Απόδειξη ανισοτήτων από γεωμετρικές εκτιμήσεις. Απόδειξη και λύση ανισοτήτων

Ο στόχος σας:να γνωρίζουν τις μεθόδους απόδειξης των ανισοτήτων και να μπορούν να τις εφαρμόζουν.

Πρακτικό μέρος

Η έννοια της απόδειξης της ανισότητας . Μερικές ανισότητες μετατρέπονται σε αληθινές αριθμητική ανισότηταγια όλα επιτρεπόμενες τιμέςμεταβλητές ή σε κάποιο δεδομένο σύνολο τιμών μεταβλητών. Για παράδειγμα, οι ανισότητες ένα 2 ³0, ( ένα–σι) 2 ³ 0 , ένα 2 +β 2 +γ 2 " Το ³ 0 ισχύει για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών και η ανισότητα ³ 0 – για τυχόν πραγματικές μη αρνητικές τιμές ένα.Μερικές φορές προκύπτει το πρόβλημα της απόδειξης μιας ανισότητας.

Η απόδειξη μιας ανισότητας σημαίνει ότι μια δεδομένη ανισότητα μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ανισότητα για όλες τις αποδεκτές τιμές των μεταβλητών ή σε ένα δεδομένο σύνολο τιμών αυτών των μεταβλητών.

Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων.Σημειώστε ότι δεν υπάρχει γενική μέθοδος για την απόδειξη των ανισοτήτων. Ωστόσο, ορισμένα από αυτά μπορούν να προσδιοριστούν.

1. Μια μέθοδος για την εκτίμηση του πρόσημου της διαφοράς μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους μιας ανισότητας.Η διαφορά μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους της ανισότητας συντάσσεται και διαπιστώνεται εάν αυτή η διαφορά είναι θετική ή αρνητική για τις εξεταζόμενες τιμές των μεταβλητών (για μη αυστηρές ανισότητες, είναι απαραίτητο να εξακριβωθεί εάν αυτή η διαφορά δεν είναι -αρνητικό ή μη θετικό).

Παράδειγμα 1. Για οποιαδήποτε πραγματικούς αριθμούς ένακαι σιυπάρχει μια ανισότητα

ένα 2 +β 2³2 αβ. (1)

Απόδειξη. Να συνθέσετε τη διαφορά μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους της ανισότητας:

ένα 2 +β 2 – 2αβ = α 2 – 2αβ+β 2 = (α-β) 2 .

Εφόσον το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε ( α-β) 2 ³ 0, που σημαίνει ότι ένα 2 +β 2³2 αβγια τυχόν πραγματικούς αριθμούς ένακαι σι.Η ισότητα στο (1) ισχύει αν και μόνο αν α = β.

Παράδειγμα 2. Να αποδείξετε ότι αν ένα³ 0 και σι³ 0, μετά ³, δηλ. αριθμητικός μέσος όρος μη αρνητικών πραγματικών αριθμών ένακαι σιλιγότερο από το γεωμετρικό τους μέσο.

Απόδειξη. Αν ένα ένα³ 0 και σι³ 0, λοιπόν

³ 0. Επομένως, ³ .

2. απαγωγική μέθοδοςαπόδειξη ανισοτήτων.Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: χρησιμοποιώντας μια σειρά μετασχηματισμών, η απαιτούμενη ανισότητα προκύπτει από κάποιες γνωστές (αναφορές) ανισότητες. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες ανισότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως αναφορά: ένα 2 ³ 0 για οποιοδήποτε έναÎ R ; (α-β) 2 ³ 0 για οποιοδήποτε ένακαι σιÎ R ; (ένα 2 + σι 2) ³ 2 αβγια κάθε α, βÎ R ; ³ στο ένα ³ 0, σι ³ 0.

Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι για τυχόν πραγματικούς αριθμούς ένακαι σιυπάρχει μια ανισότητα

ένα 2 + σι 2 + Με 2³ ab + bc + ac.

Απόδειξη. Από τις σωστές ανισότητες ( α-β) 2 ³ 0, ( σι – ντο) 2 ³ 0 και ( ντο – ένα) 2 ³ 0 προκύπτει ότι ένα 2 + σι 2³2 αβ, σι 2 + ντο 2³2 προ ΧΡΙΣΤΟΥ, ντο 2 + ένα 2³2 μετα Χριστον.Προσθέτοντας και τις τρεις ανισώσεις ανά όρο και διαιρώντας και τα δύο μέρη της νέας με 2, προκύπτει η απαιτούμενη ανισότητα.

Η αρχική ανισότητα μπορεί επίσης να αποδειχθεί με την πρώτη μέθοδο. Πράγματι, ένα 2 + σι 2 + Με 2 –ab-bc-ac= 0,5(2ένα 2 + 2σι 2 + 2Με 2 – 2αβ- 2προ ΧΡΙΣΤΟΥ- 2μετα Χριστον) = = 0,5((α-β) 2 + (μετα Χριστον) 2 + (προ ΧΡΙΣΤΟΥ) 2)³ 0.

διαφορά μεταξύ ένα 2 + σι 2 + Με 2 και ab + bc + acμεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι ένα 2 + σι 2 + Με 2³ ab + bc + ac(η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α = β = γ).

3. Μέθοδος εκτιμήσεων στην απόδειξη ανισοτήτων.

Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε την ανισότητα

+ + + … + >

Απόδειξη. Είναι εύκολο να δούμε ότι η αριστερή πλευρά της ανισότητας περιέχει 100 όρους, καθένας από τους οποίους δεν είναι μικρότερος από. Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η αριστερή πλευρά της ανισότητας μπορεί να εκτιμηθεί από κάτω ως εξής:

+ + + … + > = 100 = .

4. Μέθοδος πλήρους επαγωγής.Η ουσία της μεθόδου είναι να ληφθούν υπόψη όλες οι ειδικές περιπτώσεις που καλύπτουν την κατάσταση του προβλήματος συνολικά.

Παράδειγμα 5. Να αποδείξετε ότι αν x > ï στοï , έπειτα x > y.

Απόδειξη. Δύο περιπτώσεις είναι δυνατές:

ένα) στο³ 0 ; τότε εγώ στοï = y,και κατά συνθήκη x >ï στοï . Που σημαίνει, x > y;

σι) στο< 0; τότε εγώ στοï > yκαι κατά συνθήκη x >ï στοεννοω x > y.

Πρακτικό μέρος

Εργασία 0. Παίρνω Κενό φύλλοχαρτί και πάνω του γράψτε τις απαντήσεις σε όλες τις παρακάτω προφορικές ασκήσεις. Στη συνέχεια, ελέγξτε τις απαντήσεις σας σε σχέση με τις απαντήσεις ή τις σύντομες οδηγίες στο τέλος αυτού μαθησιακό στοιχείουπό τον τίτλο «Ο βοηθός σας».

προφορικές ασκήσεις

1. Συγκρίνετε το άθροισμα των τετραγώνων δύο ανίσων αριθμών και με το διπλό γινόμενο τους.

2. Να αποδείξετε την ανισότητα:

ένα) ;

σι) ;

σε) ;

3. Είναι γνωστό ότι . Αποδείξτε το.

4. Είναι γνωστό ότι . Αποδείξτε το.

Ασκηση 1.Οτι περισσότερα:

α) 2 + 11 ή 9; δ) + ή;

β) ή + ; ε) - ή;

γ) + ή 2; ε) + 2 ή + ;

Εργασία 2.Να το αποδείξετε πραγματικά Χυπάρχει μια ανισότητα:

α) 3( Χ+ 1) + Χ– 4(2 + Χ) < 0; г) 4Χ 2 + 1 ³ 4 Χ;

β) ( Χ+ 2)(Χ+ 4) > (Χ+ 1)(Χ+ 5); ε) ³ 2 Χ;

σε) ( Χ– 2) 2 > Χ(Χ- τέσσερα) στ) l + 2 Χ 4 > Χ 2 + 2Χ 3 .

Εργασία 3.Αποδείξτε ότι:

ένα) Χ 3+1³ Χ 2 + Χ,αν Χ³ –1;

σι) Χ 3 + 1 £ Χ 2 + Χ,αν Χ£ -1 .

Εργασία 4.Αποδείξτε ότι αν ένα ³ 0, σι³ 0, Με³ 0, ρε³ 0, λοιπόν

(ένα 2 + σι 2)(ντο 2 + ρε 2) ³ ( μετα Χριστον + βδ) 2 .

Εργασία 5.Να αποδείξετε την ανισότητα επισημαίνοντας πλήρες τετράγωνο:

ένα) Χ 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

σι) Χ 2 +y 2 + 2³2( x+y);

στις 10 η ώρα Χ 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

ΣΟΛ) Χ 2 – xy + y 2³0 ;

μι) Χ 2 +y 2 +z 2 + 3³ 2( x + y + z);

μι)( x +μεγάλο)( Χ- 2y +ιβ) + y 2³0 .

Εργασία 6.Αποδείξτε ότι:

ένα) Χ 2 + 2y 2 + 2xy + 6y+ l0 > 0 ;

σι) Χ 2 +y 2 – 2xy + 2Χ – 2στο + 1 > 0;

στις 3 Χ 2 +y 2 + 8x + 4y- 2xy + 22 ³ 0;

ΣΟΛ) Χ 2 + 2xy+ 3y 2 + 2Χ + 6y + 3 > 0.

Εργασία 7.Αποδείξτε ότι αν n³ κ³ 1, λοιπόν κ(n–k+ 1) ³ n.

Εργασία 8.Αποδείξτε ότι αν 4 ένα + 2σι= 1, λοιπόν ένα 2 + σι 2³ .

Προσδιορίστε τις τιμές ένακαι σι,κάτω από την οποία συντελείται η ισότητα.

Εργασία 9.Να αποδείξετε την ανισότητα:

ένα) Χ 3 + στο 3³ Χ 2 στο + hu 2 στο Χ³ 0 και y ³ 0;

σι) Χ 4 + στο 4³ Χ 3 στο + hu 3 για οποιοδήποτε Χκαι στο;

σε) Χ 5 + στο 5³ Χ 4 στο + hu 4 στο Χ³ 0 και y ³ 0;

ΣΟΛ) x n + στο ν ³ x n-1 y + xy n-1 στο Χ³ 0 και y ³ 0.

Εκπαιδευτικό ίδρυμα: MOU Lyceum No. 1, Komsomolsk-on-Amur

Επικεφαλής: Budlyanskaya Natalya Leonidovna

Εάν θέλετε να συμμετάσχετε σε μεγάλη ζωήμετά γέμισε το κεφάλι σου με μαθηματικά όσο μπορείς. Τότε θα σας βοηθήσει πολύ σε όλη σας τη δουλειά. (M.I. Kalinin)

Αναπαράσταση της αριστερής πλευράς της ανισότητας ως άθροισμα μη αρνητικών όρων (η δεξιά πλευρά είναι ίση με 0) χρησιμοποιώντας ταυτότητες.

Παράδειγμα 1. Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε xϵR

Απόδειξη . 1 τρόπος.

2 τρόπος.

για μια τετραγωνική συνάρτηση

που σημαίνει ότι είναι θετικό για κάθε πραγματικό Χ.

Παράδειγμα 2. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε x και y

Απόδειξη.

Παράδειγμα 3. Αποδείξτε το

Απόδειξη.

Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε α και β

Απόδειξη.

2. Μέθοδος με αντίφαση

Εδώ είναι ένα καλό παράδειγμα αυτής της μεθόδου.

Αποδείξτε ότι για a, b ϵ R.

Απόδειξη.

Ας το προσποιηθούμε.

Όμως, κάτι που αποδεικνύει ξεκάθαρα ότι η υπόθεση μας είναι λανθασμένη.

C.T.D.

Παράδειγμα 5.Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς A, B, C, η ανίσωση

Απόδειξη.Προφανώς, αρκεί να διαπιστωθεί αυτή η ανισότητα για μη αρνητικά Α, Βκαι ΑΠΟ,αφού θα έχουμε την εξής σχέση:

, που είναι το σκεπτικό της αρχικής ανισότητας .

Ας υπάρχουν τώρα τέτοιοι μη αρνητικοί αριθμοί Α, Βκαι ΑΠΟ, για την οποία η ανισότητα

, που είναι αδύνατο για κανένα πραγματικό Α, Βκαι ΑΠΟ. Η παραπάνω υπόθεση καταρρίπτεται, γεγονός που αποδεικνύει την αρχική υπό μελέτη ανισότητα.

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες ενός τετραγωνικού τριωνύμου

Η μέθοδος βασίζεται στην ιδιότητα μη αρνητικότητας ενός τετραγωνικού τριωνύμου if

και.

Παράδειγμα 6. Αποδείξτε το

Απόδειξη.

Αφήνω, a=2, 2>0

=>

Παράδειγμα 7. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό x και y ισχύει η ανίσωση

Απόδειξη. Θεωρήστε την αριστερή πλευρά της ανίσωσης ως τετράγωνο τριώνυμο σε σχέση με Χ:

, α>0, Δ

D= => P(x)>0και

ισχύει για οποιεσδήποτε πραγματικές αξίες Χκαι y.

Παράδειγμα 8. Αποδείξτε το

για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των x και y.

Απόδειξη. Αφήνω ,

Αυτό σημαίνει ότι για κάθε πραγματικό στοκαι την ανισότητα

εκτελούνται για οποιαδήποτε έγκυρη Χκαι y.

Η μέθοδος εισαγωγής νέων μεταβλητών ή η μέθοδος υποκατάστασης

Παράδειγμα 9. Να αποδείξετε ότι για τυχόν μη αρνητικούς αριθμούς x, y, z

Απόδειξη. Χρησιμοποιούμε τη σωστή ανισότητα για,

.

Παίρνουμε την υπό μελέτη ανισότητα

Χρήση ιδιοτήτων συνάρτησης.

Παράδειγμα 10. Ας αποδείξουμε την ανισότητα

για οποιοδήποτε α και β.

Απόδειξη. Εξετάστε 2 περιπτώσεις:

• Αν a=b τότε είναι αλήθεια

και ισότητα επιτυγχάνεται μόνο όταν a=b=0.

2) Αν

, στο R =>

()* ()>0, που αποδεικνύει την ανισότητα

Παράδειγμα 11. Ας το αποδείξουμε για οποιοδήποτε

Απόδειξη.

στο R.

Αν, τότε τα πρόσημα των αριθμών και συμπίπτουν, που σημαίνει ότι η διαφορά υπό μελέτη είναι θετική =>

Εφαρμογή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για την απόδειξη ανισώσεων σε σχέση με φυσικούς αριθμούς.

Παράδειγμα 12. Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε nϵN

• Ας ελέγξουμε την αλήθεια της δήλωσης

- (σωστά)

2) Υποθέστε ότι η δήλωση είναι αληθής για

(k>1)

3) Ας αποδείξουμε την αλήθεια της πρότασης για n=k+1.

Συγκρίνετε και:

Εχουμε:

Συμπέρασμα: η δήλωση ισχύει για οποιαδήποτε nϵN.

Χρήση αξιοσημείωτων ανισοτήτων

• Θεώρημα μέσου όρου (ανισότητα Cauchy)

• Ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky

• Η ανισότητα του Μπερνούλι

Ας εξετάσουμε κάθε μία από τις αναφερόμενες ανισότητες ξεχωριστά.

Εφαρμογή του θεωρήματος του μέσου όρου (ανισώσεις Cauchy)

Ο αριθμητικός μέσος όρος πολλών μη αρνητικών αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον γεωμετρικό τους μέσο όρο

, όπου

Το πρόσημο ίσου επιτυγχάνεται εάν και μόνο εάν

Εξετάστε ειδικές περιπτώσεις αυτού του θεωρήματος:

• Έστω n=2, λοιπόν

• Έστω n=2, a>0, τότε

• Έστω n=3, λοιπόν

Παράδειγμα 13. Να αποδείξετε ότι για όλα τα μη αρνητικά a,b,c η ανισότητα

Απόδειξη.

Ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky

Η ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky δηλώνει ότι για οποιαδήποτε? η αναλογία

Η αποδεδειγμένη ανισότητα έχει γεωμετρική ερμηνεία. Για n=2,3 εκφράζει το γνωστό γεγονός ότι το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων στο επίπεδο και στο διάστημα δεν υπερβαίνει το γινόμενο των μηκών τους. Για n=2 η ανισότητα μοιάζει με: . Για n=3 παίρνουμε

Παράδειγμα 14

Απόδειξη. Γράφουμε την υπό μελέτη ανισότητα με την ακόλουθη μορφή:

Αυτή είναι σίγουρα μια αληθινή ανισότητα, αφού είναι μια ειδική περίπτωση της ανισότητας Cauchy-Bunyakovsky.

Παράδειγμα 15 Να αποδείξετε ότι για κάθε a,b,c ϵ R η ανίσωση

Απόδειξη. Αρκεί να γράψουμε αυτή την ανισότητα στη μορφή

και ανατρέξτε στην ανισότητα Cauchy–Bunyakovsky.

Η ανισότητα του Μπερνούλι

Η ανισότητα του Bernoulli δηλώνει ότι αν x>-1, τότε για όλες τις φυσικές τιμές του n, η ανισότητα

Η ανισότητα μπορεί να εφαρμοστεί σε εκφράσεις της μορφής

Επίσης, μια πολύ μεγάλη ομάδα ανισώσεων μπορεί εύκολα να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Bernoulli.

Παράδειγμα 16.

Απόδειξη. Βάζοντας x=0,5 καιεφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulli στην έκφραση

Λαμβάνουμε την απαιτούμενη ανισότητα.

Παράδειγμα 17. Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε n ϵ N

Απόδειξη.

από το θεώρημα του Bernoulli, όπως απαιτείται.

Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ ρωτήθηκε για ένα δικό του πρώην μαθητές. «Ω, έτσι κι έτσι;» θυμάται ο Χίλμπερτ. «Έγινε ποιητής. Είχε πολύ λίγη φαντασία για τα μαθηματικά.

: Διευρύνετε τις γνώσεις σας για την απόδειξη ανισοτήτων. Μάθετε για την ανισότητα του Cauchy. Μάθετε να εφαρμόζετε τις μεθόδους που μαθαίνετε στην απόδειξη των ανισοτήτων.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Εκπαιδευτικό ίδρυμα κρατικού προϋπολογισμού

μέση τιμή ολοκληρωμένο σχολείο №655

Περιοχή Primorsky της Αγίας Πετρούπολης

«Απόδειξη ανισοτήτων. Η ανισότητα του Cauchy

2014

Λι Νίνα Γιούριεβνα

8η τάξη

Περίληψη……………………………………………………………………………………….3

Εισαγωγή ……………………………………………………………………………………….. 4

Ιστορική αναφορά……………………………………………………………………………..4

Cauchy ανισότητα………………………………………………………………………………

Απόδειξη ανισοτήτων…………………………………………………………………………..7

Ερευνητικά ευρήματα……………………………………………………………………………..10

Βιβλιογραφικές αναφορές………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………

Λι Νίνα

Αγία Πετρούπολη, γυμνάσιο GBOU Νο. 655, 8η τάξη

«Απόδειξη ανισοτήτων. Η ανισότητα του Cauchy.

επιβλέπων: Moroz Yulia Vladimirovna, δάσκαλος μαθηματικών

Στόχος επιστημονική εργασία: Διευρύνετε τις γνώσεις σας για την απόδειξη ανισοτήτων. Μάθετε για την ανισότητα του Cauchy. Μάθετε να εφαρμόζετε τις μεθόδους που μαθαίνετε στην απόδειξη των ανισοτήτων.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

«... τα κύρια αποτελέσματα των μαθηματικών εκφράζονται συχνότερα όχι με ισότητες, αλλά με ανισότητες».

Ε. Μπέκενμπαχ

Αντιμετωπίζουμε τις ανισότητες σε όλη τη σχολική πορεία. Οι ανισώσεις μπορούν να λυθούν γραφικά και αναλυτικά. Για να λυθεί οποιαδήποτε ανισότητα υπάρχει συγκεκριμένο αλγόριθμοδράση, λοιπόν δοθείσα εργασίαείναι μάλλον μηχανική δράσηπου δεν απαιτεί δημιουργικότητα.

Αντίθετα, η απόδειξη των ανισοτήτων απαιτεί μια άτυπη, παραλλαγμένη προσέγγιση. Επομένως, η απόδειξη των ανισοτήτων είναι η πιο ενδιαφέρουσα.

Ωστόσο, σε σχολικό μάθημαΣτα μαθηματικά δίνεται πολύ λίγη προσοχή στην απόδειξη των ανισοτήτων. Η απόδειξη των ανισοτήτων ανάγεται σε μία τεχνική - την εκτίμηση της διαφοράς μεταξύ των μερών της ανισότητας.Εν τω μεταξύ, στις μαθηματικές Ολυμπιάδες, υπάρχουν συχνά προβλήματα για την απόδειξη ανισοτήτων χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους και τεχνικές (χρήση υποστηρικτικών ανισοτήτων, μέθοδος εκτίμησης).Οι Ολυμπιάδες για μαθητές στα μαθηματικά προσφέρουν επίσης συχνά ανισότητες, η απόδειξη των οποίων αποκαλύπτει καλύτερα τις ικανότητες και τις ικανότητες των μαθητών, το βαθμό πνευματική ανάπτυξη. Επιπλέον, πολλές εργασίες αυξημένη πολυπλοκότητα(από διάφορους κλάδους των μαθηματικών) λύνονται αποτελεσματικά χρησιμοποιώντας ανισότητες.

Η συνάφεια του θέματος "Απόδειξη ανισοτήτων" είναι αδιαμφισβήτητη, καθώς οι ανισότητες διαδραματίζουν θεμελιώδη ρόλο στις περισσότερες ενότητες των σύγχρονων μαθηματικών· ούτε η φυσική, ούτε η αστρονομία, ούτε η χημεία μπορούν να κάνουν χωρίς αυτές. Θεωρία πιθανοτήτων, μαθηματικά στατιστικά, χρηματοοικονομικά μαθηματικά, οικονομικά - όλες αυτές οι αλληλένδετες και γενικευόμενες επιστήμες χρησιμοποιούν συνεχώς ανισότητες τόσο στη διατύπωση των βασικών νόμων τους όσο και στις μεθόδους παραγωγής τους και στις εφαρμογές τους.

Η απόδειξη ανισοτήτων βοηθά στην ανάπτυξη της ικανότητας κατανόησης και εφαρμογής των τεχνικών απόδειξης των ανισοτήτων. τη δυνατότητα εφαρμογής τους κατά την εκτέλεση διαφόρων εργασιών. ικανότητα ανάλυσης, γενίκευσης και εξαγωγής συμπερασμάτων· λογικά εκφράζουν σκέψεις. γίνεται δημιουργικός με τη δουλειά.

Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διεύρυνση των γνώσεων στον τομέα των μεθόδων και τεχνικών απόδειξης ανισοτήτων.

Για την επίτευξη αυτού του στόχου της μελέτης, θέσαμε στον εαυτό μας τα ακόλουθα καθήκοντα:

• συλλογή πληροφοριών από διάφορες πηγές σχετικά με τεχνικές και μεθόδους απόδειξης ανισοτήτων.
• εξοικειωθείτε με την ανισότητα Cauchy.
• Μάθετε να εφαρμόζετε υποστηρικτικές ανισότητες στην απόδειξη πιο περίπλοκων ανισοτήτων.

ΑΝΑΦΟΡΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ

Οι έννοιες «περισσότερο» και «λιγότερο» μαζί με την έννοια της «ισότητας» προέκυψαν σε σχέση με την καταμέτρηση των αντικειμένων και την ανάγκη σύγκρισης διαφορετικών ποσοτήτων. Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν την έννοια της ανισότητας. Ο Αρχιμήδης (ΙΙΙ αι. π.Χ.), ενώ υπολόγιζε την περιφέρεια ενός κύκλου, διαπίστωσε ότι «η περίμετρος οποιουδήποτε κύκλου είναι ίση με τρεις φορές τη διάμετρο με μια περίσσεια μικρότερη από το ένα έβδομο της διαμέτρου, αλλά μεγαλύτερη από δέκα εβδομήντα ένα ." Με άλλα λόγια, ο Αρχιμήδης υπέδειξε τα όρια του αριθμού π.

Το 1557, όταν ο Robert Record εισήγαγε για πρώτη φορά το σύμβολο της ισότητας, παρακίνησε την καινοτομία του ως εξής: κανένα αντικείμενο δεν μπορεί να είναι πιο ίσο μεταξύ τους από δύο παράλληλο τμήμα. Με βάση το πρόσημο ίσου του Record, ένας άλλος Άγγλος επιστήμονας Harriot εισήγαγε τα ζώδια ανισότητας που χρησιμοποιούνται ακόμα σήμερα, δικαιολογώντας την καινοτομία ως εξής: εάν δύο ποσότητες δεν είναι ίσες, τότε τα τμήματα που εμφανίζονται στο πρόσημο ίσου δεν είναι πλέον παράλληλα, αλλά τέμνονται. Η διασταύρωση μπορεί να γίνει στα δεξιά (>) ή στα αριστερά (

Παρά το γεγονός ότι τα ζώδια ανισότητας προτάθηκαν 74 χρόνια μετά το πρόσημο της ισότητας που πρότεινε η Record, άρχισαν να χρησιμοποιούνται πολύ νωρίτερα από το τελευταίο. Ένας από τους λόγους αυτού του φαινομένου έχει τις ρίζες του στο γεγονός ότι οι εκτυπωτές εκείνη την εποχή χρησιμοποιούσαν το λατινικό γράμμα που είχαν ήδη για τα σημάδια της ανισότητας. V, ενώ δεν είχαν ισότιμο (=), και δεν ήταν εύκολο να το φτιάξουν τότε.

Τα σημάδια ≤ και ≥ εισήχθησαν από τον Γάλλο μαθηματικό P. Bouguet.

CAUCHY ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Οι ιδέες που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη των ανισοτήτων είναι σχεδόν τόσο διαφορετικές όσο και οι ίδιες οι ανισότητες. Σε συγκεκριμένες καταστάσεις, οι γενικές μέθοδοι συχνά οδηγούν σε άσχημες λύσεις. Όμως ο μη προφανής συνδυασμός πολλών «βασικών» ανισοτήτων είναι δυνατός μόνο για λίγους. Και, εξάλλου, τίποτα δεν μας εμποδίζει σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση να αναζητήσουμε μια πιο βολική, καλύτερη λύση από αυτή που έχουμε γενική μέθοδος. Για το λόγο αυτό, η απόδειξη ανισοτήτων συχνά υποβιβάζεται στη σφαίρα της τέχνης. Και όπως όλη η τέχνη, υπάρχουν τεχνική, το σύνολο των οποίων είναι πολύ φαρδύ και είναι πολύ δύσκολο να τα κατακτήσεις όλα.

Μία από αυτές τις «βασικές» ανισώσεις είναι η ανισότητα Cauchy, η οποία υποδεικνύει την αναλογία δύο μέσων - του αριθμητικού μέσου όρου και του γεωμετρικού μέσου όρου. Ο αριθμητικός μέσος όρος μελετάται στο μάθημα της πέμπτης δημοτικού και μοιάζει με αυτόΟ γεωμετρικός μέσος όρος εμφανίζεται για πρώτη φορά στο μάθημα γεωμετρίας της όγδοης τάξης -. ΣΤΟ ορθογώνιο τρίγωνοτρία τμήματα έχουν αυτήν την ιδιότητα: δύο σκέλη και μια κάθετη πέσει από την κορυφή ορθή γωνίαστην υποτείνουσα.

Ανάμεσα σε αυτές τις δύο ποσότητες υπάρχει μια εκπληκτική σχέση που έχουν μελετήσει οι επιστήμονες. Ο O. Cauchy, ένας Γάλλος μαθηματικός, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο αριθμητικός μέσος όρος των n μη αρνητικών αριθμών δεν είναι πάντα μικρότερος από τον γεωμετρικό μέσο όρο αυτών των αριθμών.

Μαζί με την ανισότητα Cauchy, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τις συνέπειες αυτής:

Η ισότητα επιτυγχάνεται όταν a = b.

Οι ανισώσεις είναι αληθείς εάν πληρούνται οι συνθήκες a > 0, b > 0.

Η αλγεβρική απόδειξη αυτής της ανισότητας είναι αρκετά απλή:

(a – c)² ≥ 0;

Εφαρμόζουμε τον τύπο "τετράγωνη διαφορά":

a² - 2av + c² ≥0;

Ας προσθέσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας 4 av :

a² + 2av + v² ≥4av;

Εφαρμόζουμε τον τύπο "τετράγωνο του αθροίσματος":

(a + c)² ≥4av;

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με 4 :

Από το α και το β είναι θετικές κατά συνθήκη, τότε εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα και από τα δύο μέρη της ανισότητας:

Πήραμε την επιθυμητή έκφραση.

Εξετάστε τη γεωμετρική απόδειξη:

Δίνεται: Το ABCD είναι ορθογώνιο, AD = a, AB = b, AK είναι η διχοτόμος της γωνίας BAD.

Αποδεικνύω:

Απόδειξη:

1. Το AK είναι διχοτόμος, επομένως,ΜΠΑΛ = ΠΑΛΙ. LAD και BLA - εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες με παράλληλες BC και AD και τέμνουσα AL, δηλαδή BLA=ΠΑΛΙ.
2. B \u003d 90 °, επομένως, BAL = LAD = 45°, αλλά BLA = LAD, άρα ∆ ABL - ισοσκελές, BL = AB = β.
3. ∆AKD ισοσκελές, αφού ΚΔ┴ μ.Χ., DAL = 45°, άρα AD = KD = α.

Είναι προφανές ότι, ισότητα επιτυγχάνεται όταν

α = β , άρα το ABCD είναι τετράγωνο.

αντικαταστήσει στην ανισότητα a² ανά m, b² ανά n, παίρνουμε

Ή ,

δηλαδή ο γεωμετρικός μέσος όρος δεν είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητικό μέσο όρο.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Μέθοδος σύνθεσης.

Αυτή είναι μια μέθοδος που βασίζεται στην απόκτηση (σύνθεση) της ανισότητας (που πρέπει να αιτιολογηθεί) από τις (βασικές) ανισότητες αναφοράς και μεθόδους για τη διαπίστωσή τους.

Ας λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο σύνθεσης

Πρόβλημα 1. Αποδείξτε ότι για κάθε μη αρνητικόα, β, γ την ανισότητα

Λύση. Ας γράψουμε τρεις ανισώσεις που καθορίζουν τη σχέση μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου και του γεωμετρικού μέσου όρου δύο μη αρνητικών αριθμών

Πολλαπλασιάζουμε τις προκύπτουσες ανισώσεις κατά όρο, αφού το αριστερό και το δεξί τους μέρος είναι μη αρνητικά

Πρόβλημα 2. Εφαρμόστε την ανισότητα Cauchy στην απόδειξη αυτής της ανισότητας:

Μέθοδος χρήσης ταυτοτήτων.

Η ουσία της μεθόδου είναι ότι η δεδομένη ανισότητα μειώνεται σε μια προφανή ταυτότητα μέσω ισοδύναμων μετασχηματισμών.

Σκεφτείτε να λύσετε το πρόβλημα με αυτήν τη μέθοδο.

Μια εργασία. Να το αποδείξετε για τυχόν πραγματικούς αριθμούςα και β την ανισότητα.

Λύση. Ας ξεχωρίσουμε το πλήρες τετράγωνο στην αριστερή πλευρά της ανισότητας

Για κάθε έγκυροα και β αυτή η έκφραση είναι μη αρνητική, που σημαίνει ότι αυτή η ανισότητα είναι επίσης εφικτή, δηλαδή.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η παρούσα ερευνητική εργασία είχε ως στόχο την επίλυση των παρακάτω προβλημάτων:

• συλλογή πληροφοριών και μελέτη διάφορες μεθόδουςκαι τεχνικές για την απόδειξη ανισοτήτων.
• εξοικείωση με την αξιοσημείωτη ανισότητα Cauchy, την απόδειξή της με αλγεβρικό και γεωμετρικό τρόπο.
• την εφαρμογή της αποκτηθείσας γνώσης για την απόδειξη ανισοτήτων·
• εξοικείωση με τη μέθοδο της σύνθεσης και τη χρήση ταυτοτήτων στην επίλυση προβλημάτων.

Στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων, πετύχαμε τον στόχο μας ερευνητικό έργο– εύρεση του βέλτιστου αποτελεσματική μέθοδοςαπόδειξη ανισοτήτων.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Αλγεβρα. 8η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενικούς μαθητές Institution/ Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, I.E.Feoktistov.-13th ed.

1. Αλγεβρα. 8η τάξη. Διδακτικό υλικό. Κατευθυντήριες γραμμές/ I.E. Feoktistov.-3η έκδ., Στερ.-Μ.: Mnemozina, 2013.-173 σελ.

1. Mordkovich A.G. Αλγεβρα. 8η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Βιβλίο μαθητή Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Α.Γ. Μόρντκοβιτς. - 10η έκδ., σβησμένο. – Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 215σ., Σ. 185-200.

1. Μπερκολαϊκό Σ.Τ. Χρήση της ανισότητας Cauchy στην επίλυση προβλημάτων.- M.: Kvant, 1975.- Αρ. 4.

Μια σπάνια Ολυμπιάδα κάνει χωρίς προβλήματα στην οποία απαιτείται να αποδείξει κάποια ανισότητα. Οι αλγεβρικές ανισότητες αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους, στις οποίες βασίζονται ισοδύναμους μετασχηματισμούςκαι ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων:

1) αν a – b > 0, τότε a > b; αν α - β

2) αν a > b, τότε b a;

3) αν α

4) εάν α

5) αν είναι 0, τότε ac

6) εάν ένα π.Χ. a / c > b / c;

7) εάν ένα 1

8) αν 0

Ας θυμηθούμε μερικές βασικές ανισότητες που χρησιμοποιούνται συχνά για να αποδείξουν άλλες ανισότητες:

1) a 2 > 0;

2) aх 2 + bx + c > 0, με a > 0, b 2 - 4ac

3) x + 1 / x > 2, για x > 0, και x + 1 / x –2, για x

4) |a + b| |α| + |b|, |a – b| > |α| – |b|;

5) αν a > b > 0, τότε 1 / a

6) αν a > b > 0 και x > 0, τότε a x > b x, ειδικότερα, για φυσικό n > 2

a 2 > b 2 και n √ a > n √ σι;

7) αν a > b > 0 και x

8) αν x > 0, τότε αμαρτίαΧ

Πολλά προβλήματα του επιπέδου της Ολυμπιάδας, και αυτά δεν είναι μόνο ανισότητες, επιλύονται αποτελεσματικά με τη βοήθεια κάποιων ειδικών ανισοτήτων, με τις οποίες οι μαθητές συχνά δεν είναι εξοικειωμένοι. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να περιλαμβάνουν:

• ανισότητα μεταξύ αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου όρου θετικούς αριθμούς(Η ανισότητα του Cauchy):

• Η ανισότητα του Bernoulli:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, όπου α > -1, n είναι φυσικός αριθμός.

• Ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2 )

Οι πιο «δημοφιλείς» μέθοδοι απόδειξης των ανισοτήτων περιλαμβάνουν:

• απόδειξη ανισοτήτων με βάση τον ορισμό·
• μέθοδος επιλογής τετραγώνου.
• μέθοδος διαδοχικών αξιολογήσεων·
• μέθοδος μαθηματική επαγωγή;
• χρήση ειδικών και κλασικών ανισοτήτων.
• χρήση στοιχείων μαθηματικής ανάλυσης.
• χρήση γεωμετρικών εκτιμήσεων·
• η ιδέα της ενίσχυσης κ.λπ.

Προβλήματα με λύσεις

1. Να αποδείξετε την ανισότητα:

α) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c);

β) α 2 + β 2 + 1 > ab + a + b;

γ) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 για x > 0, y > 0.

α) Έχουμε

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 - 2a - 2b - 2c = (a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 > 0,

που είναι προφανές.

β) Η προς απόδειξη ανισότητα, αφού πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη επί 2, παίρνει τη μορφή

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

ή

(a 2 - 2ab + b 2) + (a 2 - 2a + 1) + (b 2 - 2b + 1) > 0,

ή

(α – β) 2 + (α – 1) 2 + (β – 1) 2 > 0,

που είναι προφανές. Η ισότητα λαμβάνει χώρα μόνο όταν a = b = 1.

γ) Έχουμε

x 5 + y 5 - x 4 y - x 4 y = x 5 - x 4 y - (x 4 y - y 5) = x 4 (x - y) - y 4 (x - y) =

\u003d (x - y) (x 4 - y 4) \u003d (x - y) (x - y) (x + y) (x 2 + y 2) \u003d (x - y) 2 (x + y ) (x 2 + y 2) > 0.

2. Να αποδείξετε την ανισότητα:

ένα)	ένα	+	σι		>	2 για a > 0, b > 0;
	σι		ένα

σι)	R	+	R	+	R		> 9, όπου a, b, c είναι οι πλευρές και P είναι η περίμετρος του τριγώνου.
	ένα		σι		ντο

γ) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, όπου a > 0, b > 0, c > 0.

α) Έχουμε:

ένα	+	σι	– 2 =	α 2 + β 2 - 2αβ	=	(α – β) 2		> 0.
σι		ένα		αβ		αβ

σι ) Η απόδειξη αυτής της ανισότητας προκύπτει βασικά από την ακόλουθη εκτίμηση:

β+γ	+	α+γ	+	α+β	=
ένα		σι		ντο

=

σι

+

ντο

+

ένα

+

ντο

+

ένα

+

σι

=

ένα

ένα

σι

σι

ντο

ντο

= (

σι

+

ένα

) + (

ντο

+

ένα

) + (

ντο

+

σι

) > 6,

ένα

σι

ένα

ντο

σι

ντο

Η ισότητα επιτυγχάνεται για ισόπλευρο τρίγωνο.

γ) Έχουμε:

ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) =

= abc (

ένα

+

σι

– 2 +

σι

+

ντο

– 2 +

ένα

+

ντο

– 2 ) =

ντο

ντο

ένα

ένα

σι

σι

= abc ((

ένα

+

σι

– 2) + (

ένα

+

ντο

– 2) + (

σι

+

ντο

– 2) ) > 0,

σι

ένα

ντο

ένα

ντο

σι

επειδή το άθροισμα δύο θετικών αντίστροφων αριθμών είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 2.

3. Να αποδείξετε ότι αν a + b = 1, τότε ισχύει η ανίσωση a 8 + b 8 > 1 / 128.

Από την προϋπόθεση ότι a + b = 1, προκύπτει ότι

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

Ας προσθέσουμε αυτή την ισότητα με την προφανή ανισότητα

a 2 - 2ab + b 2 > 0.

Παίρνουμε:

2a 2 + 2b 2 > 1, ή 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

παίρνουμε:

8α 4 + 8β 4 > 1, από όπου 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Προσθέτοντας αυτή την ανισότητα στην προφανή ανισότητα

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

παίρνουμε:

128a8 + 128b8 > 1 ή a 8 + b 8 > 1/128 .

4. Τι περισσότερο e e π πή μι 2 pi?

Εξετάστε τη συνάρτηση f(x) = x – π log x . Επειδή η f'(x) = 1 – π / x , και στα αριστερά της τελείας Χ = π f'(x) 0 , και στα δεξιά - f'(x) > 0, έπειτα f(x)Εχει μικρότερη τιμήστο σημείο Χ = π . Με αυτόν τον τρόπο f(e) > f(π), αυτό είναι

e – π ln e = e – π > π – π ln π

ή

μι + π log π > 2π .

Ως εκ τούτου το καταλαβαίνουμε

μι e+ π log π > μι 2 pi,

αυτήν· μι π log π > μι 2 π ,

e e π π > μι 2 pi.

5. Αποδείξτε το

log(n + 1) >	lg 1 + lg 2 + . . . + log n	.
	n

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, είναι εύκολο να μειωθεί αυτή η ανισότητα σε μια ισοδύναμη ανισότητα:

(n + 1) n > n!,

όπου ν! = 1 2 3 . . . · n (n-παραγοντικό). Επιπλέον, υπάρχει ένα σύστημα προφανών ανισοτήτων:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n

μετά τον πολλαπλασιασμό του οποίου κατά όρο, παίρνουμε αμέσως ότι (n + 1) n > n!.

6. Αποδείξτε ότι 2013 2015 2015 2013

Εχουμε:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013 2 (2014 - 1) 2013 (2014 + 1) 2013

Προφανώς, μπορεί κανείς να λάβει μια γενική δήλωση: για κάθε φυσικό n, η ανισότητα

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1

7. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ισχύει η ακόλουθη ανίσωση:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2n - 1	.
1!		2!		3!		n!		n

Ας υπολογίσουμε την αριστερή πλευρά της ανισότητας:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		n!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	12		1 2 3		1 2 3 4		1 2 3 . . . n

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	12		2 3		3 4		(n – 1) n

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		n - 1		n		n

Q.E.D.

8. Έστω ένα 1 2 , ένα 2 2 , ένα 3 2 , . . . , και n 2 είναι τα τετράγωνα n διαφορετικών φυσικών αριθμών. Αποδείξτε το

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	α 1 2			α 2 2			α 3 2			α ν 2		2

Έστω ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς ίσος με m. Επειτα

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	α 1 2			α 2 2			α 3 2			α ν 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			m2

αφού μέσα σωστη πλευραπροστέθηκαν πολλαπλασιαστές μικρότεροι από 1.Υπολογίζουμε τη δεξιά πλευρά συνυπολογίζοντας κάθε παρένθεση:

=	2 3 2 4 2 . . . (m - 1) 2 (m + 1)	=	m + 1	=	1	+	1	>	1	.
	2 2 3 2 4 2 . . . m2 Ανοίγοντας τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε το άθροισμα 1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . . + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . . + a n –2 a n –1 a n) + . . . + a 1 a 2 . . . α ν . Το άθροισμα των αριθμών στη δεύτερη αγκύλη δεν υπερβαίνει το (a 1 + . . . . . + a n) 2, το άθροισμα στην τρίτη αγκύλη δεν υπερβαίνει το (a 1 + . . . . . . + a n) 3 κ.ο.κ. Ως εκ τούτου, ολόκληρο το προϊόν δεν υπερβαίνει 1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + . . . + 1/2n = 2 – 1/2n Μέθοδος 2. Ας αποδείξουμε με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι για όλους τους φυσικούς αριθμούς n ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: (1 + a1) . . . (1 + an) Για n = 1 έχουμε: 1 + a 1 1 . Έστω για n = k έχουμε:(1 + α 1 ) . . . (1 + a k ) 1 + . . . + a k ). Θεωρήστε την περίπτωση n = k +1:(1 + α 1 ) . . . (1 + a k )(1 + a k +1 ) (1 + 2(a 1 + . . . + a k ) )(1 + α k+1 ) ≤ 1 + 2(α 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 1 / 2) = 1 + 2(a 1 + . . . + a k + a k +1 ). Δυνάμει της αρχής της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται η ανισότητα. 10. Να αποδείξετε την ανισότητα Bernoulli: (1 + α) n ≥ 1 + nα, όπου α > -1, n είναι φυσικός αριθμός. Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Για n = 1 παίρνουμε την αληθινή ανισότητα: 1 + α ≥ 1 + α. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: (1 + α) n ≥ 1 + nα. Ας το δείξουμε τότε το έχουμε (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α. Πράγματι, αφού α > –1 σημαίνει α + 1 > 0, τότε πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ανισότητας (1 + α) n ≥ 1 + nα στο (a + 1), παίρνουμε (1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα) (1 + α) ή (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 Επειδή nα 2 ≥ 0, επομένως, (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α. Έτσι, σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η ανισότητα του Bernoulli είναι αληθής. Προβλήματα χωρίς λύσεις 1. Να αποδείξετε την ανισότητα για θετικές αξίεςμεταβλητές a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c). 2. Να αποδείξετε ότι για κάθε α η ανισότητα 3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2 . 3. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Χ 12 – Χ 9 + Χ 4 – ΧΤο + 1 είναι θετικό για όλες τις τιμές του x. 4. Για 0 e να αποδείξετε την ανισότητα (μι+ x) μι– x > ( μι- Χ) μι+ x . 5. Έστω θετικοί αριθμοί a, b, c. Αποδείξτε το α+β + β+γ + α+γ ≤ 1 + 1 +

MOU Grishino - Γυμνάσιο Slobodskaya

Πρόγραμμα ενότητας

"Μέθοδοι για την απόδειξη ανισοτήτων"

εντός του μαθήματος επιλογής

"Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών"

για μαθητές των τάξεων 10-11

Συντάχθηκε από:

καθηγητής μαθηματικών

Pankova E.Yu.

Επεξηγηματικό σημείωμα

«Τα μαθηματικά ονομάζονται ταυτολογική επιστήμη: με άλλα λόγια, οι μαθηματικοί λέγεται ότι αφιερώνουν χρόνο για να αποδείξουν ότι τα πράγματα είναι ίσα με τον εαυτό τους. Αυτή η δήλωση είναι εξαιρετικά ανακριβής για δύο λόγους. Πρώτον, τα μαθηματικά, παρά το χαρακτηριστικό τους επιστημονική γλώσσα, δεν είναι επιστήμη. μάλλον μπορεί να ονομαστεί τέχνη. κατα δευτεροντα βασικά αποτελέσματα των μαθηματικών εκφράζονται συχνότερα με ανισότητες παρά με ισότητες».

Οι ανισότητες χρησιμοποιούνται σε πρακτική δουλειάμαθηματικά όλη την ώρα. Χρησιμοποιούνται για την απόκτηση μιας σειράς από ενδιαφέρουσες και σημαντικές ακραίες ιδιότητες «συμμετρικών» σχημάτων: τετράγωνο, κύβο, ισόπλευρο τρίγωνο, καθώς και για την απόδειξη της σύγκλισης επαναληπτικών διεργασιών και τον υπολογισμό ορισμένων ορίων. Ο ρόλος των ανισοτήτων είναι επίσης σημαντικός σε διάφορα ζητήματα της φυσικής επιστήμης και της τεχνολογίας.

Τα προβλήματα για την απόδειξη των ανισοτήτων είναι τα πιο δύσκολα και ενδιαφέροντα από τα παραδοσιακά. Η απόδειξη των ανισοτήτων απαιτεί πραγματική εφευρετικότητα, δημιουργικότητα που κάνει τα μαθηματικά το συναρπαστικό μάθημα που είναι.

Η τεκμηριωμένη διδασκαλία παίζει μεγάλο ρόλο στην ανάπτυξη της απαγωγικής-μαθηματικής σκέψης και των γενικών δεξιοτήτων σκέψης των μαθητών. Πώς να διδάξετε τους μαθητές να πραγματοποιούν ανεξάρτητα αποδείξεις ανισοτήτων; Η απάντηση είναι: μόνο εξετάζοντας πολλές τεχνικές και μεθόδους απόδειξης και εφαρμόζοντάς τες τακτικά.

Οι ιδέες που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη των ανισοτήτων είναι σχεδόν τόσο διαφορετικές όσο και οι ίδιες οι ανισότητες. Σε συγκεκριμένες καταστάσεις, οι γενικές μέθοδοι συχνά οδηγούν σε άσχημες λύσεις. Όμως ο μη προφανής συνδυασμός πολλών «βασικών» ανισοτήτων είναι δυνατός μόνο για λίγους μαθητές. Και, εξάλλου, τίποτα δεν εμποδίζει τον μαθητή σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση να αναζητήσει μια καλύτερη λύση από αυτή που επιτυγχάνεται με τη γενική μέθοδο. Για το λόγο αυτό, η απόδειξη ανισοτήτων συχνά υποβιβάζεται στη σφαίρα της τέχνης. Και όπως σε κάθε τέχνη, έχει τις δικές της τεχνικές τεχνικές, το σύνολο των οποίων είναι πολύ ευρύ και είναι πολύ δύσκολο να τις κατακτήσεις όλες, αλλά κάθε δάσκαλος πρέπει να προσπαθήσει να επεκτείνει το μαθηματικό εργαλείο που είναι διαθέσιμο στο απόθεμά του.

Αυτή η ενότητα συνιστάται για μαθητές των τάξεων 10-11. Δεν εξετάζονται εδώ όλες οι πιθανές μέθοδοι για την απόδειξη των ανισοτήτων (η μέθοδος αλλαγής μιας μεταβλητής, η απόδειξη ανισοτήτων με χρήση παραγώγου, η μέθοδος έρευνας και γενίκευσης και η τεχνική ταξινόμησης δεν επηρεάζονται). Μπορείτε να προσφέρετε να εξετάσετε άλλες μεθόδους στο δεύτερο στάδιο (για παράδειγμα, στην τάξη 11), εάν αυτή η ενότητα του μαθήματος προκαλεί ενδιαφέρον στους μαθητές, καθώς και την εστίαση στην επιτυχία της κατάκτησης του πρώτου μέρους του μαθήματος.

		Εξισώσεις και ανισώσεις με παράμετρο.
		Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων.
		Εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν το άγνωστο κάτω από το σύμβολο της ενότητας.
		Συστήματα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές.

"Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών"

"Μέθοδοι για την απόδειξη ανισοτήτων"

		Εισαγωγή.
		Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τον ορισμό.
		Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής.
		Εφαρμογή κλασικών ανισοτήτων.
		Γραφική μέθοδος.
		Η αντίθετη μέθοδος.
		Μια τεχνική για την εξέταση των ανισοτήτων σε σχέση με μία από τις μεταβλητές.
		Ιδέα ενίσχυσης.
		Μάθημα – έλεγχος.

Μάθημα 1. Εισαγωγή.

Η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα συναρπαστικό και προκλητικό θέμα στα μαθηματικά της δημοτικής. Απουσία ενιαία προσέγγισηστο πρόβλημα της απόδειξης ανισοτήτων, οδηγεί στην αναζήτηση μιας σειράς τεχνικών κατάλληλων για την απόδειξη ανισοτήτων ορισμένοι τύποι. Αυτό το μάθημα επιλογής θα εξετάσει παρακάτω μεθόδουςαπόδειξη ανισοτήτων:

Επανάληψη:

Εκτελέστε αποδείξεις για ορισμένες ιδιότητες.

Κλασικές ανισότητες:

1)
(Η ανισότητα του Cauchy)

2)

3)

4)

Αναφορά ιστορικού:

Η ανισότητα (1) πήρε το όνομά της Γάλλος μαθηματικός August Cauchy. Αριθμός
που ονομάζεται αριθμητικός μέσος όροςαριθμοί α και β.

αριθμός
που ονομάζεται γεωμετρικό μέσοαριθμοί α και β. Έτσι, η ανισότητα σημαίνει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος δύο θετικών αριθμών δεν είναι μικρότερος από τον γεωμετρικό μέσο όρο τους.

Επιπροσθέτως:

Εξετάστε αρκετούς μαθηματικούς σοφισμούς με ανισότητες.

Μαθηματικός σοφισμός- μια καταπληκτική δήλωση, στην απόδειξη της οποίας κρύβονται ανεπαίσθητα, και μερικές φορές αρκετά λεπτά λάθη.

Οι σοφισμοί είναι ψευδή αποτελέσματα που λαμβάνονται με τη βοήθεια συλλογισμού που φαίνεται μόνο να είναι σωστό, αλλά απαραίτητα περιέχει ένα ή άλλο λάθος.

Παράδειγμα:

τέσσερις πάνω από δώδεκα

Μάθημα 2. Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τον ορισμό.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: προκειμένου να καθοριστεί η εγκυρότητα των ανισώσεων F(x,y,z)>S(x,y,z) να γίνει η διαφορά F(x,y,z)-S( x,y,z) και να αποδείξετε ότι είναι θετικό. Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, κάποιος συχνά ξεχωρίζει ένα τετράγωνο, έναν κύβο ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς, ένα ημιτελές τετράγωνο ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς. Αυτό βοηθά στον προσδιορισμό του σημείου της διαφοράς.

Παράδειγμα. Να αποδείξετε την ανισότητα (x+y)(x+y+2cosx)+2 2 sin 2x

Απόδειξη:

Θεωρήστε τη διαφορά (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

Μάθημα 3. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής.

Όταν αποδεικνύονται ανισότητες που περιλαμβάνουν ακέραιοι αριθμοίκαταφεύγουν συχνά στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Η μέθοδος είναι η εξής:

1) ελέγξτε την αλήθεια του θεωρήματος για n=1.

2) Υποθέτουμε ότι το θεώρημα είναι αληθές για κάποιο n=k, και με βάση αυτή την υπόθεση αποδεικνύουμε την αλήθεια του θεωρήματος για n=k+1.

3) Με βάση τα δύο πρώτα βήματα και την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, συμπεραίνουμε ότι το θεώρημα ισχύει για οποιοδήποτε n.

Παράδειγμα.

Αποδείξτε την ανισότητα

Απόδειξη:

1) για n=2 η ανισότητα είναι αληθής:

2) Έστω η ανισότητα αληθής για n=k δηλ.
(*)

Ας αποδείξουμε ότι η ανισότητα ισχύει για n=k+1, δηλ.
. Ας πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της ανίσωσης (*) με
παίρνουμε 3) Από το στοιχείο 1. και το στοιχείο 2 συμπεραίνουμε ότι η ανίσωση ισχύει για οποιοδήποτε n.

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

Μάθημα 4 Εφαρμογή κλασικών ανισοτήτων.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: χρησιμοποιώντας μια σειρά μετασχηματισμών, η απαιτούμενη ανισότητα προκύπτει χρησιμοποιώντας ορισμένες κλασικές ανισότητες.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Απόδειξη:

Ως ανισότητα αναφοράς χρησιμοποιούμε
.

Μειώνουμε αυτήν την ανισότητα σε επόμενο είδος:

, έπειτα

Αλλά =
, έπειτα

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(για απόδειξη χρησιμοποιούμε την ανισότητα
)

2)
(για τεκμηρίωση, χρησιμοποιείται η ανισότητα)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (η ανισότητα χρησιμοποιείται για απόδειξη)

4)
(για doc-va χρησιμοποιείται η ανισότητα).

Μάθημα 5 Γραφική μέθοδος.

Απόδειξη ανισοτήτων γραφική μέθοδοςέχει ως εξής: αν αποδείξουμε την ανισότητα f(x)>g(x)(f(x)

1) να δημιουργήσετε γραφήματα των συναρτήσεων y=f(x) και y=g(x);

2) αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) βρίσκεται πάνω (κάτω) από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=g(x), τότε η ανισότητα που αποδεικνύεται είναι αληθής.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

cosx
, x0

Απόδειξη:

Ας κατασκευάσουμε σε ένα σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=cosx και

Από το γράφημα φαίνεται ότι στο x0 η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=cosx βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= .

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1)

3)ln(1+x) 0

4)
.

5)

Μάθημα 6

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: ας είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η αλήθεια της ανίσωσης F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Το αντίθετο υποτίθεται, δηλαδή, ότι η ανισότητα F(x,y,z) S(x,y,z) (2) ισχύει για τουλάχιστον ένα σύνολο μεταβλητών. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ανισώσεων πραγματοποιούνται μετασχηματισμοί της ανισότητας (2). Εάν ως αποτέλεσμα αυτών των μετασχηματισμών προκύψει μια ψευδής ανισότητα, τότε αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση για την εγκυρότητα της ανισότητας (2) είναι εσφαλμένη, και επομένως η ανισότητα (1) είναι αληθής.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Απόδειξη:

Υποθέστε το αντίθετο, δηλ.

Ας τετραγωνίσουμε και τα δύο μέρη της ανισότητας, παίρνουμε , από πού
και πέρα

. Αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την ανισότητα του Cauchy. Άρα η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη, δηλ. η ανισότητα είναι αληθινή

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Μάθημα 7 Μια τεχνική για την εξέταση των ανισοτήτων σε σχέση με μία από τις μεταβλητές.

Η ουσία της μεθόδου είναι να εξετάσουμε την ανισότητα και τη λύση της σε σχέση με μία μεταβλητή.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Απόδειξη:

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1)

2)

3)

Μάθημα 9 Μάθημα – έλεγχος των γνώσεων των μαθητών.

Η εργασία σε αυτό το μάθημα μπορεί να οργανωθεί σε ζευγάρια ή εάν υπάρχει μεγάλο μέγεθος τάξης σε ομάδες. Στο τέλος του μαθήματος, κάθε μαθητής θα πρέπει να αξιολογηθεί. Αυτό είναι το αντίγραφο αυτού του μαθήματος. Δεν συνιστάται η διεξαγωγή εργασιών ελέγχου σε αυτό το θέμα. η απόδειξη ανισοτήτων, όπως ήδη αναφέρθηκε στο επεξηγηματικό σημείωμα, ανήκει στον τομέα της τέχνης. Στην αρχή οι μαθητές καλούνται να προσδιορίσουν οι ίδιοι τη μέθοδο απόδειξης των προτεινόμενων ανισοτήτων. Εάν οι μαθητές έχουν δυσκολίες, τότε ο δάσκαλος τους λέει την ορθολογική μέθοδο, προειδοποιώντας την ομάδα ότι αυτό, φυσικά, θα επηρεάσει την αξιολόγησή τους.

μεθόδους απόδειξηανισότητες. το μέθοδοςαπόδειξη τουανισότητεςμε την εισαγωγή βοηθητικών λειτουργιών...

Μάθημα Επιλογής Μαθηματικά Μέθοδοι Απόδειξης Ανισότητας

μάθημα επιλογής

άγνωστος, διαφορετικός μεθόδουςαπόδειξη τουανισότητες, καθώς και την εφαρμογή ανισότητες ανισότητεςμε τη χρήση μέθοδος μέθοδοςΓια απόδειξη τουανισότητεςγια την επίλυση προβλημάτων...

Μάθημα επιλογής στα μαθηματικά Ανισότητες Αποδεικτικές μέθοδοι Επεξηγηματικό σημείωμα

μάθημα επιλογής

άγνωστος, διαφορετικός μεθόδουςαπόδειξη τουανισότητες, καθώς και την εφαρμογή ανισότητεςκατά την επίλυση προβλημάτων διαφόρων ... Να είναι σε θέση να: αξιολογεί ανισότητεςμε τη χρήση μέθοδος Sturm, η αίτηση λαμβάνεται υπόψη μέθοδοςΓια απόδειξη τουανισότητεςγια την επίλυση προβλημάτων...

Μάθημα επιλογής στα μαθηματικά Ανισότητες Αποδεικτικές μέθοδοι Επεξηγηματική σημείωση (1)

μάθημα επιλογής

άγνωστος, διαφορετικός μεθόδουςαπόδειξη τουανισότητες, καθώς και την εφαρμογή ανισότητεςκατά την επίλυση προβλημάτων διαφόρων ... Να είναι σε θέση να: αξιολογεί ανισότητεςμε τη χρήση μέθοδος Sturm, η αίτηση λαμβάνεται υπόψη μέθοδοςΓια απόδειξη τουανισότητεςγια την επίλυση προβλημάτων...