: عدم التحيز ، التناسق ، الكفاءة. يعني عدم التحيز والاتساق في العينة كتقدير للتوقع الرياضي. تحيز تباين العينة. مثال على تقدير التباين غير المتحيز. تقديرات مقاربة غير متحيزة. طرق تكوين التقديرات: طريقة الاحتمالية القصوى ، طريقة اللحظات ، طريقة الكم ، طريقة المربعات الصغرى ، طريقة البايز للحصول على التقديرات.
بعد تلقي تقديرات إحصائية لمعلمات التوزيع (متوسط العينة ، وتباين العينة ، وما إلى ذلك) ، تحتاج إلى التأكد من أنها تعمل بشكل كافٍ كتقريب للخصائص المقابلة لعامة السكان. نحدد المتطلبات التي يجب الوفاء بها في هذه الحالة.

لنفترض Θ * تقديرًا إحصائيًا للمعلمة غير المعروفة Θ للتوزيع النظري. نستخرج من عامة السكان عدة عينات من نفس الحجم صواحسب لكل منهم تقديرًا للمعامل Θ:
ثم يمكن اعتبار التقدير Θ * متغيرًا عشوائيًا يأخذ القيم الممكنة. م(Θ *)> Θ ، مع وجود عيب إذا م(Θ *) م (Θ *) =.
التعريف 17.2.التقدير الإحصائي Θ * يسمى غير متحيزة، إذا كان توقعها الرياضي يساوي المعلمة المقدرة Θ لأي حجم عينة:

م(Θ *) = Θ. (17.1)

نازحونيسمى تقديرًا ، والتوقع الرياضي الذي لا يساوي المعلمة المقدرة.

ومع ذلك ، فإن عدم التحيز ليس شرطًا كافيًا لتقريب جيد للقيمة الحقيقية للمعلمة المقدرة. إذا ، في هذه الحالة ، قد تنحرف القيم المحتملة لـ Θ * بشكل كبير عن متوسط القيمة ، أي أن تباين Θ * كبير ، فقد تختلف القيمة الموجودة من بيانات عينة واحدة بشكل كبير عن المعلمة المقدرة . لذلك ، من الضروري فرض قيود على التباين.
التعريف 17.2.يسمى التقييم الإحصائي فعالإذا كان لحجم عينة معين صلديه أصغر فرق ممكن.
عند النظر في عينات ذات حجم كبير ، تخضع التقديرات الإحصائية أيضًا لمتطلبات الاتساق.
التعريف 17.3.ثرييسمى التقدير الإحصائي ، والذي ص→ ∞ يميل في الاحتمال إلى المعلمة المقدرة (إذا كان هذا التقدير غير متحيز ، فسيكون متسقًا إذا ، من أجل ص→ ∞ تباينها يميل إلى 0).
دعونا نتأكد من ذلك هو تقدير غير متحيز للتوقع م(X).

سوف نعتبره متغيرًا عشوائيًا ، و X 1 , X 2 ,…, X ص، أي قيم المتغير العشوائي قيد الدراسة الذي يتكون من العينة ، - كمتغيرات عشوائية مستقلة وموزعة بشكل متماثل X 1 , X 2 ,…, X ص، لها توقعات رياضية أ. ويترتب على خصائص التوقع الرياضي أن

ولكن منذ كل من الكميات X 1 , X 2 ,…, X ص له نفس التوزيع مثل عامة السكان ، أ = م(X)، هذا هو م(
) = م(X) ، والتي كان من المقرر إثباتها. متوسط العينة ليس فقط غير متحيز ، ولكنه أيضًا تقدير متسق للتوقعات الرياضية. إذا افترضنا ذلك X 1 , X 2 ,…, X صلها تباينات محدودة ، ثم يترتب على نظرية تشيبيشيف أن متوسطها الحسابي ، أي مع زيادة صيميل في الاحتمال إلى التوقع الرياضي أكل من قيمهم ، أي م(X). لذلك ، فإن متوسط العينة هو تقدير متسق للتوقعات الرياضية.

على عكس متوسط العينة ، فإن تباين العينة هو تقدير متحيز لتباين المجتمع. يمكن إثبات ذلك

, (17.2)

أين د جي هي القيمة الحقيقية للتباين السكاني. يمكننا تقديم تقدير آخر للتباين - التباين المصححس ² ، محسوبة بالصيغة

. (17.3)

مثل هذا التقدير سيكون غير متحيز. يتوافق مع تصحيح الانحراف المعياري

. (17.4)

التعريف 17.4.يتم استدعاء تقدير لبعض الميزات مقارب غير متحيز، إذا كان للعينة X 1 , X 2 , …, X ص

, (17.5)

أين Xهي القيمة الحقيقية للكمية التي تم التحقيق فيها.
طرق تكوين التقديرات.
1. طريقة الاحتمال الأقصى.
يترك Xهو متغير عشوائي منفصل ، ونتيجة لذلك صأخذت الاختبارات القيم X 1 , X 2 , …, X ص. لنفترض أننا نعرف قانون توزيع هذه الكمية ، الذي يحدده المعامل Θ ، لكن القيمة العددية لهذه المعلمة غير معروفة. دعونا نجد تقديرها للنقاط.

يترك ص(X أنا، Θ) هو احتمال أن تكون القيمة نتيجة للاختبار Xسوف تأخذ على المعنى X أنا. لنتصل وظيفة الاحتمالالمتغير العشوائي المنفصل Xدالة الوسيطة Θ ، التي تحددها الصيغة:

إل (X 1 , X 2 , …, X ص ; Θ) = ص(x 1 ، Θ) ص(x 2 ، Θ) ... ص(x ن ,Θ).

ثم ، كتقدير نقطة للمعلمة Θ ، قيمتها Θ * = Θ ( X 1 , X 2 , …, X ص) التي عندها تصل دالة الاحتمال إلى أقصى حد لها. التقدير Θ * يسمى تقدير الاحتمالية القصوى.

منذ الوظائف إلو ln إلالوصول إلى الحد الأقصى بنفس القيمة Θ ، فمن الأنسب البحث عن الحد الأقصى ln إل – وظيفة احتمالية السجل. لهذا تحتاج:

مزايا طريقة الاحتمالية القصوى: التقديرات التي تم الحصول عليها متسقة (على الرغم من أنها يمكن أن تكون متحيزة) ، وموزعة بشكل مقارب بشكل طبيعي للقيم الكبيرة صولديها أدنى تباين مقارنة بالتقديرات العادية الأخرى المقاربة ؛ إذا كانت المعلمة المقدرة Θ هناك تقدير فعال Θ * ، فإن معادلة الاحتمال لها حل فريد Θ * ؛ تستخدم الطريقة أقصى استفادة من بيانات العينة ، وبالتالي فهي مفيدة بشكل خاص في حالة العينات الصغيرة.

عيب طريقة الاحتمال الأقصى: تعقيد الحسابات.
لمتغير عشوائي مستمر بنوع معروف من كثافة التوزيع F(x) ومعلمة غير معروفة Θ ، فإن دالة الاحتمال لها الشكل:

إل (X 1 , X 2 , …, X ص ; Θ) = F(x 1 ، Θ) F(x 2 ، Θ) ... F(x ن ,Θ).

يتم تنفيذ الحد الأقصى لتقدير الاحتمالية لمعامل غير معروف بنفس الطريقة المتبعة في المتغير العشوائي المنفصل.
2. طريقة اللحظات.
تعتمد طريقة اللحظات على حقيقة أن اللحظات التجريبية الأولية والمركزية هي تقديرات متسقة للحظات النظرية الأولية والمركزية ، على التوالي ؛ لذلك ، يمكن للمرء أن يساوي بين اللحظات النظرية واللحظات التجريبية المقابلة لها من نفس الترتيب.

إذا تم إعطاء نوع كثافة التوزيع F(x، Θ) تحدد بمعامل واحد غير معروف Θ ، ثم لتقدير هذه المعلمة ، يكفي الحصول على معادلة واحدة. على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يساوي اللحظات الأولى من الترتيب الأول:

وبالتالي الحصول على معادلة لتحديد Θ. سيكون حلها Θ * بمثابة تقدير نقطي للمعلمة ، وهي دالة لمتوسط العينة ، وبالتالي لخيار العينة:

Θ = ψ ( X 1 , X 2 , …, X ص).

إذا كان الشكل معروفًا لكثافة التوزيع F(x، Θ 1 ، Θ 2) بواسطة معلمتين غير معروفين Θ 1 و Θ 2 ، ثم يلزم وجود معادلتين ، على سبيل المثال

ع 1 = م 1، μ 2 = ر 2 .

من هنا
- نظام من معادلتين مع مجهولين 1 و Θ 2. ستكون حلولها عبارة عن تقديرات نقطية Θ 1 * و Θ 2 * - وظائف خيار أخذ العينات:

Θ 1 = 1 ( X 1 , X 2 , …, X ص),

Θ 2 = ψ 2 ( X 1 , X 2 , …, X ص).
3. طريقة المربعات الصغرى.

إذا كان مطلوبًا لتقييم اعتماد الكميات فيو X، وشكل الدالة التي تربطهما معروف ، ولكن قيم المعاملات المتضمنة فيه غير معروفة ، ويمكن تقدير قيمها من العينة المتاحة باستخدام طريقة المربعات الصغرى. لهذه الوظيفة في = φ ( X) بحيث يتم اختيار مجموع الانحرافات التربيعية للقيم المرصودة في 1 , في 2 ,…, في صمن φ ( X أنا) كان ضئيلاً:

في هذه الحالة ، من الضروري إيجاد نقطة ثابتة للوظيفة φ ( x; أ, ب, ج… ) ، أي حل النظام:

(الحل ، بالطبع ، ممكن فقط في الحالة التي يكون فيها الشكل المحدد للوظيفة φ معروفًا).

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، اختيار معلمات دالة خطية بواسطة طريقة المربعات الصغرى.

من أجل تقييم المعلمات أو بفى مهمة ذ = فأس + ب، تجد
ثم
. من هنا
. قسمة كلا المعادلتين الناتج على صوتذكر تعريفات اللحظات التجريبية ، يمكن للمرء الحصول على تعبيرات لـ أو بكما:

. لذلك ، العلاقة بين Xو فييمكن وضعها في النموذج:

4. نهج بايزي للحصول على التقديرات.
يترك ( ص, X) متجه عشوائي تُعرف كثافته ص(في|x) التوزيع الشرطي صفي كل قيمة س = س. إذا كنتيجة للتجربة فقط القيم ص، والقيم المقابلة Xغير معروف ، ثم لتقدير بعض الوظائف المعطاة φ ( X) كقيمة تقريبية ، يُقترح البحث عن التوقع الرياضي الشرطي م (φ‌‌( X)‌‌‌‌‌‌|ص) محسوبة بالصيغة:

، أين ، ص(X X, ف(ذ) هي كثافة التوزيع غير المشروطة ص. لا يمكن حل المشكلة إلا عندما تكون معروفة ص(X). في بعض الأحيان ، من الممكن بناء تقدير متسق لـ ف(ذ) ، والتي تعتمد فقط على القيم التي تم الحصول عليها في العينة ص.

المحاضرة 18

تقدير الفاصل الزمني للمعلمات غير المعروفة. دقة التقدير ، احتمالية الثقة (الموثوقية) ، فاصل الثقة. بناء فترات الثقة لتقدير التوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي مع التباين المعروف وغير المعروف. فترات الثقة لتقدير الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي.
عند أخذ عينات من حجم صغير ، قد يختلف تقدير النقاط بشكل كبير عن المعلمة المقدرة ، مما يؤدي إلى أخطاء جسيمة. لذلك ، في هذه الحالة من الأفضل استخدام تقديرات الفاصل، أي ، الإشارة إلى الفترة الزمنية التي تقع فيها القيمة الحقيقية للمعلمة المقدرة باحتمالية معينة. بالطبع ، كلما كان طول هذه الفترة أقصر ، زادت دقة تقدير المعلمة. لذلك ، إذا كان تقدير Θ * لبعض المعلمات Θ يحقق المتباينة | Θ * - Θ | 0 يميز دقة التقدير(أصغر δ ، كان التقدير أكثر دقة). لكن الأساليب الإحصائية تسمح لنا بالقول فقط أن هذا التفاوت يكتفي باحتمالية معينة.

التعريف 18.1.الموثوقية (احتمالية الثقة) تقدير Θ * للمعامل Θ هو احتمال γ أن المتباينة | Θ * - Θ |
ص (Θ* - δ
وبالتالي ، فإن γ هو احتمال أن تقع Θ ضمن الفاصل الزمني (Θ * - δ ، Θ * +).

التعريف 18.2.موثوق بههي الفترة الزمنية التي تقع فيها المعلمة غير المعروفة بموثوقية معينة γ.
بناء فترات الثقة.
1. فترة الثقة لتقدير التوقع الرياضي لتوزيع طبيعي مع تباين معروف.

دع المتغير العشوائي قيد الدراسة Xموزعة وفقًا للقانون العادي بمتوسط جذر معروف مربع ، ويلزم تقدير توقعه الرياضي بقيمة متوسط العينة أ. سننظر في متوسط العينة كمتغير عشوائي وقيم متغير العينة X 1 , X 2 ,…, X صكمتغيرات عشوائية مستقلة موزعة بالتساوي X 1 , X 2 ,…, X ص، لكل منها توقع رياضي أوالانحراف المعياري σ. حيث م() = أ,
(نستخدم خصائص التوقع الرياضي والتباين لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة). دعونا نقدر احتمالية تحقيق عدم المساواة
. نطبق معادلة احتمالية وقوع متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي في فترة زمنية معينة:

ص (
) = 2Ф
. ثم مع مراعاة حقيقة ذلك ص() = 2Ф
=

2Ф ( ر)، أين
. من هنا
، ويمكن إعادة كتابة المساواة السابقة على النحو التالي:

. (18.1)

إذن ، قيمة التوقع الرياضي أمع الاحتمال (الموثوقية) γ يقع في الفاصل الزمني
حيث القيمة ريتم تحديده من الجداول الخاصة بوظيفة لابلاس بحيث تكون المساواة 2Ф ( ر) = γ.
مثال. ابحث عن فاصل الثقة للتوقع الرياضي لمتغير عشوائي موزع بشكل طبيعي إذا كان حجم العينة ص = 49,
σ = 1.4 ، ومستوى الثقة γ = 0.9.

دعنا نحدد رحيث F ( ر) = 0,9:2 = 0,45: ر= 1.645. ثم

، أو 2.471 a مع موثوقية 0.9.
2. فترة الثقة لتقدير التوقع الرياضي لتوزيع طبيعي مع تباين غير معروف.

إذا علم أن المتغير العشوائي قيد الدراسة Xيتم توزيعها وفقًا للقانون العادي مع انحراف معياري غير معروف ، ثم لإيجاد فترة ثقة لتوقعها الرياضي ، نقوم ببناء متغير عشوائي جديد

, (18.2)

أين - متوسط العينة ، سهو التباين المصحح ، صهو حجم العينة. هذا المتغير العشوائي ، سيتم الإشارة إلى قيمه المحتملة ر، لديه توزيع Student (انظر المحاضرة 12) مع ك = ن- 1 درجات الحرية.

منذ كثافة توزيع الطالب
، أين
، لا تعتمد صراحة على أو σ ، يمكنك ضبط احتمال وقوعه في فترة زمنية معينة (- ر γ , ر γ ) مع مراعاة تكافؤ كثافة التوزيع على النحو التالي:
. من هنا نحصل على:

(18.3)

وبالتالي ، فاصل الثقة ل أ، أين ر γ يمكن العثور عليها في الجدول المقابل ل صو ز.

مثال. دع حجم العينة ص = 25, = 3, س= 1.5. ابحث عن فاصل الثقة لـ أعند γ = 0.99. من الجدول نجد ذلك ر γ (ص= 25 ، γ = 0.99) = 2.797. ثم
أو 2.161a باحتمال 0.99.
3. فترات الثقة لتقدير الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي.

بالنسبة للانحراف المعياري لمتغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي ، سنبحث عن فاصل ثقة للنموذج ( س – δ, س +δ )، أين سهو الانحراف المعياري المصحح للعينة ، وبالنسبة لـ يتم استيفاء الشرط التالي: ص (|σ – س|
نكتب هذه المتباينة بالشكل:
أو دلالة
,

ضع في اعتبارك متغير عشوائي محدد بالصيغة

والتي يتم توزيعها وفقًا لقانون chi-square مع ص-1 درجات الحرية (انظر المحاضرة 12). كثافة توزيعه

لا تعتمد على المعلمة المقدرة σ ، ولكنها تعتمد فقط على حجم العينة ص. دعونا نحول المتباينة (18.4) بحيث تأخذ الشكل χ 1 نفترض ذلك ف

,

أو بعد الضرب في
,
. بالتالي،
. ثم
هناك جداول لتوزيع كاي تربيع يمكن للمرء أن يجد منها فحسب المعطى صو دون حل هذه المعادلة. وهكذا ، بعد حساب القيمة من العينة س وتحديد القيمة من الجدول ف، يمكن للمرء أن يجد فاصل الثقة (18.4) حيث تنخفض القيمة σ مع احتمال معين γ.
تعليق.اذا كان ف> 1 ، إذن ، مع مراعاة الشرط σ> 0 ، سيكون لفاصل الثقة لـ σ حدود

. (18.5)

يترك ص = 20, س= 1.3. دعونا نجد فاصل الثقة لـ لموثوقية معينة γ = 0.95. من الجدول المقابل نجد ف (ن= 20 ، γ = 0.95) = 0.37. لذلك ، حدود مجال الثقة: 1.3 (1-0.37) = 0.819 و 1.3 (1 + 0.37) = 1.781. لذلك 0.819

نقوم بهذا الدليل على مرحلتين. دعنا نفترض أولاً أن هناك ، ونلاحظ أنه في هذه الحالة D (Sn) بواسطة نظرية مجموع التشتت. وفقًا لتفاوت Chebyshev ، لأي t> 0

بالنسبة إلى t> n ، يكون الجانب الأيسر أقل من والقيمة الأخيرة تميل إلى الصفر. هذا يكمل الجزء الأول من الإثبات.

نتجاهل الآن الشرط التقييدي لوجود D (). يتم تقليل هذه الحالة إلى الحالة السابقة عن طريق الاقتطاع.

نحدد مجموعتين جديدتين من المتغيرات العشوائية بناءً على ما يلي:

U ل = ، V ل = 0 ، إذا (2.2)

يو ك = 0 ، ف ك = إذا

هنا k = 1 ،… ، n وهو ثابت. ثم

لجميع k.

دع (f (j)) هو التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العشوائية (نفس الشيء بالنسبة لجميع j). لقد افترضنا أن = M () موجود ، وبالتالي فإن المجموع

محدود. ثم يوجد

حيث يتم إجراء الجمع على كل تلك j التي. لاحظ أنه على الرغم من أنه يعتمد على n ، إلا أنه نفس الشيء بالنسبة لـ

U 1، U 2، ...، U n. علاوة على ذلك ، من أجل وبالتالي ، من أجل تعسفي> 0 وجميع n كبيرة بما فيه الكفاية

U k مستقلة بشكل متبادل ، وباستخدام مجموعها U 1 + U 2 + ... + U n يمكنك أن تفعل نفس الشيء تمامًا كما هو الحال مع X k في حالة التباين المحدود ، بتطبيق متباينة Chebyshev ، نحصل على نفس الشيء (2.1)

بسبب (2.6) فهذا يعني أن

نظرًا لأن السلسلة (2.4) تتقارب ، فإن المجموع الأخير يميل إلى الصفر مع زيادة n. وهكذا ، ل n كبير بما فيه الكفاية

وبالتالي

ف (ف 1 + ... + ف ن 0). (2.12)

ولكن ، ومن (2.9) و (2.12) نحصل عليها

نظرًا لأنه تعسفي ، يمكن جعل الجانب الأيمن صغيرًا بشكل تعسفي ، مما يكمل الدليل.

نظرية الألعاب "غير المؤذية"

في مزيد من التحليل لجوهر قانون الأعداد الكبيرة ، سنستخدم المصطلحات التقليدية للاعبين ، على الرغم من أن اعتباراتنا تقبل تطبيقات أكثر جدية ، وافتراضينا الرئيسيين أكثر واقعية في الإحصاء والفيزياء منه في المقامرة. أولاً ، افترض أن لدى اللاعب رأس مال غير محدود ، لذلك لا يمكن أن تتسبب أي خسارة في إنهاء اللعبة. (يؤدي التخلي عن هذا الافتراض إلى مشكلة تدمير اللاعب ، والتي تثير اهتمام طلاب الاحتمالات دائمًا.) ثانيًا ، افترض أن اللاعب لا يحق له مقاطعة اللعبة حسب رغبته: يجب تحديد عدد المحاولات n مسبقًا و يجب ألا تعتمد على ألعاب الحركة. وإلا ، فإن اللاعب ، السعيد برأس مال غير محدود ، كان سينتظر سلسلة من النجاحات وكان سيوقف اللعبة في الوقت المناسب. لا يهتم مثل هذا اللاعب بالتقلبات المحتملة في لحظة معينة ، ولكن في التقلبات القصوى في سلسلة طويلة من الألعاب ، والتي يتم وصفها بقانون اللوغاريتم المتكرر أكثر من قانون الأعداد الكبيرة.

نقدم متغير عشوائي k كمكافأة (إيجابية أو سلبية) للتكرار k للعبة. ثم مجموع S n = 1 +… + k هو العائد الإجمالي لتكرار اللعبة n. إذا دفع اللاعب قبل كل تكرار رسمًا (ليس بالضرورة إيجابيًا) مقابل حق المشاركة في اللعبة ، فإن n هو إجمالي الرسوم التي دفعها ، و S n هو إجمالي صافي المكاسب. ينطبق قانون الأعداد الكبيرة إذا كان p = M (k) موجودًا. بشكل تقريبي ، بالنسبة إلى n الكبيرة ، من المعقول تمامًا أن يظهر الفرق S n - صغيرًا مقارنة بـ n. لذلك ، إذا كان أقل من p ، فمن المحتمل أن يحصل اللاعب على مكافأة كبيرة. للأسباب نفسها ، من شبه المؤكد أن تؤدي المساهمة إلى خسارة. باختصار ، الفرصة جيدة للاعب والفرصة سيئة.

لاحظ أننا لم نقل أي شيء عن القضية حتى الآن. في هذه الحالة ، الاستنتاج الوحيد الممكن هو أنه بالنسبة إلى الحجم الكبير بدرجة كافية ، من المحتمل جدًا أن يكون إجمالي الكسب أو الخسارة لـ S n - n صغيرًا مقارنة بـ n. ولكن من غير المعروف ما إذا كانت S n - n موجبة أم سلبية ، أي هل ستكون اللعبة مربحة أم مدمرة. ولم يؤخذ ذلك في الاعتبار من قبل النظرية الكلاسيكية التي سميت الثمن غير المؤذي واللعبة بـ "غير المؤذية". عليك أن تفهم أن أي لعبة "غير ضارة" يمكن أن تكون في الواقع مربحة ومدمرة بشكل واضح.

من الواضح أنه في "الحالة العادية" لا يوجد فقط M (k) ، ولكن أيضًا D (k). في هذه الحالة ، يتم استكمال قانون الأعداد الكبيرة بنظرية الحد المركزي ، وتقول الأخيرة ، بشكل معقول تمامًا ، أنه في لعبة "غير ضارة" ، سيكون صافي العائد نتيجة لعبة طويلة S n - n من أجل n 1/2 وذلك لكبير n كبير سيكون هذا المردود موجبًا أو سالبًا مع فرص متساوية تقريبًا. وبالتالي ، إذا كانت نظرية الحد المركزي قابلة للتطبيق ، فسيتبين أن مصطلح لعبة "غير مؤذية" له ما يبرره ، على الرغم من أننا حتى في هذه الحالة نتعامل مع نظرية الحد ، والتي تؤكدها الكلمات "كنتيجة للعبة طويلة . " يظهر التحليل الدقيق أن التقارب في (1.3) يزداد سوءًا مع زيادة التباين. إذا كان كبيرًا ، فسيكون التقريب الطبيعي فعالاً فقط لـ n كبيرة للغاية.

من أجل التحديد ، دعنا نتخيل آلة يمكن للاعب من خلالها أن يربح (10-1) روبل مع احتمال 10 روبل ، وفي حالات أخرى يفقد الروبل المخفض. هنا لدينا تجارب برنولي واللعبة "غير ضارة". بعد إجراء مليون اختبار ، سيدفع اللاعب مليون روبل مقابل ذلك. خلال هذا الوقت ، يمكنه الفوز بـ 0 ، 1 ، 2 ، ... مرة. وفقًا لتقريب Poisson للتوزيع ذي الحدين ، حتى عدد قليل من المنازل العشرية ، فإن احتمال الفوز بالضبط k مرة يساوي e -1 / k !. وهكذا ، مع احتمال 0.368. . . سيخسر اللاعب مليونًا ، وبنفس الاحتمال سوف يسترد نفقاته فقط ؛ لديه احتمال 0.184 ... لاكتساب مليون بالضبط ، وهكذا. هنا ، 106 تجربة تعادل تجربة واحدة في لعبة Poisson payoff.

من الواضح أنه من غير المجدي تطبيق قانون الأعداد الكبيرة في مثل هذه الحالات. يشمل هذا النظام التأمين ضد الحريق وحوادث السيارات وما إلى ذلك. هناك خطر كبير ، لكن الاحتمال المقابل صغير جدًا. ومع ذلك ، عادة ما تكون هناك تجربة واحدة فقط كل عام ، لذلك لا يصبح عدد التجارب كبيرًا أبدًا. بالنسبة للمؤمن عليه ، اللعبة ليست بالضرورة "غير ضارة" ، على الرغم من أنها قد تكون مربحة من الناحية الاقتصادية. قانون الأعداد الكبيرة ليس له علاقة به. أما شركة التأمين فهي تتعامل مع عدد كبير من الألعاب ، ولكن بسبب التباين الكبير ، لا تزال تظهر تقلبات عشوائية. يجب تحديد أقساط التأمين لمنع الخسائر الكبيرة في السنوات الفردية ، وبالتالي فإن الشركة مهتمة بمشكلة الخراب أكثر من اهتمامها بقانون الأعداد الكبيرة.

عندما يكون التباين غير محدود ، يصبح مصطلح لعبة "غير مؤذية" بلا معنى ؛ لا يوجد سبب للاعتقاد بأن إجمالي صافي الربح S n - n يتقلب حول الصفر. حقًا. هناك أمثلة على الألعاب "غير الضارة" التي يتجه فيها احتمال تعرض اللاعب لخسارة صافية إلى واحدة. ينص قانون الأعداد الكبيرة فقط على أن هذه الخسارة ستكون أقل مرتبة من قيمة n ، ومع ذلك ، لا يمكن قول شيء أكثر من ذلك. إذا شكل n تسلسلًا عشوائيًا ، وكان n / n0 ، فيمكنك ترتيب لعبة "غير ضارة" حيث يكون احتمال أن الخسارة الإجمالية الصافية نتيجة n من تكرار اللعبة يتجاوز n إلى واحد.