Επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων. Πιο πολύπλοκα παραδείγματα εξισώσεων

Η εξίσωση είναι μια μαθηματική έκφραση που είναι ισότητα και περιέχει ένα άγνωστο. Εάν μια ισότητα ισχύει για οποιεσδήποτε αποδεκτές τιμές των αγνώστων που περιλαμβάνονται σε αυτήν, τότε ονομάζεται ταυτότητα. για παράδειγμα: μια σχέση της μορφής (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) ισχύει για όλες τις τιμές του x.

Εάν μια εξίσωση που περιέχει ένα άγνωστο x ισχύει μόνο για ορισμένες τιμές του x και όχι για όλες τις τιμές του x, όπως στην περίπτωση μιας ταυτότητας, τότε μπορεί να είναι χρήσιμο να προσδιοριστούν εκείνες οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει η εξίσωση. Τέτοιες τιμές του x ονομάζονται ρίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι η ρίζα της εξίσωσης 2x + 7= 17.

Στον κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία εξισώσεων, το κύριο αντικείμενο μελέτης είναι οι μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων. ΣΕ σχολικό μάθημαΟι εξισώσεις της Άλγεβρας λαμβάνουν μεγάλη προσοχή.

Η ιστορία της μελέτης των εξισώσεων πηγαίνει πίσω πολλούς αιώνες. Οι πιο διάσημοι μαθηματικοί που συνέβαλαν στην ανάπτυξη της θεωρίας των εξισώσεων ήταν:

Ο Αρχιμήδης (περ. 287–212 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας επιστήμονας, μαθηματικός και μηχανικός. Όταν μελετάτε ένα πρόβλημα, το οποίο μειώνεται σε κυβική εξίσωση, ο Αρχιμήδης ανακάλυψε το ρόλο του χαρακτηριστικού, που αργότερα ονομάστηκε διακρίνοντας.

Ο Francois Viet έζησε τον 16ο αιώνα. Είχε μεγάλη συνεισφορά στη μελέτη διάφορα προβλήματαμαθηματικά. Συγκεκριμένα, εισήγαγε χαρακτηρισμούς γραμμάτων για τους συντελεστές της εξίσωσης και καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης.

Leonhard Euler (1707 – 1783) - μαθηματικός, μηχανικός, φυσικός και αστρονόμος. Συγγραφέας του St. 800 εργασίες για μαθηματική ανάλυση, διαφορικές εξισώσεις, γεωμετρία, θεωρία αριθμών, υπολογισμοί κατά προσέγγιση, ουράνια μηχανική, μαθηματικά, οπτική, βαλλιστική, ναυπηγική, θεωρία της μουσικής κ.λπ. Είχε σημαντική επιρροή στην ανάπτυξη της επιστήμης. Παρήγαγε τύπους (τύποι του Euler) που εκφράζουν τριγωνομετρικές συναρτήσειςμεταβλητή x μέσω μιας εκθετικής συνάρτησης.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Γάλλος μαθηματικόςκαι μηχανικός. Έχει πραγματοποιήσει εξαιρετική έρευνα, συμπεριλαμβανομένης της έρευνας για την άλγεβρα (η συμμετρική συνάρτηση των ριζών μιας εξίσωσης, για τις διαφορικές εξισώσεις (η θεωρία των ενικών λύσεων, η μέθοδος μεταβολής των σταθερών).

Ο J. Lagrange και ο A. Vandermonde είναι Γάλλοι μαθηματικοί. Το 1771 χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά μια μέθοδος για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων (η μέθοδος υποκατάστασης).

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - Γερμανός μαθηματικός. Έγραψε ένα βιβλίο που περιγράφει τη θεωρία των εξισώσεων για τη διαίρεση ενός κύκλου (δηλαδή τις εξισώσεις xn - 1 = 0), η οποία από πολλές απόψεις ήταν ένα πρωτότυπο της θεωρίας Galois. εκτός κοινές μεθόδουςλύνοντας αυτές τις εξισώσεις, δημιούργησε μια σύνδεση μεταξύ τους και την κατασκευή κανονικών πολυγώνων. Για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες επιστήμονες, έκανε ένα σημαντικό βήμα μπροστά σε αυτό το θέμα, δηλαδή: βρήκε όλες εκείνες τις τιμές του n για τις οποίες κανονικό n-gonμπορεί να κατασκευαστεί με πυξίδα και χάρακα. Μελέτησα τη μέθοδο της πρόσθεσης. Κατέληξα στο συμπέρασμα ότι τα συστήματα εξισώσεων μπορούν να προστεθούν, να διαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν.

O. I. Somov - εμπλούτισε διάφορα μέρη των μαθηματικών με σημαντικά και πολυάριθμα έργα, μεταξύ των οποίων η θεωρία ορισμένων αλγεβρικών εξισώσεων υψηλότερους βαθμούς.

Galois Evariste (1811-1832) - Γάλλος μαθηματικός. Το κύριο πλεονέκτημά του είναι η διατύπωση ενός συνόλου ιδεών στις οποίες κατέληξε σε σχέση με τη συνέχιση της έρευνας για τη διαλυτότητα των αλγεβρικών εξισώσεων, που ξεκίνησε από τους J. Lagrange, N. Abel και άλλους, και δημιούργησε τη θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων του ανώτερα πτυχία με ένα άγνωστο.

A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Το έργο του περιλαμβάνει γεωμετρικές μεθόδους με Αναλυτικές μέθοδοιθεωρία μερικών διαφορικών εξισώσεων. Τα έργα του είχαν επίσης σημαντική επίδραση στη θεωρία των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

P. Ruffini - Ιταλός μαθηματικός. Αφιέρωσε μια σειρά εργασιών στην απόδειξη της μη επιλυτότητας των εξισώσεων του βαθμού 5, χρησιμοποιώντας συστηματικά την κλειστότητα του συνόλου των αντικαταστάσεων.

Παρά το γεγονός ότι οι επιστήμονες μελετούν τις εξισώσεις για μεγάλο χρονικό διάστημα, η επιστήμη δεν γνωρίζει πώς και πότε οι άνθρωποι έπρεπε να χρησιμοποιούν εξισώσεις. Είναι γνωστό μόνο ότι οι άνθρωποι λύνουν προβλήματα που οδηγούν στη λύση των απλούστερων εξισώσεων από τη στιγμή που έγιναν άνθρωποι. Άλλα 3 - 4 χιλιάδες χρόνια π.Χ. μι. Οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν εξισώσεις. Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων συμπίπτει με τον σύγχρονο, αλλά είναι άγνωστο πώς έφτασαν εκεί.

ΣΕ Αρχαία Αίγυπτοςκαι Βαβυλώνα, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ψευδούς θέσης. Μια εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο μπορεί πάντα να αναχθεί στη μορφή ax + b = c, στην οποία τα a, b, c είναι ακέραιοι αριθμοί. Σύμφωνα με τους κανόνες αριθμητικές πράξειςτσεκούρι = γ - β,

Αν b > c, τότε το c b είναι αρνητικός αριθμός. Αρνητικοί αριθμοίήταν άγνωστοι στους Αιγύπτιους και σε πολλούς άλλους μεταγενέστερους λαούς (μαζί με θετικούς αριθμούςάρχισαν να χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά μόλις τον δέκατο έβδομο αιώνα). Για να λύσουμε προβλήματα που τώρα λύνουμε με εξισώσεις πρώτου βαθμού, εφευρέθηκε η μέθοδος της ψευδούς θέσης. Στον πάπυρο Ahmes λύνονται 15 προβλήματα με αυτή τη μέθοδο. Οι Αιγύπτιοι είχαν να υποδείξουν ένα ειδικό σημάδι άγνωστη ημερομηνία, που μέχρι το πρόσφατο παρελθόν διαβάζονταν «πώς» και μεταφραζόταν με τη λέξη «σωρός» («σωρός» ή «άγνωστος αριθμός» μονάδων). Τώρα διαβάζουν λίγο λιγότερο ανακριβώς: «ναι». Η μέθοδος λύσης που χρησιμοποιεί ο Ahmes ονομάζεται μέθοδος μιας ψευδούς θέσης. Με τη μέθοδο αυτή λύνονται εξισώσεις της μορφής ax = b. Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει τη διαίρεση κάθε πλευράς της εξίσωσης με α. Το χρησιμοποιούσαν τόσο οι Αιγύπτιοι όσο και οι Βαβυλώνιοι. U διαφορετικά έθνηΧρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των δύο ψευδών θέσεων. Οι Άραβες μηχανοποίησαν αυτή τη μέθοδο και έλαβαν τη μορφή με την οποία μεταφέρθηκε στα σχολικά βιβλία των ευρωπαϊκών λαών, συμπεριλαμβανομένης της Αριθμητικής του Magnitsky. Ο Magnitsky αποκαλεί τη λύση «ψευδή κανόνα» και γράφει στο μέρος του βιβλίου του που περιγράφει αυτή τη μέθοδο:

Αυτό το κομμάτι είναι πολύ πονηρό, γιατί μπορείς να βάλεις τα πάντα μαζί του. Όχι μόνο ό,τι είναι στην ιθαγένεια, αλλά και οι ανώτερες επιστήμες στο διάστημα, που καταγράφονται στη σφαίρα του ουρανού, καθώς οι σοφοί έχουν ανάγκες.

Το περιεχόμενο των ποιημάτων του Magnitsky μπορεί να συνοψιστεί εν συντομία ως εξής: αυτό το μέρος της αριθμητικής είναι πολύ δύσκολο. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε όχι μόνο τι χρειάζεται στην καθημερινή πρακτική, αλλά λύνει επίσης τις «υψηλότερες» ερωτήσεις που αντιμετωπίζουν οι «σοφοί». Ο Magnitsky χρησιμοποιεί τον «ψευδή κανόνα» με τη μορφή που του έδωσαν οι Άραβες, αποκαλώντας τον «αριθμητική δύο σφαλμάτων» ή «μέθοδο της κλίμακας». Οι Ινδοί μαθηματικοί έδιναν συχνά προβλήματα σε στίχους. Πρόβλημα Lotus:

Πάνω από την ήσυχη λίμνη, μισό μέτρο πάνω από το νερό, φαινόταν το χρώμα του λωτού. Μεγάλωσε μόνος και ο αέρας σαν κύμα τον έσκυψε στο πλάι και όχι πια

Λουλούδι πάνω από το νερό. Το μάτι του ψαρά τον βρήκε δύο μέτρα από το μέρος που μεγάλωσε. Πόσο βάθος είναι το νερό της λίμνης εδώ; Θα σου κάνω μια ερώτηση.

Τύποι εξισώσεων

Γραμμικές εξισώσεις

Οι γραμμικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής: ax + b = 0, όπου a και b είναι μερικές σταθερές. Αν το a δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).

Για παράδειγμα: λύστε τη γραμμική εξίσωση: 4x + 12 = 0.

Λύση: Αφού a = 4, και b = 12, τότε x = - 12: 4; x = - 3.

Έλεγχος: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Εφόσον 0 = 0, τότε -3 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση. x = -3

Αν το a είναι ίσο με μηδέν και το b είναι ίσο με μηδέν, τότε η ρίζα της εξίσωσης ax + b = 0 είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Για παράδειγμα:

0 = 0. Εφόσον το 0 είναι ίσο με 0, τότε η ρίζα της εξίσωσης 0x + 0 = 0 είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Αν το a είναι ίσο με μηδέν και το b δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε η εξίσωση ax + b = 0 δεν έχει ρίζες.

Για παράδειγμα:

0 = 6. Εφόσον το 0 δεν είναι ίσο με 6, τότε το 0x – 6 = 0 δεν έχει ρίζες.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύστημα στο οποίο όλες οι εξισώσεις είναι γραμμικές.

Το να λύνεις ένα σύστημα σημαίνει να βρίσκεις όλες τις λύσεις του.

Πριν λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, μπορείτε να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεών του.

Έστω ένα σύστημα εξισώσεων: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 δεν είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, αλλά ίσο με το c1 διαιρούμενο με το c2, τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, και το ίσο με το c1 διαιρούμενο με το c2, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Ένα σύστημα εξισώσεων που έχει τουλάχιστον μία λύση ονομάζεται ταυτόχρονο.

Ένα σύστημα άρθρωσης ονομάζεται οριστικό εάν έχει τελικός αριθμόςλύσεις, και αόριστο αν το σύνολο των λύσεών του είναι άπειρο.

Ένα σύστημα που δεν έχει μια ενιαία λύση ονομάζεται ασυνεπές ή αντιφατικό.

Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων:

1) Μέθοδος επιλογής. Αυτό είναι το πιο ο απλούστερος τρόπος. Βρίσκεται στο γεγονός ότι όλοι είναι επιλεγμένοι έγκυρες τιμέςάγνωστο με απαρίθμηση.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Έστω x = 1. Τότε

4 = 6. Εφόσον το 4 δεν είναι ίσο με 6, τότε η υπόθεση μας ότι x = 1 ήταν λανθασμένη.

Έστω x = 2.

6 = 6. Εφόσον το 6 είναι ίσο με 6, τότε η υπόθεση μας ότι x = 2 ήταν σωστή.

Απάντηση: x = 2.

2) Μέθοδος απλοποίησης

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στη μεταφορά όλων των όρων που περιέχουν άγνωστα στην αριστερή πλευρά και γνωστών στη δεξιά πλευρά. αντίθετο σημάδι, δώστε παρόμοια και διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

5x – 4 = 11 + 2x;

5x – 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Απάντηση. x = 5.

3) Γραφική μέθοδος.

Συνίσταται στην κατασκευή γραφήματος συναρτήσεων δεδομένη εξίσωση. Εφόσον σε μια γραμμική εξίσωση y = 0, η γραφική παράσταση θα είναι παράλληλη προς τον άξονα y. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα x θα είναι η λύση αυτής της εξίσωσης.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Έστω y = 7. Τότε y = 2x + 3.

Ας σχεδιάσουμε τις συναρτήσεις και των δύο εξισώσεων:

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Στην έβδομη τάξη, μελετούν τρεις τρόπους επίλυσης συστημάτων εξισώσεων:

1) Μέθοδος αντικατάστασης.

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην έκφραση ενός αγνώστου ως προς ένα άλλο σε μία από τις εξισώσεις. Η έκφραση που προκύπτει αντικαθίσταται με μια άλλη εξίσωση, η οποία στη συνέχεια μετατρέπεται σε εξίσωση με έναν άγνωστο και στη συνέχεια λύνεται. Η προκύπτουσα τιμή αυτού του αγνώστου αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε εξίσωση του αρχικού συστήματος και βρίσκεται η τιμή του δεύτερου αγνώστου.

Για παράδειγμα.

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y = 4 - 3x.

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση που προκύπτει με μια άλλη εξίσωση:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x – 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που προκύπτει στην εξίσωση 3x + y = 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y = 4 – 3; y = 1.

Εξέταση.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

Απάντηση: x = 1; y = 1.

2) Τρόπος προσθήκης.

Αυτή η μέθοδος είναι ότι εάν αυτό το σύστημααποτελείται από εξισώσεις που, όταν προστίθενται όρος προς όρο, σχηματίζουν μια εξίσωση με έναν άγνωστο, στη συνέχεια, λύνοντας αυτήν την εξίσωση, λαμβάνουμε την τιμή ενός από τους αγνώστους. Η προκύπτουσα τιμή αυτού του αγνώστου αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε εξίσωση του αρχικού συστήματος και βρίσκεται η τιμή του δεύτερου αγνώστου.

Για παράδειγμα:

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

/3υ – 2х = 5,

\5x – 3y = 4.

Ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει.

3x = 9; : (3) x = 3.

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που προκύπτει στην εξίσωση 3y – 2x = 5.

3у – 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Άρα x = 3; y = 3 2/3.

Εξέταση.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;

Απάντηση. x = 3; y = 3 2/3

3) Γραφική μέθοδος.

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι οι εξισώσεις απεικονίζονται σε ένα σύστημα συντεταγμένων. Αν οι γραφικές παραστάσεις μιας εξίσωσης τέμνονται, τότε οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι η λύση σε αυτό το σύστημα. Αν οι γραφικές παραστάσεις της εξίσωσης είναι παράλληλες ευθείες, τότε αυτό το σύστημα δεν έχει λύσεις. Αν οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων συγχωνευθούν σε μία ευθεία γραμμή, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Για παράδειγμα.

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Υ = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Ας κατασκευάσουμε γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 2x - 5 και y = 3 - 6x στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 2x - 5 και y = 3 - 6x τέμνονται στο σημείο Α (1; -3).

Επομένως, η λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων θα είναι x = 1 και y = -3.

Εξέταση.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Απάντηση. x = 1; y = -3.

συμπέρασμα

Με βάση όλα τα παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι εξισώσεις είναι απαραίτητες στο σύγχρονος κόσμοςόχι μόνο για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, αλλά και ως επιστημονικό εργαλείο. Γι' αυτό τόσοι πολλοί επιστήμονες έχουν μελετήσει αυτό το θέμα και συνεχίζουν να το μελετούν.

Η εξίσωση που αντιπροσωπεύει τετραγωνικό τριώνυμο, ονομάζεται συνήθως τετραγωνική εξίσωση. Από αλγεβρική άποψη, περιγράφεται με τον τύπο a*x^2+b*x+c=0. Σε αυτόν τον τύπο, το x είναι το άγνωστο που πρέπει να βρεθεί (ονομάζεται ελεύθερη μεταβλητή). Τα α, β και γ είναι αριθμητικοί συντελεστές. Υπάρχουν ορισμένοι περιορισμοί σχετικά με τα στοιχεία που υποδεικνύονται: για παράδειγμα, ο συντελεστής α δεν πρέπει να είναι ίσος με 0.

Επίλυση εξίσωσης: η έννοια του διακριτικού

Η τιμή του αγνώστου x στην οποία τετραγωνική εξίσωσημετατρέπεται σε αληθινή ισότητα ονομάζεται ρίζα μιας τέτοιας εξίσωσης. Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση, πρέπει πρώτα να βρείτε την τιμή ενός ειδικού συντελεστή - του διαχωριστή, ο οποίος θα δείχνει τον αριθμό των ριζών της εν λόγω ισότητας. Η διάκριση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο D=b^2-4ac. Στην περίπτωση αυτή, το αποτέλεσμα του υπολογισμού μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή ίσο με μηδέν.

Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η έννοια απαιτεί μόνο ο συντελεστής a να είναι αυστηρά διαφορετικός από το 0. Κατά συνέπεια, ο συντελεστής b μπορεί να είναι ίσος με 0 και η ίδια η εξίσωση σε αυτή την περίπτωση είναι της μορφής a*x^2+c =0. Σε μια τέτοια περίπτωση, μια τιμή συντελεστή 0 θα πρέπει να χρησιμοποιείται στους τύπους για τον υπολογισμό της διάκρισης και των ριζών. Άρα, η διάκριση σε αυτή την περίπτωση θα υπολογιστεί ως D=-4ac.

Επίλυση της εξίσωσης με θετική διάκριση

Εάν η διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης αποδειχθεί θετική, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτή η ισότητα έχει δύο ρίζες. Αυτές οι ρίζες μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Έτσι, για να υπολογιστεί η τιμή των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης στο θετική αξίαχρησιμοποιούνται διακρίσεις γνωστές αξίεςσυντελεστές διαθέσιμοι σε . Χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών, το αποτέλεσμα των υπολογισμών θα είναι δύο τιμές που κάνουν την εν λόγω ισότητα αληθινή.

Επίλυση της εξίσωσης με μηδέν και αρνητική διάκριση

Αν η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αποδειχθεί ίση με 0, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι καθορισμένη εξίσωσηέχει μία ρίζα. Αυστηρά μιλώντας, σε αυτήν την κατάσταση η εξίσωση έχει ακόμα δύο ρίζες, αλλά λόγω της μηδενικής διάκρισης θα είναι ίσες μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή x=-b/2a. Εάν, κατά τη διαδικασία υπολογισμού, η τιμή της διάκρισης αποδειχθεί αρνητική, θα πρέπει να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η εν λόγω τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες, δηλαδή τέτοιες τιμές του x στις οποίες μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα .

κ.λπ., είναι λογικό να εξοικειωθείτε με εξισώσεις άλλων τύπων. Επόμενοι στη σειρά είναι γραμμικές εξισώσεις, η στοχευμένη μελέτη του οποίου ξεκινά στα μαθήματα άλγεβρας στην 7η τάξη.

Είναι σαφές ότι πρώτα πρέπει να εξηγήσετε τι είναι μια γραμμική εξίσωση, να δώσετε έναν ορισμό μιας γραμμικής εξίσωσης, τους συντελεστές της, να το δείξετε γενική μορφή. Στη συνέχεια, μπορείτε να υπολογίσετε πόσες λύσεις έχει μια γραμμική εξίσωση ανάλογα με τις τιμές των συντελεστών και πώς βρίσκονται οι ρίζες. Αυτό θα σας επιτρέψει να προχωρήσετε στην επίλυση παραδειγμάτων και έτσι να εδραιώσετε τη θεωρία που έχετε μάθει. Σε αυτό το άρθρο θα κάνουμε αυτό: θα σταθούμε λεπτομερώς σε όλα τα θεωρητικά και πρακτικά σημεία που σχετίζονται με τις γραμμικές εξισώσεις και τις λύσεις τους.

Ας πούμε αμέσως ότι εδώ θα εξετάσουμε μόνο γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή και σε ξεχωριστό άρθρο θα μελετήσουμε τις αρχές της λύσης γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι είναι μια γραμμική εξίσωση;

Ο ορισμός της γραμμικής εξίσωσης δίνεται από τον τρόπο γραφής της. Επιπλέον, σε διάφορα εγχειρίδια μαθηματικών και άλγεβρας, οι διατυπώσεις των ορισμών των γραμμικών εξισώσεων έχουν κάποιες διαφορές που δεν επηρεάζουν την ουσία του ζητήματος.

Για παράδειγμα, στο εγχειρίδιο άλγεβρας για την τάξη 7 από τον Yu. N. Makarychev et al., μια γραμμική εξίσωση ορίζεται ως εξής:

Ορισμός.

Εξίσωση της φόρμας a x=b, όπου x είναι μια μεταβλητή, a και b είναι κάποιοι αριθμοί, καλείται γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή.

Ας δώσουμε παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων που πληρούν τον καθορισμένο ορισμό. Για παράδειγμα, το 5 x = 10 είναι μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή x, εδώ ο συντελεστής a είναι 5 και ο αριθμός b είναι 10. Ένα άλλο παράδειγμα: −2,3·y=0 είναι επίσης γραμμική εξίσωση, αλλά με μεταβλητή y, στην οποία a=−2,3 και b=0. Και στις γραμμικές εξισώσεις x=−2 και −x=3,33 a δεν υπάρχουν ρητά και ισούνται με 1 και −1, αντίστοιχα, ενώ στην πρώτη εξίσωση b=−2, και στη δεύτερη - b=3,33.

Και ένα χρόνο νωρίτερα, στο εγχειρίδιο μαθηματικών του N. Ya. Vilenkin, οι γραμμικές εξισώσεις με έναν άγνωστο, εκτός από τις εξισώσεις της μορφής a x = b, εξέτασαν επίσης εξισώσεις που μπορούν να έρθουν σε αυτή τη μορφή μεταφέροντας όρους από ένα μέρος της εξίσωσης σε άλλο με το αντίθετο πρόσημο, καθώς και με αναγωγή παρόμοιων όρων. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, εξισώσεις της μορφής 5 x = 2 x + 6, κ.λπ. επίσης γραμμικό.

Με τη σειρά του, στο εγχειρίδιο άλγεβρας για την τάξη 7 από τον A. G. Mordkovich δίνεται ο ακόλουθος ορισμός:

Ορισμός.

Γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή xείναι μια εξίσωση της μορφής a·x+b=0, όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί που ονομάζονται συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης.

Για παράδειγμα, οι γραμμικές εξισώσεις αυτού του τύπου είναι 2 x−12=0, εδώ ο συντελεστής a είναι 2, και b είναι ίσος με −12, και 0,2 y+4,6=0 με συντελεστές a=0,2 και b =4,6. Αλλά ταυτόχρονα, υπάρχουν παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων που έχουν τη μορφή όχι a·x+b=0, αλλά a·x=b, για παράδειγμα, 3·x=12.

Ας μην έχουμε αποκλίσεις στο μέλλον, με γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή x και συντελεστές a και b εννοούμε μια εξίσωση της μορφής a x + b = 0. Αυτός ο τύπος γραμμικής εξίσωσης φαίνεται να είναι ο πιο δικαιολογημένος, αφού οι γραμμικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού. Και όλες οι άλλες εξισώσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω, καθώς και οι εξισώσεις που, χρησιμοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούςανάγεται στη μορφή a x+b=0, θα καλέσουμε εξισώσεις που ανάγονται σε γραμμικές εξισώσεις. Με αυτή την προσέγγιση, η εξίσωση 2 x+6=0 είναι γραμμική εξίσωση και 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, κ.λπ. - Πρόκειται για εξισώσεις που ανάγονται σε γραμμικές.

Πώς να λύσετε γραμμικές εξισώσεις;

Τώρα ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς λύνονται οι γραμμικές εξισώσεις a·x+b=0. Με άλλα λόγια, είναι καιρός να μάθουμε αν μια γραμμική εξίσωση έχει ρίζες, και αν ναι, πόσες από αυτές και πώς να τις βρούμε.

Η παρουσία ριζών μιας γραμμικής εξίσωσης εξαρτάται από τις τιμές των συντελεστών a και b. Σε αυτή την περίπτωση, η γραμμική εξίσωση a x+b=0 έχει

• η μόνη ρίζα για a≠0,
• δεν έχει ρίζες για a=0 και b≠0,
• έχει άπειρες ρίζες για a=0 και b=0, οπότε οποιοσδήποτε αριθμός είναι ρίζα γραμμικής εξίσωσης.

Ας εξηγήσουμε πώς προέκυψαν αυτά τα αποτελέσματα.

Γνωρίζουμε ότι για να λύσουμε εξισώσεις μπορούμε να περάσουμε από την αρχική εξίσωση σε ισοδύναμες εξισώσεις, δηλαδή σε εξισώσεις με τις ίδιες ρίζες ή, όπως η αρχική, χωρίς ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ακόλουθους ισοδύναμους μετασχηματισμούς:

• μεταφέροντας έναν όρο από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη με το αντίθετο πρόσημο,
• καθώς και τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

Άρα, σε μια γραμμική εξίσωση με ένα μεταβλητή της μορφής a x+b=0 μπορούμε να μετακινήσουμε τον όρο b από την αριστερή πλευρά στο σωστη πλευραμε το αντίθετο πρόσημο. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή a·x=−b.

Και τότε τίθεται το ζήτημα της διαίρεσης και των δύο πλευρών της εξίσωσης με τον αριθμό α. Αλλά υπάρχει ένα πράγμα: ο αριθμός a μπορεί να είναι ίσος με μηδέν, οπότε μια τέτοια διαίρεση είναι αδύνατη. Για να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα, θα υποθέσουμε πρώτα ότι ο αριθμός a είναι μη μηδενικός και θα εξετάσουμε την περίπτωση ενός όντος ίσου με το μηδέν ξεχωριστά λίγο αργότερα.

Έτσι, όταν το a δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης a·x=−b με το a, μετά από το οποίο θα μετατραπεί στη μορφή x=(−b):a, αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να είναι γραμμένο χρησιμοποιώντας την κλασματική κάθετο ως.

Έτσι, για a≠0, η γραμμική εξίσωση a·x+b=0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση, από την οποία φαίνεται η ρίζα της.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτή η ρίζα είναι μοναδική, δηλαδή η γραμμική εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες. Αυτό σας επιτρέπει να κάνετε την αντίθετη μέθοδο.

Ας συμβολίσουμε τη ρίζα ως x 1. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια άλλη ρίζα της γραμμικής εξίσωσης, την οποία συμβολίζουμε ως x 2, και x 2 ≠x 1, η οποία, λόγω ορισμοί ίσοι αριθμοίμέσω της διαφοράςείναι ισοδύναμη με τη συνθήκη x 1 −x 2 ≠0. Εφόσον τα x 1 και x 2 είναι ρίζες της γραμμικής εξίσωσης a·x+b=0, τότε ισχύουν οι αριθμητικές ισότητες a·x 1 +b=0 και a·x 2 +b=0. Μπορούμε να αφαιρέσουμε τα αντίστοιχα μέρη αυτών των ισοτήτων, που μας επιτρέπουν οι ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων, έχουμε a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, από το οποίο a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 και μετά a·(x 1 −x 2)=0 . Αλλά αυτή η ισότητα είναι αδύνατη, αφού τόσο a≠0 όσο και x 1 − x 2 ≠0. Καταλήξαμε λοιπόν σε μια αντίφαση, η οποία αποδεικνύει τη μοναδικότητα της ρίζας της γραμμικής εξίσωσης a·x+b=0 για a≠0.

Λύσαμε λοιπόν τη γραμμική εξίσωση a·x+b=0 για a≠0. Το πρώτο αποτέλεσμα που δίνεται στην αρχή αυτής της παραγράφου είναι δικαιολογημένο. Απομένουν άλλα δύο που πληρούν την προϋπόθεση a=0.

Όταν a=0, η γραμμική εξίσωση a·x+b=0 παίρνει τη μορφή 0·x+b=0. Από αυτή την εξίσωση και την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού των αριθμών με το μηδέν προκύπτει ότι όποιον αριθμό και αν πάρουμε ως x, όταν αντικατασταθεί στην εξίσωση 0 x + b=0, θα προκύψει η αριθμητική ισότητα b=0. Αυτή η ισότητα είναι αληθής όταν b=0, και σε άλλες περιπτώσεις όταν b≠0 αυτή η ισότητα είναι ψευδής.

Κατά συνέπεια, με a=0 και b=0, οποιοσδήποτε αριθμός είναι η ρίζα της γραμμικής εξίσωσης a·x+b=0, αφού υπό αυτές τις συνθήκες, αντικαθιστώντας οποιονδήποτε αριθμό με x προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα 0=0. Και όταν a=0 και b≠0, η γραμμική εξίσωση a·x+b=0 δεν έχει ρίζες, αφού υπό αυτές τις συνθήκες, η αντικατάσταση οποιουδήποτε αριθμού αντί του x οδηγεί στη λανθασμένη αριθμητική ισότητα b=0.

Οι δεδομένες αιτιολογήσεις μας επιτρέπουν να διατυπώσουμε μια ακολουθία ενεργειών που μας επιτρέπει να λύσουμε οποιαδήποτε γραμμική εξίσωση. Ετσι, αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικής εξίσωσηςείναι:

• Αρχικά, γράφοντας τη γραμμική εξίσωση, βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών a και b.
• Αν a=0 και b=0, τότε αυτή η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, δηλαδή, οποιοσδήποτε αριθμός είναι ρίζα αυτής της γραμμικής εξίσωσης.
• Αν το α είναι μη μηδενικό, τότε
• ο συντελεστής b μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο και η γραμμική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή a·x=−b,
• μετά την οποία και οι δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει διαιρούνται με έναν μη μηδενικό αριθμό α, ο οποίος δίνει την επιθυμητή ρίζα της αρχικής γραμμικής εξίσωσης.

Ο γραπτός αλγόριθμος είναι μια περιεκτική απάντηση στο ερώτημα πώς να λύσουμε γραμμικές εξισώσεις.

Ολοκληρώνοντας αυτό το σημείο, αξίζει να πούμε ότι ένας παρόμοιος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων της μορφής a·x=b. Η διαφορά του είναι ότι όταν a≠0, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης διαιρούνται αμέσως με αυτόν τον αριθμό· εδώ το b βρίσκεται ήδη στο απαιτούμενο μέρος της εξίσωσης και δεν χρειάζεται να το μεταφέρουμε.

Για την επίλυση εξισώσεων της μορφής a x = b, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

• Αν a=0 και b=0, τότε η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, που είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
• Αν a=0 και b≠0, τότε η αρχική εξίσωση δεν έχει ρίζες.
• Αν το α είναι μη μηδενικό, τότε και οι δύο πλευρές της εξίσωσης διαιρούνται με έναν μη μηδενικό αριθμό α, από τον οποίο βρίσκεται η μόνη ρίζα της εξίσωσης, ίση με b/a.

Παραδείγματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε στην εξάσκηση. Ας δούμε πώς χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Ας δώσουμε λύσεις σε τυπικά παραδείγματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές έννοιεςσυντελεστές γραμμικών εξισώσεων.

Παράδειγμα.

Να λύσετε τη γραμμική εξίσωση 0·x−0=0.

Λύση.

Σε αυτή τη γραμμική εξίσωση, a=0 και b=−0 , που είναι ίδιο με το b=0 . Επομένως, αυτή η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες· κάθε αριθμός είναι ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Απάντηση:

x – οποιοσδήποτε αριθμός.

Παράδειγμα.

Η γραμμική εξίσωση 0 x + 2,7 = 0 έχει λύσεις;

Λύση.

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηο συντελεστής α είναι ίσος με μηδέν και ο συντελεστής β αυτής της γραμμικής εξίσωσης είναι ίσος με 2,7, δηλαδή διαφορετικός από το μηδέν. Επομένως, μια γραμμική εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γραμμικές εξισώσεις. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Γραμμικές εξισώσεις.

Οι γραμμικές εξισώσεις δεν είναι οι περισσότερες σύνθετο θέμα σχολικά μαθηματικά. Υπάρχουν όμως κάποια κόλπα εκεί που μπορούν να προβληματίσουν ακόμη και έναν εκπαιδευμένο μαθητή. Ας το καταλάβουμε;)

Συνήθως μια γραμμική εξίσωση ορίζεται ως εξίσωση της μορφής:

τσεκούρι + σι = 0 Οπου α και β– τυχόν αριθμούς.

2x + 7 = 0. Εδώ a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Εδώ a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Εδώ a=12, b=1/2

Τίποτα περίπλοκο, σωστά; Ειδικά αν δεν προσέξετε τις λέξεις: "όπου α και β είναι οποιοιδήποτε αριθμοί"... Και αν το προσέξετε και το σκεφτείτε απρόσεκτα;) Άλλωστε αν a=0, b=0(είναι δυνατοί αριθμοί;), τότε παίρνουμε μια αστεία έκφραση:

Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Αν, ας πούμε, a=0,ΕΝΑ b=5,Αυτό αποδεικνύεται ότι είναι κάτι εντελώς ασυνήθιστο:

Που είναι ενοχλητικό και υπονομεύει την εμπιστοσύνη στα μαθηματικά, ναι...) Ειδικά κατά τη διάρκεια των εξετάσεων. Αλλά από αυτές τις περίεργες εκφράσεις πρέπει επίσης να βρείτε το Χ! Που δεν υπάρχει καθόλου. Και, παραδόξως, αυτό το Χ είναι πολύ εύκολο να βρεθεί. Θα μάθουμε να το κάνουμε αυτό. Σε αυτό το μάθημα.

Πώς να αναγνωρίσετε μια γραμμική εξίσωση από την εμφάνισή της; Εξαρτάται τι εμφάνιση.) Το κόλπο είναι ότι όχι μόνο οι εξισώσεις της μορφής ονομάζονται γραμμικές εξισώσεις τσεκούρι + σι = 0 , αλλά και τυχόν εξισώσεις που μπορούν να αναχθούν σε αυτή τη μορφή με μετασχηματισμούς και απλοποιήσεις. Και ποιος ξέρει αν πέφτει ή όχι;)

Μια γραμμική εξίσωση μπορεί να αναγνωριστεί ξεκάθαρα σε ορισμένες περιπτώσεις. Ας πούμε, εάν έχουμε μια εξίσωση στην οποία υπάρχουν μόνο άγνωστοι στον πρώτο βαθμό και αριθμοί. Και στην εξίσωση δεν υπάρχει κλάσματα διαιρούμενα με άγνωστος , είναι σημαντικό! Και διαίρεση κατά αριθμός,ή ένα αριθμητικό κλάσμα - είναι ευπρόσδεκτο! Για παράδειγμα:

Αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση. Υπάρχουν κλάσματα εδώ, αλλά δεν υπάρχουν x στο τετράγωνο, ο κύβος κ.λπ., και δεν υπάρχουν x στους παρονομαστές, δηλ. Οχι διαίρεση με το x. Και εδώ είναι η εξίσωση

δεν μπορεί να ονομαστεί γραμμικό. Εδώ τα Χ είναι όλα στον πρώτο βαθμό, αλλά υπάρχουν διαίρεση με έκφραση με x. Μετά από απλοποιήσεις και μετασχηματισμούς, μπορείτε να πάρετε μια γραμμική εξίσωση, μια τετραγωνική εξίσωση ή οτιδήποτε σας αρέσει.

Αποδεικνύεται ότι είναι αδύνατο να αναγνωρίσετε τη γραμμική εξίσωση σε κάποιο περίπλοκο παράδειγμα μέχρι να την λύσετε σχεδόν. Αυτό είναι αναστατωμένο. Αλλά στις εργασίες, κατά κανόνα, δεν ρωτούν για τη μορφή της εξίσωσης, σωστά; Οι εργασίες ζητούν εξισώσεις αποφασίζω.Αυτό με κάνει χαρούμενο.)

Επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Ολόκληρη η λύση των γραμμικών εξισώσεων αποτελείται από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Παρεμπιπτόντως, αυτοί οι μετασχηματισμοί (δύο από αυτούς!) είναι η βάση των λύσεων όλες οι εξισώσεις των μαθηματικών.Με άλλα λόγια, η λύση όποιοςη εξίσωση ξεκινά με αυτούς ακριβώς τους μετασχηματισμούς. Στην περίπτωση των γραμμικών εξισώσεων, αυτή (η λύση) βασίζεται σε αυτούς τους μετασχηματισμούς και τελειώνει με μια πλήρη απάντηση. Είναι λογικό να ακολουθήσετε τον σύνδεσμο, σωστά;) Επιπλέον, υπάρχουν και παραδείγματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων εκεί.

Αρχικά, ας δούμε το απλούστερο παράδειγμα. Χωρίς καμία παγίδα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε αυτήν την εξίσωση.

x - 3 = 2 - 4x

Αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση. Τα Χ είναι όλα στην πρώτη δύναμη, δεν υπάρχει διαίρεση με τα Χ. Αλλά, στην πραγματικότητα, δεν έχει σημασία για εμάς τι είδους εξίσωση είναι. Πρέπει να το λύσουμε. Το σχέδιο εδώ είναι απλό. Συλλέξτε τα πάντα με Χ στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, όλα χωρίς Χ (αριθμούς) στη δεξιά.

Για να γίνει αυτό πρέπει να κάνετε μεταφορά - 4x προς την αριστερή πλευρά, με αλλαγή φυσικά, και - 3 - δεξιά. Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ο πρώτος ταυτόσημος μετασχηματισμός των εξισώσεων.Εκπληκτος? Αυτό σημαίνει ότι δεν ακολουθήσατε τον σύνδεσμο, αλλά μάταια...) Λαμβάνουμε:

x + 4x = 2 + 3

Εδώ είναι παρόμοια, θεωρούμε:

Τι χρειαζόμαστε πλήρης ευτυχία? Ναι, για να υπάρχει ένα καθαρό Χ στα αριστερά! Πέντε είναι στο δρόμο. Να απαλλαγούμε από τα πέντε με τη βοήθεια ο δεύτερος ταυτόσημος μετασχηματισμός των εξισώσεων.Δηλαδή, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 5. Παίρνουμε μια έτοιμη απάντηση:

Ένα στοιχειώδες παράδειγμα, φυσικά. Αυτό είναι για προθέρμανση.) Δεν είναι πολύ σαφές γιατί θυμήθηκα πανομοιότυπες μεταμορφώσεις εδώ; ΕΝΤΑΞΕΙ. Ας πάρουμε τον ταύρο από τα κέρατα.) Ας αποφασίσουμε κάτι πιο στέρεο.

Για παράδειγμα, εδώ είναι η εξίσωση:

Από πού ξεκινάμε; Με Χ - προς τα αριστερά, χωρίς Χ - προς τα δεξιά; Θα μπορούσε να είναι έτσι. Με μικρά βήματα μακρύς δρόμος. Ή μπορείτε να το κάνετε αμέσως, με παγκόσμιο και ισχυρό τρόπο. Εάν, φυσικά, έχετε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς εξισώσεων στο οπλοστάσιό σας.

σε ρωτώ βασικό ερώτημα: Τι δεν σας αρέσει περισσότερο σε αυτή την εξίσωση;

95 στα 100 άτομα θα απαντήσουν: κλάσματα ! Η απάντηση είναι σωστή. Ας τα ξεφορτωθούμε λοιπόν. Επομένως, ξεκινάμε αμέσως με δεύτερος μετασχηματισμός ταυτότητας. Τι χρειάζεστε για να πολλαπλασιάσετε το κλάσμα στα αριστερά επί, ώστε ο παρονομαστής να μειωθεί εντελώς; Σωστά, στο 3. Και στα δεξιά; Με 4. Αλλά τα μαθηματικά μας επιτρέπουν να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές κατά τον ίδιο αριθμό. Πώς μπορούμε να βγούμε; Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές επί 12! Εκείνοι. επί κοινό παρονομαστή. Τότε θα μειωθούν και τα τρία και τα τέσσερα. Μην ξεχνάτε ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε μέρος εξ ολοκλήρου. Δείτε πώς φαίνεται το πρώτο βήμα:

Επέκταση των παρενθέσεων:

Σημείωση! Αριθμητής (x+2)Το έβαλα σε παρένθεση! Αυτό συμβαίνει γιατί κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων πολλαπλασιάζεται ολόκληρος ο αριθμητής! Τώρα μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα:

Αναπτύξτε τις υπόλοιπες αγκύλες:

Όχι παράδειγμα, αλλά καθαρή απόλαυση!) Τώρα ας θυμηθούμε το ξόρκι από junior classes: με ένα Χ - προς τα αριστερά, χωρίς ένα Χ - προς τα δεξιά!Και εφαρμόστε αυτόν τον μετασχηματισμό:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Και διαιρέστε και τα δύο μέρη με το 25, δηλ. εφαρμόστε ξανά τον δεύτερο μετασχηματισμό:

Αυτό είναι όλο. Απάντηση: Χ=0,16

Παρακαλώ σημειώστε: για να φέρουμε την αρχική μπερδεμένη εξίσωση σε μια ωραία μορφή, χρησιμοποιήσαμε δύο (μόνο δύο!) μετασχηματισμοί ταυτότητας– μετάφραση αριστερά-δεξιά με αλλαγή προσήμου και πολλαπλασιασμός-διαίρεση εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό. Αυτό καθολική μέθοδος! Θα συνεργαστούμε με αυτόν τον τρόπο όποιος εξισώσεις! Απολύτως οποιοσδήποτε. Γι' αυτό επαναλαμβάνω κουραστικά για αυτούς τους ίδιους μετασχηματισμούς όλη την ώρα.)

Όπως μπορείτε να δείτε, η αρχή της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων είναι απλή. Παίρνουμε την εξίσωση και την απλοποιούμε με μετασχηματισμοί ταυτότηταςπριν λάβετε απάντηση. Τα κύρια προβλήματα εδώ είναι στους υπολογισμούς, όχι στην αρχή της λύσης.

Αλλά... Υπάρχουν τέτοιες εκπλήξεις στη διαδικασία επίλυσης των πιο στοιχειωδών γραμμικών εξισώσεων που μπορούν να σε οδηγήσουν σε μια ισχυρή αηδία...) Ευτυχώς, μπορούν να υπάρξουν μόνο δύο τέτοιες εκπλήξεις. Ας τις πούμε ειδικές περιπτώσεις.

Ειδικές περιπτώσεις στην επίλυση γραμμικών εξισώσεων.

Πρώτη έκπληξη.

Ας πούμε ότι το κατάλαβες η πιο στοιχειώδης εξίσωση, κάτι όπως:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Ελαφρώς βαριεστημένο, το μετακινούμε με Χ αριστερά, χωρίς Χ - δεξιά... Με αλλαγή πρόσημου όλα είναι τέλεια... Παίρνουμε:

2x-5x+3x=5-2-3

Μετράμε, και... όπα!!! Παίρνουμε:

Αυτή η ισότητα από μόνη της δεν είναι απαράδεκτη. Το μηδέν είναι πραγματικά μηδέν. Όμως το Χ λείπει! Και πρέπει να γράψουμε στην απάντηση, με τι ισούται το x;Διαφορετικά, η λύση δεν μετράει, σωστά...) Αδιέξοδο;

Ηρεμία! Σε τέτοιες αμφίβολες περιπτώσεις, οι πιο γενικοί κανόνες θα σας σώσουν. Πώς να λύσετε εξισώσεις; Τι σημαίνει να λύνεις μια εξίσωση; Αυτό σημαίνει, βρείτε όλες τις τιμές του x που, όταν αντικατασταθούν στην αρχική εξίσωση, θα μας δώσουν τη σωστή ισότητα.

Αλλά έχουμε πραγματική ισότητα ήδησυνέβη! 0=0, πόσο πιο ακριβές;! Μένει να καταλάβουμε σε τι x συμβαίνει αυτό. Σε ποιες τιμές του X μπορούν να αντικατασταθούν πρωτότυποεξίσωση αν αυτά τα x θα μηδενιστούν ακόμα;Ελα?)

Ναί!!! Τα Χ μπορούν να αντικατασταθούν όποιος!Ποιες θέλετε; Τουλάχιστον 5, τουλάχιστον 0,05, τουλάχιστον -220. Ακόμα θα συρρικνωθούν. Αν δεν με πιστεύετε, μπορείτε να το ελέγξετε.) Αντικαταστήστε τις τιμές του X σε πρωτότυποεξίσωση και υπολογισμός. Όλη την ώρα θα λαμβάνετε την καθαρή αλήθεια: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 και ούτω καθεξής.

Ορίστε η απάντησή σας: x - οποιοσδήποτε αριθμός.

Η απάντηση μπορεί να γραφτεί με διαφορετικά μαθηματικά σύμβολα, η ουσία δεν αλλάζει. Αυτή είναι μια απολύτως σωστή και πλήρης απάντηση.

Δεύτερη έκπληξη.

Ας πάρουμε την ίδια στοιχειώδη γραμμική εξίσωση και ας αλλάξουμε μόνο έναν αριθμό σε αυτήν. Αυτό θα αποφασίσουμε:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Μετά από τους ίδιους ίδιους μετασχηματισμούς, έχουμε κάτι ενδιαφέρον:

Σαν αυτό. Λύσαμε μια γραμμική εξίσωση και πήραμε μια περίεργη ισότητα. Ομιλία μαθηματική γλώσσα, πήραμε ψευδής ισότητα.Και μιλώντας σε απλή γλώσσα, αυτό δεν είναι αληθινό. Ουρλιάζω. Ωστόσο, αυτή η ανοησία είναι ένας πολύ καλός λόγος η σωστή απόφασηεξισώσεις.)

Και πάλι σκεφτόμαστε με βάση γενικοί κανόνες. Αυτό που το x, όταν αντικατασταθεί στην αρχική εξίσωση, θα μας δώσει αληθήςισότητα? Ναι, κανένα! Δεν υπάρχουν τέτοια Χ. Ό,τι και να βάλεις, όλα θα μειωθούν, μόνο ανοησίες θα μείνουν.)

Ορίστε η απάντησή σας: δεν υπάρχουν λύσεις.

Αυτή είναι επίσης μια εντελώς πλήρης απάντηση. Στα μαθηματικά, τέτοιες απαντήσεις βρίσκονται συχνά.

Σαν αυτό. Τώρα, ελπίζω, η εξαφάνιση των Χ στη διαδικασία επίλυσης οποιασδήποτε (όχι μόνο γραμμικής) εξίσωσης δεν θα σας μπερδέψει καθόλου. Αυτό είναι ήδη γνωστό θέμα.)

Τώρα που αντιμετωπίσαμε όλες τις παγίδες στις γραμμικές εξισώσεις, είναι λογικό να τις λύσουμε.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Σε αυτό το βίντεο θα αναλύσουμε ένα ολόκληρο σύνολο γραμμικών εξισώσεων που λύνονται χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο - γι' αυτό ονομάζονται οι απλούστερες.

Αρχικά, ας ορίσουμε: τι είναι μια γραμμική εξίσωση και ποια ονομάζεται απλούστερη;

Μια γραμμική εξίσωση είναι αυτή στην οποία υπάρχει μόνο μία μεταβλητή και μόνο στον πρώτο βαθμό.

Η απλούστερη εξίσωση σημαίνει την κατασκευή:

Όλες οι άλλες γραμμικές εξισώσεις μειώνονται στην απλούστερη χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1. Αναπτύξτε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν.
2. Μετακινήστε όρους που περιέχουν μια μεταβλητή στη μία πλευρά του πρόσημου ίσου και όρους χωρίς μεταβλητή στην άλλη.
3. Οδηγω παρόμοιους όρουςαριστερά και δεξιά του σημείου ίσου.
4. Διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τον συντελεστή της μεταβλητής $x$.

Φυσικά, αυτός ο αλγόριθμος δεν βοηθά πάντα. Το γεγονός είναι ότι μερικές φορές μετά από όλες αυτές τις μηχανορραφίες ο συντελεστής της μεταβλητής $x$ αποδεικνύεται ίσος με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατές δύο επιλογές:

1. Η εξίσωση δεν έχει καθόλου λύσεις. Για παράδειγμα, όταν προκύπτει κάτι σαν $0\cdot x=8$, π.χ. στα αριστερά είναι το μηδέν και στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν. Στο παρακάτω βίντεο θα δούμε αρκετούς λόγους για τους οποίους αυτή η κατάσταση είναι πιθανή.
2. Η λύση είναι όλοι οι αριθμοί. Η μόνη περίπτωση που αυτό είναι δυνατό είναι όταν η εξίσωση έχει μειωθεί στην κατασκευή $0\cdot x=0$. Είναι πολύ λογικό ότι ανεξάρτητα από το $x$ που αντικαθιστούμε, θα εξακολουθεί να αποδεικνύεται "το μηδέν ισούται με μηδέν", δηλ. σωστή αριθμητική ισότητα.

Τώρα ας δούμε πώς λειτουργούν όλα αυτά χρησιμοποιώντας παραδείγματα από την πραγματική ζωή.

Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων

Σήμερα έχουμε να κάνουμε με γραμμικές εξισώσεις, και μόνο τις πιο απλές. Γενικά, γραμμική εξίσωση σημαίνει κάθε ισότητα που περιέχει ακριβώς μία μεταβλητή και πηγαίνει μόνο στον πρώτο βαθμό.

Τέτοιες κατασκευές επιλύονται περίπου με τον ίδιο τρόπο:

1. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να ανοίξετε τις παρενθέσεις, εάν υπάρχουν (όπως στο δικό μας τελευταίο παράδειγμα);
2. Στη συνέχεια συνδυάστε παρόμοια
3. Τέλος, απομονώστε τη μεταβλητή, δηλ. μετακινήστε όλα όσα συνδέονται με τη μεταβλητή - τους όρους στους οποίους περιέχεται - στη μία πλευρά και μετακινήστε ό,τι απομένει χωρίς αυτήν στην άλλη πλευρά.

Στη συνέχεια, κατά κανόνα, πρέπει να φέρετε παρόμοια σε κάθε πλευρά της ισότητας που προκύπτει και μετά από αυτό το μόνο που μένει είναι να διαιρέσετε με τον συντελεστή "x" και θα λάβουμε την τελική απάντηση.

Θεωρητικά, αυτό φαίνεται ωραίο και απλό, αλλά στην πράξη, ακόμη και έμπειροι μαθητές γυμνασίου μπορούν να κάνουν προσβλητικά λάθη σε αρκετά απλές γραμμικές εξισώσεις. Συνήθως, γίνονται σφάλματα είτε κατά το άνοιγμα των αγκύλων είτε κατά τον υπολογισμό των "συν" και "πλην".

Επιπλέον, συμβαίνει μια γραμμική εξίσωση να μην έχει καθόλου λύσεις ή η λύση να είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλ. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Θα εξετάσουμε αυτές τις λεπτότητες στο σημερινό μάθημα. Θα ξεκινήσουμε όμως, όπως ήδη καταλάβατε, με το πολύ απλές εργασίες.

Σχέδιο επίλυσης απλών γραμμικών εξισώσεων

Αρχικά, επιτρέψτε μου για άλλη μια φορά να γράψω ολόκληρο το σχήμα για την επίλυση των απλούστερων γραμμικών εξισώσεων:

1. Αναπτύξτε τις αγκύλες, εάν υπάρχουν.
2. Απομονώνουμε τις μεταβλητές, δηλ. Μετακινούμε ό,τι περιέχει "Χ" στη μία πλευρά και οτιδήποτε χωρίς "Χ" στην άλλη.
3. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.
4. Διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x".

Φυσικά, αυτό το σχέδιο δεν λειτουργεί πάντα· υπάρχουν ορισμένες λεπτές αποχρώσεις και κόλπα σε αυτό, και τώρα θα τα γνωρίσουμε.

Επίλυση πραγματικών παραδειγμάτων απλών γραμμικών εξισώσεων

Εργασία Νο. 1

Το πρώτο βήμα απαιτεί να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά δεν είναι σε αυτό το παράδειγμα, επομένως τα παραλείπουμε αυτό το στάδιο. Στο δεύτερο βήμα πρέπει να απομονώσουμε τις μεταβλητές. Σημείωση: μιλάμε γιαμόνο για μεμονωμένους όρους. Ας το γράψουμε:

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους αριστερά και δεξιά, αλλά αυτό έχει ήδη γίνει εδώ. Επομένως, προχωράμε στο τέταρτο βήμα: διαιρούμε με τον συντελεστή:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Λοιπόν πήραμε την απάντηση.

Εργασία Νο. 2

Μπορούμε να δούμε τις παρενθέσεις σε αυτό το πρόβλημα, οπότε ας τις επεκτείνουμε:

Τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά βλέπουμε περίπου το ίδιο σχέδιο, αλλά ας ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. διαχωρισμός των μεταβλητών:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Σε ποιες ρίζες λειτουργεί αυτό; Απάντηση: για οποιαδήποτε. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι το $x$ είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Εργασία Νο. 3

Η τρίτη γραμμική εξίσωση είναι πιο ενδιαφέρουσα:

\[\αριστερά(6-x \δεξιά)+\αριστερά(12+x \δεξιά)-\αριστερά(3-2x \δεξιά)=15\]

Υπάρχουν πολλές παρενθέσεις, αλλά δεν πολλαπλασιάζονται με τίποτα, απλώς προηγούνται διάφορα σημάδια. Ας τα αναλύσουμε:

Εκτελούμε το δεύτερο βήμα που είναι ήδη γνωστό σε εμάς:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Ας κάνουμε τα μαθηματικά:

Πραγματοποιούμε το τελευταίο βήμα - διαιρούμε τα πάντα με τον συντελεστή "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Πράγματα που πρέπει να θυμάστε κατά την επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Αν αγνοήσουμε πολύ απλές εργασίες, θα ήθελα να πω τα εξής:

• Όπως είπα παραπάνω, δεν έχει λύση κάθε γραμμική εξίσωση - μερικές φορές απλά δεν υπάρχουν ρίζες.
• Ακόμα κι αν υπάρχουν ρίζες, μπορεί να υπάρχει μηδέν ανάμεσά τους - δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό.

Το μηδέν είναι ο ίδιος αριθμός με τους άλλους· δεν πρέπει να κάνετε διακρίσεις εναντίον του με κανέναν τρόπο ή να υποθέσετε ότι εάν λάβετε μηδέν, τότε κάνατε κάτι λάθος.

Ένα άλλο χαρακτηριστικό σχετίζεται με το άνοιγμα των στηρίξεων. Προσοχή: όταν υπάρχει ένα "μείον" μπροστά τους, το αφαιρούμε, αλλά σε παρένθεση αλλάζουμε τα σημάδια σε απεναντι απο. Και μετά μπορούμε να το ανοίξουμε χρησιμοποιώντας τυπικούς αλγόριθμους: θα πάρουμε αυτό που είδαμε στους παραπάνω υπολογισμούς.

Κατανοώντας αυτό απλό γεγονόςθα σας επιτρέψει να αποφύγετε να κάνετε ανόητα και προσβλητικά λάθη στο γυμνάσιο, όταν το να κάνετε τέτοιες ενέργειες θεωρείται δεδομένο.

Επίλυση μιγαδικών γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε σε περισσότερα σύνθετες εξισώσεις. Τώρα οι κατασκευές θα γίνουν πιο σύνθετες και όταν εκτελούνται διάφοροι μετασχηματισμοί θα εμφανίζεται μια τετραγωνική συνάρτηση. Ωστόσο, δεν πρέπει να το φοβόμαστε αυτό, γιατί εάν, σύμφωνα με το σχέδιο του συγγραφέα, λύσουμε μια γραμμική εξίσωση, τότε κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού όλα τα μονώνυμα που περιέχουν μια τετραγωνική συνάρτηση σίγουρα θα ακυρωθούν.

Παράδειγμα Νο. 1

Προφανώς, το πρώτο βήμα είναι να ανοίξετε τις αγκύλες. Ας το κάνουμε πολύ προσεκτικά:

Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά στο απόρρητο:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις, οπότε θα γράψουμε αυτό στην απάντηση:

\[\varnothing\]

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Παράδειγμα Νο. 2

Κάνουμε τις ίδιες ενέργειες. Το πρώτο βήμα:

Ας μετακινήσουμε τα πάντα με μια μεταβλητή προς τα αριστερά και χωρίς αυτήν - προς τα δεξιά:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Προφανώς, αυτή η γραμμική εξίσωση δεν έχει λύση, οπότε θα τη γράψουμε ως εξής:

\[\varnothing\],

ή δεν υπάρχουν ρίζες.

Αποχρώσεις της λύσης

Και οι δύο εξισώσεις έχουν λυθεί πλήρως. Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο εκφράσεις ως παράδειγμα, πειστήκαμε για άλλη μια φορά ότι ακόμα και στις πιο απλές γραμμικές εξισώσεις, όλα μπορεί να μην είναι τόσο απλά: μπορεί να υπάρχουν είτε μία, είτε καμία, ή άπειρες ρίζες. Στην περίπτωσή μας, εξετάσαμε δύο εξισώσεις, και οι δύο απλώς δεν έχουν ρίζες.

Θα ήθελα όμως να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα άλλο γεγονός: πώς να εργάζεστε με παρενθέσεις και πώς να τις ανοίγετε εάν υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά τους. Σκεφτείτε αυτήν την έκφραση:

Πριν ανοίξετε, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με "Χ". Σημείωση: πολλαπλασιάζεται κάθε επιμέρους όρος. Μέσα υπάρχουν δύο όροι - αντίστοιχα, δύο όροι και πολλαπλασιασμένοι.

Και μόνο μετά την ολοκλήρωση αυτών των φαινομενικά στοιχειωδών, αλλά πολύ σημαντικών και επικίνδυνων μετασχηματισμών, μπορείτε να ανοίξετε την αγκύλη από την άποψη του γεγονότος ότι υπάρχει ένα σημάδι μείον μετά από αυτό. Ναι, ναι: μόνο τώρα, όταν ολοκληρωθούν οι μετασχηματισμοί, θυμόμαστε ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι όλα από κάτω αλλάζουν απλώς πρόσημα. Ταυτόχρονα, οι ίδιες οι αγκύλες εξαφανίζονται και, το πιο σημαντικό, το μπροστινό "μείον" εξαφανίζεται επίσης.

Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη εξίσωση:

Δεν είναι τυχαίο που δίνω σημασία σε αυτά τα μικρά, φαινομενικά ασήμαντα γεγονότα. Γιατί η επίλυση εξισώσεων είναι πάντα μια ακολουθία στοιχειώδεις μεταμορφώσεις, όπου η αδυναμία ξεκάθαρης και ικανής εκτέλεσης απλά βήματαοδηγεί στο γεγονός ότι μαθητές γυμνασίου έρχονται σε μένα και μαθαίνουν ξανά να λύνουν τέτοιες απλές εξισώσεις.

Φυσικά, θα έρθει η μέρα που θα ακονίσετε αυτές τις δεξιότητες σε σημείο αυτοματισμού. Δεν θα χρειάζεται πλέον να κάνετε τόσους πολλούς μετασχηματισμούς κάθε φορά· θα γράφετε τα πάντα σε μια γραμμή. Αλλά ενώ μόλις μαθαίνετε, πρέπει να γράψετε κάθε ενέργεια ξεχωριστά.

Επίλυση ακόμη πιο περίπλοκων γραμμικών εξισώσεων

Αυτό που θα λύσουμε τώρα δύσκολα μπορεί να ονομαστεί η απλούστερη εργασία, αλλά το νόημα παραμένει το ίδιο.

Εργασία Νο. 1

\[\αριστερά(7x+1 \δεξιά)\αριστερά(3x-1 \δεξιά)-21((x)^(2))=3\]

Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία στο πρώτο μέρος:

Ας κάνουμε λίγο απόρρητο:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Ας ολοκληρώσουμε το τελευταίο βήμα:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Εδώ είναι η τελική μας απάντηση. Και, παρά το γεγονός ότι στη διαδικασία επίλυσης είχαμε συντελεστές με τετραγωνική συνάρτηση, ακυρώνονταν ο ένας τον άλλον, γεγονός που κάνει την εξίσωση γραμμική και όχι τετραγωνική.

Εργασία Νο. 2

\[\αριστερά(1-4x \δεξιά)\αριστερά(1-3x \δεξιά)=6x\αριστερά(2x-1 \δεξιά)\]

Ας εκτελέσουμε προσεκτικά το πρώτο βήμα: πολλαπλασιάστε κάθε στοιχείο από την πρώτη αγκύλη με κάθε στοιχείο από τη δεύτερη. Θα πρέπει να υπάρχουν συνολικά τέσσερις νέοι όροι μετά τους μετασχηματισμούς:

Τώρα ας εκτελέσουμε προσεκτικά τον πολλαπλασιασμό σε κάθε όρο:

Ας μετακινήσουμε τους όρους με "Χ" προς τα αριστερά και αυτούς χωρίς - προς τα δεξιά:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Εδώ είναι παρόμοιοι όροι:

Για άλλη μια φορά λάβαμε την τελική απάντηση.

Αποχρώσεις της λύσης

Η πιο σημαντική σημείωση σχετικά με αυτές τις δύο εξισώσεις είναι η εξής: μόλις αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε αγκύλες που περιέχουν περισσότερους από έναν όρους, αυτό γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: παίρνουμε τον πρώτο όρο από τον πρώτο και πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο; τότε παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο από το πρώτο και ομοίως πολλαπλασιάζουμε με κάθε στοιχείο από το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε τέσσερις θητείες.

Σχετικά με το αλγεβρικό άθροισμα

Με αυτό το τελευταίο παράδειγμα, θα ήθελα να υπενθυμίσω στους μαθητές τι αλγεβρικό άθροισμα. Στα κλασικά μαθηματικά, με το $1-7$ εννοούμε μια απλή κατασκευή: αφαιρέστε επτά από ένα. Στην άλγεβρα εννοούμε το εξής: στον αριθμό "ένα" προσθέτουμε έναν άλλο αριθμό, δηλαδή "μείον επτά". Έτσι διαφέρει ένα αλγεβρικό άθροισμα από ένα συνηθισμένο αριθμητικό άθροισμα.

Μόλις, όταν εκτελείτε όλους τους μετασχηματισμούς, κάθε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, αρχίσετε να βλέπετε κατασκευές παρόμοιες με αυτές που περιγράφονται παραπάνω, απλά δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα στην άλγεβρα όταν εργάζεστε με πολυώνυμα και εξισώσεις.

Τέλος, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα που θα είναι ακόμα πιο περίπλοκα από αυτά που μόλις εξετάσαμε και για να τα λύσουμε θα πρέπει να επεκτείνουμε ελαφρώς τον τυπικό μας αλγόριθμο.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα

Για να λύσουμε τέτοιες εργασίες, θα πρέπει να προσθέσουμε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμό μας. Αλλά πρώτα, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τον αλγόριθμό μας:

1. Ανοίξτε τις αγκύλες.
2. Ξεχωριστές μεταβλητές.
3. Φέρτε παρόμοια.
4. Διαιρέστε με την αναλογία.

Αλίμονο, αυτός ο υπέροχος αλγόριθμος, παρ' όλη την αποτελεσματικότητά του, αποδεικνύεται ότι δεν είναι απολύτως κατάλληλος όταν έχουμε κλάσματα μπροστά μας. Και σε αυτό που θα δούμε παρακάτω, έχουμε ένα κλάσμα και στα αριστερά και στα δεξιά και στις δύο εξισώσεις.

Πώς να εργαστείτε σε αυτή την περίπτωση; Ναι, είναι πολύ απλό! Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να προσθέσετε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμο, το οποίο μπορεί να γίνει τόσο πριν όσο και μετά την πρώτη ενέργεια, δηλαδή να απαλλαγείτε από κλάσματα. Ο αλγόριθμος λοιπόν θα είναι ο εξής:

1. Απαλλαγείτε από τα κλάσματα.
2. Ανοίξτε τις αγκύλες.
3. Ξεχωριστές μεταβλητές.
4. Φέρτε παρόμοια.
5. Διαιρέστε με την αναλογία.

Τι σημαίνει «να απαλλαγούμε από τα κλάσματα»; Και γιατί μπορεί να γίνει αυτό τόσο μετά όσο και πριν από το πρώτο τυπικό βήμα; Στην πραγματικότητα, στην περίπτωσή μας, όλα τα κλάσματα είναι αριθμητικά στον παρονομαστή τους, δηλ. Παντού ο παρονομαστής είναι απλώς ένας αριθμός. Επομένως, αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον αριθμό, θα απαλλαγούμε από τα κλάσματα.

Παράδειγμα Νο. 1

\[\frac(\αριστερά(2x+1 \δεξιά)\αριστερά(2x-3 \δεξιά))(4)=((x)^(2))-1\]

Ας απαλλαγούμε από τα κλάσματα αυτής της εξίσωσης:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Παρακαλώ σημειώστε: όλα πολλαπλασιάζονται με "τέσσερα" μία φορά, δηλ. Ακριβώς επειδή έχετε δύο παρενθέσεις δεν σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε την καθεμία με "τέσσερις". Ας γράψουμε:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Τώρα ας επεκταθούμε:

Αποκλείουμε τη μεταβλητή:

Πραγματοποιούμε τη μείωση παρόμοιων όρων:

\[-4x=-1\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Πήραμε τελική απόφαση, ας περάσουμε στη δεύτερη εξίσωση.

Παράδειγμα Νο. 2

\[\frac(\αριστερά(1-x \δεξιά)\αριστερά(1+5x \δεξιά))(5)+((x)^(2))=1\]

Εδώ εκτελούμε όλες τις ίδιες ενέργειες:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Το πρόβλημα λύθηκε.

Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το μόνο που ήθελα να σας πω σήμερα.

Βασικά σημεία

Βασικά ευρήματα είναι:

• Να γνωρίζετε τον αλγόριθμο επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.
• Δυνατότητα ανοίγματος αγκύλων.
• Μην ανησυχείς αν δεις τετραγωνικές συναρτήσεις, πιθανότατα, στη διαδικασία περαιτέρω μετασχηματισμών θα μειωθούν.
• Υπάρχουν τρεις τύποι ριζών στις γραμμικές εξισώσεις, ακόμα και οι πιο απλές: μία μόνο ρίζα, ολόκληρη η αριθμητική γραμμή είναι ρίζα και καθόλου ρίζες.

Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να κατακτήσετε ένα απλό, αλλά πολύ σημαντικό θέμα για περαιτέρω κατανόηση όλων των μαθηματικών. Εάν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, μεταβείτε στον ιστότοπο και λύστε τα παραδείγματα που παρουσιάζονται εκεί. Μείνετε συντονισμένοι, σας περιμένουν πολλά ακόμα ενδιαφέροντα πράγματα!