Τι είναι ένα μονώνυμο σε τυπική μορφή. Ορισμός μονωνύμου, σχετικές έννοιες, παραδείγματα

Σε αυτό το μάθημα, θα δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό του μονωνύμου, σκεφτείτε διάφορα παραδείγματααπό το σχολικό βιβλίο. Θυμηθείτε τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με τους ίδιους λόγους. Ας δώσουμε έναν ορισμό της τυπικής μορφής ενός μονωνύμου, του συντελεστή ενός μονωνύμου και του κυριολεκτικού μέρους του. Ας εξετάσουμε δύο βασικές τυπικές πράξεις σε μονώνυμα, δηλαδή, αναγωγή στην τυπική μορφή και υπολογισμό μιας συγκεκριμένης αριθμητικής τιμής ενός μονωνύμου για σημεία ρύθμισηςτις κυριολεκτικές μεταβλητές του. Ας διατυπώσουμε τον κανόνα για την αναγωγή του μονωνύμου στην τυπική μορφή. Ας μάθουμε να αποφασίζουμε τυπικές εργασίεςμε τυχόν μονώνυμα.

Θέμα:μονοώνυμα. Αριθμητικές πράξεις σε μονώνυμα

Μάθημα:Η έννοια του μονωνύμου. Τυπική μορφή μονωνύμου

Εξετάστε μερικά παραδείγματα:

3. ;

Ας βρούμε κοινά χαρακτηριστικάγια τις δοσμένες εκφράσεις. Και στις τρεις περιπτώσεις, η έκφραση είναι το γινόμενο αριθμών και μεταβλητών που ανεβαίνουν σε δύναμη. Με βάση αυτό δίνουμε ορισμός μονωνύμου : ένα μονώνυμο λέγεται τέτοιο αλγεβρική παράσταση, που αποτελείται από το γινόμενο δυνάμεων και αριθμών.

Τώρα δίνουμε παραδείγματα εκφράσεων που δεν είναι μονώνυμα:

Ας βρούμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των εκφράσεων και των προηγούμενων. Συνίσταται στο ότι στα παραδείγματα 4-7 υπάρχουν πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης ή διαίρεσης, ενώ στα παραδείγματα 1-3, που είναι μονώνυμα, αυτές οι πράξεις δεν είναι.

Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα:

Η έκφραση αριθμός 8 είναι μονώνυμο, αφού είναι το γινόμενο μιας δύναμης και ενός αριθμού, ενώ το παράδειγμα 9 δεν είναι μονώνυμο.

Τώρα ας μάθουμε δράσεις στα μονώνυμα .

1. Απλοποίηση. Εξετάστε το παράδειγμα #3 ;και παράδειγμα #2 /

Στο δεύτερο παράδειγμα, βλέπουμε μόνο έναν συντελεστή - , κάθε μεταβλητή εμφανίζεται μόνο μία φορά, δηλαδή η μεταβλητή " ένα" αναπαρίσταται σε μία μόνο περίπτωση, ως "", ομοίως, οι μεταβλητές "" και "" εμφανίζονται μόνο μία φορά.

Στο παράδειγμα Νο. 3, αντίθετα, υπάρχουν δύο διαφορετικοί συντελεστές - και , βλέπουμε τη μεταβλητή "" δύο φορές - ως "" και ως "", ομοίως, η μεταβλητή "" εμφανίζεται δύο φορές. Δηλαδή, αυτή η έκφραση θα πρέπει να απλοποιηθεί, έτσι φτάνουμε στο η πρώτη ενέργεια που εκτελείται στα μονώνυμα είναι να φέρει το μονώνυμο στην τυπική μορφή . Για να γίνει αυτό, φέρνουμε την έκφραση από το Παράδειγμα 3 στην τυπική φόρμα, μετά ορίζουμε αυτήν τη λειτουργία και μαθαίνουμε πώς να φέρουμε οποιοδήποτε μονώνυμο στην τυπική φόρμα.

Σκεφτείτε λοιπόν ένα παράδειγμα:

Το πρώτο βήμα στη λειτουργία τυποποίησης είναι πάντα ο πολλαπλασιασμός όλων των αριθμητικών παραγόντων:

;

Αποτέλεσμα αυτή η ενέργειαθα κληθεί μονωνικός συντελεστής .

Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους βαθμούς. Πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς της μεταβλητής " Χ"σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, ο οποίος δηλώνει ότι όταν πολλαπλασιάζονται, οι εκθέτες αθροίζονται:

Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε τις δυνάμεις στο»:

;

Ακολουθεί λοιπόν μια απλοποιημένη έκφραση:

;

Οποιοδήποτε μονώνυμο μπορεί να αναχθεί σε τυπική μορφή. Ας διατυπώσουμε κανόνα τυποποίησης :

Πολλαπλασιάστε όλους τους αριθμητικούς παράγοντες.

Βάλτε τον συντελεστή που προκύπτει στην πρώτη θέση.

Πολλαπλασιάστε όλους τους βαθμούς, δηλαδή, λάβετε το μέρος του γράμματος.

Δηλαδή, κάθε μονώνυμο χαρακτηρίζεται από έναν συντελεστή και ένα γράμμα. Κοιτάζοντας μπροστά, σημειώνουμε ότι τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο γράμμα ονομάζονται παρόμοια.

Τώρα πρέπει να κερδίσετε τεχνική για την αναγωγή μονοωνύμων σε τυπική μορφή . Εξετάστε παραδείγματα από το σχολικό βιβλίο:

Εργασία: φέρτε το μονώνυμο στην τυπική φόρμα, ονομάστε τον συντελεστή και το γράμμα.

Για να ολοκληρώσουμε την εργασία, χρησιμοποιούμε τον κανόνα να φέρουμε το μονώνυμο στην τυπική μορφή και τις ιδιότητες των μοιρών.

1. ;

3. ;

Σχόλια στο πρώτο παράδειγμα: Αρχικά, ας προσδιορίσουμε αν αυτή η έκφραση είναι πραγματικά μονώνυμο, γι' αυτό ελέγχουμε αν περιέχει πράξεις πολλαπλασιασμού αριθμών και δυνάμεων και αν περιέχει πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης ή διαίρεσης. Μπορούμε να πούμε ότι αυτή η έκφραση είναι μονώνυμο, αφού η παραπάνω συνθήκη ικανοποιείται. Περαιτέρω, σύμφωνα με τον κανόνα να φέρουμε το μονώνυμο στην τυπική μορφή, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητικούς παράγοντες:

- βρήκαμε τον συντελεστή του δεδομένου μονωνύμου.

; ; ; δηλαδή λαμβάνεται το κυριολεκτικό μέρος της έκφρασης:;

γράψε την απάντηση: ;

Σχόλια για το δεύτερο παράδειγμα: Ακολουθώντας τον κανόνα, εκτελούμε:

1) πολλαπλασιάστε τους αριθμητικούς παράγοντες:

2) πολλαπλασιάστε τις δυνάμεις:

Οι μεταβλητές και παρουσιάζονται σε ένα μόνο αντίγραφο, δηλαδή δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τίποτα, ξαναγράφονται χωρίς αλλαγές, ο βαθμός πολλαπλασιάζεται:

γράψε την απάντηση:

;

ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαμονωνικός συντελεστής ίσο με ένα, και το κυριολεκτικό μέρος .

Σχόλια για το τρίτο παράδειγμα: αΌπως και στα προηγούμενα παραδείγματα, εκτελούμε τις ακόλουθες ενέργειες:

1) πολλαπλασιάστε τους αριθμητικούς παράγοντες:

;

2) πολλαπλασιάστε τις δυνάμεις:

;

γράψε την απάντηση: ;

ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηο συντελεστής του μονωνύμου είναι "", και το κυριολεκτικό μέρος .

Τώρα σκεφτείτε δεύτερη τυπική λειτουργία σε μονοώνυμα . Δεδομένου ότι ένα μονώνυμο είναι μια αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από κυριολεκτικές μεταβλητές που μπορούν να λάβουν συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές, τότε έχουμε την αριθμητική αριθμητική παράσταση, το οποίο θα πρέπει να υπολογιστεί. Δηλαδή, η ακόλουθη πράξη στα πολυώνυμα είναι τον υπολογισμό της συγκεκριμένης αριθμητικής τους τιμής .

Εξετάστε ένα παράδειγμα. Δίνεται το μονώνυμο:

αυτό το μονώνυμο έχει ήδη μειωθεί σε τυπική μορφή, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα και το κυριολεκτικό μέρος

Προηγουμένως είπαμε ότι μια αλγεβρική παράσταση δεν μπορεί πάντα να υπολογιστεί, δηλαδή οι μεταβλητές που μπαίνουν σε αυτήν μπορεί να μην παίρνουν καμία τιμή. Στην περίπτωση ενός μονωνύμου, οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται σε αυτό μπορεί να είναι οποιεσδήποτε, αυτό είναι χαρακτηριστικό του μονωνύμου.

Έτσι μέσα δεδομένο παράδειγμααπαιτείται να υπολογιστεί η τιμή του μονωνύμου στο , , , .

Τα μονοώνυμα είναι ένας από τους κύριους τύπους εκφράσεων που μελετώνται εντός σχολικό μάθημαάλγεβρα. Σε αυτό το υλικό, θα σας πούμε ποιες είναι αυτές οι εκφράσεις, θα ορίσουμε την τυπική τους μορφή και θα δείξουμε παραδείγματα, καθώς και θα ασχοληθούμε με σχετικές έννοιες, όπως ο βαθμός ενός μονωνύμου και ο συντελεστής του.

Τι είναι ένα μονώνυμο

Τα σχολικά εγχειρίδια δίνουν συνήθως τον ακόλουθο ορισμό αυτής της έννοιας:

Ορισμός 1

Τα μονομερή περιλαμβάνουναριθμοί, μεταβλητές, καθώς και οι βαθμοί τους με φυσικός δείκτηςκαι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙέργα φτιαγμένα από αυτά.

Με βάση αυτόν τον ορισμό, μπορούμε να δώσουμε παραδείγματα τέτοιων εκφράσεων. Έτσι, όλοι οι αριθμοί 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 θα αναφέρονται σε μονώνυμα. Όλες οι μεταβλητές, για παράδειγμα, x , a , b , p , q , t , y , z θα είναι επίσης μονώνυμα εξ ορισμού. Αυτό περιλαμβάνει επίσης τις δυνάμεις των μεταβλητών και των αριθμών, για παράδειγμα, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 και t 15, καθώς και εκφράσεις όπως 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z κ.λπ. Λάβετε υπόψη ότι ένα μονώνυμο μπορεί να περιλαμβάνει είτε έναν αριθμό ή μεταβλητή, είτε πολλές και μπορούν να αναφέρονται πολλές φορές ως μέρος ενός πολυωνύμου.

Τέτοιοι τύποι αριθμών όπως ακέραιοι, ορθολογικοί, φυσικοί ανήκουν επίσης σε μονώνυμα. Μπορεί επίσης να περιλαμβάνει πραγματικές και μιγαδικοί αριθμοί. Έτσι, εκφράσεις όπως 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 θα είναι επίσης μονώνυμα.

Ποια είναι η τυπική μορφή ενός μονωνύμου και πώς να μετατρέψετε μια έκφραση σε αυτό

Για ευκολία της εργασίας, όλα τα μονώνυμα αρχικά μειώνονται σε μια ειδική μορφή, που ονομάζεται τυπική. Ας γίνουμε συγκεκριμένοι για το τι σημαίνει αυτό.

Ορισμός 2

Η τυπική μορφή του μονωνύμουονομάστε το μια τέτοια μορφή στην οποία είναι το γινόμενο ενός αριθμητικού παράγοντα και φυσικούς βαθμούςδιαφορετικές μεταβλητές. Ο αριθμητικός παράγοντας, που ονομάζεται επίσης μονωνυμικός συντελεστής, γράφεται συνήθως πρώτα από την αριστερή πλευρά.

Για λόγους σαφήνειας, επιλέγουμε πολλά μονώνυμα της τυπικής μορφής: 6 (αυτό είναι μονώνυμο χωρίς μεταβλητές), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Αυτό περιλαμβάνει επίσης την έκφραση x y(εδώ ο συντελεστής θα είναι ίσος με 1), − x 3(εδώ ο συντελεστής είναι - 1).

Τώρα δίνουμε παραδείγματα μονωνύμων που πρέπει να τεθούν σε τυπική μορφή: 4 α α 2 α 3(εδώ πρέπει να συνδυάσετε τις ίδιες μεταβλητές), 5 x (− 1) 3 y 2(εδώ πρέπει να συνδυάσετε τους αριθμητικούς παράγοντες στα αριστερά).

Συνήθως, στην περίπτωση που ένα μονώνυμο έχει πολλές μεταβλητές γραμμένες με γράμματα, οι συντελεστές γραμμάτων γράφονται με αλφαβητική σειρά. Για παράδειγμα, η προτιμώμενη καταχώρηση 6 a b 4 c z 2, πως b 4 6 a z 2 c. Ωστόσο, η σειρά μπορεί να είναι διαφορετική εάν το απαιτεί ο σκοπός του υπολογισμού.

Οποιοδήποτε μονώνυμο μπορεί να αναχθεί σε τυπική μορφή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκτελέσετε όλους τους απαραίτητους ίδιους μετασχηματισμούς.

Η έννοια του βαθμού ενός μονωνύμου

Η συνοδευτική έννοια του βαθμού ενός μονωνύμου είναι πολύ σημαντική. Ας γράψουμε τον ορισμό αυτής της έννοιας.

Ορισμός 3

Βαθμός μονωνύμουκαταγράφηκε σε τυποποιημένη μορφή, είναι το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών που περιλαμβάνονται στην καταχώρισή του. Εάν δεν υπάρχει ούτε μία μεταβλητή σε αυτό και το ίδιο το μονώνυμο είναι διαφορετικό από το 0, τότε ο βαθμός του θα είναι μηδέν.

Ας δώσουμε παραδείγματα των βαθμών του μονωνύμου.

Παράδειγμα 1

Άρα, το μονώνυμο a έχει βαθμό 1 γιατί a = a 1 . Αν έχουμε μονώνυμο 7 , τότε θα έχει μηδενικό βαθμό, αφού δεν έχει μεταβλητές και είναι διαφορετικό από το 0 . Και εδώ είναι η είσοδος 7 a 2 x y 3 a 2θα είναι μονώνυμο του 8ου βαθμού, επειδή το άθροισμα των εκθετών όλων των βαθμών των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό θα είναι ίσο με 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Το τυποποιημένο μονώνυμο και το αρχικό πολυώνυμο θα έχουν τον ίδιο βαθμό.

Παράδειγμα 2

Ας δείξουμε πώς υπολογίζεται ο βαθμός ενός μονωνύμου 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Σε τυπική μορφή, μπορεί να γραφτεί ως − 6 x 8 y 4. Υπολογίζουμε το βαθμό: 8 + 4 = 12 . Επομένως, ο βαθμός του αρχικού πολυωνύμου είναι επίσης ίσος με 12 .

Η έννοια του μονωνικού συντελεστή

Εάν έχουμε ένα τυποποιημένο μονώνυμο που περιλαμβάνει τουλάχιστον μία μεταβλητή, τότε μιλάμε για αυτό ως γινόμενο με έναν αριθμητικό παράγοντα. Αυτός ο παράγοντας ονομάζεται αριθμητικός συντελεστής ή μονωνυμικός συντελεστής. Ας γράψουμε τον ορισμό.

Ορισμός 4

Ο συντελεστής ενός μονωνύμου είναι ο αριθμητικός παράγοντας ενός μονωνύμου που ανάγεται σε τυπική μορφή.

Πάρτε, για παράδειγμα, τους συντελεστές διαφόρων μονωνύμων.

Παράδειγμα 3

Έτσι, στην έκφραση 8 σε 3ο συντελεστής θα είναι ο αριθμός 8, και μέσα (− 2 , 3) ​​x y zΑυτοί θα − 2 , 3 .

Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στις αναλογίες ίσο με ένακαι μείον ένα. Κατά κανόνα, δεν αναφέρονται ρητά. Πιστεύεται ότι σε ένα μονώνυμο της τυπικής μορφής, στο οποίο δεν υπάρχει αριθμητικός παράγοντας, ο συντελεστής είναι 1, για παράδειγμα, στις εκφράσεις a, x z 3, a t x, αφού μπορούν να θεωρηθούν ως 1 a, x z 3 - πως 1 x z 3και τα λοιπά.

Ομοίως, σε μονώνυμα που δεν έχουν αριθμητικό παράγοντα και αρχίζουν με αρνητικό πρόσημο, μπορούμε να θεωρήσουμε τον συντελεστή - 1.

Παράδειγμα 4

Για παράδειγμα, οι παραστάσεις − x, − x 3 y z 3 θα έχουν τέτοιο συντελεστή, αφού μπορούν να παρασταθούν ως − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 κ.λπ.

Εάν ένα μονώνυμο δεν έχει καθόλου κυριολεκτικό πολλαπλασιαστή, τότε είναι δυνατόν να μιλήσουμε για συντελεστή και σε αυτή την περίπτωση. Οι συντελεστές τέτοιων μονωνύμων-αριθμών θα είναι αυτοί οι ίδιοι οι αριθμοί. Έτσι, για παράδειγμα, ο συντελεστής του μονωνύμου 9 θα είναι ίσος με 9.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Βαθμός μονωνύμου

Για ένα μονώνυμο υπάρχει η έννοια του βαθμού του. Ας καταλάβουμε τι είναι.

Ορισμός.

Βαθμός μονωνύμουΗ τυπική μορφή είναι το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών που περιλαμβάνονται στην εγγραφή της. αν δεν υπάρχουν μεταβλητές στην μονωνυμική καταχώρηση και είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε ο βαθμός της θεωρείται μηδέν. ο αριθμός μηδέν θεωρείται μονώνυμο, ο βαθμός του οποίου δεν ορίζεται.

Ο ορισμός του βαθμού ενός μονωνύμου μας επιτρέπει να δώσουμε παραδείγματα. Ο βαθμός του μονωνύμου a είναι ίσος με ένα, αφού το a είναι a 1 . Ο βαθμός του μονωνύμου 5 είναι μηδέν, αφού είναι μη μηδενικός και ο συμβολισμός του δεν περιέχει μεταβλητές. Και το γινόμενο 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 είναι μονώνυμο όγδοου βαθμού, αφού το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών a, x και y είναι 2+1+3+2=8.

Παρεμπιπτόντως, ο βαθμός ενός μονωνύμου που δεν γράφεται σε τυπική μορφή είναι ίσος με τον βαθμό του αντίστοιχου μονωνύμου τυπικής μορφής. Για να δείξουμε αυτό που ειπώθηκε, υπολογίζουμε το βαθμό του μονωνύμου 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Αυτό το μονώνυμο σε τυπική μορφή έχει τη μορφή −6·x 8 ·y 4 , ο βαθμός του είναι 8+4=12 . Έτσι, ο βαθμός του αρχικού μονωνύμου είναι 12 .

Μονωνυμικός συντελεστής

Ένα μονώνυμο σε τυπική μορφή, που έχει τουλάχιστον μία μεταβλητή στη σημείωση του, είναι ένα γινόμενο με έναν μόνο αριθμητικό παράγοντα - έναν αριθμητικό συντελεστή. Αυτός ο συντελεστής ονομάζεται μονωνυμικός συντελεστής. Ας επισημοποιήσουμε τον παραπάνω συλλογισμό με τη μορφή ορισμού.

Ορισμός.

Μονωνυμικός συντελεστήςείναι ο αριθμητικός παράγοντας του μονωνύμου που γράφεται στην τυπική μορφή.

Τώρα μπορούμε να δώσουμε παραδείγματα των συντελεστών διαφόρων μονωνύμων. Ο αριθμός 5 είναι ο συντελεστής του μονωνύμου 5 a 3 εξ ορισμού, ομοίως το μονώνυμο (−2,3) x y z έχει τον συντελεστή −2,3 .

Ιδιαίτερη προσοχή αξίζουν οι συντελεστές μονωνύμων ίσοι με 1 και −1. Το θέμα εδώ είναι ότι συνήθως δεν υπάρχουν ρητά στον δίσκο. Πιστεύεται ότι ο συντελεστής μονωνύμων της τυπικής μορφής, που δεν έχουν αριθμητικό παράγοντα στη σημειογραφία τους, είναι ίσος με ένα. Για παράδειγμα, μονώνυμα a , x z 3 , a t x, κ.λπ. έχουν συντελεστή 1, αφού το a μπορεί να θεωρηθεί ως 1 a, το x z 3 ως 1 x z 3 κ.λπ.

Ομοίως, ο συντελεστής μονώνυμων, των οποίων οι εγγραφές στην τυπική μορφή δεν έχουν αριθμητικό παράγοντα και αρχίζουν με αρνητικό πρόσημο, θεωρείται μείον ένα. Για παράδειγμα, τα μονώνυμα −x , −x 3 y z 3, κ.λπ. έχουν συντελεστή −1 , αφού −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3και τα λοιπά.

Παρεμπιπτόντως, η έννοια του συντελεστή ενός μονωνύμου αναφέρεται συχνά ως μονώνυμα της τυπικής μορφής, που είναι αριθμοί χωρίς συντελεστές γραμμάτων. Οι συντελεστές τέτοιων μονωνύμων-αριθμών θεωρούνται αυτοί οι αριθμοί. Έτσι, για παράδειγμα, ο συντελεστής του μονωνύμου 7 θεωρείται ίσος με 7.

Βιβλιογραφία.

• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 7 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 17η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 240 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 7η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Βιβλίο μαθητή Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ A. G. Mordkovich. - 17η έκδ., πρόσθ. - Μ.: Mnemozina, 2013. - 175 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Σε αυτό το μάθημα, θα δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό του μονωνύμου, θα εξετάσουμε διάφορα παραδείγματα από το σχολικό βιβλίο. Θυμηθείτε τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση. Ας δώσουμε έναν ορισμό της τυπικής μορφής ενός μονωνύμου, του συντελεστή ενός μονωνύμου και του κυριολεκτικού μέρους του. Ας εξετάσουμε δύο βασικές τυπικές πράξεις σε μονώνυμα, δηλαδή, αναγωγή σε μια τυπική μορφή και υπολογισμό μιας συγκεκριμένης αριθμητικής τιμής ενός μονωνύμου για δεδομένες τιμές των κυριολεκτικών μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό. Ας διατυπώσουμε τον κανόνα για την αναγωγή του μονωνύμου στην τυπική μορφή. Ας μάθουμε πώς να λύνουμε τυπικά προβλήματα με οποιαδήποτε μονώνυμα.

Θέμα:μονοώνυμα. Αριθμητικές πράξεις σε μονώνυμα

Μάθημα:Η έννοια του μονωνύμου. Τυπική μορφή μονωνύμου

Εξετάστε μερικά παραδείγματα:

3. ;

Ας βρούμε κοινά χαρακτηριστικά για τις δοσμένες εκφράσεις. Και στις τρεις περιπτώσεις, η έκφραση είναι το γινόμενο αριθμών και μεταβλητών που ανεβαίνουν σε δύναμη. Με βάση αυτό δίνουμε ορισμός μονωνύμου : ένα μονώνυμο είναι μια αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από ένα γινόμενο δυνάμεων και αριθμών.

Τώρα δίνουμε παραδείγματα εκφράσεων που δεν είναι μονώνυμα:

Ας βρούμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των εκφράσεων και των προηγούμενων. Συνίσταται στο ότι στα παραδείγματα 4-7 υπάρχουν πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης ή διαίρεσης, ενώ στα παραδείγματα 1-3, που είναι μονώνυμα, αυτές οι πράξεις δεν είναι.

Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα:

Η έκφραση αριθμός 8 είναι μονώνυμο, αφού είναι το γινόμενο μιας δύναμης και ενός αριθμού, ενώ το παράδειγμα 9 δεν είναι μονώνυμο.

Τώρα ας μάθουμε δράσεις στα μονώνυμα .

1. Απλοποίηση. Εξετάστε το παράδειγμα #3 ;και παράδειγμα #2 /

Στο δεύτερο παράδειγμα, βλέπουμε μόνο έναν συντελεστή - , κάθε μεταβλητή εμφανίζεται μόνο μία φορά, δηλαδή η μεταβλητή " ένα" αναπαρίσταται σε μία μόνο περίπτωση, ως "", ομοίως, οι μεταβλητές "" και "" εμφανίζονται μόνο μία φορά.

Στο παράδειγμα Νο. 3, αντίθετα, υπάρχουν δύο διαφορετικοί συντελεστές - και , βλέπουμε τη μεταβλητή "" δύο φορές - ως "" και ως "", ομοίως, η μεταβλητή "" εμφανίζεται δύο φορές. Δηλαδή, αυτή η έκφραση θα πρέπει να απλοποιηθεί, έτσι φτάνουμε στο η πρώτη ενέργεια που εκτελείται στα μονώνυμα είναι να φέρει το μονώνυμο στην τυπική μορφή . Για να γίνει αυτό, φέρνουμε την έκφραση από το Παράδειγμα 3 στην τυπική φόρμα, μετά ορίζουμε αυτήν τη λειτουργία και μαθαίνουμε πώς να φέρουμε οποιοδήποτε μονώνυμο στην τυπική φόρμα.

Σκεφτείτε λοιπόν ένα παράδειγμα:

Το πρώτο βήμα στη λειτουργία τυποποίησης είναι πάντα ο πολλαπλασιασμός όλων των αριθμητικών παραγόντων:

;

Το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας θα κληθεί μονωνικός συντελεστής .

Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους βαθμούς. Πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς της μεταβλητής " Χ"σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, ο οποίος δηλώνει ότι όταν πολλαπλασιάζονται, οι εκθέτες αθροίζονται:

Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε τις δυνάμεις στο»:

;

Ακολουθεί λοιπόν μια απλοποιημένη έκφραση:

;

Οποιοδήποτε μονώνυμο μπορεί να αναχθεί σε τυπική μορφή. Ας διατυπώσουμε κανόνα τυποποίησης :

Πολλαπλασιάστε όλους τους αριθμητικούς παράγοντες.

Βάλτε τον συντελεστή που προκύπτει στην πρώτη θέση.

Πολλαπλασιάστε όλους τους βαθμούς, δηλαδή, λάβετε το μέρος του γράμματος.

Δηλαδή, κάθε μονώνυμο χαρακτηρίζεται από έναν συντελεστή και ένα γράμμα. Κοιτάζοντας μπροστά, σημειώνουμε ότι τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο γράμμα ονομάζονται παρόμοια.

Τώρα πρέπει να κερδίσετε τεχνική για την αναγωγή μονοωνύμων σε τυπική μορφή . Εξετάστε παραδείγματα από το σχολικό βιβλίο:

Εργασία: φέρτε το μονώνυμο στην τυπική φόρμα, ονομάστε τον συντελεστή και το γράμμα.

Για να ολοκληρώσουμε την εργασία, χρησιμοποιούμε τον κανόνα να φέρουμε το μονώνυμο στην τυπική μορφή και τις ιδιότητες των μοιρών.

1. ;

3. ;

Σχόλια στο πρώτο παράδειγμα: Αρχικά, ας προσδιορίσουμε αν αυτή η έκφραση είναι πραγματικά μονώνυμο, γι' αυτό ελέγχουμε αν περιέχει πράξεις πολλαπλασιασμού αριθμών και δυνάμεων και αν περιέχει πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης ή διαίρεσης. Μπορούμε να πούμε ότι αυτή η έκφραση είναι μονώνυμο, αφού η παραπάνω συνθήκη ικανοποιείται. Περαιτέρω, σύμφωνα με τον κανόνα να φέρουμε το μονώνυμο στην τυπική μορφή, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητικούς παράγοντες:

- βρήκαμε τον συντελεστή του δεδομένου μονωνύμου.

; ; ; δηλαδή λαμβάνεται το κυριολεκτικό μέρος της έκφρασης:;

γράψε την απάντηση: ;

Σχόλια για το δεύτερο παράδειγμα: Ακολουθώντας τον κανόνα, εκτελούμε:

1) πολλαπλασιάστε τους αριθμητικούς παράγοντες:

2) πολλαπλασιάστε τις δυνάμεις:

Οι μεταβλητές και παρουσιάζονται σε ένα μόνο αντίγραφο, δηλαδή δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τίποτα, ξαναγράφονται χωρίς αλλαγές, ο βαθμός πολλαπλασιάζεται:

γράψε την απάντηση:

;

Σε αυτό το παράδειγμα, ο μονωνυμικός συντελεστής είναι ίσος με ένα και το κυριολεκτικό μέρος είναι .

Σχόλια για το τρίτο παράδειγμα: αΌπως και στα προηγούμενα παραδείγματα, εκτελούμε τις ακόλουθες ενέργειες:

1) πολλαπλασιάστε τους αριθμητικούς παράγοντες:

;

2) πολλαπλασιάστε τις δυνάμεις:

;

γράψε την απάντηση: ;

Σε αυτήν την περίπτωση, ο συντελεστής του μονωνύμου είναι ίσος με "", και το κυριολεκτικό μέρος .

Τώρα σκεφτείτε δεύτερη τυπική λειτουργία σε μονοώνυμα . Δεδομένου ότι ένα μονώνυμο είναι μια αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από κυριολεκτικές μεταβλητές που μπορούν να λάβουν συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές, έχουμε μια αριθμητική αριθμητική παράσταση που πρέπει να υπολογιστεί. Δηλαδή, η ακόλουθη πράξη στα πολυώνυμα είναι τον υπολογισμό της συγκεκριμένης αριθμητικής τους τιμής .

Εξετάστε ένα παράδειγμα. Δίνεται το μονώνυμο:

αυτό το μονώνυμο έχει ήδη μειωθεί σε τυπική μορφή, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα και το κυριολεκτικό μέρος

Προηγουμένως είπαμε ότι μια αλγεβρική παράσταση δεν μπορεί πάντα να υπολογιστεί, δηλαδή οι μεταβλητές που μπαίνουν σε αυτήν μπορεί να μην παίρνουν καμία τιμή. Στην περίπτωση ενός μονωνύμου, οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται σε αυτό μπορεί να είναι οποιεσδήποτε, αυτό είναι χαρακτηριστικό του μονωνύμου.

Έτσι, στο δεδομένο παράδειγμα, απαιτείται να υπολογιστεί η τιμή του μονωνύμου για , , , .

Η έννοια του μονωνύμου

Ορισμός μονωνύμου: Το μονώνυμο είναι μια αλγεβρική έκφραση που χρησιμοποιεί μόνο πολλαπλασιασμό.

Τυπική μορφή μονωνύμου

Ποια είναι η τυπική μορφή ενός μονωνύμου; Το μονώνυμο γράφεται σε τυπική μορφή, αν έχει αρχικά έναν αριθμητικό παράγοντα και αυτός ο παράγοντας, ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, υπάρχει μόνο ένα στο μονώνυμο, τα γράμματα του μονωνύμου είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά και κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά.

Ένα παράδειγμα μονωνύμου σε τυπική μορφή:

Εδώ στην πρώτη θέση είναι ο αριθμός, ο συντελεστής του μονωνύμου, και αυτός ο αριθμός είναι μόνο ένας στο μονώνυμό μας, κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά και τα γράμματα είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά, σε αυτήν την περίπτωση είναι το λατινικό αλφάβητο.

Ένα άλλο παράδειγμα μονωνύμου σε τυπική μορφή:

κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά, είναι ταξινομημένα με λατινική αλφαβητική σειρά, αλλά πού είναι ο συντελεστής του μονωνύμου, δηλ. αριθμός παράγοντας που πρέπει να είναι πρώτος; Εδώ ισούται με ένα: 1 adm.

Μπορεί ο μονώνυμος συντελεστής να είναι αρνητικός; Ναι, ίσως, για παράδειγμα: -5α.

Μπορεί ένας μονώνυμος συντελεστής να είναι κλασματικός; Ναι, ίσως, για παράδειγμα: 5.2a.

Αν το μονώνυμο αποτελείται μόνο από έναν αριθμό, δηλ. δεν έχει γράμματα, πώς να το φέρω στην τυπική φόρμα; Κάθε μονώνυμο που είναι αριθμός είναι ήδη σε τυπική μορφή, για παράδειγμα: ο αριθμός 5 είναι ένα μονώνυμο τυπικής μορφής.

Αναγωγή μονωνύμων σε τυπική μορφή

Πώς να φέρετε το μονώνυμο σε τυπική μορφή; Εξετάστε παραδείγματα.

Ας δοθεί το μονώνυμο 2a4b, πρέπει να το φέρουμε στην τυπική μορφή. Πολλαπλασιάζουμε δύο από τους αριθμητικούς του παράγοντες και παίρνουμε 8ab. Τώρα το μονώνυμο γράφεται στην τυπική μορφή, δηλ. έχει μόνο έναν αριθμητικό παράγοντα, γραμμένο στην πρώτη θέση, κάθε γράμμα στο μονώνυμο εμφανίζεται μόνο μία φορά και αυτά τα γράμματα είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά. Άρα 2a4b = 8ab.

Δίνεται: μονώνυμο 2a4a, φέρτε το μονώνυμο σε τυπική μορφή. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς 2 και 4, το γινόμενο aa αντικαθίσταται από τη δεύτερη δύναμη a 2 . Παίρνουμε: 8a 2 . Αυτή είναι η τυπική μορφή αυτού του μονωνύμου. Άρα, 2a4a = 8a 2 .

Παρόμοια μονώνυμα

Τι είναι παρόμοια μονώνυμα; Εάν τα μονώνυμα διαφέρουν μόνο σε συντελεστές ή είναι ίσα, τότε ονομάζονται παρόμοια.

Ένα παράδειγμα παρόμοιων μονωνύμων: 5a και 2a. Αυτά τα μονώνυμα διαφέρουν μόνο σε συντελεστές, πράγμα που σημαίνει ότι είναι παρόμοια.

Είναι παρόμοια τα μονώνυμα 5abc και 10cba; Φέρνουμε το δεύτερο μονώνυμο στην τυπική φόρμα, παίρνουμε 10abc. Τώρα είναι σαφές ότι τα μονώνυμα 5abc και 10abc διαφέρουν μόνο στους συντελεστές τους, πράγμα που σημαίνει ότι είναι παρόμοια.

Προσθήκη μονωνύμων

Ποιο είναι το άθροισμα των μονώνυμων; Μπορούμε μόνο να αθροίσουμε παρόμοια μονώνυμα. Εξετάστε το παράδειγμα της προσθήκης μονοωνύμων. Ποιο είναι το άθροισμα των μονώνυμων 5a και 2a; Το άθροισμα αυτών των μονωνύμων θα είναι ένα μονώνυμο παρόμοιο με αυτά, ο συντελεστής του οποίου ισούται με το άθροισματους συντελεστές των όρων. Άρα, το άθροισμα των μονοωνύμων είναι 5a + 2a = 7a.

Περισσότερα παραδείγματα προσθήκης μονωνύμων:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Πάλι. Μπορείτε να προσθέσετε μόνο παρόμοια μονοώνυμα· η πρόσθεση μειώνεται στην προσθήκη των συντελεστών τους.

Αφαίρεση μονοωνύμων

Ποια είναι η διαφορά των μονωνύμων; Μπορούμε μόνο να αφαιρέσουμε παρόμοια μονώνυμα. Εξετάστε ένα παράδειγμα αφαίρεσης μονωνύμων. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των μονώνυμων 5a και 2a; Η διαφορά αυτών των μονωνύμων θα είναι ένα μονώνυμο όμοιο με αυτά, ο συντελεστής του οποίου είναι ίσος με τη διαφορά των συντελεστών αυτών των μονωνύμων. Άρα, η διαφορά των μονωνύμων είναι ίση με 5a - 2a = 3a.

Περισσότερα παραδείγματα αφαίρεσης μονωνύμων:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Πολλαπλασιασμός μονοωνύμων

Ποιο είναι το γινόμενο των μονοωνύμων; Εξετάστε ένα παράδειγμα:

εκείνοι. το γινόμενο των μονωνύμων ισούται με το μονώνυμα του οποίου οι συντελεστές αποτελούνται από τους συντελεστές των αρχικών μονοωνύμων.

Ενα άλλο παράδειγμα:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Πώς προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα; Κάθε παράγοντας έχει "a" στον βαθμό: στον πρώτο - "a" στον βαθμό 2 και στον δεύτερο - "a" στον βαθμό 5. Αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο θα έχει "a" στον βαθμό 7, γιατί όταν πολλαπλασιάζονται τα ίδια γράμματα, οι εκθέτες τους αθροίζονται:

A 2 * a 5 = a 7 .

Το ίδιο ισχύει και για τον παράγοντα «β».

Ο συντελεστής του πρώτου παράγοντα είναι ίσος με δύο, και ο δεύτερος - σε ένα, οπότε παίρνουμε 2 * 1 = 2 ως αποτέλεσμα.

Έτσι υπολογίστηκε το αποτέλεσμα 2a 7 b 12.

Από αυτά τα παραδείγματα, μπορεί να φανεί ότι οι συντελεστές των μονώνυμων πολλαπλασιάζονται και τα ίδια γράμματα αντικαθίστανται από τα αθροίσματα των βαθμών τους στο γινόμενο.