Ας εξετάσουμε πρώτα τη λύση του συστήματος γραμμικές εξισώσεις Η μέθοδος του Cramer. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε το ήδη λυμένο παράδειγμα 8.

Το EXCEL έχει μια συνάρτηση για τον υπολογισμό οριζόντων (βλ. σημείο 7). Ας γράψουμε τον πίνακα των συντελεστών και τους πίνακες που λαμβάνονται από αυτόν αντικαθιστώντας όλες τις στήλες με τη σειρά τους από τη στήλη των ελεύθερων μελών. Η λίστα των υπολογισμών φαίνεται στο σχ. οκτώ:

Οι πίνακες γράφονται σε εύρη

Και οι τιμές των καθοριστικών παραγόντων βρίσκονται στα κελιά . Η στήλη ελεύθερα μέλη βρίσκεται στο G2:G6. Η λύση του συστήματος βρίσκεται στο I2:I6.

Το ίδιο παράδειγμαλύσει με αντίστροφη μήτρα. Το EXCEL υλοποιεί συναρτήσεις για την εύρεση αντίστροφων πινάκων και τον πολλαπλασιασμό πινάκων (βλ. στοιχείο 7). Η λίστα του διαλύματος φαίνεται στο σχ. 9. Ο πίνακας των συντελεστών γράφεται στην περιοχή, το διάνυσμα των ελεύθερων όρων γράφεται στα κελιά, ο αντίστροφος πίνακας γράφεται στο εύρος, η λύση του συστήματος που προκύπτει ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του πίνακα με τον πίνακα είναι γραμμένο στα κελιά.

Ας προσφέρουμε έναν άλλο τρόπο επίλυσης γραμμικών συστημάτων στο EXCELL. Μπορεί να μην φαίνεται αποτελεσματικό για συστήματα, αλλά η εξοικείωση με αυτό είναι χρήσιμη για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης, ιδιαίτερα προβλημάτων γραμμικός προγραμματισμός. Το εργαλείο για αυτή τη μέθοδο είναι η διαδικασία Εύρεση λύσηςπου βρίσκεται στο πρόσθετα.Αφού καλέσετε τη διαδικασία, το παράθυρο που φαίνεται στην Εικ. έντεκα.

Ας δείξουμε τη λύση του συστήματος με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 12.Λύστε το σύστημα

Ο πίνακας των συντελεστών των εξισώσεων του συστήματος εισάγεται στα κελιά, στα - στους συντελεστές της τελευταίας εξίσωσης, στα κελιά G3: G6 - στη στήλη των ελεύθερων όρων. Τα κελιά B1:E1 θα δεσμευτούν για τις τιμές των αγνώστων. Στα κελιά F3:F6, υπολογίζουμε το άθροισμα των γινομένων των συντελεστών κάθε εξίσωσης με τους αγνώστους (για αυτό χρησιμοποιούμε την ενσωματωμένη συνάρτηση SUMPRODUCT). Επιλέξτε το κελί F6 ως το κελί-στόχο και καλέστε τη διαδικασία Εύρεση λύσης. Στο πλαίσιο, ορίστε ότι το κελί προορισμού πρέπει να είναι ίσοςελεύθερος όρος της τελευταίας εξίσωσης και συμπληρώστε τα πεδία. Στο χωράφι "Αλλάζοντας κύτταρα"εισάγετε B1:E1. Στο χωράφι "περιορισμοί"θα εισαγάγουμε τις πρώτες εξισώσεις. Δηλαδή, η τιμή στο κελί F3 πρέπει να είναι ίση με καθορισμένη τιμήστο κελί G3 (1η εξίσωση). Ομοίως, προσθέτουμε άλλες δύο εξισώσεις. Αφού συμπληρώσετε όλα τα πεδία, πατήστε .

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων στο Excel

1. Εισαγωγή

Πολλά καθήκοντα οργάνωσης της κατασκευαστικής παραγωγής περιορίζονται στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων της μορφής:

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 1,
				a2 n xn
ένα 21x 1a 22x2
	ν 1 1

ονομάζεται σύστημα n γραμμικό αλγεβρικές εξισώσεις(SLAE ) με ν

άγνωστος.

Σε αυτήν την περίπτωση, οι αυθαίρετοι αριθμοί a ij (i = 1, 2,…,n ;j = 1, 2,…,n ) ονομάζονται

συντελεστές των αγνώστων και οι αριθμοί b i (i = 1, 2,…, n ) είναι ελεύθεροι

μέλη.

Το σύστημα (1) μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας

AX=B,

όπου Α είναι ο πίνακας των συντελεστών για αγνώστους:

					a2 n
			ένα 1	ένα 1
	ένα 1				ένα 1

X – διάνυσμα στήλης αγνώστων X= (x1 , x2 , …, xn ) T :

Το B είναι ένα διάνυσμα στήλης ελεύθερων μελών:

β 2Β,

ή B = (b 1 ,b 2 ,...,b n )T .

2. Λειτουργίες μήτρας στο Excel

ΣΤΟ Το Excel για πράξεις με πίνακες είναι συναρτήσεις από την κατηγορία "Μαθηματικά":

1) MOPRED (μήτρας) - υπολογισμός της ορίζουσας του πίνακα, 2) MIN (μήτρας) - υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα, 3) MULT (μήτρας 1, μήτρας 2)είναι το γινόμενο των πινάκων, 4)TRANSP(μήτρας) είναι η μεταφορά του πίνακα.

Το πρώτο από αυτά λειτουργεί ως αποτέλεσμα επιστρέφει έναν αριθμό(ορίζουσα μήτρας), οπότε εισάγεται ως κανονικός τύπος (ENTER ).

Τα τρία τελευταία επιστρέφουν ένα μπλοκ κελιών, επομένως πρέπει να εισαχθούν ως τύποι πίνακα (CTRL+SHIFT+ENTER ).

Εξετάστε το πρόβλημα της επίλυσης SLAE χρησιμοποιώντας το ακόλουθο παράδειγμα

8x 1 2x 2 8x 3 24,

2x 1 2x 2 10x 3 48,

2x 1 4x 2 8x 3 18.

Ο πίνακας συντελεστών για άγνωστο Α (3) έχει τη μορφή

και το διάνυσμα στήλης των ελεύθερων όρων είναι (5)B = (–24, –48, 18)T .

Ας λύσουμε το SLAE (7) στο MS Excel με τρεις διαφορετικούς τρόπους.

Μέθοδος λύσης μήτρας (αντίστροφος πίνακας)

Και τα δύο μέρη της ισότητας του πίνακα (2) πολλαπλασιάζονται επί αντίστροφη μήτραΑ'1 . Παίρνουμε A -1 A X \u003d A -1 B. Από A -1 A \u003d E, όπου E - μήτρα ταυτότητας(διαγώνιος πίνακας με αυτούς κατά μήκος της κύριας διαγωνίου). Τότε η λύση του συστήματος (2) μπορεί να γραφτεί με την παρακάτω μορφή

MULTIP(μήτρας1, μήτρας2),τελειώνοντας σε κάθε περίπτωση με τον συνδυασμό

CTRL+SHIFT+ENTER.

Μέθοδος Cramer

Η λύση του SLAE βρίσκεται με τους τύπους του Cramer

	det A
		det A
	det A 2
		det A
	det A
	det A

όπου det A =A είναι η ορίζουσα του πίνακα (3) του συστήματος (κύρια ορίζουσα), detA i =A i (i = 1, 2, …, n ) είναι οι ορίζουσες των πινάκων A i (βοηθητικές ορίζουσες), που λαμβάνονται από το Α αντικαθιστώντας την i -η στήλη στη στήλη των ελεύθερων μελών Β (5).

Για το εξεταζόμενο SLAE (7), οι βοηθητικοί πίνακες έχουν την ακόλουθη μορφή

Α 148

Ας τα τοποθετήσουμε στο φύλλο εργασίας (Εικ. 1).

Ένας παρόμοιος τύπος (=MOPRED(A3:C5) ) για τον υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα Α γράφεται στο κελί Ε8. Μένει να βρεθεί λύση στο σύστημα. Σχετικό Τύποι Excelγράφουμε στο διάστημα λύσης Β7:Β9 (Εικ. 3), στο οποίο θα δούμε το αποτέλεσμα (Εικ. 4).

Προσέξτε το γεγονός (Εικ. 3) ότι κατά τον υπολογισμό του x i (i = 1, 2, 3)

αναλύεται η τιμή της ορίζουσας του πίνακα συστήματος Α , υπολογίζεται στο κελί E8, και αν είναι ίσο με μηδέν, τότε το κείμενο "Χωρίς λύση" τοποθετείται στο B7 και κενές γραμμές τοποθετούνται στα κελιά B8 και B9.

3. Επίλυση του SLAE χρησιμοποιώντας το εργαλείο Επίλυσης

Ευρεία τάξη καθήκοντα παραγωγήςείναι προβλήματα βελτιστοποίησης. Οι εργασίες βελτιστοποίησης περιλαμβάνουν την εύρεση των τιμών των ορισμάτων που παρέχουν τη συνάρτηση, η οποία ονομάζεται στόχος, ελάχιστο ή μέγιστη αξίαπαρουσία οποιουδήποτε πρόσθετους περιορισμούς. Το Excel διαθέτει ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης.

Είναι ένα πρόσθετο εργαλείο που ονομάζεται Solver

(προσβάσιμο μέσω του μενού Εργαλεία  Επίλυση ) .

Το πρόβλημα της επίλυσης SLAE μπορεί να περιοριστεί σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης.

Γιατί να πάρουμε μια από τις εξισώσεις (για παράδειγμα, την πρώτη) ως αντικειμενική λειτουργία, και τα υπόλοιπα n -1 θεωρούνται περιορισμοί.

Γράφουμε system(1) ως

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 10,

				a2 n xn
ένα 21x 1a 22x2
							b0.
	ν 1 1

Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να γραφτούν εκφράσεις (τύποι) για τον υπολογισμό των τιμών των συναρτήσεων στα αριστερά στις εξισώσεις του συστήματος (12). Για παράδειγμα, ας πάρουμε το διάστημα C7:C9 για αυτούς τους τύπους. Στο κελί C7, εισαγάγετε τον τύπο =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 και αντιγράψτε τον στα υπόλοιπα C8 και C9. =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 και =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5 αντίστοιχα.

Στο πλαίσιο διαλόγου Αναζήτηση λύσης (Εικ. 5), ορίστε τις παραμέτρους αναζήτησης (ορίστε το κελί-στόχο C7 ίσο με μηδέν, τη λύση στα μεταβλητά κελιά B7: B9, οι περιορισμοί ορίζονται από τύπους στα κελιά C8 και C9 ). Αφού κάνετε κλικ στο κουμπί Εκτέλεση

διάστημα B7:B9 παίρνουμε το αποτέλεσμα (Εικ. 6) - τη λύση του SLAE.

Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση οριζόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτό επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία λύσης.

Η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός συστήματος τόσων γραμμικών εξισώσεων όσες υπάρχουν άγνωστοι σε κάθε εξίσωση. Εάν η ορίζουσα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν, τότε η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λύση, εάν είναι ίση με μηδέν, τότε δεν μπορεί. Επιπλέον, η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων που έχουν μοναδική λύση.

Ορισμός. Η ορίζουσα, που αποτελείται από τους συντελεστές των αγνώστων, ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και συμβολίζεται με (δέλτα).

Καθοριστικές

λαμβάνονται αντικαθιστώντας τους συντελεστές στους αντίστοιχους αγνώστους με ελεύθερους όρους:

;

.

Θεώρημα Cramer. Αν η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μία μόνο λύση και ο άγνωστος είναι ίσος με τον λόγο των οριζόντων. Ο παρονομαστής είναι η ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής είναι η ορίζουσα που λαμβάνεται από την ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τους συντελεστές με τον άγνωστο με ελεύθερους όρους. Αυτό το θεώρημα ισχύει για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης.

Παράδειγμα 1Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων:

Σύμφωνα με Θεώρημα Cramerέχουμε:

Άρα, η λύση του συστήματος (2):

ηλεκτρονική αριθμομηχανή, αποφασιστική μέθοδοςΚράμερ.

Τρεις περιπτώσεις στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Όπως φαίνεται από Θεωρήματα Cramer, κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, μπορεί να προκύψουν τρεις περιπτώσεις:

Πρώτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση

(το σύστημα είναι συνεπές και συγκεκριμένο)

Δεύτερη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει αμέτρητοςαποφάσεις

(το σύστημα είναι συνεπές και απροσδιόριστο)

** ,

εκείνοι. οι συντελεστές των αγνώστων και των ελεύθερων όρων είναι ανάλογοι.

Τρίτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν έχει λύσεις

(σύστημα ασυνεπές)

Το σύστημα λοιπόν Μγραμμικές εξισώσεις με nμεταβλητές καλείται ασύμβατεςαν δεν έχει λύσεις, και άρθρωσηαν έχει τουλάχιστον μία λύση. σύστημα άρθρωσηςλέγονται εξισώσεις που έχουν μόνο μία λύση βέβαιος, και περισσότερα από ένα αβέβαιος.

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer

Αφήστε το σύστημα

.

Με βάση το θεώρημα του Cramer

………….
,

όπου
-

αναγνωριστικό συστήματος. Οι υπόλοιπες ορίζουσες λαμβάνονται αντικαθιστώντας τη στήλη με τους συντελεστές της αντίστοιχης μεταβλητής (άγνωστη) με ελεύθερα μέλη:

Παράδειγμα 2

.

Επομένως, το σύστημα είναι καθορισμένο. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες

Με τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, (1; 0; -1) είναι η μόνη λύση στο σύστημα.

Για να ελέγξετε τις λύσεις συστημάτων των εξισώσεων 3 Χ 3 και 4 Χ 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, τη μέθοδο επίλυσης Cramer.

Αν στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν υπάρχουν μεταβλητές σε μία ή περισσότερες εξισώσεις, τότε στην ορίζουσα τα στοιχεία που τους αντιστοιχούν είναι ίσα με μηδέν! Αυτό είναι το επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

.

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Κοιτάξτε προσεκτικά το σύστημα των εξισώσεων και την ορίζουσα του συστήματος και επαναλάβετε την απάντηση στο ερώτημα σε ποιες περιπτώσεις ένα ή περισσότερα στοιχεία της ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν. Άρα, η ορίζουσα δεν είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι οριστικό. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Με τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, η λύση του συστήματος είναι (2; -1; 1).

Για να ελέγξετε τις λύσεις συστημάτων των εξισώσεων 3 Χ 3 και 4 Χ 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, τη μέθοδο επίλυσης Cramer.

Αρχή σελίδας

Συνεχίζουμε να λύνουμε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer μαζί

Όπως ήδη αναφέρθηκε, αν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν και οι ορίζουσες για τους αγνώστους δεν είναι ίσες με μηδέν, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Ας το διευκρινίσουμε με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι είτε ασυνεπές και οριστικό, είτε ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Για να διευκρινίσουμε, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Οι ορίζουσες για τους αγνώστους δεν είναι ίσες με το μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις.

Για να ελέγξετε τις λύσεις συστημάτων των εξισώσεων 3 Χ 3 και 4 Χ 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, τη μέθοδο επίλυσης Cramer.

Σε προβλήματα σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων, υπάρχουν και εκείνα όπου, εκτός από τα γράμματα που δηλώνουν μεταβλητές, υπάρχουν και άλλα γράμματα. Αυτά τα γράμματα αντιπροσωπεύουν κάποιο αριθμό, τις περισσότερες φορές έναν πραγματικό αριθμό. Στην πράξη, τέτοιες εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων οδηγούν σε προβλήματα αναζήτησης κοινές ιδιότητεςοποιαδήποτε φαινόμενα ή αντικείμενα. Δηλαδή εφηύρατε κανένα νέο υλικόή μια συσκευή, και για να περιγράψουμε τις ιδιότητές της, που είναι κοινές ανεξάρτητα από το μέγεθος ή τον αριθμό των αντιγράφων, είναι απαραίτητο να λυθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπου αντί για κάποιους συντελεστές για μεταβλητές υπάρχουν γράμματα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε μακριά για παραδείγματα.

Το επόμενο παράδειγμα είναι για ένα παρόμοιο πρόβλημα, μόνο ο αριθμός των εξισώσεων, των μεταβλητών και των γραμμάτων που δηλώνουν κάποιο πραγματικό αριθμό αυξάνεται.

Παράδειγμα 8Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Εύρεση ορίζουσες για αγνώστους

» Μάθημα 15

Μάθημα 15

Μέθοδος Cramer

(SLN)
- αναγνωριστικό συστήματος
Εάν η ορίζουσα του SLE είναι μη μηδενική, τότε η λύση του συστήματος προσδιορίζεται μοναδικά από τους τύπους Cramer:
, , ()
όπου:

	Για να γίνει αυτό, στη στήλη όπου είναι η μεταβλητή x, και επομένως στην πρώτη στήλη, αντί για τους συντελεστές στο x, βάζουμε τους ελεύθερους συντελεστές, οι οποίοι στο σύστημα των εξισώσεων βρίσκονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων.
	Για να γίνει αυτό, στη στήλη όπου η μεταβλητή y είναι (2η στήλη), αντί για τους συντελεστές στο y, βάζουμε τους ελεύθερους συντελεστές, οι οποίοι στο σύστημα των εξισώσεων βρίσκονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων.
	Για να γίνει αυτό, στη στήλη όπου βρίσκεται η μεταβλητή z, που σημαίνει την τρίτη στήλη, αντί για τους συντελεστές στο z, βάζουμε τους ελεύθερους συντελεστές, οι οποίοι στο σύστημα εξισώσεων βρίσκονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων.

Ασκηση 1.Επίλυση SLE με τύπους Cramer στο Excel

Πρόοδος απόφασης

1. Γράφουμε την εξίσωση σε μορφή πίνακα:

2. Εισαγάγετε τους πίνακα A και B στο Excel.

3. Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα Α. Θα πρέπει να είναι ίση με 30.

4. Η ορίζουσα του συστήματος είναι διαφορετική από το μηδέν, επομένως - η λύση καθορίζεται μοναδικά από τους τύπους του Cramer.

5. Συμπληρώστε τις τιμές dX, dY, dZ στο φύλλο Excel (δείτε την παρακάτω εικόνα).

6. Για να υπολογίσετε τις τιμές dX, dY, dZ στα κελιά F8, F12, F16, πρέπει να εισαγάγετε μια συνάρτηση που υπολογίζει τον ορίζοντα dX, dY, dZ, αντίστοιχα.

7. Για να υπολογίσετε την τιμή του X στο κελί I8, πρέπει να εισαγάγετε τον τύπο =F8/B5 (σύμφωνα με τον τύπο του Cramer dX/|A|).

8. Εισαγάγετε τύπους για να υπολογίσετε μόνοι σας το Y και το Z.

Εργασία 2: βρείτε ανεξάρτητα τη λύση του SLE με τη μέθοδο Cramer:

οι τύποι του Cramer και μέθοδος μήτραςλύσεις συστημάτων γραμμικών εξισώσεων δεν έχουν μια σοβαρή Πρακτική εφαρμογη, δεδομένου ότι περιλαμβάνουν δυσκίνητους υπολογισμούς. Στην πράξη, η μέθοδος Gauss χρησιμοποιείται συχνότερα για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

Μέθοδος Gauss

Η διαδικασία λύσης Gauss αποτελείται από δύο βήματα.

1. Ίσιο κτύπημα:το σύστημα ανάγεται σε βαθμιδωτή (ιδίως τριγωνική) μορφή.

Για να λυθεί ένα σύστημα εξισώσεων, ο επαυξημένος πίνακας αυτού του συστήματος γράφεται

και πάνω από τις σειρές αυτού του πίνακα παράγουν στοιχειώδεις μεταμορφώσεις, φέρνοντάς το στη μορφή όταν τα μηδενικά θα βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο.
Επιτρέπεται η εκτέλεση στοιχειωδών μετασχηματισμών σε πίνακες.
Με τη βοήθεια αυτών των μετασχηματισμών, κάθε φορά λαμβάνεται ο επαυξημένος πίνακας νέο σύστημα, ισοδύναμο με το αρχικό, δηλ. ένα σύστημα του οποίου η λύση συμπίπτει με τη λύση του αρχικού συστήματος.

2. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ: υπάρχει ένας διαδοχικός προσδιορισμός αγνώστων από αυτό το σταδιακό σύστημα.

Παράδειγμα.Ρύθμιση συμβατότητας και επίλυση συστήματος

Λύση.
Απευθείας κίνηση:Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και ανταλλάξουμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά έτσι ώστε το στοιχείο να είναι ίσο με ένα (είναι πιο βολικό να εκτελούνται μετασχηματισμοί πίνακα με αυτόν τον τρόπο).



.

Εχουμε Οι τάξεις του πίνακα του συστήματος και του εκτεταμένου πίνακα του συνέπεσαν με τον αριθμό των αγνώστων. Σύμφωνα με το θεώρημα Kronecker-Capelli, το σύστημα των εξισώσεων είναι συνεπές και η επίλυσή του είναι μοναδική.
Αντίστροφη κίνηση:Ας γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων, τον διευρυμένο πίνακα του οποίου λάβαμε ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών:

Έχουμε λοιπόν.
Περαιτέρω, αντικαθιστώντας την τρίτη εξίσωση, βρίσκουμε .
Αντικαθιστώντας και στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε .
Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση που βρέθηκε παίρνουμε .
Έτσι, έχουμε μια λύση στο σύστημα.

Επίλυση SLE με τη μέθοδο Gauss στο Excel:

Το κείμενο θα σας ζητήσει να εισαγάγετε έναν τύπο της μορφής: (=A1:B3+$C$2:$C$3) στην περιοχή των κελιών, κ.λπ., αυτοί είναι οι λεγόμενοι "τύποι πίνακα". Microsoft Excelτο περικλείει αυτόματα σε σγουρά σιδεράκια (( )). Για να εισαγάγετε αυτόν τον τύπο τύπου, επιλέξτε ολόκληρη την περιοχή όπου θέλετε να εισαγάγετε τον τύπο, εισαγάγετε τον τύπο χωρίς σγουρές αγκύλες στο πρώτο κελί (για το παραπάνω παράδειγμα - =A1:B3+$C$2:$C$3) και πατήστε Ctrl +Shift+Enter.
Ας έχουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

1. Ας γράψουμε τους συντελεστές του συστήματος εξισώσεων στα κελιά Α1:Δ4 και τη στήλη των ελεύθερων όρων στα κελιά Ε1:Ε4. Αν σε κελίΑ'1είναι 0, πρέπει να αλλάξετε τις σειρές έτσι ώστε αυτό το κελί να έχει μη μηδενική τιμή. Για μεγαλύτερη σαφήνεια, μπορείτε να προσθέσετε ένα γέμισμα στα κελιά στα οποία βρίσκονται τα ελεύθερα μέλη.

2. Είναι απαραίτητο να μειωθεί ο συντελεστής στο x1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη σε 0. Αρχικά, ας το κάνουμε αυτό για τη δεύτερη εξίσωση. Αντιγράψτε την πρώτη γραμμή στα κελιά A6:E6 χωρίς αλλαγές, στα κελιά A7:E7 πρέπει να εισαγάγετε τον τύπο: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Έτσι, αφαιρούμε την πρώτη σειρά από τη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη με A2/$A$1, δηλ. ο λόγος των πρώτων συντελεστών της δεύτερης και της πρώτης εξίσωσης. Για τη διευκόλυνση της συμπλήρωσης των γραμμών 8 και 9, οι αναφορές στα κελιά της πρώτης γραμμής πρέπει να είναι απόλυτες (χρησιμοποιούμε το σύμβολο $).

3. Αντιγράφουμε τον εισαγόμενο τύπο στις γραμμές 8 και 9, απαλλαγούμε έτσι από τους συντελεστές μπροστά από το x1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη.

4. Τώρα ας φέρουμε τους συντελεστές μπροστά από το x2 στην τρίτη και τέταρτη εξίσωση στο 0. Για να το κάνετε αυτό, αντιγράψτε τις προκύπτουσες 6η και 7η σειρές (μόνο τιμές) στις σειρές 11 και 12 και στα κελιά A13:E13 εισαγάγετε τον τύπο (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), το οποίο στη συνέχεια αντιγράφουμε στα κελιά A14:E14. Έτσι, πραγματοποιείται η διαφορά των σειρών 8 και 7, πολλαπλασιαζόμενη με τον συντελεστή B8/$B$7. .

5. Απομένει να φέρουμε τον συντελεστή x3 στην τέταρτη εξίσωση στο 0, για αυτό θα κάνουμε πάλι το ίδιο: αντιγράψτε τις προκύπτουσες 11η, 12η και 13η σειρές (μόνο τιμές) στις σειρές 16-18 και εισάγετε τον τύπο ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Έτσι, πραγματοποιείται η διαφορά μεταξύ των σειρών 14 και 13, πολλαπλασιαζόμενη με τον συντελεστή C14/$C$13. Μην ξεχάσετε να μεταθέσετε τις γραμμές για να απαλλαγείτε από το 0 στον παρονομαστή του κλάσματος.

6. Ολοκληρώθηκε η σάρωση Gaussian προς τα εμπρός. Ας ξεκινήσουμε την αντίστροφη σειρά από την τελευταία σειρά του πίνακα που προκύπτει. Είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε όλα τα στοιχεία της τελευταίας σειράς με τον συντελεστή x4. Για να γίνει αυτό, στη γραμμή 24 εισάγουμε τον τύπο (=A19:E19/D19).

7. Ας φέρουμε όλες τις γραμμές σε μια παρόμοια φόρμα, για αυτό συμπληρώνουμε τις γραμμές 23, 22, 21 με τους ακόλουθους τύπους:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - αφαιρούμε την τέταρτη σειρά πολλαπλασιασμένη με τον συντελεστή x4 της τρίτης σειράς από την τρίτη σειρά.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – αφαιρέστε την τρίτη και την τέταρτη γραμμή από τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με τους αντίστοιχους συντελεστές.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – αφαιρέστε τη δεύτερη, την τρίτη και την τέταρτη από την πρώτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενοι με τους αντίστοιχους συντελεστές.

Το αποτέλεσμα (οι ρίζες της εξίσωσης) υπολογίζεται στα κελιά E21:E24.

Συντάκτης: Saliy N.A.

Το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί επίσης να λυθεί χρησιμοποιώντας πρόσθετο "Αναζήτηση λύσης".Όταν χρησιμοποιείτε αυτό το πρόσθετο, δημιουργείται μια ακολουθία προσεγγίσεων , i=0,1,…n.

Ας καλέσουμε υπολειπόμενο διάνυσμα επόμενο διάνυσμα:

Εργασία Excelείναι να βρείτε μια τέτοια προσέγγιση , στην οποία το υπολειπόμενο διάνυσμα θα γινόταν μηδέν, δηλ. για να επιτευχθεί η σύμπτωση των τιμών του δεξιού και του αριστερού τμήματος του συστήματος.

Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη το SLAE (3.27).

Αλληλουχία:

1. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.4. Ας εισάγουμε τους συντελεστές του συστήματος (πίνακας Α) στα κελιά A3:C5.

Εικ.3.4. Επίλυση SLAE χρησιμοποιώντας το πρόσθετο "Αναζήτηση λύσης"

2. Στα κελιά A8:C8 θα σχηματιστεί η λύση του συστήματος (x 1, x 2, x 3). Αρχικά παραμένουν άδεια, δηλ. μηδέν. Στη συνέχεια, θα τους καλέσουμε αλλάζοντας κύτταρα.. Ωστόσο, για να ελέγξετε την ορθότητα των τύπων που εισάγονται παρακάτω, είναι βολικό να εισάγετε οποιεσδήποτε τιμές σε αυτά τα κελιά, για παράδειγμα, μονάδες. Αυτές οι τιμές μπορούν να θεωρηθούν ως μηδενική προσέγγιση της λύσης του συστήματος, = (1, 1, 1).

3. Στη στήλη Δ εισάγουμε εκφράσεις για τον υπολογισμό των αριστερών τμημάτων του αρχικού συστήματος. Για να το κάνετε αυτό, στο κελί D3, πληκτρολογήστε και, στη συνέχεια, αντιγράψτε τον τύπο μέχρι το τέλος του πίνακα:

D3=SUMPRODUCT(A3:C3;$A$8:$C$8).

Λειτουργία που χρησιμοποιείται SUMPRODUCTανήκει στην κατηγορία Μαθηματικός.

4. Στη στήλη Ε σημειώνουμε τις τιμές των δεξιών τμημάτων του συστήματος (μήτρας Β).

5. Στη στήλη ΣΤ εισάγουμε υπολείμματα σύμφωνα με τον τύπο (3.29), δηλ. εισάγετε τον τύπο F3=D3-E3 και αντιγράψτε τον μέχρι το τέλος του πίνακα.

6. Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε την ορθότητα των υπολογισμών για την περίπτωση = (1, 1, 1).

7. Επιλέξτε μια ομάδα Data\Analysis\Αναζήτηση λύσης.

Ρύζι. 3.5. Παράθυρο πρόσθετου επίλυσης

Στο παράθυρο Εύρεση λύσης(εικ.3.5) στο χωράφι Μεταβλητά κελιάκαθορίστε ένα μπλοκ $A$8:$C$8,και στο χωράφι Περιορισμοί – $F$3:$F$5=0. Στη συνέχεια, κάντε κλικ στο κουμπί Προσθήκηκαι να εισαγάγετε αυτούς τους περιορισμούς. Και μετά το κουμπί Τρέξιμο

Η προκύπτουσα λύση συστημάτων (3.28) Χ 1 = 1; Χ 2 = –1Χ 3 = 2 γράφεται στα κελιά A8:C8, Εικ.3.4.

Εφαρμογή της μεθόδου Jacobi με χρήση MS Excel

Ως παράδειγμα, θεωρήστε το σύστημα των εξισώσεων (3.19), η λύση του οποίου λήφθηκε παραπάνω με τη μέθοδο Jacobi (Παράδειγμα 3.2)

Ας φέρουμε αυτό το σύστημα σε κανονική μορφή:

Αλληλουχία

1. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα, όπως φαίνεται στο Σχ. 3.6.:

Εισάγουμε πίνακες και (3.15) στα κελιά B6:E8.

Εννοια μι– στο Η5.

Αριθμός επανάληψης κθα σχηματίσουμε στη στήλη Α του πίνακα χρησιμοποιώντας την αυτόματη συμπλήρωση.

Ως μηδενική προσέγγιση, επιλέγουμε το διάνυσμα

= (0, 0, 0) και καταχωρίστε το στα κελιά B11:D11.

2. Χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις (3.29), στα κελιά B12:D12 γράφουμε τύπους για τον υπολογισμό της πρώτης προσέγγισης:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

Αυτοί οι τύποι μπορούν να γραφτούν διαφορετικά χρησιμοποιώντας Λειτουργία Excel SUMPRODUCT

Στο κελί E12, εισαγάγετε τον τύπο: E12=ABS(B11-B12) και αντιγράψτε τον στα δεξιά, στα κελιά F12:G12.

Εικ.3.6. Σχέδιο επίλυσης SLAE με τη μέθοδο Jacobi

3. Στο κελί H12, εισαγάγετε τον τύπο για τον υπολογισμό M(k) ,χρησιμοποιώντας έκφραση (3.18): H12 = MAX(E12:G12). Η λειτουργία MAX είναι στην κατηγορία στατιστικός.

4. Επιλέξτε τα κελιά B12:H12 και αντιγράψτε τα μέχρι το τέλος του πίνακα. Έτσι, παίρνουμε κπροσεγγίσεις της λύσης SLAE.

5. Προσδιορίστε την κατά προσέγγιση λύση του συστήματος και τον αριθμό των επαναλήψεων που απαιτούνται για να επιτευχθεί η δεδομένη ακρίβεια μι.

Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τον βαθμό εγγύτητας δύο γειτονικών επαναλήψεων χρησιμοποιώντας τον τύπο (3.18). Ας χρησιμοποιήσουμε Μορφοποίηση υπό όρουςστα κελιά της στήλης.

Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας μορφοποίησης είναι ορατό στην Εικόνα 3.6. Τα κελιά της στήλης H των οποίων οι τιμές ικανοποιούν την συνθήκη (3.18), δηλ. πιο λιγο μι=0,1, φιμέ.

Αναλύοντας τα αποτελέσματα, παίρνουμε την τέταρτη επανάληψη ως κατά προσέγγιση λύση του αρχικού συστήματος με δεδομένη ακρίβεια e=0,1, δηλ.

Εξερεύνηση φύση της επαναληπτικής διαδικασίας. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε ένα μπλοκ κελιών A10:D20 και, χρησιμοποιώντας κύριος διαγράμματος,θα δημιουργήσουμε γραφήματα αλλαγών σε κάθε συστατικό του διανύσματος λύσης ανάλογα με τον αριθμό επανάληψης,

Τα γραφήματα που εμφανίζονται (Εικ. 3.7) επιβεβαιώνουν τη σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας.

Ρύζι. 3.7. Απεικόνιση μιας συγκλίνουσας επαναληπτικής διαδικασίας

Αλλαγή της τιμής μιστο κελί H5, λαμβάνουμε μια νέα κατά προσέγγιση λύση του αρχικού συστήματος με νέα ακρίβεια.

Εφαρμογή της μεθόδου σάρωσης χρησιμοποιώντας το Excel

Σκεφτείτε τη λύση επόμενο σύστημαγραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις με τη μέθοδο «sweep» χρησιμοποιώντας πίνακες προέχω.

Διανύσματα:

Αλληλουχία

1. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.8. Τα αρχικά δεδομένα του εκτεταμένου πίνακα του συστήματος (3.30), δηλ. οι φορείς θα εισαχθούν στα κελιά B5:E10.

2. Σχετικά με τις αγωνιστικές αποδόσεις U 0 =0 και V 0 =0εισέρχονται στα κύτταρα G4 και H4, αντίστοιχα.

3. Υπολογίστε τους συντελεστές σάρωσης L i, U i, V i. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε στα κελιά F5, G5, H5 L 1 , U 1 , V 1. με τον τύπο (3.8). Για να γίνει αυτό, εισάγουμε τους τύπους:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5 και, στη συνέχεια, αντιγράψτε τα.

Εικ.3.8. Σχέδιο σχεδίασης της μεθόδου "sweep".

4. Στο κελί Ι10 υπολογίζουμε x6με τύπο (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. Με τον τύπο (3.7), υπολογίζουμε όλους τους άλλους άγνωστους x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1 .Για να γίνει αυτό, στο κελί I9 υπολογίζουμε x5με τον τύπο (3.6): I9=G9*I10+H9. Και μετά αντιγράψτε αυτόν τον τύπο.

ερωτήσεις δοκιμής

1. Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Ποια είναι η λύση του SLAE. Όταν υπάρχει μια μοναδική λύση SLAE.

2. γενικά χαρακτηριστικάάμεσες (ακριβείς) μέθοδοι επίλυσης SLAE. Μέθοδοι και σαρώσεις Gauss.

3. Γενικά χαρακτηριστικά επαναληπτικές μεθόδουςΛύσεις SLAU. Μέθοδοι Jacobi ( απλές επαναλήψεις) και Gauss-Seidel.

4. Προϋποθέσεις για τη σύγκλιση επαναληπτικών διεργασιών.

5. Τι εννοείται με τους όρους της αιρεσιμότητας των εργασιών και των υπολογισμών, την ορθότητα του προβλήματος επίλυσης SLAE.

Κεφάλαιο 4

Αριθμητική ολοκλήρωση

Όταν κάποιος επιλύει ένα αρκετά μεγάλο φάσμα τεχνικών προβλημάτων, πρέπει να αντιμετωπίσει την ανάγκη υπολογισμού οριστικό ολοκλήρωμα:

υπολογισμός περιοχές, οριοθετημένο από καμπύλες, δουλειά, ροπές αδράνειας, πολλαπλασιασμός διαγραμμάτωνσύμφωνα με τον τύπο του Mohr κ.λπ. ανάγεται στον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

Αν συνεχίζεται στο διάστημα [ α, β] λειτουργία y = f(x)έχει ένα αντιπαράγωγο σε αυτό το τμήμα F(x), δηλ. F' (x) = f(x), τότε το ολοκλήρωμα (4.1) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

Ωστόσο, μόνο για μια στενή κατηγορία συναρτήσεων y=f(x)αντιπαράγωγο F(x)μπορεί να εκφραστεί σε στοιχειώδεις λειτουργίες. Επιπλέον, η λειτουργία y=f(x)μπορεί να καθοριστεί γραφικά ή πίνακα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρησιμοποιούνται διάφοροι τύποι για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό των ολοκληρωμάτων.

Τέτοιοι τύποι ονομάζονται τύπους ή τύπους τετραγωνισμού αριθμητική ολοκλήρωση.

Οι τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης απεικονίζονται καλά γραφικά. Είναι γνωστό ότι η τιμή του οριστικού ολοκληρώματος (4.1) αναλογικάη περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που σχηματίζεται από το ολοκλήρωμα y=f(x), ευθεία x=a και x=b,άξονας OH(εικ.4.1).

Το πρόβλημα του υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος (4.1) αντικαθίσταται από το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού αυτού του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. Ωστόσο, το πρόβλημα της εύρεσης της περιοχής ενός καμπυλόγραμμου δεν είναι απλό.

Εξ ου και η ιδέα της αριθμητικής ολοκλήρωσης θα είναι στην αντικατάσταση ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς με ένα σχήμα, το εμβαδόν του οποίου υπολογίζεται πολύ απλά.

y=f(x)

y

Χ

xi

xi+1

xn=b

xo=a

Σι

Εικ.4.1. Γεωμετρική ερμηνεία αριθμητικής ολοκλήρωσης

Για αυτό, το διάστημα ολοκλήρωσης [ α, β] χωρίζεται σε nίσος στοιχειώδη τμήματα (i=0, 1, 2, …..,n-1),βήμα βήμα h=(b-a)/n.Εν καμπυλόγραμμο τραπεζοειδέςθα διαρρήξει n στοιχειώδη καμπυλόγραμμα τραπεζοειδήμε βάσεις ίσες η(εικ.4.1).

Κάθε στοιχειώδες καμπυλόγραμμο τραπέζιο αντικαθίσταται από ένα σχήμα, το εμβαδόν του οποίου υπολογίζεται πολύ απλά. Ας ορίσουμε αυτή την περιοχή Σι.Το άθροισμα όλων αυτών των περιοχών ονομάζεται αναπόσπαστο άθροισμακαι υπολογίζεται με τον τύπο

Τότε ο κατά προσέγγιση τύπος για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος (4.1) έχει τη μορφή

Η ακρίβεια του υπολογισμού με τον τύπο (4.4) εξαρτάται από το βήμα η, δηλ. σχετικά με τον αριθμό των κατατμήσεων n.Με την αύξηση nτο ολοκληρωτικό άθροισμα προσεγγίζει την ακριβή τιμή του ολοκληρώματος

Αυτό φαίνεται καλά στο Σχήμα 4.2.

Εικ.4.2. Η εξάρτηση της ακρίβειας του υπολογισμού του ολοκληρώματος

σχετικά με τον αριθμό των κατατμήσεων

Στα μαθηματικά αποδεικνύεται Θεώρημα: αν η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής στο , τότε το όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος b n υπάρχει και δεν εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο το τμήμα χωρίζεται σε στοιχειώδη τμήματα.

Ο τύπος (4.4) μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν ο βαθμός ακρίβειας του προσεγγίσεις.Υπάρχουν διάφοροι τύποι για την εκτίμηση του σφάλματος έκφρασης (4.4), αλλά, κατά κανόνα, είναι μάλλον περίπλοκοι. Θα εκτιμήσουμε την ακρίβεια της προσέγγισης (4.4) με τη μέθοδο μισό βήμα.