Άμεση και αντίστροφη αναλογικότητα 6. Παρουσίαση για μάθημα άλγεβρας (6 τάξη) με θέμα: Άμεση και αντίστροφη αναλογικότητα

Η αναλογικότητα είναι η σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων, κατά την οποία μια αλλαγή σε μία από αυτές συνεπάγεται αλλαγή στην άλλη κατά το ίδιο ποσό.

Η αναλογικότητα είναι άμεση και αντίστροφη. ΣΤΟ αυτό το μάθημαθα δούμε το καθένα από αυτά.

Περιεχόμενο μαθήματος

Άμεση αναλογικότητα

Ας υποθέσουμε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 50 km/h. Θυμόμαστε ότι η ταχύτητα είναι η απόσταση που διανύθηκε ανά μονάδα χρόνου (1 ώρα, 1 λεπτό ή 1 δευτερόλεπτο). Στο παράδειγμά μας, το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 50 km/h, δηλαδή σε μία ώρα θα διανύσει απόσταση ίση με πενήντα χιλιόμετρα.

Ας σχεδιάσουμε την απόσταση που διένυσε το αυτοκίνητο σε 1 ώρα.

Αφήστε το αυτοκίνητο να κινηθεί για άλλη μια ώρα με την ίδια ταχύτητα πενήντα χιλιομέτρων την ώρα. Τότε αποδεικνύεται ότι το αυτοκίνητο θα διανύσει 100 χλμ

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, ο διπλασιασμός του χρόνου οδήγησε σε αύξηση της απόστασης που διανύθηκε κατά το ίδιο ποσό, δηλαδή δύο φορές.

Μεγέθη όπως ο χρόνος και η απόσταση λέγεται ότι είναι ευθέως ανάλογες. Η σχέση μεταξύ αυτών των μεγεθών ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα.

Η ευθεία αναλογικότητα είναι η σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων, κατά την οποία η αύξηση της μίας από αυτές συνεπάγεται αύξηση της άλλης κατά το ίδιο ποσό.

και αντίστροφα, αν η μία τιμή μειώνεται κατά έναν ορισμένο αριθμό φορές, τότε η άλλη μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.

Ας υποθέσουμε ότι αρχικά σχεδιαζόταν να οδηγήσει ένα αυτοκίνητο 100 km σε 2 ώρες, αλλά μετά από 50 km, ο οδηγός αποφάσισε να κάνει ένα διάλειμμα. Τότε αποδεικνύεται ότι μειώνοντας την απόσταση στο μισό, ο χρόνος θα μειωθεί κατά το ίδιο ποσό. Με άλλα λόγια, μια μείωση της απόστασης που διανύθηκε θα οδηγήσει σε μείωση του χρόνου κατά τον ίδιο παράγοντα.

Ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό των ευθέως αναλογικών μεγεθών είναι ότι η αναλογία τους είναι πάντα σταθερή. Δηλαδή, κατά την αλλαγή των τιμών των άμεσα αναλογικών μεγεθών, η αναλογία τους παραμένει αμετάβλητη.

Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η απόσταση ήταν αρχικά ίση με 50 km και ο χρόνος ήταν μία ώρα. Ο λόγος της απόστασης προς το χρόνο είναι ο αριθμός 50.

Αυξήσαμε όμως τον χρόνο κίνησης κατά 2 φορές, κάνοντάς τον ίσο με δύο ώρες. Ως αποτέλεσμα, η απόσταση που διανύθηκε αυξήθηκε κατά το ίδιο ποσό, δηλαδή έγινε ίση με 100 km. Η αναλογία εκατό χιλιομέτρων προς δύο ώρες είναι και πάλι ο αριθμός 50

Ο αριθμός 50 ονομάζεται συντελεστής ευθείας αναλογικότητας. Δείχνει πόση απόσταση υπάρχει ανά ώρα κίνησης. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηο συντελεστής παίζει το ρόλο της ταχύτητας κίνησης, αφού η ταχύτητα είναι ο λόγος της απόστασης που διανύθηκε προς το χρόνο.

Οι αναλογίες μπορούν να γίνουν από άμεσα ανάλογες ποσότητες. Για παράδειγμα, οι αναλογίες και αποτελούν την αναλογία:

Πενήντα χιλιόμετρα σχετίζονται με μια ώρα όπως τα εκατό χιλιόμετρα σχετίζονται με δύο ώρες.

Παράδειγμα 2. Το κόστος και η ποσότητα των αγαθών που αγοράζονται είναι ευθέως ανάλογα. Εάν 1 κιλό γλυκών κοστίζει 30 ρούβλια, τότε 2 κιλά από τα ίδια γλυκά θα κοστίζουν 60 ρούβλια, 3 κιλά - 90 ρούβλια. Με την αύξηση του κόστους των αγορασθέντων αγαθών αυξάνεται και η ποσότητα του κατά το ίδιο ποσό.

Δεδομένου ότι η αξία ενός εμπορεύματος και η ποσότητα του είναι ευθέως ανάλογες, η αναλογία τους είναι πάντα σταθερή.

Ας γράψουμε την αναλογία τριάντα ρούβλια προς ένα κιλό

Τώρα ας γράψουμε με τι ισούται η αναλογία εξήντα ρούβλια προς δύο κιλά. Αυτή η αναλογία θα είναι πάλι ίση με τριάντα:

Εδώ, ο συντελεστής ευθείας αναλογικότητας είναι ο αριθμός 30. Αυτός ο συντελεστής δείχνει πόσα ρούβλια ανά κιλό γλυκών. ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαο συντελεστής παίζει το ρόλο της τιμής ενός κιλού αγαθού, αφού η τιμή είναι η αναλογία του κόστους του αγαθού προς την ποσότητα του.

Αντιστρόφως αναλογικότητα

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι 80 χιλιόμετρα. Ο μοτοσικλετιστής έφυγε από την πρώτη πόλη και με ταχύτητα 20 km/h έφτασε στη δεύτερη πόλη σε 4 ώρες.

Αν η ταχύτητα ενός μοτοσικλετιστή ήταν 20 km/h, αυτό σημαίνει ότι κάθε ώρα διένυε απόσταση ίση με είκοσι χιλιόμετρα. Ας απεικονίσουμε στο σχήμα την απόσταση που διένυσε ο μοτοσικλετιστής και το χρόνο της κίνησής του:

Στο δρόμο της επιστροφήςη ταχύτητα του μοτοσικλετιστή ήταν 40 km/h και πέρασε 2 ώρες στο ίδιο ταξίδι.

Είναι εύκολο να δούμε ότι όταν αλλάζει η ταχύτητα, ο χρόνος κίνησης έχει αλλάξει κατά το ίδιο ποσό. Και άλλαξε μέσα αντιθετη πλευρα- δηλαδή, η ταχύτητα αυξήθηκε, και ο χρόνος, αντίθετα, μειώθηκε.

Μεγέθη όπως η ταχύτητα και ο χρόνος ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα. Η σχέση μεταξύ αυτών των μεγεθών ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα.

Αντιστρόφως αναλογικότητα είναι η σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων, κατά την οποία η αύξηση της μιας από αυτές συνεπάγεται μείωση της άλλης κατά το ίδιο ποσό.

και αντίστροφα, αν η μία τιμή μειωθεί κατά έναν ορισμένο αριθμό φορές, τότε η άλλη αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.

Για παράδειγμα, αν στο δρόμο της επιστροφής η ταχύτητα ενός μοτοσικλετιστή ήταν 10 km / h, τότε θα κάλυπτε τα ίδια 80 km σε 8 ώρες:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, η μείωση της ταχύτητας οδήγησε σε αύξηση του χρόνου ταξιδιού κατά τον ίδιο παράγοντα.

Η ιδιαιτερότητα των αντιστρόφως ανάλογων μεγεθών είναι ότι το γινόμενο τους είναι πάντα σταθερό. Δηλαδή, κατά την αλλαγή των τιμών των αντιστρόφως ανάλογων ποσοτήτων, το προϊόν τους παραμένει αμετάβλητο.

Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η απόσταση μεταξύ των πόλεων ήταν 80 km. Κατά την αλλαγή της ταχύτητας και του χρόνου του μοτοσικλετιστή, αυτή η απόσταση παρέμενε πάντα αμετάβλητη.

Ένας μοτοσικλετιστής μπορούσε να διανύσει αυτή την απόσταση με ταχύτητα 20 χλμ./ώρα σε 4 ώρες και με ταχύτητα 40 χλμ./ώρα σε 2 ώρες και με ταχύτητα 10 χλμ./ώρα σε 8 ώρες. Σε όλες τις περιπτώσεις, το γινόμενο της ταχύτητας και του χρόνου ήταν ίσο με 80 km

Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα

Οι δύο ποσότητες ονομάζονται ευθέως ανάλογο, αν όταν το ένα από αυτά αυξηθεί πολλές φορές, το άλλο αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Αντίστοιχα, όταν ένα από αυτά μειώνεται κατά πολλές φορές, το άλλο μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.

Η σχέση μεταξύ αυτών των ποσοτήτων είναι άμεση. αναλογική εξάρτηση. Παραδείγματα ευθείας αναλογικής σχέσης:

1) σε σταθερή ταχύτητα, η απόσταση που διανύθηκε είναι ευθέως ανάλογη του χρόνου.

2) η περίμετρος ενός τετραγώνου και η πλευρά του είναι ευθέως ανάλογες.

3) το κόστος ενός εμπορεύματος που αγοράζεται σε μία τιμή είναι ευθέως ανάλογο με την ποσότητα του.

Για να διακρίνετε μια ευθεία αναλογική σχέση από μια αντίστροφη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την παροιμία: "Όσο πιο μακριά στο δάσος, τόσο περισσότερα καυσόξυλα".

Είναι βολικό να λύνουμε προβλήματα για άμεσα ανάλογα μεγέθη χρησιμοποιώντας αναλογίες.

1) Για την κατασκευή 10 εξαρτημάτων χρειάζονται 3,5 κιλά μέταλλο. Πόσο μέταλλο θα χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή 12 τέτοιων εξαρτημάτων;

(Μαλώνουμε ως εξής:

1. Στη συμπληρωμένη στήλη, τοποθετήστε το βέλος προς την κατεύθυνση από περισσότεροστο μικρότερο.

2. Όσο περισσότερα μέρη, τόσο περισσότερο μέταλλο χρειάζεται για την κατασκευή τους. Άρα είναι μια ευθέως αναλογική σχέση.

Έστω x κιλά μετάλλου για την κατασκευή 12 μερών. Δημιουργούμε την αναλογία (στην κατεύθυνση από την αρχή του βέλους μέχρι το τέλος του):

12:10=x:3,5

Για να βρούμε , πρέπει να διαιρέσουμε το γινόμενο των ακραίων όρων με τον γνωστό μεσαίο όρο:

Αυτό σημαίνει ότι θα απαιτηθούν 4,2 κιλά μετάλλου.

Απάντηση: 4,2 κιλά.

2) Πληρώθηκαν 1680 ρούβλια για 15 μέτρα υφάσματος. Πόσο κοστίζουν 12 μέτρα τέτοιου υφάσματος;

(1. Στη συμπληρωμένη στήλη, τοποθετήστε το βέλος προς την κατεύθυνση από τον μεγαλύτερο αριθμό προς τον μικρότερο.

2. Όσο λιγότερο ύφασμα αγοράζετε, τόσο λιγότερα πρέπει να πληρώσετε για αυτό. Άρα είναι μια ευθέως αναλογική σχέση.

3. Επομένως, το δεύτερο βέλος κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με το πρώτο).

Αφήστε τα x ρούβλια να κοστίζουν 12 μέτρα ύφασμα. Δημιουργούμε την αναλογία (από την αρχή του βέλους μέχρι το τέλος του):

15:12=1680:x

Για να βρούμε το άγνωστο ακραίο μέλος της αναλογίας, διαιρούμε το γινόμενο των μεσαίων όρων με το γνωστό ακραίο μέλος της αναλογίας:

Έτσι, τα 12 μέτρα κοστίζουν 1344 ρούβλια.

Απάντηση: 1344 ρούβλια.

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφανειών:

Ορισμός, παραδείγματα, καθήκοντα Άμεση και αντιστρόφως αναλογικότητα S v t Τιμή Ποσότητα Κόστος Αριθμός εργαζομένων Παραγωγικότητα Ποσό εργασίας

Παράδειγμα 2 Παράδειγμα 1 Η έννοια της άμεσης και της αντίστροφης αναλογικότητας με την οποία περπάτησε ο Μίσα σταθερή ταχύτητα 4 km/h Πόσο μακριά θα ταξιδέψει σε 1; 3; 6; 10 ώρες? Ο χρόνος και η απόσταση είναι αναλογικές τιμές.Όσες περισσότερες ώρες πάει ο Μίσα, τόσο περισσότερη απόσταση θα διανύσει. t 1 3 6 10 S Ο Misha διένυσε απόσταση 36 km. Με τι ταχύτητα κινήθηκε αν έφτασε για 1? 2; 3; 6 ώρες? Ο χρόνος και η απόσταση είναι αναλογικές τιμές.Όσες περισσότερες ώρες περνά ο Misha, τόσο πιο αργή είναι η ταχύτητα της κίνησης. t 1 2 3 6 V Είναι οι τιμές στα παραδείγματα 1 και 2 ανάλογες; Εμφανίζεται η ίδια αναλογικότητα στα παραδείγματα;

Ορισμός 2 Ορισμός 1 Ορισμός ευθείας και αντίστροφης αναλογικότητας Δύο μεγέθη ονομάζονται ευθέως αναλογικά εάν, όταν το ένα από αυτά αυξάνεται (μειώνεται) πολλές φορές, το άλλο αυξάνει (μειώνεται) επίσης κατά το ίδιο ποσό. Vel. 1 - Lead 2 Lead 1. - Lead 2. Lead. 1 - Μόλυβδος 2 Μολύβδου 1. - Μολύβδου 2. Δύο ποσότητες ονομάζονται ευθέως ανάλογες εάν, με αύξηση (μείωση) σε μία από αυτές πολλές φορές, η άλλη μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ίδιο ποσό. Vel. 1 - Μόλυβδος 2 Μόλυβδος 1. - Μόλυβδος 2.

Προσδιορισμός άμεσης και αντίστροφης αναλογικότητας Για 5 σημειωματάρια σε ένα κλουβί, πλήρωσαν 40 ρούβλια. Πόσο θα πληρώσουν για 12 ίδια τετράδια; Χρειάστηκαν 18 μέτρα ύφασμα για να ράψουν 9 πουκάμισα. Πόσες φανέλες θα πάρεις από τα 14 μέτρα; Προσδιορίστε τον τύπο της αναλογικότητας 6 εργαζόμενοι θα ολοκληρώσουν την εργασία σε 5 ώρες, πόσο χρόνο θα χρειαστούν 3 εργαζόμενοι για να κάνουν αυτήν την εργασία; Ο ράφτης έχει ένα κομμάτι ύφασμα. Αν ράψει από αυτό φορέματα, καθένα από τα οποία παίρνει 2 μέτρα, τότε θα ληφθούν 15 φορέματα. Πόσα κοστούμια μπορούν να βγουν από το ίδιο κόψιμο αν κάθε κοστούμι παίρνει 3 μέτρα ύφασμα;

Ορισμός άμεσης και αντίστροφης αναλογικότητας Σύνθεση σύντομη σημείωσηκαι προσδιορίστε το είδος της αναλογικότητας. (Οι τιμές με το ίδιο όνομα γράφονται η μία κάτω από την άλλη) Κάντε μια αναλογία. Εάν είναι άμεση αναλογικότητα, τότε οι τιμές γράφονται αναλογικά χωρίς αλλαγή. Εάν είναι αντιστρόφως ανάλογο, τότε σε μία από τις τιμές τα δεδομένα ανταλλάσσονται (αντίστροφα). Βρίσκεται ο άγνωστος όρος της αναλογίας. Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος Για 5 σημειωματάρια σε ένα κλουβί, πλήρωσαν 40 ρούβλια. Πόσο θα πληρώσουν για 12 ίδια τετράδια; Ποσότητα Κόστος 5 σημειωματάριων - 40 ρούβλια. 12 σημειωματάρια - x τρίψιμο. Απάντηση: 96 ρούβλια.

Ορισμός της ευθείας και της αντίστροφης αναλογικότητας Κάντε μια σύντομη σημείωση και προσδιορίστε το είδος της αναλογικότητας. (Οι τιμές με το ίδιο όνομα γράφονται η μία κάτω από την άλλη) Κάντε μια αναλογία. Εάν είναι άμεση αναλογικότητα, τότε οι τιμές γράφονται αναλογικά χωρίς αλλαγή. Εάν είναι αντιστρόφως ανάλογο, τότε σε μία από τις τιμές τα δεδομένα ανταλλάσσονται (αντίστροφα). Βρίσκεται ο άγνωστος όρος της αναλογίας. Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος 6 εργαζόμενοι θα ολοκληρώσουν την εργασία σε 5 ώρες, πόσο καιρό θα χρειαστούν 3 εργαζόμενοι για να κάνουν αυτήν την εργασία; Ποσότητα Χρόνος 6 εργασίας – 5 ώρες. 3 ώρες εργασίας. Απάντηση: 10 ώρες.

Με θέμα: μεθοδολογικές εξελίξεις, παρουσιάσεις και σημειώσεις

Το μάθημα περιλαμβάνει τη βελτίωση των δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων σε αυτό το θέμα, την ανάπτυξη της ικανότητας διάκρισης μεταξύ δύο τύπων αναλογικότητας. Το μάθημα χρησιμοποιεί στιγμές παιχνιδιού και αξιολόγηση μη παραδοσιακών γνώσεων. Ουρο...

Διαμόρφωση δεξιοτήτων για τον προσδιορισμό του είδους της εξάρτησης μεταξύ μεγεθών (άμεση / αντίστροφη) χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους (εργασίες) πολλαπλασιασμού ....

Τα μαθηματικά είναι η βάση και η βασίλισσα όλων των επιστημών, και σε συμβουλεύω να κάνεις φιλία με αυτά, φίλε μου. Αυτήν σοφούς νόμουςαν το κάνεις, θα αυξήσεις τις γνώσεις σου, θα τις εφαρμόσεις. Μπορείς να κολυμπήσεις στη θάλασσα, Μπορείς να πετάξεις στο διάστημα. Μπορείς να χτίσεις ένα σπίτι για ανθρώπους: Θα σταθεί για εκατό χρόνια. Μην είσαι τεμπέλης, δούλεψε, προσπάθησε, Γνωρίζοντας το αλάτι των επιστημών. Προσπαθήστε να αποδείξετε τα πάντα, αλλά ακούραστα.

3 Επιλογή απάντησης με το αντίστοιχο γράμμα της κρυφής λέξης: 17-c; 7-l; 0,1-i; 14-s; 0,2-a; 25-κ. Βρείτε τους αριθμούς που λείπουν και βρείτε τη λέξη: 3+37:5 3. 0.3 +4.1: .45: .7 5.6:0.7:2 0 +4.8:26 λέξη.9 50.050.1 0.050.337 80,45,20 ,2 sila Αυτή η λέξη είναι δύναμη. Σύνθημα μαθήματος: Η δύναμη βρίσκεται στη γνώση! Ψάχνω, άρα μαθαίνω!

Μια ευθεία αναλογική σχέση είναι μια τέτοια εξάρτηση ποσοτήτων στην οποία ... Αντιστρόφως αναλογική σχέση είναι μια τέτοια εξάρτηση μεγεθών στην οποία ... Για να βρείτε το άγνωστο ακραίο μέλος της αναλογίας ... Το μεσαίο μέλος της αναλογίας είναι . .. Η αναλογία είναι αληθής αν...

Γ) ... όταν μια τιμή αυξάνεται πολλές φορές, η άλλη μειώνεται κατά το ίδιο ποσό. Χ) ... το γινόμενο των ακραίων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων όρων της αναλογίας. Α) ... όταν μια τιμή αυξάνεται πολλές φορές, η άλλη αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. P) ... πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο των μεσαίων μελών της αναλογίας με το γνωστό ακραίο μέλος. Υ) ... όταν μια τιμή αυξάνεται πολλές φορές, η άλλη αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Ε) ... ο λόγος του γινομένου των ακραίων όρων προς τον γνωστό μέσο όρο

4. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου και ο χρόνος της κίνησής του είναι αντιστρόφως ανάλογες. 5. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η απόσταση που διανύθηκε είναι αντιστρόφως ανάλογες. 6. Δύο ποσότητες λέγονται αντιστρόφως ανάλογες αν, όταν το ένα διπλασιάζεται, το άλλο μειώνεται στο μισό.

Ας ελέγξουμε τις απαντήσεις:

Λύση. Αριθμός μπουλντόζες. 150 λεπτά. \u003d 2,5 ώρες Απάντηση: σε 2,5 ώρες Αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων για ευθείες και αντιστρόφως αναλογικές εξαρτήσεις: άγνωστος αριθμόςσυμβολίζεται με x. Η συνθήκη γράφεται με τη μορφή πίνακα. Καθορίζεται το είδος της εξάρτησης μεταξύ των ποσοτήτων. Η ευθέως αναλογική εξάρτηση υποδεικνύεται με ίσα κατευθυνόμενα βέλη και η αντιστρόφως ανάλογη εξάρτηση υποδεικνύεται με αντίθετα κατευθυνόμενα βέλη. Η αναλογία καταγράφεται. Εντοπίζεται άγνωστο μέλος.

Ελέγξτε τον εαυτό σας: Ποιες ποσότητες ονομάζονται ευθέως ανάλογες; Δώστε παραδείγματα ευθέως αναλογικών μεγεθών. Ποια μεγέθη ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα; Δώστε παραδείγματα αντιστρόφως ανάλογων μεγεθών. Δώστε παραδείγματα μεγεθών των οποίων η εξάρτηση δεν είναι ούτε άμεσα ούτε αντιστρόφως ανάλογη.

Εργασία για το σπίτι. Π; 811; 812.

Κεφάλαιο 3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

Οι αναλογίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση προβλημάτων.

Γνωρίζετε, για παράδειγμα, ότι το κόστος ενός εμπορεύματος εξαρτάται από την ποσότητα του: μεγάλη ποσότητααγοράζονται αγαθά, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η αξία του. Τέτοιες ποσότητες ονομάζονται ευθέως αναλογικές.

Θυμάμαι!

Δύο ποσότητες λέγονται ευθέως ανάλογες εάν, όταν μια ποσότητα αυξάνεται (μειώνεται) πολλές φορές, η άλλη ποσότητα αυξάνεται (μειώνεται) κατά τον ίδιο αριθμό φορών.

Εργασία 1. Για 2 κιλά γλυκά πλήρωσαν 72 UAH. Πόσο θα κοστίσουν 4,5 κιλά από αυτά τα γλυκά;

Λύσεις.

Σημείωση:

εάν δύο ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες, τότε η αναλογία σχηματίζεται από την αναλογία των αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσοτήτων.

Στην πράξη, εκτός από την ευθέως αναλογική εξάρτηση των ποσοτήτων, υπάρχει και μια αντιστρόφως ανάλογη εξάρτηση. Για παράδειγμα, στο δρόμο για το σχολείο, όταν ο χρόνος τελειώνει, αυξάνεις την ταχύτητα της κίνησής σου για να μην αργήσεις στο μάθημα. Επομένως, η ταχύτητα της κίνησής σας εξαρτάται από την ώρα κίνησης: όσο μικρότερος είναι ο χρόνος κίνησης, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η ταχύτητά σας. Τέτοιες ποσότητες ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες.

Θυμάμαι!

Δύο ποσότητες ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες εάν, όταν μια ποσότητα αυξάνεται (μειώνεται) πολλές φορές, η άλλη ποσότητα μειώνεται (αυξάνεται) κατά τον ίδιο αριθμό φορών.

Εργασία 2. Ένα αυτοκίνητο, κινούμενο με ταχύτητα 90 km/h, διένυσε την απόσταση από το Cherkassy στο Κίεβο σε 2η 3 Πόσο γρήγορα κινούνταν; αντίστροφη κατεύθυνση, αν κάλυπτε την απόσταση από το Κίεβο στο Τσερκάσι σε 2,5η;

Λύσεις.

Σημείωση:

εάν δύο ποσότητες είναι αντιστρόφως ανάλογες, τότε η αναλογία σχηματίζεται από τις αμοιβαία αντίστροφες αναλογίες των αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσοτήτων.

Είναι δύο ποσότητες πάντα ευθέως ανάλογες ή αντιστρόφως ανάλογες; Ας συζητήσουμε. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια μιας ασθένειας, η θερμοκρασία ενός παιδιού μπορεί να ανεβαίνει και να πέφτει για αρκετές ημέρες. Και εδώ δεν υπάρχει εξάρτηση, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει αναλογικότητα. Αλλά η ανάπτυξη του παιδιού αυξάνεται συνεχώς με την αύξηση της ηλικίας. Κατά συνέπεια, υπάρχει σχέση μεταξύ των ποσοτήτων, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει λόγος να αναλυθούν ανάλογες με αυτές τις ποσότητες. Είναι σαφές ότι δεν υπάρχει αναλογική εξάρτηση εδώ, επομένως, δεν είναι απαραίτητο να μάθετε πώς ακριβώς είναι αυτές οι αναλογικές τιμές άμεσα ή το αντίστροφο. Εάν δύο ποσότητες είναι ανάλογες, τότε μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές που αποκλείουν αμοιβαία η μία την άλλη - είτε ευθεία αναλογικότητα είτε αντιστρόφως αναλογική.

Μάθετε περισσότερα

Το όνομα του Ιταλού μαθηματικού μοναχού συνδέεται έμμεσα με την ιστορία της χρυσής τομής.Λεονάρντο της Πίζας (1180-1240 σελ.), περισσότερο γνωστός ως Φιμπονάτσι (γιος του Μπονάτσι).

Ταξίδεψε πολύ στην Ανατολή, μύησε στην Ευρώπη τους ινδικούς (αραβικούς) αριθμούς. Το 1202 κυκλοφόρησε το μαθηματικό του έργο «The Book of the Abacus» (πίνακες μέτρησης), στο οποίο συγκεντρώθηκαν όλα τα γνωστά τότε προβλήματα. Ένα από τα καθήκοντα ήταν: «Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα γεννηθούν από ένα ζευγάρι σε ένα χρόνο;». Διαφωνώντας για αυτό το θέμα, ο Fibonacci δημιούργησε την ακόλουθη σειρά αριθμών:

0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .

Τώρα αυτή η ακολουθία αριθμών είναι γνωστή ως σειρά Fibonacci. Η ιδιαιτερότητα αυτής της ακολουθίας αριθμών είναι ότι κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το τρίτο, ισούται με το άθροισματα δύο προηγούμενα:

0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;

3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34

παρόμοια, και η αναλογία των γειτονικών αριθμών της σειράς πλησιάζει την αναλογία της χρυσής τομής. Για παράδειγμα:

21: 34 = 0,617, a34: 55 = 0,618.

ΘΥΜΑΣΤΕ ΤΑ ΚΥΡΙΟΤΕΡΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται ευθέως ανάλογα; Δώσε παραδείγματα.

2. Πώς επιλύετε προβλήματα για την ευθεία αναλογικότητα;

3. Ποια μεγέθη ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα; Δώσε παραδείγματα.

4. Επιλύω προβλήματα αντίστροφης αναλογικότητας;

5. Είναι πάντα ανάλογες δύο ποσότητες;

589". Δύο τιμές είναι ευθέως ανάλογες. Πώς θα αλλάξει η μία τιμή εάν η άλλη: α) αυξηθεί κατά 5 φορές, β) μειωθεί κατά 2 φορές;

Εξηγήστε την απάντηση.

590". Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, έκαναν μια συνοπτική εγγραφή:

1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,

4-48; 60-2; 4-50.

Είναι αυτές οι ποσότητες ευθέως ανάλογες;

591". Δύο τιμές είναι αντιστρόφως ανάλογες, Πώς θα αλλάξει η μία τιμή εάν η άλλη:

α) θα αυξηθεί κατά 4 φορές. β) μειωθεί κατά 6 φορές;

Εξηγήστε την απάντηση.

592". Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, έκαναν μια συνοπτική εγγραφή:

1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,

160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.

Είναι αυτές οι ποσότητες αντιστρόφως ανάλογες;

593°. Προσδιορίστε αν είναι ευθέως ανάλογο αυτή η εξάρτησηαξίες:

1) το κόστος των αγαθών που αγοράζονται σε μία τιμή και την ποσότητα των αγαθών.

2) τη μάζα του κουτιού με τα γλυκά και τον αριθμό των πανομοιότυπων γλυκών στο κουτί.

3) η διαδρομή που έχει διανύσει το αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα και ο χρόνος κίνησης.

4) η ταχύτητα κίνησης και ο χρόνος κίνησης για να ξεπεραστεί μια ορισμένη απόσταση.

5) το βάρος και το ύψος του ατόμου.

β) τη μάζα των μούρων και τη μάζα της ζάχαρης για την παρασκευή μαρμελάδας.

7) η περίμετρος του ορθογωνίου και το μήκος μιας από τις πλευρές του.

8) το μήκος της πλευράς του τετραγώνου και η περίμετρός του.

594°. Από τη συντομευμένη σημείωση του προβλήματος, βρείτε το x αν οι ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες.

1) 3 κιλά γλυκά -36 UAH, 2) 15 μέρη - 3 ώρες,

6 κιλά γλυκά x; x -2 ώρες.

595°. Πόσο κοστίζουν 10 κιλά γλυκά αν πληρώνονταν 128 UAH για 4 κιλά τέτοια γλυκά;

596°. Για 3 κιλά μήλα πλήρωσαν 24 UAH. Πόσο κοστίζουν 7 κιλά από αυτά τα μήλα;

597°. Το σκάφος διένυσε 80 χιλιόμετρα σε 4 ώρες. Πόσο μακριά θα ταξιδέψει το σκάφος σε 2 ώρες με την ίδια ταχύτητα;

598°. Ένας τουρίστας περπάτησε 20 χλμ σε 5 ώρες. Πόσες ώρες χρειάζεται ένας τουρίστας για να διανύσει μια απόσταση 28 χιλιομέτρων, κινούμενος με την ίδια ταχύτητα;

599°. Κατά το ψήσιμο ψωμιού από 1 κιλό αλεύρι σίκαλης, λαμβάνεται 1,4 κιλό ψωμί. Πόσο αλεύρι χρειάζεται για να πάρουμε 42 κιλά ψωμί;

600°. Από 3 κιλά ωμού κόκκους καφέ, λαμβάνονται 2,5 κιλά καβουρδισμένοι κόκκοι. Πόσα κιλά ωμού κόκκους καφέ πρέπει να πάρετε για να πάρετε 10 κιλά καβουρδισμένου;

601°. Το αυτοκίνητο διένυσε απόσταση 210 χιλιομέτρων σε 3 ώρες. Ποια απόσταση είναι πιο εύκολη για ένα αυτοκίνητο σε 2 ώρες, που κινείται με την ίδια ταχύτητα;

602°. Ένας πίθηκος γίβωνας χωρίς ουρά, πηδώντας από δέντρο σε δέντρο, καλύπτει μια απόσταση 32 χιλιομέτρων σε 2 ώρες. Πόσο μακριά θα ταξιδέψει ένας γίβωνας σε 3 ώρες;

603°. Προσδιορίστε εάν αυτή η εξάρτηση των ποσοτήτων είναι αντιστρόφως ανάλογη:

1) η τιμή των αγαθών και η τιμή αγοράς.

2) η μάζα του κουτιού με γλυκά και η αξία του.

3) η ταχύτητα κίνησης και ο χρόνος κίνησης για να ξεπεραστεί μια ορισμένη απόσταση.

4) η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η διαδρομή που διένυσε με σταθερή ταχύτητα.

5) ο όγκος της εργασίας που εκτελείται και ο χρόνος υλοποίησής του ·

6) η παραγωγικότητα της εργασίας και ο χρόνος για την εκτέλεση ορισμένου όγκου εργασίας.

7) τον αριθμό των αυτοκινήτων και το φορτίο που θα μεταφέρουν σε συγκεκριμένο χρόνο.

8) το μήκος της πλευράς του τετραγώνου και το εμβαδόν του.

604°. Χρησιμοποιώντας τη συντομογραφία του προβλήματος, βρείτε το x εάν οι ποσότητες είναι αντιστρόφως ανάλογες.

1) 3 h - 80 km/h, 2) 5 -8 εργάσιμες ημέρες,

4 h - x; x -10 ημέρες.

605°. 3 μάστορες ολοκλήρωσαν μια παραγγελία για την κατασκευή επίπλων σε 12 ημέρες. Σε πόσες μέρες θα χρειαστούν 6 μάστορες για να ολοκληρώσουν την παραγγελία αν η παραγωγικότητα της εργασίας τους είναι ίδια;

606°, Σε πόσες ημέρες 6 εργαζόμενοι θα ολοκληρώσουν την εργασία εάν 2 εργαζόμενοι μπορούν να ολοκληρώσουν αυτήν την εργασία σε 9 ημέρες;

607°. Το κόκκινο καγκουρό κινήθηκε για 3 ώρες με ταχύτητα 55 km/h. Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός καγκουρό ώστε να μπορεί να διανύσει αυτή την απόσταση σε 2,5 ώρες;

608°. Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα του τρένου σύμφωνα με το νέο πρόγραμμα για να διανύσει την απόσταση μεταξύ δύο σταθμών σε 4 ώρες, εάν, σύμφωνα με το παλιό πρόγραμμα, κινούμενος με ταχύτητα 100 km/h, το κάλυψε σε 5 ώρες ?

609. Για 4 κιλά μπισκότα πλήρωσαν 56 UAH. Πόσο κοστίζουν 3 κιλά γλυκά 2 UAH παραπάνω από την τιμή των μπισκότων;

610. 5 κιλά μήλα κοστίζουν 40 UAH. Βρείτε το κόστος των 2 κιλών αχλαδιών, η τιμή των οποίων είναι 4 UAH μεγαλύτερη από την τιμή των μήλων.

611. Το εκκρεμές ρολογιού τοίχου κάνει 730 ταλαντεύσεις σε 15 λεπτά. Πόσες ταλαντώσεις θα κάνει σε 1 ώρα; Πόσος χρόνος χρειάζεται για να κάνει το εκκρεμές 2190 ταλαντώσεις;

612. Η Ναταλία πλήρωσε 60 UAH για 24 σημειωματάρια. Πόσο κοστίζουν 20 από αυτά τα σημειωματάρια; Πόσα από αυτά τα σημειωματάρια μπορούν να αγοραστούν για 45 UAH;

613. Σε ένα κουτάκι υπάρχουν 12 λίτρα γάλα. Χύθηκε εξίσου σε 6 κουτάκια. Πόσα λίτρα γάλα υπάρχουν σε κάθε βάζο; Πόσα βάζα των τριών λίτρων μπορούν να γεμίσουν με γάλα από αυτό το κουτί;

614. Μέσω βρύση νερούΕκρέουν 6 λίτρα νερού ανά λεπτό. Πόσο νερό θα τελειώσει από τη βρύση σε μισή ώρα; Πόσο καιρό θα χρειαστούν για να περάσουν 27 λίτρα νερού από τη βρύση;

615. Η απόσταση μεταξύ των σταθμών είναι 360 χλμ. Πόσο καιρό θα πάρει ένα τρένο για να διανύσει 90 χλμ σε μία ώρα; Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα του τρένου για να καλύψει αυτή την απόσταση σε 4 ώρες και 30 λεπτά;

616. Η απόσταση μεταξύ των χωριών είναι 18 χλμ. Πόσο πιο εύκολη είναι η απόσταση για έναν ποδηλάτη του οποίου η ταχύτητα είναι 12 km/h; Με τι ταχύτητα χρειάζεται να κινηθεί ο πεζός για να διανύσει αυτή την απόσταση σε 6 ώρες;

617. Δύο τρακτέρ όργωσαν το χωράφι σε 6 μέρες. Πόσες μέρες θα χρειαστούν 4 τρακτέρ για να σκάψουν αυτό το χωράφι αν δουλέψουν με την ίδια παραγωγικότητα εργασίας; Πόσα τρακτέρ χρειάζονται για να οργώσει αυτό το χωράφι σε 2 μέρες;

618. Οκτώ φορτηγά μπορούν να μεταφέρουν φορτίο σε 3 ημέρες. Σε πόσες ημέρες 6 τέτοια φορτηγά θα μπορούν να μεταφέρουν τα εμπορεύματα; Πόσα φορτηγά θα χρειαστούν για τη μεταφορά αυτού του φορτίου σε 2 ημέρες;

619. Να συνθέσετε και να λύσετε ένα πρόβλημα για:

1) ευθεία αναλογικότητα, για τη λύση της οποίας πρέπει να κάνετε μια αναλογία

2) αντίστροφη αναλογικότητα, για τη λύση της οποίας πρέπει να σχηματίσετε την αναλογία x: 4 \u003d 120: 160.

620. Δημιουργήστε και λύστε το πρόβλημα για: 1) ευθεία αναλογικότητα, για τη λύση της οποίας πρέπει να κάνετε μια αναλογία

2) αντίστροφη αναλογικότητα, για τη λύση της οποίας είναι απαραίτητο να γίνει μια αναλογία 3: x \u003d 90: 60.

621*. Tarasik μπορεί να πάει από σιδηροδρομικός σταθμόςστο χωριό σε 20 λεπτά. Πόσο καιρό θα του πάρει για να κάνει ποδήλατο από το σταθμό στο χωριό, αν η ταχύτητα της κίνησής του με ποδήλατο είναι 2 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα κίνησης με τα πόδια;

622*. Ο πλοίαρχος, δουλεύοντας ανεξάρτητα, ολοκληρώνει την εργασία σε 3 ημέρες και μαζί με τον μαθητή - σε 2 ημέρες. Σε πόσες ημέρες μπορεί ο μαθητής να ολοκληρώσει μόνος του αυτήν την εργασία;

623*. Ο Dima τρέχει 4 γύρους στον διάδρομο ταυτόχρονα με την Katya που τρέχει 3 γύρους. Η Κάτια έτρεξε 12 γύρους. Πόσους γύρους έτρεξε ο Ντίμα σε αυτό το διάστημα;

624*. Το νερό μπορεί να αντληθεί από την πισίνα σε 1 ώρα και 15 λεπτά. Πόσο καιρό μετά την έναρξη των εργασιών στην πισίνα θα υπάρχει το 0,2 από την ποσότητα νερού που ήταν αρχικά;

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ

625. Για την εκτύπωση του βιβλίου, έπρεπε να τοποθετηθούν 28 γραμμές σε κάθε σελίδα, 40 γράμματα σε κάθε γραμμή. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι ήταν πιο σκόπιμο να τοποθετηθούν 35 γραμμές σε κάθε σελίδα. Σε αυτήν την περίπτωση, πόσα γράμματα θα τοποθετηθούν σε κάθε γραμμή γραμμάτων κατά την εκτύπωση αυτού του βιβλίου, αν δεν αλλάξει ο αριθμός των γραμμάτων ανά σελίδα;

626. Για να προετοιμάσετε 12 κέικ, πρέπει να πάρετε την πρωτεΐνη ενός αυγού και 3 κουταλιές της σούπας ζάχαρη. Πόσα από αυτά τα προϊόντα πρέπει να ληφθούν για να προετοιμαστούν 24 τέτοιες στοίβες; Πόσα κέικ θα πάρετε αν έχετε 3 αυγά;

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

627. Ποιος αριθμός πρέπει να μπει στο τελευταίο κελί της αλυσίδας;

628. Λύστε την εξίσωση: